3.8 Límites en el infinito En ocasiones interesa considerar el

3.8 Límites en el infinito
En ocasiones interesa considerar el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende, no a un
valor concreto, sino a valores muy grandes, tanto positivos como negativos.
En estos casos se habla:

si X toma valores muy grandes positivos
o
, si X toma valores muy grandes positivos, f(x) se va aproximando a “l”.
o
, si X toma valores muy grandes positivos, f(x) toma valores muy grandes positivos.
o
, si X toma valores muy grandes negativos, f(x) toma valores muy grandes negativos.
o

si X toma valores muy grandes negativos
o
, si X toma valores muy grandes negativos, f(x) se va aproximando a “l”.
o
, si X toma valores muy grandes negativos, f(x) toma valores muy grandes positivos.
o
, si X toma valores muy grandes negativos, f(x) toma valores muy grandes negativos.
o


Operaciones con expresiones infinitas:
=
=
Con k>0:
Con k<0:
Ejercicio 6:
Calcula los siguientes límites:
b)
a)
c)
d)
e)
3.9 Cálculo de límites. Indeterminaciones.
En los apartados anteriores se ha calculado el valor del límite de una función en un punto o en el infinito, dando valores
apropiados a la variable independiente y utilizando una tabla y una calculadora como herramientas.
Sin embargo en muchas ocasiones el cálculo se puede realizar de una forma más directa y rápida.

.
Para calcular un límite, se sustituye la X por el valor al que se aproxima.
Si el resultado es b, ya tenemos el límite de X cuando tiende al número a.
En estos casos se obtienen expresiones y resultados que tienen sentido en
límites se llaman determinados.
Ejemplo:

Expresiones que tienden a
ó a 0: Estas expresiones no son indeterminaciones.
, y los
 Indeterminaciones: Hay casos en que la solución no tiene sentido en .
Se dice entonces que el límite está Indeterminado. Hay que seguir operando hasta encontrar la solución.
Expresiones indeterminadas
o Limites de funciones racionales en el infinito :
 Para calcular el
- Si el grado P > grado de Q
- Si el grado P < grado de Q
- Si el grado P = grado Q
siendo P(x) y Q(x) polinomios, hay que comparar los grados de P Y Q.
donde
y
son los coeficientes de mayor grado de P y Q
Ejemplos:
-
-
-
 Si hay raíces en el denominador, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador.
Ejemplo:
→
 Se dividen numerador y denominador entre la mayor potencia de X que aparezca.
o Límites de funciones racionales de la forma
:
 Se factoriza el numerador y el denominador y se simplifica.
Ejemplo:
→
 Si hay raíces en el numerador o en el denominador, se multiplica y divide por la expresión conjugada
del numerador o del denominador
Ejemplo:
o Límites de funciones de la forma
→
:
 Se opera la expresión antes de calcular el límite.
Si hay raíces, se multiplica y divide por la expresión conjugada.
Ejemplo:
→

Ejercicio 7:
Calcula los siguientes límites:
a)
e)
i)
m)
b)
f)
j)
n)
c)
g)
k)
d)
h)
o)
l)
3.10 Asíntotas.
Una asíntota es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de una función.
Las ramas infinitas aparecen cuando o bien la “x” o bien la “y” o bien ambas tienden a
a) Asíntota Horizontal:
Son de la forma
, siendo
ó
Se halla:

y=k

y=l
Podemos tener:
 Dos asíntotas horizontales distintas: y = k e y = l
 Una asíntota horizontal: y = k
 Ambas existen y coinciden: y = k e y = k
 Una existe y otra no: y = k e y =
 Ninguna asíntota horizontal: Ninguna de las dos existen y =
En funciones racionales, para que existan las asíntotas horizontales:
el grado del denominador el grado del numerador.
Ejemplo:
oa
.
f (x) 
→
→
Hay un asíntota horizontal en
b) Asíntota Vertical:
La recta
es asíntota vertical si:
ó
Ejemplo:
ó
f (x) 
Hay un asíntota vertical en
c) Asíntota Oblicua:
Si la función tiene asíntota horizontal, no tendrá asíntota oblicua.
La recta
es una asíntota oblicua de
si:
o si
Donde:


ó
Ejemplo: f (x) 


→

→


a)
b)
c)
d)
Asíntota Oblicua:
Ejercicio 8:
Calcula las asíntotas de las siguientes funciones si las tienen:
e)
k)
f)
g)
h)
l)
i)
j)
m)
3.11 Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
Una función es continua en un punto “a” si cumple:
1.- Existe el
2.- Existe f(a)
3.Una función es continua en un intervalo [a, b] si lo es en todos los puntos del mismo.
3.12 Continuidad de funciones elementales.


En todas las funciones hallaremos el dominio de la función, y en los puntos que no pertenezcan al dominio, la
función no será continua.
En las funciones a trozos hay que estudiar:
o El dominio de la función, y en los puntos que no pertenezcan al dominio, la función no será continua.
o La continuidad en los puntos de cambio de rama.
3.13 Tipos de discontinuidades.
a) Evitables:
b) No Evitables:
+ De salto finito:
+ De salto infinito:

Ejercicio 9:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.14 Esbozos de funciones.