Determinación de una asíntota oblicua

Determinación de una asíntota oblicua
Determinar todas las asíntotas y trazar la gráfica de f
Solución
Se tiene una asíntota vertical si 2x − 4 = 0, o sea, si x = 2.
El grado del numerador de f(x) es mayor que el del denominador. Por tanto, no hay
asíntota horizontal. Sin embargo, como el grado del numerador x2 − 9 es mayor que el
grado del denominador, 2x − 4, aumentado en uno, la gráfica tiene asíntota oblicua. Por
división larga se obtiene
Por lo tanto,
.
Como se indicó en la explicación anterior a este ejemplo, la recta
y = x + 1 es asíntota oblicua. Esta recta y la asíntota vertical x = 2 aparecen con
líneas discontinuas en la figura.
Las abscisas en el origen de la gráfica son las soluciones de la ecuación x2 − 9 = 0 y,
por consiguiente, son 3 y − 3. La ordenada en el origen es f(0) =
. En la figura se
grafican los puntos correspondientes. Ahora se puede ver que la gráfica tiene la forma
indicada en la siguiente figura.
En el ejemplo anterior, la gráfica de f tiende a la recta y = x + 1, asintóticamente
cuando x Æ ∞ o cuando x Æ − ∞ . Las gráficas de funciones racionales pueden tender
a distintos tipos de curvas, en forma asintótica. Por ejemplo, si
entonces, para valores grandes de , l/x = 0 por tanto f(x) ≈ x2. Así, la gráfica de f
tiende a la parábola y = x2 , en forma asintótica, cuando x Æ ∞ o cuando x Æ − ∞ . En
general, si f(x) = g(x)/h(x), y si q(x) es el cociente obtenido dividiendo g(x) entre h(x),
entonces la gráfica de f tiende a la gráfica de y = q(x) asintóticamente, cuando
x Æ ∞ , o cuando x Æ − ∞ .
En las indicaciones para trazar la gráfica de una función racional, se supuso que el
numerador y el denominador no tienen factor primo común. Si existe ese factor común,
entonces puede haber un agujero en la gráfica, es decir, puede faltar un solo punto. En
matemáticas formales a este tipo de agujeros se les llama discontinuidades removibles.