REPRESENTACIÓN DE CURVAS

REPRESENTACIÓN DE CURVAS
Proceso de representación
Representación de y =f(x). Veamos un método lógico y ordenado.
0.-PASOS PREVIOS.
-Identificar las funciones que intervienen en la función. Hacer un 'reconocimiento previo' e
intuitivo de la función.-Gráfica, signo de cada uno de ellas, corte con ejes....
-¿Cual de las dos es más fuerte?, ello nos responderá algo sobre los límites y asíntotas.
Ver si la función es par o impar. Si es así, basta estudiarlas en R+ Ver si es periódica. Si lo es
representála en el período y generaliza. Más concretamente:
-Simetrías:
f(-x)=.....si es igual a f(x) simetría respecto eje Y
si es igual a -f(x) simetría respecto del (0,0)
-Períodos: f(x+T)=f(x)
Nota: para algunas funciones como ? f(x)? es más fácil seguir otro procedimiento.
1.-ESTUDIO DE y=f(x)
1.1.-Dominio y continuidad.
1.2.-Corte con los ejes
Eje X (haciendo y=0, o lo que es lo mismo, resolviendo la ecuación)
Eje Y (haciendo x=0)
Las funciones cortan como máximo una vez al eje de las Y.
1.3.-Estudio del signo de la función:
para ello 'troceamos la recta' tomando los siguientes puntos:
-Los que no están en el dominio.
-Los que obtenemos del corte con el eje de las X.
1.4.-Asintotas:
Asintota horizontal:
Debe estudiarse el límite cuando x-->-? y cuando x-->+? de la función. Puede haber
límites distintos por un lado y por otro, puede haber asintota por un lado y no por el
otro.
Asíntota Vertical:
.
Se consideran los siguientes puntos:
Cálculo Diferencial: Proceso de Representación de Curvas
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-puntos que no están en el dominio
-puntos extremos de los intervalos de dominio (ejemplo en funciones con
logaritmos)
En todo caso el límite debe dar ? , y podemos estudiar a la izquierda y a la derecha para
saber si la función va para arriba o para abajo.
Asíntota Oblicua:
en su caso habrá que diferenciar -? de +?
NOTAS SOBRE ASINTOTAS: Las funciones polinómicas de grado ? 2 no tienen asíntotas.
Si hay asíntota horizontal por un lado, no hay oblícua.Si hay asíntota horizontal en funciones racionales
del tipo p(x)/q(x) los grados tienen que ser iguales o grado(q(x))>grado(p(x)).
Las funciones racionales f(x)=p(x)/q(x) tienen oblicua si y solo sí el grado(p(x))=1+grado(q(x)).
Si grado(p(x)) sobrepasa en dos o más a grado(q(x)) no hay asíntota horizontal ni oblicua.
La gráfica de una función puede cortar una infinidad de veces a la asíntota.
Conviene estudiar el signo de f(x)-(mx+b) que nos dará la posición de la gráfica respecto de la asíntota.
Es importante dibujar las asíntotas, ya que sin lugar a dudas aquellas funciones que las tienen son las más
fáciles de dibujar.
2.-ESTUDIO DE f`(x).
2.1.-Calcular la derivada 1ª: Estudiar las discontinuidades.
en casos especiales, de funciones 'raras' (ejemplo valor absoluto, puede que raices) debe
considerarse y estudiar el dominio de la f. derivada.
2.2.-Resolver la ecuación f'(x)=0, es decir, calcular las raices,que nos da los posibles extremos.
2.3.-Estudio del signo de f'(x) (para obtener intervalos de monotonía y extremos).
-'Troceamos la recta', considerando los puntos:
=Que no están en el Dominio
=Los puntos obtenidos en paso 2.1
-Estudiar el signo en cada intervalo (o trozo) obtenido, aplicando:
f'(x)>0 ===>crece
y f'(x)<0 ===>decrece
-Los extremos estarán en aquellos que cumplan:
a) Que la función es derivable, y f'(x)=0
b) Hay un cambio de:
crecer-->decrecer: máximo relativo.
decrecer-->crecer: mínimo relativo.
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3.-Estudio de f``(x).
Similar al apartado anterior, para el estudio de la
convexidad, concavidad y puntos de inflexión,
resumiendo los pasos serán:
3.1.-Calcular la derivada 2ª. Estudiar sus discontinuidades.
3.2.-Resolver la ecuación f''(x)=0, es decir , calcular raices, que nos da los posibles puntos de
inflexión.
3.3.-Trocear o hacer los intervalos. Se consideran los puntos:
=Que no están en el Dominio
=los obtenidos en el paso ?
-Estudiar el signo en cada intervalo (o trozo) obtenido, aplicando:
f''(x)>0 ===>convexa
y f''(x)<0 ===>concava
-Los puntos de inflexión estarán en aquellos que cumplan:
a) Que la función es derivable, y f''(x)=0
b) Hay un cambio de:
convexa-->concava o
concava-->convexa
4.-Etapa final.
Como final deben llevarse los datos a una tabla, hacer
la representación gráfica y estudiar que no existan
incompatibilidades entre lo que se ve en la gráfica y los resultados importantes. ( Es muy
corriente que existan incompatibilidades ( por fallos de cálculo), lo que debe ser corriente, es
que estas se detecten o al menos se indiquen si no hay tiempo para más)
Comentario Final
A veces no es posible realizar todos los estudios anteriores, tampoco
es necesario, pero en la medida de lo posible conviene hacerlo.
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