El volumen del aire está en función de la presión ejercida. Existe

Función real de PROPORCIONALIDAD INVERSA
Llamaremos así a la función real en la que, para un valor de la variable independiente perteneciente al dominio, su
correspondiente imagen se determina mediante la regla:
Ejemplo
En 1662 publicó BOYLE una descripción del experimento sobre la comprensibilidad del aire que le llevó a encontrar la
relación, formulada matemáticamente, existente entre la PRESIÓN (P) y el VOLUMEN (V) del aire.
1. Describe Boyle cómo preparó un tubo de cristal en J con el brazo corto cerrado y el largo abierto (gráfico 1) ; introdujo
mercurio en el tubo por la rama abierta hasta que alcanzó el mismo nivel en las dos ramas, quedando además en la rama corta
una cantidad de aire aprisionado. En este momento la presión sobre el aire aprisionado era igual a la presión atmosférica.
Colocó sobre el exterior del brazo más corto un papel graduado en pulgadas y fracción de pulgadas, haciendo coincidir el cero
con el extremo del tubo. El nivel del mercurio en la rama más corta señalaba entonces el 48.
P = 1 atmósfera
*)))))))))'
V = 48 u.
2. Añadió entonces mercurio por el orificio E (gráfico 2), y cuando el nivel de la rama más corta señalaba 24, la diferencia
de nivel entre las dos ramas era de 754 mm . Esta diferencia era, aproximadamente, la correspondiente a la presión
atmosférica en el lugar del experimento, presión que Boyle había estimado en 740 mm . Esto significa que la presión del aire
en la rama más corta era, aproximadamente, dos veces la presión atmosférica.
P = 2 atmósferas
*)))))))))'
V = 24 u.
3. Siguió Boyle añadiendo mercurio (gráfico 3), y cuando el volumen del aire comprimido en la rama más corta del tubo
marcaba la unidad 12, la diferencia entre las alturas de las dos ramas era de 2246 mm . Quiero esto decir que, en ese
momento, la presión que ejerce la masa de aire comprimido equivale a 2246 mm + 740 mm = 2986 mm . Esto equivale,
aproximadamente, a cuatro veces la presión atmosférica del lugar del experimento ( 740 mm ) .
P = 4 atmósferas
*)))))))))'
V = 12 u.
Así que, doblando la presión, el volumen del aire contenido en la rama cerrada se reduce a la mitad; y cuadruplicando la
presión, el volumen se reduce a su cuarta parte. Esto sugiere que a temperatura constante, la presión y el volumen
del aire varían en forma inversamente proporcional ( LEY DE BOYLE-MARIOTTE ) :
El volumen del aire está en función de la presión ejercida. Existe una función, que a cada valor de
la presión le hace corresponder un único valor del volumen : V = F(P) . La presión y el volumen
varían en forma inversamente proporcional:
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Matemática Aplicada a las CC.SS. II . Funciones
Funciones de proporcionalidad inversa. Hipérbolas
Asíntota horizontal
y=0
Asíntota vertical
x=0
Funciones de proporcionalidad inversa
Dominio
: ú-{0}
/
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Recorrido
: ú-{0}
/
Asíntota horizontal
:y=0
/
Asíntota vertical
:x=0
Matemática Aplicada a las CC.SS. II .Funciones
Trasladarla al punto :
Dominio
Recorrido
Continuidad
Simetrías
Periodicidad
Corte con los ejes
ATRAS
Creciente
Decreciente
Asíntota horizontal
Extremos
Cóncava
Asíntota vertical
Convexa
Inflexiones
Asíntota Oblicua
Ramas parabólicas
Periodicidad
Corte con los ejes
Trasladarla al punto :
Dominio
Recorrido
Continuidad
Simetrías
ATRAS
Creciente
Decreciente
Asíntota horizontal
Extremos
Cóncava
Asíntota vertical
Convexa
Inflexiones
Asíntota OblIcua
Ramas parabólicas
Periodicidad
Corte con los ejes
Trasladarla al punto :
Dominio
Recorrido
Continuidad
Simetrías
ATRAS
Creciente
Decreciente
Asíntota horizontal
I.E.S. Huarte de San Juan . Linares
Extremos
Asíntota vertical
Cóncava
Convexa
Inflexiones
Asíntota Oblicua
Ramas parabólicas
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Ejercicio 1
Trasladarla al punto :
|
Propiedades de la función
Dominio
Recorrido
Continuidad
Simetrías
Periodicidad
Corte con los ejes
ATRÁS
Creciente
Decreciente
Asíntota horizontal
Extremos
Cóncava
Asíntota vertical
Convexa
Inflexiones
Asíntota Oblicua
Ramas parabólicas
Periodicidad
Corte con los ejes
Ejercicio 2
Trasladarla al punto :
|
Propiedades de la función
Dominio
Recorrido
Continuidad
Simetrías
ATRÁS
Creciente
Decreciente
Asíntota horizontal
I.E.S. Huarte de San Juan . Linares
Extremos
Asíntota vertical
Cóncava
Convexa
Inflexiones
Asíntota Oblicua
Ramas parabólicas
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Funciones racionales
Ejercicio 1 . Esbozo de la gráfica y propiedades de la función
Trasladarla al punto :
P( -3 , -2 )
|
Propiedades de la función
Dominio
Recorrido
Continuidad
Simetrías
Periodicidad
Corte con los ejes
ATRAS
Creciente
Decreciente
Asíntota horizontal
Extremos
Cóncava
Asíntota vertical
Convexa
Inflexiones
Asíntota Oblicua
Ramas
parabólicas
Periodicidad
Corte con los ejes:
Ejercicio 2 . Esbozo de la gráfica y propiedades de la función
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Propiedades de la función
Dominio
Recorrido
Continuidad
Simetrías
ATRAS
Creciente
Decreciente
Asíntota horizontal
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Extremos
Asíntota vertical
Cóncava
Convexa
Inflexiones
Asíntota Oblicua
Ramas parabólicas
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Estudio y análisis de funciones racionales ( 1 )
Para estudiar el ritmo al que aprenden los animales, un grupo de científicos realizan un experimento en el que una rata es
enviada repetidamente a través de un laberinto. Así, encuentran que el tiempo, en minutos, requerido por la rata para
atravesar el laberinto está en función del número de veces que repite la prueba y viene dado por:
|
Elabora, rápidamente, un esquema de la gráfica de la función.
Primera hipérbola
La función sin contexto
La función en su contexto
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¿Cuánto tiempo se tomará la rata para recorrer el laberinto en la tercera prueba?
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¿En qué prueba hizo el recorrido, por primera vez, en cuatro minutos?
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A la vista de la gráfica, comenta con detalle los resultados obtenidos en el experimento.
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¿Podrá la rata atravesar el laberinto en menos de tres minutos?
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Estudio y análisis de funciones racionales ( 2 )
Durante un programa nacional para vacunar a la población contra una forma virulenta de la gripe, los funcionarios de salud
encontraron que el coste, en millones de euros, de inocular al x por ciento de la población viene dado, aproximadamente por:
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Transformación de la función.
|
Esquema de la gráfica de la función.
Primera hipérbola
La función sin contexto
La función en su contexto
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¿Cuál fue el coste que supuso vacunar al primer 50% de la población?
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¿Y el de vacunar a la segunda mitad de la población?
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¿Qué porcentaje de la población había sido inoculado en el momento en que se habían gastado 37,5 millones de euros?
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Observando la gráfica, comenta la evolución de los gastos en función del porcentaje de población vacunada.
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Estudio y análisis de funciones racionales ( 3 )
En una empresa agrícola, el balance quincenal, en miles de euros, está en función del precio al que se vende el litro
de aceite, en euros. La relación vienen dada por la función:
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¿Cuál fue el balance en la quincena en la que se vendió el litro de aceite a 0'6i?
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Esquema de la gráfica de la función.
Primera hipérbola
La función sin contexto
La función en su contexto
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¿A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios?
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Analiza, en función del precio de venta, la evolución de los balances quincenales que obtiene la empresa.
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¿Están limitadas las ganancias quincenales de esa empresa? ¿Y las pérdidas?
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Matemática Aplicadas a las CC.SS II . Funciones
Estudio y análisis de funciones racionales ( 4 )
En una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) en función de lo que cada empleada
ha vendido, en cientos de euros. El incentivo sigue la función:
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¿Cuáles el incentivo que recibirá un empleado que ha vendido productos por valor de 40.000 euros?
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Transformación del segundo tramo.
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Gráfica de la función que aparece en el segundo tramo.
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Esbozo de la gráfica de la función.
La recta
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0 # v # 100
La hipérbola
v > 100
Los dos tramos : gráfica de la función
Comenta el incentivo que la empresa ofrece a sus empleados en función de sus ventas.
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Matemática Aplicadas a las CC.SS II . Funciones