Fecha: Propósito: 11-02 Septiembre 9, 10, 16, 23, Octubre 2, 16, 29,... dependencia entre dos variables: dependiente e independiente.

Fecha: 11-01 Septiembre 10, 11, 18, Octubre 1, 2, 15, 29, 30, Noviembre 6, 12
11-02 Septiembre 9, 10, 16, 23, Octubre 2, 16, 29, 30, Noviembre 5, 12
Propósito: Entender el concepto de función como una relación de
dependencia entre dos variables: dependiente e independiente.
Estándar: Representación y descripción de fenómenos de variación y cambio
en sistemas algebraicos. Relaciones con sus correspondientes propiedades y
representaciones gráficas.
Competencia: Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones
algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales.
Tema: Funciones y gráficas
Indicadores de desempeño
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Analiza la gráfica de una función y determina intervalos de crecimiento y
decrecimiento
Reconoce los máximos y mínimos de una función a partir de su gráfica.
Establece relaciones entre expresiones algebraicas y sus gráficas.
Determina el dominio de funciones radicales y racionales.
Representa la gráfica de una función dando justificaciones analíticas.
Muestra interés por los temas de clase y participa activamente en las
mismas.
Realiza con interés las actividades propuestas en clase para apropiarse
de los temas y solucionar dudas.
Cumple con las tareas propuestas.
Momento para comprender
Discutir en pequeños grupos sobre cuál es el significado de las siguientes
expresiones
- la posición de un móvil es función del tiempo
- la presión atmosférica es función de la altura
- el peso medio de los chicos depende de la edad
Socializar las respuestas de los diferentes grupos y concluir que expresiones
semejantes ilustran lo que es una función en matemáticas. Las de arriba
significan que:
-
a cada tiempo le corresponde un espacio recorrido (a una velocidad
determinada)
a cada altura le corresponde un valor de presión atmosférica
a cada edad le corresponde un peso medio.
a cada ser humano le corresponde una fecha de nacimiento
Por medio de funciones se representa
infinidad de situaciones. En
administración de empresas se usan para cálculo de depreciaciones, costos,
ingresos, punto de equilibrio financiero, niveles máximos y mínimos de
producción, entre otras.
Momento para Aprender
Mediante tabla de valores, se trazan las gráficas de las siguientes funciones:
a. f(x) = x2
b. f(x) = x2 – 1
c. f(x) = (x – 1)2
¿Qué se puede afirmar al comparar las tres últimas graficas con la primera?
En la figura anterior se observan las gráficas de las funciones anteriores, la de
color negro corresponde a la del numeral a, la roja y la azul corresponde a las
de los numerales b, c respectivamente.
En general Si c pertenece a los reales y c>o
La gráfica de
hacia arriba
y = f(x) + c, es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades
La gráfica de y = f(x) – c, es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia
abajo.
La gráfica de y = f(x - c), es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia
la derecha
La gráfica de y = f( x + c), es la gráfica de y f(x) desplazada c unidades hacia la
izquierda.
La gráfica de y = cf(x), corresponde a la gráfica de f(x) que se estira
verticalmente
La gráfica de y = (1/c)f(x), corresponde a la gráfica de f(x) que se comprime
verticalmente
En la figura siguiente se observan las gráficas de f(x) = x3, f(x) = 2x3, en
amarillo y f(x) = x3/2, en rojo
De igual forma se puede analizar que ocurre a la gráfica de una función f(x)
comparada con la de f(cx). Si c es mayor que 1 la gráfica se comprime
horizontalmente y si c<1, la gráfica se f(x), alargada horizontalmente.
En la siguiente figura se presentan las gráficas de f(x) = senx, f(x)= sen 2x, en
color morado y f(x) = sen(x/2), en color azul
Gráfica de Funciones Polinómicas
Para las funciones polinomicas el dominio es el conjunto de los reales, para
elaborar un bosquejo de la gráfica se procede así:


Se determinan las intersecciones con los ejes coordenados, x=0 y f(x)=0
Se determina los cambios de signo de la función en los intervalos
determinados por las intersecciones con los ejes
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función f(x) = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x
Dominio los reales
Intersecto con el eje y f(0) = 0
Intersecto con el eje x, Factorizando se obtiene x(x – 1)(x – 2)(x- 3) = 0 La
gráfica corta el eje x en x=0 x=1 x=2 x=3
Se determinan los cambios de signo de f(x)
0
X
1 2 3
- + + + +
x-1
-
-
+ + +
x-2
-
-
-
+ +
x-3
-
-
-
-
+
+ -
+
+ -
Funciones Racionales
Una función f es racional si f(x) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
donde P(x) y Q(x) son polinomios y
Q(x)≠0
El dominio de f está formado por todos los números reales, exepto los que
hacen cero el polinomio del denominador.
Para trazar la gráfica de una función racional es importante tener en cuenta los
valores para los cuales la función no está definida
Si “a” es un cero del denominador, entonces, la gráfica de la función f tiene una
asíntota vertical en x = a
Si P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0 y Q(x) = bm xm + bm-1 xm-1 + … b1 x + b0,
es posible afirmar que:



Si n < m, entonces la función tiene una asíntota horizontal en el eje x
Si n = m, entonces la función tiene una asíntota horizontal en la recta y
= an / bm
Si n>m, entonces la función no tiene asíntota horizontal
Ejemplos
Trazar la gráfica de las siguientes funciones, hallar dominio y rango
f(x)=
𝑥+1
g(x) =
𝑥 2 +2𝑥−3
3𝑥 2 −2𝑥−1
2𝑥 2 −7𝑥+5
Solución
f(x) =
𝑥+1
𝑥 2 +2𝑥−3
=
𝑥+1
(𝑥−1)(𝑥+3)
La función f(x) = 0 si x = -1 y no está definida si x = 3 y x = 1
Dom f = R – {-3, 1}
Asíntotas verticales, son las rectas x = 3 y x = 1
Intercepto con el eje y, f(0) =
0+1
0+2(0)−3
=
−1
3
Como el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del
polinomio del denominador, el eje x es asíntota horizontal.
La gráfica de la función f(x) es la siguiente
Factorizando la función g(x) se tiene
3𝑥 2 −2𝑥−1
2𝑥 2 −7𝑥+5
=
(3𝑥+1)(𝑥−1)
(2𝑥−5)(𝑥−1)
El dominio de g(x) es Dom g = R – {1, 5/2}
Luego g(x) = 0 si x = -1/3, (x – 1) es un factor común del numerador y el
denominador, en x= 1 hay un agujero, la coordenada en y se obtiene
simplificando y reemplazando en la función g(1) =
Solamente hay una asíntota vertical en x = 5/2
Intercepto con el eje y, g(0) = -1/5
3(1)+1
2(1)−5
=
−4
3
Como el grado del polinomio del numerador y del polinomio del denominador
son iguales a 2, entonces, la función tiene una asíntota horizontal en la recta
y=3/2
Funciones Radicales
Son funciones de la forma f(x) = xm/n para n € N, n≥ 2
El dominio de la función radical depende del índice de la raíz, (valor de n)
Si n es par, la función no está definida en los valores de x para los cuales el
radicando es negativo.
Si el índice es impar, la función está definida para todos los números reales. Si
la función posee un polinomio en el denominador, se deben tener en cuenta los
principios de graficación vistos para las funciones racionales
Ejemplos
Trazar las gráficas de las siguientes funciones
a. f(x) = √
𝑥−1
2
3
b. h(x) =
√3𝑥−2
𝑥 2 −1
Solución
Como el índice de la raíz es par
𝑥−1
2
≥ 0, es decir x≥ 1
Dominio de f(x) = [1, ∞)
La gráfica no intercepta el eje y, ya que no está definida para x = 0
3
Factorizando la función h(x) =
√3𝑥−1
(𝑥−1)(𝑥+1)
La función no está definida si x= 1 o si x= -1
Dominio R – {-1, 1}
3
Corta el eje y en h(0) =
√3(0)−1
(0−1)(0+1)
=1
No alcanzamos a terminar los momentos de esta clase.
Septiembre 17 entrega de notas
Septiembre 24 11-02 colectivo docente
Septiembre 24,25, 11-02 retiros
OCTUBRE 1, 11-02 Autoevaluación Institucional
Octubre 14, 11-02 autoevaluación
Octubre 15, 11-02 autoevaluación
Octubre 20 11-02 emergencia sanitaria