FUNCIÓN RACIONAL

FUNCIÓN RACIONAL
HUECO DE LA FUNCIÓN RACIONAL
Ing. Caribay Godoy Rangel
HUECOS DE LA FUNCIÓN RACIONAL

Antes de proceder a conseguir las asíntotas es importante que observar
que el numerador y el denominador no tengan factores comunes. 𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)

Si tienen factores comunes, entonces tocará simplificarla dando así una
𝑝 (𝑥)
nueva función racional. 𝑔 𝑥 = 1
𝑝2 (𝑥)

En donde las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) tienen las mismas asíntotas y sus
gráficas difieren en el punto 𝑥 = ℎ correspondiente al factor común de los
polinomios.

El punto correspondiente se le llama hueco de la función 𝑓(𝑥), y tiene
coordenada 𝐻(ℎ, 𝑔(ℎ)).
El punto H no pertenece a 𝑓(𝑥) pero si pertenece a la función 𝑔(𝑥), se dice
entonces
Ing. Caribay
Godoy Rangel que en este punto 𝑓(𝑥) tiene una discontinuidad removible.


EJEMPLO: Determina las asíntotas verticales y horizontales, y traza la gráfica
de la función.
2𝑥 2 + 5𝑥 + 2
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 −𝑥−2
SOLUCIÓN:
Antes de tratar de igualar el denominador a cero, factoricemos tanto el
numerador como el denominador para determinar si la función tiene términos
comunes.
2𝑥 2 + 5𝑥 + 2 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 2)
𝑓 𝑥 = 2
=
𝑥 −𝑥−2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
𝑔 𝑥 =
2𝑥 + 1
𝑥−1
´La gráfica de la función 𝑔(𝑥) respecto a la de 𝑓(𝑥) solo diferirán en el Hueco:
Obtener el hueco de la función:
Del factor que tenían en común obtengo el valor de 𝑥 = −2
Evalúo este valor obtenido en la función 𝑔(𝑥) = −2
Ing. Caribay Godoy Rangel

EJEMPLO: Determina las asíntotas verticales y horizontales, y traza la gráfica
de la función.
2𝑥 2 + 5𝑥 + 2
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 −𝑥−2
SOLUCIÓN:
Observemos entonces que en la función g(x), la asíntota vertical es x=1, y la
horizontal es y=2.
2𝑥 + 1
𝑔 𝑥 =
𝑥−1
Ing. Caribay Godoy Rangel
PROPUESTO:

DETERMINE LAS ASÍNTOTAS VERTICALES, HORIZONTALES Y
GRAFÍQUE.
𝑥−1
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 + 5𝑥 + 6
Ing. Caribay Godoy Rangel
EN RESUMEN:
¿QUÉ DEBO TOMAR EN CUENTA CUANDO
TENGO UNA FUNCIÓN RACIONAL?

Debemos intentar factorizar numerador y denominador y ve si tienen factores en
común, si es así tendremos la función g(x), y un hueco en H(h, g(h)).

La asíntota vertical la obtengo al igualar el denominador a cero.

La asíntota vertical depende del grado del polinomio del numerador y
denominador:
1.
Si 𝑛 < 𝑚, la recta y=0 es la asíntota horizontal.
2.
Si 𝑛 = 𝑚, divido los coeficientes de los términos lineales, y el número que obtengo
es la asíntota horizontal.
3.
Si 𝑛 > 𝑚, no tiene asíntotas horizontales.

Si el grado del numerador es mayor en 1 unidad al del denominador, tendremos
una asíntota oblícua.

El dominio está formado por todos los números reales excepto los que anulen el
denominador (asíntota vertical).
El rango está formado por todos los números reales excepto por el valor de la
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Godoy Rangel
asíntota
horizontal.
