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C A P ÍTULOIX
N Ú MEROS COMPLEJOS
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Conocimientos Previos
Suponemos conocido que:
a) El
conjunto de números complejos está en correspondencia
biunívoca con el conjunto de los puntos de un plano.
b) Un número complejo expresado en forma binomial o rectangular es:
N = a + bi = bi + a = ib + a = a + ib = (a, b)
a
siendo
a
y
b
dos números reales, e
i
un símbolo llamado unidad imaginaria.
es la parte real, bi la parte imaginaria.
c ) a rep resenta la abscisa y b la ordenada del punto P del plano que
corresponde al número complejo N.
d) La posición de un punto en el plano puede representarse en forma
polar r θ
FIG. IX -1
donde
r
es el m ódulo (distancia al origen) y θ el argumento (ángulo x r) .
e) La correspondencia entre puntos del plano y coordenadas polares
de los mismos ya no es biunívoca para -
∞
θ
π (θ
<
<
∞
puesto que si r
θ
corresponde a un punto P, también r θ + 2K
en radianes) o r θ + K x 360º
(θ en grados) representa el mismo punto (si K es entero).
A las diferentes coord enadas polares que representan un mismo punto las
llamaremos equivalentes.
f ) Dos números complejos son iguales si representan el mismo punto
del plano:
N1 = a + bi
N2 = a' + b'i
N1 = N 2
a = a'. ; b = b'
g ) Llamaremos
a
consideramos igual a
exige que:
r
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θ
a + bi
número
complejo
cos θ
b = r sen θ ; a + bi = r (cos
a +b
2
2
;
θ
forma polar.
Lo
cuando representan el mismo punto, lo que
a=r
o también r =
en
= arc sen
θ
b
a 2 + b2
+ i sen
;
θ
θ
)
= arc tg
b
a
h) Dos números complejos son conjugados cuando tienen partes reales
iguales y partes imaginarias opuestas:
a + bi , a - bi
i) La suma y resta de números complejos en forma binomial se efectúa
como si fueran expresiones algebraicas corrientes en que
i
fuera una
variable:
(a + bi) +c + d i = a + c + (b + d)i
j) La multiplicación de números complejos en forma binomial se efectúa
de acuerdo a las reglas usuales del álgebra, consideran a
variable, y substituyendo
i2
i
como una
por - 1:
(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 =
= ac – bd + (ad + bc) i
Corolario: el producto de 2 complejos conjugados sólo tiene parte real:
(a + bi) (a - b i ) = a 2 - b2i 2 = a 2 + b 2
Corolario: al multiplicar 2 números complejos se obtiene otro número
complejo ( q u e puede carecer de parte imaginaria o de pa rte real)
k ) La división de números complejos es una operación inversa de la
multiplicación; por tanto el cociente multiplicado por el di visor es igual al
dividendo:
a + bi
= x + yi
c + di
(c + di) (x + yi) = a + bi
lo que permite obtener los valores de
c x + cyi + dxi - dy = a + bi
cx −

cy +
dy = a 

dx = b 
⇒
ac + bd
c2 + d 2
bc − ad
y= 2
c +d2
x=
x
e =y
=
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resultado al que también se llega multiplicando numerador y denomi nador por
conjugado del denominador:
a + bi (a + bi)(c − di) ac + bd + (bc − ad )i
=
=
c + di (c + di)(c − di)
c2 + d 2
1) Además de representar un número complejo por un punto P del plano,
puede representarse también por el vector OP, que une el origen con P. Por
ello puede hablarse también del vector de un complejo.
Propiedades de las Operaciones con Complejos
Teorema IX -1: La suma de dos o más complejos tiene un vector que es
la suma vectorial de los vectores de los sumandos.
Dem.: Sean dos complejos N1 = a + bi;
N2 = c + di
La suma vectorial, trasladando paralelamente el vector de N 2 de forma
que su origen coincida con el extremo de N1, nos da el vector S cuyo
complejo es
(a + c) + (b + d)i o sea la suma de los comple jos.
La demostración se extiende a 3 ó más complejos (lo dejamos a cargo del
lector).
Corolario: La diferencia de complejos tiene un vector que es la diferencia
vectorial
de
los
vectores
de
minuendo
y
substraendo,
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o bien la suma vectorial del vector del minuendo con el opuesto del vector
del substraendo.
Teorema IX -2: El producto de dos o más complejos tiene como módulo el
producto de los módulos de los factores; y como argumen to, la suma de
argumentos de los factores (o un valor equivalente).
Dem.: Supongamos 2 factores:
N 1 = a + bi = r1 (cos
θ1
N 2 = c + di = r2 ( c o s
N 1N 2 = r1r2 [cos θ1
θ1 )
isen θ2 )
+ isen
θ2
+
cos θ2 - sen θ1
= r1r2 [cos (θ
1
+
θ
2)
senθ2 + i(senθ1 cos
+ isen (θ
1
+
θ
2 ) = r1 r2
θ2
+ cos θ1
θ1
+
sen θ2)]
θ2
La demostración se extiende fácilmente a tres o más factores.
Corolario: El cociente de dos complejos tiene como módulo el cociente de
los módulos y como argumento la diferencia de argumentos de dividendo y
divisor.
Teorema IX -3: La potencia n- sima de un complejo (n real) es otro
complejo, cuyo módulo es la potencia enésima del módulo de la base, y cuyo
argumento es n veces el argumento de la base (u otro equivalente).
Dem.: Si n es natural, en virtud del teorema anterior:
(a + bi)n = (a + bi) (a + bi)...(a + bi) = rn
nθ
Admitiremos, sin demostración, que el teorema se cumple para cualquier
valor real de n.
Corolario:
Porque
n
n
a + bi = n r nθ
a + bi = (a + bi)1 / n
Teorema IX - 4: Si n es un número natural, hay n raíces enésimas diferentes
de un número complejo.
Dem.: a + bi = r
n
θ
(a + bi) = r θ / n
pero en lugar de
θ
puede haber cualquier valor equivalente
siendo K entero. El argumento de la raíz es:
θ=
θ + 2 Kπ θ
K
= + 2π
n
n
n
(en radianes; en grados:
θ
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+ 2K π
θ
K
+ 360 º )
n
n
el segundo sumando puede tomar los valores diferentes no equivalen tes
o
2π
1
n
siguiente
2π
2π
n
n
2
n
…
2π
n −1
n
o sea n valores. El valor
ya es equivalente a 0. Todos los demás valores posibles son
equivalentes a alguno de los expuestos.
Ejemplo: raíces cuartas de -1
180º
4
raíz 1 = 1
- 1 = - 1 + Oi = 1
módulo de la
Argume ntos de la raíz
180
= 45º
4
180 + 360
= 45 º +90 º = 135 º
2º)
4
180 + 2 x360
3º)
= 45º +2 x90 º = 225º
4
180 + 3x360
4º)
= 45º +3x90º = 315 º
4
2
2 i
+
Raíz 1ª
1 45º =
2
2
2
2
i
Raíz 2ª
1 135 º = +
2
2
− 2
2
Raíz 3 ª
1 225º =
−
i
2
2
2
2i
Raíz 4ª
1 315º =
−
2
2
1º)
Teorema IX - 5: Las n raíces enésimas del número real a (consi derado
como complejo a + Oi ), se pueden obtener multiplicando la raíz enés ima real
del valor absoluto de a, por cada una de las raíces enésimas de ± 1 (+ ó
menos según el signo de a).
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Dem.: Sea a posit ivo ; r
=n a
en el campo real
n
a
=
r n 1 lo que dará n raíces
enésimas diferentes.
Si a es negativo, la demostración es análoga.
Teorema IX - 6: (Fórmula de Moivre):
(cos x + i sen x) m = cos m x + i sen mx
Dem.: el argumento de la base es x, el módulo es 1. La poten cia tiene (teor. IX -3)
módulo 1m = 1 y argumento mx, por tanto en forma binomial es el 2º miembro de la
igualdad.
Relación entre Función Exponencial y Funciones Trigonométricas
Teorema IX -7: (fórmula de Euler):
Xi
exi = cos x + i sen x
Admitiremos esta fórmula sin demostración. Puede comprobarse usando los
desarrollos en serie de: exi ; senx y cos x.
Corolarios:
a) Si K es natural e 2 πKi = 1
b) e (2K + 1) π
i
-1
Ampliación de la definición de Logaritmo
Como a + bi = r (cos x + i sen x) = rexi = e 1nr + xi y por otra parte N = e 1nN, podemos
definir que
1n (a + bi) = 1nr + xi
siendo r el módulo y x el argumento del complejo a + bi.
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Complejo elevado a complejo
Estamos en condiciones de elevar un número complejo a + bi = r
x
a
un exponente complejo; obtenemos como resultado una potencia que es
también un número complejo:
(a + bi) c + di = (e1 nr + x i )(c + di) = e (1 nr + xi) (c + di)
= em + ni = M + Ni
Ejercicios propuestos
1. Hallar las raíces sextas de 6 4 y de - 6 4 .
(R: de 6 4 :
de - 6 4 :
±
2; 1
± 2i;
± 3i ; -1 ± 3i ;
3 ± i ; - 3 ± i)
2. Haga los diagramas polares de las soluciones anteriores.
3. H allar todas las raíces de la ecuación x 4 - 4 x 2 + 1 6 = 0 y
representarlas en el plano complejo.