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Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
LÍMITE EN UN PUNTO
LÍMITES LATERALES
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
CÁLCULO DE LÍMITES
LÍMITES AL INFINITO
LÍMITES INFINITOS
OTROS LÍMITES
OBJETIVOS:
•
•
•
•
Definir Límites.
Realizar demostraciones formales de límites.
Describir gráficamente los límites.
Calcular límites.
1
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este
tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante
que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral
Definida, están basados en límites.
Conceptualizar límites determinando el comportamiento de una función e
interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.
1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto
singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra
intención y el estudio de los límites va a permitir esto.
Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple
inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.
Ejemplo 1
Veamos como se comporta la función
la cercanía de x = 2 .
f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en
Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :
x
1.90
y = 2x + 1
4.80
1.95
1.99
"
2.01
2.05
2.10
4.90
4.98
"
5.02
5.10
5.20
En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x
aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5.
Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función
se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo
escribiremos de la siguiente forma:
lím (2 x + 1) = 5
x→2
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 1.1:
Fig. 1.1
2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia
f ( x) =
x 2 + 5x − 6
, en la cercanía de x = 1 .
x −1
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:
x
0.90
0.95
0.99
"
1.01
1.05
1.10
y=
x2 + 5x − 6
x −1
6.90
6.95
6.99
"
7.01
7.05
7.10
Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x
x 2 + 5x − 6
=7.
x →1
x −1
se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
Por
otro
lado,
la
regla
de
correspondencia
f ( x) =
x 2 + 5x − 6
x −1
es
equivalente
a
f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?).
Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:
Fig. 1.2
De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía,
podemos emitir la siguiente definición:
3
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Una función f tiene límite L en un punto
x0 , si f se aproxima a tomar el valor L
cada vez que su variable x se aproxima a
tomar el valor x0 . Esto se denota como:
lím f ( x) = L
x→ x0
Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se
puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo;
es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características
de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.
1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que
x →2
x + 5x − 6
= 7.
x −1
2
lím
x →1
Para
esto,
debemos
garantizar
formalmente
el
acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su
variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores
no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se
cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá
en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo
cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo
para estos dos ejemplos, sino para cualquier función.
Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente:
PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que
punto
x0
x
toma valores próximos a un
(que x está en torno a x0 ), bastará con considerarla perteneciente a
un intervalo o vecindad, centrado en
cual denotaremos con la letra griega
x0 ,
de semiamplitud muy pequeña, la
∂ (delta). Es decir:
x0 − ∂ < x < x 0 + ∂
Transformando la expresión anterior tenemos:
x0 − ∂ <
x < x0 + ∂
x0 − ∂ − x0 < x − x0 < x0 + ∂ − x0
− δ < x − x0 < δ
x − x0 < δ
4
Restando " x0 "
Empleando la definición
de valor absoluto
Cap. 1 Límites de Funciones
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Y, para que
x
no sea
x0 , bastará con proponer que 0 < x − x0 < ∂
¿POR
QUÉ?.
SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos
expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de
semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε
(épsilon). Es decir:
L − ε < f ( x) < L + ε
Transformando la expresión anterior tenemos:
L − ε < f ( x) < L + ε
− ε < f ( x ) − L < +ε
Restando " L "
f ( x) − L < ε
Aplicando la definición de valor absoluto
Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un
punto, de la siguiente manera:
Sea f una función de variable real y sean ε y ∂
cantidades positivas muy pequeñas.
Suponga que f se aproxima a L cuando x se
aproxima a x0 , denotado como lím f ( x) = L , esto
x→ x0
significa que para toda proximidad que se desee
estar con f en torno a L , deberá poderse
definir un intervalo en torno a x0 en el cual
tomar x , sin que necesariamente x = x0 , que nos
garantice el acercamiento.
Es decir:
( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − x
x → x0
0
< δ ⇒ f ( x) − L < ε
La definición indica que para asegurar que una función tiene límite
deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε .
Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:
5
Cap. 1 Límites de Funciones
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Fig. 1.3
Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales.
Ejemplo 1
Demostrar formalmente que lím (2 x + 1) = 5 .
x →2
SOLUCIÓN:
Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se
trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando tomemos a la x como cualquier número
cercano a 2 el valor de y correspondiente es un número cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2
la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en
2 x + 1 con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos
fijemos.
Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con y = 2 x + 1 , tanto como nos propusiéramos estar
(para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual
tomar x que garantice aquello, es decir:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 2 < δ
⇒
(2 x + 1) − 5 < ε
En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente.
Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir:
(0 <
x−2 <δ
) ⇒ 0 < 2 x − 2 < 2δ
⇒ 0 < 2 x − 2 < 2δ
⇒ 0 < 2 ( x − 2 ) < 2δ
⇒ 0 < 2 x − 4 < 2δ
⇒ 0 < 2 x − 4 + 5 − 5 < 2δ
⇒ 0 < ( 2 x + 1) − 5 < 2δ
Ahora, podemos decir que δ =
ε
2
Multiplicamos por 2 (porque en el
consecuente aparece 2x )
Propiedades del valor absoluto
Sumamos y restamos 5 (debido a que
aparece -5 en el consecuente)
Agrupamos
sirve (puede ser un valor menor); es decir, que si tomamos
2 − ε2 < x < 2 + ε2 nos permite asegurar lo propuesto.
Suponga que ε = 0.1 ; es decir, si quisiéramos que y = 2 x + 1 esté a menos de 0.1 de 5, será posible si
0.1
tomamos a la que x , en torno a 2 a una distancia no mayor de δ =
= 0.05 . Es decir para que f
2
esté entre 4.9 y 5.1 bastará con tomar a la x un número entre 1.95 y 2.05.
6
Cap. 1 Límites de Funciones
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No olvide que proponer una relación entre ε y ∂ , garantiza que f estará tan cerca de L , como se
0.01
= 0.005
quiera estar. Veamos, más cerca ε = 0.01 , bastará con tomar a la x a no menos de δ =
2
de 2. Es decir que si tomamos 1.995 < x < 2.005 garantiza que 4.99 < f ( x) < 5.01 .
Ejemplo 2
Demostrar formalmente que lím
x →1
x2 + 5x − 6
=7.
x −1
SOLUCIÓN:
Debemos asegurar que y =
x2 + 5x − 6
se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la x esté
x −1
x2 + 5x − 6
, tanto como nos
x −1
propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo
(existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:
próxima de 1. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 7 con y =
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 1 < δ
Ahora transformamos el antecedente:
(0 <
⇒ 0 < ( x + 6) − 7 < δ
⇒
x −1
x 2 + 5x − 6
−7 <ε
x −1
Sumamos y restamos 7 (debido a que
aparece -7 en el consecuente)
x −1 < δ ) ⇒ 0 < x −1+ 7 − 7 < δ
( x + 6 )( x − 1) − 7
⇒
Agrupamos ( x + 6 ) y la
dividimos y multiplicamos por ( x − 1)
<∂
(debido a que el primer término del consecuente
aparece dividido por ( x − 1) )
x2 + 5x − 6
⇒
−7 <∂
x −1
Con δ = ε , aseguramos lo propuesto; es decir, tomando 1 − ε < x < 1 + ε .
Ejemplo 3
Demostrar formalmente que lím x 2 = 4 .
x→2
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que
0< x−2 <δ
Entonces:
(0 <
x−2 <δ)⇒0< x−2 x+2 <δ x+2
⇒ 0 < ( x − 2 )( x + 2 ) < δ x + 2
⇒ 0 < x2 − 4 < δ x + 2
⇒
x2 − 4 < ε
Multiplicamos por x + 2 (debido a que
el consecuente tiene una diferencia de
cuadrados perfectos)
Aplicamos la propiedad del producto
del valor absoluto
Ahora acotemos x + 2 . Exijamonos ∂ ≤ 1 , esto quiere decir que la x estaría a una distancia no mayor
de 1, en torno a 2, es decir 1 ≤ x ≤ 3 , lo cual implica que:
2≤ x+2≤5⇒ x+2 ≤5
El último resultado implica que:
∂ x + 2 ≤ 5∂
7
Cap. 1 Límites de Funciones
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Continuando con la demostración:
x 2 − 4 < δ x + 2 ≤ 5∂ ⇒ x 2 − 4 < 5∂
Por tanto, δ =
ε
5
sirve; es decir, al considerar 2 −
ε
5
< x<2+
ε
aseguramos lo que se quiere
5
⎧ ε⎫
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min ⎨1 , ⎬ (el menor entre
⎩ 5⎭
1y
ε
5
).
Ejemplo 4
Demostrar formalmente que lím x 2 = 9 .
x →−3
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que
0< x+3 <δ
⇒
x2 − 9 < ε
Por lo tanto:
(0 <
Multiplicamos por x − 3 (debido a que el consecuente
x+3 <δ)⇒ 0< x+3 x−3 <δ x−3
tiene una diferencia de cuadrados perfectos)
⇒ 0 < ( x + 3)( x − 3) < δ x − 3
Aplicamos la propiedad del producto
del valor absoluto
⇒ 0 < x2 − 9 < δ x − 3
Acotamos x − 3 . Si nos proponemos un ∂ ≤ 1 , entonces −4 ≤ x ≤ −2 , lo cual implica que:
−4 − 3 ≤ x − 3 ≤ −2 − 3 ⇒ − 7 ≤ x − 3 ≤ −5
⇒
x −3 ≤ 7
⇒ ∂ x − 3 ≤ 7∂
Entonces:
x 2 − 9 < δ x − 3 ≤ 7∂ ⇒ x 2 − 9 < 7∂
Por tanto, δ =
ε
7
sirve; es decir tomar −3 −
ε
7
< x < −3 +
ε
7
asegura lo que se quiere demostrar,
⎧ ε⎫
siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min ⎨1 , ⎬ .
⎩ 7⎭
Ejemplo 5
Demostrar formalmente que lím x = 2 .
x →4
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que
0< x−4 <δ
⇒
x −2 <ε
entonces:
(0 <
⇒0<
⇒0<
8
(
x−4 <δ)⇒ 0<
(
x −2
x −2
)(
)
x −2 <δ
)
x +2 <δ
x +2 <δ
1
x +2
Factorizamos x − 4 para
diferencia de cuadrados
Aplicamos la propiedad del producto
del valor absoluto
Despejamos
Cap. 1 Límites de Funciones
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Acotamos
1
x +2
. Igual a los casos anteriores, consideramos ∂ ≤ 1 ; es decir debemos tomar a x a
una distancia no mayor de 1 entorno a 4, entonces 3 ≤ x ≤ 5 , esto implica que:
3≤ x≤ 5 ⇒
3+2≤
1
≥
3+2
1
≤
x +2
⇒
⇒
∂
⇒
x +2≤ 5+2
1
1
≥
5+2
x +2
1
3+2
≤
∂
3+2
x −2 <
∂
3+2
x +2
Entonces:
1
x −2 <δ
(
x +2
∂
⇒
3+2
≤
)
(
)
(
)
Por lo tanto, δ = ε 3 + 2 ; es decir, si tomamos 4 − ε 3 + 2 < x < 4 + ε 3 + 2 aseguramos lo
que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir
{ (
δ = min 1 , ε
3+2
)}
Ejemplo 6
Demostrar formalmente que lím 3 x = 3 .
x → 27
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < x − 27 < δ
⇒
Entonces:
(0 <
x − 27 < δ
)⇒0< (
3
⇒0<
(
3
⇒0<
(
3
) ( x)
x − 3 27 ⎛⎜
⎝
3
) ( x)
⎛
⎜
⎝
x −3
x −3 <
)
3
2
2
+ 3 x 3 27 +
+ 3 x + 9 ⎞⎟ < δ
⎠
3
δ
⎛
⎜
⎝
( x)
3
(
2
+ 3 x + 9 ⎞⎟
⎠
3
)
2
27 ⎞⎟ < δ
⎠
3
x −3 < ε
Factorizamos ( x − 27 )
para diferencia de cubos
Propiedad del valor absoluto
Despejamos
3
1
. Si tomamos a x a una distancia no mayor de 1 ( ∂ ≤ 1) ,
+ 3 3 x + 9 ⎞⎟
⎠
Primero sacamos raíz cúbica,
en torno a 27, entonces 26 ≤ x ≤ 28 , esto implica que:
Ahora bien, acotamos
⎛
⎜
⎝
( x)
3
2
luego multiplicamos por 3 y
finalmente sumamos 9
9
Cap. 1 Límites de Funciones
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⎧3 3 26 + 9 ≤ 3 3 x + 9 ≤ 3 3 28 + 9
⎪
26 ≤ x ≤ 28 ⇒ ⎨
2
2
2
3
3
3
⎪⎩ 26 ≤ x ≤ 28
(
⇒
) ( ) ( )
( 26 ) + 3 26 + 9 ≤ ( x ) + 3
⇒
⇒
2
3
(
3
26
)
1
2
( x)
2
( x)
2
≥
+ 3 3 26 + 9
≤
≤
+3 x +9
3
( )
3
+ 33 x + 9
∂
3
2
3
1
3
⇒
3
3
26
)
(
3
26
)
x +9≤
1
2
x
(
3
Por otro lado sacamos raíz
cúbica y elevamos al cuadrado
+ 33 x + 9
(
≥
3
28
(
3
(
3
)
2
28
)
26
)
+ 3 3 28 + 9
1
2
+ 3 3 28 + 9
1
2
+ 3 3 26 + 9
2
+ 3 3 26 + 9
∂
Entonces:
(
3
)
x −3 <
δ
⎛
⎜
⎝
( x)
3
Por lo tanto, δ = ε ⎛⎜
⎝
27 − ε ⎛⎜
⎝
(
3
26
)
2
+ 3 x + 9 ⎞⎟
⎠
2
(
≤
3
3
26
)
∂
(
3
26
)
2
+ 3 26 + 9
⇒
3
(
3
)
x −3 <
∂
2
+ 3 3 26 + 9
+ 3 3 26 + 9 ⎞⎟ ; es decir, si tomamos
⎠
2
+ 3 3 26 + 9 ⎞⎟ < x < 27 + ε ⎛⎜
⎠
⎝
(
3
26
)
2
+ 3 3 26 + 9 ⎞⎟ aseguramos lo propuesto siempre y
⎠
{
cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min 1 , ⎛⎜
⎝
(
3
26
)
2
+ 3 3 26 + 9 ⎞⎟ ε
⎠
}
Ejemplo 7
Demostrar formalmente que lím x − 1 = 1 .
x →1
x −1
2
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < x −1 < δ
x −1 1
− <ε
x −1 2
⇒
La expresión algebraica del consecuente tiene una apariencia un tanto compleja, por tanto en este caso es
mejor empezar analizando el consecuente, para tener referencia de los pasos a seguir para luego
transformar el antecedente.
x −1 1
− <ε
x −1 2
(
(
x −1
(
x +1
1
2−
2
(
(
)
x −1
)(
)
−
)
x +1
10
(
)
x +1
1
<ε
2
Factorizamos el denominador
( x − 1) para diferencia de cuadrados
1
<ε
2
Simplificamos
) <ε
Restamos
x +1
2 − x −1
2
)
x +1
−
<ε
(
)
x −1
Propiedad distributiva
Cap. 1 Límites de Funciones
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1− x
<ε
( x + 1)
(1 − x )(1 + x ) < ε
2 ( x + 1)(1 + x )
Resolvemos la resta del 2 con el 1
2
2
(
1− x
)
x +1
<ε
2
1− x
2
(
)
x +1
(
Multiplicamos y dividimos por 1 + x
Producto notable
Aplicamos la propiedad del cociente
del valor absoluto
<ε
2
)
(
)
2
Despejamos
1 − x < ε ⎡2 x + 1 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final:
(0 <
x −1 < δ ) ⇒ 0 < 1− x < δ
(
Propiedad del valor absoluto
)(
)
⇒ 0 < 1− x 1+ x < δ
δ
⇒ 0 < 1− x <
⇒0<
⇒0<
⇒0<
⇒0<
⇒0<
⇒0<
(
)
1− x
(
2 1+ x
<
2 1+ x
2−
(
(
)
(
2 1+
1
(
2 1+ x 1+ x
<
)
δ
(
2 1+ x
δ
(
2 1+ x
)<
x +1
2 1+ x
2
δ
<
2 − x −1
(
Despejamos
1+ x
1− x
2 1+ x
Factorizamos para diferencia de
cuadrados
)
(
)
Dividimos todos los términos
entre 2 (1 + x )
)
2
)
Transformamos el 1 en (2 – 1)
2
δ
2 1+ x
)
Agrupamos
2
( x + 1) < δ
x ) 2 (1 + x ) 2 (1 + x )
−
−
1
<
δ
(1 + x ) 2 2 (1 + x )
( x − 1) − 1 < δ
⇒0<
(1 + x )( x − 1) 2 2 (1 + x )
( x − 1) − 1 < δ
⇒0<
2 2 1+ x
x −1
( )
Separamos en dos términos
2
Simplificamos
2
2
Multiplicamos por la
conjugada el primer término
2
Acotamos
(
1
2 1+ x
)
2
. Ahora bien, si tomamos a
x a una distancia no mayor de 1, entorno a 1,
entonces 0 ≤ x ≤ 2 , esto implica que:
11
Cap. 1 Límites de Funciones
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0 ≤ x ≤ 2 ⇒ 1≤ x +1≤ 2 +1
) ( 2 + 1)
2 ≤ 2 ( x + 1) ≤ 2 ( 2 + 1)
⇒ 1≤
(
2
2
x +1 ≤
2
⇒
1
≥
2 2
⇒
⇒
1
(
1
2
(
x +1
2
(
x +1
⇒
)
∂
)
x +1
)
2
≤
1
2
2
≤
∂
2
2
≥
2
1
(
2
)
2 +1
2
Entonces:
(
x −1
Por lo tanto,
)−1 <
x −1
δ = 2ε
2
(
δ
2 1+ x
)
2
≤
sirve; es decir, si tomamos
∂
⇒
2
(
)−1 <∂
x −1
x −1
2
2
1 − 2ε < x < 1 + 2ε
aseguramos lo propuesto, siempre y
cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min {1 , 2ε }
Ejemplo 8
Demostrar formalmente que lím x − 4 = 4 .
x →4
x −2
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 4 < δ
⇒
x−4
−4 <ε
x −2
Igual que en el ejemplo anterior primero vamos a analizar el consecuente:
(
x−4
−4 <ε
x −2
x −2
)(
x +2
x −2
(
) −4 <ε
)
(
x −2
(
x +2
x +2
)
x +2
)
<ε
<ε
x−4 <ε
(
x −2
)
Restamos
x +2
x−4
x−4
)(
para diferencia de cuadrados
Simplificamos
x +2 −4 <ε
x −2 <ε
(
Factorizamos el numerador ( x − 4 )
) <ε
Multiplicamos y dividimos por
(
x +2
)
Realizamos el Producto Notable
Aplicamos la propiedad del cociente del
valor absoluto
x +2
Despejamos
Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final:
12
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
(0 <
⇒0<
(
)(
x+2
x +2
)
x −2+4−4 <
x +2 −4 <
(
x +2
(
)(
x −2
)
x +2
)
Factorizamos ( x − 4 ) para diferencia de
cuadrados
Simplificamos
(
x+2
)
δ
Sumamos y restamos 4
x +2
x +2
x −2
x −2
(
δ
)
x−4
δ
x+2
x +2
(
(
)<
δ
⇒0<
⇒0<
1
x −2
x −2 <
⇒0<
x +2
(
Dividimos todos los términos entre
x +2
⇒0<
⇒0<
Acotamos
δ
x−4
<
x +2
x−4 <δ)⇒ 0<
)
−4 <
)−4 <
Agrupamos
δ
Multiplicamos y dividimos
x +2
(
x −2
)
δ
Realizamos el Producto Notable
x +2
. Si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4, entonces 3 ≤ x ≤ 5 ,
esto implica que:
3≤ x≤ 5 ⇒
⇒
⇒
⇒
3+2≤
1
≥
3+2
1
≤
x +2
∂
x +2
≤
x +2≤ 5+2
1
1
≥
x +2
5+2
1
3+2
∂
3+2
Entonces:
(
x−4
x −2
Por lo tanto, δ = ε
(
)
−4 <
3+2
)
δ
x +2
≤
∂
⇒
3+2
(
x−4
x −2
sirve; es decir, si tomamos 4 − ε
)
(
∂
3+2
−4 <
)
3 +2 < x < 4+ε
(
3+2
)
aseguramos lo que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir
{ (
δ = min 1, ε
3+2
)}
13
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 9
Demostrar formalmente que lím
x→ 2
1 1
= .
x 2
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que
0< x−2 <δ
⇒
1 1
− <ε
x 2
Analicemos el consecuente:
2− x
x−2
1 1
2− x
− =
=
=
x 2
2x
2x
2x
Ahora trabajando con el antecedente:
(0 <
Acotamos
x−2 <δ)⇒0<
x−2
2x
<
δ
Dividimos para 2 x
2x
⇒0<
δ
1 1
− <
2 x
2x
⇒0<
δ
1 1
− <
x 2
2x
1
. Considerando ∂ ≤ 1 ; tenemos 1 ≤ x ≤ 3 , esto implica que:
2x
2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒
⇒
⇒
1 1 1
≥
≥
2 2x 6
1
1
≤
2x 2
∂
∂
≤
2x 2
Entonces:
1 1
δ
∂
− <
≤
⇒
2x 2
x 2
1 1 ∂
− <
x 2 2
Por lo tanto, δ = 2ε sirve; es decir, si tomamos 2 − 2ε < x < 2 + 2ε aseguramos lo que se quiere
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤ 1 , es decir δ = min {1 , 2ε }
Veamos ahora como proceder si en el ejemplo anterior tenemos a x cerca
de 0 .
Ejemplo 10
Demostrar formalmente que lím
x →1
1
=1.
x
SOLUCION:
Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que
Analicemos el consecuente:
14
0 < x −1 < δ
⇒
1
−1 < ε
x
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
x −1
1
1− x 1− x
−1 =
=
=
x
x
x
x
Ahora trabajando con el antecedente:
(0 <
x −1 < δ ) ⇒ 0 <
x −1
x
⇒ 0 < 1−
⇒0<
Acotamos
<
δ
Dividimos para x
x
1 δ
<
x
x
δ
1
−1 <
x
x
1
. Aquí si tomamos ∂ ≤ 1 tenemos problemas porque 0 ≤ x ≤ 2 y x no puede ser 0;
x
elijamos mejor ∂ ≤
1
1
3
(puede ser otro valor), ahora ≤ x ≤ , lo cual implica que:
2
2
2
2≥
1 2
≥
⇒
x 3
1
≤2 ⇒
x
∂
≤ 2∂
x
Entonces:
1
δ
− 1 < ≤ 2∂ ⇒
x
x
Por lo tanto, δ =
ε
2
sirve; es decir, si tomamos 1 −
1
− 1 < 2∂
x
ε
2
demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que ∂ ≤
< x < 1+
ε
2
aseguramos lo que se quiere
1
⎧1 ε ⎫
, es decir δ = min ⎨ , ⎬
2
⎩2 2⎭
Podría no ser tan sencillo encontrar un ∂ en función de ε , eso no significa
que el límite no existe, todo depende de la regla de correspondencia de la
función.
Ejercicios Propuestos 1.1
1.
Demostrar formalmente utilizando la definición de límite:
a)
b)
x2 − 9
=6
x →3 x − 3
lím ( 2 x − 5 ) = −1
e)
lím
f)
d)
lím
x →−6
lím
x −1
x −1
=2
x + 5x − 6
= −7
x+6
g)
lím 3 x = 2
2 x + 3x − 2 x − 3
h)
lím 3 x = 3 a
3
x →1
lím
x →1
x→2
2
c)
lím 2 x = 2
x→2
2
x2 −1
=5
x →8
x →a
15
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
2.
Determine un número “ ∂ ” para el valor de “ ε ” dado, tal que se establezca el límite de la función:
a)
b)
3.
lím
1
x→
3
lím
x→a
9x2 − 1
= 2 , ε = 0.01
3x − 1
x4 − a4
= 2a 2
x2 − a2
c)
lím
x →0
x
x +1 −1
= 2, ε = 0.08
, ε = 10−8
Sea f : ℜ + → ℜ tal que f ( x ) =
x encuentre un valor de “ ∂ ” para que 2.99 < f ( x) < 3.01
siempre que 0 < x − 9 < ∂
4.
Sea f ( x) = 3 x . Empleando la definición de límite, establezca un intervalo en el cual tomar " x " para
que f (x) esté a menos de 0.1 de 1
1.1.3 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE.
Sea f una función de una variable real.
Si f tiene límite en x = x0 , entonces este
es único. Es decir, si lím
f ( x) = L y
x→ x
0
lím
f ( x) = M entonces L = M .
x→ x
0
Demostración:
Por CONTRADICCIÓN. Supongamos que efectivamente f tiene dos límites L y M , entonces tenemos dos
hipótesis:
H1 : lím f ( x) = L ≡ ∀ε 1 > 0, ∃δ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < δ 1 ⇒ f ( x) − L < ε 1
x → x0
H 2 : lím f ( x) = M ≡ ∀ε 2 > 0, ∃δ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < δ 2 ⇒ f ( x) − M < ε 2
x → x0
Como se dice para todo ε 1 y para todo ε 2 entonces supongamos que ε 1 = ε 2 = ε .
Tomemos ∂ = min{∂1,∂ 2 } para estar con x , en la vecindad de
x0 .
⎧⎪ f ( x) − L < ε
⎪⎩ f ( x) − M < ε
Simultáneamente tenemos: ∀ε > 0, ∃δ > 0 talque 0 < x − x0 < δ ⇒ ⎨
lo cual quiere decir también que:
∀ε > 0, ∃δ > 0 talque 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − L + f ( x) − M < 2ε
M − f ( x)
Por la desigualdad triangular a + b ≤ a + b , tenemos:
f ( x) − L + M − f ( x ) ≤ f ( x) − L + M − f ( x)
a
b
a
b
entonces como M − L ≤ f ( x) − L + M − f ( x) < 2ε podemos decir que M − L < 2ε
Ahora bien, suponiendo que
M −L <2
16
ε=
1
M −L
2
se produce una contradicción porque tendríamos
(12 M − L ) lo cual no es verdad. Por lo tanto, se concluye que L = M .
L.Q.Q.D
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo (una función que no tiene límite en un punto)
Sea f ( x) = sen
( 1x )
Analicemos su comportamiento en la vecindad de “0”
x
−π
2
−π
y = sen
−1
1
0
− 32π
7
1
7
2
3π
1
−1
π
0
2
1
π
(1x )
Se observa que la función en la vecindad de “0” tiene un comportamiento un tanto singular, sus valores
son alternantes. Por tanto, se concluye que esta función no tiene límite en cero.
Veamos su gráfica.
Fig. 1.4
⎛1⎞
y = sen⎜ ⎟
⎝ x⎠
1.2 LÍMITES LATERALES
Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento
y por la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre
frecuentemente en funciones que tienen regla de correspondencia definida en
intervalos y que su gráfica presenta un salto en un punto. Para expresar
formalmente este comportamiento se hace necesario definir límites en un punto
por una sola dirección.
17
Moisés Villena Muñoz
Cap. 1 Límites de Funciones
1.2.1 LÍMITE POR DERECHA
Cuando x se aproxima a tomar el valor de x0 ,
pero sólo por su derecha (x 0 < x < x 0 + ∂ ) , f se
aproxima a tomar el valor de L1 ; significa que f
puede estar tan cerca de L1 , tanto como se
pretenda ( ∀ε ), para lo cual deberá existir el
correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el
cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir:
⎛ lím f ( x) = L ⎞ ≡ ∀ε > 0, ∃∂ tal que 0 < x − x < ∂ ⇒ f ( x) − L < ε
⎜ x→ x +
1⎟
0
1
⎝ 0
⎠
Ejemplo 1
Una función creciente en (x 0 , ∞ )
Fig. 1.5
Ejemplo 2
Una función decreciente en (x 0 , ∞ )
18
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.2.2 LÍMITE POR IZQUIERDA.
Cuando x se aproxima a tomar el valor de
x0 ,
pero sólo por su izquierda
( x0 − ∂ < x < x0 ) ,
f se aproxima a tomar el
valor de L2 ; significa que f puede estar
tan cerca de L2 , tanto como se pretenda
( ∀ε ), para lo cual deberá existir el
correspondiente ∂ , que indica el intervalo
en el cual tomar x que nos garantice
aquello. Es decir:
⎛
f ( x) = L2 ⎟⎞ ≡ ∀ε > 0, ∃∂ tal que 0 < x0 − x < ∂ ⇒ f ( x) − L2 < ε
⎜ xlím
⎝ → x0−
⎠
Ejemplo 1
Una función decreciente en (−∞,x 0 )
Fig. 1.6
Ejemplo 2
Una función creciente en (−∞, x 0 )
Fig. 1.7
19
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que separar la definición de
límite en un punto que fue dada al comienzo.
De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Límite surge
el siguiente teorema.
1.2.3 TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE
Si f
es una función con límite en x0
entonces se cumple que tanto por
izquierda como por derecha f tiende al
tomar el mismo valor. Es decir:
(lím f ( x) = L)≡ lím f ( x) = L ∧ lím f ( x) = L
x → x0 +
x → x0
x → x0 −
Si se da que lím+ f ( x ) ≠ lím− f ( x ) , se dice que lím f ( x) no existe.
x → x0
x → x0
x→ x0
Ejemplo 1
Sea f ( x) =
x−2
x−2
. Hallar lím f ( x) :
x→ 2
SOLUCIÓN:
Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta:
⎧x−2
; x>2
⎧ 1
⎪⎪ x − 2
f ( x) =
=⎨
=⎨
x − 2 ⎪ − (x − 2 )
⎩− 1
; x<2
⎪⎩ x − 2
x−2
;
x>2
;
x<2
Esto quiere decir que su gráfica es:
Fig. 1.8
De la gráfica observamos que
lím f ( x) no existe .
x→2
20
lím f ( x) = 1 y
x→2 +
lím f ( x) = −1 ; entonces se concluye que
x→2 −
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
⎧2 x , x > 3
Demostrar formalmente que lím f (x ) = 6 si f (x ) = ⎪⎨4 , x = 3
x→3
⎪3 x − 3 , x < 3
⎩
SOLUCIÓN:
Note que la función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 3 y otra diferente a la
izquierda de 3, entonces es necesario demostrar que lím f (x ) = 6 y que lím f (x ) = 6 .
x →3 +
(
)
PRIMERO, lím+ 2 x = 6 ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
x →3
x →3 −
0 < x − 3 < ∂ ⇒ 2x − 6 < ε
Ahora trabajando el antecedente:
(0 < x − 3 < ∂)
⇒ 0 < 2 ( x − 3) < 2∂
⇒ 0 < 2 x − 6 < 2∂
⇒ 0 < 2 x − 6 < 2∂
Si ∂ =
ε
2
; es decir, tomando 3 < x < 3 +
ε
2
garantizamos la afirmación que lím+ 2 x = 6 .
x →3
SEGUNDO,
( lím (3x − 3) = 6) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
0 < 3 − x < ∂ ⇒ ( 3 x − 3) − 6 < ε
x → 3−
Ahora trabajando el antecedente:
( 0 < 3 − x < ∂ ) ⇒ 0 < 3( 3 − x ) < 3∂
⇒ 0 < 9 − 3 x < 3∂
⇒ 0 < 6 + 3 − 3 x < 3∂
⇒ 0 < − ( 3 x − 3) + 6 < 3∂
⇒ 0 < − ⎡⎣( 3 x − 3) − 6⎤⎦ < 3∂
⇒ 0 < ( 3 x − 3) − 6 < 3∂
Si ∂ =
ε
3
; es decir, tomando
3−
ε
3
< x < 3 garantizamos que lím− ( 3 x − 3) = 6 .
x →3
Ejemplo 3
⎧x − 1 , x ≥ 2
⎩x + 1 , x < 2
Demostrar formalmente que lím f (x ) no existe, si f (x ) = ⎨
x→2
SOLUCIÓN:
La función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 2 y otra diferente a la
izquierda de 2, entonces es necesario demostrar que ambas definiciones convergen a distintos valores, es
decir: lím f (x ) ≠ lím f (x ) .
x →2+
x→2−
Note que, lím+ ( x − 1) = 1 y que lím− ( x + 1) = 3
x→2
x→2
PRIMERO,
( lím ( x − 1) = 1) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
x → 2+
0 < x − 2 < ∂ ⇒ ( x − 1) − 1 < ε
Ahora trabajando el antecedente:
21
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
(0 < x − 2 < ∂ ) ⇒ 0 < x −1−1 < ∂
⇒ 0 < ( x − 1) − 1 < ∂
⇒ 0 < ( x − 1) − 1 < ∂
Si ∂ = ε ; es decir, tomando 2 < x < 2 + ε garantizamos que lím+ ( x − 1) = 1 .
x→2
SEGUNDO,
( lím ( x + 1) = 3) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
x → 2−
0 < 2 − x < ∂ ⇒ ( x + 1) − 3 < ε
Ahora trabajando el antecedente:
(0 < 2 − x < ∂) ⇒ 0 < 3 − 1 − x < ∂
⇒ 0 < 3 − (1 + x ) < ∂
⇒ 0 < − ⎡⎣( x + 1) − 3⎤⎦ < ∂
⇒ 0 < ( x + 1) − 3 < ∂
Si ∂ = ε ; es decir, tomando 2 − ε < x < 2 garantizamos que lím− ( x + 1) = 3 .
x→2
Por lo tanto, al demostrar que f converge a distintos valores en la vecindad de 2 , estamos demostrando
que lím f (x ) no existe
x→2
Ejemplo 4
Demostrar formalmente que lím+ ( 2 x − a x b) = 2
x→2
SOLUCIÓN:
( lím ( 2x − a xb) = 2) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que
x → 2+
0 < x − 2 < ∂ ⇒ ( 2 x − a x b) − 2 < ε
No olvide que a la derecha de 2 el entero mayor de x es igual a 2, es decir a x b = 2 .
Trabajando el antecedente:
( 0 < x − 2 < ∂ ) ⇒ 0 < 2 x − 4 < 2∂
⇒ 0 < 2 x − 2 − 2 < 2∂
⇒ 0 < ( 2 x − a x b) − 2 < 2∂
¨
⇒ 0 < ( 2 x − a x b) − 2 < 2∂
Si ∂ =
22
ε
2
; es decir, tomando 2 < x < 2 +
ε
2
(
)
garantizamos que lím+ 2 x − a x b = 2 .
x→2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 1.2
1.
Demostrar formalmente utilizando la definición de límites laterales:
lím x = 0
a.
x →0
⎧2 x − 7 , x ≥ 2
lím f (x ) = −3 ; si f (x ) = ⎨
⎩5 − 4 x , x < 2
⎧2 x − 1 , x ≥ 2
lím f (x ) = 3 ; si f (x ) = ⎨
x →2
⎩x + 1 , x < 2
b.
x→2
c.
lím ( 2 x − a x b) = 3
d.
x → 2−
lím ( 3 x − a x b) = 6
e.
x → 3+
⎧3x − 1 , x ≥ 1
⎩x + 2 , x < 1
2.
Demostrar formalmente que lím f (x ) no existe, si f (x ) = ⎨
3.
Trace la gráfica y determine, por inspección, el límite indicado si existe, si no existe justifique.
x →1
⎧2
⎪
f ( x ) = ⎨− 1
⎪3
⎩
a.
x→1
x+2
f ( x) =
c.
⎧2 x − 7 , x ≥ 2
f (x ) = ⎨
⎩5 − 4 x , x < 2
;
x+2
f ( x ) = x − a xb
lím f ( x )
;
x →−2
lím f ( x )
x→2
; lím f (x )
x→2
; lím f (x ) ,
x→0−
lím f ( x )
x → 0+
⎧ x + a xb
, x ≤ −1
⎪
f ( x ) = ⎨ Sgn ( x − 3) , −1 < x ≤ 4
⎪
,x > 4
⎩μ ( x )
e.
;
lím f ( x )
x →−1
, lím f ( x )
x →−
5
2
Bosqueje la gráfica de una función que cumpla las condiciones siguientes:
•
Dom f = R
•
•
•
•
•
•
5.
; lím f (x )
,x >1
b.
d.
4.
,x <1
,x =1
f es decreciente en (−∞,−3) ∪ (0,2 )
f es creciente en (−3,0 ) ∪ (2,+∞ )
[
]
∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x + 3 < δ ⇒ f ( x) < ε ]
∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x) + 1 < ε ]
∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < −3 − x < δ ⇒ f ( x) − 2 < ε
f (−3) = f (2 ) = 0 y f (0) = 5
Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes:
•
Dom f = R
•
•
•
•
•
•
f es creciente en ( −∞,0 ) ∪ ( 0,3)
f decreciente en (3, ∞ )
[
]
∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x < δ ⇒ f ( x) < ε ]
∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 3 < δ ⇒ f ( x) − 5 < ε ]
∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < − x < δ ⇒ f ( x) − 3 < ε
f (−3) = f (3) = f (6) = 0 y f (0) = 2
23
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE
Sean f y
g funciones con límite en x0 ;
es decir, suponga que
lím f ( x) = L
x→ x0
y
lím g ( x) = M . Entonces:
x→ x0
1. lím k = k , ∀k ∈ R
x → x0
2. lím x = x0
x → x0
3. lím kf ( x) = k lím f ( x) = kL , ∀k ∈ R
x → x0
x → x0
4. lím [ f ( x) + g ( x)] = lím f ( x) + lím g ( x) = L + M
x → x0
x → x0
x → x0
5. lím [ f ( x) − g ( x)] = lím f ( x) − lím g ( x) = L − M
x→ x
x→ x
x→ x
0
0
0
6. lím [ f ( x) g ( x)] = lím f ( x) lím g ( x) = LM
x → x0
x → x0
x → x0
f ( x) L
⎡ f ( x) ⎤ xlím
→ x0
=
=
7. lím ⎢
x → x0 g ( x ) ⎥
g ( x) M
⎣
⎦ xlím
→x
;siempre que lím g ( x) ≠ 0
x → x0
0
n
8. lím [ f ( x)] = ⎡⎢ lím f ( x) ⎤⎥ = Ln ,
x→ x
⎣ x→ x
⎦
n
0
∀n ∈ N
0
9. lím n f ( x) = n lím f ( x) = n L
x → x0
x → x0
siempre que
lím f ( x) ≥ 0 cuando n es par.
x → x0
Demostraciones
1.
( lím k = k ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x
<∂ ⇒ k −k <ε
0
x → x0
El consecuente de la implicación es verdadero porque 0 < ε . Por tanto, la proposición es siempre
verdadera, incluso si el valor de verdad del antecedente es falso.
2.
( lím x = x ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x
x → x0
0
Si ∂ = ε la proposición es verdadera.
24
0
< ∂ ⇒ x − x0 < ε
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
3.
( lím kf ( x) = kL ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x
< ∂ ⇒ kf ( x) − kL < ε
0
x → x0
Observe
el
consecuente,
la
expresión
kf ( x) − kL < ε
es
equivalente
a
k ( f ( x) − L ) < ε .
Por hipótesis, en la cercanía de x 0 , f se aproxima a L , es decir; se cumple que:
∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) − L < ε
Si tomamos ε =
ε
⇒ f ( x) − L <
k
ε
k
⇒ k f ( x) − L < ε
⇒ kf ( x) − kL < ε
por tanto kf se aproximará a kL .
4. Debemos demostrar que si
lím f ( x) = L
lím g ( x) = M entonces
x → x0
x → x0
lím [ f ( x) + g ( x)] = L + M
x → x0
lím f ( x) = L significa que:
Asegurar que
x → x0
∀ε 1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 1 ⇒ f ( x) − L < ε 1
Y asegurar que
lím g ( x) = M significa que:
x → x0
∀ε 2 > 0, ∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 2 ⇒ g ( x) − M < ε 2
Tomemos ε1 = ε 2 =
ε
2
, entonces , si trabajamos con ∂ = min {∂ 1 , ∂ 2 } se cumple que:
ε
⎧
⎪⎪ f ( x) − L < 2
0 < x − x0 < ∂ ⇒ ⎨
⎪ g ( x) − M < ε
⎪⎩
2
Sumando término a término la desigualdad resulta: f ( x) − L + g ( x) − M <
Y por la desigualdad triangular
Por lo tanto
( f ( x) − L ) + (g ( x) − M ) ≤
ε
2
+
ε
2
f ( x) − L + g ( x) − M
( f ( x ) + g ( x ) ) − (L + M ) < ε
Finalmente, se observar que:
∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ( f ( x) + g ( x) ) − (L + M ) < ε
lo que nos asegura que
5.
lím [ f ( x ) + g ( x)] = L + M
x → x0
Debemos demostrar que si
lím f ( x) = L
lím g ( x) = M entonces
x → x0
x → x0
lím [ f ( x) g ( x) ] = LM
x → x0
Igual que en el anterior, tenemos dos hipótesis:
H1 : lím f ( x) = L ≡ ∀ε1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ 1 ⇒ f ( x) − L < ε1
x → x0
H 2 : lím g ( x) = M ≡ ∀ε 2 > 0, ∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ 2 ⇒ g ( x) − M < ε 2
x → x0
En la segunda hipótesis, asumamos que ε 2 = 1 , entonces
25
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
g ( x) − M < 1
−1 < g ( x ) − M < 1
M −1 < g ( x) < M + 1
Por la desigualdad triangular:
M +1 < M + 1 ≡ −( M + 1) < M +1< M + 1
M + ( −1) < M + −1 ≡ − ( M + 1 ) < M − 1 < M + 1
Como g ( x ) < M + 1 y M + 1 < M + 1 se concluye que g ( x ) < M + 1
Como M − 1 < g ( x ) y − ( M + 1 ) < M − 1 se concluye que − ( M + 1 ) < g ( x )
Entonces: g ( x ) < M + 1 y además g ( x ) f ( x) − L < ε1 ( M + 1 )
Bien, se observa que si trabajamos con ∂ = min {∂1 , ∂ 2 }
⎧⎪ g ( x ) f ( x) − L < ε1 ( M + 1 )
0 < x − x0 < ∂ ⇒ ⎨
⎪⎩ g ( x) − M < ε 2
Si decidimos que ε1 =
ε
M +1
y ε2 =
ε
L
Entonces
ε
⎧
⎪ g ( x ) f ( x) − L < 2 M + 1 ( M + 1 )
(
)
⎪
⎨
ε
⎪ g ( x) − M <
⎪
2L
⎩
ε
⎧
⎪⎪ g ( x ) f ( x) − L < 2
⎨
⎪ L g ( x) − M < ε
⎪⎩
2
Sumando término a término:
g ( x ) f ( x) − L + L g ( x) − M < ε
Por la desigualdad triangular:
g ( x )( f ( x) − L ) + L ( g ( x) − M ) ≤ g ( x ) f ( x) − L + L g ( x) − M < ε
a
b
a
a
f ( x) g ( x ) − Lg ( x ) + Lg ( x ) − LM < ε
f ( x) g ( x ) − LM < ε
Hemos concluido que:
∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) g ( x ) − LM < ε
Es decir:
26
lím [ f ( x) g ( x) ] = LM L.Q.Q.D.
x → x0
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector.
Observe que el recíproco del teorema anterior es falso.
Ejemplo
⎧1 ; x > 0
Suponga que se tiene f ( x ) = ⎨
⎩0 ; x ≤ 0
y
⎧0 ; x ≥ 0
g ( x) = ⎨
⎩1 ; x < 0
⎧1 ; x ≠ 0
entonces ( f + g )( x) = ⎨
⎩0 ; x = 0
Observe que: lím f ( x ) no existe y que lím g ( x ) tampoco existe, sin embargo lím ( f + g ) ( x ) = 1
x →0
x →0
(existe). Es decir, “ Si
(f
asegurar que
también tienen límite en ese punto”
f
y
g
+ g)
x→0
es una función con límite en un punto, entonces no podemos
El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones.
Ejemplo
(
Calcular lim x 2 + 3 x − 2
x→2
)
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:
(
)
lim x 2 + 3 x − 2 = lim x 2 + lim 3 x − lim 2 (inciso 4 y 5)
x→2
x →2
x →2
x→2
2
= ⎛⎜ lim x ⎞⎟ + 3 lim x − 2 (inciso 8, 3 y 1)
x→2
⎝ x→2 ⎠
= 2 2 + 3( 2) − 2
=8
Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.
1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN
Sea f una función polinomial o una
función racional, entonces lím f ( x) = f ( x0 )
x→ x0
siempre que f ( x0 ) esté definida y que el
denominador no sea cero para el caso de
una función racional.
27
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de
sustitución.
Ejemplo
(
Calcular lim x 2 + 3 x − 2
x→2
)
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:
(
)
lim x 2 + 3x − 2 = 2 2 + 3(2) − 2 = 8
x→2
Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en
ciertas situaciones.
1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO
Sean f , g y h funciones tales que
g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) para toda x próxima a
" x0 " con la posible excepción de " x0 ". Si
y
lím g ( x) = L
x→ x0
lím h( x) = L
x→ x0
entonces
lím f ( x) = L .
x→ x0
DEMOSTRACIÓN.
Tenemos tres hipótesis:
H1 :
H2 :
H3 :
( lím g ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ g ( x) − L < ε
( lím h( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ h( x) − L < ε
x → x0
1
1
x → x0
2
2
0
0
1
2
∃∂ 3 > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ 3 ⇒ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)
Ahora, suponiendo que ε 1 = ε 2 = ε y tomando ∂ = min{∂1, ∂ 2 , ∂ 3} , tenemos:
⎧ g ( x) − L < ε
⎪⎪
∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ h( x) − L < ε
⎪
⎪⎩ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)
⎧L − ε < g ( x) < L + ε
⎪
Que quiere decir que: ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ L − ε < h( x) < L + ε
⎪ g ( x) ≤ f ( x ) ≤ h( x)
⎩
28
1
2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Lo cual significa que: L − ε < g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) < L + ε ,
Y de manera simplificada se podría decir que: L − ε < f ( x) < L + ε
Por lo tanto ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x ) − L < ε ,
Que no es otra cosa que
lím f ( x) = L
L.Q.Q.D.
x → x0
Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado
Ejemplo 1
Sea 1 − x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + 1 para toda
x próxima a 0, excepto en 0. Hallar lím f ( x) .
x→ 0
SOLUCIÓN:
2
2
Llamemos g ( x) = 1 − x y h( x) = x + 1 . Calculando límites tenemos:
lím g ( x) = lím (1 − x 2 ) = 1
x →0
x →0
y
lím h( x) = lím ( x 2 + 1) = 1 .
x →0
x →0
Y como g ( x) ≤ f ( x ) ≤ h( x) en la vecindad de x = 0 , por el teorema del emparedado se concluye que:
lím f ( x) = 1
x →0
(
O más simplemente: lím 1 − x
x →0
2
) ≤ lím f ( x) ≤ lím ( x
x →0
x →0
2
+ 1)
1 ≤ lím f ( x) ≤ 1
x →0
por lo tanto lím f ( x) = 1
x →0
Ejemplo 2
⎛1⎞
⎝x⎠
Use el teorema del emparedado para demostrar que: lím x sen⎜ ⎟ = 0
x →0
SOLUCIÓN:
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤
No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a que lím ⎢sen ⎜ ⎟ ⎥ no existe.
x →0
⎣ ⎝ x ⎠⎦
También hacerlo en término de ∂ − ε , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro
mecanismo.
⎛1⎞
⎛1⎞
La función f ( x) = sen⎜ ⎟ es acotada, es decir que 0 ≤ sen⎜ ⎟ ≤ 1 .
⎝x⎠
⎝ x⎠
⎛1⎞
Al multiplicar por x tenemos: x 0 ≤ x sen⎜ ⎟ ≤ x 1 ;
⎝ x⎠
⎛1⎞
⎛1⎞
luego tomando límite resulta lím 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ lím x , que equivale a 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ 0
x →0
x →0
x →0
⎝ x ⎠ x →0
⎝ x⎠
⎛1⎞
y llegamos a lo que queríamos, es decir: lím x sen⎜ ⎟ = 0 .
x →0
⎝ x⎠
29
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3
Hallar lím
x→0
Senx
x
SOLUCIÓN:
Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función f ( x) =
Senx
x
R1
tg x
1
R2
sen x
x
R3
cos x
Fig. 1.9
1
Del gráfico tenemos que: AreaR1 =
(tg x )(1)
2
Observe que AR1 ≥ AR2 ≥ AR3 , entonces
, AR2 =
(1) 2 (x )
(cos x )(sen x)
, AR3 =
2
2
(tg x )(1) ≥ (1)2 (x ) ≥ cos x sen x
2
2
2
PRIMERO: Si x → 0+ . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta:
2(tg x )(1)
2( x )
2 cos x sen x
≥
≥
2 sen x
2 sen x
2 sen x
1
x
≥
≥ cos x
cos x sen x
sen x
1
que es lo mismo que cos x ≤
≤
x
cos x
sen x
1
tomando límite lím cos x ≤ lím
≤ lím
x →0 +
x →0 + x
x →0 + cos x
sen x
sen x
entonces lím
1 ≤ lím
≤1
=1
x →0 + x
x →0 + x
SEGUNDO: En cambio, si x → 0 − . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta:
1
x
≤
≤ cos x (Se invierte el sentido de la desigualdad porque sen x < 0
cos x sen x
sen x
1
≤
que es lo mismo que: cos x ≤
cos x
x
sen x
1
tomando límite: lím cos x ≤ lím
≤ lím
x →0 −
x →0 − x
x →0 − cos x
sen x
sen x
entonces
1 ≤ lím
≤1
lím
=1
x →0 − x
x →0 − x
Finalmente lím
x →0
sen x
=1
x
Observe la gráfica:
30
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Fig. 1.10
y=
sen x
x
Note que en su gráfica se observa la conclusión anterior.
Ejercicios Propuestos 1.3
1.
Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de límite.
2.
Use el teorema del emparedado para demostrar que:
lím x 4 Sen 2
a.
x→ 0
⎡
lím ⎢(x − 1)2 sen
b.
3.
1
=0
x
1 ⎤
⎥=0
x −1 ⎦
x →1+ ⎣
Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser
verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa dé un contraejemplo.
a.
lím ( f ( x ) ) = L ⇒
lím ( f ( x ) − L ) = 0
x → x0
x → x0
b.
Si lím ( f ( x) − g ( x) ) existe, entonces también existen lím f ( x ) y lím g ( x)
c.
Si g (x ) + 5 ≤ 3(4 − x ) , entonces lím g (x ) = −5
d.
Si f ( x0 ) no está definida, entonces el lím f ( x ) no existe
e.
Si f ( x0 ) existe, entonces lím f ( x) existe
f.
Suponga que g es una función tal que lím g ( x) = 0 . Si f es una función cualquiera,
x → x0
x → x0
x → x0
2
x→4
x → x0
x → x0
entonces lím ( fg )( x ) = 0
x→0
x →0
g.
Si f ( x) ≠ g ( x) para toda x , entonces el lím f ( x) ≠ lím g ( x)
x → x0
x → x0
31
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.4 CALCULO DE LÍMITES
En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede
bastar.
Ejemplo 1
Calcular lím+ ( x − a x b)
x →1
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de sustitución:
lím ( x − a x b) = 1 − ced1+ fhg = 1 − 1 = 0 (El entero mayor de números ligeramente mayores que 1 es igual a 1)
x →1+
Ejemplo 2
Calcular lím− ( x − a x b)
x →1
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de sustitución
lím ( x − a x b) = 1 − ced1− fhg = 1 − 0 = 1 (El entero mayor de números ligeramente menores que 1 es igual a 0)
x →1−
Ejemplo 3
Calcular lím− (a 2 x − 1b + Sgn ( x − 1) )
x →1
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema principal de límites y el teorema de sustitución:
lím (a 2 x − 1b + Sng ( x − 1) ) = lím− (a 2 x − 1b) + lím− ( Sng ( x − 1) )
x →1−
x →1
x →1
= ced 2(1− ) − 1fhg + sng (1− − 1)
= ced1− fhg + sng ( 0− )
= 0 −1
= −1
Ejercicios Propuestos 1.4
Calcular:
1.
2.
3.
4.
32
lím 2 x − 6 − 4
x →4 +
lím
x →3+
7.
x − 4 −1
3− x
8.
lím+ ( x − 2Sgnx )
x →0
lím
x → 3+
a xb − 3
3− x
lím+
x →0
μ ( x)
lím asen x b
x→
9.
a tan x b + Sgn ( x 2 )
π
2
lím + ced cos ( x + π2 )fhg
x →−
π
2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
5.
lím
x −1
x
a b+1
lím+
c x 2 f − a x b2
ed hg
x2 −1
x → 0+
6.
x →1
10.
lím ⎡⎣ μ ( x + 5 ) + μ ( x − 1) − μ ( x − 3) ⎤⎦
x → 5+
En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de
sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la
forma:
0
0
∞
∞
∞−∞
0•∞
1∞
00
∞0
Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones
debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos
suponga que sea igual a una constante
sería verdadera para todo
c , es decir
0
=c
0
entonces
0
,
0
0 = 0c
c . Analice el resto de indeterminaciones.
Ejemplo 1
Calcular lím
x →1
x2 + 5x − 6
x −1
SOLUCIÓN:
Empleando el teorema de sustitución tenemos
lím
x →1
2
x 2 + 5 x − 6 1 + 5 (1) − 6 0
=
=
x −1
1 −1
0
una
indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando:
( x + 6 )( x − 1)
x2 + 5x − 6
= lím
= lím ( x + 6 )
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: lím ( x + 6 ) = 1 + 6 = 7
lím
x →1
33
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
x 2 − 7 x + 10
x→2
x−2
SOLUCIÓN:
Calcular lím
2 2 − 7(2 ) + 10 0
= (Indeterminación)
2−2
0
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:
lím
x→2
( x − 2 )( x − 5)
x 2 − 7 x + 10
= lím
= lím( x − 5)
2
x
→
x→2
x−2
( x − 2)
Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:
lím( x − 5) = 2 − 5 = −3
x→2
Ejemplo 3
Calcular lím
x + 5 x − 14
x −2
x→4
SOLUCIÓN:
4 + 5 4 − 14
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
4 −2
=
0
(Indeterminación)
0
Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:
lím
x + 5 x − 14
x→4
x −2
= lím
(
x +7
)(
x −2
x −2
x →4
) = lím
x →2
(
x +7
)
Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:
lím
x→4
(
)
x +7 = 4 +7 = 9
SEGUNDO METODO:
Podemos hacer un Cambio de Variable: x = u 2 . Este caso u = x , y cuando x → 4 , u → 2
Por tanto el límite en la nueva variable sería:
u 2 + 5u − 14
u →2
u−2
lím
Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución:
( u + 7 )( u − 2 )
u 2 + 5u − 14
= lím
= lím ( u + 7 ) = 9
u →2
u→2
u→2
u−2
u−2
lím
Ejemplo 4
Calcular lím
x →1
x −1
x −1
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
Racionalizando el numerador y simplificando:
34
1 −1 0
= (Indeterminación)
1−1
0
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
⎡ x −1
x + 1⎤
x −1
lím ⎢
•
= lím
⎥ = lím
x →1
x
→
1
x + 1⎦
( x − 1) x + 1 x →1
⎣ x −1
(
)
(
1
)
x +1
=
1
2
Ejemplo 5
x −1
Calcular lím
x −1
x →1 3
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
1 −1
1 −1
3
=
0
(Indeterminación)
0
Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos:
PRIMER METODO:
Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:
⎡
x −1
x +1
•
•
lím ⎢⎢ 3
x →1
x −1
x +1
⎢⎣
( x − 1)
lím
((
3
x
)
( x − 1) (
x →1
2
( x)
( x)
3
3
+ 3 x + 1⎤
⎥
2
⎥
3
+ x + 1⎥
⎦
2
) = (( 1) +
+ 3 x +1
)
x +1
2
3
(
3
)=3
1 +1
)
1 +1
2
SEGUNDO METODO:
6
Cambio de Variable: x = u . Entonces Si x → 1 ⇒ u → 1
u6 −1
Reemplazando tenemos: lím
u →1 3
u6 −1
u3 −1
u →1 u 2 − 1
= lím
( u − 1) ( u 2 + u + 1)
( u 2 + u + 1) = (12 + 1 + 1) = 3
= lím
u →1
u →1
2
( u − 1)( u + 1)
( u + 1)
(1 + 1)
Y factorizando: lím
Ejemplo 6
Calcular lím−
a3 x − 2 b
2− x
x −4
2
x→2
SOLUCIÓN:
(
) ⎛⎝
Aplicando el teorema principal de límite consideramos lím− a3 x − 2b ⎜ lím−
(
x→2
)
x→2
2− x ⎞
⎟
x2 − 4 ⎠
Entonces, para el primer límite tenemos: lím− a3 x − 2b = 3 ¿Por qué?
x→2
Y para el segundo límite, resulta:
2−x
2−x
− (x − 2)
= lím
= lím
= lím
=
x 2 − 4 x→2− x 2 − 4 x→2− (x − 2)(x + 2) x→2− (x − 2)(x + 2)
−1
1
=−
lím−
x →2 ( x + 2 )
4
lím−
2− x
x →2
Por lo tanto lím−
x→2
a3 x − 2 b
x −4
2
2− x
3
⎛ 1⎞
= (3) ⎜ − ⎟ = −
4
⎝ 4⎠
35
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 1.5
Calcular:
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
3
x2 − 9
x →3 x − 3
2− x
lím
x→2 x 2 − 4
1.
10.
lím
2.
lím
4.
5.
6.
7.
8.
x −2
lím
x→4 x − 4
9.
lim
x→2
x −2
x −8
3
x3 − 8
x→2 x − 2
x 2 − 9 x + 20
lim 2
x → 4 x − 3x − 4
3x 2 − x − 10
lim 2
x → 2 x + 5 x − 14
x3 + x 2 − 5 x + 3
lim 3
x →1 x + 2 x 2 − 7 x + 4
2 x 3 + x 2 − x + 10
lim
x →−2 x 3 + 2 x 2 − 2 x − 4
3.
lím
x →8
11.
lím
12.
lím
13.
14.
15.
16.
x −1
x +x−2
2
x →1
x 2 − (1 + a )x + a
x →1
x −1
⎛ 3 x2 − 2 3 x +1⎞
⎟
lim⎜
2
⎟
x →1⎜
(
)
−
x
1
⎝
⎠
⎛ 3
2 ⎞
⎟
lím⎜⎜
−
x →1⎝ 1 − x
1 − 3 x ⎟⎠
7+3 x −3
x −8
lím
x →8
lím
a3 x − 2 b
2− x
x2 − 4
x → 2+
x −1 −1
x−2
sen x
= 1 que en forma
x →0
x
Otros límites se calculan empleando la expresión lím
sen u
= 1; donde u = u ( x)
u →0
u
generalizada sería: lím
Ejemplo 1
Calcular lím
sen ( kx )
x →0
x
SOLUCIÓN:
sen ( k ( 0 ) )
0
= (Indeterminación)
0
0
Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y luego aplicamos el
teorema principal de límites:
sen ( kx )
sen kx
= k lím
= k (1) = k
lím k
x→0
x
→
0
kx
kx
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
1
Se podría decir que
36
lím
u →0
sen ( k u )
u
=k;
k ∈\
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
sen 3x
sen 5 x
SOLUCIÓN:
Calcular lím
x →0
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
sen ( 3 ( 0 ) )
sen ( 5 ( 0 ) )
=
0
(Indeterminación)
0
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el numerador y el denominador entre x , y
luego aplicamos el teorema principal de límites y la formula anterior:
3
sen 3 x
sen 3 x
lím
sen 3 x
x→0
x =3
lím
= lím x =
x → 0 sen 5 x
x → 0 sen 5 x
sen 5 x 5
lím
x→0
x
x
5
Ejemplo 3
1 − cos x
x2
SOLUCIÓN:
Calcular lím
x →0
1
P
1 − cos0 0
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
= (Indeterminación)
02
0
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:
2
x
sen
1 − cos 2 x
⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤
lím ⎢
lím
•
=
2
x→0
1 + cos x ⎥⎦ x → 0 x 2 (1 + cos x )
⎣ x
⎛
sen 2 x
sen 2 x ⎞ ⎛
1
⎞
= ⎜ lím 2 ⎟ ⎜ lím
⎟
x → 0 x (1 + cos x )
x →0
x → 0 1 + cos x
x
⎝
⎠
⎝
⎠
= lím
2
2
sen x ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1
⎛
= ⎜ lím
⎟ ⎜ ⎟=
⎝ x→0 x ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2
Ejemplo 4
Calcular lím
1 − cos ( kx )
x →0
x2
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
1 − cos ( k 0 ) 1 − cos ( 0 ) 1 − 1 0
=
=
= (Indeterminación)
02
0
0
0
Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:
( )
1 − cos 2 ( kx )
sen 2 kx
⎡1 − cos ( kx ) 1 + cos ( kx ) ⎤
lím ⎢
•
⎥ = lím
x→0
1 + cos ( kx ) ⎦⎥ x → 0 x 2 (1 + cos ( kx ) )
x2
⎣⎢
= lím
x →0
sen 2 ( kx )
⎞
⎛
sen 2 ( kx ) ⎞ ⎛
1
= ⎜⎜ lím
⎟⎟
⎟⎟⎜⎜ lím
2
x
→
x
→
0
0
1 + cos ( kx ) ⎠
x (1 + cos ( kx )) ⎝
x
⎠⎝
2
sen ( kx ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ k 2
⎛
= ⎜ lím
⎟ ⎜ ⎟=
x→0
x
⎝2⎠ 2
⎝
⎠
2
k
37
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1 − cos ( k u ) k 2
=
u →0
2
u2
Se puede decir que lím
Ejemplo 5
1 − cos x
x
SOLUCIÓN:
Calcular lím
x →0
1 − cos 0 0
= (Indeterminación)
0
0
Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:
1 − cos 2 x
⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤
lím ⎢
•
= lím
⎥
x→0
x
1 + cos x ⎦ x → 0 x (1 + cos x )
⎣
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
sen 2 x
sen x
sen x
lím
= lím
x → 0 x (1 + cos x )
x →0
x x → 0 1 + cos x
0
⎞
⎛
⎞⎛ P
sen x ⎟ ⎜ sen 0 ⎟ 0
⎜
= ⎜ lím
⎟= =0
x →0
x
⎟⎟⎜⎜ 1 + cos
N0 ⎟ 2
⎜
1
1
⎝
⎠⎝
⎠
= lím
1 − cos ( k u )
=0
u →0
u
Se puede decir que lím
Ejemplo 6
Calcular lím
x→a
sen x − sen a
x−a
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
sen a − sen a 0
= (Indeterminación)
a−a
0
PRIMER MÉTODO:
Cambiando variable u = x − a . Entonces si x → a , u → 0 y además x = u + a
Reemplazando y simplificando tenemos:
( )
sen u + a
lím
u →0
sen ( u + a ) − sen a
u
( sen u cos a + cos u sen a ) − sen a
= lím
u →0
u
sen u cos a + cos u sen a − sen a
= lím
u →0
u
sen u cos a + ( cos u − 1) sen a
= lím
u →0
u
( cos u − 1) sen a
sen u cos a
= lím
+ lím
u →0
u
→
0
u
u
⎡ ( cos u − 1) ⎤
sen u ⎤
⎡
= cos a ⎢lím
+ sen a ⎢lím
⎥
u →0
u →0
u ⎥⎦
u
⎣
⎣
⎦
1
= cos a (1) + sena (0)
= cos a
SEGUNDO MÉTODO:
38
0
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
⎛ x+a⎞
⎛ x−a⎞
⎟ sen ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ x+a⎞
⎛ x−a⎞
2cos ⎜
⎟ sen ⎜
⎟
sen x − sen a
2 ⎠
⎝
⎝ 2 ⎠
lím
= lím
x→a
x→a
x−a
x−a
Al denominador lo dividimos y multiplicamos por 2, y luego separamos los límites aplicando el teorema
principal de límites (el límite del producto es el producto de los límites)
⎛x+a⎞
⎛ x−a⎞
⎛ x+a⎞
⎛ x−a⎞
2cos ⎜
2cos ⎜
sen ⎜
⎟ sen ⎜
⎟
⎟
⎟
2 ⎠
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
⎝
⎝ 2 ⎠ = cos a
lím
lím
= lím
x→a
x
→
a
x
→
a
x−a
x−a
2
2
2
2 Empleando la identidad: sen x − sen a = 2cos ⎜
1
Ejemplo 7
Calcular lím
1 + sen ( 32π x )
( x − 1)
x →1
2
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
1 + sen ( 32π )
(1 − 1)
2
=
1−1 0
= (Indeterminación)
0
0
Haciendo cambio de variable: u = x − 1 entonces x = u + 1 y si x → 1 entonces u → 0
Reemplazando y simplificando:
lím
x →1
1 + sen ( 32π x )
( x − 1)
2
= lím
1 + sen ( 32π ( u + 1) )
u2
u →0
= lím
1 + sen ( 32π u + 32π )
u2
u →0
= lím
1 + sen ( 32π u ) cos ( 32π ) + cos ( 32π u ) sen ( 32π )
u →0
= lím
1 + sen (
3π
2
u2
u ) ( 0 ) + cos ( 32π u ) ( −1)
u →0
= lím
u →0
1 − cos ( 32π u )
u2
u2
El último límite se lo puede calcular directamente con la formula lím
1 − cos ( k u )
u →0
u
2
=
k2
2
k
⎛P
⎞
1 − cos ⎜ 32π u ⎟
⎜
⎟ ( 3π )2 9π 2 9π 2
⎝
⎠= 2 = 4 =
lím
u →0
u2
2
2
8
El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico.
Multiplicando por el conjugado y simplificando:
⎡1 − cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦
1 − cos 2 ( 32π u )
=
lím ⎣
lím
2
2
u →0
u → 0 u ⎡1 + cos 3π u ⎤
u ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦
( 2 )⎦
⎣
= lím
u →0
sen 2 ( 32π u )
u 2 ⎣⎡1 + cos ( 32π u ) ⎦⎤
⎡ sen ( 32π u ) ⎤
1
= lím ⎢
⎥ lím
u →0
u → 0 ⎡1 + cos 3π u ⎤
u
( 2 )⎦
⎣⎢
⎦⎥
⎣
2
39
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Multiplicando y dividiendo por
3π
y obteniendo límite:
2
⎡ 3π sen ( 3π u ) ⎤
1
lím ⎢ 2 3π 2 ⎥ lím
u →0
u
⎢⎣
⎥⎦ u → 0 ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦
2
2
⎡ sen ( 3π u ) ⎤
2
1
= ( 32π ) lím ⎢ 3π 2 ⎥ lím
u →0
u ⎦⎥ u → 0 ⎡
⎤
2
⎣⎢
⎢1 + cos ( 32π u ) ⎥
⎢
⎥
1
⎣
⎦
2
⎛ 3π ⎞ ⎛ 1 ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠
9π 2
=
8
2
Ejemplo 8
Calcular lím−
x →0
x
1 − cos x
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
0−
1 − cos 0
=
0−
(Indeterminación)
0
Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando:
x
1 + cos x
x 1 + cos x
lím
= lím
x → 0− 1 − cos x
1 + cos x x → 0− 1 − cos 2 x
= lím−
x 1 + cos x
x →0
= lím−
sen 2 x
1 + cos x
x →0
sen 2 x
x
1 + cos x
= lím−
x →0
sen x
x
1 + cos x
= lím−
sen x
x →0
−
x
1 + cos
0
N
1
=
sen x
−
x
N
1
=− 2
40
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios propuestos 1.6
Calcular:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
lím
x → 0+
sen 2 x + tan 3 x
x
7.
x sen x
lím
x→0
2 − 2 cos x
1 + sen 3x
lím
x → π2 x − π 2
2
3
+
(
8.
)
lím (1 − x ) tan π2 x
9.
tan (π x )
10.
x →1
lím
x →−2
π⎞
⎛
sen ⎜ x − ⎟
3⎠
⎝
lím
π 1 − 2cos x
x→
x+2
⎛π
⎞
cot ⎜ − x ⎟
2
⎝
⎠
lím
x→0
tan ( 2 x )
arcsen x
x
arctan 2 x
lím
x → 0 sen 3 x
lím
x→0
⎛π ⎞
cos ⎜ x ⎟
⎝2 ⎠
lím
x →1 1 −
x
Otro tipo de límite interesante, cuyo resultado nos va ha resultar útil en el
1
cálculo de otros límites, es el de f ( x) = (1 + x ) x cuando x tiende a “ 0 ”.
Hagamos una tabla de valores:
x
y = (1 + x ) x
− 0.10
2.86797
− 0.05
2.7895
− 0.01
2.7319
7
0.01
7
2.7048
0.05
2.65329
0.10
2.5937
1
Se observa que: lím
(1 + x ) x = e ¡HAY QUE DEMOSTRARLO!
x →0
1
Fig. 1.11
e
y = (1 + x )
1
x
41
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Más generalmente tenemos que lím (1 + u )
1
= e donde u = u ( x) .
u
u →0
Ejemplo 1
Calcular lím (1 + sen x )
1
x
x →0
SOLUCIÓN:
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos
(1 + sen 0) 10
= 1∞ (Indeterminación)
Para calcular el valor de esta indeterminación utilizamos lím (1 + u )
1
u
u →0
=e.
Si consideramos u = sen x , notamos que necesitamos en el exponente el recíproco de esta expresión,
por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos por sen x :
(
lím 1 + sen x
x →0
)
sen x ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
sen x ⎝ x ⎠
⎛
⎞
1
= lím ⎜ (1 + sen x ) sen x ⎟
x → 0 ⎜ ⎟
e
⎝
⎠
1
sen x
x
= e1 = e
Ejemplo 2
Calcular lím ( cos x )
1
x
x →0
SOLUCIÓN:
Note que la expresión dada es una indeterminación de la forma
Para utilizar lím (1 + u )
u →0
1
u
1∞ .
= e primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener:
lím (1 + (cos x − 1))
x →0
1
x
luego consideramos u = cos x − 1 y multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresión:
⎡
⎤
⎥
lím ⎢(1 + ( cos x − 1) )
x → 0 ⎢ ⎥
e
⎣
⎦
cos x−1
x
cos x−1
x
0
lím
= e x →0
cos x −1
x
Por tanto:
lím ( cos x )
x →0
1
x
= e0 = 1 .
Ejemplo 3
⎛ 2 ⎞
Calcular lím ⎜
⎟
x →1 x + 1
⎝
⎠
SOLUCIÓN:
x 2 + x +1
x2 − x
⎛ 2 ⎞
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ⎜
⎟
⎝ 1+1⎠
Sumamos y restamos 1 a la base:
42
12 +1+1
12 −1
3
∞
⎛ 2 ⎞0
= ⎜ ⎟ = (1) (Indeterminación)
⎝2⎠
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
⎛ 2 ⎞
lím ⎜
⎟
x →1 x + 1
⎝
⎠
x 2 + x +1
x2 − x
⎛ ⎛ 2
⎞⎞
= lím ⎜1 + ⎜
− 1⎟ ⎟
x →1
⎝ ⎝ x +1 ⎠⎠
x 2 + x +1
x2 − x
⎛ ⎛ 2 − ( x + 1) ⎞ ⎞
= lím ⎜1 + ⎜
⎟ ⎟⎟
x →1 ⎜
⎝ ⎝ x +1 ⎠⎠
⎛ ⎛1− x ⎞⎞
= lím ⎜1 + ⎜
⎟⎟
x →1
⎝ ⎝ x +1⎠⎠
x 2 + x +1
x2 − x
x 2 + x +1
x2 − x
⎛ 1− x ⎞
⎟:
⎝ x +1⎠
Multiplicamos y dividimos el exponente por ⎜
2
⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞
⎟
⎜
⎟⎜ 2
x − x ⎟⎠
1
⎡
⎤ ⎝ x +1 ⎠⎜⎝
⎞ 1− x ⎥
⎢⎛
⎜ ⎛ 1 − x ⎞ ⎟ xu+
1 ⎥
lím ⎢⎜ 1 + ⎜
⎟⎟
⎥
x →1 ⎢
⎝ x +1⎠
⎢⎜ ⎟
⎥
u
⎝
⎠
⎢⎣
⎥⎦
=e
=e
2
⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞
lím ⎜
⎟
⎟⎜
x→1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x 2 − x ⎟
⎝
⎠
⎛ − ( x −1) ⎞ ⎛ x 2 + x +1 ⎞
lím ⎜⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎟
x →1
⎝ x +1 ⎠⎝ x ( x −1) ⎠
=e
=e
2
⎛ −1 ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞
lím ⎜
⎟⎟
⎟⎜
x→1⎝ x +1 ⎠ ⎜
x
⎝
⎠
2
⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 +1+1 ⎞
⎟
⎜
⎟⎜
⎝ 1+1 ⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠
=e
−
3
2
Ejemplo 4
3x ⎞
⎛
Calcular lím ⎜ 4 − ⎟
x →k
k ⎠
⎝
SOLUCIÓN:
⎛π x ⎞
tan ⎜
⎟
⎝ 2k ⎠
Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:
3x ⎞
⎛
lím ⎜ 4 − ⎟
x →k
k ⎠
⎝
⎛π x⎞
tan ⎜
⎟
⎝ 2k ⎠
3k ⎞
⎛
= ⎜4− ⎟
k ⎠
⎝
⎛πk ⎞
tan ⎜
⎟
⎝ 2k ⎠
= ( 4 − 3)
⎛π ⎞
tan ⎜ ⎟
⎝2⎠
= 1∞ (Indeterminación)
Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el término que necesitamos:
3x ⎞
⎛
lím ⎜ 4 − ⎟
x→k
k ⎠
⎝
⎛πx⎞
tan ⎜
⎟
⎝ 2k ⎠
3x ⎞
⎛
= lím ⎜1 + 3 − ⎟
x→k
k ⎠
⎝
⎛π x ⎞
tan ⎜
⎟
⎝ 2k ⎠
⎛ 3x ⎞ ⎛ π x ⎞
⎜ 3 − ⎟ tan ⎜
⎟
k ⎠ ⎝ 2k ⎠
⎡
1 ⎤⎝
⎢⎛ ⎛
3x ⎞ ⎞ 3− 3 x ⎥
= lím ⎢⎜1 + ⎜ 3 − ⎟ ⎟ k ⎥
x→k
k ⎠⎠
⎝ ⎢⎝
⎥
⎢⎣
⎥⎦
e
π
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ 3− 3 x ⎟ tan ⎜ x ⎟
k ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 2 k ⎟⎠
lím ⎜⎜⎝
= e x→k
Dediquémonos al exponente. Hagamos el cambio de variable u = x − k
x → k entonces u → 0 .
de donde
x = u + k y si
43
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
⎛
3 (u + k ) ⎞
⎛ π (u + k ) ⎞
3x ⎞
⎛
⎛πx⎞
lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜
⎟ tan ⎜
⎟
⎟ = lím ⎜ 3 −
x →k
k ⎠
k
⎝
⎝ 2 k ⎠ u →0 ⎝
⎠
⎝ 2k ⎠
3u + 3k ⎞
⎛
⎛ πu +π k ⎞
= lím ⎜ 3 −
⎟ tan ⎜
⎟
u →0
k ⎠
⎝
⎝ 2k ⎠
π⎞
⎛ 3k − 3u − 3k ⎞
⎛π
= lím ⎜
⎟ tan ⎜ u + ⎟
u →0
2⎠
k
⎝
⎠
⎝ 2k
π⎞
⎛π
sen ⎜ u + ⎟
2k
2⎠
⎛ −3u ⎞
⎝
= lím ⎜
⎟
u →0
⎝ k ⎠ cos ⎛ π u + π ⎞
⎜
⎟
2⎠
⎝ 2k
0
1
P
P
π
π
⎛π ⎞
⎛π ⎞
sen ⎜ u ⎟ cos + cos ⎜ u ⎟ sen
3
2k ⎠
2
2k ⎠
2
⎝
⎝
= − lím ( u )
π
π
k u →0
⎛π ⎞
⎛π ⎞
cos ⎜ u ⎟ cos − sen ⎜ u ⎟ sen
2
2
⎝ 2k ⎠ N
⎝ 2k ⎠ N
0
⎛π ⎞
cos ⎜ u ⎟
3
⎝ 2k ⎠
= − lím ( u )
k u →0
⎛π ⎞
− sen ⎜ u ⎟
⎝ 2k ⎠
1
⎛ π P0 ⎞
⎛
cos ⎜ u ⎟
⎜ 2k ⎟
3
3⎜ 1
⎝
⎠
= lím ( u )
= ⎜
k u→0
⎛
⎛ π ⎞⎞ k ⎜ π
sen ⎜ u ⎟ ⎟
⎜
⎝ 2k
π ⎜⎜
⎝ 2k ⎠ ⎟
u
π
2k ⎜
⎟
u ⎟
⎜
2k
⎝
⎠
1
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
1
3x ⎞
⎛
⎛πx⎞ 6
lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜
⎟=
x →k
k ⎠
⎝
⎝ 2k ⎠ π
3x ⎞
⎛
lím ⎜ 4 − ⎟
x →k
k ⎠
⎝
Finalmente:
⎛π x⎞
tan ⎜
⎟
⎝ 2k ⎠
6
= eπ
Ejemplo 5
a kx − 1
x →0
x
SOLUCIÓN:
Calcular lím
Sustituyendo tenemos
a k (0) − 1 0
= .
0
0
Considerando u = a kx − 1 , entonces x =
1
k ln a
ln(u + 1) y si x → 0 también u → 0
Haciendo cambio de variable, tenemos:
lím
u →0
1
k ln a
⎛
⎞
u
u
u
= lím k ln a
= k ln a ⎜⎜ lím
⎟
u → 0 ln ( u + 1) ⎟
ln ( u + 1) u → 0
ln ( u + 1)
⎝
⎠
Multiplicando, numerador y denominador por
1
, resulta:
u
⎛
⎞
⎜
⎟
⎛
( )u ⎞
1
1
1
⎜
⎟
k ln a ⎜ lím 1
= k ln a ⎜ lím
= k ln a
= k ln a = k ln a
1
⎟
⎜ u → 0 ln ( u + 1) ⎟⎟
u →0
u
ln e
1
ln ⎡( u + 1) ⎤ ⎟
u
⎝
⎠
⎜
⎣
⎦ ⎟
⎜
⎝
⎠
e
1
u
44
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
ak u −1
= k ln a puede ser utilizado para calcular otros límites.
u →0
u
El resultado lím
Ejemplo 4
32 x − 1
x →0
x
SOLUCIÓN:
Calcular lím
Empleando el resultado anterior:
32 x − 1
= 2 ln 3
x →0
x
lím
Ejemplo 5
32 x − 54 x
x →0
x
SOLUCIÓN:
Calcular lím
Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los límites:
32 x − 54 x
32 x − 1 − 54 x + 1
= lím
x →0
x →0
x
x
32 x − 1 − ( 54 x − 1)
= lím
x →0
x
2x
3 −1
54 x − 1
= lím
− lím
x →0
x
0
→
x
x
32 x − 54 x
= 2 ln 3 − 4ln 5
lím
x →0
x
lím
Ejercicios Propuestos 1.7
Calcular:
1.
lím (1 + tan x )
2.
lím (1 + cos x )
x→
8. lím
csc x
π
9.
2
3.
lím ( cos x )
4.
lím ( sen x )
1
x2
x →0
x →π
tan x
10.
2
x2 + x + 2
5.
e3 x − 1
x →0
x
csc x
x →0
⎛ 4 ⎞ x2 − 2 x − 3
lím ⎜
⎟
x →3 x + 1
⎝
⎠
11.
12.
x2 + 2 x + 6
6.
⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2
lím ⎜
⎟
x→2 x + 1
⎝
⎠
7.
lím ( 4 − 3x )
x →1
⎛π ⎞
tan ⎜ x ⎟
⎝2 ⎠
e ax − e bx
x →0 sen 3 x
e 2 x − e3 x
lím
x →0
tan x
lím
2 ax − 2 bx
x →0
x
a x + h + a x − h − 2a x
lím
;a > 0
h→0
h
lím
13.
lím ( x + e x )
14.
lím
x →0
x →0
1
x
ln ( cos ( ax ) )
ln ( cos ( bx ) )
Para otros tipos de límites habrá que extremarse con el uso de los recursos
algebraicos.
45
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1
Demuestre que lím
x →0
n
1+ k x −1 k
=
x
n
SOLUCIÓN:
Por producto notable se puede decir que:
⎡⎣(1 + kx ) − 1⎤⎦ =
(
n
=
(
n
)(
1 + kx − n 1 ⎡ n 1 + kx
⎢⎣
)(
)
n −1
)
+
(
n
1 + kx
(
) ( 1) + (
n−2
1
n
n
1 + kx
) ( 1)
n −3
n
2
+"+
( 1)
n
n −1
⎤
⎥⎦
)
n −1
n−2
+ n 1 + kx
+ " + 1⎤
1 + kx − 1 ⎡ n 1 + kx
⎢
⎣
⎦⎥
n términos
Entonces, multiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calculando el límite:
1+ k x −1
= lím
lím
x →0
x→0
x
n
= lím
x→0
= lím
x→0
= lím
x→0
=
=
(
n
(
n
) • ⎡⎢⎣(
⎡
(
⎣⎢
1+ k x −1
x
n
)
1 + kx )
1 + kx
(1 + k x − 1)
(
)
n −1
(
)
n −1
x ⎡ n 1 + kx
⎣⎢
n
+
(
+
(
n
1 + kx
n −1
n −1
(
+(
+
n
n
)
1 + kx )
1 + kx
)
n−2
+ " + 1⎤
⎦⎥
)
n−2
+ " + 1⎤
⎦⎥
n−2
n−2
+ " + 1⎤
⎥⎦
+ " + 1⎤
⎦⎥
kx
x ⎡ n 1 + kx
⎣⎢
(
n
+
(
) (
n
1 + kx
1 + k (0)
)
n −1
n−1
+
n
1 + kx
k
n
1 + kx
)
n− 2
k
1 + k ( 0)
)
+" +1
n−2
+"+1
k
1
+1+
"+
1
n veces
1+ k x −1 k
lím
=
x →0
x
n
n
⎡ n 1 + k u − 1⎤ k
⎥ = puede
u →0
u
⎣⎢
⎦⎥ n
El resultado anterior puesto de forma general lím ⎢
ser utilizado para calcular rápidamente otros límites.
Ejemplo 2
27 − x − 3
x
SOLUCIÓN:
Calcular lím
3
x →0
Aunque este límite se lo puede calcular empleando el factor racionalizante para diferencia de cubos (no
deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior.
27 − x − 3
lím
= lím
x →0
x →0
x
27 ( 27 − x )
x
3
−3
27 3 1 −
−3
27
27
= lím
x →0
x
x
3
3
⎛ 1 ⎞
Pn 1 + −
⎜
⎟ x −1
⎛ 1 ⎞
3
1
27 ⎠
⎝
3 1+ ⎜− ⎟ x − 3
−
⎝ 27 ⎠
k
27
= lím
= 3lím
=3
x →0
x→0
3
x
x
3 27 − x − 3
1
=−
lím
x →0
27
x
3
46
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3
Calcular lím
5
x →30
x+2 −2
x − 30
SOLUCIÓN:
Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero,
para poder utilizar la formula. Hagamos u = x − 30 de donde x = u + 30 y u → 0 . Reemplazando,
simplificando y calculando el límite:
5
lím
x → 30
5
5
x+2 −2
u + 30 + 2 − 2
u + 32 − 2
= lím
= lím
0
0
u
→
u
→
x − 30
u + 30 − 30
u
32 ( u + 32 )
u 32
3
−2
+
−2
32 5
32
32
32
= lím
= lím
u →0
u →0
u
u
⎛
⎞
1
1
2 ⎜⎜ 5 1 + u − 1⎟⎟
2 5 1+ u − 2
32
32
⎠
= lím
= lím ⎝
u →0
u →0
u
u
1
⎛ 1 ⎞
5 1+
u −1
⎜
⎟
32
= 2 lím
= 2 ⎜ 32 ⎟
u →0
5
u
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
5
5
lím
x → 30
x+2 −2 1
=
80
x − 30
Ejemplo 4
⎛ 4 1 + 2 x − 1 − 3x ⎞
Calcular lim ⎜⎜
⎟⎟
3
x →0
1− x −1
⎝
⎠
SOLUCIÓN:
Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos para x y luego separaramos los límites:
4
lim
x →0
4
1 + 2 x − 1 − 3x
1 + 2 x − 1 − 1 − 3x + 1
= lim
3
3
x
→
0
1− x −1
1− x −1
4
= lim
x →0
1 + 2x −1 −
3
(
)
1 − 3x − 1
1− x −1
1 + 2x −1
1 − 3x − 1
−
x
x
= lim
3
x →0
1− x −1
x
4
1 + 2x −1
1 − 3x − 1
lim
− lim
x →0
x →0
x
x
=
3
1− x −1
lim
x →0
x
2 ⎛ 3⎞
− −
4
1 + 2 x − 1 − 3 x ⎞ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
=
= −6
⎟
3
⎟
1
1− x −1
⎠
−
3
4
⎛
lim ⎜⎜
x →0
⎝
47
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 5
⎛ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3x ⎞
Calcular lim ⎜⎜
⎟⎟
3
x →1
2 − x −1
⎝
⎠
SOLUCIÓN:
Aquí u = x − 1 de donde x = u + 1 y u → 0 .
Reemplazando, simplificando y calcular el límite:
4
lim
x→1
4 14 + 2 ( u + 1) − 2 4 − 3 ( u + 1)
14 + 2 x − 2 4 − 3x
= lim
3
u
→
0
3 2 − ( u + 1) − 1
2 − x −1
= lim
4
14 + 2u + 2 − 2 4 − 3u − 3
3
2 − u −1 −1
4
16 + 2u − 2 1 − 3u
3
1− u −1
u →0
= lim
u →0
16 (16 + 2u )
− 2 1 − 3u
16
= lim
3
u →0
1− u −1
4
u
− 2 1 − 3u
8
3
1 − u −1
2 4 1+
= lim
u →0
⎛
⎞
u
2 ⎜⎜ 4 1 + − 1 − 3u ⎟⎟
8
⎠
= lim ⎝ 3
u →0
1− u −1
4
= 2 lim
u →0
4
1+
= 2 lim
u →0
u
− 1 − 3u
8
3
1− u −1
1+
u
− 1 − 1 − 3u + 1
8
3
1 − u −1
u
−1 ⎛
1 − 3u − 1 ⎞
8
− ⎜⎜
⎟⎟
u
u
⎝
⎠
= 2 lim
3
u →0
1− u −1
u
u
4 1+
−1
⎛ 1 − 3u − 1 ⎞
8
lim
− lim ⎜⎜
⎟⎟
u →0
u →0
u
u
⎝
⎠
=2
3
1− u −1
lim
u →0
u
1
1 3
8 − ⎛ −3 ⎞
+
⎜ ⎟
4
14 + 2 x − 2 4 − 3x
4 ⎝ 2 ⎠
32 2 = −6 ⎛ 49 ⎞ = − 147
lim
2
2
=
=
⎜ ⎟
3
x→1
1
1
−
16
2 − x −1
⎝ 32 ⎠
−
3
3
4
1+
Ejercicios Propuestos 1.8
Calcular:
3
1.
2.
48
lím
x →6
x+2 − x−2
x+3 −3
⎛ 3 x + 26 − 4 80 + x ⎞
⎟
lím⎜⎜
⎟
x →1
x+8 −3
⎝
⎠
3.
⎛ x + 2 − 3 x + 20 ⎞
⎟
lím⎜⎜
⎟
4
x →7
x+9 −2
⎝
⎠
4.
lím+
x→2
3x − 2 − 3 3x + 2
4 − x2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.5 LÍMITES AL INFINITO.
En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una
función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al
infinito.
Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma
valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente
manera lím f ( x ) = L
x →∞
Ejemplo 1
Fig. 1.12
Formalmente sería:
Decir que lím f ( x) = L significa que
x→∞
f
puede estar tan cerca de L, tanto como
se pretenda estarlo ( ∀ε > 0 ), para lo cual
deberá poderse determinar el intervalo
en el cual tomar a x, ∃N (una número muy
grande), que lo garantice. Es decir:
( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0
x →∞
tal que
x > N ⇒ f ( x) − L < ε
49
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
Fig. 1.13
Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma
valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de
la siguiente manera lím f ( x) = L .
x →−∞
Ejemplo 1
Fig. 1.14
Formalmente sería:
Decir que lím f ( x) = L significa que f
x→−∞
puede estar tan cerca de L , tanto como
se pretenda estarlo, ∀ε > 0 , para lo cual
deberá poderse determinar el intervalo
en el cual tomar a x , ∃N (una número muy
grande), que lo garantice. Es decir:
( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0
x →−∞
50
tal que
x < − N ⇒ f ( x) − L < ε
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
Fig. 1.15
Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene
una asíntota horizontal y = L .
Aquí también podemos hacer demostraciones formales.
Ejemplo
Demostrar formalmente que lím
x→∞
1
=0
x
SOLUCIÓN:
Empleando la definición tenemos:
1
⎛
⎞
⎜ lím = 0 ⎟ ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 tal que
⎝ x →∞ x
⎠
Transformando el antecedente:
x>N⇒
1
−0 <ε
x
x>N
1 1
<
x N
Se observa que tomando N =
1
ε
aseguraríamos el acercamiento. Siempre y cuando ε sea un número
pequeño que origine un N muy grande.
1
1
esté a menos de ε = 0.01 de 0, bastaría con tomar a x >
Por ejemplo si se quisiera que y =
0.01
x
es decir x > 100 .
Para calcular límites al infinito, usualmente un recurso útil es dividir para x
de mayor exponente si se trata de funciones racionales.
51
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1
2 x 2 + 3x − 1
x →∞ 5 x 2 + x − 1
Calcular lím
SOLUCIÓN:
Aquí se presenta la indeterminación:
∞
∞
Dividiendo numerador y denominador para x 2 , tenemos:
2 x 2 3x 1
3 1
2+ − 2
+ 2− 2
2
x
x
x
x x = 2 (No olvide que
= lím
lím 2
x →∞ 5 x
x
→∞
1
1
x
1
5+ − 2 5
+ 2− 2
2
x x
x
x
x
Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =
2 x 2 + 3x − 1
5x2 + x − 1
k
≈ 0 ;k ∈ \
∞
)
tiene una asíntota horizontal
y=
2
5
Ejemplo 2
Calcular lím
x →+∞
x −1
x + x +1
2
SOLUCIÓN:
Aquí se presenta la indeterminación:
∞
∞
Dividiendo numerador y denominador para x : lím
x →+∞
x −1
x
2
x + x +1
x
Al introducir la x dentro del radical quedará como x 2 :
lím
x →+∞
x 1
1
−
1−
x x
x
= lím
=1
x →+∞
1 1
x2 x
1
+
+
1
+
+
x x2
x2 x2 x2
Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =
x −1
x2 + x + 1
tiene una asíntota horizontal
infinito positivo.
Ejemplo 3
Calcular lím
x →−∞
x −1
x + x +1
2
SOLUCIÓN:
Ahora se presenta la indeterminación:
−∞
∞
Aquí hay que dividir numerador y denominador para − x : lím
x →∞
52
x −1
−x
x2 + x + 1
−x
y =1
en el
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Al introducir la − x dentro del radical quedará como x 2 :
x
1
1
−
−1 +
−x −x
x = −1
= lím
2
x →−∞
1
1
1
x
x
1+ + 2
+ 2+ 2
2
x x
x
x
x
lím
x →−∞
x −1
Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) =
x2 + x + 1
tiene una asíntota horizontal y = −1 en el
infinito negativo.
Ejemplo 4
Calcular lim
x →+∞
(
x2 + x + 1 − x2 − x − 1
)
SOLUCIÓN:
Ahora se presenta la indeterminación: ∞ − ∞ . Vamos primero a racionalizarla y luego dividimos para el
x con mayor exponente:
lim
x →+∞
(
= lim
)
x2 + x + 1 − x2 − x − 1 ⋅
(x
+ x + 1) − ( x 2 − x − 1)
2
x2 + x + 1 + x2 − x − 1
x2 + x + 1 + x2 − x − 1
= lim
2 ( x + 1)
x + x +1 + x − x −1
x + x + 1 + x2 − x − 1
1
1+
⎛1⎞
x
= 2 lim
= 2⎜ ⎟ = 1
x →+∞
1 1
1 1
⎝2⎠
1+ + 2 + 1− − 2
x x
x x
x →+∞
2
2
x →+∞
2
En otros ejercicios de cálculo de límite al infinito se puede requerir emplear la
identidad: lím (1 +
u →∞
)
1 u
u
= e ¡DEMUÉSTRELA!
Ejemplo
Calcular lím (1 + 2x ) .
x
x→∞
Solución:
Para utilizar la forma anterior, transformamos el límite:
( )
⎡
lím ⎢ 1 +
x →∞
⎣
Se puede concluir que: lím (1 +
u →∞
)
k u
u
1
x
2
x
2
2
⎤
2
⎥ =e
⎦
= ek
53
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios propuestos 1.9
1. Demostrar formalmente que lím
x → −∞
1
=0
x
2. Calcular:
1.
2.
5 x3 − 3x 2 + 4 x − 3
x →∞
x3 + 3x + 1
3x
lím
x →−∞ 2 x 2 − 5 x + 1
lím
(2 x + 3) (3x − 2)
3
3.
4.
5.
lím
x →∞
lím
13.
14.
15.
x+3 x
16.
x →∞
x
lím
x →∞
x+ x+ x
x2 + 1
lím
x →∞
x +1
2
( x − 3)( 3x + 5 )( 4 x − 6 )
lím
x →∞
3x3 + x − 1
x sen (x!)
lím
x→∞ x 2 + 1
3x − 3
lím
x →∞
x2 + 1
3
6.
7.
8.
9.
10.
lím
x →−∞
11.
lím
12.
lím
x →∞
x →−∞
x →−∞
lím
x →−∞
2
x5 + 5
(2 x + 3)
5x
x−2
3x3 + 2 x 2 − x + 1
x3 − 8
17.
18.
19.
20.
21.
2x2 −1
3x
x−5
lím
lím
x2 + 2
3x + 1
x →−∞
lím
x2 −1
5 x3 − 1
x →−∞
2 + x6
lím x 2 + x − x
x →∞
(
lím x x 2 − 1 − x
x → +∞
)
( x + x +1 − x − x )
lím ( x − x − x + 2 )
2
lím
2
x →∞
2
x →+∞
lím
x →+∞
x
4
(
2
x+3− x+2
)
x
22.
⎛ x −1⎞
lím ⎜
⎟
x →∞ ⎝ x + 1 ⎠
23.
⎛ x −1 ⎞
lím ⎜
⎟
x →∞ x + 3
⎝
⎠
24.
⎡
⎛ x + 2 ⎞⎤
lím ⎢ x ln ⎜
⎟
x →∞
x − 5 ⎠ ⎥⎦
⎝
⎣
x+2
x2 + 1
x
1.6 LÍMITES INFINITOS
Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por
izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir
lím
f ( x) = ∞ . Diremos, en este caso, que f crece sin límite o que f no
x→ x
0
tiene límite en x0 .
54
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Sea M un número muy grande positivo.
Entonces lím f ( x) = ∞ significa que cuando
x→ x0
a x está próxima a " x0 “, a una distancia
no mayor de ∂ ( 0 < x − x0 < ∂ ), f
será
mayor que M. Es decir:
⎛
⎞
⎜ lím f ( x) = ∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) > M
⎝ x → x0
⎠
Ejemplo
Fig. 1.16
Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto
x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes
negativos; es decir lím f ( x) = −∞ . Diremos, en este caso, que f decrece sin
x → x0
límite o que f no tiene límite en x0 . Es decir:
Sea M una cantidad muy grande positiva.
Entonces:
⎞
⎛
⎜ lím f ( x) = −∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) < − M
x
→
x
0
⎠
⎝
55
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo
Fig. 1.17
Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores próximos a un
punto x 0 , sólo por su derecha, f toma valores muy grandes; es decir
lím+ f ( x) = ∞ . Lo cual significa:
x → x0
Sea M un número muy grande positivo.
Entonces:
lím f ( x) = ∞
x → x0 +
≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) > M
Ejemplo
Fig. 1.18
Observe que este comportamiento significa que la gráfica tiene una asíntota
vertical x = x0 .
56
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1
Calcular lim
x →1
1
( x − 1)
2
SOLUCIÓN:
Empleando el teorema de sustitución:
1
1
1
lim
=
= = +∞ (No existe)
2
2
x →1
( x − 1) (1 − 1) 0
La gráfica de f ( x ) =
1
( x − 1)
2
tiene una asíntota vertical x = 1 y tanto por izquierda como por derecha la grafica
crece sin límite.
Ejemplo 2
Calcular lim+
x→2
x+3
x−2
SOLUCIÓN:
Empleando el teorema de sustitución:
lim+
x→2
x + 3 2 + + 3 5+
=
=
= +∞ (No existe)
x − 2 2 + − 2 0+
x+3
La gráfica de f ( x ) =
tiene una asíntota vertical x = 2 y por su derecha la grafica crece sin límite.
x−2
PREGUNTA: ¿Qué ocurre a la izquierda?.
Se pueden describir otros comportamientos.
1.7 OTROS LÍMITES.
Para decir lím f ( x) = ∞ , f
x →∞
toma valores muy grandes positivos cada vez
que la x toma valores también grandes positivos; debemos asegurar que:
∀M > 0, ∃N > 0 tal que
x > N ⇒ f ( x) > M
Ejemplo
Fig. 1.19
57
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1.7.1 Asíntotas Oblicuas.
Si se observa que lím ⎡⎣ f ( x) − ( mx + b ) ⎤⎦ = 0 se dice que la gráfica de f tiene
x →∞
por asíntota oblicua la recta y = mx + b .
En tal caso los siguientes límites existen:
⎡ f ( x) ⎤
m = lim ⎢
⎥
x →∞
⎣ x ⎦
b = lim ⎡⎣ f ( x ) − mx ⎤⎦ ¿PORQUÉ?
y
x →∞
Y sería la manera de calcular los elementos de la recta.
y
+
mx
y=
b
y = f ( x)
Fig. 1.20
x
Ejercicios Propuestos 1.10
1.
Defina formalmente y describa gráficamente:
a)
lím f ( x) = −∞
x → x0 +
b)
c)
d)
e)
f)
2.
lím f ( x) = −∞
x → x0 −
lím f ( x) = −∞
x →∞
lím f ( x) = ∞
x → −∞
lím f ( x) = −∞
x → −∞
Demuestre formalmente que:
a)
b)
58
lím f ( x) = ∞
x → x0 −
1
= +∞
x
1
lím = −∞
x →0 − x
lím
x →0 +
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
3.
Calcular:
⎡
1 ⎤
1. lim+ ⎢1 +
x →1 ⎣
x − 1 ⎥⎦
x6
x +1
6 − 4 x 2 + x3
7. lim
x →∞ 4 + 5 x − 7 x 2
6. lim
⎡ x ⎤
2. lim− ⎢
x →1 ⎣ x − 1 ⎥
⎦
3. lim−
x →3
x+3
x2 − 9
x2 + 1
4. lim−
x →−7
5. lim+
x→4
4.
5.
x →∞
9. lim
1 − 2x
10. lim
1 + x5
x
x →−∞
x 2 − 49
x 2 − 16
4− x
x →∞
) [
(
] (
)
•
f ( x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1
•
∀N > 0, ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < −2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀N > 0, ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε ⎤⎦
•
∀ε > 0, ∃M > 0 , ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) − 1 < ε ⎤⎦
•
f (0) = 1
Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes:
•
∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 1 < ε
[
]
∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣ 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε ⎤⎦
∀ε > 0 ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) < ε
•
[
]
∀M > 0 ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
•
f (0) = 0
•
Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes:
•
∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 2 < ε ⎤⎦
∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < − x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < − N ]
•
∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x) − ( 2 x + 1) < ε ⎤⎦
•
∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) < ε ⎤⎦
•
7.
8. lim 2 x
Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
•
Dom f = −∞,−2 ∪ −1,1 ∪ 2,+∞
•
6.
5
x →−∞
Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes:
•
∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε ⎤⎦
∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − N ]
•
∀N > 0 ∃∂ > 0, ∀x [ 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x < − M ⇒ f ( x) + x − 1 < ε ⎤⎦
•
∀ε > 0 ∃M > 0, ∀x ⎡⎣ x > M ⇒ f ( x ) + 1 < ε ⎤⎦
•
59
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Misceláneos
1.
Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente.
1.
Si
2.
Si
f ( x) − 5
= 3 , entonces lím f ( x) = 0
x→2
x−2
f y g son funciones tales que lím f ( x) = 1
lím
x→2+
+
lím f ( x)
x →0 +
3.
Sea
x →0+
entonces
=1
una función de variable real tal que
f
lím g ( x) = ∞ ,
y
x →0 +
g ( x)
existe y
lím f ( x)
x→a +
lím
x→a +
x−a
= 1 . Entonces
f ( x)
lím f ( x) = 0 .
x→a +
4.
f
lím
f ( x)
g ( x)
Sean
f
x→a +
5.
y
Sean
g
funciones tales que
lím f ( x) = ∞
y
lím g ( x) = e
y
x→a +
lím g ( x) = ∞ .
x→a +
Entonces el
no existe.
y
g
funciones tales que
lím ( f D g )( x) = 1
x→a +
f ( x) = ln (g ( x) ) .
Entonces
x→a +
6.
Si lím
x →0+
7.
Si
8.
Si
9.
Si
10. Si
f ( x)
= 1 entonces lím f ( x) = 0
x
x →0 +
[ f ( x) + g ( x)]
lím
x→a
f ( x) ≠ g (x )
existe, entonces existen
para toda
lím
g (x )
x→a
x , entonces lím
f ( x) ≠ lím
g (x )
x→a
x→a
(
lím
x→a +
x − x−a −a
(
))
2
x−a
existe entonces
12. Si
[ f ( x) g ( x )]
lím
x→ a
existe y
13. Si
lím
f ( x) = +∞
x→a
entonces
14.
y
⎡ f ( x) ⎤
lím ⎢
f ( x) = 0 entonces lím g ( x) = 0
⎥ existe y lím
x→a
x→a
x→a
⎣ g ( x) ⎦
f y g son funciones definidas en IR entonces:
∀a ∈ IR lím
f ( g ( x)) = f lím
g ( x)
x→a
x→a
2
11. Si
lím
f ( x)
x→ a
lím
f ( x)
x→a
a = 0.
existe entonces
lím
g ( x)
x→ a
existe.
lím f ( x) = −∞
x→−a
( lím (3x − 1) = 2) ⇔ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x − 1 < ∂ ⇒ (3x − 1) − 2 < ε ⎤⎦
x →1
15. Si lím f ( x) = 0 y lím g ( x) = ∞ entonces lím f ( x) g ( x) = 0 .
x →0 +
x →0 +
16. Existen dos funciones de variable real
x →0 +
f
y
g
tales que
lím f ( x) = lím g ( x) = 0 y
x →0+
x →0+
f ( x)
lím
=e
+
( x)
g
x →0
⎛ f ( x) ⎞
g ( x) = 0
⎟ = 2 entonces lím
x →∞
⎝ g ( x) ⎠
17. Si lím f ( x) = 0 y lím ⎜
x →∞
x →∞
18. No existen dos funciones f y g tales que lím f ( x ) = 0 , lím g ( x ) = 0 y lím
x→0
x→0
19. Si lím f ( x) = 3 , lím g ( x) = −2 , entonces lím
x→a
60
x→a
x →a 3
x→0
f ( x) + g ( x) − 1
f ( x) + g ( x) − 1
f ( x)
=5
g ( x)
=1
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
2.
Empleando la definición de límite, demuestre que:
x⎞
⎛
lím ⎜ 4 − ⎟ = 2
x→4
2⎠
⎝
1.
+
2.
3.
3.
lím
2x2 − x − 1
=3
x −1
lím
x2 − 4
= −4
x+2
x →1+
x → −2 +
4.
lím x − 3 = 0
5.
lím x − 1 = 2
x →3+
x →5+
Determine
1.
lím ced x 2 + 2 x fhg
x → 3+
e − cos 2 x
sen 4 x
cos x − cos 3x
lím
x →0
x2
3x
2.
3.
4.
6.
⎡ 2x + 3 ⎤
lím
⎥
x → +∞ ⎢
⎣ 2x − 5 ⎦
3x
lím
x →1+
xe x − e
x −1
tan
9.
lím+ ( sen 2 x )
14.
4
tan 2 2 x
π
4
lím
x →0
e 2 x − cos 3x
sen 5 x
lím ⎣⎡ln ( 2 x + 1) − ln ( x + 2 ) ⎤⎦
x →+∞
⎡
⎛ x ⎞⎤
lím ⎢arctan ⎜
⎟⎥
2
⎝ 1 + x ⎠ ⎥⎦
⎣⎢
x →−∞
(
ln 1 + e x
x
x → +∞
lím
lím
x 2 −1
15. lím+ (1 + cot x )
x→
)
x 2 − x −1 −1
x →1+
lím
23.
⎛ arcsen x − arcsen 12 ⎞
⎟⎟
lím1 ⎜⎜
x − 12
x→
⎠
2⎝
2x − x 2 −1
x →1
sen x
x
x→0
πx
8.
x→
22.
25. lím+ ⎡⎣Sgn( x ) (a x + 1b + μ ( x − 1) ) ⎤⎦
⎡ π − 2arctan x ⎤
⎥
lím ⎢
3
x →∞ ⎢
⎥
x
e −1
⎣
⎦
13.
x −1
x →0
3x ⎞
⎛
lím ⎜ 4 − ⎟
x → 2+ ⎝
2 ⎠
12.
x −1
x →1
24. lím+
⎛ cos x ⎞
⎟
lím ⎜
π
+
π ⎜ x− 2 ⎟
⎠
⎝
x→
⎤
1⎞
⎟ − sen x ⎥
x⎠
⎦
arctan ( x 2 ) − arctan1
21. lím+
+
7.
11.
⎣
⎝
x →0+
2
10.
⎛
lím
2
5.
⎡
20. lím ⎢sen⎜ x +
x →∞
sec x
π
2
16. lím f ( x )
x →0
donde
⎧1 − cos3x
;x < 0
⎪ x2
⎪
5
;x = 0
f ( x) = ⎨
⎪ sen10 x − tan x
⎪
;x > 0
sen 2 x
⎩
26.
sen (sen x )
x
lím
x→0+
(a xb + a− xb)
28. lím (π − x ) tan ( )
π
27. lím
x →0
x
2
x→
x2 + 2 x + 5
⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2
29. lím ⎜
⎟
x→2 x + 1
⎝
⎠
3
30. lím ⎡ x 2
x →+∞
⎣⎢
(
)
x3 + 1 − x3 − 1 ⎤
⎦⎥
⎛ sen ( x −
⎞
6)
⎟⎟
x
cos
−
⎝
⎠
1 − cos x 2
32. lím 2
x → 0 x sen x 2
31. límπ ⎜
⎜
x→ 6
π
3
2
33. lím (1 + 2 x ) 2ln x
1
x →+∞
⎛ x −8⎞
⎜ 3 x − 4 ⎟⎟
⎝
⎠
34. lím ⎜
x → 64
1
⎛ 1 + 5x ⎞ 2x
35. lím ⎜
⎟
x →0 1 − 3x
⎝
⎠
36. lím (1 − cos x ) cot x
x→0
⎛ xe −5 x − cos 2 x − x + 1 ⎞
⎟
x→0
x2
⎝
⎠
37. lím ⎜
⎛ e3 x − cos 2 x ⎞
⎟
⎝ sen 5 x − x ⎠
38. lím ⎜
x→0
⎛
x
⎞
⎟
⎝ 1− x − 1+ x ⎠
39. lím ⎜
x→0
61
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
e 2 x − e7 x
x → 0 sen 2 x + tan 9 x
⎡ 1
1 ⎤
−
18. lím ⎢
⎥
+
x →1 ⎣
⎢ x − 1 x − 1 ⎦⎥
40. lím
17. lím+
x →∞
(
3
x +1 − 3 x
⎛ x+a⎞
⎟
⎝ x−a⎠
41. lím ⎜
x →∞
⎛ x sen 3x ⎞
⎟
⎠
19. lím ⎜
x → 0 + ⎝ 1 − cos 2 x
Calcular
5.
Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
•
∀ε > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε
6.
lím f ( x)
x→0 +
si
•
∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x + 3 < ∂ ⇒ f ( x) > N
•
•
∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < −3 − x < ∂ ⇒ f ( x) < − N
∀ε > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε
•
∀ε > 0, ∃M > 0 : x < − M ⇒ f ( x) < ε
Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:
•
Dom f = ( −∞, −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ )
•
[
∀ε > 0, ∃∂ > 0 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < ε
]
•
∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ]
∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
•
∀M > 0, ∃∂ > 0 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M
•
∀ε > 0, ∃N > 0 x > N ⇒ f ( x) + 1 < ε
•
•
62
f ( x)
< 1 para x ≠ 0
x
4.
[
[
∀ε > 0, ∃N > 0 [x < − N ⇒
f ( x) < ε
]
]
]
x
)
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2
2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON
2.3
2.4
FUNCIONES
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
OBJETIVOS:
• Definir formalmente continuidad de una función de
una variable real en un punto y en un intervalo.
• Realizar demostraciones formales de continuidad.
• Construir funciones continuas.
63
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función
en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento
justamente en el punto.
2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su
gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera
alzar la mano. Esto en términos formales sería:
2.1.1 DEFINICIÓN
Sea f una función de una variable real definida en
un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) . Se dice que
f es continua en " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es decir, si
x→ x0
se cumplen tres cosas:
1. f ( x0 ) está definida
2. lím
f ( x) = L (existe); y
x→ x
0
3. L = f ( x0 )
Caso contrario, se dice que f es discontinua en " x0 "
Ejemplo
Una función continua en un punto x0
Fig. 2.1
Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto x0 , tenemos:
64
Moisés Villena Muñoz
Cap. 2 Continuidad de funciones
Ejemplo 1
Fig. 2.2
La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe
x → x0
Ejemplo 2
Fig. 2.3
La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe
x → x0
Ejemplo 3
Fig. 2.4
La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) ≠ f ( x 0 )
x→ x
0
65
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una
discontinuidad esencial.
Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible,
porque sería cuestión de definir a f en el punto " x0 " con el valor de L para tener
ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso
el límite existe.
Ejemplo 4
x 2 + 5x − 6
no está definida en x = 1 y su gráfica es la de f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 que
x −1
no es continua en x = 1 . (tiene un hueco)
f ( x) =
Fig. 2.5
⎧ x 2 + 5x − 6
;x ≠1
⎪
Definiéndola continua tenemos f ( x) = ⎨ x − 1
⎪
7
;x =1
⎩
Ejemplo 5
Determine el valor de " A ", de ser posible, para que
⎧ x2 − 4
⎪
;x ≠ 2
f ( x) = ⎨ x − 2
⎪A
;x = 2
⎩
sea continua en x = 2 .
SOLUCIÓN:
Para que f sea continua en x = 2 será cuestión de definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es
x→ 2
que existe; es decir, hacer que A = f (2) = lím f ( x) .
x→ 2
Calculando el límite tenemos:
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 .
x2 − 4
= lím
x→2 x − 2
x→2
x→2
x−2
lím
Por tanto A = 4
66
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 6
Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que
⎧ e2x − 1
⎪
;x ≠ 0
f ( x) = ⎨ x
⎪A
;x = 0
⎩
sea continua en x = 0 .
SOLUCIÓN:
La función está definida para todo número real excepto x = 0 . El asunto será definirla en este punto con el
valor de lím f ( x) si es que existe; es decir, A = f (0) = lím f ( x) .
x →0
x→0
Calculando el límite tenemos:
e 2x − 1
=2.
x →0
x
lím
(Recuerde que lím
x →0
a kx − 1
= k ln a )
x
Por tanto A = 2
Ejercicios Propuestos 2.1
1.
Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.
⎧ 1
⎪
x 2 − 16
x−4
⎧⎪( x + 2 )2 ; x ≠ −2
2. f ( x ) = ⎨
; x = −2
⎪⎩ 2
1. f ( x) =
6. f ( x ) = ⎨ x − 1
⎪⎩ x − 1 ; x < 2
⎧ 1
⎪⎪ x + 1 ; x < 0
7. f ( x ) = ⎨
⎪ 1
;x ≥ 0
⎩⎪ x − 1
⎧x2 ; x < 0
⎪⎪
3. f ( x) = ⎨− x ;0 ≤ x ≤ 1
⎪x
;x >1
⎪⎩
2.
4.
⎧ 2 − 3x
⎪
f ( x) = ⎨ 5
⎪ x2 − 2 x + 3
⎩
5.
⎧1 + 2 x − x
f ( x) = ⎨
⎩2 x − 5
2
8.
f ( x) = μ ( x − 2) + Sgn( x + 2)
c
1f
f ( x) = dd x + gg
2h
e
; x ≤ −1
9.
; x > −1
10.
f ( x) = a x b − x
11.
f ( x) = asen x b ; x ∈ ( −2π , 2π )
;x ≤ 3
;x > 3
Calcular el valor de " A ", de ser posible, para que f sea continua en todo R
⎧ 3− x
⎪
1. f ( x) = ⎨ x 2 − 9
;x ≥ 2
;x ≠ 3
⎪A
;x = 3
⎩
⎧ x−2 −2
;x≠6
⎪
2. f ( x ) = ⎨ x − 6
⎪
A
;x = 6
⎩
⎧ 2x2 + x − 3
; x ≠1
⎪
3. f ( x ) = ⎨ 3 x − 1
⎪
A ; x =1
⎩
.
⎧ 3+ 3 x −2
⎪
;x ≠1
4. f ( x ) = ⎨
x −1
⎪
A
;x =1
⎩
5.
⎧ sen x
;x ≠ 0
⎪
f ( x) = ⎨ x
⎪A
;x = 0
⎩
67
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES
Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la
puede determinar haciendo uso del siguiente teorema.
2.2.1 TEOREMA
Sean f y g funciones de variable real
continuas en el punto " x0 ", entonces
también lo serán: k f , f + g , f − g , f .g ,
f
g
( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f ( f ( x0 ) > 0
si n es par
)
Demostración.
Demostremos lo siguiente:
"Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces
f + g también es continua en " x 0 "
Las hipótesis serían
H 1: lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
y
H 2: lim g ( x ) = g ( x0 )
x → x0
Como lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x)
x → x0
x → x0
x → x0
entonces
lim [ f ( x) + g ( x) ] = f ( x0 ) + g ( x0 )
x → x0
Es decir
C : lim ⎡⎣( f + g ) ( x) ⎤⎦ = ( f + g ) ( x0 )
x → x0
Lo cual indica que la función f + g también es continua en " x0 "
Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector.
Se puede hacer analogía con el teorema principal de límites si surge la
interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si
tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas)
continua, se podría decir que las funciones que la formaron son también
continuas.
Para el caso de la función compuesta tenemos.
68
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.2.2 TEOREMA DEL LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN.
Sean f y g funciones de variable real. Si
g es continua en " x0 " y f continua en
g ( x0 ) entonces f D g es continua en " x0 "
Demostración.
Tenemos las siguientes hipótesis:
H1 : g es continua en x0 , es decir lim g ( x ) = g ( x0 ) , lo cual significa que
x → x0
∀ε1 > 0 , ∃∂1 > 0 tal que, si x − x0 < ∂1 entonces g ( x ) − g ( x0 ) < ε1
H 2 : f es continua en g ( x0 ) , es decir
lim f ( x) = f ( g ( x0 ) ) , lo cual significa que
x → g ( x0 )
∀ε 2 > 0 , ∃∂ 2 > 0 tal que, si x − g ( x0 ) < ∂ 2 entonces f ( x ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2
En la segunda hipótesis si hacemos x = g ( x ) tenemos:
g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2
En la primera hipótesis, el consecuente de la implicación se cumple si ε1 = ∂ 2 .
Considerando las dos hipótesis juntas:
⎡ x − x0 < ∂1 ⇒ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⎤
⎣
⎦
∧
⎡ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2 ⎤
⎣
⎦
Se cumple que:
x − x0 < ∂1 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε
O lo que es lo mismo lim f ( g ( x ) ) = f ( g ( x0 ) ) . Esto indica que f D g es continua en " x0 "
x → x0
En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en
cambio en continuidad estamos interesados, además, en indicar si la función toma
el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones
de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo
vamos a decir a continuación.
69
Moisés Villena Muñoz
Cap. 2 Continuidad de funciones
2.3 CONTINUIDAD LATERAL
2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA
Sea f una función de variable real. f es
continua por la derecha de " x0 " si
lím f ( x) = f ( x0 )
x → x0 +
Ejemplo
Fig. 2.6
Es decir, f sólo por la derecha de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) .
2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA
Sea f una función de variable real. f es
continua
por la izquierda de " x0 " si
lím f ( x) = f ( x0 )
x → x0 −
Es decir, f sólo por la izquierda de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) .
Ejemplo
Fig. 2.7
70
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
En conclusión, si f es continua en x0 significa que tanto por derecha como por
izquierda f se aproxima y llegar a ser f ( x0 ) .
Bien, lo anterior es sólo en un punto, si la función fuera continua en todo \ ,
bastaría con decir existe continuidad en todo punto de \ . Es decir:
Sea f una función de variable real. f es
continua en \ si ∀x0 ∈ \ ⎡ lím f ( x) = f ( x0 ) ⎤
⎣⎢ x→ x0
⎦⎥
Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas
en todo \ , como las funciones lineales, las funciones cuadráticas y en general
todas las funciones polinomiales, las funciones trigonométricas seno y coseno.
Otras funciones en cambio son continuas sólo en intervalos, sería importante
aquí indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo.
2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
2.4.1 CONTINUIDAD EN (a, b )
Sea f una función de variable real. f es
continua en un intervalo abierto (a, b ) si es
continua en todo punto interior de (a, b ) .
Es decir ∀x0 ∈ ( a, b ) ; lím f ( x) = f ( x0 )
x→ x0
Ejemplo 1
Una función continua en (a, b )
Fig. 2.8
71
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
Otra función continua en (a, b )
Fig. 2.9
2.4.2 CONTINUIDAD EN [a, b]
Sea f una función de variable real. f es
continua en un intervalo cerrado [a, b] si
es continua en (a, b ) y además continua a la
derecha de a ( xlím
f ( x) = f (a) ) y a la
→a
+
izquierda de b ( xlím
→b
−
f ( x) = f (b) ).
Ejemplo
Una función continua en [a, b]
Fig. 2.10
72
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.4.3 CONTINUIDAD EN [a, b )
Sea f una función de variable real. f es
continua en un intervalo semiabierto [a, b) ,
si es continua en (a, b ) y además continua a
la derecha de a .
Ejemplo 1
Una función continua en
[a, b)
Fig. 2.11
Ejemplo 2
Otra función continua en
[a, b)
Fig. 2.12
73
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.4.4 CONTINUIDAD EN (a, b]
Sea f una función de variable real. f es
continua en un intervalo semiabierto (a, b] ,
si es continua en (a, b ) y además continua a
la izquierda de b .
Ejemplo 1
Fig. 2.13
Ejemplo 2
Fig. 2.14
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
Ejercicio resuelto 1
⎧ x 2 − 2a ; x < 2
⎪
; x = 2 sea continua en todo
Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 8
⎪5 x + a ; x > 2
⎩
SOLUCIÓN:
74
\.
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Note que f está definida con funciones polinomiales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos.
Debemos procurar que f sea continua en x = 2 , lo que significa que:
lím ( x 2 − 2a ) = lím+ (5 x + a) = f ( 2 )
x → 2−
x →2
4 − 2a = 10 + a = 8
a = −2
⎧ x2 + 4 ; x < 2
⎪
; x=2
Es decir, que la función f ( x) = ⎨ 8
⎪5 x − 2 ; x > 2
⎩
será continua en todo R .
Ejercicio resuelto 2
⎧2x2 + a ; x < 1
⎪
Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 5
; x = 1 sea continua en todo
⎪ x − 3a ; x > 1
⎩
\.
SOLUCIÓN:
Igual que el ejercicio anterior, debemos procurar que f sea continua en x = 1 , lo que significa que:
lím(2 x 2 + a) = lím(
x − 3a ) = f (1)
+
x →1−
x →1
2 + a = 1 − 3a = 5
Aquí ocurre una inconsistencia, entonces no existe valor de a para que f sea continua en \ .
Ejercicio resuelto 3
⎧2 x − a
⎪
Hallar los valores de " a " y " b ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ax + b
⎪b − 5 x
⎩
; x < −3
;−3 ≤ x ≤ 3
;x > 3
sea continua en todo \ .
SOLUCIÓN:
Aquí igual que las anteriores, f está definida con funciones lineales y por tanto será continua en los
respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en x = −3 y en x = 3 , lo que significa dos
cosas:
lím (ax + b) = lím+ (b − 5 x) = f ( 3)
lím (2 x − a ) = lím+ (ax + b) = f ( −3)
x →−3−
1.
x → 3−
x →−3
2(3) − a = 3a + b
2.
x →3
a (3) + b/ = b/ − 5(3)
3a = −15
2a − b = 6
reemplazando el valor de
a = −5
a
en la primera ecuación obtenida, resulta:
⎧ 2x + 5
⎪
Es decir, que la función f ( x) = ⎨ −5 x − 16
⎪ −16 − 5 x
⎩
; x < −3
; −3 ≤ x ≤ 3
;x > 3
2(−5) − b = 6
b = −16
será continua en todo R .
75
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio resuelto 4
9−x
x−6
Analizar la continuidad de la función f ( x) =
SOLUCIÓN:
El asunto aquí es sinónimo al de establecer el dominio natural (¿por qué?). Entonces debemos resolver la
9− x
inecuación
≥0.
x−6
Se concluye que f tendrá gráfica sólo en el intervalo ( 6,9] , que será también su intervalo de continuidad.
Ejercicio resuelto 5
CALIFIQUE COMO VERDADERA O FALSA LA PROPOSICIÓN. Justifique formalmente su
respuesta.
es una función de variable real continua en \ y se conoce que
“Si f
⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ⎞
lim ⎜
⎟⎟ = 1 , entonces f (1) = f ( 0 ) + 2 .”
x →0 ⎜
sen ( 3 x )
⎝
⎠
SOLUCIÓN:
Primero calculemos lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) .
x →0
⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2
⎞
lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) = lim ⎜
sen ( 3x ) ⎟
⎟
x →0
x →0 ⎜
sen
3
x
(
)
⎝
⎠
⎛ f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ⎞
= lim ⎜
sen ( 3x )
⎟⎟ lim
x →0 ⎜
x →0
sen ( 3 x )
⎝
⎠
0
1
= (1)( 0 )
lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x3 − 2 ) = 0
x →0
Como f es continua, entonces:
lim ( f ( x + 1) − f ( x ) + x 3 − 2 ) = f ( 0 + 1) − f ( 0 ) + 03 − 2
x →0
= f (1) − f ( 0 ) − 2
Finalmente, igualamos los dos resultados:
f (1) − f ( 0 ) − 2 = 0 ⇒
f (1) = f ( 0 ) + 2
Por tanto la proposición es VERDADERA.
Ejercicio resuelto 6
Bosqueje el gráfico de una función
76
f que satisfaga las siguientes condiciones:
1.
Dom f = \
2.
f
3.
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε
es continua en (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ )
[
]
4.
5.
6.
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ]
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
∀M > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) < − M ]
7.
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x − ∂ < x + 2 < 0 ⇒ f ( x) + 2 < ε
8.
[
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒
9.
f ( −2) = 1 , f (0) = 1 , f (−1) = 0 , f (3) = 0 , f (2) = 1
f ( x) − 2 < ε
]
]
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
SOLUCIÓN:
Las condiciones dadas significan:
1. Intervalos de continuidad (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ )
2. lím f ( x) = 2 asíntota horizontal y = 2 para x negativos.
x → −∞
3.
lím f ( x) = −∞ asíntota vertical x = −2 por derecha
x → −2 +
4. lím f ( x) = ∞ asíntota vertical x = 1 por derecha
x →1+
5. lím f ( x) = −∞
x →∞
6.
lím f ( x) = −2 límite por izquierda de x = −2
x → −2 −
7. lím f ( x) = 2 límite por izquierda de x = 1
x →1−
8. Puntos que pertenecen a f
Por tanto la grafica sería:
Fig. 2.15
Ejercicios Propuestos 2.2
1.
Hallar los valores de " a " y " b " , de ser posible, para que f sea continua en R .
⎧x 2
⎪⎪
1. f ( x) = ⎨ax + b
⎪2 x − 6
⎪⎩
;x ≤1
;1 < x < 4
;x ≥ 4
;x ≤1
⎧x
⎪
2. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 < x < 4
⎪− 2 x
;x ≥ 4
⎩
⎧x + 1
⎪
3. f ( x ) = ⎨ax + b
⎪3 x
⎩
;x <1
⎧ x + 2a
⎪
; x < −1
4. f ( x ) = ⎨ ax + b
; −1 ≤ x < 3
⎪2ax − 3b
;x ≥ 3
⎩
5.
⎧−2sen x
; x ≤ −π
2
⎪
⎪
π
< x<π
f ( x) = ⎨a a cos x b + bx ; −
2
2
⎪
;x ≥π
⎪sen x
2
⎩
;1 ≤ x < 2
;x ≥ 2
77
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
2.
Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
sen 2 x
x −1
4. f ( x ) =
2. h( x) =
1+ x2
2x + 3
5.
f ( x) =
6.
⎛ x2 + 1 ⎞
f ( x) = sen ⎜ 2
⎟
⎝ x −1 ⎠
3. f ( x ) =
x 2 + 2x − 8
x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12
;x > 0
⎧1
⎪
y
f ( x) = ⎨0
;x = 0
⎪− 1 ; x < 0
⎩
a) ( f D g )(x )
Para que valores de " x ", es continua:
3.
2 x 3 + x 2 − x + 18
x3 + x 2 − 2 x − 8
1. f ( x ) =
x −1
sen 2 x
g ( x) = 1 + x 2
Sean las funciones:
b) (g D f )(x )
f ( x ) = cde x 2 − 2fgh
4. Determine el máximo valor de " k " para que la función:
[3,3 + k )
sea continua en el intervalo
5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
f
ƒ
es continua en (−5,2 ) ∪ (2,10
ƒ f (3) = f (10) = 0
[
]
ƒ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 5 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε
[
[
ƒ ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M
]
ƒ ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M
]
]
6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
f es continua en
(−∞,0] ∪ (0,3) ∪ (3, ∞ )
[
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[− ∂ < x < 0 ⇒
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) < ε
f ( x) − 2 < ε
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < − M ]
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 3 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
ƒ
[
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒
ƒ
f (3) = f (5) = 2 , f (7) = 0
ƒ
]
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 3 < ∂ ⇒ f ( x) < ε
f ( x) + 1 < ε
]
]
]
2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES
CONTINUAS
Sea f una función de variable real
definida en el intervalo cerrado [a, b] . Si f
es continua en [a, b] entonces para toda
f ( x) ∈ ⎡⎣ f ( a ) , f ( b ) ⎤⎦ existe un x0 ∈ [ a, b ] .
78
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
Fig. 2.16
Ejemplo
Demuestre que la ecuación x + 3 x − 2 = 0 tiene una solución real entre "0" y "1".
SOLUCIÓN:
3
Definamos la función f ( x) = x3 + 3 x − 2 .
Observamos que: f (0) = −2 y f (1) = 2
Fig. 2.17
y como f es continua en [0,1] , por ser polinomial; aplicando el Teorema del Valor Intermedio,
tenemos que si f ( x) = 0 existirá un x elemento de [0,1] que lo satisfaga. Es decir: ∃x ∈ [0,1] tal
que f ( x) = x3 + 3x − 2 = 0
Ejercicios Propuestos 2.3
1.
(Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.
2.
(Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.
3.
Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y
en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
[ ]
[ ]
a)
Si f es continua y no tiene ceros en a, b , entonces f ( x) > 0 para toda x en a, b
b)
Si f es continua en x0 y f ( x0 ) > 0 , hay un intervalo (x0 − ∂ , x0 + ∂ ) tal que f ( x ) > 0 en ese
f ( x) < 0 , ∀x ∈ [a, b]
o
intervalo.
c)
El producto de dos funciones f y g es continua en " x0 " , si f es continua en " x0 " pero g no.
79
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
d)
Si f es continua en " x0 " y g es discontinua en " x0 ", entonces f + g es discontinua en " x0 ".
e)
Toda función continua en (a, b ) es acotada.
f)
Toda función acotada en a, b es continua en a, b
g)
Si f es continua e inyectiva en a, b entonces su función inversa f
[ ]
[ ]
[ ]
−1
[ ]
es continua en a, b
4.
Demuestre que la ecuación: x − 4 x − 3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [2,3].
5.
Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras,
demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de
tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.
5
3
Misceláneos
1.
Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y
en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
a) lím f ( x ) = lím f ( x) entonces f es continua en x = a .
x→a
x →a
+
−
b) Si f y g son funciones continuas en x = a entonces la función fg también es continua en x = a .
⎧ x − 2 + x−2
;x > 2
⎪
es
x2 − 4
⎪
2
;x ≤ 2
⎩
c) La función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨
continua en x = 2 .
d) Si f es una función tal que dom f = IR y ∀a ∈ IR lím f ( x ) existe, entonces f es continua en
x→ a
todo su dominio.
e) Si f es una función continua en a, b tal que f ( a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe al menos un
c ∈ (a, b ) tal que f (c) = 0 .
[ ]
[
]
f) Si f es una función de IR en IR tal que f ( x ) = sen x entonces f es continua en x = π .
[ ]
[ ]
g) Sea f una función continua en a, b tal que f ( a) • f (b) > 0 entonces no existe un valor c ∈ a, b
tal que f (c) = 0 .
h) Si f y g son funciones que no son continuas en x = a entonces la función f + g no es continua en
x =a.
⎧⎪1 − x
i) La función f ( x ) = ⎨
⎪ 2
;x < 2
⎩x − 2x ; x ≥ 2
j) Sea f
es continua en todo su domino.
⎧1 − cos x
; x≠0
⎪
,
x2
⎪ 0
;
x
0
=
⎩
una función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨
entonces f es continua en todo su dominio.
π
⎧ x
⎪ cot x − 2 cos x ; x <
2. Determine el valor de "a" para que f ( x ) = ⎨
⎪
ax − 1
;x ≥
⎩
π
2
π
2
sea continua en x = π
2
⎧
1 − x2
; x ≤ −1
⎪
⎪⎪ Ax5 + Bx 4 − Ax − B
;−1 < x < 1
3. Sea f una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨
x2 − 1
⎪
⎪
x2
;x ≥1
⎩⎪
Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales.
80
Cap. 2 Continuidad de funciones
Moisés Villena Muñoz
4.
Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones:
•
•
•
x → −∞
−
∀N > 0 ∃δ > 0 [0 < x − 1 < δ ⇒ f ( x) > N ]
•
∀ε > 0 ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε
[
∀x ∈ (3,5) [ f ( x) < 0]
]
Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ
Domf = (− ∞,−1) ∪ [0,+∞ )
rgf = [1, e ) ∪ (e,+∞ ]
f (0) = 1
ƒ
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) − e < ε
ƒ
ƒ
ƒ
6.
x →0
•
•
5.
f es continua en los intervalos (−∞,0) ; [0,1] ; (1,+∞ ) .
f (0) = f (3) = f (5) = 0 f (1) = f (2) = 1
lim f ( x) = −1
lim f (x) = −∞
[
]
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[−∂ < x + 1 < 0 ⇒ f ( x) > M ]
Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
ƒ Dom f=IR,
f ( x) > 0 para x ∈ (−∞,−1 ∪ (0,1)
ƒ
]
ƒ
f (−1) = 1 ∧ f (0) = f (1) = 0 ∧ lím+ f ( x) = 1
ƒ
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε
ƒ
[
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒
x→0
f ( x) + 1 < ε
]
]
ƒ
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
ƒ
∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M
ƒ
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) − f (0) < ε
ƒ
[
[
∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒
f ( x) < ε
]
]
]
81
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA
TANGENTE.
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
3.4 FORMA ALTERNATIVA
3.5 DIFERENCIABILIDAD
3.6 DERIVACIÓN
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
3.7
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3.7.1
3.7.2
3.7.3
3.7.4
FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
OBJETIVOS:
•
•
•
•
Definir derivada.
Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas
normales a una curva.
Realizar demostraciones formales de derivada.
Calcular derivadas.
83
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la
ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue
resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da
inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM
LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por
describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo
una trayectoria, después veremos que es el mismo problema.
Empecemos primero estudiando el problema geométrico.
3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta
tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1.
y
y = f ( x)
y0
x
x0
Fig. 3.1
La ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 )
Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente.
Observe la Fig. 3.2
84
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ( x0 + h )
f ( x0 )
N
N
y = f ( x)
y
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
x0
x
x0 + h
Fig. 3.2
La pendiente de la recta secante entre los puntos
( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec =
( x0 , f ( x0 ) )
y
f ( x0 + h) − f ( x0 )
h
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada
vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la
recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
mtg = lím
h→0
f ( x0 + h) − f ( x0 )
h
3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Suponga que se tengan la ecuación del espacio
que sea función del tiempo; es decir
determinar la velocidad media
estaría dada por:
vm =
vm
e = f (t ) .
e
recorrido por un móvil, y
Suponga ahora que se quiere
en un intervalo de tiempo
[t0 , t0 + h] , esta
Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 )
=
Δt
t0 + h − t 0
La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de
tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir:
85
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ( t0 + h ) − f ( t 0 )
Δe
= lim
Δt →0 Δt
h →0
h
v = lim vm = lim
Δt →0
Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma
que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo.
De aquí se dará la definición de la derivada.
3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA
Sea f una función de variable real. Sea x0
un punto del dominio de f . La derivada de
f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define
como:
f ´(x0 ) = lím
h →0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h
Siempre que este límite exista.
Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ".
Otras notaciones que se emplean para la derivada son:
Leibniz utilizó la notación
y´
o
dy
.
dx
En cualquier caso, la derivada en " x " sería:
f ´( x) = lím
h →0
86
f ( x + h) − f ( x )
h
Dx y .
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.4 FORMA ALTERNATIVA
Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para
algunos casos resulta muy útil.
En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: h = x − x0
f ´( x0 ) = lím
h →0
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ( x0 + x − x0 ) − f ( x0 )
= lím
x→ x0
h
x − x0
= lím
x→ x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3.
y = f ( x)
f ( x)
f ( x0 )
N
N
y
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
x0
x
x
Fig. 3.3
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y (x, f ( x) ) sería:
msec =
f ( x) − f ( x0 )
. Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada
x − x0
por:
mtg = lím
x→ x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
87
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1
Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1
SOLUCIÓN:
f ´( x) = lím
h →0
= lím
f ( x + h) − f ( x )
h
⎡⎣ 2 ( x + h ) + 1⎤⎦ − [ 2 x + 1]
h→0
h
2 x + 2h + 1 − 2 x − 1
= lím
h→0
h
2h
= lím
h→0 h
= lím 2
h→0
f ´( x) = 2
Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
f ´( x0 ) = lím
x → x0
= lím
( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1)
x − x0
x → x0
= lím
2 x + 1 − 2 x0 − 1
x − x0
= lím
2 x − 2 x0
x − x0
x → x0
x → x0
= lím
x → x0
2 ( x − x0 )
( x − x0 )
= lím 2
x → x0
f ´( x0 ) = 2
Ejemplo. 2
Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2
SOLUCIÓN:
f ´(x) = lím
h →0
= lím
f ( x + h) − f ( x )
h
(x + h )2 − x 2
h→0
h
x + 2 xh + h 2 − x 2
h→0
h
h(2 x + h )
= lím
h→0
h
= lím (2 x + h )
= lím
h→0
f ´(x) = 2 x
88
2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Empleando la forma alternativa:
f ´( x0 ) = lím
x → x0
= lím
x → x0
= lím
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
x 2 − x0 2
x − x0
( x − x0 )( x + x0 )
x − x0
x → x0
= lím ( x + x0 )
x → x0
= x0 + x0
f ´( x0 ) = 2 x0
Ejercicios propuestos 3.1
1.
Sea
f ( x ) = x2 − 2 x + 1 .
f (2.5) − f (2)
0.5
f (2.3) − f (2)
b) Calcule el valor de
0.3
f (2.1) − f (2)
c) Calcule el valor de
0.1
a) Calcule el valor de
d) Calcule el valor de
2.
Hallar
.
f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.
f ´(3) , considerando la gráfica:
y = f ( x)
3.
Empleando la definición, determine la derivada de:
a)
f ( x) = 3x + 2
d)
f ( x) = −2 x 2 + x − 1
b)
f ( x) = −2 x + 1
e)
f ( x) = 2 x 3
c)
f ( x) = x 2 + 2 x − 3
f) f ( x ) =
1
3x + 2
89
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.5 DIFERENCIABILIDAD
Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una
función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será
derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a
derivabilidad para funciones de una variable real.
3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.
Si f es diferenciable en " x0 ", es decir
f ´(x0 ) existe, entonces f es continua en
" x0 "
Demostración.
Expresemos lo siguiente:
f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por (x − x0 ) , suponga x ≠ x0 ,
tenemos:
f ( x) =
f ( x) − f ( x0 )
(x − x0 ) + f ( x0 )
x − x0
Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:
lím f ( x) = lím
x → x0
La expresión lím
x → x0
x → x0
f ( x) − f ( x0 )
lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 )
x → x0
x → x0
x − x0
f ( x) − f ( x0 )
es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es
x − x0
derivable en x 0 . Entonces:
cons tan te
f ( x) − f ( x0 )
lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 )
lím f ( x) = lím
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
x − x0
f (x )
0
f ´( x0 )
= f ´(x0 )[0] + f ( x 0 )
= 0 + f ( x0 )
lím f ( x) = f ( x0 )
x → x0
Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.
90
0
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en
" x0 " entonces no es diferenciable en " x0 ".
También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable.
Ejemplo
Hallar
f ´(1)
para
f ( x) = x − 1
SOLUCIÓN:
Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ( x) − f (1)
f ´(1) = lím
x→1
x −1
x −1 − 0
= lím
x→1 x − 1
x −1
= lím
x→1 x − 1
El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir:
x −1
1. lím+
= lím 1 = 1
x →1 x − 1 x →1+
−(x − 1)
2. lím
= lím (− 1) = −1
−
x −1
x →1
x →1−
Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím
x→1
x −1
x −1
no existe.
Observando la gráfica de y = x − 1 , Fig. 3.4
Fig. 3.4
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de
x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es
continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica
diferenciabilidad.
91
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.5.2 DERIVADAS LATERALES.
Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla
unilateralmente.
3.5.2.1 Derivada por derecha
La derivada por derecha del punto " x0 "
de una función f se define como:
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
o por la forma
h →0
h
f ( x) − f ( x0 )
alternativa: f ´(x0 + ) = lím
x→ x
x − x0
+
f ´(x0 ) = lím
+
+
0
3.5.2.2 Derivada por izquierda.
La derivada por izquierda del punto " x0 "
de una función f se define como:
f ( x0 + h) − f ( x0 )
o por la forma
h →0
h
f ( x) − f ( x0 )
alternativa: f ´(x0 − ) = lím
x→ x
x − x0
−
f ´(x0 ) = lím
−
−
0
Por tanto, para que f ´(x0 ) exista, se requiere que las derivadas laterales
+
−
existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es
derivable en " x0 " y su gráfica no será suave en ese punto.
Ejemplo
⎧⎪2 x − 1; x < 2
2
⎩⎪ x − 1; x ≥ 2
Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨
SOLUCIÓN:
Primero veamos si que es continua en x = 2 .
(
)
Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 x→2−
x →2+
Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición
a la izquierda y la derecha de x = 2 .
92
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ´(2 − ) = lim−
x →2
f ´(2 + ) = lim+
(2 x − 1) − (2(2) − 1) =
(x
x→2
x−2
2
) (
)
lim
x→2−
2(x − 2)
2x − 4
= lim
=2
x − 2 x →2− x − 2
(x + 2)(x − 2) = 4
−1 − 2 2 −1
x2 − 4
= lim+
= lim+
x→2 x − 2
x→2
x−2
x−2
( )
−
+
Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2 entonces f ´(2) no existe
Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en
un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto.
Ejemplo
Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0)
SOLUCIÓN:
Empleando la forma alternativa:
f ( x) − f (0)
f ´(0) = lím
x→0
x−0
= lím
x→0
= lím
x→0
3
x −0
x
1
2
x 3
f ´(0) = ∞ (no existe)
Lo que ocurre es que la recta tangente, en
x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5
Fig. 3.5
Por tanto, si una función es diferenciable
en un punto " x0 " ocurren tres cosas:
1. Es continua en ese punto
2. Es suave en ese punto
3. La recta tangente no es vertical en
ese punto
93
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Un problema de diseño
Ejemplo
⎧⎪mx + b ; x < 2
Sea: f ( x) = ⎨ 2
Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio.
⎪⎩ x
;x ≥ 2
SOLUCIÓN:
Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en
todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que
debemos centrarnos en dos cosas:
1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:
lím ( mx + b ) = f ( 2 ) = lím+ ( x 2 )
x → 2−
x→2
2m + b = 4
2.
f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4
f ( x) − f (2)
x2 − 4
= lím
= lím
x−2
x−2
x→2+
x→2+ x − 2
x→2+
x →2+
(
)
(
)
f
x
−
f
mx
+
b
−
m
+
b
mx
+
b − 2m − b
m(x − 2 )
(
)
(
2
)
2
f ´(2 − ) = lím
= lím
= lím
= lím
=m
x−2
x−2
x−2
x→2−
x→2−
x→2−
x→2− x − 2
f ´(2+ ) = lím
Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2(4) + b = 4 tenemos b = −4
Ejercicios Propuestos 3.2
1.
Hallar
⎧2 x + 1; x < 1
f ´(1) para f ( x) = ⎨
2
⎩2 + x ; x ≥ 1
2.
Hallar
⎧⎪− x 2 + 10; x < 3
f ´(3) para f ( x ) = ⎨
⎪⎩− 6 x + 17; x ≥ 3
3.
Hallar
⎧⎪2 x + 1 ; x < −2
f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2
⎪⎩ x − 7; x ≥ −2
4.
Sea la función f definida por f ( x ) = ⎨
⎧⎪ x 2 + 2 x ; x ≤ 2
.
⎩⎪ax + b ; x > 2
Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en x = 2
5.
Sea la función f definida por
; x ≤1
⎧⎪3ax + b
f ( x) = ⎨ 2
⎪⎩ax − 3bx + 2 ; x > 1
Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio.
6.
Sea la función f definida por
⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1
⎪
.
f ( x) = ⎨ 1
; x >1
⎪
⎩x
Determine " a ", " b " y " c " para que f ´(1) exista.
94
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6 DERIVACIÓN
El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse
complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este
trabajo se dispone de técnicas y reglas.
3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN.
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las
fórmulas siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Dx (k ) = 0 ; ∀k ∈ R
Dx ( x) = 1
Dx ( x n ) = n(x n −1 )
D x (e x ) = e x
Dx (a x ) = a x ln a
1
Dx (ln x) =
x
1
D x (log a x) =
x ln a
Dx (sen x) = cos x
D x (cos x) = − sen x
Dx (tan x) = sec 2 x
Dx (cot x) = − csc 2 x
Dx (sec x) = sec x tan x
Dx (csc x) = − csc x cot x
Demostraciones:
Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían:
1. Sea f ( x ) = k . Hallaremos su derivada empleando la definición: f ´( x) = lím
h→0
Dx (k ) = lím
h→0
f ( x + h) − f ( x )
h
0
k −k
= lím = 0 (La derivada de una constante es cero)
h →0 h
h
95
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
2. Sea f ( x ) = x entonces: Dx ( x) = lím
h →0
3. Sea f ( x ) = x
n
( x + h ) − x = lím h = 1
h→0
h
entonces: Dx ( x ) = lím
n
( x + h)
h →0
n
h
− xn
h
. Consideraremos n ∈ ` .
Desarrollando el
binomio y simplificando:
Dx ( x ) = lím
n
( x + h)
h →0
n
− xn
h
⎡ x n + nx n −1h + n( n2−1) x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n ⎤ − x n
⎦
= lím ⎣
h→0
h
= lím
nx n −1h +
n ( n −1)
2
h →0
h/ ⎡ nx n −1 +
= lím ⎣
x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n
h
n ( n −1)
2
x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎤
⎦
h →0
h/
⎡
⎤
n ( n −1)
n −1
n−2
⎥
= lím ⎢ nx n −1 + 2 x n − 2 h + ...
+ nxh
+ hN
N
h →0
0
⎢⎣
0 ⎥
0
0
⎦
Dx ( x n ) = n ( x n −1 )
4. Sea f ( x ) = e x entonces:
e x ( eh − 1)
e h − 1)
(
ex+h − ex
e x eh − e x
x
Dx (e ) = lím
= lím
= lím
= e lím
= ex
0
0
0
→
→
→
h →0
h
h
h
h
h
h
h
x
1
6. Sea f ( x ) = ln x entonces:
⎛ x+h⎞
⎛ h⎞
1
ln⎜
ln⎜1 + ⎟
⎟
ln (x + h ) − ln x
x ⎠
x⎠
⎛ h⎞ h
Dx (ln x) = lím
= lím ⎝
= lím ⎝
= lím ln⎜1 + ⎟
h →0
h →0
h →0
h→0 ⎝
h
h
h
x⎠
⎡
⎛ h⎞
= ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟
⎢h →0⎝
x⎠
⎣
1
Dx (ln x) =
x
1
1
h
x
⎤x
1
⎥ = ln⎛⎜ e x ⎞⎟
⎜
⎟
⎥
⎝
⎠
⎦
8. Sea f ( x ) = sen x entonces:
[sen x cosh + senh cos x] − sen x
sen( x + h) − sen x
= lím
h →0
h
h
sen x(cosh − 1) + senh cos x
sen x(cosh − 1)
senh cos x
= lím
= lím
+ lím
h →0
h→0
h →0
h
h
h
(cosh − 1)
senh
= sen x lím
+ cos x lím
= (sen x )(0) + (cos x )(1)
h →0
h →0 h
h
Dx (sen x) = cos x
Dx (sen x) = lím
h→0
La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.
96
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 1
Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0
(FORMULA 1)
Ejemplo 2
Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x
(FORMULA 3)
Ejemplo 3
Si f ( x ) = x = ( x )
1
2
entonces f ´( x ) =
1
2
( x)
1 −1
2
=
1
(FORMULA 3)
2 x
Ejemplo 4
Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1
SOLUCIÓN:
Observe la Fig. 3.6
Recta tangente
f ( x) = x
3
Fig. 3.6
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por:
y − y 0 = m( x − x 0 )
El punto sería:
x0 = 1
y
y0 = f ( x0 ) = (1) = 1
3
La pendiente sería:
mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3 x 2
x =1
=3
Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1)
Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen
comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos
casos.
97
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g funciones diferenciables y k una
constante, entonces:
1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante)
2.
3.
4.
5.
dx
d
( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma)
dx
d
( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta)
dx
d
( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto)
dx
d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x)
(Cociente)
⎜
⎟=
2
dx ⎝ g ( x) ⎠
[ g ( x)]
Demostración
La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1.
d
kf ( x + h) − kf ( x)
(kf ( x)) = lím
h
→
0
dx
h
k [ f ( x + h) − f ( x ) ]
= lím
h →0
h
f ( x + h) − f ( x )
= k lím
h →0
h
= kf ´( x)
2.
[ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ]
d
( f ( x) + g ( x)) = lím
h
→
0
dx
h
f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ]
[
= lím
h→0
h
(
+
)
−
(
)
f
x
h
f
x
[
] + lím [ g ( x + h) − g ( x)]
= lím
h→0
h →0
h
h
= f ´( x) + g´( x)
3.
[ f ( x + h) g ( x + h) ] − [ f ( x ) g ( x ) ]
d
( f ( x) g ( x)) = lím
h
→
0
dx
h
Al numerador le sumamos y restamos f ( x ) g ( x + h )
lím
f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h )
h →0
Agrupando y aplicando propiedades de los límites:
98
h
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
⎡ f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h ) ⎤⎦ + ⎡⎣ f ( x ) g ( x + h ) − f ( x) g ( x) ⎤⎦
lím ⎣
h →0
h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ g ( x + h) + ⎡⎣ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ f ( x )
lím ⎣
h →0
h
⎡⎣ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦
⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦
lím
g ( x + h) + lim ⎣
f ( x)
h →0
h→0
h
h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦
⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦
lím ⎣
lim g ( x + h) + f ( x ) lim ⎣
h →0
h →0
h→0
h
h
f ´( x ) ⎣⎡ g ( x ) ⎦⎤ + f ( x ) ⎣⎡ g´( x ) ⎦⎤
La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector.
Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de
correspondencias un tanto más complejas en su forma.
Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)
Si f ( x ) =
4
3
x
= 4x−
1
3
entonces f ´( x ) = 4
(
) (
)
d − 13
4 4
− 1 −1
x
= 4 − 13 x 3 = − x − 3
dx
3
Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta)
2
+ 3 entonces
x
d
d
d
⎛ 1 ⎞
−2
f ´( x ) =
4 x −
2 x −1 + ( 3 ) = 4 ⎜
⎟ + 2x + 0
dx
dx
dx
⎝2 x⎠
Si f ( x ) = 4 x −
(
)
(
)
Ejemplo 3 (Derivada del producto)
⎡d
⎤
⎡d
⎤
Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x )
⎣ dx
⎦
⎣ dx
⎦
Ejemplo 4 (Derivada del producto)
(
)(
)
Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces:
⎡d
⎤
⎡d
⎤
f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥
dx
dx
⎣
⎦
⎣
⎦
= ( 2 x + 0 ) ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 )
= 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2
= 5x4 + 6x2 + 2 x
99
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:
d
[ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x)
dx
¡Generalícela!
Ejemplo 5 (Derivada del producto)
Si
f ( x ) = e x senx ln x
entonces
⎡d ⎤
⎡d
⎤
⎡d
⎤
f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥
⎣ dx ⎦
⎣ dx
⎦
⎣ dx
⎦
⎛1⎞
= e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟
⎝ x⎠
Ejemplo 6 (Derivada de cociente)
x2 + 2
entonces
x3 + 1
⎡d 2
⎤ 3
⎡d 3
⎤
2
⎢⎣ dx ( x + 2 ) ⎥⎦ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢⎣ dx ( x + 1) ⎥⎦ ( 2 x ) ( x3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3x 2 )
=
f ´( x ) =
2
2
( x3 + 1)
( x3 + 1)
Si f ( x ) =
=
2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2
(x
3
+ 1)
2
=
− x4 − 6 x2 + 2 x
(x
3
+ 1)
2
Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas.
Ejemplo 7
Determine f ′(0), si f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 ) ...( x + 100 ) .
SOLUCIÓN:
La derivada de f sería
f ´( x ) = ⎡⎣(1)( x + 1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x (1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x ( x + 1)(1) ...( x + 100 )⎤⎦ + " Ahor
a evaluamos la derivada en cero:
f ´( 0 ) = ⎡⎣(1)( 0 + 1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣0 (1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 )⎤⎦ + ⎡⎣ 0 ( 0 + 1)(1) ...( 0 + 100 )⎤⎦ + "
f ´( 0 ) = (1)( 2 )"(100 ) = 100!
100
0
0
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 8
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2, −5 ) y que son tangentes
a la curva definida por la ecuación y = x 2 + 4 x .
SOLUCIÓN:
Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7
f ( x ) = x2 + 4 x
( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
Fig. 3.7
( −2, −5)
Note que el punto ( −2, −5 ) no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que
hay dos).
La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en x = x0 , es decir
mtg = f ´( x0 ) = 2 x + 4 x = x = 2 x0 + 4
0
La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( −2, −5 ) y ( x0 , y0 ) , es decir:
mtg =
y0 − ( − 5 )
x0 − ( −2 )
=
y0 + 5
x0 + 2
El punto ( x0 , y0 ) pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: y0 = x0 2 + 4 x0 . Al
reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:
mtg =
y0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 5
=
x0 + 2
x0 + 2
Ahora igualamos las pendientes y encontramos x0 :
2 x0 + 4 =
x0 2 + 4 x0 + 5
x0 + 2
2 x0 2 + 8 x0 + 8 = x0 2 + 4 x0 + 5
x0 2 + 4 x0 + 3 = 0
( x0 + 3)( x0 + 1) = 0
x0 = −3 ∨ x0 = −1
101
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Estos valores los reemplazamos en y0 = x0 2 + 4 x0 , y obtenemos los respectivos y0 :
y0 = ( −3) + 4 ( −3) = 9 − 12 = −3
2
y0 = ( −1) + 4 ( −1) = 1 − 4 = −3
2
Por tanto, los puntos de tangencia son ( −3, −3) y ( −1, −3) .
Las respectivas pendientes serían:
mtg = 2 ( −3) + 4 = −2
mtg = 2 ( −1) + 4 = +2
Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:
y − ( − 3 ) = −2 ( x − ( − 3 ) )
y + 3 = −2 ( x + 3 )
y − ( −3) = 2 ( x − ( −1) )
y
y = −2 x − 9
y + 3 = 2 ( x + 1)
y = 2x −1
Ejemplo 9
Si f , g y h son funciones tales que h( x) =
f ( x) g ( x)
, f (1) = 3 , g (1) = −3 ,
2 f ( x) + 3 g ( x)
f ´(1) = −2 , g´(1) = 1 . Determine h´(1) .
Solución:
La derivada de h sería:
⎡ f ( x ) g ( x) ⎤
h´( x) = Dx ⎢
⎥
⎣ 2 f ( x) + 3 g ( x) ⎦
D [ f ( x) g ( x) ][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) Dx [ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
= x
2
[ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
=
[ f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) [ 2 f ´( x) + 3g´( x)]
2
[ 2 f ( x) + 3 g ( x)]
Ahora evaluando en 1:
[ f ´(1) g (1) + f (1) g´(1)][ 2 f (1) + 3g (1)] − f (1) g (1) [ 2 f ´(1) + 3g´(1)]
2
[ 2 f (1) + 3g (1)]
[(−2)(−3) + (3)(1)][ 2(3) + 3(−3)] − (3)(−3) [ 2(−2) + 3(1)]
=
2
[ 2(3) + 3(−3)]
[6 + 3][6 − 9] + 9[ −4 + 3]
=
2
[ 6 − 9]
[9][ −3] + 9 [ −1]
=
2
[ −3]
h´(1) =
−36
9
h´(1) = −4
=
102
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 10
Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo
recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤
π
2
SOLUCIÓN:
2 sen x = 2 cos x , de aquí se obtiene
La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir:
tg x = 1 , lo cual quiere decir que x =
π
4
Fig. 3.8
Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son
perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 . Fig. 3.8
Si f ( x ) =
2 sen x , entonces f ´( x ) = 2 cos x que en el punto tenemos:
⎛ 2⎞
⎟ =1
m1 = 2 cos π4 = 2 ⎜⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Si g ( x ) =
2 cos x , entonces g´( x ) = − 2 sen x que en el punto tenemos:
m 2 = − 2 sen
π
4
⎛ 2⎞
⎟ = −1
= − 2 ⎜⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.
Ejercicios Propuestos 3.3
1.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e x
(
b) f ( x ) = x + 2
3
)( x
2
+ 1)
c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x )
d) f ( x ) =
2.
f ( x) =
xe x
senx + 1
f)
f ( x) =
1 2 x
x e ln x
2
x2 + 1
x senx
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación
punto
3.
e)
f ( x ) = x2 + 2 x + 2
en el
(1,5) .
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia
f ( x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3x + y + 2 = 0 .
103
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
4.
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto
por la ecuación
5.
y = 4x − x
2
( 2,5)
y que son tangentes a la curva definida
.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x ) = 2 x + 3 x − 24 x y
3
2
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 .
6.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = x2 .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en
ese punto y logre alcanzar el punto (4,15).
7.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la
partícula por primera vez.
8.
Determine f ′(0 ), si f (x ) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 50)
9.
Si f , g y h son funciones tales que h( x) =
f ( x) g ( x )
, f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 ,
3 f ( x ) − 4 g ( x)
g´(3) = 2 . Determine h´(3) .
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.
3.6.2.1 Regla de la Cadena
Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es
diferenciable en " x0 " y f diferenciable
" g ( x0 ) "
en
compuesta
entonces
la
función
( f D g )( x ) = f ( g ( x ) )
es
diferenciable en " x 0 " y
d
( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )]
dx
x = x0
O lo que es lo mismo
dy dy du
=
dx du dx
u=g( x)
Ejemplo 1
(
)
20
y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2
dy
du
= 20u 19 y
= 2x .
du
dx
Si
104
tenemos
y = f (u ) = u 20
de donde
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Por tanto
(
)
dy dy du
=
= 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta
dx du dx
19
19
dy
= 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2
dx
(
(
)
)
(
)
El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para
observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de
la cadena puede ser aplicada de manera rápida.
Ejemplo 2
(
(
)
) [ (
)][
]
Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3
u
Ejemplo 3
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
Si y = ⎢
⎥
x 2 − 1 ⎦⎥
⎣⎢ 30
entonces
u
29
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
y´= 30 ⎢
⎥ Dx ⎢
⎥
2
2
⎣ x −1 ⎦
⎣ x −1 ⎦
29 ⎡
2
2
3
2
⎤
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎢ ( 3x + 6 x + 1)( x − 1) − ( x +3 x + x ) ( 2 x ) ⎥
= 30 ⎢
⎥ ⎢
2
2
⎥
⎣ x −1 ⎦
( x 2 − 1)
⎣
⎦
Para el caso de funciones de la forma
y = f ( g (v) ) y ahora
dy dy du dv
y = f ( u ) ; entonces
.
=
dx du dv dx
v = h( x )
tenemos
O más simplemente
y = f ( g (h( x) ) haciendo que
haciendo que u = g (v ) tenemos
y´= ⎡⎣ f ´( g (h( x)) ) ⎤⎦ [ g´(h( x))][ h´( x)]
Ejemplo 4
( )
Si y = cos 3 x
4
2
4
⎡
⎤
= ⎢cos N
3 x 2 ⎥ entonces:
⎢⎣
v ⎥
⎦
( )
u
105
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
[ ( )] D [cos(3x )]
= 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3x )
= 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )][6 x ]
y´= 4 cos 3 x 2
3
2
x
2 3
2
2
x
2 3
2
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:
Ejercicio Resuelto 1
Si f (2 ) = 4 , f ´(4 ) = 6 , f ´(2 ) = −2 hallar:
a)
d
[ f (x)]3 en x = 2
dx
b) ( f D f )´(2)
SOLUCIÓN:
a)
d
[ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería:
dx
3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4 )2 (− 2 ) = −96
4⎤
⎡ b) ( f D f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12
⎢
⎥
⎣
⎦
Ejercicio Resuelto 2
Si H =
f Dg
y además: h(2) = −1; g (2 ) = 3; f (3) = 2; h′(2 ) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; determine
h
H ′(2) .
SOLUCIÓN:
Como H ( x) =
f Dg
entonces:
h
⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x)
H ´(x) = D x ⎢
⎥=
[h( x)]2
⎣ h( x ) ⎦
[ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x)
=
[h( x)]2
que en x = 2 sería:
3 ⎤
⎡ ⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2)
⎢
⎥
⎣
⎦
H ´(2) =
[h(2)]2
[ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2)
=
(−1) 2
(5)(−3)(−1) − (2)(−2)
=
1
H ´(2) = 19
106
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 3
Demuestre que la derivada de una función par es una función impar
SOLUCIÓN:
Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos
D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]
miembros de la igualdad tenemos:
[ f ´(− x)](− 1) =
f ´(x )
− f ´(− x) = f ´(x)
f ´(− x ) = − f ´(x )
La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D
Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:
Sea u = u (x) , entonces:
1. Dx (u n ) = n(u n −1 )u´
2. Dx (e u ) = e u u´
3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´
1
u´
u
4.
D x (ln u ) =
5.
1
u´
u ln a
D x (sen u ) = (cos u ) u´
6.
7.
8.
9.
D x (log a u ) =
D x (cos u ) = (− sen u )u´
Dx (tan u ) = ( sec 2 u ) u´
Dx (cot u ) = ( − csc2 u ) u´
10. Dx (sec u ) = ( sec u tan u ) u´
11. Dx (csc u ) = ( − csc u cot u ) u´
107
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.4
1.
2.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a)
f ( x ) = x2 − 2x + 2
b)
f ( x) =
⎛ senx ⎞
⎟
⎝ cos 2 x ⎠
e) f ( x ) = ⎜
1
⎣
−x
c)
f ( x) =
e −e
e x + e− x
d)
f ( x) =
x2 − 1
x2 + 1
(
)⎦
2
f) f ( x ) = ln ⎡ ln x + 1 ⎤
2x − 3
x
3
g) f ( x ) =
1 ⎛ x ⎞
1
ln ⎜ 2
⎟− 2
4 ⎝ x −4⎠ x −4
2
Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:
∀f ∈ V [ f ( − x) = − f ( x) ⇒ f ' (− x) = f ' ( x)] (La derivada de una función impar es una función par)
′
f (u ) = e u
2
u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )
3.
Hallar ( f D g ) (x ) , si
4.
Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que:
y
g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2 ) = 3, h ′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 .
h(a) = a, h´(a ) = 4
En x = a determine el valor de:
a) (g D f )´
d)
( f D h D g )´
b) (g D h )´
′
⎛ f DhD g −hD g ⎞
⎟⎟
gD f
⎝
⎠
e) ⎜⎜
5.
Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x)))) en x = 0 .
6.
Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea
7.
Pruebe que si un polinomio p(x) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) .
g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1 ) = g ' ( x2 )
2
Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma
108
c) (h D g )´
p ( x ) = ⎣⎡ c ( x ) ⎦⎤ ( ax + b ) y derívelo.
2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de
esta función y así sucesivamente. Es decir:
Sea y = f ( x) una función " n " veces
derivable, entonces:
La primera derivada es:
y´= f ´(x) =
dy
f ( x + h) − f ( x)
= Dx y = lím
h→0
dx
h
La segunda derivada es:
Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) =
d2y
f ´(x + h) − f ´(x)
= Dx2 y = lím
2
h →0
dx
h
La tercera derivada es:
d3y
f ´´(x + h) − f ´´(x)
Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) = 3 = Dx3 y = lím
h
→
0
dx
h
En fin, La n − ésima derivada es:
y n = f n ( x) =
dny
f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x)
n
D
y
=
=
lím
x
h→0
dx n
h
Ejemplo 1
⎛
1 ⎞
⎟
⎝ 1 − 2x ⎠
Hallar D xn ⎜
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos:
y=
1
−1
= (1 − 2 x ) .
1 − 2x
Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:
y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21
y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2
y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2)2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3
y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4
Directamente la quinta derivada sería
y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5
n
Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y = (n!)(1 − 2 x )
−6
− (n +1)
2n
109
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
⎛ 1 ⎞
Hallar Dxn ⎜
⎟
⎝ 1 + 3x ⎠
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos: y =
1
−1
= (1 + 3x ) .
1 + 3x
Obteniendo derivadas:
y´= − (1 + 3 x )
−2
y´´= +2 (1 + 3 x )
( 3)
−3
(3 )
2
y´´´= − ( 2 × 3)(1 + 3x )
−4
(3 )
3
y IV = +(2 × 3 × 4) (1 + 3 x ) (34 )
−5
Directamente la quinta derivada sería yV = − ( 5!)(1 + 3 x )
Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = ( −1)
Ejemplo 3
n
−6
(3 )
5
( n !)(1 + 3x ) (
− n +1)
(3 )
n
( )
Demuestre que D xn x n = n! ; n ∈ `
SOLUCIÓN:
Como y = x n entonces:
y´= nx n −1
y´´= n ( n − 1) x n − 2
y´´´= n ( n − 1)( n − 2 ) x n − 3
"
y n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"( n − ( n − 1) ) x n − n
= n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"(1)
= n!
Ejercicio Propuesto 3.5
1.
Calcular las derivadas de orden superior indicadas.
a.
d4
dx
b.
c.
110
4
[cos (x )]
2
d 2 ⎡ x sen2 (πx ) ⎤
⎢
⎥
dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦
dn
dx n
[xe ]
x
n⎛
5 ⎞
⎟
⎝4− x⎠
d. Dx ⎜
e. Dx
f.
30 ⎡1 +
d 35
dx35
x⎤
⎢1 − x ⎥
⎦
⎣
[xsenx]
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤
⎢x
⎜
⎟⎥
dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥
⎣
⎦
2.
Determine
3.
Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:
(
)
D xn a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 , n ∈ `
4.
Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´(1) = 6 , P´´´(1) = 12 .
Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia
estaban dadas por una ecuación de la forma y = f ( x ) , esta forma la llamaremos
en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada
en la forma F ( x, y ) = 0 , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se
desea obtener la derivada y´ de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de
ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de
problema.
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Para obtener y´ en una función implícita F ( x, y ) = 0 sin necesidad de
despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla
como F ( x, f ( x)) = 0 y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta
las reglas mencionadas lograríamos lo deseado.
Ejemplo
Sea x − y = 0 la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la
podemos obtener por una de las siguientes formas:
4
5
1. Despejando y (forma explícita: y = x
4
5
) entonces:
4 − 15
x
5
4
5
2. Sin despejar y (forma implícita: x − y = 0 ).
y´=
La consideraremos como x − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = 0 . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación:
5
4
5
Dx ⎡ x 4 − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ⎤ = Dx [ 0]
⎣
⎦
4 x3 − 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ f ´( x ) = 0
Ahora despejamos f ´( x ) :
4
f ´( x ) =
4 x3
5 ⎣⎡ f ( x ) ⎦⎤
4
Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar
f ( x) = x 5 :
4
111
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ´( x ) =
4 x3
5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦
4
=
4 x3
5 ⎡x 5 ⎤
⎣⎢ ⎥⎦
4
4
=
4 x3
16
5x
5
=
4 − 15
x
5
Ejemplo 2
Sea x + y = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y´
SOLUCIÓN:
2
2
PRIMER MÉTODO.
2
Como es posible despejar y , tenemos y = + 1 − x
y´=
Entonces:
1
2
(1 − x ) ( −2 x )
=−
1
2 − 2
x
1− x
2
=−
x
y
SEGUNDO MÉTODO.
Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x + [ f ( x)] = 1 y tomar derivada a ambos
2
miembros de la igualdad:
(
2
)
Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1)
2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0
que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0
despajando y´ resulta: y´= −
x
x
=−
y
1 − x2
Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico.
Ejemplo
Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1
Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo
anterior.
En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida,
la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener
la derivada y es lo que hemos dejado explicado.
Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo
funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de
obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
112
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 1
Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:
(
) ( )
+ (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´
Dx 4 x3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3
12 x
2
2
2
12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´
Despejando y´ resulta: y´=
12 x 2 + 7 y 2
6 y 2 − 14 xy
Ejercicio Resuelto 2
( )
Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
(
( )
)
(
)
Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1
1+
1
[2xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x
2
x2 y
1+
2 y´
+ + 6 yy´= 4 x
x y
Despejando y´ resulta:
y´=
4x − 1 −
6y +
2
x
1
y
Ejercicio Resuelto 3
( )
Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( ( ))
(
Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y
( )[
]
sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+
)
− sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x
− y2
2
2
[ (x + y )
1
2
− 12
(1 + y´)]
x
xy´
x+ y +
+
2 x+ y 2 x+ y
Despejando y´ resulta:
( )
− y 2 sen xy 2 − x + y −
y´=
2y +
x
2 x+ y
( )
x
+ 2 xy sen xy 2
2 x+ y
113
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 4
Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es
P(0,0).
SOLUCIÓN:
La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = −
x cos y = sen( x + y )
en
1
m tg
D x (x cos y ) = D x (sen (x + y ))
Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta:
1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´]
En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 y luego
cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´]
.
despejar y´ : 1 + 0 = 1 + y´
y´= 0
Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente
mnormal = −
1
= −∞
0
Y su ecuación será:
y−0 = −
1
(x − 0) (el eje y ).
0
x=0
Ejercicio Resuelto 5
Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre
SOLUCIÓN:
Primero se encuentra y ' :
2
3
(
y' ' en (2,1).
)
D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2)
2 xy + x y´−6 y 2 y´= 0
2
En (2,1) sería:
2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0
y´= 2
Ahora encontramos
y' ' volviendo a derivar implícitamente:
(
)
D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0)
(
)
2 y + 2 xy´+2 xy´+ x y´´− 12 yy´ y´+6 y y´´ = 0
2
2
2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0
2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0
En (2,1) sería:
y´´= 15
114
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.6
1.
2.
dy
para:
dx
Encontrar
2
d. sec y + tan y = xy
2
a.
x 3 + y 3 =1
b.
ln ( xy ) + y = 1
c.
e xy + ln y = 0
e. ln ( xy ) +
y =5
2
3
2
2
Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4x y 2 x + 3 y = 14
en el punto
(1,2) son perpendiculares entre sí.
3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x3 + 3 xy 3 + y = 5 en el punto
4.
3
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x 2 + y 2 = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1)
5.
(1,1)
)
(
[2
]
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2
en el punto (1,1)
6.
3
3
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a
la recta x + y + 6 = 0
7.
2 2
Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1)2 (4 − y )2 en
8.
Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos(2 y ) = 3 sen (x + y ) en el
9.
2
3
Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente
el punto (0,−2) .
punto (0,0) .
a f sea horizontal.
10. Encuentre y ' ' si
11. Calcula:
d2y
dx
2
x3 − 4 y 2 + 3 = 0
para
2
x
3
+y
2
3
=1
12. Para la función y = f (x) dada en forma implícita por la ecuación
x − tg y + e
y − π4
= 2 determine
d2y
dx 2
( )
en el punto 2, π .
4
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma:
⎧ x = x(t )
C:⎨
⎩ y = y (t )
Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo
dy
será hallar directamente
.
dx
115
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones
paramétricas.
Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son
funciones continuamente diferenciables,
y que x´(t ) ≠ 0 para cualquier " t " de cierto
intervalo.
Entonces
las
ecuaciones
paramétricas definen a " y " como una
función diferenciable de " x " y su
derivada es:
dy
dy dy dt
=
= dt
dx
dx dt dx
dt
Ejemplo 1
Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 1 , la derivada también puede ser hallada partiendo
dy
⎧ x = cos t
dy
cos t
x
= dt =
=−
de su ecuación paramétrica C : ⎨
, es decir:
dx
dx
−
sen
t
y
y
=
t
sen
⎩
dt
Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.
Ejemplo 2
⎧⎪ x = e t cos t
Sea ⎨
⎩⎪ y = e sent
SOLUCIÓN:
t
hallar
dy
dx
dy
et sent + et cos t sent + cos t
dy
= dt = t
=
dx
dx
e cos t − et sent cos t − sent
dt
Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es
función de " t ", es decir que
dy
= y´(t ) ; por tanto:
dx
Segunda derivada:
116
d2y
dx 2
d
[y´(t )] = d [y´(t )] dt =
=
dx
dt dx
d [ y´(t )]
dt
= y´´(t )
dx
dt
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
d [ y´´(t )] dt
d
=
Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] =
dx
dt
dx
dx
d3y
d [ y´´(t )]
dt
= y´´´(t )
dx
dt
Y así sucesivamente.
Ejemplo 1
⎧ x = cos t
d3 y
Sea C : ⎨
hallar
.
dx3
⎩ y = sen t
SOLUCIÓN:
dy
dy
cos t
= dt =
= − cot ( t )
Ya encontramos la primera derivada:
dx
dx
− sen t
dt
d
d
y´
− cot t ) − ( − csc 2 t )
d 2 y dt ( ) dt (
=
=
=
= − csc3 t
La segunda derivada sería:
2
dx
dx
dx
− sent
dt
dt
d
d
y´´
− csc3 t ) −3csc 2 t − csc t cot gt
d 3 y dt ( ) dt (
(
) = −3csc4 t cot gt
=
=
=
La tercera derivada sería:
dx
dx
dx 3
−sent
dt
dt
Ejemplo 2
⎧⎪ x = e t cos t
Sea ⎨
hallar
d2y
dx 2
⎪⎩ y = e sent
SOLUCIÓN:
La primera derivada ya la encontramos:
dy
et sent + et cos t sent + cos t
dy
= dt = t
=
dx
dx
e cos t − et sent cos t − sent
dt
La segunda derivada sería:
d ⎛ sent + cos t ⎞
d
( y´) dt ⎜⎝ cos t − sent ⎟⎠
d2y
= dt
=
dx
dx
dx 2
dt
dt
( cos t − sent )( cos t − sent ) − ( sent + cos t )( − sent − cos t )
t
( cos t − sent )
=
et cos t − et sent
( cos t − sent ) + ( sent + cos t )
2
( cos t − sent )
=
2
=
2
2
=
et cos t − et sent
cos 2 t − 2cos tsent + sen 2t + sen 2t + 2cos tsent + cos 2 t
et ( cos t − sent )
3
d2y
2
=
dx 2 et ( cos t − sent )3
117
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 3
Calcular
dny
dx n
⎧⎪ x = ln t
para: ⎨
⎪⎩ y = t m ; m ∈ R
SOLUCIÓN:
Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos:
dy
dy
mt m −1 mt mt −1
= dt =
=
= mt m
Primera derivada:
dx
1
dx
t −1
dt
t
d [ y´(t )]
m 2 t m −1
dt
=
=
= m 2t m
Segunda derivada:
−1
2
dx
dx
t
dt
d [ y´´(t )]
d3y
m 3 t m −1
dt
=
=
= m 3t m
Tercera derivada:
dx
dx 3
t −1
dt
d2y
Directamente, la cuarta derivada sería:
Por tanto:
dny
dx
n
d4y
dx 4
= m 4t m
= mnt m
Ejercicios Propuestos 3.7
1. Hallar
dy
para:
dx
a.
⎧ x = a (cos t + tsent )
⎨
⎩ y = a (sent − t cos t )
b.
⎧
2
⎪⎪ x = t + 1
t −1
⎨
⎪y = 2
⎪⎩
t +1
⎧ x = a(t − sen t )
π
en t =
(
)
=
−
y
a
1
cos
t
2
⎩
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = 2t − t 2
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎪⎩ y = 3t − t 3
en el punto (1,2)
⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t
en t = 0
⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = t 2
5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
⎪⎩ y = 2t 3 + 4t − 1
; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las
rectas tangentes a C y que pasen por el origen.
⎧⎪ y = cos t
d2y
d3y
. Calcule a)
y b)
⎪⎩ x = ln ( cos t )
dx 2
dx 3
6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
118
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la
derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.
⎧ x = r cos( θ )
⎩ y = r sen (θ )
Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨
⎧ x = f (θ ) cos( θ )
⎩ y = f (θ ) sen (θ )
Al reemplazar queda ⎨
dy
f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ
dy
= dθ =
Entonces
f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ
dx dx
dθ
Para encontrar la ecuación de la recta tangente:
y
Fig. 3.13
r = f (θ )
( r0 ,θ0 )
r0
y0
θ0
x0
x
Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su
pendiente, es de la forma:
y − y 0 = m ( x − x0 )
Entonces:
119
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
x0 = f (θ 0 )cosθ 0
y0 = f (θ 0 )senθ 0
dy
dy
m=
= dθ
dx dx
dθ
=
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0
f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
θ =θ 0
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 =
SOLUCIÓN:
Observa la gráfica:
π
4
Fig. 3.14
x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π )
En este caso
[
]
4
4
= 4 sen 3 π cos π
2
=4
2
y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π )
4
y
4
2
2
[
2
=4
2
x0 = 2
]
4
4
4
= 4 sen 3 π sen π
4
2
2
y0 = 2
Para la pendiente, tenemos: f ´(θ) = 12 cos 3θ
Entonces:
m=
=
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0
f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
[12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4
[12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4
⎡
2⎤
⎢ − 12 2 ⎥
⎣
⎦
=
⎡
2⎤
⎢ − 12 2 ⎥
⎣
⎦
−6+2
=
−6−2
1
m=
2
2 ⎡
2⎤ 2
+ ⎢4
⎥
2
⎣ 2 ⎦ 2
2 ⎡
2⎤ 2
− ⎢4
⎥ 2
2
2
⎣
⎦
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:
120
y − y 0 = m(x − x0 )
y−2=
1
2
( x − 2)
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios propuestos 3.8
en θ 0 = π 4
r = 4sen 3θ en θ 0 = π
6
1.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ
2.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r =
4.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
en θ 0 = π 6
r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π
3
2 sen 3θ
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.
Si f es una función estrictamente
monótona en su dominio entonces f tiene
una inversa.
El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es
estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función
que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función
inversa.
3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.
Sea f
una función derivable y
estrictamente monótona en un intervalo
I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces
f −1
es
derivable
en
el
punto
correspondiente " y ", y
1
⎡ d −1 ⎤
(
)
f
y
=
⎢⎣ dx ⎥⎦
f ´(x)
121
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta
−1
tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan
de la forma
m2 =
1
m1
. Y que se puede encontrar la derivada de la inversa f
−1
,
trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer
la regla de correspondencia de f
−1
.
Fig. 3.15
Ejemplo 1
⎡d
5
Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢
f
⎣ dx
SOLUCIÓN:
En este caso "4" es rango para
⎡d
⎢ dx f
⎣
f
por tanto habrá que encontrar el correspondiente
x
−1 ⎤
⎥ (4 )
⎦
para reemplazarlo en:
−1 ⎤
1
⎥ (4) = f ´(x )
⎦
5
Entonces, teniendo 4 = x + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.
⎡d
f
Por lo tanto, ⎢
⎣ dx
−1 ⎤
1
1
1
=
⎥ (4) = f ´(1) =
4
⎦
5(1) + 2 7
No olvide que este resultado significa que la recta tangente a
por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1)
En cambio, la recta tangente a
ecuación: y − 1 =
122
1
(x − 4 )
7
f
−1
f
en el punto (1,4 ) tiene pendiente m = 7 y
en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m =
1
y por
7
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 2
Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de la
derivada de la función inversa.
SOLUCIÓN:
1
⎡ d −1 ⎤
De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢
f ⎥(x ) =
dx
f
´
(y)
⎣
⎦
x
Como f ( x ) = y = e x tenemos que f ´(x ) = e x y f ´( y ) = e y y además al cambiar la variable resulta
x = e y , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x
⎡d
f
⎣ dx
Bien, reemplazando ⎢
−1 ⎤
1
1
⎥ ( x) = f ´( y ) = x
⎦
(No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir:
determinamos con su definición)
f −1 ( x) = ln x
, cuya derivada la
3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Inversas
1
D x (arcsen x ) =
; −1 < x < 1
1− x2
1
D x (arccos x ) = −
;−1 < x < 1
1− x2
1
D x (arctg x ) =
1+ x2
1
Dx ( arc co tg x ) = −
1 + x2
1
D x (arc sec x ) =
; x >1
x x2 −1
Demostración:
Demostraremos la primera.
Planteemos el problema de la siguiente manera:
Sea
[
f ( x) = y = sen x hallar D x f
−1
]
( x) = D x [arcsen x ]
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:
[
Dx f
−1
]
( x) = D x [arcsenx] =
1
f ´( y )
Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la
variable en la función dada).
Por trigonometría, decir que seny =
x
significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura 3.16)
1
123
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Fig. 3.16
Por lo tanto, D x [arcsenx] =
1
1
=
L.Q.Q.D.
cos y
1− x2
Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función
u = u (x)
D x (arcsen u ) =
1
D x (arccos u ) = −
1− u2
1
u´ ;−1 < u < 1
1− u2
u´ ;−1 < u < 1
D x (arctg u ) =
1
u´
1+ u2
1
D x (arc sec u ) =
u´ ; u > 1
u u 2 −1
Ejemplo
⎛ y⎞
Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln
⎝x⎠
x2 + y2
SOLUCIÓN:
Derivando implícitamente, tenemos:
[ (
)]
(
⎡
⎛ y ⎞⎤
Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2
2
⎝ x ⎠⎦
⎣
1
1
⎛ y⎞ 1
D ⎜ ⎟=
Dx x 2 + y 2
2 x⎝ x ⎠ 2 2
x + y2
y⎞
⎛
1+ ⎜ ⎟
⎝x⎠
⎡ y´x − y (1) ⎤
1
[2 x + 2 yy´]
⎢
⎥=
2
2
x2
⎦ 2x +y
1
(
y2
1+ 2 ⎣
x
)
⎡ xy´− y ⎤ 2/ (x + yy´)
1
⎢
⎥=
x 2 + y 2 ⎣ x 2 ⎦ 2/ x 2 + y 2
(
x
2
x 2 (xy´− y )
x + yy´
=
x2 x2 + y2
x2 + y 2
xy´− y = x + yy´
(
)
xy´− yy´= x + y
y´=
124
x+ y
x− y
)
)
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.9
⎛ d −1 ⎞
f ⎟(6 )
⎝ dx
⎠
1.
Si f (x ) = x + 3 x + 2 hallar ⎜
2.
2
Si f (x ) = x − 3x + 1 para x > 3
3.
⎛ dg ⎞ π
, si g es la función inversa de
Hallar ⎜
⎟
⎝ dx ⎠ 4
4.
Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la
7
3
2
; hallar
()
⎛ d −1 ⎞
f ⎟ (5) .
⎜
⎝ dx
⎠
f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x
⎛ d −1 ⎞
f ⎟(4 ) .
⎝ dx
⎠
recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜
5.
6.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x) = x + 2 x − 3 en el punto
3
(0, f
−1
(0)
)
Determine la ecuación de la recta tangente a la función y = f −1( x ) en el punto
( −2, f
−1
(−2) ) donde
f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR
7.
Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de
f en
( 2a, f
−1
(2a) )
si se conoce que
f ´(a ) = f (a ) = 2a .
8.
⎛ d −1 ⎞
f ⎟(0) conociendo que la ecuación cos(xy ) + x − 3 y = 2 define una función invertible
Hallar ⎜
⎝ dx
⎠
(y =
f (x) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0
dy
9. Calcular
, para :
dx
a.
⎡
⎤
y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 + 1 ⎥
⎣
⎦
⎛ 4senx ⎞
c. y = arctg ⎜
⎟
⎝ 3 + 5 cos x ⎠
b.
⎛x⎞
y = xarctg ⎜ ⎟ − ln x 2 + 4
⎝2⎠
d.
(
)
(
3
y = e arctg x + senx
)
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto
g ( x)
complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x )
, lo
mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente.
Ejemplo 1
Hallar
dy
para y = x x
dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
ln y = ln x x
ln y = x ln x
Ahora derivando implícitamente, resulta:
125
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Dx (ln y ) = Dx (x ln x )
1
⎛1⎞
y´= (1) ln x + x⎜ ⎟
y
⎝x⎠
y´= y[ln x + 1]
y´= x x [ln x + 1]
Ejemplo 2
Hallar
dy
para y = [sen 2 x ]arctg x
dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
(
)
ln y = ln [sen 2 x ]arctg x
ln y = arctg x ln (sen 2 x )
Ahora derivando implícitamente, resulta:
Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )]
1
1
⎡ 1
(cos 2 x )(2)⎤⎥
y´=
ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢
2
y
1+ x
⎣ sen 2 x
⎦
⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤
y´= y ⎢
+
⎥
sen 2 x
⎣ 1 + x2
⎦
(
)
x
x cos 2 x ⎤
ln
sen
2
2
arctg
⎡
y´= [sen 2 x ]arctg x ⎢
+
⎥
2
sen 2 x
⎣ 1+ x
⎦
Ejemplo 3
Hallar
dy
dx
para
y = xx
x
SOLUCIÓN:
Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo.
Primero, aplicando logaritmo tenemos:
( )
ln y = ln x x
x
ln y = x x ln x
Luego, volvemos a aplicar logaritmo:
(
ln (ln y ) = ln x x ln x
)
ln(ln y ) = ln x + ln(ln x)
x
ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x)
Y ahora sí, derivamos implícitamente:
126
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)]
1 1
1
1 1
y´= (1) ln x + x +
ln y y
x ln x x
1 ⎤
⎡
y´= y ln y ⎢ln x + 1 +
x ln x ⎥⎦
⎣
x
x ⎡
1 ⎤
y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 +
ln
x
x ⎥⎦
⎣
x
1 ⎤
⎡
y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 +
x ln x ⎥⎦
⎣
Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica
Ejemplo
Hallar
dy
para y =
dx
x 2 + 2 3 1 + arctg x
4
1 + ex
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤
⎥
ln[ y ] = ln ⎢
4
x
⎢
⎥
1
+
e
⎣
⎦
ln y =
1 ln
2
(x
2
)
(
+ 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x
)
Ahora derivando implícitamente, resulta:
)
( (
(
Dx (ln y ) = Dx 1 ln x 2 + 2 + 1 ln (1 + arctgx ) − 1 ln 1 + e x
2
3
4
)
( )
⎞
⎛
1
1 1
(2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ − 1 1 x e x
y´=
y
2 x2 + 2
3 1 + arctgx ⎝ 1 + x ⎠ 4 1 + e
⎡1 1
⎛
y´= y ⎢
(2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2
2
+
2
3
1
arctgx
⎝1+ x
⎣⎢ x + 2
( )
⎤
⎞ 1 1
⎟−
ex ⎥
⎟ 4
x
1+ e
⎥⎦
⎠
Finalmente, reemplazando resulta:
y´=
x 2 + 2 3 1 + arctgx ⎡ 1 1
⎛
(2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2
⎢
2
2
+
3
1
arctgx
4
x
⎝ 1+ x
⎣⎢ x + 2
1+ e
( )
⎤
⎞ 1 1
⎟−
ex ⎥
⎟ 4
x
1+ e
⎥⎦
⎠
Ejercicios Propuestos 3.10
1. Calcular
a.
y=
dy
, para :
dx
sec 5 x
3
tgx + 1
e.
y = xnnx
f.
⎡ arcsen sen 2 x ⎤
y=⎢
⎥
2
⎣⎢ arccos cos x ⎦⎥
csc x 3 − 4
b.
y=
4
x 3 cos 4 x
3
1− x2
(4x − x )
3 5
(
(
)
)
arctg 2 x
127
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
c.
x −1
y=
3
d.
2.
( x + 2 ) ( x + 3)
2
y=x
(
(
h.
y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x))
i.
(x + y ) y
= x2 + y2
j.
y = (1 + x 2 )
2
arcsen(e x )
3
3x
g.
y = arcsen 1 + e 2 x
))
sec x
x
(
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e x
)ln(x+1) en el
punto (0,1)
y
x
3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) .
4. Determine
d2y
dx
3.7
2
(1,2) , si existe, para
x y + xy = 3
FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a
partir de la función exponencial.
3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
Su regla de correspondencia es
e x − e− x
y = f ( x) = senhx =
2
Por tanto su gráfica sería:
Fig. 3.17
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
Su regla de correspondencia es:
128
e x + e −x
y = f ( x) = cosh x =
2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Por tanto su gráfica sería:
Fig. 3.18
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
Su regla de correspondencia es:
senhx e x − e − x
=
y = f ( x) = tghx =
cosh x e x + e − x
Por tanto, su gráfica sería:
Fig. 3.19
Se puede demostrar que
cosh 2 x − senh 2 x = 1
129
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
D x (senh x ) = cosh x
D x (cosh x ) = senh x
D x (tgh x ) = sec h 2 x
D x (c tgh x ) = − csc h 2 x
D x (sec hx ) = − sec hx tgh x
D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x
¡Demuéstrelas!
Misceláneos
1.
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.
a)
⎛ d( f D g)⎞
Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜
⎟ ( 2) = 4
⎝ dx ⎠
b)
La función f ( x) = sen x no es derivable en x = 0
c)
Si
d)
3
La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .
e)
f y g son derivables en x = c y f ´(c) = g (c) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces
h´(c) = 0 .
La expresión lim
x→
sen x − 1
x− π
π
2
es la derivada de f ( x) = sen x cuando x = π .
2
2
f)
La función f ( x ) = 6 x3 + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
g)
Si y ( x) = x
h)
Si g ( x) = f e
i)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado a, b y f ( a ) = f (b) entonces en algún punto
j)
1
⎛ d −1 ⎞
f ⎟( x ) =
Si f es una función invertible entonces ⎜
.
dx
f
´(
x)
⎝
⎠
k)
Si
xx
entonces y´(x ) = x
xx x⎛
1⎞
x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟
x⎠
⎝
( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12
[ ]
del intervalo abierto (a, b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .
f ,
g
y
h
son funciones tales que
(f
D g D h )´(2) = 4 ,
g (1) = g´(1) = −1 y
h(2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0
l)
Si
f
es una función inversible y derivable tal que
⎛ d −1 ⎞
f ⎟ ( −2 ) = 1 .
⎜
⎝ dx
⎠
130
f ´(1) = 4 y
f (1) = −2 entonces
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
m) Si h( x) = f (1 + f (1 + f ( x)) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3
entonces h´(1) = −30
n)
⎧2 x − 1; x ≥ 1
⎪
x ; 0 ≤ x < 1 es derivable
⎪ 3x ; x < 0
⎩
La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨
en todo su dominio.
;x ≤ 0
⎧ g ( x)
⎪⎪ 2
o) Existen funciones g y h tales que la función f ( x ) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es derivable en
⎪ h( x)
;x ≥1
⎪⎩
\.
todo
p)
Si tenemos las curvas
f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x3 + cx . Entonces no existen valores
a, b, c ∈ \ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto (2,2) .
y
= y x define una función y = f (x) entonces la ecuación de la recta tangente a f
en el punto (1,1) es y = x − 1 .
q)
Si la ecuación x
r)
Si g es la función inversa de f ( x) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 .
5
s)
Si f es una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨
⎪ 2
t)
⎩x + 2 ; x > 1
u)
Si f (c) = g (c ) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0
v)
Si
C es
un
lugar
geométrico
plano
cuyos
puntos
satisfacen
entonces la recta tangente a
P (x0 , y0 )∈ C , tiene por ecuación
y y
+ 0 =1
b2
Encuentre
b.
y ( x) = x 2 + 1
2
(
x0 y
a2
ecuación:
C en cualquier punto
\ en \ tales que f ´= g´ entonces f = g
2
)ln x
sen (ln 2 (cos x + e3 x )
c.
y ( x) =
d.
x
y arctg⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 −
⎝ y⎠
y2
x
y ( x) = xe + e x
y ( x) =
la
dy
para
dx
x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y
g.
el
x
y
+ 2 = 1 ; a, b ∈ \ − {0} ,
2
a
b
a.
f.
en
2
w) Si f y g son funciones de
e.
entonces f ´(1) existe.
f ´(2) = g´(2) = g (2) = 2 entonces ( f D g )´(2) = 4 .
2
2.
;x ≤1
⎧⎪ 3x
i.
y ( x) = (sen3 x )arctg (x
j.
2
y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x
k.
ln (x + y ) = arctg⎛⎜
⎝
l.
y ( x) = e tg x tg e x
m.
(x + y ) y = x 2
x
2 + 3x
2 − 3x
3 1 + arctg x
y ( x) =
x cos x + x
y ( x) = ln
x2 + 2
h.
4
1 + ex
2
)
x⎞
y ⎟⎠
( )
131
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.
[
]
d
[ f ( x)]2 + 1
dx
Hallar
⎧ 4
⎛ 1 ⎞
⎪ x sen⎜⎝ x 4 ⎟⎠
⎪
4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b
⎪
2
⎪ cx + d
⎩
Sea
continua
en
x=0
[ f ´(−2)].[ f (12 )] − f ´(π + 1)
5.
y
derivable
;x < 0
;0 ≤ x ≤ 1
;x > 1
x = 1 . Además determine, de ser posible,
en
⎧ x = 2 sec t
⎩ y = 2tant
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨
en t = −
π
6
(x + 1)2 + 3
determine el valor de (g D f )´(1) .
6.
2
Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) =
7.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = cos t
en el punto (0,0) .
⎨
⎩ y = sen t cos t
8.
Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones
)
(
2
diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x ) = h x g ( x) y se conoce que
g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h(2) = −1
9.
[
[ ]
]
Determine los puntos del intervalo −1,2 donde la función f ( x ) = x + x − 1 sea derivable.
1
⎛ d −1 ⎞
f ⎟(1) = 2
. Considere que
k + 5k
⎝ dx
⎠
10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜
f (4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x .
⎧ x = arccos t
, t ∈ (−1,1) determine
⎩ y = arcsen t − t
11. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨
d3y
dx3
.
⎧⎪ x = 1 + t 2
d3y
, t > 0 determine
en el
⎪⎩ y = t ln t
dx3
12. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨
punto ( 2,0)
13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x 2 + ax + b y y = cx − x 2 tienen una recta tangente
común en el punto (1,0) .
(
)
y
14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto
x
(1,0) .
15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1,2) . Donde C está definida por las
⎧x =
⎪
ecuaciones paramétricas ⎨
⎪y =
⎩
132
2t 2
t +1 , t ∈ IR − {−1,0}
3−t
t
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
16. Hallar
d2y
dx
17. Hallar
2
⎧⎪ x = et cos t
para ⎨
⎪⎩ y = et sen t
, t ∈ IR
dy
2
en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 .
dx
18. Sea y = f (x) función tal que h = f
−1
. Sea y ≥ 0 si h( y ) =
y
2
−
calcular f ´(1)
y +1 y + 2
19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
3
3
⎧⎪ x = a cos3 t
⎛ ⎛
⎞ ⎞
⎛
2⎞
; t ∈ 0,2π ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜
, a⎜ 2 ⎟ ⎟ .
⎟
⎨
2
2
⎜ ⎝
3
⎠ ⎟
⎠ ⎝
⎪
[
⎩ y = a sen t
]
⎝
⎠
20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f
⎪⎧sen x + a ; x ≥ 0
.
x
⎩⎪ be + c ; x < 0
es una función tal que f ( x ) = ⎨
21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = (1 + cos t )cos t
en t = π .
⎨
2
⎩ y = (1 + cos t )sen t
( )
22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy 2 + 3 x 2 = 4 ; en el
punto (1,0) .
23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .
⎧⎪ x = 2t − t 2
24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨
⎪⎩ y = 3t − t 3
en el punto (1,2 ) .
[
]
25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x f (cos x) es una función Par.
26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola
definida por y = 2 x − 5 x + 1 .
2
27. Hallar
d 50 ⎡ 1 − x ⎤
⎢
⎥
dx50 ⎣1 + x ⎦
28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧⎪ x = e 2t − 1
cuando t = 0
⎨
⎪⎩ y = e − 2t + 2
29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función
f cuya regla de correspondencia es
f ( x) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la
2
parábola.
30. Si f es una función de
\ en \ inversible y con regla de correspondencia f ( x) = x3 + 3 x − 10
⎡ d −1 ⎤
f ⎥ (4)
⎣ dx
⎦
entonces determine ⎢
133
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
4
4.1
4.2
4.3
4.4
MONOTONÍA
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CONCAVIDAD
ELABORACIÓN DE GRÁFICAS
4.5
SOFISTICADAS
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA
4.6
4.7
4.8
DERIVADAS
TEOREMA DE
TEOREMA DE
TEOREMA DE
ROLLE
CAUCHY
L´HOPITAL
OBJETIVOS:
•
•
•
•
•
•
Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento
Determinar extremos
Determinar intervalos de Concavidad.
Graficar funciones sofisticadas.
Utilizar el teorema del valor medio para derivadas.
Calcular indeterminaciones empleando derivadas.
109
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
4.1 MONOTONÍA
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento de una función.
4.1.2 Teorema de Monotonía
Sea
ƒ
una función continua en un
intervalo [a, b] y diferenciable en todo
punto interior de [a, b] . Entonces:
1. Si
f ´(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es
creciente en [a, b]
2.Si
f ´(x) < 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es
decreciente en [a, b] .
DEMOSTRACIÓN.
Se demostrará el primer inciso del teorema.
Suponga que f ´(x) > 0 entonces lím
x → x0
f ( x) − f ( x 0 )
f ( x ) − f ( x0 )
> 0 ; es decir
>0.
x − x0
x − x0
Suponga ahora que x 0 < x , entonces f ( x 0 ) < f ( x) , lo cual indica que f es creciente.
Si x < x0 entonces f ( x) < f ( x0 ) lo cual también indica que f es creciente
Para el caso f ´(x) < 0 , la demostración es análoga.
Ejemplo 1
2
Analice la monotonía de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5
SOLUCIÓN:
De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento
analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´(x) = 4 x − 4
El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene
valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x ) = 4( x − 1) ; se observa que:
x
x <1
x >1
110
f ´(x)
Negativa (-)
Positiva(+)
f
decrece
crece
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 2
Analice la monotonía de f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3
SOLUCIÓN:
Analizando la primera derivada f ´( x) = 3x 2 − 6 x
En la forma factorizada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observa que:
x
x<0
0< x<2
x>2
f ´(x)
Positiva (+)
Negativa (-)
Positiva (+)
f
crece
decrece
crece
Ejercicios Propuestos 4.1
1.
Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
1.
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
2.
f ( x) =
3.
x5 4 3
− x
5 3
1
f ( x) = x3 − 4 x + 2
3
4.
f ( x) = 3x 3 − 3 x 2 + 12 x − 5
5.
f (x ) = x 2 − 1
6.
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
)
4
4
4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Este es uno de los problemas más interesante que resuelve la derivada
4.2.1 DEFINICIÓN
Sea f : I ⊆ R 6 R . Suponga “ x0 ” pertenece al
intervalo I . Entonces:
1. f ( x0 ) es el valor máximo de f en I , si
f ( x0 ) ≥ f ( x ) , ∀x ∈ I . (El mayor de todos)
2. f ( x0 ) es el valor mínimo de f en I , si
f ( x0 ) ≤ f ( x ) , ∀x ∈ I . (El menor de todos)
Al valor máximo y al valor mínimo de f se le llama VALOR EXTREMO.
111
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores
extremos.
4.2.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de
Máximos y Mínimos
Si f es una función continua definida en
un intervalo [a, b ] entonces f alcanza un
valor máximo y un valor mínimo en [a, b ].
Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos extremos cada vez que
trabajemos con funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo
una interrogante ¿cómo obtenerlos?
Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es
decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los
denominados Puntos críticos.
4.2.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos.
Sea f una función definida en un
intervalo [a, b ] que contiene a “ x0 ”.
Entonces “ x0 ” es llamado Punto Crítico si
es:
• Un punto extremo del intervalo, es
decir
x0 = a ,
x0 = b . Estos serán
denominados
Puntos
Críticos
de
Frontera.
O bien,
• Un punto donde la derivada es igual a
cero; es decir f ´( x0 ) = 0 . Estos serán
denominados
112
Puntos
Críticos
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Estacionarios.
(En
tangente es horizontal).
estos
puntos
la
recta
O bien,
• Un punto donde la derivada no existe;
es decir f ´( x0 ) no está definida. Estos
serán denominados Puntos Críticos
Singulares. (En estos puntos la gráfica de f
tiene unos picos. Por ejemplo f ( x) = x , tiene un punto
crítico singular (pico) en x = 0 )
4.2.4 TEOREMA
Sea f una función definida en un
intervalo [a, b ] que contiene a “ x0 ”. Si
f ( x0 ) es un valor extremo entonces “ x0 ”
es un Punto Crítico.
Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración,
debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los
extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos
críticos estacionarios y puntos críticos singulares.
DEMOSTRACIÓN.
Sea f ( x 0 ) un valor máximo; es decir f (x 0 ) ≥ f ( x) , entonces: f ( x) − f ( x 0 ) ≤ 0
f ( x) − f ( x 0 )
Si x > x0 , dividiendo por x − x 0 tenemos
≤0
x − x0
Ahora obteniendo límite lím +
x → x0
f ( x) − f ( x 0 )
≤ lím + 0 resulta f ´(x 0 + ) ≤ 0 .
x − x0
x → x0
Para x < x 0 , tenemos, obteniendo límite lím −
x → x0
f ( x) − f ( x 0 )
≥ lím − 0 resulta f ´(x 0 − ) ≥ 0
x − x0
x → x0
Suponga que f es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) = 0 ; es decir x 0 es un punto crítico estacionario.
Suponga que f no es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) no existe; es decir x 0 es un punto crítico singular.
La demostración sería análoga para el caso de que f ( x 0 ) sea un valor mínimo.
113
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre
en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos.
Además, el teorema anterior nos hace concluir que:
• Si “ x0 ” no es un punto crítico entonces no será extremo.
• Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos.
• Es suficiente que f ( x0 ) sea un extremo para que “ x0 ” sea un punto
crítico.
• Que “ x0 ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es
suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas
anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran
extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para
clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no
son necesarios, un simple análisis basta.
114
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 1
2
Determinar los extremos para f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3]
SOLUCIÓN:
De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos.
1. Puntos críticos de Frontera: x 0 = 0 y x 0 = 3
2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos
analizamos la derivada f ´( x ) = 4 x − 4
Ahora
f ´(x ) = 0
, entonces sería: x 0 = 1 .
4( x − 1) = 0
3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada
notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera
debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo \ .
Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos
críticos (Esto es suficiente debido a que se trata de una función polinómica, más adelante aprenderemos
criterios más fuertes, para otros casos):
f (0 ) = 2(0 )2 − 4(0 ) + 5 = 5
f (3) = 2(3)2 − 4(3) + 5 = 11
f (1) = 3
Por inspección, se determina que:
En x 0 = 3 se encuentra el Valor Máximo f .
Y en x 0 = 1 se encuentra el Valor Mínimo de f .
Ejemplo 2
Determinar los extremos para f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 en [ −2,3]
SOLUCIÓN:
Primero determinamos los puntos críticos.
1. Puntos críticos de Frontera: x´0 = −2 y x0 = 3
2
2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada f ´( x) = 3 x − 6 x , tenemos:
f ´( x) = 0
3x 2 − 6 x = 0
3 x( x − 2) = 0
Entonces serían: x 0 = 0 y x0 = 2 .
3. Puntos críticos Singulares: No hay.
Bien, ahora evaluando en la función:
f ( −2 ) = ( −2 ) − 3 ( −2 ) + 3 = −8 − 12 + 3 = −17
3
2
f ( 3 ) = (3)3 − 3(3) 2 + 3 = 27 − 27 + 3 = 3
f (0) = 3
f (2) = (2)3 − 3(2) 2 + 3 = −1
115
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto
en x0 = 3 como en x0 = 0 ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en x0 = −2 .
Ejercicios Propuestos 4.2
1.
1.
Determine el valor máximo y el valor mínimo :
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
4.
f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5
5.
f (x ) = x 2 − 1
5
x
4
− x 3 en [ −3,3]
5 3
1
3. f ( x ) = x 3 − 4 x + 2 en [ −5,3]
3
2. f ( x ) =
en [ −2,3]
6.
(
(
)
f ( x) = x 3 − 1
4
)
4
en [ −1,1]
en [ −2, 2]
en [ −1, 2]
Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos
los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo
de su dominio, pero esto nos deja insatisfechos con respecto a puntos críticos que
bien pudieron ser extremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar
máximos o mínimos cuando no lo son.
4.2.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos
Sea f una función de variable real. Sea
“ x0 ” un punto del dominio de f . Entonces:
1. f ( x0 ) es un valor máximo local de f , si
existe un intervalo (a, b ) en el dominio
de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 )
es el valor máximo de f en (a, b ) .
2. f ( x0 ) es un valor mínimo local de f , si
existe un intervalo (a, b ) en el dominio
de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 )
es el valor mínimo de f en (a, b ) .
3. f ( x0 ) es un valor extremo local de f ,
si es un máximo o un mínimo local.
Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos.
Observe el siguiente gráfico:
116
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue.
4.2.6 Teorema: Criterio de la primera derivada.
Sea f continua en (a, b ) que contiene al
punto crítico “ x0 ”. Entonces:
1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) < 0, ∀x ∈ ( x0 , b )
entonces f ( x0 ) es un valor máximo
local de f .
2.Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) > 0, ∀x ∈ ( x0 , b )
entonces f ( x0 ) es un valor mínimo
local de f .
3.Si f ´(x) tiene el mismo signo a ambos
lados de “ x0 ” entonces f ( x0 ) NO es un
valor extremo de f .
117
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo
Para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3
Analizando la primera derivada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observó que:
x
f ´(x)
Positiva (+)
Negativa (-)
Positiva (+)
x<0
0< x<2
x>2
f
crece
decrece
crece
Entonces:
1. Como antes de x = 0 la derivada es positiva y después es negativa se concluye que f (0) = 3 es un
máximo local.
2. Como antes de x = 2 la derivada es negativa y después es positiva se concluye que f (2) = −1 es un
mínimo local.
Ejercicios Propuestos 4.3
Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales:
1.
2.
3.
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
x5 4 3
− x
5 3
1
f ( x) = x 3 − 4 x + 2
3
f ( x) =
4.
f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5
5.
f (x ) = x 2 − 1
6.
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
)
4
4
Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no
tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos
permite hacerlo.
Ejemplo 1
2
Trazar la gráfica de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3] .
SOLUCIÓN:
Se ha obtenido x 0 = 1 como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este
punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería:
•(3,11)
f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 5
(0,5)
•
• (1,3)
118
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el
análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de
funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector
compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y
además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en
esta sección.
Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios.
Ejemplo 2
Graficar f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 en [ −2,3]
SOLUCIÓN:
Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios x 0 = 0 y x0 = 2 , también se determinó que antes de
x 0 = 0 la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto x0 = 2 ; y después
de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es:
ymáx.
f ( x) = x3 − 3x 2 + 3
ymín
Ejercicios Propuestos 4.4
Elabore la gráfica de:
1.
f ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
2.
y = 3x 5 − 20 x3
3.
y = 13 x 3 − 9 x + 2
4.
f ( x) = 3 x 3 − 3 x 2 + 12 x − 5
5.
f (x ) = x 2 − 1
6.
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
)
4
4
Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser
suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son
funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su
119
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace
necesario otros criterios.
Ejemplo.
Graficar f ( x) = x
SOLUCIÓN:
4
5
Analizando la derivada f ´( x) =
Punto Crítico Singular: x 0 = 0
x
x<0
x>0
4 − 15
4
x = 5 , tenemos:
5
5 x
f ´(x)
Negativa (-)
Positiva (+)
f
decrece
crece
Por tanto, se puede decir que su gráfica es:
y=x
4
5
Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la
curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la
gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los
siguientes comportamientos:
120
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
4.3 CONCAVIDAD
4.3.1 Teorema de concavidad
Sea f una función dos veces derivable
sobre un intervalo abierto I. Entonces:
1. Si
f ´´(x) > 0, ∀x ∈ I entonces f es
cóncava hacia arriba en I.
2.Si
f ´´(x) < 0, ∀x ∈ I entonces f
es
cóncava hacia abajo en I.
Ejemplo 1
Analizar la concavidad de f ( x ) = x
SOLUCIÓN:
4
3
4 − 15
x
5
4 − 65
4
x =−
entonces la segunda derivada es f ´´( x) = −
25
25 5 x 6
Como la primera derivada de f es f ´( x) =
Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que:
x
f ´´(x)
f
x<0
Negativa (-)
Negativa (-)
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia abajo
x>0
Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó.
Otra definición importante es la que presentamos a continuación.
4.3.2 Puntos de Inflexión
Sea
continua en “ x0 ”, llamamos a
(x0 , f ( x0 )) un punto de inflexión de la
gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a
un lado de “ x0 ” y cóncava hacia abajo al
otro lado.
f
121
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de
positiva a negativa o de negativa a positiva.
Ejemplo 2
Analizar la concavidad de f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3
SOLUCIÓN:
Como la primera derivada de f es f ´( x) = 3 x 2 − 6 x
entonces la segunda derivada es
f ´´( x) = 6 x − 6 = 6( x − 1)
x
f ´´(x)
f
x <1
x >1
Negativa (-)
Positiva (+)
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del
comportamiento de la función.
f ( x) = x3 − 3x 2 + 3
Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica
cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión.
Ejercicios Propuestos 4.5
Determine los intervalos de concavidad:
122
1.
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
2.
f ( x) =
x5 4 3
− x
5 3
3.
f ( x) =
1 3
x − 4x + 2
3
4.
f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5
5.
f (x ) = x 2 − 1
6.
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
4
)
4
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos,
también se podría aplicar este otro criterio.
4.3.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada
Supóngase que f ´ y f ´´ existen en (a, b )
que contiene a “ x0 ” y que f ´(x0 ) = 0 .
1. Si f ´´( x0 ) < 0 entonces f ( x0 ) es un valor
máximo local de f .
2.Si
f ´´( x0 ) > 0 entonces
f ( x0 )
es un
valor mínimo local de f .
Ejemplo
Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3
SOLUCIÓN:
De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios.
Puntos críticos Estacionarios: x = 0 y x = 2 .
Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:
f ´´( x ) = 6 x − 6
a) f ´´(0) = 6(0) − 6 = −6 < 0 (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO.
b) f ´´(2) = 6 ( 2 ) − 6 = 6 > 0 (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.
123
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS
Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias
sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes:
1.Establecer el dominio de la función.
2.Establecer la simetría de las gráficas.
Es decir, determinar si es par, impar
o ninguna.
3.Establecer las asíntotas horizontales,
verticales u oblicuas.
4.Establecer los puntos críticos de
frontera, estacionarios y singulares.
5.Analizar la monotonía. Es decir,
determinar
los
intervalos
de
crecimiento y los intervalos de
decrecimiento.
6. Establecer los extremos relativos.
7.Analizar la concavidad. Es decir,
determine los intervalos donde es
cóncava hacia arriba y los intervalos
donde es cóncava hacia abajo.
8. Establecer los Puntos de Inflexión.
Ejemplo 1
Graficar f ( x) =
243 x
x + 243
4
SOLUCIÓN:
Siguiendo los pasos indicados tenemos:
Paso 1. DOMINIO: Dom f = R
Paso 2. SIMETRÍA: f (− x) =
124
243 ( − x )
(− x) + 243
4
=−
243x
= − f ( x) por tanto f es IMPAR.
x + 243
4
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Paso 3. ASÍNTOTAS:
VERTICALES: No hay (¿por qué?)
HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito
243 x
243
243 x
0
x4
x3
=
=
=
=0
lím
lím
x →∞ x 4 + 243
x →∞ 243 x 4
1 x→∞ 243 + 1 243 + 0
+
4
x
x4
x4
lím
Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir:
lím
x →−∞
243 x
=0
x 4 + 243
Por tanto el eje x ( y = 0 ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo.
Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS:
• P.C.F : no hay. ¿Por qué?
• P.C.E:
f ´( x) = 243
(x
4
+ 243) − x(4 x3 )
(x
+ 243)
= 243
243 − 3 x 4
(x
+ 243)
= 243
3 ( 81 − x 4 )
(x
3 ( 9 − x )( 9 + x )
3 ( 3 − x )( 3 + x ) ( 9 + x )
= 243
= 243
( x + 243)
( x + 243)
4
2
2
4
2
2
+ 243)
2
=
2
2
4
4
2
4
por lo tanto tenemos P.C.E: x0 = 3 y x0 = −3
• P.C.S: no hay. ¿Por qué?
Paso 5. MONOTONÍA:
Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que:
f´ −−−−−−
f
decrece
−−−−−−
++++++
crece
−3
decrece
3
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que:
1. En x0 = −3 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo
local.
2. En x0 = 3 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo
local.
Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
2
⎡
(81 − x 4 ) ⎤⎥ = 729 −4 x3 ( x 4 + 243) − (81 − x 4 ) 2 ( x4 + 243)( 4 x3 )
f ´´( x) = Dx ⎢729
2
4
⎢
( x 4 + 243) ⎥⎦
( x 4 + 243)
⎣
= 729
4 ( x 4 + 243) ⎡⎣ − x 3 ( x 4 + 243) − ( 81 − x 4 ) 2 ( x3 ) ⎤⎦
(x
4
+ 243)
4
4 ⎡ − x 7 − 243x 3 − 162 x3 + 2 x 7 ⎤⎦
= 729 ⎣
3
( x4 + 243)
4 ⎡ x 7 − 405 x3 ⎤⎦
= 729 ⎣
3
( x 4 + 243)
= 729
= 729
4 x3 ⎡⎣ x 4 − 405⎤⎦
(x
(
+ 243)
3
)(
4 x3 x 2 − 405 x 2 + 405
(
(x
4
+ 243)
)(
)
3
)(
4 x x − 405 x + 4 405 x 2 + 405
3
= 729
4
4
(x
4
+ 243)
)
3
125
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Entonces:
f ´´ − − − − − −
f
−−−−−−
++++++
− 4 405
0
4
++++++
405
Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN
Como la segunda derivada cambia de signo tanto en x = 0 , x =
(
(
tres puntos de inflexión: − 4 405, f − 4 405
) ) , (0,0) y (
4
4
405 y x = − 4 405 entonces existen
405, f
(
4
405
)) .
En conclusión:
x
f ´(x)
f ´´(x )
x < − 4 405
-
0
x = − 4 405
− 4 405 < x < −3
-
+
x = −3
0
+
−3 < x < 0
+
+
x=0
0< x<3
+
0
-
x=3
0
-
1 < x < 4 405
-
0
x = 4 405
-
x > 4 405
f ( x) =
243 x
x 4 + 243
+
Decrece y cóncava hacia
abajo
Punto de inflexión
Decrece y cóncava hacia
arriba
Punto crítico estacionario,
Mínimo local
Crece y cóncava hacia
arriba
Punto de inflexión
Crece y cóncava hacia
abajo
Punto crítico estacionario,
Máximo local
Decrece y cóncava hacia
abajo
Punto de inflexión
Decrece y cóncava hacia
arriba
2.25
( 4.49;1.68 )
( −4.49; − 1.68)
−2.25
126
f
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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Ejemplo 2
Graficar f ( x ) =
x2 +1
x2 −1
SOLUCIÓN:
Siguiendo los pasos indicados tenemos:
Paso 1. DOMINIO: Dom f = R − {−1, 1}
Paso 2. SIMETRÍA: f ( − x) =
(− x )2 + 1 = x 2 + 1 =
(− x) 2 − 1
f ( x) por tanto f es PAR.
x 2 −1
Paso 3. ASÍNTOTAS:
VERTICALES: x = −1 y x = 1 (calcule los límites laterales)
HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito
x2
2
lím
x +1
x →∞ x 2 − 1
2
= lím x
x →∞ x 2
x2
+
−
1
x2 = 1
1
x2
Por tanto, y = 1 es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo.
Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS:
•
P.C.F : no hay. ¿Por qué?
•
P.C.E:
f ´(x) =
(
)(
)
2 x x 2 − 1 − x 2 + 1 (2 x)
(x − 1)
2
2
=
2 x3 − 2 x − 2 x3 − 2 x
(x − 1)
2
2
=
− 4x
(x − 1)
2
2
Por lo tanto tenemos x 0 = 0
•
P.C.S: no hay. ¿Por qué?
Paso 5. MONOTONÍA:
Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que:
f´
f
++++++
crece
++++
−1
−−−−−−
−−−−
crece
decrece
0
decrece
1
Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que:
En x 0 = 0 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local.
Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
( )
( )
( )
2⎞
⎛ 2
2
⎡
⎤ (− 4 )⎜⎜ x − 1 ⎟⎟ − (− 4 x )(2 ) x − 1 2 x
4
−
x
⎝
⎠
⎥=
f ´´(x) = Dx ⎢
2⎥
2
⎢ 2
2⎤
⎡ 2
⎢⎣ x − 1 ⎥⎦
1
−
x
⎢
⎥
⎣
⎦
( )
=
− 4 x 2 + 4 + 16 x 2
(x − 1)
2
f ´´=
3
12 x 2 + 4
(x − 1)3 (x + 1)3
Entonces:
f ´´ + + + + + +
f
−1
++++++
−−−−−−−−−−−
1
127
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay
En conclusión:
x
f ´(x)
f ´´(x)
f
x < −1
x = −1
−1 < x < 0
x=0
+
+
+
0
-
0 < x <1
-
-
x =1
x >1
-
+
Crece y cóncava hacia arriba
Asíntota vertical
Crece y cóncava hacia abajo
Punto crítico estacionario,
Máximo local
Decrece y cóncava hacia
abajo
Asíntota vertical
Decrece y cóncava hacia
arriba
y=
x2 +1
x2 −1
Ejemplo 3
Graficar f ( x ) =
x2
x +1
SOLUCIÓN:
Siguiendo los pasos indicados tenemos:
Paso 1. DOMINIO: Dom f = R − {−1}
(−x)
x2
,
=
(−x) +1 −x +1
2
Paso 2. SIMETRÍA: f (− x) =
por tanto f no es par ni impar.
Paso 3. ASÍNTOTAS:
VERTICALES: Por inspección de la regla de correspondencia, en x = −1 la función no se define
(división entre cero) por tanto aquí hay una asíntota vertical. Además:
lím−
x →−1
x2
= −∞ y
x +1
x →−1
HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito
128
lím+
x2
= +∞
x +1
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
2
lím
x →∞
x2
x2
x
1
1
=
=
= =∞
1 1
x +1 x + 1
+ 2 0
2
2
x
x
x x
Por tanto, no hay asíntota horizontal.
ASÍNTOTA OBLICUA:
En ciertas funciones se cumple que: lím ⎡⎣ f ( x) − ( mx + b ) ⎤⎦ = 0
x →∞
f ( x)
y b = lím [ f ( x) − mx]
x →∞
x
Si los límites existen, se dice que la gráfica de f tiene una asíntota oblicua
donde m = lím
x →∞
y = mx + b
Entonces, para esta función sería:
x2
x2
2
2
1
1
x
= lím 2 x
= lím
= =1
m = lím x + 1 = lím 2
x →∞
x
→∞
x
→∞
x
→∞
1
1
x
x +x
x
x
1+
+
x
x2 x2
⎡ x2
⎤
⎡ x2 − x2 − x ⎤
⎡ −x ⎤
− x ⎥ = lím ⎢
= −1
b = lím ⎢
⎥ = lím
x →∞ x + 1
x →∞
x →∞ ⎢ x − 2 ⎥
−
2
x
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Por tanto, hay una asíntota oblicua y = x − 1
Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS:
• P.C.F : no hay
• P.C.E:
2
⎡ x 2 ⎤ ( 2 x )( x + 1) − x (1)
f ´( x) = Dx ⎢
=
⎥
2
( x + 1)
⎣ x + 1⎦
=
2x2 + 2 x − x2
( x + 1)
x ( x + 2)
f ´( x) =
2
( x + 1)
2
=
x2 + 2 x
( x + 1)
2
por lo tanto, tenemos P.C.E: x = 0 y x = −2
• P.C.S: no hay
Paso 5. MONOTONÍA:
Analizando el signo de f ´
−−−−−−
f´ + ++ + ++
f
crece
−2
++++++
decrece
0
crece
Paso 6: EXTREMOS:
por el criterio de la primera derivada observamos que:
1. En x = −2 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo
local.
2. En x = 0 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo
local.
Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada
129
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
⎡ x 2 + 2 x ⎤ ( 2 x + 2 )( x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ( 2 )( x + 1)
f ´´( x) = Dx ⎢
⎥=
2
2
⎢⎣ ( x + 1) ⎥⎦
⎡( x + 1)2 ⎤
⎣
⎦
2
=
=
f ´´( x) =
( x + 1) ⎡⎣( 2 x + 2 )( x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ( 2 )⎤⎦
4
( x + 1)
2x2 + 4x + 2 − 2x2 − 4x
( x + 1)
3
2
( x + 1)
3
Entonces:
−−−−−−
f ´´
++++++
f
−1
Paso 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN
NO HAY. Aunque la segunda derivada tiene signo diferente en x = −1 , pero como no es punto del dominio,
tiene asíntota, entonces no es un punto de inflexión.
En conclusión:
x
f ´(x)
f ´´(x)
f
x < −2
x = −2
+
0
-
−2 < x < −1
-
-
−1 < x < 0
-
+
x=0
0
+
x>0
+
+
Crece y cóncava hacia abajo
Punto Crítico Estacionario,
Máximo local
Decrece y cóncava hacia
abajo
Decrece y cóncava hacia
arriba
Punto Crítico Estacionario,
Mínimo local
Crece y cóncava hacia arriba
x = −1
f ( x) =
130
x2
x +1
y = x −1
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener
condiciones que nos permitan concluir sobre la gráfica de una función.
Ejemplo
Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones:
Dom f = \
1.
2.
f continua en (−∞,0 ) ∪ (0, ∞ )
3.
f ( −1) = 0 , f ( 32 ) = f (4) = 0 , f ( −3) = f (0) = 2 , f (−2) = 4 , f (3) = −2 ,
4.
∀ε > 0, ∃N > 0; ∀x : x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε
5.
∀ε > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε
f (1) = 1
lím f ( x) = −∞
6.
x →0 −
lím [ f ( x) − ( x − 3)] = 0
7.
x → +∞
9.
f ' (−2) = 0 ,
f ' ( x) > 0 para x < −2 ∨
10.
f ' ( x) < 0 ,para −2 < x < 0 ∨
11.
12.
f ' ' (1) = 0
f ' ' ( x) > 0 para x < −3 ∨ 1 < x < 3
13.
f ' ' ( x) < 0 para −3 < x < 0 ∨
8.
x>3,
0< x<3
0 < x <1 ∨
x>3
SOLUCIÓN:
Interpretemos las condiciones, tenemos:
1. Dominio de la función.
2. Intervalos de continuidad. Como es abierto tanto a la izquierda como a la derecha de cero, entonces se puede
esperar que exista una asíntota vertical o un punto de no definición.
3. Puntos de la gráfica de la función. Hay que ubicarlos en el plano cartesiano.
4. lím f ( x) = 1 . Asíntota horizontal y = 1 , para x negativos.
x → −∞
5. lím f ( x) = 3 . La función se aproxima a 3, por la derecha de 0.
x →0 +
6. lím f ( x) = −∞ . Asíntota vertical, el eje y por la izquierda de 0
x →0 −
7. lím [ f ( x)] = x − 3 Asíntota oblicua y = x − 3 para x posoitivos.
x → +∞
8. Punto crítico estacionario en x = −2
9. f crece en los intervalos (−∞,−2) o en (3, ∞ )
10.
f decrece en los intervalos (−2,0 ) o en (0,3)
12.
f es cóncava hacia arriba en (−∞,−3) o en (1,3)
11. Punto de inflexión: (1,1)
13.
f es cóncava hacia abajo en (−3,0 ) o en (0,1) o en (3, ∞ )
Entonces la grafica sería:
131
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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y = x−3
•
D
•
•
•2
•
3
•
Ejercicios Propuestos 4.6
1. Graficar las siguientes funciones, mostrando: dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, extremos,
concavidad, puntos de inflexión:
1.
f ( x) = x 2 4 − x
2.
f ( x) = 3 2 ⎛⎜ 5 3 x 2 − 3 x 5 ⎞⎟
⎝
⎠
3.
f ( x) = e
4.
f ( x) =
5.
132
− x2
(x − 2)2
2
x
3x − 5
f (x ) =
x−2
9.
f ( x) =
10.
f ( x) =
11.
f ( x) =
f (x ) =
7.
f ( x) = e
8.
f ( x) = (x + 2 )
9 − x2
1
(x − 1)2
2 + x − x2
x −1
( x + 2 )2
x
x −4
3
12.
f ( x) =
13.
f ( x) =
14.
f ( x) = xe
2x2
6.
2 + x − x2
x2
x2
x−3
x
2
3
− (x − 2)
2
3
1
x
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
2.
Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
3.
x → −∞
lím f ( x) = +∞
x →1+
lím f ( x) = ∞
x →−1+
ƒ
f ' (−3) = f ' (0) = f ' (3 / 2) = 0
ƒ
f (−3) = 0 , f
ƒ
⎛3 ⎞
f ' ( x) > 0 en (0,1) y ⎜ ,3 ⎟
⎝2 ⎠
ƒ
f ' ' (2) = 0
(32 ) = −1 ,
2
ƒ
∀M > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) < − M
ƒ
∀ε > 0, ∃N > 0; ∀x : x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε
ƒ
ƒ
lím [ f ( x) − x ] = 0
x →+∞
f ' ( x) > 0, para x ∈ (−∞,0) ∪ (2, ∞ ); f ' ( x) < 0, para x ∈ (0,2)
f ' ' ( x) > 0, para x ∈ (−∞,−1); f ' ' ( x) < 0, para x ∈ (−1,2 ) ∪ (2, ∞ )
Suponga que
f '( x ) = ( x − 3)( x − 1) 2 ( x + 2 )
esboce una gráfica para
5.
f (2) = − 1 , f (0) = 0
Bosqueje el gráfico de una función f tal que:
ƒ Dominio f =IR
ƒ
Contínua en (−∞,2 ) ∪ (2, ∞ )
ƒ f(-1)=4, f(0)=6, f(2)=-3, f(3)=0
ƒ
∀ε > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε
ƒ
4.
f ( x) = f (− x)
lím f ( x) = −2
f
Bosqueje el gráfico de una función
Bosqueje el gráfico de una función
f (3) = 3
f (1) = 0 , f ( −2 ) = 5 , f (3) = −5
,
.
f
continua en
f (1) = 6 , f ( −1) = −7 , f ( 2 ) = −3
6.
y
f
IR
tal que
f (−4) = f (5) = 0 , f (0) = 8 ,
y además la gráfica de su derivada es:
continua en
IR
tal que
f (−2) = 4 , f (1) = 0 , f (2) = 1 ,
y además la gráfica de su derivada es:
133
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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7.
Bosqueje el gráfico de una función
f (4) = 0
8.
f
continua en
Bosqueje el gráfico de una función
f (2) = −1 , f ( −
7
2
f
continua en
tal que
f (−1) = 2 , f (0) = 0 , f (2) = 1 ,
IR tal que f (−1) = 1 , f (0) = 3 , f (1) = 5 ,
) = −4 y además la gráfica de su derivada es:
D
D
134
IR
y además la gráfica de su derivada es:
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
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4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS
(TEOREMA DE LAGRANGE)
Si f es una función continua en [a, b] y
derivable en (a, b ) entonces, existe al
menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal que
f ´(x0 ) =
f (b) − f (a )
b−a
Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo
cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el
cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual
pendiente.
Recta Secante
Recta Tangente
y = f (x)
f ( b) - f ( a )
f (b)
b- a
f (a )
a
b
x0
Demostración:
Sea S ( x ) = f ( x ) − g ( x) donde g es la recta entre los puntos (a, f ( a ) ) y (b, f (b) ) ,
y − y 0 = m( x − x 0 )
entonces podemos obtener su ecuación:
y = g ( x) = f (a) +
y − f (a) =
f (b) − f (a)
(x − a )
b−a
, es decir
f (b) − f (a )
(x − a )
b−a
135
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Reemplazando, resulta:
f (b) − f (a)
⎡
(x − a )⎤⎥
S ( x) = f ( x) − ⎢ f (a) +
b−a
⎣
⎦
f (b) − f (a )
⎡
(a − a )⎤⎥ = 0 y
b−a
⎣
⎦
f (b) − f (a)
⎡
(b − a )⎤⎥ = 0
S (b) = f (b) − ⎢ f (a) +
b−a
⎦
⎣
Por tanto, ∃x 0 ∈ (a, b ) tal que S´(x 0 ) = 0
Obtengamos S ( a ) = f ( a ) − ⎢ f ( a ) +
⎡ f (b) − f (a) ⎤
⎡ f (b) − f (a) ⎤
y S´(x 0 ) = f ´(x 0 ) − ⎢
⎥
⎥⎦ = 0
⎣ b−a
⎦
⎣ b−a
f (b) − f (a )
Por lo último f ´(x 0 ) =
L.Q.Q.D.
b−a
Para lo cual S´(x ) = f ´(x ) − ⎢
Ejemplo 1
Encuentre el número “ x 0 ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si
f ( x ) = x 2 en [ −1, 2] .
SOLUCIÓN:
Observe que f es continua en [ −1, 2] y como f ´( x) = 2 x por tanto es diferenciable en
cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de
f ´( x0 ) =
x0
f (2) − f (−1)
está garantizada y lo podemos encontrar.
2 − ( −1)
Para lo cual f ´( x0 ) = 2 x0
f (2) − f (−1) 4 − 1 3
=
= =1
2 − ( −1)
3
3
y
2 x0 = 1
Igualando y despejando, resulta:
x0 =
1.
2
Geométricamente.
Re
nte
ca
e
S
cta
f ( x) = x 2
ct
Re
[
136
0.5
nte
ge
an
T
a
]
en
( −1, 2 ) se
( −1, 2 ) tal que
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 2
Use el teorema del valor medio para demostrar que: sen b − sen a ≤ a − b
SOLUCIÓN:
Usemos f ( x) = senx . Note que es una función continua en [ a, b ] y derivable en ( a, b ) por tanto de
acuerdo al teorema de Lagrange , existe un x0 ∈ ( a, b ) tal que f ´( x0 ) =
f (b) − f (a )
.
b−a
Reemplazando y simplificando
cos x0 =
senb − sena
b−a
Por otro lado
0 ≤ cos x0 ≤ 1
senb − sena
≤1
b−a
Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando.
senb − sena
≤1
b−a
Entonces
0≤
senb − sena ≤ b − a
Que es lo que se quería demostrar.
Ejemplo 3
Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de
distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una
velocidad de 90 km por hora; 4 minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 70
km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos 4
minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de 100 km por hora.
SOLUCIÓN:
Sea e = f ( t ) , el espacio recorrido por el camión, una función del tiempo, continua y diferenciable en el
cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento.
Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos 4 minutos:
vm =
Δe
7 km
=
= 105 km
h
4
Δt
horas
60
Sea t1 el momento en que se le mide al camión una velocidad de v1 = 90 km
h
y sea t2 el momento en que
se mide una velocidad de v2 = 70 km . De acuerdo al teorema de Lagrange existe un t0 ∈ ( t1 , t2 ) en el cual
h
de
= f ´( t0 ) , la velocidad instantánea del camión, fue igual a la velocidad media ( 105 km ), lo cual
h
dt
demuestra que ha superado el límite de velocidad ( 100 km ).
h
Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle.
137
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
4.6 TEOREMA DE ROLLE
Si f es una función continua en [a, b] y
derivable en (a, b ) y si f (a) = f (b) entonces,
existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal
que f ´(x0 ) = 0
El teorema del valor medio para dos funciones sería:
Ejercicios Propuestos 4.7
1.
La función f ( x) = x satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es
verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta.
2.
Sea f ( x) = x − 2 x . Hallar todos los valores de " x 0 " en el intervalo [-2,2] que satisfacen el teorema de
4
2
Rolle.
3.
La altura que alcanza una bola "t" segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente función:
f (t ) = −16t 2 + 48t + 32 .
a)
b)
4.
Sea
Comprobar que f (1) = f (2).
Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1,2]?
f ( x) = αx 2 + βx + ∂ ; α , β , δ ∈ IR.
Encontrar el valor de " x 0 " que satisfaga el teorema del
valor medio para derivadas en [a,b].
138
5.
Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un
camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; 4 minutos después al
pasar junto a otro coche, éste le mide 50 millas por hora. Probar que en algún momento en esos 4 minutos ha
superado el límite de velocidad de 70 millas por hora.
6.
Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos b − cos a ≤ b − a
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
7.
Considere f ( x ) = x
4
5
en el intervalo [ −1, 2] . Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de
Lagrange. Justifique.
8.
Considere f ( x ) =
3
x en el intervalo [ −1,8] . Verifique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema
de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justifique.
4.7 TEOREMA DE CAUCHY
Sean f y g funciones continuas en [a, b] y diferenciables en
(a, b ) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal
f ´(x 0 ) f (b) − f (a )
=
g´(x0 ) g (b) − g (a )
que
No olvide demostrarlo.
Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones.
4.8 TEOREMA DE L’HOPITAL
Suponga
que
lím f ( x) = lím g ( x) = 0
x →u
f ´(x)
existe
g´(x)
f ( x)
f ´(x)
lím
= lím
x →u g ( x )
x →u g´( x )
lím f ( x) = lím g ( x) = ∞ .
x →u
x →u
o infinito; entonces:
Donde
x →u
Si
lím
x→u
o
también
en sentido finito
u = a, a + , a − ,+∞,−∞
No olvide demostrarlo.
Ejemplo 1
Calcular
lím
x →0
SOLUCIÓN:
sen x
x
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
lím
x →0
sen x
cos x
= lím
= cos 0 = 1
x →0 1
x
139
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 2
Calcular lím (1 + x )
1
x →0
x
SOLUCIÓN:
Transformando la expresión primero, resulta:
lím (1 + x )
1
x →0
x
= lím e ln (1+ x )
x →0
1
x
= lím e
ln (1+ x )
x
x →0
lím
= e x →0
ln (1+ x )
x
Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:
1
ln(1 + x)
x =1
1
+
= lím
lím
x →0
x →0 1
x
Por tanto, lím (1 + x )
1
x →0
= e1 = e
x
Ejemplo 3
Calcular lím
sen x − x
x3
x →0
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
lím
sen x − x
x →0
x
3
= lím
x →0
cos x − 1
3x 2
Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea
necesario: lím
cos x − 1
x →0
3x
2
= lím
x →0
1
− sen x
=−
6x
6
Ejemplo 4
Calcular lím
3x 2 − 5 x + 1
x →∞ 4 x 2
+ 2x − 3
SOLUCIÓN:
∞
∞
Note que aquí tenemos:
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: lím
6x − 5
x →∞ 8 x + 2
6 3
=
x →∞ 8
4
Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: lím
Ejemplo 5
π
Calcular lím (2 − x )tg 2 x
x →1
SOLUCIÓN:
Observe que aquí tenemos 1∞ . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente.
Transformando la expresión primero, resulta:
lím (2 − x )
x →1
140
π
tg x
2
= lím e ln (2 − x )
tg
x →1
π
x
2
lím
ln (2 − x )
(tg π x )[ln (2 − x )] = e x →1 cot g 2 x
= lím e 2
x →1
π
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:
1
−
−1 2
ln(2 − x)
−
x
2
= lím
= π =
lím
x →1 cot g π x
x →1 − csc 2 π x π
π
−
2
2
2
2
(
π
)
2
Por tanto, lím (2 − x )tg 2 x = e π
x →1
Ejemplo 6
1 ⎤
⎡ 1
Calcular lim ⎢
−
x − 1 ⎥⎦
x →1 ⎣ ln x
SOLUCIÓN:
Observe que aquí tenemos ∞ − ∞ ..
Transformando la expresión primero, resulta:
1 ⎤
x − 1 − ln x
⎡ 1
lim ⎢
−
= lim
x →1 ⎣ ln x
x − 1 ⎥⎦ x →1 (ln x )(x − 1)
Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:
1
x −1
1− 0 −
x − 1 − ln x
x −1
x
x
lim
= lim
= lim
= lim
1
x →1 (ln x )(x − 1)
x →1 1
x →1
x →1 x − 1 + ln x
(x − 1) + ln x(1)
1 − + ln x
x
x
x −1
1
1
Volviendo a aplicar L´hopital: lim
= lim
=
1 2
x →1 x − 1 + ln x
x →1
1+
x
Ejercicios Propuestos 4.8
Calcular:
1. lim
x 2 + 3x − 10
+
x 2 − 4x + 4
x − 2 sen x
2. lim
tg x
x →0
x →2
sen x + tg x
3. lim
9. lim (cos x ) x
1
x →0
10.
lim (cos 2 x )
(
lim 1 + x 2
e x − e− x
1
4. lim c tg x −
x
x →0
5. lim (1 − cos x ) c tg x
12.
lim x
cos x − 1
6. lim
x →0 − 1 − cos x
13.
lim
x →0
7. lim
x →∞
x
8. lim x
x →0
1
x
sen x
x2
x→ 0
11.
x →0 −
3
x →0
x →0
x→0
14.
15.
)
1
x
⎛ 3 ⎞
⎜
⎟
⎝ 4 + ln x ⎠
ln (cos 3x )
2x 2
⎛ x ⎞
lim ⎜
⎟
x →0 ⎝ x + 1 ⎠
x
lim (c tg x )sen x
x →0
141
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Misceláneos
1. Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y
concavidad, extremos locales y puntos de inflexión
x−2
x −1
x−2
a)
f ( x) =
b)
f ( x) =
c)
f ( x) =
d)
f ( x) =
e)
f ( x) = x (8 − x )
f)
f ( x) = xe 3 + 1
g)
f ( x) =
h) f ( x) = x 3 + x 2 − 5 x − 5
i) f ( x) = x 5 − x 3
x −1
x
2
j) f ( x) = x
x −1
2
2
k) f ( x) =
x 2 −1
2
3
(x − 8)
2
x2 − 4x
2
x − 4x + 3
3
2
x
x 2 −1
x
2. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
•
•
•
•
•
f es continua en toda su extensión
f (−4) = −3 , f (0) = 0 , f (3) = 2
f ´(−4) = 0 , f ´(3) = 0 , f ´(x) > 0 para x < −4 , f ´(x) > 0 para −4 < x < 3 ,
f ´(x) < 0 para x > 3 .
f ´´(−4) = 0 , f ´´(0) = 0 , f ´´(x) < 0 para x < −4
f ´´(x) > 0 para −4 < x < 0 , f ´´(x) < 0 para x > 0
3. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:
•
lím f ( x) = +∞
lím f ( x) = 0 lím f ( x) = −∞ a < b < 0 < d < e
x→a
x → −∞
x → +∞
•
f (c) = f (e) = 0 , f (b) = 5 , f (0) = 3 , f (a ) = f (d ) = 1
•
f ´´(b) = 0 , f ´´(c) no existe, f ´(d ) = 0 , f ´´(d ) < 0 ,
•
•
∀x ∈ (−∞, a ) ∪ (c, d )[ f ´(x) > 0] ,
∀x ∈ (a, c ) ∪ (d ,+∞ )[ f ´(x) < 0]
∀x ∈ (−∞, a ) ∪ (a, b )[ f ´´(x) > 0] , ∀x ∈ (b, c ) ∪ (c,+∞ )[ f ´´(x ) < 0]
4. Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es:
y
−3
Suponga que f ( −1) = −1
142
x
−1
2
Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
5. Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es:
5
−2
2
−5
Suponga que f (0) = 0
6. Calcular :
a) lim (senx )
x2
x →0 +
b) lim
sec x − 2tgx
1 + cos 4 x
4
c) lim
tgx − x
arc senx − x
2
x →π
x →0
2
e x − cos x
d) lim
x2
x →0
⎛
e) lim ⎜ 2 x tan x −
π
x→ 2
⎝
π ⎞
⎟
cos x ⎠
143
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
5
5.1 RAZÓN DE CAMBIO
5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS
MÍNIMOS
5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES
5.4 POLINOMIO DE TAYLOR
Y
OBJETIVOS:
:




Resolv er problemas de razón de cambio.
Resolv er problemas de máxim os y mínimos.
Aprox im ar v alores.
Aprox im ar funciones mediante polinomios
145
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
5.1 RAZÓN DE CAMBIO
Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable
con respecto a otra variable, para una función y  f (x) , se podría obtener la
derivada o razón de cambio de las variables " x " y " y " con respecto al tiempo
dy
dx
" t ", es decir: " " y "
". Lo cual nos va a permitir resolver problemas de
dt
dt
aplicación.
Ejemplo 1
Hacia un tanque de forma de cono invertido fluye agua a razón de 5
m3
, si la altura
min
del tanque es de 10 m. y el radio de la base es de 5 m.
a) ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel del agua cuando tiene 3 m. de altura?.
SOLUCIÓN:
Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:
5
5
m3
min
r
10
h
Llamemos:
M  Cantidad de agua que entra en m3
Q  Cantidad de agua que sale en m3
V  Cantidad de agua alojada en m3
Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: M  Q  V
Derivando con respecto al tiempo, resulta:
dM dQ dV


dt
dt
dt
Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos:
146
dM
m3
5
y
dt
min
dQ
m3
0
.
dt
min
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar
la formula del volumen de un cono , es decir: V  13 r 2 h .
Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, lo más indicado es que sea en
función de h (¿por qué?).
Las secciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar r con h .
h r
h

entonces r 
10 5
2
5
reemplazando en la formula para el
volumen del agua alojada, resulta:
2
h
 3
V  13   h  12
h
2
r
10
h
por tanto
dV  2 dh
 h
dt
4
dt
Entonces:
dM dQ dV


dt
dt
dt
dh
5  0  4 h 2
dt
dh
20 m

dt  h 2 min
En h  3 resulta:
dh
20
20 m


2
dt   3
9 min
b) Suponga ahora que se produce una perforación en lo bajo del recipiente y empieza
m3
a salir agua a razón de 2
, Calcule la rapidez con que se está elevando el
min
nivel de agua cuando tiene 3 m. de altura?.
dM dQ dV


dt
dt
dt
dh
5  2  4 h 2
dt
dh 12 m

dt  h 2 min
dh
12
12 m


En h  3 resulta:
2
dt   3
9 min
147
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 2
Una piscina tiene 10 m de largo y 5 m de ancho, 2.5 m de profundidad en el extremo
mas hondo y 1 m en el extremo menos profundo, el fondo es rectangular, se esta
bombeando agua a razón de 4 m3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua
cuando tiene:
a) 0.5 m b) 1.5 m
SOLUCIÓN:
Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:
4
m3
min
10
5
1
2.5
Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea
1.5 m. es una situación y otra situación después de los 1. 5 m.
a) 0  h  1.5
10
b
1.5
h
De manera análoga al problema anterior
m3
m3
m3
Entra 
sale 
Alojado
min
min
min
El volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la fórmula para un prisma de base
triangular, es decir V 
bh
5
(5)  bh .
2
2
La relación entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejantes; entonces:
que resulta: b 
20
h.
3
Por tanto, el volumen queda: V 
148
5  20 
50 2
h .
 h h 
2 3 
3
b
h

,
10 1.5
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
De aquí resulta
dV 100 dh

h
.
dt
3 dt
Reemplazando, se obtiene:
m3
m3
dV
Entra 
sale 
Alojada
min
min
dt
100 dh
40 
h
3 dt
dh
3 m

0  h  1.5
dt 25h min
En h  0.5 resulta
dh
3
6 m3


dt 25(0.5) 25 min
b) si 1.5  h  2.5 , tenemos:
10
h
V2
Variable
V1
Contante
2.5
El volumen de agua alojada se lo puede calcular de la siguiente manera:
V  V1  V2
V  12 (1.5)(10)(5)  10h(5)
V
entonces
75
 50h
2
dV
dh
 50
y al reemplazarlo resulta:
dt
dt
m3
m3
dV
Entra 
sale 
Alojada
min
min
dt
dh
4  0  50
dt
dh 2 m3

dt 25 min
Note que es independiente de h.
Note también que como el volumen de la parte inferior del recipiente es constante, entonces su rapidez
de cambio es "0"; por tanto no existiría ningún inconveniente si sólo trabajáramos con la parte superior
de recipiente, pero con un nuevo nivel de referencia.
149
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 3
Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio
día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta
directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están
volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15).
SOLUCIÓN:
Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:
Referencia: 12h15
e
t
e  vt
v
1
e  640    160
4
z 2  x 2  160  y 2
derivando con respecto al tiempo
dz
dx
dy
2z  2 x  2 160  y 
dt
dt
dt
dx
dy
x  160  y 
dz
dt
 dt
dt
z
x  600 millas
En 1 hora: y  640 millas
z
Por tanto:
6002  640  1602
 1000 millas
dz 600(600)  (160  640)(640)
millas

 872
dt
1000
hora
Ejercicios Propuestos 5.1
1.
De un tubo sale arena a razón de 16 pies 3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es
siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4
pies de longitud?
2.
Un depósito cónic o de 12 m. de altura y radio de la base 4 m., tiene inic ialm ente 10 m 3 de agua. En t=0
comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m 3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a
salir agua a razón de 5 m 3/h. Determine la razón a la que está variando el niv el del líquido después de 3 horas?
3.
En un depósito de forma cónic a se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros
de profundidad y 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el niv el del agua sube a razón de 2.5
centímetros por minuto, cuando el agua tiene 4.8 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del

depósito? 1 Litro  103 m3
150

Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
4.
Considere el reserv orio de la figura adjunta,
al cual se está vertiendo agua a razón de
50 m 3/min. Determine ¿con qué rapidez sube
el niv el del agua, cuando éste tiene?:
a) 2 m.
b) 5 m.
1
2
m.
3
4
m.
2
5.
La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta
uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo niv el los 20 pies
restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie 3/min de agua. Calcule
aprox im adamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del niv el de agua en el momento que la profundidad es:
4'
a) 4 pies
9'
b) 6 pies
20'
6.
40'
Suponga que se vacía el agua de un tanque
esféric o de radio 10 pies. Si el niv el del
agua en el tanque es 5 pies y ésta decreciendo a
razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón
dis minuye el radio r de la superficie
del agua?
10
r
7.
Una pis cina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro
ex tremo. La piscina se l ena bombeando agua a razón de 40 pies cúbic os por minuto. Encuentre la rapidez con
la que sube el niv el del agua para cualquier v alor de h, donde h es la profundidad del agua.
50
4
20
25
15
8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de
1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué v elocidad aumenta la distancia entre el av ión y la estación de radar
1 minuto más tarde?
9. Un aeroplano v uela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo
aeroplano v uela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué
tan rápido se separan a la 1:00 p.m.?
151
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
10. La rueda moscovita que se muestra en la figura dá una v uelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una
pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encim a del suelo?
R
64 pies
R= 60 pies
5.2 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS
Con lo expuesto en el capitulo anterior es posible resolver problemas
prácticos de optimización.
Ejemplo 1
Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartón rectangular que mide 5 pies x
8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando
por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el
volumen de la caja?
SOLUCIÓN:
De acuerdo a la figura, la
tendrá un volumen que se
la formula
caja formada así
puede calcular con
V  xyz .
Observe 5  2 x  z , por tanto z  5  2 x
Observe también que 8  2 x  2 y , por tanto y  4  x
152
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
V  x4  x (5  2 x)
 (4 x  x 2 )(5  2 x)
Reemplazando, el volumen sería:
V  2 x3  13x 2  20x
La derivada es:
dV
 6 x 2  26x  20
dx
dV
0
dx
Obteniendo los puntos críticos, tenemos: 6 x 2  26x  20  0
x 1 
x  103  3.33
Escogemos x  1 p , porque no es posible que x  2.5
Por tanto y  4  x  4  1  3 p y z  5  2x  5  2(1)  3 p
serían las dimensiones
para obtener un volumen máximo. Cuyo valor es: Vmáx  xyz  1(3)(3)  9 p3
Ejemplo 2
Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los
extremos en la curva 12y = 36 - x2. Determínese las dimensiones del triángulo de
área máxima.
SOLUCIÓN:
Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos:
El área de triángulo se la calcula con la formula
Se observa que h  y  3 
x2
12
A
bh
2
y que b  2 x
Reemplazando, obtenemos el área en función de una sóla variable:

A


12 
2 x  3  x

2
2
x3
A  3x 
12
Derivando para obtener los puntos críticos, resulta:
dA
x2
 3
dx
4
153
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
dA
0
dx
Ahora,
por tanto, despejando resulta x  2 3
x2
3
0
4
Las dimensiones del triangula de área máxima sería:
 
b  2x  2 2 3  4 3
por consiguiente: Amáx 
y h  y  3
 
b  h 4 3 2

 4 3 u2
2
2
 
2 3
x2
 3
12
12
2
 3 1  2
Ejemplo 3
Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede
inscribirse en un cono circular recto de radio “R” y altura “H”.
SOLUCIÓN:
Haciendo un esquema tenemos:
El volumen del cilindro se lo calcula con la formula V  r h
Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y h por semejanza de
triángulos:
2
Del gráfico observamos que:
rH  HR  hR
Entonces: hR  HR  rH
HR  rH
h
R
r H h

R
H
Reemplazando, tenemos:

 HR  rH  H 2
V  r 2 h  r 2 
r R r3

R
R


Entonces:
154

dV H

2rR  3r 2
dr
R


dV
0
dr
H
2rR  3r 2  0
y para el óptimo:
R
r  0  r  23 R


Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Por lo tanto: h 
2
HR  rH HR  3 RH 1

 H
R
R
3
Ejemplo 4
A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas en dirección este de un segundo barco. Si el
primero navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo al sur este a 30 millas
por hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos el uno del otro?
SOLUCIÓN:
Esquemáticamente tenemos:
Aplicando la ley del coseno para calcular la distancia de separación z , resulta:

z 2  60  x 2  y 2  260  x  y  cos 45 
Además como v 

e
entonces e  vt y para cada distancia tenemos:
t
x  v x t  20t y y  v y t  30t
Reemplazando queda:

z 2  60  x 2  y 2  260  x  y  cos 45 

 
z  60  20t   30t   260  20t 30t 
2
2
2
2
2
Maximizar z es lo mismo que maximizar z por tanto si z  D tenemos:
2
2
 
D  60  20t 2  30t 2  260  20t 30t 
2
2
Derivando y simplificando resulta:
155
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
dD
 260  20t (20)  230t (30)  2 2030t  22   260  20t 30
dt
 

dD
2
2
2
 2400 800t  1800 1200 2 t  3600 2  1200 2 t
dt
dD
 600  1800 2  800  1200 2 t
dt

Y para el óptimo:
2
2




dD
0
dt


 600  1800 2  800  1200 2 t  0
t
600  1800 2
800  1200 2
t  1.15 horas
Es decir las 8:09 a.m. estarán más próx imos uno del otro
Ejercicios propuestos 5.2
1.
Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbic as y cuy o fondo sea el doble
de largo que de ancho como se muestra en la figura:
x
2x
Determine las dimensiones de la caja que minim izarán el área total de su superficie.
2.
Determine las dim ensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértic es en el eje x y sus otros dos
vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: y  8  x 2 , y  0 .
3.
Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el pis o, sobre un muro de 8 pies de altura,
hasta una pared de un edific io, a 1 pie de distancia del muro.
E
d
i
f
i
c
i
o
Escalera
1'
Pared
Piso
4.
156
Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña,
que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (v er figura). Puede
caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar
primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo
minim izará el tiempo total necesario para que el excursionis ta llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra
en comparación con la ruta directa por el bosque?
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
10 km
Excursionista
Cabaña
2 km Bosque


Carretera
5.
Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra la figura.

1

6.
Hallar el v alor del área máx im a del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de longitud L y
ancho W.

W
L
7.
Se v a a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de v olumen dado, con el mismo eje y
con el vértice del cono interior tocando la base del cono ex terior. Encuentre la razón entre las alturas de dic hos
conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen.
8.
Calcule las dim ensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio
igual a 10 cm.
9.
Inscribir en una esfera dada un cilindro de v olumen máximo.
10. Encuentre las dimensiones de los triángulos is ósceles inscritos en la región comprendida entre el gráfico de


1
f x   x 2  4 y el eje x, de manera que el área de la región sombreada sea máxima.
y
x
11. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un granero de
100 pies de largo como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxim a área?
GRANERO
CORRAL
157
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
12. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posic ión del aeroplano B es al suroeste del
A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano A v uela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia
el norte a 64/3 km/min.
a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro?
b) ¿Cuál será su dis tancia más corta?
13. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Nota:
Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en un punto P de
2
modo que AP  AM
C
3
P
M
B
A
5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES
5.3.1 DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL
Supongase que y  f (x) es diferenciable
en “ x ” y que dx , la diferencial de una
variable independiente “ x ”, designa un
incremento arbitrario de “ x ”.
La diferencial de “ y ” correspondiente a
la variable dependiente “ y ” se define
como:
158
dy  f ´(x)dx
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
5.3.2 APROXIMACIONES
Observe la gráfica
Note que x  dx
Y que, si x  0 entonces y  dy , es decir:
y  f ´(x)x
Entonces: f ( x0  x)  f ( x0 )  f ´(x0 )x
Es decir: f ( x0  x)  f ( x0 )  f ´(x0 )x
Ejemplo 1
Aproximar 4.6
SOLUCIÓN:
Debemos emplear la función
Note que
f ( x)  x .
4.6  4  0.6 , entonces x0  4 y x  0.6
Para emplear la formula f ( x0  x)  f ( x0 )  f ´( x0 )x , Obtenemos:
f ( x0  x)  x0  x  4  0.6 , f ( x0 )  x0  4  2 y
Entonces:
f ´( x0 ) 
1
2 x0

1
2 4

1
4
1
4  0.6  2   0.6
4
4.6  2.15
159
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejemplo 2
Aproximar sen 31
SOLUCIÓN:
Para este caso empleamos f ( x)  sen x , por tanto f ´( x)  cos x
Para aplicar la formula f ( x0  x)  f ( x0 )  f ´( x0 )x , para la cual definimos:
x0  30 


, x  1 
entonces:
6
180
sen(x0  x)  sen(x0 )  cos(x0 )x
  
sen(30  1)  sen(30)  cos30

 180 
 3   

sen 31  0.5  
 2  180 


sen 31  0.501
5.3.3 ESTIMACION DE ERRORES
Sea y  f (x) la variación en y cuando varía x se la se la calcula
empleando la formula y  f ´(x)x
Ejemplo
El lado de un cubo se midió en 11.4 cm. con un posible error de ± 0.05 cm. Calcule el volumen
del cubo y proporcione una estimación para el posible error de este valor.
SOLUCIÓN:
El volumen del cubo se lo obtiene con la formula V  l 3 .
Como l  11.4cm entonces V  11.43  1481.5cm3 .
Pero como hay un margen de error (variabilidad) en la medición del lado: l  0.05cm , se propaga
un error en el valor del volumen calculado.
dV
l Es decir:
Este margen de error en el volumen se lo calcula de la siguiente manera: V 
dl
V  3l 2 l
V  3(11.4) 2 (0.05)
V  19.5cm 3
Esto quiere decir que V  1481.5  19.5cm3
Ejercicios Propuestos 5.3
1.
En los siguientes ejercicios use diferenciales para calcular v alores aproxim ados de los números dados.
Compare con los valores reales:
a)
2.
160
402
b) 3 26.91
c)
35.9
d) 6 64.05
El diámetro ex terior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de
espesor, use diferenciales para calcular el volumen aproximado de la región interior del mismo.
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
3.
Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6  0.005
pulgadas. Calc ule su volumen con una estimación del error.
4.
Se mide el radio de una esfera con un instrumento cuya precis ión es de 0.05 cm.. Si la medición registra un
radio de 15 cm. Determine el error que tendrá el volumen de la esfera
5.4 POLINOMIO DE TAYLOR
La
ecuación
de
la recta tangente en el punto
y  f ( x0 )  f ´(x0 )x  x0  es decir y  f ( x0 )  f ´(x0 )x  x0  .
x0 , f ( x0 )
es
En la vecindad de x 0 , y  f (x) ; por tanto una buena aproximación para una
función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir:
f ( x)  f ( x0 )  f ´(x0 )x  x0  .
Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un
polinomio lineal.
Para mayor orden tenemos:
f ( x)  f ( x0 )  f ´(x0 )x  x0  
n
f ´´(x0 )
x  x0 2  f ´´´(x0 ) x  x0 3  ...  f ( x0 ) x  x0 n
2!
3!
n!
El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función.
NO OLVIDE DEMOSTRARLO.
Si x0  0 se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería:
f ( x)  f (0)  f ´(0)x 
f ´´(0) 2 f ´´´(0) 3
x 
x  ...
2!
3!
Ejemplo
Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x)  e x y empleelo para calcular e 0.1 .
SOLUCIÓN:
f ( x)  f ( x0 )  f ´( x0 )x  x0  
e x  e0  e0 x  0 
IV
f ´´( x0 )
x  x0 2  f ´´´( x0 ) x  x0 3  f ( x0 ) x  x0 4
2!
3!
4!
0
0
e0
x  02  e x  03  e x  04
2!
3!
4!
x 2 x3 x 4


2
6 24
bien, ahora reemplazando x  0.1 resulta:
f (0.1)  1  0.1  0.005 0.000166666 0.000004166
f (0.1)  1.105170833
ex  1  x 
161
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Ejercicios Propuestos 5.4
1.
Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para:
a)
f x   e3x ; n=4
d) f ( x)  cosh x 
b)
f ( x)  x 2 e  x ; n=4
e) f ( x) 
1
x 1
2
e x  e x
; n=10
2
; n=4
c) f ( x)  sen x ; n=3
2.
Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de x0
a)
1
f ( x)  ; n=4; x0  1
x
b)
f ( x)  x ; n=4; x0  4
.
c) f ( x)  ln x ; n=4; x0  1
Misceláneos
1. Se tiene un tanque esférico de radio igual a 10m. En el tanque ingresa agua a razón de 2 m
3
¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5m.

2
NOTA: Volumen del casquete esférico V  h  R 

h
.
h
 Observar la figura.
3
2. En la ribera de un río de 0. 9 Km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera a 3 Km.
Corriente arriba, hay una fábrica y la fábrica necesita energía eléctrica por lo que se debe tender
cables entre la planta eléctrica y la fábrica. Tender los cables por tierra cuesta $3 por metro y
hacerlo por el agua cuesta $5 por metro. ¿Cuál es la forma más económica de tender los cables
entre la fábrica y la planta eléctrica?. RESP. 1125 m. por agua y 2325 por tierra
3. En un recipiente cónico de 10m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de
5m
3
min
. Con que rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando
éste tiene de 3m.
4. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de
radio 4 cm.
5. Dos puntos A y B parten del origen de coordenadas. El punto A se mueve sobre la dirección
positiva del eje x con la ley del movimiento x  x(t )  2t , en donde x se da en centímetros y t
2
en minutos. El punto B se mueve sobre la recta y  x a una rapidez constante de 2 cm
min
.
Determine la rapidez a la que estos dos puntos se están alejando uno del otro después de 2 min.
De haberse comenzado a mover.
6. Tres puntos A, B y C se encuentran de tal manera que el ángulo ABC es de 60° y la distancia entre
A y B es de 3Km. Del punto A sale, dirigiéndose hacia B, un corredor a una velocidad de 18 Km/h.
En el mismo instante sale B, dirigiéndose hacia C, un ciclista a una velocidad de 27 Km/h.
Encuentre el momento en que el corredor se encuentra más próximo del ciclista.
3
7. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 0.2 m por minuto. El cono
tiene 8 metros de profundidad y 4 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua
sube a razón de 2 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 5 metros de profundidad, ¿con qué
rapidez escapa agua del depósito?
8. Una pequeña isla está a 2 millas en línea recta del punto más cercano P de la ribera de un gran
lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20 millas por hora, y caminar
a 4 millas por hora, ¿en qué lugar desembarcar para llegar en el tiempo más corto a un pueblo que
dista 10 millas al sur del punto P?
162
Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
9. Del filtro cónico de una cafetera cae café a razón de 10 pul 3 min . (Ver figura).
a) ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del café en la jarra, cuando el café tiene 5 pulgadas de
profundidad en el cono?.
b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de café del cono en ese instante?
10. En un triángulo rectángulo isósceles se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados
reposa sobre la hipotenusa. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se
puede inscribir de esa manera, considerando que los catetos del triángulo miden 2 m.
11. Dos barcos navegan a partir de un mismo puerto isleño, uno hacia el norte a 24 millas por hora y el
otro hacia el este a 30 millas por hora. El barco de la ruta NORTE partió a las 9: 00 A.M., y el de la
ruta ESTE a las 11:00 A.M.. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia entre ellos a las 2:00 P.M.?
12. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo
de radio R.?
13. Se tiene un tanque esférico de radio 15 pies. En el tanque sube el nivel del agua a razón de 2 pies
por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua
es de 5 pies? Observe la figura
14. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados se encuentra en el primer cuadrante de
modo que sus vértices están sobre el origen, el eje X positivo, el eje Y positivo y sobre la recta
2 x  y  100 . Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que se encuentra
localizado de la manera señalada.
15. En una página de un libro debe haber 150 cm2 de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser
de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que
se gaste la menor cantidad de papel posible.
16. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 18 cm., se inscribe un
rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Calcular las dimensiones
del rectángulo de mayor área que puede inscribirse de esa manera.
17. En un recipiente cónico de 10 m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de
5 m3 min . ¿Con qué rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando
éste tiene un nivel de 3m. ?.
18. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de
radio 4 cm., donde uno de los lados es el diámetro del semicírculo.
19. El tumor del cuerpo de una persona es de forma esférica y su radio aumenta a razón de 0,001 cm
por día. Determine con qué rapidez aumenta el área superficial del tumor cuando su diámetro es de
1cm.
20. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ubicarse en el primer
cuadrante, donde dos de sus vértices pertenecen al eje X, y los otros dos vértices pertenecen
respectivamente a las rectas y  2 x y 3x  y  30 .
21. Las rectas L1 : y  x  2 y L2 : y  2 x  10 forman un triángulo con el eje x . Encuentre las
dimensiones del rectángulo de may or área, con un lado contenido en el eje x , que puede inscribirse en el
triángulo dado.
22. La diagonal de un cubo está aumentando a razón de 4 pulgadas/min. Calc ule la razón con la que varía el área
total del cubo en el instante que la diagonal mide 5 pulgadas.
23. Dos buses parten de una mis ma estación a las 09h00. Las carreteras por las que viajan forman un ángulo recto
entre sí. Determine la rapidez con la que varía la dis tancia que los separa al cabo de media hora de viaje, si la
velocidad de los buses es de 90 Km/h y 110 Km/h respectiv amente.
24. Un escenario circular con radio de 3 metros de longitud, da una vuelta cada dos min utos, tal como se muestra
en la figura. Una cámara fija en el punto P, está a 3 2 m. del centro O del escenario, y enfoca a una persona
que se encuentra en el punto M. Determine a qué v elocidad v aría la distancia entre la cámara y la persona, en el
m

instante que los segmentos OM y OP forman un ángulo de 45 . Resp. 3
min
P
O

M
163
Respuestas
Moisés Villena Muñoz
CAPITULO 1: Límites
Ejercicios Propuestos 1.1
1. a) ∂ =∈
f)
b) ∂ =
∈
2
∂ =∈
c) ∂ =∈
[
g) ∂ =∈ 7
2
3
d) ∂ =
( ) + 4]
+27
1
∈
2
e) ∂ =
∈
2
( 2 + 2)
3
h) ∂ =∈ 3 (a − 1)2 + 3 a (a − 1) + a 2
3
2. a) ∂ = 0.003
(
b)
∂=
)
1
10 2a + 1
c) ∂ = 0.08
8
3. ∂ = 0.01 8 + 3 = 0.05
4. 0.9 < x < 1.1
Ejercicios Propuestos 1.2
3. a) lím f ( x) = no existe
b)
x →1
c) lím f (x ) = −3
lím f (x ) = no existe
x → −2
lím f ( x ) = 1
x →2
d) lím f (x ) = no existe
x→2
x →0
lím f ( x) = −
e) lím f ( x) = no existe
x → −1
x→− 5
2
11
2
Ejercicios Propuestos 1.3
3. a) V
b) F
c) V
d) F
e) F
f) F
g) F
Ejercicios Propuestos 1.4
1) 2
6) 0
2) 1
7) 1
3) -2
8)0
4) 0
9) -1
3) 12
4)
8)
9)
5) -1
10) 1
Ejercicios Propuestos 1.5
1) 6
2)
− 14
6)
4
5
7)
15
2
11)
1
9
12) 1 − a
16)
1
1
4
13)
1
9
− 15
1
2
14)
11
9
5)
1
2
10)
1
12
15)
1
72
Ejercicios Propuestos 1.6
1) 5
2) 1
6) π
7)
3) 9
3
3
4) 2
2
8) 1
2
5) π
π
9) 1
10) 2
4) 1
5)
3
Ejercicios Propuestos 1.7
1)
e
2)
6)
e −2
7) e
3) e
1
6
π
8)
3
−1
2
9)
(a − b )
3
e
−
7
8
10) −1
1
Respuestas
Moisés Villena Muñoz
11) (a − b ) ln 2
12) 0
( b)
2
13) e 2
14) a
3) 112
4) − 1
3) 72
4) 2
5) 1
Ejercicios Propuestos 1.8
2) 1
1) −1
6
27
8
Ejercicios Propuestos 1.9
1) 5
2) 0
6) 0
7) 8
8) 0
3
12) −1
13) −
16) −5
17) 1 2
18) − 1 2
21) 1 2
−2
11)
22) e
23) e
3
2
−4
9) 3
10)
14) −1
15) −3
19) 1
20) 1 2
24)
5
7
Ejercicios Propuestos 1.10
3.
1) +∞
6) −∞
2) −∞
7) +∞
3) −∞
8) +∞
4) +∞
9) +∞
5) −∞
10) +∞
Misceláneos de límites
1. 1) F
10) V
19) F
2. 1) δ =
3) V
12) F
ε +2
2) δ = ε
2
4) F
13) F
( 3 + 2)
5) V
14) V
6) V
15) F
3) δ = ε
7) F
16) V
8) F
17) V
9) F
18) F
4) δ = 2ε
5) δ = ε
6
− 12
2) 3 4
3) 4
4) e
5) 3e
6) −1
7) e π
8) 2 3
10) 2 5
11) ln 2
12) π 4
13) 1
14) 1 2
15) e
16) 9 2
17) − 511 18) 0
19) 3 2
20) 0
21) 1 2
22) ∞
23)
24) 1
25) 1
26) 1
28) 2
29) e
30) 1
31) 2
32) 1 2
33) 1
34) 3
35) e
40) 0
2a
3. 1) 15
37) −3
2
2) F
11) V
−13
38) 3 4
9
39) −1
12
2 3
3
41) e
9) e
27) 0
4
36) 0
CAPITULO 2: Continuidad
Ejercicios Propuestos 2.1
1.
1) x = 4
2) x = −2
3) x = 1
5) x = 3
6) no hay
7) x = −1 , x = 0 , x = 1
8) x = −2 , x = 2
9) x / x = k + 1
11) x =
− 3π
2,
{
2
x = −π , x = 0 , x
=π
; k∈Z
2 ,
}
4) x = −1
10) x ∈ Z
x =π
2.
1) A = − 16
2) A =
3) A = 18
1
4
4) A = 121
5) A no existe
Ejercicios Propuestos 2.2
1.
1) a =
1
3
, b=
2) a = −3 , b = 4
2
3
4) a = −4 , b = −3
3) a = 4 , b = −2
5) No existe valor de a y b
2.
1) x = 1
5) x = k π
2) x = − 32
2
3) x = −4 , x = −3 , x = 1
; k∈Z
3.
4) x = 2
6) x = −1 y x = 1
b. x ∈ R − {0}
a. x ∈ R
4. k = 10 − 3
Ejercicios Propuestos 2.3
3) a. V
b.V
c. F
d. F
e. F
f. F
g. V
Misceláneos
1. a) F
i) F
b) V
j) F
2. a = 0
3. A = 1 4
y B = 14
c) F
d) F
e) V
f) F
g) F
h) F
CAPITULO 3: La Derivada
Ejercicios Propuestos 3.1
1) a) 2.5
b) 2.3
1
2
3) a) f ´( x ) = 3
c) 2.1
d) f ´( 2 ) = 2
2) f ´( 3 ) =
e) f ´( x ) = 6 x
b) f ´( x ) = −2
2
− 32
f) f ´(x) =
c) f ´( x ) = 2 x + 2
d) f ´( x ) = −4 x + 1
(3x + 2)
− 32
Ejercicios Propuestos 3.2
1)
f ´(1) = 2
2) No existe
4) a = 6 , b = −4
3) No existe
6) a = c − 2 ∧ b = 3 − 2c
5) a = 3 , b = −1
∧
c∈R
Ejercicios Propuestos 3.3
2
− 3e x
x
4
2
b) f ´( x ) = 5 x + 3 x + 4 x
a) f ´( x ) = 43 x
1)
− 23
+
c) f ´( x ) = 2 x + cos x (1 − x − cos x ) − senx (1 + x − senx )
d) f ´( x ) =
e) f ´( x ) =
f) f ´( x ) =
2
x 2 − 1 cos x ( x + 1)
−
2
x senx
xsen 2 x
e x ⎡⎣(1 + x )( senx + 1) − x cos x ⎤⎦
( senx + 1)
2
xe x
⎡( x + 2 ) ln x + 1⎤⎦
2 ⎣
2) y = 4 x + 1
13
4
4) y = 2 x + 1 ; y = −2 x + 9
5) y = 12 x + 81 ; y = 12 x − 44
6) P (3,9)
3) y = −3 x +
7) 3 5
8) 50!
9)
10
49
Ejercicios Propuestos 3.4
1.
a) f ´( x ) =
c) f ´( x ) =
x −1
x2 − 2x + 2
(e
4e 2 x
2x
+ 1)
b) f ´( x ) =
d) f ´( x ) =
2
−x
( 2 x − 3)
3
2
2x
(x
2
− 1)
1
2
(x
⎛ senx ⎞ ⎛ cos x cos 2 x + 2 senxsen 2 x ⎞
⎟ ⎜
⎟
cos 2 2 x
⎝ cos 2 x ⎠ ⎝
⎠
2x
8
f) f ´( x ) =
g) f ´( x ) =
2
2
( x + 1) ln ( x + 1)
x ( x − 4)
e) f ´( x ) = 3 ⎜
2
2
+ 1)
3
2
3. ( f D g )´(x) =
4.
a) 4
5.
16
− (sin 4 x ) e
1+ cos 2 2 x
1 + cos 2 2 x
b) −8
c) 2
e) −6
d) -10
Ejercicios Propuestos 3.5
d4
1. a)
dx
b)
4
[cos(x )] = 48x sin (x )+ (16x
2
2
2
4
) ( )
− 12 cos x 2
d 2 ⎡ xsen2 (πx ) ⎤ 2π (sin 2πx + πx cos 2πx )
⎢
⎥=
dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦
(1 + x )3
dn
[ ]
xe x = ne x + xe x
dx n
5 (n!)
n⎛ 5 ⎞
d) Dx ⎜
⎟=
4
x
−
⎠ (4 − x )n +1
⎝
c)
n ⎡1 +
2(n!)
x⎤
entonces Dx
e) Dx ⎢
⎥=
⎣ 1 − x ⎦ (1 − x )n +1
f)
x⎤
2(30!)
⎢1 − x ⎥ =
⎣
⎦ (1 − x )31
30 ⎡ 1 +
⎧(− 1) +1 (n sin x + x cos x ) ;
⎪
[
]
=
x
sin
x
⎨
n
dx
⎪⎩(− 1) +1 (n cos x − x sin x ) ;
n +1
2
dn
n
2
d 35
dx35
si n es impar
entonces
si n es par
[x sin nx] = −35 sin x − x cos x
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ 2(1 − 2 x )
⎜
⎟⎥ =
⎢x
dx ⎣⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎦⎥ (1 + x )4
2.
3. an (n!)
4. p( x ) = 2 x − 3 x + 3 x − 1
3
2
Ejercicios Propuestos 3.6
1. a) y´= − 3
c) y´= −
e) y´= −
3. y =
b) y´= −
y 2e xy
xye xy + 1
(
2y
x 2+ y
x+
d) y´=
y
x ( y + 1)
y
sec y tan y + sec2 y − x
)
4. y = x − 2
5. y = − x + 2
6. y = − x + 2
7. x = 0
8. y = 32 x
9. (1,1)
10. y´´=
12.
− 53
y
x
y´´= −3
8
5
48 xy 2 − 9 x 4
64 y
3
11. y´´=
1
4
3x 3 y
1
3
Ejercicios Propuestos 3.7
t +1
(
1. a) y´= tan(t )
b) y´=
2. y = x + 4 −π a
3. y = 3x − 1
2
5. y = 5 x
)
t t2 +1
4. y = 3 x + 41
8
6. a) y´´= cos t ,
8
b) y´´´= cos t
Ejercicios Propuestos 3.8
y = 2x − 2
1.
(
12 3 + 3
4. y − 3 3 =
x− 3
12 − 3 3
2
2
)
y = − 3x + 8
2.
3. y = − 3 x + 2 2
Ejercicios Propuestos 3.9
1
1
16
5. x − 5 y + 5 = 0
2.
6. x − 11 y − 9 = 0
7. 2ax + y − 2a (a + 1) = 0
9. a) y´= arcsin x +
x
b) y´= arctg x
1.
c) y´=
3. 2
5
−
1 − x2
3
4. 3
8. 3
(2 )
1
x2 + 1
4
3 cos x + 5
d) y´= e
(
arctg x 3 + senx
3x 2 + cos x ⎤⎥
⎢1 + x3 + senx 2 ⎥
⎦
⎣
)⎡⎢
(
)
Ejercicios Propuestos 3.10
sec5 x 3 tgx + 1 ⎡
1
sec x
3 x 2 csc x3ctgx3 ⎤
+
⎢5tgx +
⎥
3 senx + cos x 2 csc x3 − 4 ⎦⎥
csc x3 − 4 ⎣⎢
1. a) y´=
4
b) y´=
c)
1 − x2 ⎡ 3
2 x
20 + 15 x3 ⎤
−
⎥
⎢ − tg 4 x −
5
2
3 1− x
4 x + x3 ⎦⎥
4 x − x3 ⎣⎢ 4 x
3
x3 cos 4 x
(
)
⎤
⎡
⎥⎡
⎢
2
⎢ 1
x
⎛ 2
2 xe
2
3 ⎥⎥ ⎢
x −1
⎢
y´=
arcsen⎜ e x
−
−
+
⎢
⎜
⎢ 2(x − 1)
3(x + 2) 2(x + 3) ⎥ ⎢ 3
2⎞
2
⎛
⎝
2
3
(x + 3)
⎥ ⎢⎣ (x + 2)
⎢
arcsen⎜ e x ⎟ 1 − e 2 x
⎟
⎜
⎥
⎢
⎠
⎝
⎦
⎣
⎤
⎞⎥
⎟⎥
⎟⎥
⎠
⎥⎦
x
1⎤
⎡
d) y´= x 3 3 x ⎢ln 3 ln x + ⎥
x⎦
⎣
⎡n
⎤
e) y´= x n n x ⎢ + ln n ⎥
⎣x
⎦
f)
⎧
⎡
⎪
⎢
⎡
2 ⎤
1
1
⎢
⎪⎪ 2 arctan x ⎢ arcsin(sin x) ⎥
ln
−
y´= y ⎨
+ 2 arctan 2 x sin x cos x ⎢
⎢
⎥
arccos
⎪ 1 + x2 ⎢
⎛
⎞
⎛
⎞
⎢
2
4
2
⎥
⎣
⎦
arccos⎜ cos x ⎟ 1 − cos 4 x
⎪
⎢ arcsin⎜ sin x ⎟ 1 − sin x
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪⎩
⎣
(
(
g) y´= arcsin 1 + e 2 x
⎡
2 sec xe x
sec x tan x ln arcsin 1 + e 2 x +
⎢
arcsin 1 + e 2 x − 2 + e 2 x
⎣⎢
)
(
sec x ⎢
(
)
(
) (
⎡ 3 cos 3 x arctan(cos 3 x ) 3 sin 3 x ln(ln(sin 3 x )) ⎤
h) y´= [ln(sin 3 x )]arctan(cos 3 x ) ⎢
−
⎥
1 + cos 2 3 x
⎦
⎣ ln(sin 3 x ) sin 3 x
i) y´=
(x + y )(x
(
(
2 x (x + y ) − y x 2 + y 2
2
)
(
)
)
+ y 2 ln (x + y ) + y x 2 + y 2 − 2 y (x + y )
) (
)
x⎡
2x2 ⎤
⎥
j) y´= 1 + x 2 ⎢ln 1 + x 2 +
1 + x 2 ⎦⎥
⎣⎢
)
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
⎤⎫
⎥⎪
⎥ ⎪⎪
⎥⎬
⎥⎪
⎥⎪
⎦ ⎪⎭
2.
(ln 2)x − y + 1 = 0
3.
x+ y−2 = 0
4. 14
Misceláneos
1. a) V
f) V
k) F
p) F
u) V
b) V
g) V
l) F
q) F
v) F
c) F
h) V
m) V
r) F
w) F
d) V
i) F
n) F
s) F
e) V
j) F
o) V
t) V
)
(
)
2. a) y´=
) + x sin y
2 x y − 2 y sin (x + y )e (
⎡ ln (x + 1) 2 x ln x ⎤
+
b) y´= (x + 1) ⎢
x
(x + 1)⎥⎥⎦
⎢⎣
cos(ln (cos x + e ))ln (cos x + e )(3e − sin x )
c) y´=
sin (ln (cos x + e ))(cos x + e )
cos y − 2 xy 2 + 2 x sin x 2 + y 2 ecos (x
2
2
+ y2
cos x 2 + y 2
2
ln x
2
2
2
2
2
3x
2
d)
3x
3x
3x
3x
1
y´=
3
2
x
y
1
+
− y 2 arctan
y y2 + 1
y
⎛ x
e ⎞⎟ x x x
ex
e) y´= x ⎜ e ln x +
+ e x (ln x + 1)
x
⎜
⎝
f) y´=
x ⎟⎠
cos x + x
−
(2
4 x+ x
2 x
6
g) y´=
4 − 9 x2
1 + arctan x ⎡ x
1⎛
1
1 ⎛ ex
⎞ 1
⎢
+ ⎜
− ⎜
⎟
2
2
4
4 ⎜⎝ 1 + e x
⎢⎣ x + 2 3 ⎝ 1 + arctan x ⎠ 1 + x
1 + ex
x2 + 2
h) y´=
i)
y´= ( sin 3 x )
j) y´=
k) y´=
)
x + 1 sin x + x
3
arctan x 2
1
x 1 − ln 2 x
x( y − x )
2 arctan x earctan
tan x
(sec
2
x tan e x + e x sec2 e x
2
y
−
x x+ y
ln (x + y ) +
y
x+ y
3. 2 f ( x) f ´(x )
4. a = 2c ∧ b = 1 ∧ d = c + 1 ∧ c ∈ R
5. y = −2 x + 2 3
[
]
6. Dx (g D f ) (1) =
e
2
7. y = x ∧ y = − x
8. y = −6 x + 5
2
1 + x2
2 x 2 + xy + y 2
l) y´= e
m) y´=
+
⎡ 2x
⎤
2
⎢1 + x 4 ln ( sin 3x ) + 3arctan x cot an3x ⎥
⎣
⎦
)
x
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
9. f es derivable en (−1,0 ) ∪ (0,1) ∪ (1,2 )
10. k = −8 ∨ k = 3
11.
12.
13.
d3 y
= − 1− t2
dx 3
d3y
dx3
=−
t =1
1
8
a = −3 , b = −4 , c = 1
14. y = 2 x − 2
3
3
15. y = 1 x + 3
2
2
16.
d y
dx
2
2
=
2
e (cos t − sin t )3
t
dy
=π2 −2
dx
2
18. f ´(1) =
27
17.
3
⎛ 2⎞
⎟
⎝ 2 ⎠
20. a = c + 1 ∧ b = 1 ∧ c ∈ R
19. y = x − 2a⎜
21 y = x + 1
22. y = 6 x − 6
23. y = − 1 x + 3
2
2
24. y = 3x − 1
25. De F (x ) tenemos F ´(x) = cos x f (cos x ) − sin x f ´(cos x )
2
y como
F ´(− x) = cos(− x ) f (cos(− x )) − sin 2 (− x ) f ´(cos(− x )) = F ( x)
Por tanto F ´(x) es PAR
26. k = −7
d 50 ⎡ 1 − x ⎤
2(50!)
⎢
⎥=
dx50 ⎣1 + x ⎦ (1 + x )51
28. y = − x + 3
27.
29. y = − x − 1
4
1
⎡ d −1 ⎤
f ⎥ (4 ) =
15
⎣ dx
⎦
30. ⎢
CAPITULO 4: Temas adicionales de la Derivada
Ejercicios Propuestos 4.1
1. f crece en ( −1,0 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −∞, −1) ∪ ( 0, 2 )
2. f crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −2,0 ) ∪ ( 0, 2 )
3. f crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −2, 2 )
4. f es creciente ∀x ∈ R
5. f crece en ( −1,0 ) ∪ (1, +∞ ) ; f decrece en ( −∞, −1) ∪ ( 0,1)
6. f crece en (1, +∞ ) ; f decrece en ( −∞,1)
Ejercicios Propuestos 4.2
1. f ( −2 ) = 73 Máximo
; f ( 2 ) = −15 Mínimo
2. f ( 3) = 63
; f ( −3) = − 63
5
22
f
−
2
=
3. ( )
Máximo
3
Máximo
4. f (1) = 7 Máximo
6. f ( 2 ) = 7 Máximo
Mínimo
3
Mínimo
; f ( −1) = −23 Mínimo
5. f ( −2 ) = 81 Máximo
4
5
; f ( −5 ) = − 59
; f (1) = f ( −1) = 0 Mínimo
; f (1) = 0 Mínimo
Ejercicios Propuestos 4.3
1. f ( 0 ) = 17 Máximo Local
2. f ( −2 ) = 64
15
3. f ( −2 ) = 22
3
; f ( 2 ) = −15 Mínimo Local ; f ( −1) = 12 Mínimo Local
Máximo Local ;
Máximo Local ;
4. No hay extremo local
5. f ( 0 ) = 1 Máximo Local ;
f ( 2 ) = − 64
f ( 2 ) = −10
15
3
Mínimo Local
Mínimo Local
f ( −1) = 0 Mínimo Local ; f (1) = 0 Mínimo Local
6. f (1) = 0 Mínimo Local
Ejercicios Propuestos 4.4
1.
2.
3.
( −∞,1 − 7 ) ∪ (1 + 7, +∞ ) ;
f es cóncava hacia abajo en (1 − 7,1 + 7 )
f es cóncava hacia arriba en ( − 2, 0 ) ∪ ( 2, +∞ ) ;
f es cóncava hacia abajo en ( −∞, − 2 ) ∪ ( 0, 2 )
f
es cóncava hacia arriba en
f
es cóncava hacia arriba en;
f
4.
f
( 13 , ∞ ) ;
es cóncava hacia abajo en ( −∞, 13 )
es cóncava hacia arriba en
f
f
5.
( 0, ∞ )
es cóncava hacia abajo en ( −∞, 0 )
es cóncava hacia arriba en
⎛
1 ⎞ ⎛ 1
⎞
, +∞ ⎟ ;
⎜ −∞, −
⎟∪⎜
7⎠ ⎝ 7
⎝
⎠
⎛ 1 1 ⎞
,
⎜−
⎟
7 7⎠
⎝
⎛ 2
⎞
f es cóncava hacia arriba en ( −∞, 0 ) ∪ ⎜⎜ 3 , +∞ ⎟⎟ ;
⎝ 11
⎠
⎛
⎞
2
f es cóncava hacia abajo en ⎜⎜ 0, 3 ⎟⎟
11 ⎠
⎝
f
6.
es cóncava hacia abajo en
Ejercicios Propuestos 4.5
1)
P.I.
•
(−1, 12 )
(0,17•)
Máx.
Local
y = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
P.C.E:
•(−0.55, 14.32)
P.C.E:
Mín. Local
(1.21, − 1.35•) P.I.
(2,−• 15)
P.C.E:
Mín.
Absoluto
2)
y = 3 x 5 − 20 x 3
(− 2, 64)
•
(−
•
2 , 39.6
)
•
(
)
•
2 ,−39.6
(− 2•, − 64)
3)
y = 13 x 3 − 9 x + 2
(− 3,20)
•
(0,2)
•
(3•,−16)
4)
y
6
y = 3 x − 3 x + 12 x − 5
3
2
4
2
x
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
(
P.I.
1
3
-2
1
− 11
9
1.5
)
-4
5)
y = ( x 2 − 1) 4
(−
•
1
7
, 0.54
•
)
•
(
•
1
7
, 0.54
•
)
2
2.5
6)
(
)
f ( x) = x 3 − 1
•
(3
)
2
11
, 0.45
Ejercicios Propuestos 4.6
1
1)
f ( x) = x 2 4 − x
(165 , 9.16)
•
•(1.9;5.2)
•
4
2)
(
f ( x) = 3 2 5 3 x 2 − 3 x 5
(− 1, 6 2 ) •
3
(2,•6)
3)
f ( x) = e − x
(−
1
2
,
1
e
)•
•( 12 ,
1
e
2
)
4)
f ( x) =
( x − 2 )2
x2
1
P.I. (3, 4 )
•
P.C.E.
)
5)
f ( x) =
3x − 5
x−2
6)
f ( x) =
2x 2
9 − x2
P.C.E
Mín. Local
7)
f ( x) = e
(−
1
2
; e −2
•
)
1
x
8)
(2, 4 )
3
f ( x) = ( x + 2) − ( x − 2)
2
3
2
3
(− 2, − 4 )
3
9)
f ( x) =
2 + x − x2
(x − 1)2
•
•
(5;−1.125) (7; − 1.11)
10)
y = −x
f ( x) =
2 + x − x2
x −1
11)
f ( x) =
(x + 2)2
x
y = x+4
(2•,8)
•
12)
f ( x) =
x3 − 4
x2
(− 2,−3)
•
y=x
13)
f ( x) =
y=x+3
x2
x −3
(6,12)
3
3
14)
f ( x) = xe
1
x
y = x +1
•
(1, e)
Ejercicios Propuestos 4.7
2. x = 0 , x =
1
2
, x=−
1
2
3. a) f (1) = f (2) = 64
4. x 0 =
.
b) f ´(x 0 ) = 0 para algún x 0 ∈ [1,2]
a+b
2
Ejercicios Propuestos 4.8
1) +∞ ,
2) −1 ,
3) 1
4) 0
5) 0
6) −1
11) e
7) 1
12) e 3
8) 1
13) − 94
9) 1
14) 1
10) e −6
15) 1
Misceláneos
1)
a)
f ( x) =
x−2
x −1
b)
f ( x) =
x−2
x2 − 1
•
(0.23;1.87 )
•
c)
f ( x) =
x
x −1
2
d)
f ( x) =
2
x2 − 1
e)
f ( x) = 3 x (8 − x )
f)
2
x
f ( x) = xe 3 + 1
(− 1•.5;0.45)
g)
y=x
x2 − 1
x
f ( x) =
h)
9
y
8
7
f ( x) = x + x − 5 x − 5
3
2
6
5
4
3
2
1
x
0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
i)
f ( x) = x 5 − x3
j)
f ( x) = x
2
3
(x
2
− 8)
k)
f ( x) =
6) a) 1
b)
1
4
c) 0
x2 − 4x
x − 4x + 3
2
d) 32
e) −2
CAPITULO 5: Aplicaciones de la Derivada
Ejercicios Propuestos 5.1
1 pie
4π seg
1.
4. a)
3
8 m
π min
b)
π(19)
2
12.5 m
π min
3 pie
6. disminuye a razón de
8.
3
2.
m
h
5. a)
3. 0.22 m
5 pie
156 min
b)
3
min
1 pie
36 min
⎞
⎛ dr
= − 3 pie
seg ⎜⎝ dt
seg ⎟⎠
1650 km
31 h
9.
3300 km
29 h
7.
10.
10 35π
1 pie
25 min
pie
min
Ejercicios Propuestos 5.2
h=8
b=4
1.
x=6
4.
θ = 67.970 ; se ahorra 42min 36 seg
,
2.
(L + W )2
6.
2
h=
8.
11.
40
3
b = 40
,
r = 20
y
h = 20
2
3
2
3
h=
16
3
5.
7.
H
=3
h
9.
h=
12. a)
,
R, r =
2
3
t = 63 seg
3.
5 5 p
3 3 2
u
4
2
R
3
10.
b=2 ,h=
b)
13.
H =
4 Km
2
R
3
Ejercicios Propuestos 5.3
1. a) 20.05
2. 244.8π pie
b) 2.99
c) 5.99
c) 2.00026
3. (108 ± 0.18)π pu lg .
3
4. ± 45π cm
3
3
Ejercicios Propuestos 5.4
1. a) e
3x
≈ 1 + 3x + 92 x 2 + 92 x3 +
c) sin πx ≈ πx −
e)
2.
2 −x
27 x 4
8
b) x e
π 3 x3
d) cosh x ≈ 1 +
6
1
≈ x 2 − x3 + 12 x 4
x 2 x 4 x 6 x8 x10
+
+
+
+
2
4! 6! 8! 10!
≈ 1 − x + x 4 − x 6 + x8
x2 + 1
1
a)
≈ 1 − (x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 + (x − 1)4
x
b)
2
x ≈ 2+
c) ln x ≈ (x − 1) −
1
4
3 (x − 4 )3 + 15 ( x − 4 )4
(x − 4) − 641 (x − 4)2 + 256
2048
(x − 1)2 + (x − 1)3 − (x − 1)4
2
3
4
1
8