2º Trimestre - Colegio La Magdalena

Colegio La Magdalena
APUNTES DE
MATEMÁTICAS
4º ESO
2º Trimestre
Autor: Vicente Adsuara Ucedo
INDICE
Tema 9: Trigonometría y Geometría…………………………………1
Ejercicios Tema 9……………………………………………………..18
Tema 10: Ampliación de Trigonometría…………………………….22
Ejercicios Tema 10……………………………………………………34
Tema 11: Resolución de Triángulos………………………………...37
Ejercicios Tema 11…………………………………………………….45
Tema 12: Ecuaciones trigonométricas………………………………49
Tema 13: Los Números. Potencias y Radicales……………………54
Tema 14: Los Números Complejos………………………………….57
Tema 15: Ampliación de Números Complejos……………………..66
Tema 16: Polinomios…………………………………………………..69
PROBLEMAS DE INGENIO…………………………………………..79
SUDOKUS……………………………………………………………....84
Apuntes de matemáticas 4º ESO
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
TEMA 9: TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA
9.1 Introducción
Según sabemos, el triángulo es el polígono más sencillo y en el intervienen tres
lados y tres ángulos. Sabemos también que la geometría estudia las diversas
relaciones existentes entre los lados de un triángulo y también las existentes
entre los ángulos del mismo.
Así por ejemplo, la propiedad: En todo triángulo, un lado es menor que la suma
de los otros dos, es una relación en la que intervienen exclusivamente los lados
del mismo.
Por otra parte, la propiedad: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a
180º, es una relación en la que intervienen exclusivamente los ángulos.
Ahora bien, cuando se quiere relacionar los lados de un triángulo con los
ángulos del mismo, es preciso recurrir a otra rama de las matemáticas que
recibe el nombre de: TRIGONOMETRIA.
La palabra trigonometría proviene del griego “ trigonos “ que significa triángulo
y de “ metros “ que significa medida.
Los egipcios utilizaron ya la trigonometría para resolver entre otros los
problemas derivados de la construcción de pirámides.
Con objeto de estructurar el estudio de la trigonometría es conveniente
considerar primeramente las relaciones entre los lados y los ángulos de un
triángulo rectángulo , para pasar después al estudio de las relaciones en un
triángulo cualquiera.
9.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Consideremos un triángulo rectángulo y en él uno cualquiera de sus ángulos
agudos, por ejemplo el B. A partir de este ángulo se pueden definir seis
números, obtenidos dividiendo las longitudes de dos lados del triángulo,
números a los que llamaremos “razones trigonométricas “ del ángulo.
1
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
Seno: Es el cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa. Se representa por
sen o sin.
sen B =
Cateto opuesto
Hipotenusa
b
a
=
Coseno: Es el cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa. Se representa
por cos.
cos B =
Cateto contiguo
Hipotenusa
c
a
=
Tangente: Es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. Se
representa por tag o tg.
tag B =
Cateto opuesto
Cateto contiguo
=
b
c
Cotangente: Es el cociente entre el cateto contiguo y el cateto opuesto. Se
representa por ctg.
ctg B =
Cateto contiguo
Cateto opuesto
=
c
b
Secante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto contiguo. Se representa
por sec.
sec B =
Hipotenusa
=
Cateto contiguo
a
c
Cosecante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Se
representa por cosec.
2
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cosec B =
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
Hipotenusa
=
Cateto opuesto
a
b
Ejemplo: Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm. y 5 cm.
Calcular las seis razones trigonométricas del más pequeño de los ángulos
agudos.
Por Pitágoras calculemos la hipotenusa:
a 2 = b 2 + c 2 = 12 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169 ⇒ a = 13 cm.
El ángulo agudo más pequeño tendrá como cateto opuesto el más pequeño:
sen B = 5/13 ;
cos B = 12/13;
tag B = 5/12;
ctg B = 12/5;
sec B = 13/12;
cosec B = 13/5
9.3 Sistema trigonométrico de referencia
Las definiciones de las seis razones trigonométricas, que acabamos de
considerar, únicamente son validas para ángulos agudos, ya que en un
triángulo rectángulo no existen ángulos obtusos.
Pues bien, vamos a definir, para un ángulo cualquiera, unas características del
mismo llamadas “ líneas trigonométricas “, que reciben los mismos nombres
que las razones trigonométricas debido a que cuando se trata de ángulos
agudos, sus valores coinciden.
Para ello vamos a establecer un sistema trigonométrico de referencia que
consta de los elementos que vamos a relacionar:
3
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
-
Circunferencia trigonométrica: Es una circunferencia cuyo radio se
toma como unidad
-
Ejes de coordenadas: Son dos rectas, una horizontal y otra vertical
que se cortan en el centro de la circunferencia, constituyendo un
sistema de coordenadas cartesianas.
-
Origen de ángulos: Es el semieje horizontal positivo. Todos los
ángulos se miden a partir de esta semirecta. Los ángulos tomados en
sentido directo o antihorario se consideran positivos y los contrarios,
negativos.
-
Cuadrantes: El primer cuadrante esta formado por todos los ángulos
comprendidos entre 0º y 90º.
-
El segundo cuadrante está formado por los ángulos entre 90º y
180º
-
El tercer cuadrante está formado por los ángulos entre 180º y
270º.
-
El cuarto cuadrante está formado por los ángulos entre 270º y
360º.
9.4 Líneas trigonométricas de un ángulo cualquiera
Una vez establecido el sistema trigonométrico de referencia, vamos a utilizarlo
para definir las líneas trigonométricas de un ángulo α, que en principio
supondremos que esta en el primer cuadrante.
sen α =
Cateto opuesto
Hipotenusa
=
AB
OB
=
AB
1
= AB
cos α =
Cateto contiguo
Hipotenusa
=
OA
OB
=
OA
1
= OA
4
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
tg α =
Cateto opuesto
Cateto contiguo
=
sec α =
Hipotenusa
Cateto contiguo
=
AB
OA
OB
OA
=
CD
OC
=
OD
OC
=
=
CD
1
OD
1
= CD
= OD
Consideremos ahora el triángulo: OEF en el que el ángulo OFE también mide α
y en el que se cumplirá:
ctg α =
cosec α =
Cateto contiguo
Cateto opuesto
=
EF
OE
Hipotenusa
=
Cateto opuesto
=
OF
OE
=
EF
1
= EF
OF
1
= OF
De este modo las seis líneas trigonométricas han quedado definidas como
longitudes de seis segmentos determinados por la semirecta OF que delimita el
ángulo.
Según que esta semirecta se encuentre en cada cuadrante, las líneas
trigonométricas tienen diferentes representaciones.
9.5 Relaciones fundamentales
Las líneas trigonométricas de un ángulo no son seis valores independientes
entre sí, sino que entre ellas existen ciertas relaciones, de las cuales, las más
importantes reciben el nombre de: “ relaciones fundamentales”.
Vamos a enunciarlas y a demostrarlas:
A) La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo
ángulo es igual a la unidad.
Demostración: Según el dibujo anterior, por el teorema de Pitágoras:
5
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AB 2 + OA 2 = OB 2
sen α = AB
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, y teniendo en cuenta que:
cos α = OA
OB = 1
sen 2α + cos 2 α = 1
B) La tangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir
el seno entre el coseno del mismo ángulo.
Demostración:
Cateto opuesto
Cateto contiguo
tg α =
tgα =
AB
OA
=
sen α
cos α
=
sen α
cos α
C) La cotangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de
dividir el coseno entre el seno del mismo ángulo.
Demostración:
ctg α =
Cateto contiguo
Cateto opuesto
ctgα =
=
OA
AB
=
cos α
sen α
cos α
sen α
D) La cotangente de un ángulo es la inversa de la tangente del mismo.
ctg α =
cos α
sen α
=
1
sen α
cos α
=
1
tg α
6
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E) La secante de un ángulo es la inversa del coseno del mismo.
sec α =
1
cos α
F) La cosecante de un ángulo es la inversa del seno del mismo.
cos ecα =
1
sen α
9.6 Signos de las líneas trigonométricas
De los seis segmentos que representan a las líneas trigonométricas, el seno y
la tangente son verticales por lo que su signo será positivo si se encuentran por
encima del eje horizontal y negativo si se encuentran por debajo.
El coseno y la cotangente son segmentos horizontales, por lo que su signo será
positivo si se encuentra a la derecha del eje vertical y negativo si se encuentra
a la izquierda.
En cuanto a la secante, su signo coincide siempre con el del coseno, ya que
ambas líneas trigonométricas son inversas. Por la misma razón el signo de la
cosecante coincide siempre con el del seno.
PRIMER
SEGUNDO
TERCER
CUARTO
CUADRANTE CUADRANTE CUADRANTE CUADRANTE
Seno y
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
Cosecante
Coseno y
Secante
Tangente y
Cotangente
7
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
9.7 Calculo de una línea en función de las demás
Las seis líneas trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí de tal
modo que, si se conoce una de ellas, es posible determinar cualquiera de las
otras cinco, siempre que se sepa en que cuadrante se encuentra el ángulo, con
objeto de poder determinar el signo de la correspondiente línea.
a) Calculo del coseno y de la tangente en función del seno
A través de la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen 2 α + cos 2 α = 1
conoceremos el coseno y una vez conozcamos seno y coseno sabremos la
tangente.
b) Calculo del seno y de la tangente en función del coseno
Procederemos del mismo modo que en apartado anterior.
c) Calculo del seno y el coseno en función de la tangente
A través de la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen 2 α + cos 2 α = 1
Si
dividimos
toda
la
sen 2 α
sen 2 α
+
ecuación
cos 2 α
sen 2 α
por
=
sen
2
α
:
1
sen 2 α
1 + ctg 2α = cos ec 2α
Y si en la ecuación fundamental de la trigonometría, dividimos por cos2 α :
sen 2 α
cos 2 α
+
cos 2 α
cos 2 α
=
1
cos 2 α
1 + tg 2α = sec 2 α
8
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
De manera que conociendo la tangente podemos conocer la secante y a
continuación el coseno, y conociendo la cotangente podemos conocer la
cosecante y a continuación el seno.
9.8 Líneas trigonométricas de ángulos relacionados
Cuando dos ángulos tienen alguna relación entre sí, también sus líneas
trigonométricas están relacionadas, de tal modo que si se conocen las de uno
de ellos es posible calcular las del otro.
a) Ángulos Complementarios
Los triángulos OAB y OCD son iguales ya que tienen los tres ángulos iguales
y la hipotenusa igual, por tanto los otros dos catetos serán también iguales, es
decir:
OA = CD
OC = AB
⇒
⇒
sen ( 90º - α ) = cos α
cos ( 90º - α ) = sen α
Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades resulta la expresión de la
tangente:
tg ( 90º - α ) = ctg α
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Invirtiendo las tres desigualdades obtenidas, resultan las otras tres líneas
trigonométricas.
1
=
sen (90 − α )
1
cos (90 − α )
=
1
tg (90 − α )
1
cos α
1
sen α
1
ctg α
⇒
cosec
⇒
sec ( 90º - α )
⇒
( 90º - α )
= sec α
= cosec α
ctg ( 90º - α ) = tg α
b) Ángulos suplementarios
Los triángulos OAB y OCD son iguales, ya que tienen la hipotenusa igual y
los ángulos también iguales. Igualando los catetos de ambos triángulos
obtenemos las expresiones del seno y del coseno.
CD
=
AB
OC = - OA ⇒
⇒
sen ( 180º - α )
= sen α
cos ( 180º - α ) = - cos α
Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades:
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tag ( 180º - α ) = - tag α
E invirtiendo las tres igualdades obtenidas resultan las otras tres lineas
trigonométricas:
ctag ( 180º - α ) = - ctag α
sec ( 180º - α ) = - sec α
cosec ( 180º - α ) = cosec α
c) Ángulos que se diferencian en 180º:
Los triángulos OAB y OCD son iguales, ya que tienen la hipotenusa igual y
los ángulos agudos también iguales. Igualando los catetos de ambos
triángulos:
CD = - AB ⇒
sen ( 180º + α ) = - sen α
OC = - OA ⇒
cos( 180º + α ) = - cos α
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tag ( 180º + α ) = tag α
Dividiendo:
Invirtiendo:
ctag ( 180º + α ) = ctag α
sec ( 180º + α ) = - sec α
cosec ( 180º + α ) = - cosec α
d) Ángulos opuestos:
Los triángulos OAB y OCD son iguales ya que tienen la hipotenusa igual y
los ángulos agudos también iguales. Igualando los catetos:
CD = - AB
⇒
sen ( - α ) = - sen ( α )
OC = OA
⇒
cos ( - α ) = cos ( α )
Dividiendo:
tag ( - α ) = - tag ( α )
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
Invirtiendo:
ctag ( - α ) = - ctag ( α )
sec ( - α ) = sec ( α )
cosec ( - α ) = - cosec ( α )
9.9 Reducción de un ángulo al primer cuadrante
En la circunferencia trigonométrica no solamente tienen cabida los ángulos
comprendidos entre 0º y 360º , sino que se pueden considerar ángulos
superiores a 360º , así como también valores negativos.
Sin embargo, cuando un ángulo es menor de 0º o mayor de 360º, se puede
reducir al primer giro, lo que supone encontrar un ángulo comprendido entre 0º
y 360º, cuyas líneas trigonométricas coincidan con las del ángulo considerado.
Para reducir un ángulo al primer giro, basta sumarle o restarle el número
exacto de vueltas.
Ejemplo: Reducir al primer giro el ángulo: 978º.
Este ángulo está comprendido entre 720º y 1080º o lo que es lo mismo entre 2
y 3 vueltas.
978º - 720 º = 258º ⇒ α = 258º
Una vez que el ángulo ha sido reducido al primer giro, se hallará en el primero,
segundo, tercero o cuarto cuadrante según que su valor este comprendido
entre 0º y 90º, entre 90º y 180º, entre 180º y 270º o entre 270º y 360º.
Pues bien si el ángulo se halla en el segundo, tercero o cuarto cuadrante,
siempre se puede encontrar un ángulo del primer cuadrante cuyas líneas
trigonométricas coincidan con las del ángulo dado, a excepción de los signos.
Para reducir un ángulo al primer cuadrante se procede de diferente manera
según cual sea el cuadrante en el que inicialmente se encuentra.
-
Si el ángulo se encuentra en 2º cuadrante de halla el suplementario
-
Si el ángulo se encuentra en el 3º cuadrante se le restan 180º
-
Si el ángulo se encuentra en el 4º cuadrante se expresa
primeramente como un ángulo negativo y a continuación se halla el
opuesto.
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Ejemplos:
1.- Reducir al primer cuadrante el ángulo de 113º.
α = 113º - 180º = 67º
2.- Reducir al primer cuadrante el ángulo de 259º
α = 259º - 180º = 79º
9.10
a)
Líneas trigonométricas de algunos ángulos
Líneas trigonométricas del ángulo 0º.-
sen 0º = AB = 0
sen 0º = 0
cos 0º = OA = 1
cos 0º = 1
tg 0º =
sen 0º
cos 0º
=
0
1
= 0 →
tg 0º = 0
ctg 0º = 1 / 0 ⇒ El ángulo de 0º no tiene cotangente, ya que el 0
carece de inverso.
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sec 0º = 1 / cos 0º = 1/1 = 1
sec 0º = 1
cosec 0º = 1 / 0 ⇒ El ángulo de 0º no tiene cosecante.
b)
Líneas trigonométricas del ángulo de 30º.-
OB = BC = OC ⇒ sen 30º = AB =
cos 30º = 1 − sen 2 30º
cos 30º =
3
2
1 − ( 1 / 2 )2
1
2
sen 30º =
= 1−1/ 4
=
3/4
;
cos 30 =
c)
=
CB
1
→
=
2
2
3
2
tag 30 =
3
3
ctg 30 = 3
Líneas trigonométricas del ángulo de 45º
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⇒ sen 45º = cos 45º
AB = OA
sen 2 45º + cos 2 45º = 1 ⇒ 2 sen 2 45º = 1 ⇒ sen 2 45º =
sen 45º =
d)
1
2
⇒
1
sen 45 =
2
2
2
cos 45 =
2
2
tg 45 = 1
Líneas trigonométricas del ángulo de 60º
OA = AC ⇒
cos 60º =
OA
1
=
OC
2
⇒
tg 60º =
e)
=
1
2
sen 60º =
1− (
1
)
2
2
=
3
2
3
Líneas trigonométricas del ángulo de 90º.-
Sen 90º = 1
⇒
cos 90º = 0
⇒ El ángulo de 90º no tiene tangente
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RESUMEN
Seno
Coseno
Tangente Cotang.
0º
0
1
0
30º
1
2
45º
2
2
60º
3
2
90º
1
3
2
2
2
1
2
0
Secante
No existe 1
3
3
3
Cosec.
No existe
2 3
3
2
2
1
2
1
3
No existe 0
3
3
2
2 3
3
No existe 1
La tabla anterior nos permite también determinar las líneas trigonométricas de
los ángulos de 120º , 135º, 150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º
y 360º, ya que cualquiera de estos ángulos, reducido al primer cuadrante,
coincide con alguno de los que figuran en la tabla.
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EJERCICIOS:
1.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Dibújalo y
determina las razones trigonométricas del menor de sus ángulos.
2.- Comprueba que las soluciones del ejercicio anterior verifican todas las
relaciones fundamentales.
3.- Determina las razones trigonométricas del ángulo α
4.- Utilizando papel cuadriculado dibuja un ángulo del primer cuadrante cuya
tangente sea 2.
5.- Determina las otras 5 razones trigonométricas del ángulo del ejercicio
anterior, expresando los resultados con cuatro cifras decimales
6.- Utilizando papel cuadriculado, dibuja un ángulo agudo cuya cotangente sea
5/4.
7.- Utilizando papel milimetrado, dibuja una circunferencia trigonométrica y
toma sobre ella un ángulo agudo cuya tangente mida 1.5. Después, dibuja
cuidadosamente las otras cinco líneas trigonométricas de este ángulo y
expresa con la precisión que puedas, los valores de las mismas.
8.- El coseno de un ángulo situado en el 2º cuadrante es – 0.27. Determina las
otras 5 líneas trigonométricas expresando los resultados con cuatro cifras
decimales.
9.- Demuestra las siguientes igualdades entre expresiones trigonométricas.
a)
( sen α + cos α ) 2 = 1 + 2 sen α cos α
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b)
1 + tag 2 α = sec 2 α
c)
ctg α sen α = cos α
d)
cos 4 α - sen 4 α = 1 – 2 sen 2 α
e)
1 + cosα
sen α
=
sen α
1 − cosα
f)
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
1 + sen α
1 + sen α
=
1 − sen α
cosα
10.- El seno de un ángulo situado en el primer cuadrante es 2/5 . Determina las
otras cinco líneas trigonométricas.
11.- La tangente de un ángulo situado en el tercer cuadrante es 2/3. Determina
el seno, el coseno y la cotangente.
12.- La cotangente de un ángulo situado en el cuarto cuadrante es –4.
Determina las otras cinco líneas trigonométricas expresando los resultados con
tres cifras decimales.
13.- La secante de un ángulo situado en el primer cuadrante es 7/3. Determina
las otras cinco líneas trigonométricas.
14.- La cosecante de un ángulo situado en el primer cuadrante es 9 . Determina
las otras cinco líneas trigonométricas expresando los resultados con dos cifras
decimales.
15.- ¿Cuál es el mínimo valor que puede tener la secante de un ángulo del
primer cuadrante?
16.- ¿Entre que valores puede oscilar el seno de un ángulo?
17.- ¿Cuáles son el mínimo y el máximo valor que puede tener el coseno de un
ángulo?
18.- ¿Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a 0.7?
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19.- ¿Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a la cotangente del
mismo ángulo?
20.- Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a la secante del mismo
ángulo?
21.- Dibuja un ángulo del primer cuadrante cuya tangente sea igual a la
cotangente.
22.- Deduce la relación que existe entre las líneas trigonométricas de dos
ángulos tales que el segundo se obtiene sumando 90º al primero.
23.- Deduce la relación que existe entre las líneas trigonométricas de dos
ángulos tales que el segundo se obtiene restando 180º al primero.
24.- Construye una tabla que exprese las líneas trigonométricas de los ángulos
de 0º , 30º , 45º , 60º , 90º , 120º , 135º , 150º , 180º , 210º , 225º , 240º , 270º ,
300º , 315º y 330º.
25.- Reduce al primer giro y al primer cuadrante el ángulo de 998º.
26.- Completa el cuadro que figura a continuación, expresando las cinco líneas
trigonométricas que faltan , suponiendo que corresponden a ángulos del primer
cuadrante.
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente Secante
Cosecante
1/5
2/7
5
3/4
3
4
27.- Reduce al primer giro y al primer cuadrante el ángulo: 26.791º.
28.- Utilizando regla y compás, construye un ángulo del primer cuadrante cuya
secante sea 3.
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Tema 9: Trigonometría y Geometría
29.- Utilizando un transportador de ángulos, comprueba que el ángulo que has
dibujado en el ejercicio anterior mide aproximadamente 70º.
30.- Utilizando un compás y un transportador de ángulos dibuja un ángulo de
22º sobre una circunferencia trigonométrica de 10 cm. de radio. A continuación
representa las seis líneas trigonométricas de este ángulo.
31.- Utilizando una regla milimétrica, determina con la precisión que puedas,
las seis líneas trigonométricas del ángulo de 22º que has dibujado en el
ejercicio anterior.
32.- Utilizando la calculadora, comprueba los valores obtenidos en el ejercicio
anterior.
33.- Determina por medio de la calculadora, expresando el resultado con cinco
cifras decimales:
a) sen 27º
b) cos 62º
c) tag 59º
d) ctg 35º
e) sec 28º
f) cosec 12º
34.- Determina, por medio de la calculadora, las líneas trigonométricas de los
ángulos que se indican, expresando el resultado con siete cifras decimales.
a) sen 27º 2’ b) cos 62º 3’’ c) tag 59º 2’ 1’’
d) ctg 35º 1º e) sec 28º 12’ 13’’
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Tema 10: Ampliación de Trigonometría
TEMA 10: AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRIA
Uno de los problemas técnicos con el que se tenían que enfrentar los
arquitectos egipcios al construir las pirámides era conseguir que la pendiente
de una cara se mantuviese constante y que esta pendiente fuese la misma
para las cuatro caras.
Para controlar esta magnitud utilizaban una medida que se llamaba el SEGT.
El segt de cada cara de una pirámide era el número de unidades horizontales
que había que avanzar hacia el eje de la pirámide para subir una longitud
vertical. Es lo que hoy llamamos cotangente del ángulo.
Los egipcios utilizaban la mano como unidad de longitud horizontal y el codo
equivalente a siete manos, como unidad de longitud vertical. Por tanto, el segt
era la inclinación correspondiente a un plano en el que para subir un codo era
necesario avanzar una mano.
Cuantos más segts tiene la cara de una pirámide menor es su inclinación. El
segt de la pirámide de Keops, en la que la mitad del lado de la base mide 1540
manos y la altura mide 280 codos, es 5.5, ya que por cada codo de subida es
preciso avanzar 5.5, manos.
10.1
Líneas trigonométricas de una suma de ángulos
Supongamos que conocidas las líneas trigonométricas principales: seno,
coseno y tangente de dos ángulos a y b, queremos determinar las del ángulo
a+b.
Para ello dibujamos los dos ángulos en una circunferencia trigonométrica, pero
colocándolos uno a continuación del otro, con objeto de que el ángulo a + b
este situado a partir del origen de ángulos.
Sí dibujamos el seno y el coseno de a y de b , así como también los del ángulo
suma
a + b , observamos que:
sen a = AB cos a = OA sen b = CD cos b = OC
sen ( a + b ) = ED
cos ( a + b ) = OE
Además los ángulos EDˆ C y AOˆ B son iguales ya que sus lados son
respectivamente perpendiculares , por lo tanto la medida del ángulo EDˆ C es:
a
22
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Tema 10: Ampliación de Trigonometría
Por otra parte a partir del punto C trazamos los segmentos CF y CG. De este
modo quedan definidos una serie de triángulos que nos van a servir para
relacionar las líneas trigonométricas de los tres ángulos que intervienen en el
proceso
Seno de una suma de ángulos: El seno del ángulo suma a + b es el
segmento ED que, tal como se observa en la figura, puede descomponerse en
dos sumandos, los cuales, según veremos, se expresan en función de las
líneas trigonométricas de a y b.
sen ( a + b ) = ED = EG + GD = FC + GD
Sí en el triángulo OFC consideramos el seno del ángulo agudo a, tenemos:
sen a =
FC
OC
⇒ FC = sen a · OC = sen a · cos b
Por otra parte , si en el triángulo CGD consideramos el coseno del ángulo
agudo a, tenemos:
23
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cos a =
GD
DC
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Tema 10: Ampliación de Trigonometría
⇒ GD = cos a · DC = cos a · sen b
Finalmente nos queda:
sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b
Ejemplo: Determinar el seno del ángulo de 75º.
sen 75º = sen ( 45º + 30º ) = sen 45º cos 30º + cos 45º sen 30º =
2
3
·
+
2
2
2 1
.
2 2
sen 75º =
6+ 2
4
Coseno de una suma de ángulos: El coseno del ángulo suma es el segmento
OE que según la figura:
cos ( a + b ) = OE = OF - EF = OF - GC
Sí en el triángulo OFC consideramos el coseno del ángulo agudo a, tenemos:
cos a =
OF
OC
⇒ OF = cos a · OC = cos a · cos b
Por otra parte, si en el triángulo CGD consideramos el seno del ángulo agudo
a:
sen a =
GC
DC
⇒ GC = sen a · DC = sen a · sen b
24
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Tema 10: Ampliación de Trigonometría
Finalmente nos queda:
cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b
Ejemplo: Determinar el coseno del ángulo de 75º.-
cos 75º = cos ( 45º + 30º ) = cos 45º cos 30º - sen 45º sen 30º =
2
2
3
2
2 1
2 2
cos 75º =
6−
2
4
Tangente de una suma de ángulos.- Si dividimos las formulas del seno y del
coseno:
tag ( a + b ) =
sen a cos b + cos a sen b
sen ( a + b )
=
=
cos a cos b − sen a sen b
cos ( a + b )
sena cos b cos asenb
sena senb
+
+
tga + tgb
= cos a cos b cos a cos b = cos a cos b =
cos a cos b senasenb
senasenb
1 − tga tgb
−
1−
cos a cos b cos a cos b
cos a cos b
tg (a + b) =
tga + tgb
1 − tgatgb
Ejemplo:
Determinar la tangente del ángulo de 75º
25
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tg 75º = tg ( 45º + 30º ) =
=
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tg 45º + tg 30º
1 − tg 45º tg 30º
1
3 =
=
1
1 −1.
3
1+
( 3) 2 + 2 . 3 + 1
( 3 +1) ( 3 +1)
= 2+
=
( 3 −1) ( 3 +1)
( 3 )2 − 1
3 +1
3 −1
=
3
10.2 Líneas trigonométricas de una diferencia de ángulos
Supongamos que, conocidas las líneas trigonométricas principales: seno,
coseno y tangente, de dos ángulos a y b , queremos determinar las del ángulo
a–b.
Seno de una diferencia de ángulos:
sen ( a – b ) = sen [ a + ( -b ) ] sen a cos ( -b ) + cos a sen ( -b )
y sabemos que: sen ( -b ) = - sen b y cos ( -b ) = cos b, por tanto:
sen ( a – b ) = sen a cos b – cos a sen b
Ejemplo: Dados dos ángulos del primer cuadrante, cuyos senos son 1/3 y 1/4
respectivamente, determinar el seno del ángulo a – b:
1 2
)
3
cos a =
1 − sen 2 a =
1− (
cos b =
1 − sen 2 b =
1
1 − ( )2 =
4
=
1−
1
2 2
=
9
3
1−
1
=
16
15
4
y sustituyendo en la fórmula:
sen ( a – b ) =
1
.
3
15
2 2 1
.
=
4
3
4
15
2 2
=
12
12
15 − 2 2
12
26
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Coseno de una diferencia de ángulos:
cos ( a – b ) = cos [ a + ( -b ) ] = cos a cos ( -b ) – sen a sen ( -b ) =
cos a cos b + sen a sen b
Ejemplo: Dados dos ángulos a y b del primer cuadrante en los que se verifica
que:
sen a = cos b =
9
10
Determinar el coseno del ángulo a – b, expresando el resultado en forma de
número decimal, con sis cifras decimales.
cos a =
1 − sen 2 a =
9
1 − ( )2 =
10
19
= sen b
10
cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b =
19
9
9
19
9 19
.
+
.
=
=
10
10
10
10
50
0.784602
Tangente de la diferencia de ángulos:
tg ( a – b ) = tg [ a + ( -b ) ] =
tga − tgb
tga + tag (−b)
=
1 − tgatg (−b)
1 + tgatgb
Ejemplo: Dados los ángulos a y b del primer cuadrante, cuyas tangentes son 3
y 2 , respectivamente, determinar la tangente del ángulo diferencia a – b.
10.3 Líneas trigonométricas del ángulo doble
Supongamos que conocidas las líneas trigonométricas principales de un ángulo
a, queremos determinar las del ángulo 2ª, doble del primero.
Seno del ángulo doble:
sen 2 a = sen ( a + a ) = sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a
27
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Ejemplo: Sabiendo que el seno de un ángulo del segundo cuadrante es 1/5 ,
determinar el seno de su ángulo doble.
Coseno del ángulo doble:
cos 2 a = cos ( a + a ) = cos a cos a – sen a sen a = cos2 a – sen2 a
Ejemplo.- Sabiendo que el seno de un ángulo del primer cuadrante es 7/12 ,
determinar el coseno de su ángulo doble.
Tangente del ángulo doble:
tg 2a = tg ( a + a ) =
2 tg a
tga + tga
=
1 − tgatga
1 − tg 2 a
Ejemplo: Sabiendo que la tangente de un ángulo es 3, determinar la tangente
de su ángulo doble.
10.4 Líneas trigonométricas del ángulo mitad
Seno del ángulo mitad:
Sabemos que:
cos 2
a
a
+ sen 2
= 1
2
2
Y si consideramos la formula del coseno del ángulo doble, referida al ángulo
a
:
2
cos a = cos 2
a
a
a
a
- sen 2
⇒ cos 2
= sen 2
+ cos a
2
2
2
2
y sustituyendo en la ecuación anterior:
sen 2
a
a
+ cos a + sen 2
=1 ⇒
2
2
sen
a
= ±
2
1 − cos a
2
28
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Al utilizar la fórmula es preciso elegir adecuadamente el signo, dependiendo del
a
cuadrante en el que se encuentre el ángulo
2
Ejemplo.- Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36,
determinar el seno de su ángulo mitad.
Coseno del ángulo mitad:
Consideremos las mismas dos fórmulas de antes:
cos 2
a
a
+ sen 2
= 1
2
2
cos 2
a
a
- sen 2
= cos a
2
2
Sumando miembro a miembro:
2 cos 2
cos
a
= 1 + cos a
2
a
=±
2
1 + cos a
2
Ejemplo: Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36,
determinar el coseno del ángulo mitad.
Tangente del ángulo mitad:
a
sen
a
2 =
tg
=
a
2
cos
2
1 − cos a
2
1 + cos a
2
=
1 − cos a
1 + cos a
Si multiplicamos en la fracción de dentro de la raíz arriba y abajo por : 1 – cosa:
tg
a
=
2
(1 − cos a)(1 − cos a)
=
(1 + cos a)(1 − cos a)
(1 − cos a) 2
1 − cos a
=
2
sen a
1 − cos a
29
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Tema 10: Ampliación de Trigonometría
Y si hubiéramos multiplicado en la fracción por 1 + cos a:
tg
sen a
a
=
2
1 + cos a
Ejemplo: Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36,
determinar la tangente del ángulo mitad
10.5 Formulas de transformación de productos en sumas
Transformación en suma del producto de un seno por un coseno:
sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b
sen ( a – b ) = sen a cos b – cos a sen b
Sumando miembro a miembro ambas igualdades:
sen ( a + b ) + sen ( a – b ) = 2 sen a cos b
sen a cos b =
1
[ sen ( a + b ) + sen ( a – b ) ]
2
Ejemplo: Transformar en suma el producto: sen 40º . cos 25º
Transformación en suma de un producto de senos:
cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b
cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b
Restando miembro a miembro ambas igualdades:
cos ( a – b ) – cos ( a + b ) = 2 sen a sen b
30
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sen a sen b =
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1
[ cos ( a – b ) – cos ( a + b ) ]
2
Ejemplo: Transformar en suma el producto sen 3x . sen x
Transformación en suma de un producto de cosenos:
cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b
cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b
Sumando miembro a miembro ambas igualdades:
cos ( a – b ) + cos ( a + b ) = 2 cos a cos b
cos a cos b =
1
[ cos ( a – b ) + cos ( a + b ) ]
2
Ejemplo: Transformar en suma el producto cos 80º . cos 20º
10.6 Fórmulas de transformación de sumas en productos
Transformación en producto de una suma de senos:
sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b
sen ( a – b ) = sen a cos b – cos a sen b
Sumando miembro a miembro ambas igualdades:
sen ( a + b ) + sen ( a – b ) = 2 sen a cos b
31
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Si llamamos A = a + b y B = a – b ⇒ a =
A+ B
2
y
b =
A−B
2
A+ B
A−B
. cos
2
2
sen A + sen B = 2 sen
Ejemplo.- Transformar en producto: sen 72º + sen 10º
Transformación en producto de una diferencia de senos:
sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b
sen ( a – b ) = sen a cos b – cos a sen b
Restando miembro a miembro ambas igualdades:
sen
Y
(
volviendo
a
+
a
b
)
–
sen
hacer
el
mismo
sen A – sen B = 2 cos
(
a
–
b
cambio
)
de
=
2
cos
variable
a
que
sen
b
antes:
A+ B
A−B
. sen
2
2
Ejemplo: Transformar en producto la diferencia sen 5x – sen 3x
Transformación en producto de una suma de cosenos:
cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b
cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b
Sumando miembro a miembro ambas igualdades:
cos ( a + b ) + cos ( a – b ) = 2 cos a cos b
Y volviendo a hacer el mismo cambio de variable:
32
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cos A + cos B = 2 cos
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A+ B
A−B
. cos
2
2
Ejemplo: Transformar en producto la suma: cos 70º + cos 20º
Transformación en producto de una diferencia de cosenos:
cos ( a + b ) = cos a cos b – sen a sen b
cos ( a – b ) = cos a cos b + sen a sen b
Restando miembro a miembro ambas igualdades:
cos ( a + b ) - cos ( a – b ) = - 2 sen a sen b
Y volviendo a hacer el mismo cambio de variable:
cos A – cos B = - 2 sen
A+ B
A−B
. sen
2
2
Ejemplos:
1.- Transformar en producto la diferencia: cos 0º - cos 20º
2.- Transformar en producto la diferencia: cos 20º - sen 40º
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EJERCICIOS:
1.- Los senos de dos ángulos del primer cuadrante son 0.2 y 0.1. Determina en
forma decimal, apreciando hasta la cienmilésima, el seno y el coseno de la
suma de ambos.
2.- Determina en forma decimal, el seno y el coseno de la diferencia de los dos
ángulos del ejercicio anterior.
3.- Los senos de dos ángulos del primer cuadrante son
1
1
y . Determina en
2
3
forma exacta, el seno y el coseno de la suma de ambos.
4.- Determina el seno y el coseno de la diferencia de los ángulos del ejercicio
anterior.
5.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 90º, considerando que este
ángulo se puede obtener sumando los ángulos de 60º y 30º.
6.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 105º, considerando que este
ángulo se puede obtener sumando los ángulos de 60º y 45º
7.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 0º, considerando que este
ángulo se puede obtener restando a un ángulo cualquiera el mismo ángulo.
8.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 15º, considerando que este
ángulo se puede obtener restando los ángulos de 60º y de 45º.
9.- Las tangentes de dos ángulos del primer cuadrante son 0.99 y 0.98.
Determina, en forma decimal, la tangente de su suma y de su diferencia.
10.- Las tangentes de dos ángulos del primer cuadrante son 7 y 6. Determina,
en forma exacta, la tangente de su suma y de su diferencia.
11.- Deduce el seno y el coseno del ángulo a + 90º en función de las líneas
trigonométricas del ángulo a
12.- Deduce el seno y el coseno del ángulo a + 45º en función de las líneas
trigonométricas del ángulo a.
34
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Tema 10: Ampliación de Trigonometría
13.- Deduce la tangente del ángulo a + 45º en función de las líneas
trigonométricas del ángulo a.
14.- Determina el seno de 15º, considerando que este ángulo es la diferencia
entre 45º y 30º.
15.- Determina el seno de 15º, considerando que este ángulo es la mitad del de
30º.
16.- Comprueba
equivalentes.
que las soluciones de los dos ejercicios anteriores son
17.- Determina la tangente de 15º, considerando que este ángulo es la
diferencia entre 45º y 30º.
18.- Determina la tangente de 15º, considerando que este ángulo es la mitad
de 30º.
19.- Determina las líneas trigonométricas del ángulo de 120º, considerando que
este ángulo es el doble de 60º.
20.- Determina el seno del ángulo de 22º 30´, considerando que este ángulo es
la mitad de 45º
21.- Determina la tangente del ángulo de 22º y 30´.
22.- Deduce una formula que nos de el seno del ángulo 2 a en función de la
tangente
de
a.
23.- Deduce una formula que nos de el seno de 3 a en función del seno de a.
24.- Deduce una formula que nos de el coseno de 3 a en función del coseno
de
a.
25.- Deduce una formula que nos de la tangente de 3 a en función de la
tangente
de
a.
26.- Sabiendo que el seno de un ángulo a del primer cuadrante es 1/3.
Determina el seno, el coseno y la tangente del ángulo 3 a .
35
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Tema 10: Ampliación de Trigonometría
27.- Deduce una formula que nos de el seno de 4 a en función de las líneas
trigonométricas de a.
28.- Deduce una fórmula que nos de el coseno de 4 a en función del seno de a.
29.- Deduce una formula que nos de la tangente de 4 a en función de la
tangente de a.
30.- Sabiendo que el seno de un ángulo a del primer cuadrante es 3/5.
Determina el seno el coseno y la tangente del ángulo 4 a .
31.- Los senos de dos ángulos a y b del primer cuadrante son 0.2 y 0.1 .
Detremina en forma decimal el seno y el coseno del ángulo 2 a + b.
32.- Transforma en sumas los siguientes productos de líneas trigonométricas.
a) sen 10º . cos 40º
b) sen 23º . sen 71º
c) cos 17º . cos 54º
d) sen 3x cos 5x
e) sen 2x . sen 4x
f) cos 2x . cos 3x
33.- Transforma en producto las siguientes sumas de líneas trigonométricas.
a) sen 48º + sen 52º
cos 57º
d) cos 3x – cos 5x
b) sen 80º - sen 20º
e) sen 4x + sen 2x
c) sen 17º +
f) cos 3º + cos 5º
36
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Tema 11: Resolución de Triángulos
TEMA 11: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
11.1
Introducción
Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y ángulos a partir de un
mínimo número determinado de ellos que sirvan para determinarlo.
En el caso del triángulo rectángulo, el problema es especialmente sencillo, ya
que el teorema de Pitágoras relaciona sus lados, y las propias definiciones de
las razones trigonométricas relacionan sus lados con sus ángulos.
11.2
Resolución de triángulos rectángulos
Los elementos de un triángulo rectángulo que se pueden tomar como datos
para, a partir de ellos, determinar todos los demás, son los siguientes:
-
La hipotenusa y un cateto
-
Los dos catetos
-
La hipotenusa y un ángulo agudo
-
Un cateto y un ángulo agudo
Resolución de un triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un
cateto:
sen B =
Cateto opuesto
b
=
a
Hipotenusa
cos C =
Cateto contiguo
b
=
a
Hipotenusa
A continuación, calculamos el cateto c por medio del teorema de Pitágoras.
37
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Tema 11: Resolución de Triángulos
Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Y un cateto mide
3 cm. Calcula los dos ángulos agudos y el otro cateto.
Resolución de un triángulo rectángulo a partir de los dos catetos:
tg B =
b
Cateto opuesto
=
c
Cateto contiguo
tg C =
Cateto opuesto
c
=
b
Cateto contiguo
A continuación calculamos la hipotenusa a por medio del teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Los catetos b y c de un triángulo rectángulo miden 5 y 9 m.
Respectivamente. Determinar los dos ángulos agudos y la hipotenusa.
Resolución de un triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un
ángulo agudo:
38
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Tema 11: Resolución de Triángulos
sen B =
b
Cateto opuesto
=
⇒ b = a sen B
Hipotenusa
a
cos B =
Cateto contiguo
c
⇒ c = a cos B
=
Hipotenusa
a
A continuación, calculamos el ángulo agudo C, considerando que es el
complementario de B.
C = 90º - B
Ejemplo.- La hipotenusa del triángulo de la figura mide 1 Km. Y el ángulo agudo
B mide 1º. Determinar los dos catetos del mismo.
Resolución de un triángulo rectángulo a partir de un cateto y un ángulo
agudo:
sen B =
tg B =
b
Cateto opuesto
=
⇒
Hipotenusa
a
a =
b
sen B
b
b
Cateto opuesto
=
⇒ c =
c
Cateto contiguo
tg B
A continuación, calculamos
complementario de B.
el
ángulo
C,
considerando
que
es
el
C = 90º - B
Ejemplo.- El cateto vertical b de la figura anterior mide 15 cm. Y el ángulo
agudo B, opuesto al mismo, mide 0.9 radianes. Determinar la hipotenusa y el
otro
cateto.
39
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11.3
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Tema 11: Resolución de Triángulos
Teorema del seno
La trigonometría nos permite determinar la relación numérica que existe entre
cada ángulo y su correspondiente lado opuesto.
Si trazamos la altura CD se forman dos triángulos rectángulos, ADC y BDC.
En cada uno de ellos podemos deducir el valor del cateto DC en función de la
hipotenusa
y
del
ángulo
opuesto.
sen A = -
DC
DC
=
AC
b
⇒ DC = b sen A
sen B =
DC
DC
=
BC
a
⇒ DC = a sen B
Igualando las dos expresiones :
b sen A = a sen B ⇒
b
a
=
sen B
sen A
Del mismo modo, trazando la altura correspondiente al vértice B, podíamos
haber demostrado que:
a
c
=
sen A
sen C
De donde:
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
40
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Tema 11: Resolución de Triángulos
En todo triángulo, las longitudes de los lados son directamente proporcionales
a los senos de los ángulos opuestos.
11.4
Teorema del coseno
Este teorema nos va a permitir calcular un lado de un triángulo cualquiera
cuando se conocen los otros dos y el ángulo que forman.
La altura CD determina dos triángulos rectángulos: ACD y BCD:
a2 = h 2 + ( c – n ) 2 = h 2 + c 2 - 2 c n + n 2
b 2 = h2 + n 2
restando miembro a miembro ambas igualdades se obtiene:
a2 - b2 = c2 - 2cn
Despejando a 2 :
a2 = b2 + c2 - 2cn
En el triángulo rectángulo de la izquierda ADC:
cos A =
AD
n
=
AC
b
⇒ n = b cos A
Y sustituyendo en la expresión anterior:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A
41
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Tema 11: Resolución de Triángulos
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos por el
coseno del ángulo que forman.
11.5
Resolución de triángulos oblicuángulos
Los elementos de un triángulo oblicuángulo que se pueden tomar como datos
para, a partir de ellos determinar todos los demás son los siguientes:
-
Los tres lados
-
Dos lados y el ángulo comprendido entre ambos
-
Dos lados y un ángulo no comprendido entre ambos
-
Un lado y dos ángulos
Resolución de un triángulo a partir de sus lados:
Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los lados iremos conociendo
los tres ángulos.
Sí en la formula el coseno nos sale negativo se tratará de un ángulo obtuso y si
es positivo será un ángulo agudo.
Es interesante considerar que los tres lados de un triángulo no pueden ser
valores cualesquiera, ya que tienen que cumplir el requisito de que un lado
tiene que ser menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.
Por ello si al resolver un triángulo nos encontramos con que un coseno es
mayor que la unidad, lo cual es imposible, esto significa que los datos son
incompatibles.
Ejemplo: Los lados a, b y c de un triángulo miden 3, 6 y 7 cm respectivamente.
Determinar el valor de los tres ángulos.
Resolución de un triángulo a partir de dos de sus lados y del ángulo
comprendido entre ambos:
Bastará aplicar el teorema del coseno y posteriormente el del seno.
Ejemplo: Los lados a y b de un triángulo miden 3 y 5 cm. respectivamente y el
ángulo C comprendido entre ambos es de 70º. Determinar el lado c, así como
los otros dos ángulos.
Resolución de un triángulo a partir de dos de sus lados y de un ángulo no
comprendido entre ambos:
Estos ejercicios se resuelven por aplicación del teorema del seno.
42
Apuntes de matemáticas 4º ESO
2º Trimestre
Colegio La Magdalena
Tema 11: Resolución de Triángulos
Ejemplo: Los lados a y b de un triángulo miden 4 y 3 cm, respectivamente y el
ángulo A opuesto al primero de ellos es de 38º. Determinar el lado c y los otros
dos ángulos.
Resolución de u triángulo a partir de un lado y dos ángulos:
Si se conocen dos ángulos, se conoce el tercero restando a 180º la suma de
ambos y conocidos los tres ángulos y un lado, aplicando el teorema del seno,
conoceremos los otros dos lados.
Ejemplo: El lado a de un triángulo mide 9 cm. y los ángulos B y C miden 51º
y 74º respectivamente. Determinar el ángulo A, saí como los otros dos lados.
11.6
Área de un triángulo
Área =
1
1
Base . Altura =
b.h
2
2
DB = AB . sen A
S =
⇒
h = c sen A
1
b c sen A
2
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos lados por el
seno del ángulo que forman.
Ejemplo: Dos de los lados de un triángulo miden 5.73 y 6.28 m y estos dos
lados forman un ángulo de 38º. Calcular su área.
43
Apuntes de matemáticas 4º ESO
2º Trimestre
11.7
Colegio La Magdalena
Tema 11: Resolución de Triángulos
Aplicaciones practicas
La resolución de triángulos posee numerosas aplicaciones practicas en
problemas técnicos que surgen en el ámbito de la Geometría, la Física, la
Topografía, la Astronomía,…..y en muchos campos de la Ciencia y de la
Técnica.
Ejemplos:
1.- Determinar el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia
de 3 cm de radio.
2.- Con objeto de averiguar la altura que tiene una estatua, se coloca un
teodolito a 80 metros del pedestal de la misma. Con este aparato que sirve
para medir ángulos, se lanza una visual a los pies de la estatua, resultando que
esta visual forma un ángulo de 12º 36´ con el plano horizontal. Otra visual
lanzada a la cabeza de la estatua tiene una inclinación de 19º 13´ con respecto
al mismo plano. ¿Cuál es la altura de la estatua?
3.- Calcular la longitud de la diagonal de un pentágono regular de 5 cm de lado.
4.- Con objeto de llevar a cabo el proyecto de un puente, un ingeniero desea
saber la distancia entre el punto A en el que se encuentra y el punto B, situado
en un lugar inaccesible de la otra orilla. Para ello toma como referencia un
punto C situado a 100 m de A, construye el triángulo ABC y, utilizando un
teodolito mide los ángulos A y C, cuyos valores son A = 66º 47´ y C = 51º 33´.
¿Que distancia hay entre A y B?
5.- Dos fuerzas de 60 y 100 Kgf actúan sobre un mismo punto formando un
ángulo de 80º. ¿Cuál es la intensidad de la resultante?
44
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2º Trimestre
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Tema 11: Resolución de Triángulos
EJERCICIOS DE RESOLUCION DE TRIANGULOS CUALESQUIERA
1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 cm y un cateto del mismo
mide 2 cm. Determina el otro cateto y los dos ángulos agudos.
2.- Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 13 y 17 cm. Determina la
hipotenusa y los dos ángulos agudos.
3.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 11 cm y uno de los ángulos
agudos 19º . Determina los dos catetos y el otro ángulo agudo.
4.- Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 cm y el ángulo opuesto al
mismo 26º. Determina el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo.
5.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 7 cm y el ángulo
contiguo al mismo 31º. Determina el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo
agudo.
6.- Los lados de u triángulo isósceles miden 4 , 7 y 7 cm. Determina sus tres
ángulos.
7.- El lado desigual de un triángulo isósceles mide 18.4 cm y el ángulo desigual
54º 20´. Determina el valor de cada uno de los lados iguales y de cada uno de
los ángulos iguales.
8.- Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 14 cm y cada
uno de los ángulos iguales 12º. Determina el valor del lado desigual y del
ángulo desigual.
9.- Determina el lado y los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm
y 7 cm.
10.- Determina el radio de un pentágono regular de 1 cm de lado.
11.- Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 22 cm y el
ángulo desigual 48º. Determina el valor del lado desigual y de cada uno de los
ángulos iguales.
12.- Cada uno de los lados de un rombo mide 10 cm y uno de sus ángulos 65º.
Determina las diagonales.
45
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2º Trimestre
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Tema 11: Resolución de Triángulos
13.- La gran Pirámide de Keops tiene una altura de 138 metros y su base es un
cuadrado de 227 metros de lado. Determina el ángulo de inclinación de cada
una de las aristas.
14.- Desde un barco situado cerca de la costa guipuzcoana se ve el Monte
Igueldo bajo un ángulo de 12º 17´. Sabiendo que la altura de este monte es de
181 metros. ¿A que distancia de su base se encuentra el barco?
15.- Los tres lados de un triángulo miden 3 , 5 y 7 cm. Determina el valor de
sus tres ángulos.
16.- Dos lados de un triángulo miden 4 y 6 cm y el ángulo comprendido entre
ambos 29º . Determina los otros dos ángulos así como también el tercer lado.
17.- Un lado de un triángulo mide 12 cm y los dos ángulos adyacentes al
mismo, 28º y 85º. Determina los otros dos lados.
18.- Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 3 , 4 y 5 cm.
19.- Calcula el área de un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 4 y 6
cm y el ángulo comprendido entre ambos 30º.
20.- Un avión cuya velocidad propia en ausencia de viento, es de 200 km/h se
ve empujado por una corriente de aire de 20 km/h cuya dirección forma 40º con
el eje del aparato. ¿Cuál es la velocidad real del mismo?
21.- ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de 6 y 7 kgf para que su resultante
sea igual a la mayor de ellas?
22.- Los lados de un triángulo miden 21 , 18 y 5 cm. Calcula la altura
correspondiente al lado mayor.
23.- Desde un punto situado a 100 metros de una torre se ve esta bajo un
ángulo de 38º 47´. ¿Bajo que ángulo se verá esta misma torre desde una
distancia de 200 metros?
46
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Tema 11: Resolución de Triángulos
24.- Un paralelogramo cuyos lados miden 12 y 20 cm tiene una superficie de
200 cm2. Determina el ángulo que forman sus lados.
25.- Demuestra que un triángulo isósceles , cuyos lados iguales son b y c, se
verifica:
a
= b
2 cos B
26.- Demuestra que en un triángulo isósceles cuyos lados iguales son a y c se
verifica:
b=a
2 ( 1 − cos B )
47
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2º Trimestre
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Tema 11: Resolución de Triángulos
Ejercicio sobre una aplicación practica de trigonometría:
Encontrándonos en una de las orillas de una ría, deseamos
averiguar la distancia existente entre dos faros A y B situados en la orilla
opuesta. Para ello, tomamos en nuestra orilla, dos puntos C y D
separados por una distancia conocida, por ejemplo 500 metros y
construimos el cuadrilátero formado por los puntos: A, B, C y D. Por
medio de un teodolito medimos los ángulos ACD, BCD, ADC y BDC cuyos
valores resultan ser: 83º 12´, 79º56´, 88º 11´ y 93º 58´. A partir de estos
datos, determinar la distancia entre los dos faros.
48
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Tema 12: Ecuaciones Trigonométricas
TEMA 12: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.1
Comprobar que son ciertas las siguientes igualdades sustituyendo las
razones que aparecen por sus valores numéricos.
a).- tg 60º . cotg 240º = 1
b).- cos 30º . sec 330º = 1
c).- tg 45º =
sen 45º
cos 315º
d).- sen 120º = 2 sen 60º cos 60º
e).- cos 150º = -
12.2
1 + cos 300º
2
Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones trigonométricas
a) sen 2 α + 1 = 2 - cos 2 α
b) cos 2 α - sen 2 α = 2 cos 2 α - 1
c) ( 1 – ctg α ) 2 = cosec 2 α - 2 cotg α
d) ( tg α + cotg α ) 2 = sec 2 α + cosec 2 α
e) sec α - cos α = tg α . sen α
f)
g)
cos ec 2 α − 1
= cotg α . cosec α
cos α
sec 2 α − 1
= sec 2 α
2
sen α
49
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Tema 12: Ecuaciones Trigonométricas
h) sen α ( cosec α - sen α ) = cos 2 α
i) tg α ( sen α + cotg α . cos α ) = sec α
cos 2 α
j)
+ sen α = cosec α
sen α
k)
1
cos α
= tg α
sen α . cos α
sen α
l)
cos ecα
tgα
+
= cosec 2 α sec α
tgα
senα
m)
12.3
sec α
senα
= ctg α
senα
cos α
Demostrar que las ecuaciones siguientes son identidades
a)
tgα
tgα
2
=
1 + sec α
1 − sec α
senα
b)
senα + cos α tgα
= 2 tg α
cos α
c)
cos α
cos α ( cos α − senα )
=
cos α − senα
1 − 2 senα cos α
d) sen 2α - cos 2α = sen 4α - cos 4α
e)
cos ecα − senα
cot gα
= 0
cot gα
cos ecα
50
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f)
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Tema 12: Ecuaciones Trigonométricas
sec α + 1
sec α
=
1 − cos α
sen 2 α
g) ( sec α - tg α ) ( cosec α + 1 ) = cotg α
12.4
h)
cos α
1 + senα
= 0
1 − senα
cos α
i)
tgα + tgβ
= tg α · tg β
cot gα + cot gβ
Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas
a) sen 2 α - cos 2 α =
1
2
b) 3 tg 2α = 1 + 2 tg α
c) tg α = 5 sen α
d) 3 tg α = 2 cos α
e) cotg 2 α - cosec α = 1
f) sen α + cosec α =
5
2
g) 5 sec α - 4 cos α = 8
h) sen 2 α - 2 cos 2 α = 1
i) 3 sec 2 α - 7 tg 2 α = tg α
j) cos 2 α - sen 2 α + 3 sen α = 2
51
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2º Trimestre
12.5
Colegio La Magdalena
Tema 12: Ecuaciones Trigonométricas
Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas
a) cos α = sen 2 α
b) cos 2 α + 3 sen α = 2
c) tg 2 α = cotg α
12.6
12.7
12.8
Demostrar
a)
( cos α + sen α ) 2 = sen 2 α + 1
b)
sec 2 α =
cot g α + tg α
cot g α − tg α
Resolver
a)
10 sen α + 3 tg α + 8 sen α cos α = 0
b)
cos 2 α + sen α = 4 sen 2 α
c)
sen 2 α cos α = 6 sen 3 α
d)
tg ( 45º + α ) + tg ( 45º - α ) = 4
e)
2 cos 2 α + cos 2 α . cos α = 0
Demostrar
a)
cos ( x − y ) − cos( x + y )
= tg y
sen( x + y ) + sen( x − y )
b)
tg ( 45º + α ) - tg ( 45º - α ) = 2 tg 2 α
52
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Colegio La Magdalena
Tema 12: Ecuaciones Trigonométricas
1
c)
cos 2 α =
d)
sen A = sen B . cos ( A – B ) + cos B sen ( A – B )
1 + tgα .tg 2α
53
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2º Trimestre
TEMA 13: LOS
RADICALES
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Tema 14: Los Números Complejos
NÚMEROS.
POTENCIAS
Y
El Conjunto de los Números Naturales
Cuando contamos los elementos de un conjunto, asociamos a cada elemento
del conjunto un elemento de la sucesión de los números naturales, que
arrancando de cero serían:
0 , 1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , ……………………………………..
El conjunto de los números naturales se designa con la letra N. El conjunto N
se representa gráficamente en una semirrecta. Entre los números naturales se
puede establecer un criterio de comparación: a > b o a < b. La suma y el
producto son operaciones internas dentro del conjunto N.
El hecho de no poder resolver cualquier tipo de restas trabajando con números
naturales, nos hace pensar en la existencia de otro conjunto de números que
supere esta dificultad: El conjunto Z de los números enteros:
Z = { …… -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ………… }
El conjunto Z se representa gráficamente en una recta. El conjunto Z es un
conjunto ordenado, ya que dados dos números enteros distintos o a > b o a < b
. La suma , la resta y el producto de números enteros son operaciones enteras
dentro del conjunto Z.
( Z , + , . ) tiene estructura algebraica de anillo
unitario y conmutativo.
El hecho de no poder resolver cualquier tipo de divisiones trabajando con
números enteros, nos hace pensar en la existencia de otro conjunto de
números que supere esta dificultad: El conjunto Q de los números racionales.
Se dice que a/b es una fracción de números enteros, si y solo si a y b son dos
números enteros cualesquiera y b es distinto de cero. El conjunto de las
fracciones de números enteros da origen al conjunto de los números
racionales: Q. El conjunto Q se representa gráficamente en una recta. El
Conjunto Q es un conjunto ordenado ya que siempre se puede establecer una
comparación entre dos fracciones de números enteros, es decir o a/b > c/d o
a/b < c/d siempre que no se trate de fracciones equivalentes.
No todos los números decimales se pueden expresar en forma de fracción. Se
pueden representar los números decimales limitados, también se pueden
representar en forma de fracción los números decimales periódicos, pero no se
pueden representar en forma de fracción los números decimales ilimitados noperiódicos, y por tanto no son números racionales. A estos números se les
54
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Tema 14: Los Números Complejos
llama números irracionales. El conjunto de los números irracionales se
representa por I. Su representación gráfica cabe en la recta de los números
racionales y la unión de los números racionales con los irracionales constituye
el conjunto de los números Reales: R. R = Q U I .
13.2
Potencias y Radicales
an = a .a . a. a . …… n veces
am . an = am+n
am : an = am-n
( am )n = am.n
(a.b)n =an . bn
(a:b)n =an:an
a 0 = 1 ( excepto para a = 0 )
a –n =
(
a
13.3
1
a
n
a
b n
) –n = (
)
b
a
p
q
=q a
p
Radicales cuadráticos
a
b
Los radicales cuadráticos se pueden sumar y restar cuando son semejantes, es
decir, cuando tienen el mismo radicando.
55
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Tema 14: Los Números Complejos
Los radicales cuadráticos siempre se pueden multiplicar y dividir a excepción
de la división por cero
Todos los números reales se pueden expresar como radicales cuadráticos, de
modo que el conjunto R es un subconjunto de los radicales cuadráticos.
Para expresar bien un radical cuadrático hay que darle la forma de la definición
a b . En muchos ejercicios habrá que racionalizar para darle al resultado la
forma de radical cuadrático.
13.4
Intervalos
Pueden ser:
]a,b[
abierto
[ a , b ] cerrado
[a,b[
abierto por la derecha y cerrado por la izquierda
]a,b]
abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.
Podemos trabajar con la unión e intersección de intervalos.
13.5
Valor absoluto
I a I es la distancia del punto “a” al origen.
56
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Colegio La Magdalena
Tema 14: Los Números Complejos
TEMA 14: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
14.1
Ampliaciones del campo numérico
X
2
+ 4 = 0
no tiene solución en el conjunto R. Para encontrar las soluciones de esta
ecuación es necesario ampliar el conjunto de los números reales en el conjunto
C de los Números Complejos.
14.2
Números imaginarios puros
Partiendo de la ecuación
2
X + 1 = 0
2
X = -1
→
X = −1 = i
Es decir, tendría que existir un elemento i tal que:
i
2
= -1
este nuevo número se llama unidad imaginaria, y permite resolver las
ecuaciones del tipo:
X
2
+ K = 0, con K > 0.
Ejemplos:
2
2
2
2
X +4=0⇒X =-4⇒X= ±
X +9=0⇒X =-9⇒ X=±
14.3
(− 4)
(− 9)
=±
= ±
4⋅
9⋅
(− 1)
= ±2i
(− 1)
=±3i
Partes de un número complejo
Como los números imaginarios permiten calcular las raíces cuadradas de los
números negativos, podemos resolver ecuaciones como la siguiente:
2
X – 6 X + 13 = 0
X =
6±
(36 − 52)
2
=
6±
(− 16)
2
=
6 ± 16 ⋅ i 6 ± 4i
=
= 3 ± 2i
2
2
Las soluciones de esta ecuación son: X1 = 3 + 2i , X2 = 3 – 2i
57
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2º Trimestre
Colegio La Magdalena
Tema 14: Los Números Complejos
A los números de la forma a + bi se les llama números complejos. El
número real a es la parte real del número complejo a + bi , y el número real b,
la parte imaginaria o componente imaginaria.
El conjunto de los números complejos se representa por C.
C = { a + bi / a , b ∈ R }
Sí b = 0, el número complejo solo tiene parte real, luego R ⊂ C.
Sí a = 0, solo tiene parte imaginaria, es decir, los números reales y los
imaginarios puros están contenidos en el conjunto de los números
complejos.
Así , - 6, 2 / 3 , 2 , . . . son números reales y también son números
complejos.
2i, -5/3 i, . . . son números imaginarios puros y también son números
complejos.
14.4
Representación gráfica de los números complejos
Sí sobre el eje de abcisas se representa la parte real a del número complejo a
+ bi, y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b, el numero complejo a +
bi puede representarse por el punto P del plano de coordenadas ( a , b )
( a , b ) = a + bi
r=
(a
2
+ b2
)
58
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2º Trimestre
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Tema 14: Los Números Complejos
Es decir, a cada número complejo a + bi corresponde un punto P que se llama
su afijo, y , recíprocamente, a cada punto corresponde un número complejo, es
decir existe una aplicación biyectiva entre los puntos del plano y el conjunto de
los números complejos.
El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP , que se
puede considerar la representación vectorial del número complejo a +bi = r
cos α + i r sen α
La longitud r del vector OP se llama módulo del número complejo a + bi.
Módulo del número complejo a + bi es
a 2 + b 2 = r.
Por ejemplo el número complejo 3 + 4i se representa por el punto A = ( 3 , 4 ) y
por el vector OA , cuyo módulo será:
r=
3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 5
Un número complejo se puede representar en forma binómica : a + bi, y en
forma cartesiana ( a , b ).
El número complejo 0 = 0 + 0i = ( 0 , 0 ), se representa por O (origen).
14.5
Complejos conjugados
Dos números complejos son conjugados si tienen igual la primera componente
y de distinto signo la segunda.
Ejemplo:
3 + 2i y 3 – 2i.
14.6
Complejos opuestos
Dos números complejos son opuestos si son opuestas sus dos componentes.
Ejemplo:
3 + 2i y -3 – 2i
14.7
Suma y Resta de números complejos
Ejemplos:
( 1 + 3i ) + ( 6 – 4i ) = 7 – i ; ( 5 + 3i ) + ( 5 – 3i ) = 10
( 4 – 3i ) + ( -4 + 3i ) = 0.
59
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Tema 14: Los Números Complejos
Los dos últimos ejemplos indican que la suma de dos números complejos
conjugados es un número real y la suma de dos números complejos opuestos
es cero.
14.8
Multiplicación de números complejos
2
(2 + 3i ) . ( 4 – 5i ) = 8 – 10i + 12i – 15 i = 23 + 2i
2
(4 + 3i ) . ( 4 – 3i ) = 16 – 12i + 12i – 9 i = 16 + 9 = 25
3 . ( 2 – 3i ) = 6 – 9i
( a + bi ) . ( a – bi ) = a
2
+ b
2
El último ejemplo demuestra que el producto de dos números complejos
conjugados es un número real.
14.9
Interpretación geométrica de la multiplicación por i
Vamos a multiplicar un determinado número de números complejos por i y
veremos las consecuencias de su vector asociado:
a) El número complejo 4 al multiplicarlo por i se convierte en 4i. El vector
asociado al número complejo 4 reposa sobre el eje Real y el vector asociado al
número complejo 4i reposa sobre el eje imaginario, es decir el vector ha girado
90º en sentido directo.
60
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Tema 14: Los Números Complejos
2
b) El número complejo 3i , al multiplicarlo por i , se convierte en 3 i es decir en
-3, que geométricamente, también supone un giro de 90º en sentido directo de
su vector asociado.
c) En general cualquier complejo como 3 + 2i al multiplicarlo por i :
( 3 + 2i ) . i = 3i + 2 i
2
= -2 + 3i
que geométricamente se comprueba
que:
Multiplicar un número complejo por i equivale a girar su vector asociado 90º, en
sentido contrario al de las agujas del reloj:
14.10
División de números complejos
2 + 3i (2 + 3i ) ⋅ (1 − 4i ) 2 − 8i + 3i −12i 2 14 5i
=
=
= −
1 + 4i (1 + 4i ) ⋅ (1 − 4i )
1 + 16
17 17
- Calcular x + yi sabiendo que:
x + yi =
6 + 4i
= 2i
x + yi
6 + 4i 3 + 2i (3 + 2i ) ⋅ i 3i + 2i 2 − 2 + 3i
=
=
=
=
= 2 – 3i
i
2i
−1
−1
i2
- Calcula a + bi, sabiendo que: ( a + bi ) . ( 2 – 5i ) = 19 – 4i
19 + 4i (19 − 4i ) ⋅ (2 + 5i ) 38 + 95i − 8i − 20i 2 58 87i
=
=
=
+
= 2 + 3i
a + bi =
(2 − 5i ) ⋅ (2 + 5i )
2 − 5i
4 + 25
29 29
61
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Tema 14: Los Números Complejos
luego a + bi = 2 + 3i.
14.11
Potencia de la unidad imaginaria
i=
( -1 )
2
i =-1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
i = i . i = -1 . i = -i
2
i = i . i = -i . i = - i = 1
i =i .i=1.i=i
2
i = i . i = i . i = i = -1
i = i . i = -1 . i = -i
2
i = i . i = -i . i = - i = 1
i =i .i=1.i=i
Vemos que los resultados de las potencias de i se van repitiendo en ciclos de 4
en 4 es decir van repitiendo los valores : i , -1 , -i y 1.
n
Sea i , donde n ∈Ν . Dividiendo n por 4:
Por la regla de la división:
N = 4.c + r, con 0 ≤ r < 4
62
Apuntes de matemáticas 4º ESO
2º Trimestre
Colegio La Magdalena
Tema 14: Los Números Complejos
Entonces:
i
n
= i
4c + r
=i
4c
.i
r
4
c
=(i ) .i
r
Nos interesa pues tener muy presente que: i
Ejemplo: Calcular i
Por tanto: i
71
c
= 1 .i
n
=i
r
=i
r
r
71
3
=i =-i
Lo cual nos permite conocer todas las potencias de i solo sabiendo las 4
primeras.
14.12
Cuadrado de un número complejo
( a + bi )
2
=a +2abi+b i
2
2 2
2
2
2
= 9 + 12i + 4 i = 9 – 4 + 12i = 5 + 12i
=a -b +2abi
Ejemplo:
( 3 + 2i )
14.13
2
Cubo de un número complejo
Ejemplo:
3
(4+i) =4
3
2
+3.4 .i+3.4.i
2
+i
3
= 64 + 48i - 12 – i =
= 52 – 13i .
n
En general ( a + bi ) , donde n es un número natural cualquiera, se calcula
aplicando el binomio de Newton.
63
Apuntes de matemáticas 4º ESO
2º Trimestre
14.14
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Tema 14: Los Números Complejos
Raíz cuadrada de un número complejo
Supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada del número
complejo a + bi.
Si x + yi es el resultado, entonces:
( x + yi )
2
2
= a + bi
2
a + bi = x - y + 2xyi
Y si estos dos últimos números complejos son iguales, deberán serlo sus
partes reales y sus partes imaginarias, igualando:
2
2
x - y =a
2xy
=b
Ejemplo: Calcular la raíz cuadrada de: 9 + 40i:
SQR( 9 + 40i ) = x + yi
2
9 + 40i = ( x + yi )
2
2
9 + 40i = x + 2xyi - y
Igualando las partes reales y las partes imaginarias:
2
2
9=x –y
x=
40 = 2xy
40 20
=
,
2y
y
sustituyendo:
2
 20 
9 =   − y 2 → 9 y 2 = 400 − y 4
 y 
y 4 + 9 y 2 − 400 = 0 ⇒ y 2 = z ⇒ z 2 + 9 z − 400 = 0
64
Apuntes de matemáticas 4º ESO
2º Trimestre
z=
z1 =
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Tema 14: Los Números Complejos
− 9 ± 81 + 1600 − 9 ± 1681 − 9 ± 41
=
=
2
2
2
− 50
= -25
2
z2 =
32
= 16
2
y1 = + − 25 , y 2 = − − 25 , y 3 = + 16 , y 4 = − 16
Las dos primeras soluciones y 1 e y 2 no son posibles ya que hemos llamado x e
y a las partes real e imaginaria del número complejo solución que por definición
son números reales; por tanto las posibles soluciones de y son:
y 3 = 4 ; y 4= - 4
Si y3 = 4 ⇒ x3 = = 5 ⇒ x + yi = 5 + 4i;
Si y4 = - 4 ⇒ x4 =
20
−4
= - 5 ⇒ x + yi = -5 -4i
Por tanto:
5 + 4i
9 + 40i =
-5 –4i
65
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2º Trimestre
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Tema 15: Ampliación de Números Complejos
TEMA 15: AMPLIACIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS
15.1
Forma Polar de un número complejo
Las coordenadas cartesianas no son el único modo de localizar puntos en el
plano, ya que dado el número complejo a + bi:
Es decir, sabiendo el módulo y el ángulo que forma con el eje x ( argumento ),
también nos queda determinado el número complejo.
Ejemplo: Expresa en forma cartesiana el número complejo que tiene de módulo
2 y cuyo argumento es 315º
2
315º
=
2 cos 315 +
2 i sen 315º =
2
2
2
+ i
2 ( -
2
2
) = 1–i
Ejercicios:
1.-Escribe en notación polar los siguientes números complejos:
a) 3 + 4 i
b)
3 -i
c) 4i
2.- Escribe en forma cartesiana los siguiente números complejos:
a) 2 45º
b) 1 120º
c) 5 240º
66
Apuntes de matemáticas 4º ESO
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15.2
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Tema 15: Ampliación de Números Complejos
Operaciones de números complejos en forma polar
Para la suma y la resta recurriremos siempre a la forma cartesiana, pero las
demás operaciones entre complejos son mas sencillas:
Producto:
rα.sβ
=
( r . s ) α+β
Ejemplo: 2 45º . 4 180º = 8 225º
Demostración:
β)=
rα . s β = ( r cos α + i r sen α ) . ( s cos β + i s sen
r . s . cos α . cos β + i . r . s cos α . sen β + i . r . s . sen α . cos β + i 2. r . s .
sen α .sen β
= r . s [ ( cos α cos β – sen α sen β ) + ( cos α sen β + sen α cos β ) i ] =
= r . s [ cos ( α + β ) + i sen ( α + β ) = r . s cos ( α + β ) + i r . s .sen ( α + β ) =
r.s α + β
Cociente:
rα
r
= ( ) α −β
sβ
s
Ejemplo: 6 90º : 3 120º = 2 – 30º = 2 330º
67
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2º Trimestre
Demostración:
rα
sβ
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Tema 15: Ampliación de Números Complejos
=
r α . s −β
s β . s −β
=
(r. s) α− β
s 2 0º
=
r
r
r. s . cos (α − β )+ i . r. s. sen (α − β )
=
. ( cos ( α – β ) + i sen ( α – β ) ) = (
)
2
s
s
s
α–β
68
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Tema 16: Polinomios
TEMA 16: POLINOMIOS
16.1 Monomios
2
3
4
2xy , 5 x y , -3 x y z , etc....
El coeficiente de los monomios anteriores es: 2 , 5 y –3
A la parte del monomio que acompaña al coeficiente se le llama PARTE
LITERAL del monomio.
Llamaremos grado de un monomio a la suma de los exponentes de sus letras
y llamaremos grado de un monomio respecto de una letra al exponente de
dicha letra
Se llaman monomios semejantes a los que tienen la misma parte literal.
Para hacer una suma algebraica de monomios semejantes se hace la
suma algebraica de sus coeficientes y se deja la misma parte literal
Ejemplo:
2 3
2 3
2 3
-3x y + 5 x y = 2 x y
16.2 Polinomios
Un Polinomio es una suma de monomios. Cada monomio se dice que es un
término del polinomio.
Cuando un polinomio esta compuesto de dos monomios se le llama: Binomio,
si lo esta de tres: Trinomio, etc..
Grado de un polinomio es el grado del monomio que tenga mayor grado.
Grado de un polinomio con respecto de una letra es el mayor exponente
de esa letra en el polinomio.
Ejemplo:
a x: 5
2
5
2x y - 4x y
2
+3y
3
Grado del Polinomio: 7 y con respecto
69
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Tema 16: Polinomios
Polinomio completo respecto de una letra, es el que contiene todas las
potencias, desde la de mayor grado hasta la de grado cero ( constante).
Ejemplo:
3
6x y - 2x
2
+3xy
2
+ 8 ( Poli. Completo respecto de x )
16.3 Polinomio en una indeterminada
Un polinomio en la indeterminada x es una expresión de la forma:
a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . . . . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ( con n natural)
donde a n , a n – 1 , ........ , a 1 , a 0 son números reales llamados coeficientes y
a la letra x se le llama la indeterminada del polinomio.
El polinomio que tiene todos sus coeficientes cero se llama polinomio cero o
polinomio nulo.
El coeficiente a0
independiente
es un término de grado cero y se llama término
Dos polinomios del mismo grado se dice que son iguales si los
coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
16.4 Valor numérico de un polinomio
Dado un polinomio P(x) y un número a, se llama valor numérico de P(x)
para x = a , y se escribe P(a), al número que se obtiene al sustituir x por a
y efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo: Sea P(x) =
para x = -1
6x
2
–5x–3
Calculemos el valor numérico de P(x)
P(-1) = 6 ( -1 ) 2 - 5 ( -1 ) – 3 = 6 . 1 + 5 – 3 = 6 + 5 –3 = 8
16.5 Suma y resta de polinomios
Para sumar dos polinomios, se suman los coeficientes de los términos
del mismo grado.
70
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Tema 16: Polinomios
Ejemplo: P (x ) = 6 x 2 – 5 x – 3
y
Q ( x ) = 3 x 2+ 4 x – 1
P ( x ) = 6 x 2– 5 x – 3
Q ( x ) = 3 x 2+ 4 x – 1
P(x)+Q(x)=9x2 - x – 4
P(x)–Q(x)=P(x)+(-Q(x))
P ( x ) = 6 x 2– 5 x – 3
- Q ( x ) = - 3 x 2- 4 x + 1
P(x)–Q(x)
= 3 x 2- 9 x - 2
16.6 Producto de monomios
El producto de dos monomios es otro monomio que tiene por coeficiente
el producto de los coeficientes y de parte literal el producto de las partes
literales.
a x p . b x q = a . b x p+q
16.7 Producto de un Polinomio por un monomio
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término
del polinomio por el monomio.
Ejemplo:
( - 2 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 5 ) . ( - 3 x ) = 6 x 4 - 9 x 3 + 6 x 2 – 15 x
16.8 Producto de polinomios
El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada término de
un polinomio por todos los del otro.
Ejemplo:
P (x ) = 6 x 2 – 5 x – 3 y Q ( x ) = 3 x + 2
71
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Tema 16: Polinomios
6 x 2– 5 x – 3
3x+2
12 x 2 - 10 x - 6
18 x 3 – 15 x 2 - 9 x
18 x 3 – 3 x 2 - 19 x - 6
Se observa que:
a) El grado del producto ( 3 ) es igual a la suma de los grados de los
factores.
b) El término independiente del producto ( -6) es igual al producto de los
términos independientes de los factores.
R(x)=2x
3
-x
2
+ x , calcula:
a) P ( x ) + Q ( x )
b) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x )
c) P ( x ) + Q ( x ) - R ( x )
d) P ( x ) – Q ( x ) – R ( x )
e) P ( 2 )
f) Q ( 1 )
g)R ( -1 )
h) P ( -1 ) + Q ( -1 )
16.9 Potencia de un monomio
Para elevar un monomio a una potencia se eleva el coeficiente a dicha
potencia y los exponentes de los factores literales se multiplican por el
exponente de la potencia
2
3
Ejemplo: ( - 2 x y z )
16.10
3
6
9
= -8 x y z
3
Cociente de dos monomios
Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y se dividen las
partes literales de ambos monomios.
4
3
Ejemplo: ( 12 x ) : ( 6 x ) = 2 x
72
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16.11
Colegio La Magdalena
Tema 16: Polinomios
Cociente de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del
polinomio por el monomio.
16.12
División de polinomios
1º .- Se ordenan los polinomios ( Dividendo y divisor) según las potencias
decrecientes de x.
2º .- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor.
3º .- El término del cociente hallado ( 2 x ) se multiplica por el divisor y el
producto se resta del dividendo, y así se obtiene el primer resto parcial ( 2
5 x + 13 x )
4º .- Se baja el siguiente término del dividendo ( 3 ) y se divide el primer
2
término del dividendo parcial ( - 5 x ) entre el primer término del divisor :
2
2
- 5 x : x = - 5, y se continua el proceso hasta llegar a un resto cuyo
grado sea menor que el divisor.
3
2x –9x
-
2
3
+ 15 x + 3
2x +4x
-5x
2
2
-
2x
2
x –2x +1
2x–5
+ 13 x + 3
2
+ 5 x - 10 x + 5
3x + 8 = r(x)
16.13
División de un polinomio por el binomio ( x – a ). Regla de Ruffini
Las divisiones de polinomios en las que el divisor es de la forma expuesta en el
enunciado se pueden hacer muy rápidamente por un método muy sencillo obra
de: Paolo Ruffini
( matemático y médico italiano 1765-1822 , estudioso del
álgebra que obtuvo importantes resultados en la teoría de ecuaciones.)
73
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Colegio La Magdalena
Tema 16: Polinomios
Ejemplo, la división:
(x
4
1
2
1
16.14
2
-8x +2x - 5):(x–2)
0
-8
2
-5
2
4
-8
-12
2
-4
-6
-17
resto
Raíces de un polinomio
Se dice que el número a es una raíz del polinomio
de P(x) para x =a es cero es decir si P(a) =0.
P (x) si el valor numérico
Ejemplo:
3
P (x) = x – 4 x
2
3
+x+6
2
P (2) = 2 – 4 . 2 + 2 + 6 = 8 – 4 . 4 + 2 + 6 = 0
Es decir 2 es una raíz de P(x), porque P(2) = 0.
16.15
Raíces enteras de un polinomio
Las posibles raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros son
divisores del término independiente
Un polinomio de coeficientes enteros puede tener raíces no enteras.
Ejemplo:
3
2
P ( x ) = 2 x – x – 2 x + 1, sus raíces son 1 , -1, y ½
16.16
Teorema del resto. Condición de divisibilidad
El teorema del resto tiene la misma restricción respecto del divisor que tiene el
teorema de Ruffini es decir necesariamente el divisor debe ser de la forma x –
a y dice:
El resto de la división de un polinomio P(x) por x-a es igual al valor
numérico del polinomio para x = a.
74
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Tema 16: Polinomios
Consecuencia fundamental: Sí en la división P(x) : x-a , P(a) =0, entonces:
1º.- a es raíz de P(x)
2º.- x-a es factor de P(x)
Ejercicio: Sabiendo que 4 es una raíz del polinomio P(x) = x 2 + mx + 8, calcula
el valor de m.
16.17
Factorizacion de polinomios
TEOREMA: Si un polinomio de grado n :
P(x) = a n x
n
+ a n–1x
n–1
2
+ . . . . . . + a 2x + a 1x + a 0
Tiene n raíces reales: α1 , α2 , α3 , . . . . . . αn , se puede descomponer en forma
única en el producto de su coeficiente principal a n por n factores que resultan
de restar a x cada una de las n raíces.
P(x) = a n ( x – α1 ) ( x - α2 ) ( x - α3 ) . . . . . . . ( x - αn )
4
3
2
Ejemplo: Factorizar el polinomio: P(x) = 2 x + 9 x + 8 x – 9 x – 10
P(1) = 2 + 9 + 8 – 9 – 10 = 0 ⇒ 1 es raíz y ( x – 1 ) es factor
2
1
2
9
8
-9
-10
2
11
19
10
11
19
10
0
3
2
P(x) = ( x – 1 ) ( 2 x + 11 x + 19 x + 10 )
3
2
Seguimos probando con P 1 (x) = 2 x + 11 x + 19 x + 10 y P 1 (-1) = 0
2
-1
2
11
19
10
-2
-9
-10
9
10
0
75
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Tema 16: Polinomios
P 1 (x) = ( x + 1 ) ( 2 x
2
Probamos ahora con P 2 (x) = 2 x
2
-2
2
+ 9 x + 10 )
2
9
10
-4
-10
5
+ 9 x + 10 y P 2 (-2) = 0
0
Finalmente quedará:
P (x ) = ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( 2x + 5 )
El último factor ( 2x + 5 ) se puede escribir como 2 ( x + 5/2 )
Por tanto se cumple el teorema anterior y nos queda:
P (x ) = 2 ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5/2 )
16.18
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Se llama máximo común divisor ( mcd ) de dos polinomios P (x ) y Q ( x ) a
todo polinomio de grado máximo que sea divisor de ambos.
Se llama mínimo común múltiplo ( mcm ) de dos polinomios P ( x ) y Q ( x
) a todo polinomio de grado mínimo que sea múltiplo de ambos.
El calculo del mcd y mcm de dos polinomios se puede hacer por
descomposición factorial o por el Algoritmo de Euclides.
76
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Tema 16: Polinomios
a) Por descomposición factorial
P(x) = x
4
-9x
2
Q(x) = x
3
2
+x
- 12 x
Descomponiendo en producto de factores:
P(x) = x
4
-9x
Q(x) = x
3
+x
2
2
= x
2
2
2
(x – 9 ) = x ( x + 3 ) ( x – 3 )
2
- 12 x = x ( x + x – 12 ) = x ( x + 4 ) ( x – 3 )
Por la definición de mcd ( comunes a menores exponentes)
2
Mcd ( P(x) y Q(x) ) = x ( x – 3 ) = x – 3x
Por la definición de mcm ( comunes y no comunes con mayor exponente)
2
5
4
3
Mcm ( P(x) y Q(x) ) = x ( x + 3 ) ( x – 3 ) ( x + 4 ) = x + 4 x – 9 x – 36
2
x
b) Por el algoritmo de Euclides
El Máximo común divisor de dos polinomios P(x) y Q(x) es
igual al máximo común divisor de Q(x) y del resto r 1 (x) de la división
P(x) : Q(x).
r1 (x)= resto de Q(x) : r1 (x), se tiene:
Mcd( P(x) , Q(x) ) = Mcd( Q(x) , r1 (x) ) = Mcd (r1 (x) , r2 (x) )
Esta propiedad se reitera las veces necesarias hasta encontrar un resto
cero.
El último polinomio divisor utilizado es el mcd.
Para calcular el mcm aplicaremos la propiedad:
A . B = Mcd ( A , B ) . Mcm ( A , B )
77
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Tema 16: Polinomios
Ejemplo: Calcular, aplicando el algoritmo de Euclides el mcd y el mcm de:
4
P(x) = x
x
4
-x
4
-9x
-x
3
-9x
2
2
Q(x) = x
x
3
+x
2
3
+x
2
- 12 x
- 12 x
2
+12 x
x - 1
-x
x
3
2
+3x
3
+x
2
- 12 x
2
+ 4 x – 12 x
x
3
+x
2
3
- 12 x
-x + 3 x
2
4x
2
- 12 x
-4 x
2
+ 12 x
:4
x
2
- 3x
2
x –3x
x + 4
0
2
Conviene observar que antes de pasar el resto 4 x – 12 x a ser divisor, se
ha dividido por 4 y el polinomio resultante es el que se ha utilizado como
segundo y último divisor..
78
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Problemas de Ingenio
PROBLEMAS DE INGENIO
Problema 1
El nuevo teléfono móvil es ergonómico, personalizable, digital, ultraligero y
multimedia. El precio esta escrito en una tarjeta con nítidas, contundentes,
implacables cifras. Caracortada, siempre atento a nuevas formas de estafar al
prójimo, aumenta ese precio en 21 euros simplemente poniendo la tarjeta
cabeza a bajo. ¿A cuanto salía originalmente el teléfono móvil? ¿Cuál es el
nuevo precio?
Problema 2
Groucho, Harpo y Chico, los hermanos Marx, tienen que cruzar un rio.
Disponen de un bote que no soporta mas de 130 kilos. Ellos pesan 80, 65 y 60
kilos respectivamente, por lo que la tarea se complica. ¿Cómo hacen para
cruzar el rio?
Problema 3
Dentro de dos años, Astarté tendrá el doble de la edad que tenía hace dos
años. Dentro de tres años, Berenice tendrá el triple de la edad que tenía hace
tres años. ¿Cuál de los dos es mayor?
Problema 4
Harpo, Groucho y Chico se encuentran siempre en el mismo bar, donde solo
sirven vino y cerveza. Para elegir que beber, siguen un extraño procedimiento.
- Si Harpo pide cerveza, Groucho pide lo mismo que Chico
- Si Groucho pide cerveza, Harpo pide lo que no pidió Chico
- Si Chico pide vino, harpo pide lo mismo que Groucho
Problema 5
La fiesta duró tres días consecutivos. La suma de los números de esos días es
62. ¿Que días fueron?
Problema 6
Coloca las cifras del 1 al 6 formando un número tal que las dos primeras cifras
formen un número divisible por dos, las tres primeras otro divisible por tres, las
cuatro primeras por cuatro etc.¿Que número hay que formar?
Problema 7
Elige cinco números naturales que sumados den 50.
Problema 8
Todas las damas la tienen, pero ningún caballero. Aparece desde el comienzo,
en el desayuno, pero no en la mañana, solamente en el mediodía, en la tarde y
en la medianoche. Es inútil buscarla en la mano, más bien habría que buscarla
en el codo y en la rodilla. Esta metida en la madera y en las paredes. ¿Qué es?
79
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2º Trimestre
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Problemas de Ingenio
Problema 9
Hay dos cuerdas y varios fósforos. Si se prende una cuerda desde un extremo,
como si fuera una mecha, tarda exactamente una hora en quemarse por
completo. Ambas cuerdas se queman de forma irregular e impredecible, quizá
unas partes arden mas rápidamente que otras. En otras palabras, no puedes
estar seguro de que si una cuerda tarda una hora en quemarse, la mitad
tardará media hora. ¿Cómo se pueden usar esas dos cuerdas para medir
exactamente 45 minutos?
Problema 10
En el aniversario de su boda, la esposa de Maverik, le dice que ella estuvo
casada tres quintas partes de su vida, pero el estuvo casado apenas la mitad
de su vida. Eso es obvio dice él porque yo te llevo 10 años. ¿Qué edades
tenían al casarse? ¿Cuánto tiempo llevan casados?
Problema 11
Coloca las cifras del 1 al 6 de tal manera que las dos primeras formen un
número divisible por dos, las tres primeras uno divisible por tres, las cuatro
primeras uno divisible por cuatro, etc. ¿Qué número es ese?
Problema 12
El mueble tiene cinco cajones. Uno está vacío, otro tiene una bufanda roja, otro
una tijera, otro un libro y otro un manojo de llaves. Pero ¿en que orden están
colocados?. Inmediatamente debajo de la tijera está el libro. Inmediatamente
encima de las llaves está la bufanda. El cajón de arriba del todo no está vacío.
Inmediatamente debajo del cajón vacío está la bufanda. ¿En que cajón están
las llaves?
Problema 13
Todas las damas lo tienen, pero ningún caballero. Aparece desde el comienzo,
en el desayuno, pero no en la mañana, solamente en el mediodía, en la tarde y
en la medianoche. Es inútil buscarla en la mano, mas bien habría que buscarla
en el codo y en la rodilla. Esta metida en la madera y en las paredes. ¿Qué es?
Problema 14
Pitagorín, un niño prodigio, multiplica 1 por 2 por 3 por 4 por 5 …. Hasta 100.
Después divide por 7. ¿Cuál es el resto de esta división?
Problema 15
Robinson, Crusoe y Viernes han pasado la mañana recolectando cocos.
Respetando las leyes de solidaridad entre los náufragos, el que mas cocos
tiene divide su montón en dos partes exactamente iguales, y le da una mitad a
cada uno de los otros dos. Una vez hecho esto, el que mas tiene ahora divide
su montón en dos y reparte una mitad para cada uno de los otros dos. Así
repiten el procedimiento. Después de hacerlo cuatro veces, Robinson se queda
con 15 cocos, Crusoe con 7 y Viernes sin ningún coco. ¿Cuántos cocos tenía
cada uno al principio?
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Problema 16
Intercala entre estas cifras signos + o signos = para lograr una igualdad.
1
2
3
4
5
6
7
8
Problema 17
Manuela viaja a Roma y decide imitar lo que hacen los romanos. Cada dos días
come tallarines. Cada tres días aprende italiano. Cada cinco días toma clases
de baile. Nos acaba de llamar por teléfono, y esto es lo que nos ha dicho:
- Estoy agotada. Hoy he comido tallarines, ayer fui a mis clases de italiano,
anteayer bailé la tarantela hasta morirme. ¿Cuándo será su próximo día libre?
Problema 18
Caracortada es un dandy. Tiene un bastón de bambú, escribe poesía
simbolista y colecciona discos de vinilo. Un día toma emocionado entre sus
manos un long play de Harry Belafonte. En cada cara del disco hay seis
canciones. ¿Cuántos surcos tiene el disco en total?
Problema 19
Corto una hoja en cinco trocitos. Vienen mis hijos y cortan algunos de estos
trozos (tal vez todos) en cinco trocitos cada uno. Vienen mis nietos y cortan
algunos de estos (tal vez todos) en cinco trocitos cada uno. ¿Podremos llegar a
tener exactamente 99 trocitos de papel entre todos?
Problema 20
El gran Tahúr Maverik ensaya un extraño juego. Sobre la mesa pone 10
monedas, 5 que muestran cara y el resto cruces, luego toma dos monedas una
con cada mano y al mismo tiempo les da la vuelta. Si repite este procedimiento
varias veces, ¿podría lograr que todas las monedas muestren lo mismo, sea la
cara o la cruz?
Problema 21
Después de tres años de ayuno, el santón abre la boca y dice: Acabo de tener
una revelación¡ “ Todos los números están entre catorce y veintiuno”. ¿Cómo
se explica?
Problema 22
¡Excelente¡ dice Maverik, “El doble de esta cantidad de caramelos supera a la
mitad en 99 caramelos” ¿Cuántos caramelos había?
Problema 23
Caracortada recibe por correo las cifras del 1 al 9 con instrucciones muy
precisas: tiene que formar con ellas números y multiplicarlos entre sí. Como es
mezquino tacaño y miserable, quiere que el resultado sea el más bajo posible.
¿Qué números debe formar?
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Problema 24
Maverik el tramposo le dice a un colega: mido 90 cm. más que la mitad de mi
altura. ¿Cuánto mide?
Problema 25
Quince días después del cumpleaños de mi abuelo, cumplió años mi padre.
Quince días después del cumpleaños de mi padre, cumplí años yo. Los tres
cumplimos años en días impares del mes. ¿Qué día cumplí yo años?
Problema 26
Maverik tira un dado blanco sobre el tapete verde. Sin moverse de su silla
puede ver tres números. Con gran esfuerzo mental los suma, el resultado es
11. ¿Es posible que uno de esos tres números sea el 1?
Problema 27
Una suma con tres cifras iguales da 24, sin embargo el 8 no aparece en esa
suma. ¿Cómo se explica?
Problema 28
Dibuja cinco círculos en fila que sean tangentes y en la fila de abajo 4 círculos
que sean tangentes a los anteriores y entre sí. La prueba consiste en colocar
seis fichas blancas y tres negras en los círculos de manera que cada ficha sea
del color que sea toque a dos fichas blancas.
Problema 29
Dos coches empiezan a andar al mismo tiempo por un circuito de
automovilismo de 5000 metros de longitud. El primero tarda un minuto en dar
una vuelta completa, mientras el segundo tarda un minuto y dos segundos. ¿Al
cabo de cuantas vueltas el segundo alcanzará al 1º?
Problema 30
Mario compró una caja con 99 bombones. Le duraron 6 días. Cada día comió 3
bombones mas que el día anterior. ¿Cuántos bombones comió el primer día?
Problema 31
Harpo, Groucho y Chico viajan en tren. Leen a Proust, Joyce y Beckett,
mientras fuman un habano, una pipa y cigarrillos. Pero entre tanto humo no
puedo distinguir cual es cual. Solo sé que Harpo lee a Proust, que Groucho
fuma en pipa y que quien fuma cigarrillos lee a Beckett. ¿Qué lee y que fuma
cada uno?
Problema 32
Con las seis cifras siguientes: 8, 6, 1, 4, 5, y 2, forma tres números que cada
uno sea la mitad o el doble de alguno de los otros dos.
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Problemas de Ingenio
Problema 33
Cambia una sola cifra de lugar para verificar la igualdad:
6 2 - 35 = 1
Problema 34
Intercambia dos cifras o signos para encontrar una expresión correcta:
5+3=6–4
Problema 35
Maverik tiene 4 naipes, tres son de bastos, dos son sotas y uno es un siete.
¿Cuál es el valor y el palo de dos de esos naipes?
Problema 36
En el Test de inteligencia que se hace para entrar en la academia de ciencias,
a cada aspirante le piden que en 5 segundos escriba los dígitos del 9 al 1 de
atrás para adelante. Haz la prueba a toda velocidad. ¿Qué número te sale?
Problema 37
¿Qué es mayor, la mitad de un campo de un metro cuadrado o un campo de
medio metro de lado?
Problema 38
Maverick tiene cuatro naipes. Tres son de bastos. Dos son sotas. Uno es un
siete. ¿Cuál es el valor y el palo de dos de esos naipes?
Problema 39
En una bolsa hay cien números. El profesor Numenius mete la mano, saca
exactamente cincuenta y, tras una concienzuda inspección, descubre que no
hay ninguno que sea el doble de otro que haya sacado. ¿Qué números ha
sacado?
83
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SUDOKUS. Nivel Fácil
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SUDOKUS
SUDOKUS. Nivel Medio
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SUDOKUS. Nivel Difícil
86
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SUDOKUS
SUDOKUS. Nivel Diabólico
87