Guía de Estudio Propedéutico Matematica
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i PRESENTACIÓN Este texto tiene la intención de asistir como un importante material de apoyo en el área de matemática a los estudiantes que participan en el curso propedéutico que dicta la Facultad de Agronomía de la Universidad Central de Venezuela. Este curso de naturaleza teórico – práctica, está basado en la revisión de conocimientos teóricos y una práctica operatoria centrada en las aplicaciones propiamente de carácter matemático. En la distribución de los distintos temas se intenta proporcionar el suficiente material de trabajo para que, una vez afianzados los conceptos fundamentales, se pueda guiar a los estudiantes en el proceso de autoformación. Los contenidos que se incluyen son aquellos cuyos conocimientos de entrada son requeridos como básicos con la intención de ofrecer una preparación rigurosa y completa a fin de que los estudiantes puedan acceder a cursos superiores afines al área de Matemática, tales como: Matemática I, Matemática II, Física I, Física II, Estadística, etc.; obligatorias en la formación de un Ingeniero Agrónomo. El desarrollo de las actividades de enseñanza y aprendizaje estará centrado en los alumnos, y tomará en cuenta tanto los procesos cognitivos como los procesos afectivos. El docente se convierte en un mediador del aprendizaje propiciando actividades, proponiendo estrategias, usando metodologías en las que el proceso de enseñanza y aprendizaje se potencie. En la evaluación se tomará en cuenta la responsabilidad de los alumnos en el cumplimiento de las asignaciones, la pertinencia de los resultados y la interpretación de los mismos. De igual manera será considerado lo novedoso en la ii resolución de problemas en cuanto a originalidad, ingenio y versatilidad de los métodos usados. El texto consta de cinco unidades, las cuales contienen los siguientes temas: Unidad I: Conjuntos Numéricos Unidad II: Polinomios y operaciones con fracciones algebraicas Unidad III: Sistema de ecuaciones e inecuaciones de expresiones algebraicas Unidad IV: Trigonometría, logaritmos y exponenciales Unidad V: Matrices y determinantes Los autores esperan que esta obra sea útil tanto a los profesores como a los estudiantes. CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGRÍCOLA iii TABLA DE CONTENIDO PRESENTACIÓN ________________________________________________________ ii TABLA DE CONTENIDO _________________________________________________ iv UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS _____________________________________ 1 Conjuntos Numéricos __________________________________________________________ 1 Números Naturales ( ). _____________________________________________________________ 1 Números Enteros ( )._______________________________________________________________ 1 Números Racionales ( ). ____________________________________________________________ 2 Números Irracionales ( ). ___________________________________________________________ 3 Números Reales ( ). _______________________________________________________________ 4 Propiedades en la adición y multiplicación en los conjuntos Numéricos . _______ 5 Recta Real.___________________________________________________________________ 6 Orden en el conjunto R. ________________________________________________________ 7 Intervalos Reales ______________________________________________________________ 8 Operaciones con Intervalos Reales _______________________________________________ 9 Unión ____________________________________________________________________________ 9 Intersección_______________________________________________________________________ 9 Diferencia _______________________________________________________________________ 10 Complemento ____________________________________________________________________ 10 Potenciación en el conjunto de los números reales. _______________________________ 10 Propiedades de la potenciación en . ____________________________________________ 11 1. Multiplicación de potencias de igual base. ____________________________________________ 11 2. División de potencias de igual base. _________________________________________________ 11 3. Potencia de un producto. __________________________________________________________ 11 4. Potencia de un cociente. ___________________________________________________________ 11 5. Potencia con exponente cero. _______________________________________________________ 12 6. Potencias con exponentes enteros negativos. ___________________________________________ 12 7. Potencia de una potencia. __________________________________________________________ 12 Radicación en el conjunto de los números reales. _________________________________ 13 Potencias con exponente fraccionarios y radicales. _________________________________ 13 Propiedades de la radicación. ___________________________________________________ 14 1. Raiz de un producto. _____________________________________________________________ 14 2. Raíz de un cociente. ______________________________________________________________ 14 3. Raíz de una raíz. _________________________________________________________________ 14 Racionalización ______________________________________________________________ 15 UNIDAD II POLINOMIOS Y OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS ______________________________________________________________________ 29 Polinomios __________________________________________________________________ 29 Elementos de un polinomio. _________________________________________________________ 29 Término ____________________________________________________________________ 29 Grado del polinomio: 5 _____________________________________________________________ 29 Polinomios Especiales. ________________________________________________________ 30 iv Polinomio nulo: ___________________________________________________________________ 30 Polinomio Constante: _______________________________________________________________ 30 Valor Numérico de un polinomio. _______________________________________________ 30 Términos Semejantes. _________________________________________________________ 31 Polinomios en dos o más variables: ______________________________________________ 31 Operaciones con polinomios. ___________________________________________________ 32 Adición de polinomios. _____________________________________________________________ 32 Adición de polinomios en dos o más variables. ___________________________________________ 32 Sustracción de polinomios. __________________________________________________________ 32 Multiplicación de polinomios. __________________________________________________ 33 Multiplicación de dos monomios: _____________________________________________________ 33 Multiplicación de un monomio por un polinomio. ________________________________________ 33 Multiplicación de dos polinomios. _____________________________________________________ 33 División de polinomios. ________________________________________________________ 34 División de dos monomios. __________________________________________________________ 34 División de un polinomio entre un monomio. ____________________________________________ 34 División de dos polinomios. _________________________________________________________ 34 Raíz o cero de un polinomio ____________________________________________________ 35 Productos Notables. __________________________________________________________ 36 Cuadrado de un binomio. ____________________________________________________________ 36 Cubo de un binomio. _______________________________________________________________ 36 Producto de una suma de dos términos por su diferencia (binomios conjugados) _________________ 36 Producto de dos binomios que tienen un término en común. _________________________________ 37 Binomio de Newton. _______________________________________________________________ 37 Factorización. _______________________________________________________________ 37 Factor común. ____________________________________________________________________ 37 Factorización por agrupación de términos _______________________________________________ 38 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto __________________________________________ 38 Factorización de una diferencia de cuadrados ____________________________________________ 39 Factorización de un trinomio del tipo ax2 + bx + c ________________________________________ 39 Factorización de un polinomio que es un cubo perfecto. ____________________________________ 41 Regla de Ruffini para factorizar polinomios. _____________________________________________ 42 Máximo Común Divisor de Polinomios. __________________________________________ 43 Mínimo Común Múltiplo de Polinomios.__________________________________________ 44 Operaciones con Fracciones Algebraicas _________________________________________ 45 Adición. _________________________________________________________________________ 45 Multiplicación. ______________________________________________________________ 45 División.____________________________________________________________________ 45 Simplificación de Fracciones Algebraicas _________________________________________ 46 Fracciones Algebraicas Irreducibles._____________________________________________ 46 Ejercicios Propuestos. Unidad II ________________________________________________ 46 UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ________________________________________________________ 52 Ecuaciones de Primer Grado.___________________________________________________ 52 v Ecuación de Segundo Grado ___________________________________________________ 53 1. Método de Factorización. __________________________________________________________ 53 2. Método de la Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado o de la Resolvente. __________ 53 Discriminante de la Ecuación de Segundo Grado: _________________________________________ 55 Aplicaciones de la ecuación de segundo grado._____________________________________ 55 Ecuaciones con Radicales: _____________________________________________________ 56 Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas y aplicaciones __________________ 57 Método de sustitución ______________________________________________________________ 58 Método de igualación _______________________________________________________________ 58 Método de reducción _______________________________________________________________ 59 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas ________ 60 Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas ______________________________ 63 Inecuaciones lineales y no lineales ______________________________________________ 64 Sistemas de Inecuaciones en una variable_________________________________________ 67 Valor absoluto de un número real._______________________________________________ 68 EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD III _________________________________ 69 UNIDAD IV: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS _______________________________________________________ 82 Ángulos ____________________________________________________________________ 82 Medida en grados __________________________________________________________________ 82 Medida en radianes ________________________________________________________________ 83 Ángulos Notables. ____________________________________________________________ 84 Razones Trigonométricas ______________________________________________________ 84 Signos de las razones trigonométricas. ___________________________________________ 86 Razones trigonométricas de los ángulos notables.___________________________________ 86 Reducciones de ángulos al primer cuadrante. ______________________________________ 86 Triángulos y aplicaciones. _____________________________________________________ 88 Identidades Trigonométricas ___________________________________________________ 91 Identidades Fundamentales __________________________________________________________ 91 Sumas y restas de senos y cosenos _____________________________________________________ 92 Sumas y restas de ángulos ___________________________________________________________ 93 Ángulo doble _____________________________________________________________________ 94 Ángulo medio ____________________________________________________________________ 94 Teorema del Seno ____________________________________________________________ 95 Teorema del Coseno __________________________________________________________ 96 Funciones trigonométricas inversas _____________________________________________ 96 Ecuaciones trigonométricas. ___________________________________________________ 99 Logaritmos_________________________________________________________________ 101 Exponenciales. _____________________________________________________________ 104 Ecuaciones exponenciales ____________________________________________________ 104 vi Ejercicios Propuestos Unidad IV __________________________________________ 105 UNIDAD V: MATRICES Y DETERMINANTES ____________________________ 116 Matrices. Definición: ________________________________________________________ 116 Matrices Especiales: _________________________________________________________ 117 Igualdad de Matrices ________________________________________________________ 117 Algebra de matrices__________________________________________________________ 118 Suma de Matrices _________________________________________________________________ 118 Multiplicación por un escalar ________________________________________________________ 119 Resta de Matrices _________________________________________________________________ 120 Multiplicación de Matrices _________________________________________________________ 120 Matriz Traspuesta: __________________________________________________________ 124 Determinantes. Definición ____________________________________________________ 124 Matriz Adjunta. Definición ____________________________________________________ 126 Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones _____________________________ 127 Resolución de un determinante de tercer orden: _________________________________________ 128 Ejercicios Propuestos. Unidad V___________________________________________ 130 BIBLIOGRAFÍA _______________________________________________________ 132 vii UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjuntos Numéricos Números Naturales ( ). Los números naturales sirven para contar. El conjunto de los números naturales se denota con la letra y sus elementos son: es decir Su representación en la semi-recta es: La imposibilidad de resolver en sustracciones cuando el minuendo es menor que el sustraendo, plantea la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales. Se observa que, la ecuación: no siempre tiene solución en . Por ejemplo: no tiene solución en . Números Enteros ( ). Los números enteros sirven, por ejemplo, para expresar temperaturas por debajo de cero y además, la ecuación , siempre tiene solución en los números enteros. El conjunto de los números enteros se denota con la letra es decir: 1 y sus elementos son: Observa que para cada número entero existe el número números y – son llamados opuestos. , llamado entero negativo. Los Su representación en la recta es: La imposibilidad de resolver en divisiones cuando el dividendo no es múltiplo del divisor, plantea la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros. Se observa que la ecuación: , con diferente de cero, no siempre tiene solución en . Por ejemplo: no tiene solución en Números Racionales ( ). Los números racionales sirven para expresar “partes” de la unidad y, además, la ecuación: , con diferente de cero, siempre tiene solución en los números racionales. El conjunto de los números racionales se denota con la letra y sus elementos tienen la forma , siendo y números enteros, con diferente de cero. Es decir: Se observa que para cada número entero llamado inverso de diferente de cero, existe el número . Su representación en la recta es: Los números racionales pueden ser representados tanto por fracciones como por decimales. 2 , Para convertir fracciones a decimales basta con efectuar la división del numerador entero entre el denominador. Cuando la división es exacta, estos números decimales reciben el nombre de números decimales limitados. Cuando la división no es exacta obtendremos un número infinito de cifras decimales, donde una cifra o un grupo de cifras se repiten indefinidamente y en el mismo orden, estos decimales reciben el nombre de números decimales periódicos. Así, todo número racional puede escribirse como un decimal limitado o un decimal periódico. Por ejemplo: ½ = 0,5 ; 1 /4 = 0,25 1 /3 = 0,3333333… = 0, 3 ; ; 7 /8 = 0,875 ; 11 /10000 = 0,00011 2 /7 = 0,285714285714285714… = 0, 285714 Números Irracionales ( ). Analicemos las siguientes situaciones que se han presentado en el estudio de la matemática: a) Existencia de decimales no limitado y no periódicos, por ejemplo: 0, 2121112 . . . , 5, 2468105 . . . , -4, 1357911 . . . b) Existencia de segmentos con longitudes tales como: c) Las ecuaciones de la forma ejemplo: , no siempre tienen solución en . Por , admite como una solución, Lo anterior revela la insuficiencia de los números racionales, planteando la necesidad de ampliar el campo numérico introduciendo nuevos números que llamaremos Números Irracionales. Números escritos tales como los escritos en las situaciones a) y b) son números irracionales. “ Un número irracional es un número con la presentación decimal ilimitada no periódica. ” Con el mismo argumento también puede decirse que un número irracional es un número que no puede expresarse como cociente de dos números enteros, es decir, no es racional. Al conjunto de los números irracionales se denota por . Su representación en la recta es: 3 Ejemplos de números irracionales: a) Las raíces cuadradas de números primos: b) Las raíces cuadradas de números enteros positivos que no sean cuadrados perfectos: Recuerda: Un número entero es un cuadrado perfecto si existe un entero tal que c) El número d) El número Números Reales ( ). El conjunto de números reales es la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de números irracionales. Se denota por al conjunto de números reales, así que: Es de observar que la intersección entre los conjuntos y racional es irracional y ningún número irracional es racional. Luego, sí , entonces: o es vacío. Es decir, ningún número , pero no a ambos. Como el conjunto de los números irracionales es representado por los decimales ilimitados no periódicos y los racionales por los decimales limitados o periódicos; entonces el conjunto de los números reales es el conjunto de los números que se representan con decimales. 4 Propiedades en la adición y multiplicación en los conjuntos Numéricos Operaciones Propiedades Descripción de la las propiedades La forma de agrupar los sumandos no altera la suma: . Sí Sí Sí La forma de agrupar los factores no altera el producto. Sí Sí Sí El orden de los sumando, no altera la suma: Sí Sí Sí El orden de los factores no altera el producto: Sí Sí Sí Asociativa Conmutativa 5 Existe un elemento e tal que: Existencia Para todo en el conjunto y de elemento Existe un elemento tal que: neutro Existencia de un elemento simétrico Distributiva Para todo el conjunto y Para cada elemento tal que: Sí Sí Sí Sí Sí Sí No Sí Sí No No Sí Sí Sí Sí existe un Para cada elemento diferente de cero, existe tal que: Al multiplicar un número por la adición de otros, se puede multiplicar dicho número por cada uno de los sumandos y luego se suma el producto obtenido: Nótese que cumple con las mismas propiedades tanto para la adición como para el producto que , sin embargo la radicación está definida en los reales, mas no en los racionales. Recta Real. El conjunto de los números reales se representa así: A cada número real le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real. Ahora la recta numérica esta completa y la llamaremos Recta Real. También se dice que la recta real es ordenada; es decir, la posición de cualquier número sobre esta recta se define en base al criterio del valor de dicho número con respecto al resto y en relación al cero. Los números se ordenan desde cero hacia la derecha los números positivos en orden creciente, y desde cero hacia la izquierda los números negativos, en orden creciente de sus valores absolutos. La distancia de cualquier número al cero se denomina valor absoluto, se obtiene tomando el valor numérico positivo del número estudiado y se denota con barras verticales. ( ) 6 Orden en el conjunto R. Un número real derecha de . Si es mayor que otro número y son sí en la recta real se encuentra números . reales, a la decimos que: decimos que: En símbolos: Se observa que si es mayor que entonces, es menor que . Es decir: Si y es mayor o i ual ue a, s y sólo s , son números reales, es mayor ue a o es i ual ue En símbolos: Se observa que si es mayor o igual que entonces es menor o igual que : Propiedades de las desigualdades. 1) Dados dos números reales y , una sola de las siguientes posibilidades se cumple: Esta propiedad reci e el nom re de “Tricotom a”. 2) Dados tres números reales a , Si , se cumple que: y entonces Esta propiedad recibe el nom re de “Transitiva”. Ejemplo: Si y entonces 7 3) Si a los miembros de una desigualdad se le suma o resta un mismo número real, la desigualdad no cambia de sentido. En símbolos: Si y entonces Ejemplo: Si y entonces es decir 4) Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número real positivo, la desigualdad no cambia de sentido. En simbolos: Si y entonces Ejemplo: Si y entonces , es decir 5) Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número real negativo, la desigualdad cambia de sentido. En símbolos: Si y entonces Ejemplo: Si y entonces , es decir Intervalos Reales Un intervalo es un par ordenado que denota todos los números comprendidos en un determinado sector de la recta real. Intervalo Abierto Intervalo Cerrado 8 Intervalo Semiabierto Intervalo No Acotado Operaciones con Intervalos Reales Unión La unión de dos intervalos A y B, es otro intervalo comunes y no comunes entre los intervalos A y B. Ejemplo: Hallar la unión de los intervalos compuesto por todos los elementos y Intersección La intersección de dos intervalos A y B, es otro intervalo elementos comunes a ambos intervalos A y B. Ejemplo: Hallar la intersección de los intervalos 9 y compuesto por todos los Diferencia La Diferencia entre dos intervalos A y B, es otro intervalo elementos de A que no están en B. Ejemplo: Hallar la diferencia compuesto por todos los menos Complemento El complemento de un intervalo A, es otro intervalo de la recta real que no están en el intervalo A. Ejemplo: compuesto por todos los elementos Hallar el complemento del intervalo Potenciación en el conjunto de los números reales. La potenciación es una multiplicación abreviada. Con la notación , queremos indicar un producto de factores iguales a Luego: Si es un número real y un número entero positivo, tenemos: El número o expresión se llama base de la potencia. El número potencia. El número o expresión se llama n-ésima potencia de . 10 se llama exponente de la Propiedades de la potenciación en . 1. Multiplicación de potencias de igual base. Si y , entonces . En efecto: Ejemplos: a) b) 2. División de potencias de igual base. Si , entonces Ejemplos: a) b) 3. Potencia de un producto. Si , entonces . En efecto: Ejemplos: a) b) 4. Potencia de un cociente. Si , entonces . En efecto: 11 Ejemplo: a) b) 5. Potencia con exponente cero. Si es diferente de cero tenemos que: a) b) (por ser el numrador igual al denominador) Igualando a) y b) obtenemos Ejemplos: a) b) 6. Potencias con exponentes enteros negativos. Si , entonces , con Ejemplos: a) b) 7. Potencia de una potencia. Si , entonces . Ejemplos: a) b) 12 diferente de cero. Radicación en el conjunto de los números reales. La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en determinar la base, conocidas la potencia y el exponente. Si es un número real y número tal que El número un entero positivo, entonces la radicación consiste en hallar un reci e el nom re de “ra z n-ésima de a” y se denota: En forma simbólica: donde, se denomina índice se denomina cantidad subradical se denomina signo radical se denomina raíz n-ésima de a Nota: a) Si es un número positivo y un entero, entonces la raíz n-ésima de b) Si es un número negativo y número real. c) Si real. es un número negativo y es un numero real. es número entero impar, entonces la raíz n-ésima de es un entero par, entonces la raiz n-ésima de no es un número Potencias con exponente fraccionarios y radicales. Si y son números enteros con diferente de cero y Ejemplos: a) b) 13 es un un número real, entonces: Propiedades de la radicación. 1. Raiz de un producto. La raíz de un producto es igual al producto de las raices. Ejemplos: 2. Raíz de un cociente. La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces. Ejemplos: a) b) 3. Raíz de una raíz. Para calcular una raíz a una raíz se multiplican los índices y se conserva la cantidad subradical. Ejemplos: a) b) 14 Racionalización Racionalizar una función cuyo denominador es irracional consiste en obtener una equivalente a ella cuyo denominador es racional. Caso a: El denominador de la fracción contiene un monomio bajo el signo radical. Regla: Se multiplican el numerador y denominador de la fracción por un radical del mismo índice del radical que aparece en el denominador y los exponentes de los factores de la nueva cantidad subradical deben ser multiplos del índice. Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso. a) b) Caso b: El denominador de la fracción es un binomio en el cual uno de sus términos contiene raíces cuadradas. Regla: Se multiplican tanto el numerador como el denominador por la expresión conjugada del denominador. Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso. a) b) Caso c: El denominador de la fracción contiene un binomio en el cual uno de los términos contiene raíces cúbicas. Regla: 1. Si el binomio tiene la forma denominador por la expresión entonces se multiplican tanto el numerador como el 2. Si el binomio tiene la forma denominador por la expresión entonces se multiplican tanto el numerador como el . 15 Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso: a) b) EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD I. 1) Coloque el símbolo 0 según corresponde: 3/2 0,1 2,12345… π 4,25 0,167 2) Efectuar las siguientes operaciones: A. F. B. G. C. H. D. I. E. J. 3) Calcular los siguientes productos: A. E. B. F. C. G. D. H. 4) Efectúe aplicando la propiedad distributiva: A. E. B. F. C. G. D. H. 5) Determine en cada caso el cociente (c) y el residuo (r): A. D. B. E. C. F. 16 6) Efectúe aplicando propiedad distributiva para la división: A. E. B. F. C. D. 7) Calcular el mínimo común de: A. B. C. D. E. F. G. 8) Simplifique las siguientes fracciones: A. I. B. J. C. K. D. L. E. M. F. N. G. O. H. 9) Efectuar las siguientes adiciones de fracciones: A. D. B. E. C. F. 17 G. O. H. P. I. Q. J. R. K. S. L. T. M. U. N. 10) Efectuar: A. F. B. G. C. H. D. I. E. 11) Aplique la propiedad distributiva: A. G. B. H. C. I. D. J. E. K. F. L. 18 12) Efectuar: A. D. B. E. C. F. 13) Aplique la propiedad distributiva: A. C. B. Operaciones con intervalos reales. Unión. La unión de dos intervalos A y B, es otro intervalo (A B) compuesto por todos los elementos comunes y no comunes entre los intervalos A y B. Conjunto B [1,3] Conjunto A (2, 4) (A B) Intersección. Conjunto B [1,3] La intersección de dos intervalos A y B, es otro intervalo (A B) compuesto por todos los elementos comunes a ambos intervalos A y B. Conjunto A (2, 4) (A B) 19 La Diferencia entre dos intervalos A y B, es otro intervalo (A - B) compuesto por todos los elementos de A que no están en B. Diferencia. Conjunto B [1,3] Conjunto A (2, 4) (A - B) Complemento. El complemento de un intervalo A, es otro intervalo (AC) compuesto por todos los elementos de la recta real que no están en el intervalo A. Conjunto A (2, 4) (AC) 14) Dados los siguientes intervalos reales, se pide hallar: AB, AC, BC, AB, AC, BC, A-B, BA, A-C, C-A, B-C, C-B, AC, BC, CC, BC-CC, CC-B, B-AC, ACBC, ACCC, (CC-B)(AC-C), (C-BC)(A-BC): 20 15) Efectuar: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. O. P. 21 Q. R. S. 16) Dado los números racionales: Determine aproximaciones, de defecto y por exceso, con error máximo de una milésima de: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. 17) Calcular las siguientes potencias, utilizando las propiedades: H. A. B. I. C. J. D. K. E. L. F. M. G. 22 N. Q. O. R. P. S. 18) Simplificar las siguientes fracciones y expresar el resultado sin exponentes negativos: A. I. B. J. C. K. D. L. E. M. F. N. G. O. H. 19) Resolver aplicando las propiedades: A. B. J. C. K. D. E. L. F. M. G. N. H. O. I. P. 23 R. Q. 20) Resolver: A. C. B. D. 21) Escribir cada una de las siguientes expresiones según su radical equivalente: A. B. C. D. E. F. G. H. 22) Transformar cada uno de los siguientes radicales en su potencia correspondiente: A. D. B. E. C. F. G. H. I. 23) Simplificar las siguientes expresiones. A. E. B. F. C. G. D. H. I. 24 24) Resolver: A. F. B. G. C. H. D. E. 25) Efectúe las siguientes operaciones con radicales de diferentes índices: A. B. C. D. E. F. G. H. 26) Introducir en la cantidad subradical. A. F. B. G. C. H. D. I. E. 27) Extraiga los factores de los siguientes radicales. A. D. B. E. C. F. 25 28) Efectuar y simplificar. A. E. B. F. C. D. 29) Simplifique las siguientes expresiones. A. B. M. C. N. O. D. P. E. Q. F. R. G. H. I. J. K. L. 26 30) Efectuar. A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. 31) Racionalice. A. J. B. K. L. C. M. D. N. E. O. F. P. G. Q. H. I. 27 32) Racionalice (Denominador) A. O. B. P. C. Q. D. R. E. S. T. F. G. H. U. I. V. J. W. K. L. X. M. N. 33) Simplificar y racionalizar el denominador (cuando sea necesario) A. D. B. E. C. F. 28 UNIDAD II POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES CON Polinomios Se denomina polinomio en una variable x a una expresión algebraica de la forma siguiente: anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 siendo n un número natural. Elementos de un polinomio. a) Los números an, an-1, . . . a2, a1, a0 se denominan coeficientes del polinomio. b) En un polinomio, cada sumando se denomina término del polinomio. c) Se denomina grado del i-ésimo término de un polinomio, al exponente de la potencia de x de ese término. d) El término de grado cero se denomina término independiente. e) Se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de las potencias de x con coeficientes no nulo. Ejemplo: P(x) = 6x5 + 3x4 – 2x3 + x2 – x + 4 Término Coeficiente Grado 6x5 6 5 3x4 3 4 3 -2x -2 3 x2 1 2 -x -1 1 4 4 0 Grado del polinomio: 5 29 Polinomios Especiales. Polinomio nulo: Es un polinomio que tiene sus coeficientes nulos. Este polinomio carece de grado y se designa con el número cero. P(x) = 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 0 coeficientes: 0, 0, 0, 0,0 variable: x término independiente: 0 Polinomio Constante: Es un polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos excepto el del término independiente. Cualquier número no nulo es un ejemplo de polinomio constante. Ejemplos: a) P(x) = 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 P(x) = 1 b) P(y) = 0y4 + 0y3 + 0y2 + 0y - ½ P(y) = - ½ Monomio: Es un polinomio de un solo término con coeficiente no nulo. ( 3x3 , -½a) Binomio: Es un polinomio de dos términos con coeficientes no nulos. ( a + b , 6x2 – 3x ) Trinomio: Es un polinomio de tres términos con coeficientes no nulos. ( x2 – 3x – 9 , -7y3 + 2y -7/8 ) Valor Numérico de un polinomio. Al sustituir en: P(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 la variable x por un número racional fijo q, obtendremos el valor numérico del polinomio p(x) cuando x “vale” Ejemplo: Sea P(x) = x3 + 2x2 +3x – 1 Hallemos el valor numérico para x = -1 P(-1) = (-1)3 + 2(-1)2 + 3(-1) - 1 = -1 + 2 – 3 – 1 = -3 30 Términos Semejantes. Se denomina términos semejantes en polinomios de una misma variable, a aquellos términos que tienen igual grado. En los polinomios: P(x) = 5x3 - 4x2 + 7x - 10 Q(x) = 7x3 + 8x2 – 15 Los términos semejantes son: 5x3 y 7x3 -4x2 y 8x2 7x y 0x -10 y -15 Polinomios en dos o más variables: Un término de un polinomio, en dos o más variables, es un producto de un número y de las potencias de las variables. El número se denomina coeficiente y el producto de potencias se denomina parte literal. El grado de un término es dado por la suma de los exponentes de las variables. Los términos semejantes en un polinomio de dos o más variables son aquellos que tienen igual parte literal (iguales las variables e iguales sus exponentes). Ejemplo: En los polinomios 5x3 – 3x2y + 0,5xy2 – y4 y 4 2 2x + 5x y – 2/3xy2 + 5y4 los términos semejantes son: -3x2y y 5x2y 0,5xy2 y -2/3xy2 -y4 y 5y4 Observa que –3x2y y -2/3xy2 no son términos semejantes. 31 Operaciones con polinomios. Adición de polinomios. La suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio S(x) que se obtiene sumando los coeficientes de los términos semejantes de los polinomios dados. El polinomio suma S(x) es denotado por P(x) + Q(x). Los polinomios P(x) y Q(x) se denominan sumandos. Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = 3x7 – 4x6 + x – 2x3 + 1 y Q(x) = 2x2 + 4x3 – 3 + 2x6 – 5x7 + x8 Procedimiento: 1. Ordenamos los polinomios en forma decreciente ( también se pueden ordenar en forma creciente) P(x) = 3x7 –4x6 – 2x3 + x + 1 Q(x) = x8 – 5x7 + 2x6 + 4x3 + 2x2 – 3 2. Se colocan los polinomios uno debajo del otro de forma tal que los términos semejantes queden en una misma columna (si es necesario se completa con ceros) 0x8 + 3x7 – 4x6 – 2x3 + 0x2 + x + 1 x8 – 5x7 + 2x6 + 4x3 + 2x2 + 0x – 3 3. Se suman los coeficientes de los términos semejantes: P(x) + Q(x) = x8 – 2x7 – 2x6 + 2x3 + 2x2 + x - 2 Adición de polinomios en dos o más variables. La suma de polinomios en dos o más variables se obtiene en forma similar a los de una variable, reduciendo los términos semejantes de los polinomios dados, así: 2x3 + 5x2y – 7xy2 – y3 -7x3 + 4x2y -5x3 + 9x2y – 7xy2 – y3 Sustracción de polinomios. La diferencia de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio que se obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x), es decir: 32 P(x) – Q(x) = P(x) + [-Q(x)] Ejemplo: Si P(x) = 5x4 + 8x3 + 3x – 7 Q(x) = 3x3 + 4x2 – 3x + 9 P(x) – Q(x) será: P(x) = 5x4 + 8x3 + 0x2 + 3x – 7 - Q(x) = 0x4 - 3x3 - 4x2 + 3x – 9 P(x) – Q(x) = 5x4 + 5x3 – 4x2 + 6x – 16 Multiplicación de polinomios. Para facilitar la comprensión de la multiplicación de polinomios consideremos tres casos: Multiplicación de dos monomios: El producto de dos monomios es otro monomio tal que: a) Su coeficiente es el producto de dos coeficientes. b) La variable tiene un exponente igual a la suma de exponentes. (3x6).(-8x3) = [3.(-8)] . (x6 .x3) = -24x9 Multiplicación de un monomio por un polinomio. El producto de un monomio por un polinomio se obtiene multiplicando el monomio por cada término del polinomio. Recordemos que la multiplicación es distributiva respecto a la adición; dicha propiedad la aplicaremos en este caso. Sean P(x) = -2x3 y Q(x) = 4x2 - 5x + 3 P(x) . Q(x) = (-2x3).(4x2 - 5x + 3) = (-2x3 ) . (4x2) + (-2x3) . (-5x) + (-2x3 ) . (3) P(x) . Q(x) = -8x5 + 10x4 - 6x3 Multiplicación de dos polinomios. Para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva. El producto de dos polinomios no nulos, P(x) y Q(x) se obtiene multiplicando cada término de Q(x) por el polinomio P(x) efectuando la suma de los polinomios 33 obtenidos. El grado del producto es la suma de los grados de los factores. P(x) . Q(x) = 3x2 + 4x - 5 P(x) . Q(x) = 3x - 4 -12x2 - 16x + 20 9x3 + 12x2 - 15x P(x) . Q(x) = 9x3 - 31x + 20 División de polinomios. Para facilitar la comprensión de la división de polinomios consideremos tres casos: División de dos monomios. Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y luego se dividen las variables aplicando el cociente de potencias de igual base. 10x 6 10 6 2 x 2x 4 2 5x 5 División de un polinomio entre un monomio. Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Es decir, se aplica la propiedad distributiva de la adición respecto a la división. 17 x 3 8x 2 6x 17 x 3 8x 2 6x 17 2 x 4x 3 2x 2x 2x 2x 2 División de dos polinomios. Para hallar el cociente entre dos polinomios seguimos el siguiente procedimiento: 1) Se completa el polinomio dividendo y se ordena en forma decreciente 2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. 3) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta este producto del dividendo. Recuerda que para restar debes sumar el opuesto. 4) Consideramos la diferencia obtenida como un nuevo dividendo y repetimos los pasos 2) y 3) para obtener el segundo término del cociente. 34 5) Repetimos el proceso hasta que el resto o residuo sea el polinomio nulo o un polinomio de menor grado que el divisor. DIVIDENDO RESÍDUO COCIENTE DIVISOR DIVISOR Ejemplo: Sean P(x) = 5x3 + x – 8 Q(x) = x – 3 y Hallemos el cociente P(x) / Q(x) 5x3 + 0x2 + x – 8 x – 3 -5x3 + 15x2 5x2 + 15x + 46 15x2 + x - 8 -15x2 + 45x 46x - 8 -46x + 138 130 P x Q x 5 x 2 15 x 46 130 x3 NOTA Es importante mencionar que si el residuo es el polinomio nulo, se dice que la división es exacta. Se dice un polinomio P(x) es divisible por otro Q(x) si la división de P(x) / Q(x) es exacta, o sea si existe otro polinomio C(x) tal que: P(x) = Q(x) . C(x) Otra forma de expresar esta propiedad es diciendo que P(x) es un múltiplo de Q(x), o que Q(x) es un divisor de P(x). Un polinomio se dice que es primo si no admite otros divisores que sí mismo y las constantes. Raíz o cero de un polinomio Una raíz o cero de un polinomio P(x) es un valor particular de la variable para el cual el valor numérico del polinomio es cero. 35 Un cero o raíz del polinomio: P(x) = 3 + x es x = -3, ya que: P(x) = 3 + (-3) = 0 Productos Notables. Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Veamos algunos de ellos: Cuadrado de un binomio. El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. (a b)2 = a2 2ab + b2 Ejemplos: a) (x + 5)2 = x2 + 2x.5 + 52 = x2 + 10x + 25 b) (x - 3)2 = x2 – 2.x.3 + 32 = x2 – 6x + 9 Cubo de un binomio. El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 Ejemplos: a) (x + 2)3 = x3+ 3x22 + 3x(2)2 + (2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 b) (y – 5)3 = y3 – 3y25 + 3y52 – (5)3 = y3 – 15y2 + 75y – 125 Producto de una suma de dos términos por su diferencia (binomios conjugados) El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. (a + b).(a – b) = a2 – b2 36 Ejemplos: a) (x + 6).(x – 6) = x2 – 62 = x2 – 36 b) (y2 – 3/2).(y2 + 3/2) = (y2)2 – (3/2) = y4 – 9/4 Producto de dos binomios que tienen un término en común. El producto de dos binomios que tienen un término en común es igual al cuadrado del término en común más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los términos no comunes. (a + b).(a + c) = a2 + (b + c).a + b.c Ejemplos: a) (x + 4).(x + 3) = x2 + (4 + 3).x + 4.3 = x2 + 7x + 12 b) (x + 7).(x - 2) = x2 + (7 – 2).x + 7.(-2) = x2 + 5x - 14 Binomio de Newton. Es el desarrollo del binomio (a + b)n. a b n n n n 2 n 2 n n 1 n a n a n 1b a n 2 b2 ... a b ab b 1 2 n 2 n 1 NOTA: los números combinatorios se resuelven según n n! m n m !m! Ejemplo: n! n. n 1 . n 2 ...2.1 y (x + 3)5 = x5 + 5x43 + 10x332 + 10x233 + 5x34 + 35 (x + 3)5 = x5 + 15x4 + 90x3 + 270x2 + 405x + 243 Factorización. Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de factores primos. A continuación estudiaremos algunos casos de factorización. Factor común. Este caso tiene la forma a.m + a.n + a.p = a.(m + n + p) Consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la 37 adición. 6ax3 + 9a2x2 – 18a3x Ejemplo: Factorizar Observe que cada coeficiente es divisible por 3 y la parte literal es divisible por ax. Luego el factor común es 3ax y factorizamos así: 6ax3 + 9a2x2 – 18a3x = 3ax(2x2 + 3ax – 6a2) Factorización por agrupación de términos Las propiedades asociativas de la adición conjuntamente con la propiedad distributiva, permiten factorizar un polinomio por agrupación de sus términos. Ejemplos: a) mx + ny + my + nx = (mx + my) + (nx + ny) = m(x + y) + n(x + y) = (x + y)(m + n) b) y2 – x2 + y –x2y = (y2 + y) – (x2y + x2) = y( y+ 1) – x2( y + 1) = (y + 1)(y - x2) Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Un polinomio de la forma a2 ± 2ab + b2 perfecto, y su factorización es se denomina trinomio cuadrado (a ± b)2 En un trinomio de esta forma se cumple: a) Dos de sus términos son cuadrados perfectos (positivos). b) El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab, ( que puede ser positivo o negativo ). Ejemplo: Factoricemos: a) x2 + 10x + 25 Dos de sus términos son cuadrados perfectos ( positivos ). x2 es el cuadrado de x. 25 es el cuadrado de 5. El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab. 10x = 2.x.5 Por lo que se trata del cuadrado de una suma, luego x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 b) 16x4 - 8x2y3 + y6 Dos de sus términos son cuadrados perfectos ( positivos ). 38 16x4 es el cuadrado de 4x2. y6 es el cuadrado de y3. El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab. -8x2y3 = -2.(4x2).(y3) Por lo que se trata del cuadrado de una diferencia, luego 16x4 - 8x2y3 + y6 = (4x2 - y3)2 Factorización de una diferencia de cuadrados Este caso tiene la forma: (a2 - b2) = (a + b).(a – b) El binomio a 2 – b2 es una diferencia de cuadrados de dos monomios a y b. Es factorizable en dos factores, la suma (a + b) y la diferencia (a – b). Ejemplos: Factorizar a) X2 – 9 = (x + 3).(x – 3) b) 25x4 – 81y2 = (5x2 + 9y).(5x2 – 9y) Factorización de un trinomio del tipo ax2 + bx + c Solamente trataremos el caso de trinomios que provienen del producto de dos binomios con un término común, esto es: ax2 + bx + c = (px + m).(px + n) Analizaremos dos casos: 1. Cuando a = 1 Sí a = 1 entonces: p = 1, y así: x2 + bx + c = (x + m).(x – n) = x2 + (m + n).x + m.n Luego: 1) El término común x de cada binomio es la raíz cuadrada del primero. 2) Los segundos términos: m y n, son dos números tales que sumados dan b y multiplicados dan c, es decir: m + n = b y m.n = c Los números m y n los determinamos mediante los divisores de c. 3) De las relaciones: b = m + n 39 y c = m.n, se tiene: a) Si c es positivo, entonces m y n tienen el mismo signo que b (ambos positivos o ambos negativos) b) Si c es negativo, entonces m y n tienen diferentes signos. El divisor de Ejemplo: c (m ó n) de mayor valor absoluto tiene el signo de b. Factorizar: X2 + 5x + 4 Debemos hallar dos números tales que su producto sea 5 y su suma sea 4 X2 + 5x + 4 = (x )(x escribimos x (raíz Cuadrada x2) ) en cada factor = (x + )(x + ) Como el producto 4 es positivo, los números buscados tienen el mismo signo. Como la suma 5 es positiva los números buscados son positivos. Seleccionamos entre divisores de 4 al 1 y al 4, Ya que: 1 + 4 = 5 y 1.4 = 4 = (x + 4).(x + 1) los números buscados son 4 y 1 2. Cuando a es un cuadrado perfecto. Este caso tiene la forma: ax2 + bx + c = (px + m).(px + n) = p2x2 + [(m + n).p] x + m.n Luego el término común px de cada binomio es la raíz cuadrada del primer término ax2 del trinomio. Para factorizar un trinomio de este tipo, se procede en la forma siguiente: 1) Se descompone el coeficiente b de x en un producto tal que uno de sus factores sea la raíz cuadrada de a. Sea b = dp, 2) Se forma el trinomio: donde p = a ax2 + d.(px) + c 3) Se procede como en el caso anterior, buscamos entre los divisores de c, dos números cuya suma sea d. 40 Ejemplo: Factorizar: 4x2 – 16x – 20 como la raíz de 4 es 2, descomponemos: -16 = (-8).2, luego: 4x2 – 16x – 20 = 4x2 – 8.(2x) – 20 Debemos hallar dos números tales que su producto sea 4x2 – 16x – 20 = (2x ).(2x ) escribimos –20 y su suma –8 2x (raíz cuadrada de 4x2) en cada factor. = (2x + ).(2x - ) como el producto -20 es negativo, los números buscados tienen diferente signo. Como la suma -8 es negativa, el número de mayor valor absoluto es negativo. = (2x + 2).(2x - 10) Los números buscados son: Factorización de un polinomio que es un cubo perfecto. Este caso tiene la forma: a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3 y se cumple que: a) Tiene cuatro términos. b) El primer término a3 es el cubo de a. c) El cuarto término b3 es el cubo de b. d) El segundo término 3a2b es el triple de a2 por b e) El tercer término 3ab2 es el triple de a por b2. Ejemplo: X3 + 6x2 + 12x + 8 Factorizar Observemos que dicho polinomio: a) Tiene cuatro términos. b) El primer término x3 es el cubo de x. c) El cuarto término 8 es el cubo de 2. d) El segundo término 6x2 = 3x2.2 e) El tercer término 12x = 3.x.22. Y como los términos son positivos, es el cubo de la suma: X3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3 41 -10 y 2 Regla de Ruffini para factorizar polinomios. Para factorizar un polinomio p(x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0, utilizando la regla de Ruffini seguiremos los siguientes pasos: a) Hallaremos los divisores positivos y negativos del término independiente a 0. b) En caso de que la raíz sea fraccionaria, el numerador es divisor del término independiente y el denominador es divisor del coeficiente del término de mayor grado. c) Llamaremos a los divisores enteros y fraccionarios hallados en a) y b). d) Se va probando por división sintética por (x – ). e) Si el residuo es cero entonces es raíz del polinomio. f) Luego, se escribe el polinomio p(x) como producto de factores (x – ). Ejemplo: Factorizar los siguientes polinomios a) p(x) = x4 – 5x2 + 4 Calculemos los divisores de 4: 1, 2, 4 1 0 -5 0 4 1 1 1 -4 -4 1 1 -4 -4 0 -1 -1 0 4 1 0 -4 0 2 2 4 1 2 0 -2 -2 1 0 Así, las raíces del polinomio son: 1, -1, 2, -2. Luego p(x) = (x - 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2) b) q(x) = 15x4 + 26x3 – 17x2 – 20x - 4 Los divisores de 4 son: 1, 2, 4 Los divisores de 15 son: 1, 3, 5, 15 42 15 26 -17 -20 1 15 41 15 41 24 -2 -4 24 4 4 0 -30 -22 -4 15 11 2 -2/5 -6 15 5 -1/3 0 -2 0 -5 15 0 Así, las raíces del polinomio son: 1, -2, -2/5, -1/3. Luego q(x) = 15.(x - 1).(x + 2) .(x + 2/5).(x + 1/3) q(x) = (x - 1).(x + 2) .(5x + 2).(3x + 1) Máximo Común Divisor de Polinomios. El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que esta contenida exactamente en cada una de ellas. Ejemplo: a) El M.C.D. de 10a2b y 20a3 es 10a2 b) El M.C.D. de 8a3n2, 24an3 y 40a3n4p es 8an2 Al hallar el M.C.D. de dos o más polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorizarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el primer caso se halla el M.C.D. factorizando los polinomios dados; en el segundo caso se halla el M.C.D. por divisiones sucesivas. M.C.D. por descomposición de factores. Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El M.C.D. es el producto de los factores comunes con su menor exponente. Ejemplos: Hallar el M.C.D. de a) 4a2 + 4ab y 2a4 – 2a2b2 Factorizando las expresiones: 4a2 + 4ab = 4a(a + b) 43 2a4 – 2a2b2 = 2a2(a2 – b2) = 2a2(a + b)(a – b) Los factores comunes son: 2, a y (a + b), luego: M.C.D. = 2a(a + b) b) x2 – 4, x2 – x – 6 x2 + 4x y Factorizando las expresiones: x2 – 4 = (x + 2).(x - 2) x2 – x – 6 = (x + 2).(x – 3) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 El factor común es (x + 2 ) y se toma con su menor exponente, luego: M.C.D. = (x + 2) Mínimo Común Múltiplo de Polinomios. El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Ejemplos: a) El m.c m. de 4a y 6a 2 3 es 12a b) El m.c.m. de 2x , 6x y 9x4 es 18x4 El m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas, es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo: a) Hallar el m.c.m. de 4ax2 – 8axy + 4ay2 y 6b2x – 6b2y Descomponiendo: 4ax2 – 8axy + 4ay2 = 4a(x2 – 2xy + y2) = 22a(x – y)2 6b2x – 6b2y = 6b2(x – y) = 2.3b2(x - y) m.c.m. = 22.3.a(x – y)2 = 12ab2(x – y)2 b) Hallar el m.c.m. de x3 + 2bx2, x3y - 4b2xy, x2y2 + 4bxy2 + 4b2y2 Descomponiendo: x3 + 2bx2 = x2(x + 2b) x3y - 4b2xy = xy(x2 - 4b2) = xy(x + 2b)(x - 2b) x2y2 + 4bxy2 + 4b2y2 = y2(x2 + 4bx + 4b2) = y2 (x + 2b)2 m.c.m. = x2y2(x + 2b)2(x – 2b) 44 Operaciones con Fracciones Algebraicas Adición. Para sumar dos o más fracciones algebraicas, esta se reduce al común denominador. Ejemplo: Sumar; 2x 1 4 5x 2 2 x 2x x 2 x 4 a) Hallamos el m.c.m. de los denominadores; x2 + 2x = x(x + 2) x2 – 4 = (x + 2)(x – 2) x – 2 = x – 2 m.c.m. = x(x + 2)(x – 2) Denominador común b) Factorizando los denominadores y dividimos el m.c.m. entre el denominador de cada fracción y multiplicamos cada cociente por el correspondiente numerador 5x 2x 1 4 (x 2)(2x 1) (4)x(x 2) 5x.x = x(x 2) x 2 (x 2)(x 2) x(x 2)(x 2) 2x 2 x 4x 2 4x 2 8x 5x 2 x(x 2)(x 2) = 3x 2 13x 2 = x(x 2)(x 2) Multiplicación. El producto de dos fracciones algebraicas es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores de las fracciones dadas. 8.x 5 9.y3 23.x 5 .32 y3 23.32 .x 5 .y3 2.3.x 3 6.x 3 . 5.y7 12.x 2 5y7 .3.22 .x 2 5.3.22.x 2 .y 7 5.y 4 5.y 4 División. El cociente de una fracción algebraica entre otra, se obtiene multiplicando la primera por la inversa de la segunda. 24.x 2 .y 5.x 3 .y2 24.x 2 .y 14.z 23.3.x 2 .y.2.7.z 2 48 . 5 5 3 2 5 3 2 14.z 7.z 7.z 5x .y 7.z . 5.x .y 5.x.y.z3 45 Simplificación de Fracciones Algebraicas El proceso de hallar fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador por un mismo polinomio no nulo, se denomina simplificación de fracciones algebraicas. Luego, simplificar una fracción algebraica es dividir numerador y denominador por un divisor común no nulo y diferente de uno. Fracciones Algebraicas Irreducibles. Una fracción algebraica p (x ) q (x ) , se dice, que es irreducible si el máximo común divisor de sus términos es uno. En consecuencia, no se puede simplificar. La fracción 3x 1 5x es irreducible porque M.C.D. (3x – 1 y 5x) = 1 En cambio, la fracción 28x 2 no es irreducible porque M.C.D. (28x2 y 16x3) = 4x2 16x 3 diferente de 1. En consecuencia, se puede simplificar por 4x2 y obtener así una fracción irreducible. Ejercicios Propuestos. Unidad II 1.- Dados los polinomios: p(x,y) = x3 - 3x2y + 2xy2 q(x,y) = x2 - xy - y2 g(x,y) = x4 - x3y + x2y2 + 2x2y - 2xy2 + 2y3 h(x,y) = 2x3a + 1y2b – 3 - 4x3ay2b - 2 - 28x3a – 2y2b + 30x3a – 3y2b + 1 i(x,y) = -xa + 2yb – 1 - 3xayb + 1 + 4xa + 1yb r(a,b) = a2 - 3ab + b2 l(a,b) = -5ab + a2 - b2 k(a,b) = 8ab - b2 - 2a2 w(a,b) = a3 - 4ab2 - 5a2b m(a,b) = 3a5 + 10a3b2 + 64a2b3 - 21a4b + 32ab4 d(x,y,z) = x2 - 4y + 5z f(x,y,z) = -5x2 + 10y - 6z y(x) = 3x5 - x4 - 8x3 - x2 - 3x + 12 s(x) = x4 - x2 + 5 c(x) = -x2 + x + 1 z(x) = 3x3 - x2 + x - 4 j(x) = 4x5 - 2x4 - 3x3 + 4x2 - x - 1 46 2 3 3 x x 3 3 8 t(x) = 3 4 5 3 3 x x x 5 6 4 u(x) = Calcular: p+q, p-q, p+g, q+g, g-q, p.q, p.g, q.g, g/q, h+i, h-i, h.i, h/i, r+l, r+k, r+w, r+m, l+k, l-k, r.l, r.k, r.w, k.w, k.l, m/w, d+f, d-f, d.f, y+c, y+z, y-u, s-z, j-t, s.c, z.t, u.s, y/c, y/s, y/z, j/t, j/u, j/y, j/z, (j-u)+(t-z), (s.z)-(j.c), (u-t).(z-c), (y.c)/(j-z) 2.- Resuelva utilizando la fórmula de productos notables, donde sea posible: a) (10x3 – 9xy5)2 b) (a + b)(a – b)(a2 – b2) b n )(a x b n ) e) (x 6)(x 6) (x 4)(x 4) d) (x g) m + 1 - n2 h) (8x2y + 9m3)3 c) (a 8)(x a 1 9) 2 f) ( 2xy 1)xy (xy 1) x i) z 6 x 3y 3 m) x 2y 2 j) 3 x 5yz 3 x 5yz 2 5 k) (2y - 3x ) a 1 a+3 l) (x a+1 + 5y a+3 )(x - 2ya + 1) 2 2 n) 2x 2 y2 4x 2 y 2 6 3 3 2 x 2 3 x 2 p) 3 y 4 y r) (x + 4y).(x – 4y) + (3x + 2y)2 - (x – 4y)2 a 2 2b3 o) 3 2 a b 3 q) (x + 1) - (x - 1)3.(x + 1).(x – 1) 3.- Hallar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones de polinomios: a) b) c) d) e) f) 12x 3 2 x 2 28x 4 3x 2 2 x 6 x x 4 2x x 1 4 x 6 x 6 x 4 x 4 x 2 4 x 6 x 1 2x 6x 2x 1 10x 21x 19x 15x 6 5x 3x 1 x 3x 9 x 7 x 4 x 3x 2 5 2 3 4 3 2 3 4 5 2 3 4 6 5 4 2 2 2 2 g) x h) 10x 5 i) 4x 7 x3 5 x 2 2 x 6 x 2 x 1 7 5 4 3 3 x 2x 2x 2 x 1 4 30 x4 3x3 6 x2 x 1 2 x 2 2 x 1 47 4.- Hallar el valor de m para que el polinomio p(x) = mx por 3 x 3m sea divisible 2x 1 . 5.- Hallar los valores de m y n para que el polinomio p(x) =3mx5 +nx2+3 sea divisible por ( x2 –1 ). 6.- Factorizar los siguientes polinomios: a ) 30 y 2 y 4 n) x 2 17 x 60 b) (c d ) 2 18(c d ) 65 o) (5 x) 2 13(5 x) 42 c) 14 5n n 2 p ) (2 x) 2 4(2 x) 3 d ) x 2 y 2 xy 12 q ) a 2 21ab 98b 2 e) x 2 ( z 1) 16( z 1) 64( z 1) r ) a 4 a 2 b 2 6b 4 f ) x 2 3 x 18 s ) 5 x 2 13 x 6 g ) 4 x2 8x 3 t ) 4a 2 15a 9 h) 2 p 4 p 3 35 p 2 47 p 15 u ) 20 y 2 y 1 i ) 12 8n n 2 v) 20n 2 9n 20 j ) m 2 12m 11 w) x 4 16 k ) 20 a 2 21a x) 4 x 4 37 x 2 9 l ) x 4 x 3 12 x 2 4 x 16 y ) 2 x 4 x 3 35 x 2 47 x 15 m) 4 x 4 14 x 3 4 x 2 26 x 12 z ) 9 x 4 12 x 3 21x 2 12 x 12 7.- Simplifique las siguientes fracciones: a) p3 2p 2 2p p 2 b) n3 nm2 (n m)2 c) m2n2 3mn 10 4 4mn m2n2 3ab e) 2 2a x 2a3 y 2 6y 9 a3 1 f) g) y2 9 a 4 a3 a 1 x 2 4x 4 i) x2 6ax 3bx 2ay by j) 9x 2 6xy y 2 x 3 x 2 5x 3 m) x 3 3x 2 x 2 7x 10 p) 2 x 9x 20 h) 4a 2 4ab b 2 k) 4a 2 b 2 3x 3 4x 2 17x 6 n) 3x 3 16x 2 23x 6 x 3 6x 2 7x q) x 3 7x 2 x 2 12x 27 x2 9 3x 2 2x x 2 x 2 6x 9 l) 2 x x 6 a 3 ab2 a 2 b b3 o) 3 a 3a 2 b 3ab2 b3 4x 2 8x 4 r) x2 1 48 d) x8 1 s) 2 x 1 8.- Simplifique las siguientes fracciones empleando los métodos de factorización o racionalización según sea el caso: a) x2 2 x ; x 2 x2 4 x 4 b) c) x 2 7 x 10 ; x 5 x 2 25 d) 3 5 x ; x 4 1 5 x e) x3 1 ; x 1 x2 1 f ) 3x 4 2 x 2 6 x 28 ; x 2 3x 3 5 x 1 g) x3 3x 2 9 x 5 ; x 1 x3 x 2 x 1 h) x 1 x2 x 1 ; x 0 x 2x x 3 ; x 3 3 x 6 i) 2 x3 x 2 3 ; x x 0 2 4 x 3x 4 j) x32 ; x 2 x2 k) x4 1 ; x 1 x2 1 l) ax a 2 ; x a x3 x a3 a m) 3x 2 17 x 20 9 ; x x 4 2 4 x 25 x 36 4 n) 6 x2 5x 4 1 3 ; x x 2 4x 4x 3 2 2 p) x3 4 x 2 x 4 3 ; x x 1 2 2x x 3 2 o) 3 4 x3 4 x 2 3x 3 1 ; x x 3 2 18 x 27 x 2 x 3 2 3 9.- Efectúe las operaciones indicadas en cada caso: x 2 12x 36 12x a) x6 x6 b) t 1 t 1 t 1 t 1 d) 2x 5 4x 2x 2 x2 4 x 2 x 2 e) x x2 1 x 2 x2 2 4x 1 x f) 2 2 2 2 x3 x 1 x 1 x x x 9 3x x g) xy2 2 5x 2 3y 3xy 1 1 1 a 2 b2 5y 2y 3 4 4 h) i) 3 2 a a b ab a b ab3 1 2y 2y 1 4y 1 x 5 y3 4x 2 y 2 2x y 1 2 2 j) 2 x 5x 6 x 9 x 2 4x y 3x y l) 2 2 3 3 6x y 5x y x c) 2 3 4 2 p2 p2 p 4 x 2 2x 1 x 4 2x 2 x 3 4x 2 4x k) 2 2 x 1 x 4 x 3x 2 2 x 2 x 4 m) 2 x 2 x x 2 49 y 2y 2 y 2 64 n) y 8 y 8 y 1 a 3 a 2 b ab2 a 2 2ab b 2 o) 2 2 a 2 b2 a ab b a 2 ab b2 a 2 2ab b 2 p) 2 3 3 b ab b a b 2 x 2 5x 6 6x x 25 q) 2 3x 15 x x 30 2x 4 x 2 2x 80 x 2 9x 10 r) 2 2 x 100 x 4x 32 a 2 13a 40 a 2 25 s) 2 2 a 144 a 11a 12 b4 2b3 b 2 t) 2 b 2b 3 x 2 x 2 x 2 4x 4 6xy 4xy u) 2 v) 3 2 x 4 x 16 x x x x b4 b2 2 b 9 w) n2 m2 n 1 n m n 2 m2 2 2x 2 7x 3 3 x) 2 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 3 3 1 z) 2 x 2 x 4 x 2 2 5 x2 4 4 y) 2 2 x 1 1 x x 1 x 3x 2 y2 x 2 a b a b ab ) x y ) xy xy ab ab ab x 4 1 1 1 1 4 2 ) 2 2 2 2 1 ) 1 1 2 z z x 1 x 1 x 1 x xy xy xy xy ) x 2 xy y 2 1 x 2 y2 2x 1 x2 ) 2x 5 2 2x 1 x4 1 ) a 2 b2 a b ) 2 2 a b a b 6x 12 x 1 x2 x 5 11x 22 x4 x2 x7 10.- Resolver las siguientes ecuaciones: a) 3 p 1 p 1 d) 3x 2x 1 3 2 x 2 5x 12 2 x4 5 0 b) 3 e) x 2x 5 3x 6 c) 4 5 3 f) 3x g) 4 50 2x x 7 5 10 4 10x 1 16x 3 4x 6 4 h) 2 x 1 3 x 6 3 5 4 3 o) 5 3 6 1 x 1 x 1 x2 i) x x x 5 2 2 12 6 4 p) 2 6x 2 2 2 3 9x 1 3x 1 j) 3x 2 9x 14 5 4 12x q) 1 k) 8x - 65 = -x2 r) 2 l) 2x + 7x - 4 = 0 4 x 2 x 1 1 z2 z s) p2 7p 6 0 2 m) (x+4) = 2x(5x–1)-7(x–2) n) (x - 2)3 - (x - 3)3 = 37 x2 x2 t) 2 6x 2 2 2 3 9x 1 3x 1 bb) 3 u) 2x 5 2 x 1 3 3 2x 15 2x 6 x 3 8 4x 12 cc) 4 10 x 6 v) 5x 33 x 3 w) 2x 2 x 1 x) dd) 4x 2 15 2x 1 ee) x 4 2 5 ff) x 5 3 7 y) x 2 x 2 2x z) 2x 5 1 x 3 aa) 3 2x 1 6 4x x 1 5 x 7 x 1 2 x 2 gg) x 4 x 1 hh) x 14 x 7 x 1 ii) 51 2 x 1 6 x7 4x 5 2x 3 2x 5 2 2 2 15x 7x 2 12x 7x 10 20x 29x 5 UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ecuaciones de Primer Grado. Sea la expresión ax + b = c La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación de primer grado y la letra x se llama incógnita. Cada una de las expresiones que se encuentran al lado del signo igual se llaman miembros de la ecuación. La expresión que está a la izquierda del signo igual se llama primer miembro y la que está a la derecha se llama segundo miembro. Resolver una ecuación es hallar el número que la convierte en una igualdad numérica. Una solución de la ecuación ax + b = c, es un número que sustituyéndolo por x convierte la ecuación en una igualdad numérica. Problemas Resueltos 1.- Las edades de Julián y José suman 75 años. Si Julián tiene tres años más que José ¿Cuántos años tiene cada uno? Solución: Sea Luego: x = edad de José; entonces la edad de Julián es x + 3, (edad de José) + (edad de Julián) =75 x + (x + 3) = 75 x + x + 3 = 75 2x + 3 = 75 2x = 75 – 3 x = 72/2 x = 36 José tiene 36 años y Julian 39 años 2.- La suma de tres números consecutivos es 24. ¿Cuáles son los números? Solución: Sea w = número menor, W + 1 y w + 2 w + w + 1 + w + 2 = 24 3w = 24 - 3 luego, los otros números son: w + (w + 1) + (w + 2) = 24 3w = 21 3w + 3 = 24 w = 7 Los números consecutivos son: 7, 8 y 9 52 Ecuación de Segundo Grado La ecuación donde a y b son números reales con a 0, ax2 + bx + c = 0, se denomina ecuación de segundo grado de variable x. Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Resolver una ecuación de segundo grado es encontrar los dos valores de la incógnita que la satisfacen. A estos valores se les denomina raíces o ceros de la ecuación. Aún cuando las raíces de una ecuación de segundo grado pueden no pertenecer a , en este texto asumiremos que las raíces son reales. Las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse mediante uno de los siguientes métodos: 1. Método de Factorización. La ecuación ax2 + bx + c = 0. puede resolverse factorizando, según las técnicas estudiadas con anterioridad. Ejemplo: Resolver la ecuación La expresión x2 + 5x + 6 = 0 x2 + 5x + 6 puede escribirse como el producto de dos binomios: (x + 3) y (x + 2); así: x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) = 0 Entonces: (x + 3) = 0 ó x = -3 (x + 2) = 0 ó x = -2 2 Luego, para x + 5x + 6 = 0 las soluciones o raíces son: x1 = -3 y x2 = -2 2. Método de la Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado o de la Resolvente. La fórmula general, o resolvente, para resolver ecuaciones de segundo grado parte de la forma general, ax2 + bx + c, de la ecuación cuadrática, para llegar a una expresión que permite agilizar el proceso de obtener la solución. Considera la ecuación: (a 0) ax2 + bx + c = 0 x2 Si dividimos toda la ecuación por a: b c x 0 a a Pasando el término independiente al segundo miembro: 53 x2 b c x a a A fin de formar un cuadrado perfecto en el primer miembro, sumamos la mitad del coeficiente del segundo término elevado al cuadrado: 2 b c b c b 4ac b b x 2 2 a a 2a a 4a 2a 4a 2 2 x 2 2 La expresión anterior es equivalente a: 2 b b2 4ac x 2a 4a2 Sacando raíz cuadrada a ambos miembros: b b2 4ac x 2a 2a Despejando a x: x b b2 4ac 2a 2a 2 b b 4ac x 2a Finalmente se obtiene: que es la fórmula general, para resolver una ecuación de segundo grado. Ejemplo: Resolver la Ecuación 2x2 9x 7 = 0 usando la fórmula general. Solución: En esta ecuación tenemos: a = 2, b = 9, c = 7 Sustituimos estos valores en la forma original. x 9 9 2 4.2.7 2.2 x 9 81 56 4 9 25 4 x 95 4 x x1 95 4 1 4 4 x2 ^ 95 14 7 4 4 2 es decir, las raíces o soluciones de la ecuación, son: x1 = -1 ^ x2 = -7/2 54 Compruébalo! Discriminante de la Ecuación de Segundo Grado: Consideremos la ecuación de segundo grado ax 2 bx c 0 , donde a es diferente de cero, y la formula general: 2 b b 4ac x 2a Se denomina discriminante de la ecuación de segundo grado a la cantidad subradical: D = b2 - 4ac Veamos como son las raíces de la ecuación según cual sea el discriminante: 1. Positivo D = b2 – 4ac > 0 2. Cero D = b2 – 4ac = 0 3. Negativo D = b2 – 4ac < 0 b2 – 4ac > 0 Caso 1: Si el discriminante b2 – 4ac, es positivo, su raíz cuadrada es un número real. Por tanto, las raíces de la ecuación son reales y distintas. b2 – 4ac = 0 Caso 2: Si el discriminante b2 – 4ac, es cero, la raíz cuadrada es cero. Por tanto, las raíces de la ecuación son reales e iguales. b2 – 4ac < 0 Caso 3: Si el discriminante b2 – 4ac, es negativo, su raíz cuadrada no es un número real y por consiguiente las raíces de la ecuación no son números reales. b2 – 4ac Como hemos visto, permite “discriminar” la naturaleza de las ra ces. De allí que se justifique el nombre que se le ha dado. Aplicaciones de la ecuación de segundo grado. Hallar dos números cuya suma sea 11 y cuyo producto sea Solución: Llamamos x e y a dichos números, entonces: x y 11 xy 60 55 – 60. Despejemos y y 11 x , en la primera ecuación: sustituyámoslo en la segunda ecuación: x(11 x) 60 x 2 11x 60 0 11x x 2 60 x 2 11x 60 0 resolviendo la ecuación: x b b 2 4ac 2a x 11 121 240 2 x1 Así, si x x 11 19 30 15 2 2 x = 15 ( 11) ( 11)2 4.1.( 60) 2.1 11 361 2 x ^ entonces y = -4 y si x = -4 x 11 19 2 11 19 8 4 2 2 entonces y = 15 Ecuaciones con Radicales: Ecuaciones tales como: x 1 1; 3 x 2 3; 3x 1 2 x 1 0 son llamadas ecuaciones con radicales. Para resolver una ecuación con radicales se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se “despeja” un radical en un miem ro. x 1 1 0 x 1 1 2. Se elevan ambos miembros a un exponente igual al índice del radical despejado. x 1 2 12 x 1 1 3. Si existen más radicales se repiten los pasos 1 y 2. 4. Se resuelve la ecuación: x 1 1 x2 5. Por cuanto al elevar a un exponente pueden introducirse “soluciones extrañas”, es necesario comprobar el valor encontrado en la ecuación original. Si la satisface, ésa será la solución. 56 x 1 1 0 2 1 1 0 Ejemplo: sustituimos x por 2 1–1=0 ¡0=0! 3x 4 2 x 0 Resuelva la ecuación 1. Despejamos un radical 3x 4 2 x 2. Elevamos cada miembro al cuadrado 3x 4 2 x 2 2 3. Resolvemos la ecuación 4 = 4x - 3x 4 = x 4. Comprobamos (3.4) 4 2 4 0 12 4 2.2 0 16 4 0 ¡4 - 4 = 0! . Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas y aplicaciones Se denomina sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a la reunión de dos ecuaciones de primer grado en X e Y, así: A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C 2 0 es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. La solución de un sistema de ecuaciones son los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Ejemplo: 2 x 3 y 13 0 4 x y 5 0 Resolver el sistema: La solución del sistema es: x = 2, y = 3, comprobando: 2.2 3.3 13 0 4.2 3 5 0 Los métodos de solución de sistemas de ecuaciones mas usuales son: método de sustitución, de igualación y de reducción o de suma y resta, los cuales se explican a continuación. 57 Método de sustitución Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Luego, sustituirla en la otra ecuación y obtenemos una sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor, nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita x. Ejemplo: x 3 y 6 0 5 x 2 y 13 0 I II 1.) Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, digamos x en la ecuación ( I ), así: x 3 y 6 2.) Sustituir la expresión obtenida en la ecuación ( II ): 5 3 y 6 2 y 13 0 3.) Resolver la ecuación obtenida y despejar la incógnita (y): 15 y 30 2 y 13 0 17 y 17 y 1 4.) La solución obtenida, la sustituimos en la expresión despejada en 1.) y obtenemos la otra incógnita: x 31 6 3 5.) Finalmente la solución (x, y) del sistema de ecuaciones es: x3 ó y y 1 3, 1 Método de igualación Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones. Luego, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad obtenemos una sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor, nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita x. Ejemplo: 7 x 15 y 1 0 x 6 y 8 0 I II 1.) Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones, por ejemplo x: 58 15 y 1 7 x 6 y 8 x de (I) : de (II) : 2.) Se igualan las dos expresiones obtenidas: 15 y 1 6 y 8 7 3.) Se resuelve la ecuación obtenida: 15 y 1 7 6 y 8 15 y 1 42 y 56 15 y 42 y 56 1 57 y 57 y 1 4.) Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo la expresión obtenida en el paso 1.) de la ecuación (II): x 6 y 8 x 6 1 8 x 68 x 2 5.) Se escribe la solución del sistema: x 2 y y 1 - 2, - 1 ó Método de reducción Este método consiste en transformar las ecuaciones, de tal manera de igualar los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones. Luego, sumamos ó restamos las ecuaciones y obtenemos una sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor, nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita x. Ejemplo: x y 2 0 x 3 y 4 0 I II 1.) Se busca el m.c.m. de los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo (y): m.c.m. (1, 3) = 3 2.) Se divide el m.c.m. entre cada coeficiente de la incógnita seleccionada: 59 En (I) 3:1 = 3 En (II) 3:3 = 1 3.) Se multiplica cada ecuación por el resultado obtenido: 3 x y 2 0 1 x 3 y 4 0 I II 3x 3 y 6 0 x 3 y 4 0 4.) Se restan término a término las ecuaciones resultantes, debido a que la incógnita seleccionada tiene igual signo: 3 x 3 y 6 0 x 3y 4 0 2x 10 0 2 x 10 x5 5.) Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo la ecuación (I), y se despeja la otra incógnita: x y20 5 y 2 0 3 y 0 y3 6.) Se escribe la solución del sistema: x5 ó y y3 5, 3 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas Los sistemas de ecuaciones pueden utilizarse para resolver muchos problemas prácticos. El proceso radica en transformar el planteamiento de dicho problema en ecuaciones lineales. Básicamente, se deben seguir estos lineamientos: a) Identificar las incógnitas y los datos. b) Expresar mediante ecuaciones los planteamientos del problema. c) Resolver el sistema de ecuaciones obtenido. d) Verificar que las soluciones obtenidas, satisfagan las condiciones del problema planteado. 60 Ejemplo: El perímetro de una parcela rectangular es 400 metros, si uno de los lados es 50 metros mayor que el otro lado.¿Cuánto mide cada lado? Solución: a) Identificamos las incógnitas y los datos: Incógnitas: x Sean: x = longitud de uno de los lados Y = longitud del otro lado Datos: y El perímetro es: 400 m La diferencia de los lados es: 50 m b) Expresamos mediante ecuaciones los datos del problema: 2 x 2 y 400 x y 50 c) Resolvamos el sistema: (método de sustitución) 2 x 2 y 400 (I) (II) x y 50 De (II), se despeja x: Se sustituye en (I): x 50 y 250 y 2 y 400 100 2y 2y 400 4y 400 - 100 y 300 75 4 x 50 75 Se obtiene la otra incógnita de (II): x 125 d) Verificamos que las soluciones satisfacen las condiciones del problema: 2125 275 400 125 75 50 Respuesta: El rectángulo tiene: 125 metros de base (x) y 75 metros de altura (y). 61 Ejemplo: Un productor compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514 en total y otro compró 8 vacas y 9 caballos por $ 818 en total. ¿Cuál es el costo de cada vaca y caballo? Solución: a) Identificamos las incógnitas y los datos: Incógnitas: Sean: x = costo de cada vaca Y = costo de cada caballo Datos: 4 vacas mas 7 caballos cuestan $ 514 8 vacas mas 9 caballos cuestan $ 818 b) Expresamos mediante ecuaciones los datos del problema: 4 x 7 y 514 8 x 9 y 818 c) Resolvamos el sistema: (método de reducción) 4 x 7 y 514 8 x 9 y 818 Se busca el m.c.m. de x: m.c.m. = (4, 8) = 8 En (I), se multiplica por: 8:4=2 En (II), se multiplica por: 8:8=1 (I) (II) 2 4 x 7 y 514 1 8 x 9 y 818 8 x 14 y 1.028 8 x 9 y 818 Se restan las ecuaciones, para simplificar la incógnita x: 8 x 14 y 1.028 8 x 9 y 818 5 y 210 210 y 5 y 42 62 4 x 7 y 514 Se obtiene la otra incógnita de (I): 4 x 742 514 4 x 514 294 220 x 55 4 d) Verificamos que las soluciones satisfacen las condiciones del problema: 455 742 514 855 942 818 Respuesta: cada vaca cuesta $ 55 (x) y cada caballo $ 42 (y). Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Se denomina sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas a la reunión de tres ecuaciones de primer grado en X, Y y Z, así: A11 x B12 y C13 z D1 A21 x B22 y C 23 z D2 A x B y C z D 32 33 3 31 es un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Para resolver este sistema, aplicaremos cualquiera de las técnicas estudiadas para la solución de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas: Ejemplo: x y z 4 x 2 y z 1 2x y 2z 1 I II III 1.- Se busca eliminar dos variables, usando el método de reducción: x y z 4 x 2 y z 1 2x y 2z 1 I II III x y z 4 x 2 y z 1 2 x y 2 z 1 I II III 2.- Se restan término a término las ecuaciones resultantes, debido a que la incógnita seleccionada tiene igual signo: 63 I II III x y z 4 x 2 y z 1 2 x y 2 z 1 - 2z 6 z3 3.- Se sustituye la solución obtenida en el sistema de ecuaciones: I II III x y 1 x 2 y 4 2 x y 5 4.- Se asocian dos ecuaciones para obtener el valor de una incógnita y luego con la tercera se obtiene el valor de la otra incógnita: Por ejemplo, sumando (I) y (III) se obtiene: Sustituyendo en la ecuación (II) 3x = 6 x = 2 -2y = 2 y = -1 Inecuaciones lineales y no lineales Es una desigualdad que tiene una variable en su enunciado. La solución de esta inecuación es el conjunto (intervalos) de valores de la variable que hacen cierta la desigualdad planteada. b Sea la función f(x) = ax + b, con a > 0 y b R. Tenemos que f(x) = 0, si x . a Además como f es una función creciente f (x) < 0, si x b b y f(x) > 0, si x . a a Esto lo podemos resumir en la siguiente tabla de variación de signos. ( , Signo de (ax + b) - La tabla nos da la siguiente información: b f(x) = ax+b < 0, si x (, ) a b f(x) = ax+b 0, si x (, a b f(x) = ax+b > 0, si x ( , ) a 64 b ) a ( b , ) a + b f(x) = ax+b 0, si x , ) a Ejemplo: Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. a) 5x + 4 > 2x + 6 5x + 4 > 2x + 6 5x - 2x > 6 - 4 3x > 2 x > 2/3 2 2 Solución: , x / x 3 3 b) x3 0 x3 x + 3 0 x -3 x - 3 0 x 3 Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la desigualdad planteada. x3 x3 x3 Solución: x 3 , 3 3 , x / x 3 x 3 Para resolver la inecuación f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, b, c números reales. Tenemos tres casos: 1° caso: Sean m < n las raíces reales de f (x), esto nos permite factorizar al polinomio f(x), así f(x) = a (x – m)(x – n) para construir la tabla de variación de signos, si a > 0, tenemos: ( - , m ) ( m, n ) (n,) Signo de a + + + Signo de ( x – m) - + + Signo de ( x – n) - - + Signo de f(x) + - + La tabla nos da la siguiente información 65 f(x) < 0, si x ( m , n ) f(x) 0, si x m , n f(x) > 0, si x (- , m ) ( n , ) f(x) 0, si x (- , m n , ). 2° caso: Sean m = n las raíces reales de f(x), a > 0, entonces f ( x ) a (x m) 2 , así: f(x) > 0, para x (- , m ) ( m , ) f(x) 0, para x R f(x) < 0, para x f(x) = 0, para x = m 3° caso: Sean m y n las raíces imaginarias de f (x), entonces m = c + di y n = c – di, donde i es la unidad Imaginaria. Así f(x) = a( x – (c + di))( x – ( c – di)) = a((x –c) – di)((x –c) + di) = a((x –c)2 - (di)2) = a((x –c)2 + d2) > 0, para todo x en R. En conclusión: Un polinomio de segundo grado f(x), con primer coeficiente positivo y raíces imaginarias, es positivo para cualquier valor real de x. Lo expuesto anteriormente nos permite resolver las siguientes inecuaciones: f(x) 1 2( x 1) 2 ( x ) 2 x 3 5x 2 4 x 1 2 0. 3 0 f(x) x 2x 2 x 2 ( x 2 1)( x 2) Estudiemos los signos de f(x), mediante la siguiente tabla de variación de signos: (- , - 2) 1 2 , 2 1 , 1 2 (1, ) Signo de 2 + + + + Signo de ( x 1) 2 + + + + 1 (x ) 2 Signo de - - + + Signo de ( x 2 1) + + + + Signo de (x + 2) - + + + Signo de f(x) + - + + 66 1 Luego la solución de la inecuación es S 2 , , es decir, si x 2 , 2 1 2 entonces f(x) < 0. 2. 1 1 sol: , 3 3 27 x 3 9x 2 3x 1 0 Sistemas de Inecuaciones en una variable Resolver el sistema es hallar el conjunto (intervalos) solución de cada una de las inecuaciones planteadas e intersectarlas; es decir, hallar el conjunto (intervalos) de valores de la variable que satisface simultaneamente a todas y cada una de las inecuaciones que forman parte del sistema. Ejemplo: Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones. x x x 5 x3 2x 2 0 2 x 2 x2 4 I 5 x2 4 4x 1 II Procedemos a resolver cada una de las inecuaciones y luego intersectamos sus soluciones, para hallar el conjunto solución del sistema. (I) x5 x3 2x 2 2 0 x2 x2 x 4 8x 4 0 x 2 x 2 8x + 4 = 0 x = - ½ x 5 x 2 x 3 x 2 x2 4 8x 4 0 x 2 x 2 x + 2 0 x -2 2x2 0 x-20 x2 Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la desigualdad planteada. 67 x2 x 2 x 12 x 2 8x 4 x2 (I) = (2, 1 2 2 , x / 2 x 1 2 x 2 Solución: (II) x5 x2 4 4x 1 x 5 4x 1 4x 2 4 4x 1 19x - 5 0 x5 x2 0 4 4x 1 0 x 5/19 19x 5 0 4 4x 1 4x - 1 0 x ¼ Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la desigualdad planteada. x 14 4x 1 19x 5 Solución: x 5 19 (II) = 1 4 , 519 x / 1 4 x 5 19 La solución del sistema viene dada por la intersección de las soluciones (I) y (II); lo cual da como resultado un conjunto vacio; ya que las soluciones parciales no tienen elementos comunes. (I) (II) = (2, 1 2 2 , 1 4 , 519 Valor absoluto de un número real. El VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL x es un número denotado porx y definido así: x, x x, 68 si x 0 si x 0 Algunas propiedades del valor absoluto. 1. x 0 x 0 5. x x y y 2. x 0 , x 3. x x 4. xy x y 6. x y x y 7. x y y x 8. x y x y 9. Para r 0, se tiene que: x r r x r 10. Para r > 0, se tiene que: x r x r x r . EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD III PROBLEMAS EN UNA VARIABLE LINEAL. 1.- Que número aumentado en sus 5 6 equivale a su triple disminuido en 14. 2.- El triple de un número excede en 48 al tercio del mismo. Hallar el número. 3.- La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324. Hallar los números. 4.- La suma de dos números es 9 y su producto es 20.¿Cuál es el valor de la suma de sus inversos?. 5.- Después de vender los 3 5 de una pieza de tela quedan 40m. ¿Cuál era la longitud de la pieza? 6.- Si el inverso de p+1 es p-1, ¿Cuánto vale p? 7.- Al multiplicar un número por 8 y sumarle 12, resultó 16. ¿Cuál es el número? 8.- La suma de 3 números enteros consecutivos es 156. Hallar los números. 9.- Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20. 10.- En un terreno rectangular de 240 metros de ancho, se plantan 1600000 matas de coco. Se estima una mata por cada 1,5 m2. ¿Cuantos kilómetros de largo tiene el terreno? 11.- De las 120 aves que tengo, el número de gallinas es el triple que el de gallos y el número de patos es la semisuma de los gallos y las gallinas. ¿Cuántas aves de cada especie tengo? 69 12.- Si a los ¾ de mi edad le sumo la mitad de la misma, obtengo la edad que tendré dentro de 4 años. ¿Qué edad tengo? 13.- La edad de un padre es el triple de la de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el duplo de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades. 14.- Julia tiene 48 años y su hija mayor 18. Halla el número de años que deben transcurrir para que Julia tenga el doble de la edad de su hija. 15.- Un padre tiene 60 años y sus dos hijos 16 y 14 años. ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será igual a la suma de las edades de los hijos? 16.- Armando tiene 2/3 de lo que tiene Melva y Jesús tiene 3/5 que lo que tiene Armando. Si juntos tienen 24800 bolívares, entonces ¿cuánto tiene Jesús? 17.- Para coser un traje, una costurera toma un hilo de 37 cm de longitud y lo pica en tres pedazos, de manera que cada hilo que pica tiene una longitud de ¼ menos que la longitud del hilo anterior. ¿Cuáles son las longitudes de cada trozo de hilo? 18.- Un comerciante vendió los ¾ de una pieza de tela y regaló los 2/5 de la tela que quedaba. ¿Cuántos m2 media la tela inicialmente si al final sobraron 18 m2? 29.- Una sociedad de 12 personas había de pagar 1224 mil bolívares. Un grupo no pagó y los demás han pagado cada uno 34 mil bolívares más de lo que les correspondía para cubrir la parte del grupo que no pagó. ¿Cuántas personas constituyen el grupo que no pagó? 20.- A un trozo de cable se le ha cortado su tercera parte, su quinta parte y su sexta parte. ¿Cuánto cable resta? 21.- Un sistema de cableado eléctrico requiere de tres secciones de cable, donde cada una de las secciones debe ser 2/3 más larga que la sección que la precede. Si se tienen 588 metros de cable, ¿cuál es la medida de la sección más larga? 22.- Una persona efectúa 5 pagos de un préstamo. Si cada pago es el doble del anterior, y si en total se pagaron 465 mil bolívares. ¿Cuánto fue el primer pago? 23.- Los reyes de una dinastía tuvieron 9 nombres diferentes. La tercera parte del número de reyes llevó el primero de esos nombres, la cuarta parte el segundo nombre, la octava parte el tercer nombre, la doceava parte el cuarto nombre y 70 cada uno de los nombres restantes lo llevó un solo rey. ¿De cuantos reyes constaba la dinastía? 24.- Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos mas por el mismo precio, cada caballo la habría costado 10 bs menos. ¿Cuánto le costó cada caballo? 25.- Seis personas iban a comprar una casa, contribuyendo por partes iguales; pero dos de ellas desistieron del negocio. Por esto cada una de las restantes tuvo que contribuir con 200 bs más. ¿Cuál es el valor de la casa? PROBLEMAS EN UNA VARIABLE CUADRÁTICA. 26.- La suma de dos números consecutivos elevada al cuadrado es 49. ¿Cuáles son los números? 27.- El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 2025. ¿Cuál es el mayor de los dos números? 28.- La mitad de la diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 162. Hallar los números. 29.- La base de un rectángulo es el cuádruple de su altura y su área es igual a 2500 cm2. Hallar el perímetro del rectángulo. 30.- Un salón rectangular tiene 1 metro de largo más que de ancho. Si se aumentan ambas dimensiones en 2 metros, el área aumenta en 10 m 2. ¿Cuáles eran las dimensiones originales del salón? 31.- La edad de Ana incrementada en 6 años da un cuadrado perfecto. Su edad disminuida en 6 años da la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. ¿Qué edad tiene? 32.- Se desea fabricar una caja sin tapa, de base cuadrada, cortando cuadrados de 3 centímetros de lado en las esquinas de una lámina cuadrada y doblando hacia arriba los lados. Para que la caja tenga un volumen de 48 cm3, ¿cuánto debe medir el lado de la lámina? 33.- El cuadrado de un número positivo menos el doble del número es igual a 48. Encuentre el número. 34.- El ancho de un rectángulo es 5 cm menos que su largo. El área es 24 cm 2. Encuentre las dimensiones. 71 35.- En un patio rectangular se construye una piscina de 11 m por 8 m. El área del patio es de 1120 m2. Si el piso alrededor de la piscina tiene un ancho constante, ¿cual es este ancho?. PROBLEMAS CON RADICALES. 36.- La fórmula V 1,2 h es una ecuación radical que aproxima la distancia (V) en millas que una persona puede ver al horizonte desde una altura de h pies. Elabora una fórmula para aproximar la altura. ¿A qué altura se encuentra una persona que puede ver a 72 millas en el horizonte?. 2 37.- La fórmula S r r h 2 permite calcular el área de superficie de un cono, dados su radio (r) y su altura (h). Resuelve la fórmula para h. ¿Cuánto vale h cuando S = 15 y r = 3?. 38.- La fórmula v 2 g s representa la velocidad (v) de un objeto que ha caído a una distancia de s pies, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Resuelve la fórmula para s y calcula s para un objeto que cae con una velocidad de 32g. 39.- El radio de un generador Van de Graaff que puede reunir una carga máxima de Q coulombs en su superficie está dado por R 1,826 10 2 Q . Resuelve la fórmula para Q, y encuentra Q para un generador con un radio de 1,5 m. PROBLEMAS EN VARIAS ECUACIONES Y VARIABLES. 40.- Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514, y más tarde a los mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por $ 718. Hallar el costo de una vaca y de un caballo. 41.- Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor, la suma es 316, y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar los números. 42.- El doble de la edad de A excede en 50 años a la edad de B, y ¼ de la edad de B es 35 años menor que la edad de A. Hallar ambas edades. 43.- Antes de una batalla, las fuerzas de dos ejércitos estaban en la relación de 7 a 9. El ejército menor perdió 15000 hombres en la batalla y el mayor 25000 72 hombres. Si la relación ahora es de 11 a 13, ¿cuántos hombres tenía cada ejército antes de la batalla? 44.- En una granja se crían gallinas y conejos. Si en total hay 30 animales y 76 patas, ¿cuántos animales hay de cada especie? 45.- Una cafetería compra 42 litros de leche en botellas de 1 y de 2 litros. Si se compran igual número de botellas de 1 y 2 litros, ¿cuántas botellas se compran? 46.- En un almacén hay dos tipos de lámparas. La lámpara tipo A que utiliza 3 bombillos y la lámpara tipo B que utiliza 4 bombillos. Si en el almacén hay 60 lámparas y 220 bombillos, entonces, si se armaran todas las lámparas utilizando todos los bombillos, ¿cuántos bombillos se usarían en las lámparas tipo A? 47.- En una tarde asistieron a un museo 600 personas. La entrada para adultos vale 500 bs y la de niños vale 200 bs. Si la recaudación fue de 195000 bs, ¿cuántos niños asistieron al museo? 48.- A le dice a B: si me das un bolívar tendremos igual cantidad. B le dice a A: si me das un bolívar tendré el doble que tu. ¿Qué cantidades tienen? 49.- En una prueba de 30 preguntas, cada pregunta bien resuelta se califica con 3 puntos; mal resuelta resta 2 puntos. Si la puntuación final es de 25 puntos, ¿cuál fue el número de respuestas buenas? 50.- Se tienen un matraz y un tubo de ensayo. Al pasar 2 cc de agua del matraz al tubo, ambos quedan con la misma cantidad de líquido. Pero al pasar 2 cc de agua del tubo al matraz, este queda con el doble de líquido que el tubo. ¿Cuál es el contenido original de agua del matraz? 51.- Un caballo transportaba una pesada carga al lado de una mula y vencido por el peso se lamenta a. “¿De ué te uejas? Dijo la mula: si yo tomase uno de tus sacos, mi carga sería el doble de la tuya y, si tu llevases uno de los míos, mi carga ser a entonces i ual a la tuya”. ¿Cuántos sacos cargaba cada animal? 52.- El año pasado la edad de Rosa Elena era 10 veces la edad de su hija y dentro de 15 años será el doble. ¿Cuántos años tiene cada una actualmente? 53.- Un coleccionista de pinturas compra en una subasta un total de 35 unidades, unas le costaron 10000 bs c/u y otras a 35000 bs c/u. Si hace una venta por un 73 monto total de 1760000 bs, ganándose el 10% sobre el valor de la compra, ¿cuántas pinturas de cada una vendió? 54.- En una venta de empanadas se venden las de chorizo en 5 bs y las de pabellón en 7 bs. La venta de 90 empanadas ha generado 566 bs. ¿Cuántas empanadas de chorizo se vendieron? 55.- Un señor tiene 3600000 bs en dos clases de bonos. Unos le generan el 11% y los otros el 9% de interés anual. Si recibe 324000 bs en intereses al año, ¿qué cantidad está colocada a cada tipo de interés? 56.- En un examen de 60 preguntas, Julio omite 4 de ellas. Si la tercera parte de las preguntas que contestó correctamente es igual al número de las que contestó incorrectamente, ¿en cuantas preguntas se equivocó Julio? 57.- Una empresa vende 48 paquetes de producto A y 24 paquetes de producto B por un valor total de 600000 bolívares. Si el producto B cuesta la mitad del valor del producto A. ¿Cuánto cuesta el producto A? 58.- El doble de un número es igual al triple del otro, si al multiplicar los números se obtiene 72; ¿cuáles son los números? 59.- En una ferretería 12 galones de pintura y 6 brochas cuestan 400 bs. Si el dueño del local aplica un descuento de 30% sobre el costo de los galones de pintura, el precio final es de 364 bs. ¿Cuál es el valor original de los galones de pintura? 60.- La diferencia en la medida del largo de dos rollos de tela es 125 metros y el cociente entre esas longitudes es de 6 metros. ¿Cuál es la longitud de cada rollo? 61.- La suma de tres números es 105. El tercero es 11 menos que diez veces el segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo. Calcula los números. 62.- La suma de tres números es 57. El segundo es 3 más que el primero. El tercero es 6 más que el primero. Encuentra los números. 63.- La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más que el segundo. Calcula los números. 74 64.- La suma de tres números es 26. Dos veces el primero menos el segundo es 2 menos que el tercero. El es el segundo menos tres veces el primero. Calcula los números. 65.- En una fábrica hay tres máquinas, A, B y C. Cuando las tres están trabajando producen 222 trajes por dia. Si A y B trabajan, pero C no, producen 159 trajes por dia. Si B y C trabajan, pero A no, producen 147 trajes por dia. ¿Cuál es la producción diaria de cada máquina?. 66.- En una fábrica hay tres máquinas pulidoras, A, B y C. Cuando las tres están en operación se pueden pulir 5700 lentes en una semana. Cuando solo A y B están en operación, se pueden pulir 3400 lentes en una semana. En cambio, cuando solo B y C trabajan, se pueden pulir 4200 lentes en una semana. ¿Cuántos lentes puede pulir cada máquina en una semana?. 67.- En una fábrica hay tres máquinas, A, B y C. Cuando las tres están en operación, producen 287 tornillos por hora. Cuando solo las máquinas A y C funcionan, producen 197 tornillos por hora. Cuando solo las máquinas A y B están en operación producen 202 tornillos por hora. ¿Cuántos tornillos por hora puede producir cada máquina por separado?. 68.- Las sierras de agua A, B y C pueden producir 7400 metros cuadrados de tabla en un dia. A y B juntas pueden producir 4700 metros cuadrados, mientras que B y C pueden producir 5200 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados puede producir cada sierra de agua por separado?. 69.- Cuando las bombas A, B y C operan a un mismo tiempo, pueden bombear 3700 litros por hora. Cuando solo las bombas A y B están trabajando, se pueden bombear 2200 litros por hora. En cambio, cuando solo las bombas A y C están en operación, se pueden bombear 2400 litros por hora. ¿Cuál es la capacidad de cada bomba?. 70.- David y Carla pueden soldar 27 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Tomas y David, juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Tomas y Carla, juntos, pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuantos metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado?. 75 71.- Los trabajadores A y B pueden producir 59 paneles de circuitos por hora, cuando trabajan juntos. Cuando A y C trabajan juntos, pueden producir 58 paneles de circuitos por hora, mientras que si B y C trabajan juntos pueden producir 55 paneles de circuitos por hora. ¿Cuántos paneles por hora produce cada uno?. 72.- En una empresa se cuenta con tres impresoras. Cuando las impresoras A y B trabajan juntas, imprimen 2900 páginas por hora, mientras que B y C operando juntas, imprimen 3050 páginas por hora. En cambio cuando solo A y C trabajan, imprimen 2550 páginas por hora. ¿Cuantas páginas por hora imprime cada una?. 73.- Patricia recogió fresas durante tres dias. En total recogió 87 Kg. El martes recogió 15 Kg más que el lunes. El miércoles recogió 3 Kg menos que el martes. ¿Cuántos Kg recogió en cada dia? 74.- Gina vende revistas. El jueves, viernes y sábado vendió en total 66 bolívares. El jueves vendió 3 bolívares más que el viernes. El sábado vendió 6 bolívares más que el jueves. ¿Cuánto vendió en cada dia?. 75.- Cristina obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes. La suma de las calificaciones del primero y el tercero de ellos excede su tercera calificación en 61 puntos. Su primera calificación supera a la segunda en 6 puntos. Encuentra las tres calificaciones. 76.- Una compañía de carga transportó tres tipos de flete en su transporte aéreo ligero. El espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de carga era de 5, 2 y 4 pies cúbicos, respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga pesó 2, 3 y 1 kilogramo, respectivamente; mientras que los valores unitarios de los tres tipos de carga fueron $ 10, $ 40 y $ 60, respectivamente. Determine el número de unidades de cada tipo de carga transportada si el valor de la carga fue de $ 13500, ocupó 1050 pies cúbicos de espacio y pesó 550 kilogramos. 77.- Usted invirtió un total de 20000 $ en tres inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso anual, por intereses, fue de 1624 $ y el ingreso, por intereses, de la inversión al 10% fue dos veces el de la inversión al 6%. ¿Cuánto dinero invirtió a cada interés? 78.- Un contratista dispone de 5000 horas – hombre de mano de obra para tres proyectos. Los costos por hora hombre de los tres proyectos son de 8, 10 y 12 $, 76 respectivamente, y el costo total es de 53000 $. Si el número de horas – hombre para el tercer proyecto es igual a la suma de las horas – hombre requeridas por los primeros dos proyectos, calcule el número de horas – hombre de que puede disponerse en cada proyecto. 79.- Un comerciante de café desea mezclar tres tipos de grano (A, B, C) en 10000 libras de una mezcla final. Los tres componentes cuestan 2,40 $, 2,60 $ y 2 $ por libra respectivamente. El fabricante desea que la mezcla total cueste 21000 $. Al mezclar el café una restricción establece que las cantidades usadas de los granos componentes A y B sean iguales. ¿Cuántas libras debe usar de cada tipo de café? 80.- Una cafetería estudiantil tiene mesas de 4 asientos, 6 asientos y 10 asientos; para un total de 24 mesas y 148 asientos. Con motivo de una fiesta estudiantil especial, se emplearán la mitad de las mesas de 4 asientos, una cuarta parte de las mesas de 6 asientos y una tercera parte de las mesas de 10 asientos, para un total de 9 mesas. ¿Cuántas mesas de cada tipo posee la cafetería? 81.- Un nutricionista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿Cuántas onzas de cada comida se necesitan? 82.- Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25 unidades de vitamina D por un total de $ 17,50; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por $ 45,00; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina D por $ 64,00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y D. 83.- Una compañía minera extrae x toneladas de cobre, y toneladas de plomo y z toneladas de zinc al mes. En Abril vendió el 48% de su mineral de cobre, el 23% de su mineral de plomo y el 20% de su mineral de zinc, con un total de 35963 77 toneladas, fuera del país. En Mayo vendió 15%, 68% y 12% de sus minerales de cobre, plomo y zinc, respectivamente, fuera del país, y en Junio las cifras fueron 5%, 7% y 18%. Determine x, y, z si la compañía vendió al extranjero 30992 toneladas en Mayo y 9143 en Junio. 84.- Un distribuidor de productos agrícolas recibe tres pedidos de sus tres productos, siendo especificados por la tabla siguiente: Producto Semillas Fertilizantes Insecticida (Kg) (Kg) (Unidad) A 30 12000 50 B 25 10000 40 C 40 15000 55 Cliente El pedido del Sr. A es por la cantidad de 25620 $, el del Sr. B es por 21300 $ y el del Sr. C por 31810 $. Calcular el precio de cada producto. 85.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 4x 1 2 y 5 x 9 3 e) y 3 y 2 x 18 7 10 12 x 5 y 6 0 a) 5 x 7 y 3 6 12 x y y x 7 6 3 24 b) x x y 5 2 6 12 3( x 3 y ) 21 5 x 6 y 17 f) 4 x 7 y 2 2 y 1 30 3x 4 y x 6 y 23 c) 9 x y 63 3 x y 37 3x 2 y 5 4 x 5 y 0 g) x 2 y 7 x 2 y 5 h) y x 1 x 3 3 7 7 2 x 3 y 6 3x 2 y 1 d) 6 10 x y 4 y 2 78 2 1 x y 2 i) 1 2 11 x y 6 x 3 y 2 z 12 t) 9 x y 4 z 37 10 x 5 y 3z 22 x 2 y 1 j) x x 1 y 1 y 2 u) 2 x y z 3 x 2y z 6 x y 2z 3 v) y2 x 5 z 4 z4 x6 y 2 x7 z 3 y 5 w) x y z 2 x y z 4 x y z 0 3x 2 y 1 o) z 4 x 28 x 2 y 3z 43 x) x y z 2 x y z 4 x y z 0 7 x 3y 4z 35 p) 3x 2 y 5z 38 x y 6z 27 y) 2 x 3 y z 1 x 4y z 4 3x y 2z 5 3x y z 1 q) x 2 y z 1 x y 2z 17 z) x1 3x 1 2a c 2 r) 4b 3a 3 5b 6c 5 aa) x 4 y z 6 2 x 5 y 7 z 9 3x 2 y z 2 5 x 3 y z 11 s) 10 x y z 10 15 x 2 y z 7 bb) 2x 4 y 3z 3 10x 8y 9z 0 4x 4 y 3z 2 2 x 3 y 8 3x 4 y 13 k) x y 4 x 4 y 9x 9 y x y 1 l) 2x1 x 2 3 4x1 5x 2 7 m) 3x1 n) 2x1 6x 2 9 3x 2 4 79 x2 x3 x3 2x 2 7 2 5 cc) dd) ee) 1 4 2 x y z 6 3 2 4 3 x y z 6 5 6 31 x y z 4x y 5z 6 3x 3y 4z 30 6x 2 y 3z 33 ff) 2x 3y 12z 4 4 x 6 y 6 z 1 x y z 1 gg) 4 x y z 4 2 x y z 1 6x 3y 2z 3 hh) x 2 y z 1 7 x 3y z 2 x 5y 3z 2 10x 6 y z 7 5x 9 y 2z 3 15x 12 y 2z 5 86. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: a) 6 – 5x 7 b) 5x – 2 5 + 3x c) 1 + 3x 2x + 5 d) 1 + 2x < 6x e) x + 2 5 – 2x f) x + 4 > 2 – x g) 3x – 1 < j) 9x 4 2 4x 1 - 1 > 6x 2 m) 5x – x2 – 4 0 p) x 3 2 6 5x h) x x 2 1 2x 2 3 12 k) 8 – 2x – x2 > 0 i) 3x 2 + 1 > -x 2 l) 3x2 – 8x + 7 < 2x2 – 3x +1 n) 3 <6 x 1 o) 2x2 – 6x + 13 x2 +2x + 6 q) x 5 >4 3x 1 r) x4 <5 2 3x 87. Hallar el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones: 3x 5 2x a) 4x 1 6 4 x 5 4x 2x 2 b) 2x 1 1 2 3 80 3x 1 2 x 2 2 3 3 c) x 2 x 3 2 2 x 5x 2 x 3 4 f) x 8 3x 2 x 4 5 3x 4 x 1 d) 2x 5 x 4 10 5x 5 e) 3 2x 1 3x 5 2x g) 4 3 4x 1 6 x 4x 5 3x 4 3 h) 4x 3 5x 4 5 3 x 2 4 3x 4 3 7x 2 4 j) 8 4 x 5 4 2 3 1 k) x x 5x 3 2x 3 4x 3 x 2 l) 6x 1 2x 1 3 x 4 2 x m) x 3 6 5x 2 x 5 4 n) 3x 1 2x 1 x 7 2x 3 1 o) x 2 3 3x 2 4 x x 2 1 3 x p) 2 x 1 x x 2 7x 12 0 q) 4x 5 2x 7 r) 81 10 x 5 i) 4 2 x 2 3x 5 4x 8 3 2 3 2 x 5x 5x 3 x 6x x 6 UNIDAD IV: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ángulos Si se tiene un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de ángulo se obtiene al tomar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial, l1, coincida con el eje x positivo. Si se gira l1, en sentido contrario a las agujas del reloj hasta la posición terminal l2, el ángulo formado por las dos rectas será positivo; mientras que si se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, será negativo. Medida en grados Se toma un círculo y se divide su circunferencia en 360 partes. El ángulo con vértice en el centro determinado por una de estas partes tiene una medida de un grado (escrito 1). Esta manera de medir ángulos se debe a los antiguos babilonios; así como la subdivisión de un grado en sesenta minutos y cada minuto en sesenta segundos. Una forma mas práctica de medir ángulos con mas precisión que un grado es usando decimales en lugar de los minutos y segundos. Por ejemplo se usa 40,5 en lugar de 40 30’. A un ángulo de medida 90 se le llama ángulo recto. Un ángulo es agudo si mide entre 0 y 90, y obtuso si mide entre 90 y 180. Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90 y suplementarios si suman 180. 82 Medida en radianes Otras medidas sumamente útiles de los ángulos son los radianes. Si se considera un círculo unitario, su radio es igual a 1, este tiene una circunferencia igual a 2, en vista de que la circunferencia de un círculo es 2r. Una rotación de 360 (una revolución) mide 2 radianes. La mitad de una vuelta es una rotación de 180, o radianes. Un cuarto de vuelta es una rotación de 90, o /2 radianes y así sucesivamente. Esto es, 2 radianes 90 radianes 180 3 radianes 270 2 2 radianes 360 Cuando una rotación se indica en radianes, la pala ra “radianes” es opcional y a menudo se omite. Así cuando no se indica ninguna unidad para una rotación, se entiende que esta se da en radianes. Ejemplo: convierte de grados a radianes o de radianes a grados, según el caso. a) 35° a radianes Solución: 180 radianes 35 ? 35° * ? radianes 7 = 0,1944 36 180 b) 726° a radianes Solución: 180 radianes 726 ? 726° * ? radianes 121 = 4.0333 30 180 83 c) 3 a grados 16 radianes Solución: ? 180 3 radianes ? 16 180 3 = 33,75° radianes * radianes 16 d) 0,35 a grados Solución: radianes 180 0,35 radianes ? ? 0,35 radianes * 180 = 63° radianes Ángulos Notables. Llamamos ángulos notables a una serie de valores angulares, en los que se divide el plano, que nos facilita el trabajo con las razones trigonométricas. Estos ángulos son el resultado de dividir cada cuadrante en tres porciones (división en tramos de 30°) o en dos porciones (división en tramos de 45°). Algunos de estos ángulos notables son: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°. Razones Trigonométricas 84 Las razones trigonométricas circulares del ángulo se originan de las relaciones existentes entre la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de una circunferencia y el radio de la misma. En la figura podemos apreciar cómo se forma un triángulo rectángulo con el radio de la circunferencia y los segmentos de recta cuyas longitudes son la abscisa y la ordenada del punto P que pertenece a la circunferencia. Las seis razones trigonométricas de se definen como sigue: Seno sen cateto opuesto y ordenada radio hipotenusa r Coseno cos cateto adyacente x abscisa radio hipotenusa r Tangente tan cateto opuesto ordenada y abscisa cateto adyacente x Co sec ante csc Secante sec radio hipotenusa r 1 ordenada cateto opuesto y sen radio hipotenusa r 1 abscisa cateto adyacente x cos Co tan gente cot cateto adyacente x abscisa 1 ordenada cateto opuesto y tan Estas relaciones son ciertas para los ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo. Volviendo a la circunferencia, se puede observar que las coordenadas del punto P son positivas; así como el radio que siempre es positivo, por tanto todos los cocientes que presentamos son positivos. Si el punto P se ubica en alguno de los otros tres cuadrantes, las razones trigonométricas tienen diferentes signos según: 85 Signos de las razones trigonométricas. Cuad Grados Radianes signo (x,y) y sen r y cos r y tan r y csc r y sec r y cot r I 0° - 90° 0 - /2 (+ , +) + + + + + + II 90°-180° /2 - (- , +) + - - + - - III 180°-270° - 3/2 (- , -) - - + - - + IV 270°-360° (+ , -) - + - - + - 3 /2 - 2 Razones trigonométricas de los ángulos notables. La definición y los signos por cuadrante permiten calcular las razones trigonométricas de los ángulos notables: Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente 0 0 1 1 0 1 - /6 2 2 3 3 /4 2 2 /3 3 2 1 2 2 3 3 3 /2 1 0 -1 0 -1 0 3 /2 2 2 1 3 - 0 - 2 2 3 1 - -1 2 2 - -1 - 1 3 0 0 0 3 2 3 3 Reducciones de ángulos al primer cuadrante. Las funciones trigonométricas de un ángulo en cualquier cuadrante, pueden expresarse en función de los valores obtenidos para las funciones de ángulos del primer cuadrante según las siguientes expresiones: Ángulos del segundo cuadrante sen = sen(180° - ) cos = - cos(180° - ) tan = - tan(180° - ) csc = csc(180° - ) sec = - sec(180° - ) cot = - cot(180° - ) 86 Ángulos del tercer cuadrante sen = - sen( - 180°) cos = - cos( - 180°) tan = tan( - 180°) csc = - csc( - 180°) sec = - sec( - 180°) cot = cot( - 180°) sen = - sen(360° - ) cos = cos(360° - ) tan = - tan(360° - ) csc = - csc(360° - ) sec = sec(360° - ) cot = - cot(360° - ) Ángulos del cuarto cuadrante Cuando un ángulo de una función trigonométrica sea menor que 0° o mayor que 360°; se descompone según: = + (n)(360°) , donde n es un número entero Esta descomposición permite obtener el valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo al ubicarlas en un ángulo de la primera circunferencia; es decir, sen = sen + (n)(360°) = sen cos = cos + (n)(360°) = cos tan = tan + (n)(360°) = tan sec = sec + (n)(360°) = sec csc = csc + (n)(360°) = csc cot = cot + (n)(360°) = cot Veamos algunos ejemplos: a) sen225° = - sen(225° - 180°) = - sen45° = - 2 2 b) sec150° = - sec(180° - 150°) = - sec30° = - 2 3 3 c) cot240° = cot(240° - 180°) = cot60° = d) cos330° = cos(360° - 330°) = cos30° = e) sen720° = sen0° + (2)(360°) = sen0° = 0 f) csc(-390°) = csc330° - (2)(360°) = csc330° = -csc(360° - 330°) = -csc30° = -2 g) tan2565° = tan45° + (7)(360°) = tan45° = 1 h) tan(-3750°) = tan210°-(11)(360°) = tan210° = tan(210°-180°) = tan30° = 3 3 87 3 3 3 2 Triángulos y aplicaciones. Las definiciones de las razones trigonométricas dadas sobre un triángulo rectángulo, las podemos usar para determinar valores de razones trigonométricas de ángulos no notables y para resolver situaciones prácticas en las que el uso de estos polígonos es de ayuda. Determine los valores de las seis funciones trigonométricas de los ángulos , , y ; si: a) b) c) Sen = 1 3 d) Tan = 3 Solución: a) Según el teorema de Pitágoras (hip)2 = ( 3 )2 + ( 5 )2 = 34 sen = 3 34 csc = 3 34 34 34 3 5 cos = 34 hip = 5 34 34 34 5 sec = 34 tan = 3 5 ctg = 5 3 b) Según el teorema de Pitágoras ( 6 )2 = ( 2 )2 + ( cat. ady. )2 sen = 2 1 6 3 cos = csc = 6 = 3 2 sec = 4 2 2 2 6 3 6 4 2 3 2 4 88 cat. ady. = 32 4 2 tan = ctg = 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 cateto opuesto 1 = hipotenusa 3 c) Sen = Según el teorema de Pitágoras ( 3 )2 = ( 1 )2 + ( cat. ady. )2 sen = 1 3 cos = csc = 3 sec = d) Tan = 3 2 2 3 3 2 2 82 2 cat. ady. = tan = 3 2 4 1 2 2 2 4 ctg = 2 2 cateto opuesto cateto adyacente Según el teorema de Pitágoras ( hip. )2 = ( 1 )2 + ( 3 )2 = 10 sen = csc = 3 10 3 10 10 10 3 cos = sec = 1 10 10 10 10 hip. = 10 tan = 3 ctg = 1 3 Veamos unos ejemplos de cómo el conocimiento de los valores de las razones trigonométricas nos puede ayudar en la solución de situaciones prácticas: Ejemplo 1 Un cable de suspensión se adhiere a un poste de 28 pies de largo, formando un ángulo de 60° con el suelo. Encuentra: 89 a.- La distancia de A al poste. b.- La longitud del cable. Solución: El cable forma un triángulo rectángulo con el suelo y el poste; por tanto a.- b = cateto adyacente cot 60 b.- cateto adyacente cateto adyacente cateto opuesto 28 3 cat . ady. 28cot 60 28 3 Longitud del cable = hipotenusa Según el teorema de Pitágoras ( hip. )2 = ( 28 )2 + ( El cable mide 28 3 2 3136 ) = 3 3 56 3 32,33 3 hip. = 3136 56 56 3 3 3 3 pies Ejemplo 2 Un observador se encuentra a 120 metros de un árbol y descubre que la línea de visión de la punta del árbol forma un ángulo de 30° con la horizontal. Encuentra la altura del árbol sobre el nivel de los ojos del observador. Solución: Como se observa en la figura, podemos asumir que la altura del árbol es el cateto opuesto del triángulo rectángulo formado por las líneas de visión del observador y dicho árbol; asi que, para calcular la altura del árbol, podemos usar la función tangente, ya que conocemos el cateto adyacente (distancia horizontal del observador al árbol) y la incógnita es el cateto opuesto (altura del árbol) 90 3 cateto opuesto cateto opuesto 40 3 cat . op. 120tan 30 120 cateto adyacente 120 3 La altura del árbol, sobre los ojos del observador, es de 40 3 69,28 metros tan 30 Identidades Trigonométricas Identidades Fundamentales En una circunferencia de centro en el origen y radio igual a uno; resulta muy útil representar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo de hipotenusa unitaria y catetos x e y; como se ilustra en la siguiente figura: Seno sen cateto opuesto y ordenada y radio hipotenusa 1 Coseno cos cateto adyacente x abscisa x radio hipotenusa 1 Tangente tan cateto opuesto ordenada y abscisa cateto adyacente x Co sec ante csc radio hipotenusa 1 1 ordenada cateto opuesto y sen 91 Secante sec radio hipotenusa 1 1 abscisa cateto adyacente x cos Co tan gente cot cateto adyacente x abscisa 1 ordenada cateto opuesto y tan Como primera consecuencia obtenemos: sen csc 1 tan cos sec 1 y sen x cos tan cot 1 cot x cos y sen Luego, de la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 = 1 sen 2 cos 2 1 (1) Esta es la llamada primera identidad fundamental de la trigonometría; aún hay dos identidades fundamentales más que se derivan de la anterior y de las relaciones previas: sec 2 tan 2 1 (2) csc 2 cot 2 1 (3) Además de estas identidades, existen otras muy útiles que combinan razones trigonométricas y operaciones básicas, tanto a nivel de razones como de ángulos. Sumas y restas de senos y cosenos sen sen 2 sen cos 2 2 (4) sen sen 2 cos sen 2 2 (5) cos cos 2 cos cos 2 2 (6) cos cos 2 sen sen (7) 2 2 92 Sumas y restas de ángulos sen sen cos sen cos (8) sen sen cos sen cos (9) cos cos cos sen sen (10) cos cos cos sen sen (11) tan tan tan 1 tan tan (12) tan tan tan 1 tan tan (13) Con la ayuda de estas identidades vamos a demostrar las siguientes igualdades: a) senx secx cotx = 1 senx secx cotx = senx 1 cos x = 1 cos x senx b) sen2x sec2x - sec2x = -1 sen2x sec2x - sec2x = (1 - cos2x)sec2x - sec2x = sec2x - cos2xsec2x - sec2x = 1 sec 2 x = -1 2 sec x c) (senx + cosx)2 + (senx - cosx)2 = 2 (senx+cosx)2+(senx-cosx)2 = sen2x +2senxcosx +cos2x + sen2x -2senxcosx +cos2x = sen2x + cos2x + sen2x + cos2x = d) 1 + 1 = 2 1 cos x senx 2 csc x senx 1 cos x 1 cos x sen 2 x 1 2 cos x cos 2 x sen 2 x 1 cos x senx 1 cos x senx 1 cos x senx senx 1 cos x 2 2 2 cos x 21 cos x 2 2 csc x 1 cos x senx 1 cos x senx senx 93 e) tan x senx sec x 3 1 cos x sen x senx senx tan x senx cos x senx senx cos x senx 1 cos x 1 cos x 3 3 3 3 sen x sen x cos xsen x cos xsen x cos xsen 2 x 1 cos x 1 cos x 1 sec x 2 cos x 1 cos x 1 cos x cos x 1 cos x 1 cos x cos x 1 cos x f) sen(x + y)sen(x – y) = sen2x - sen2y sen(x + y)sen(x – y) = (senxcosy + senycosx)( senxcosy - senycosx) = sen2xcos2y - senxcosysenycosx + senxcosysenycosx - sen2ycos2x = sen2xcos2y - sen2ycos2x = sen2x(1 - sen2y) - sen2y(1 - sen2x) = sen2x - sen2xsen2y - sen2y + sen2ysen2x = sen2x - sen2y g) sen ( x y) tan x tan y cos x cos y sen( x y) senx cos y seny cos x senx cos y seny cos x senx seny tan x tan y cos x cos y cos x cos y cos x cos y cos x cos y cos x cos y Ángulo doble sen2 = 2 sen cos (14) sen2 = 1 cos 2 2 (16) cos2 = cos2 - sen2 (15) cos2 = 1 cos 2 2 (17) tan2 = 2 tan 1 tan 2 (18) Ángulo medio 1 cos sen 2 2 1 cos cos 2 2 (19) sen 1 cos tan sen 1 cos 2 94 (21) (20) Con la ayuda de estas identidades vamos a demostrar las siguientes igualdades: a) cos4x - sen4x = cos2x cos4x - sen4x = (cos2x - sen2x)(cos2x + sen2x) = cos2x - sen2x = cos2x sen 3 x cos 3 x 1 1 sen 2x b) senx cos x 2 sen 3 x cos 3 x senx cos x sen 2 x senx cos x cos 2 x 1 senx cos x senx cos x senx cos x 1 c) 1 2senx cos x 1 1 sen 2x 2 2 tan x senx x cos 2 2 tan x 2 senx senx tan x senx cos x senx cos xsenx 1 cos x x cos 2 senx 2 tan x 2senx 2 2 2 cos x Teorema del Seno En todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: b a b c sen sen sen a c Ejemplo 95 Dado el triángulo (figura anterior) en el cual . Calcule b y Teorema del Coseno En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman: b c 2 a 2 b2 2ab cos c a Ejemplo: Un automóvil sale de una ciudad y circula en línea recta durante 20 minutos a una velocidad media de 90 Km/h. A continuación sigue por otra carretera, que forma con la anterior un ángulo de 120°, durante 10 minutos a la misma velocidad media. ¿A qué distancia se encuentra de la ciudad de la que salió? Sol: El automóvil está a 39.69km de la ciudad de la que salió. Funciones trigonométricas inversas Las funciones inversas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Dice Denota seno inverso de x arc sen x o sin-1x 96 coseno inverso de x arc cos x o cos-1x tangente inversa de x arc tan x o tan-1x cotangente inversa de x arc cot x, o arc ctg x o cot-1x secante inversa de x arc sec x o sec-1x cosecante inversa de x arc csc x, o arc cosec x o csc-1x Ya que sen 30° = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, es decir, arc sen 0.5 = 30° 97 y tan 1 x arctan x 98 Ecuaciones trigonométricas. Las ecuaciones trigonométricas son igualdades que combinan números con funciones trigonométricas de ángulos desconocidos y que se cumplen para un determinado conjunto de valores de esta incógnita. La solución de estas ecuaciones no es más que hallar esos valores del ángulo incógnita que satisfacen la igualdad planteada. Esto se logra con la ayuda de las identidades trigonométricas estudiadas en la sección anterior y con los conocimientos algebraicos manejados en las primeras semanas de este curso. Vamos a resolver algunos ejemplos: nota: en todos los casos trabajaremos con ángulos de la primera circunferencia. Ejemplos: a) factorizando: Esto es posible si: Ya que el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante. Por tanto debemos hallar el ángulo x del primer cuadrante para el cual el coseno vale y a partir de él, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de x en cada cuadrante. Finalmente, las soluciones de la ecuación son: 99 b) Usando la identidad: , se despeja, y se sustituye, así: Se simplifica: La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes, y es negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. Por tanto debemos hallar el ángulo cuadrante para el cual la tangente vale del primer y a partir de él, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de x en cada cuadrante. si si c) tan2x = secx + 1 sec2x - 1 = secx + 1 sec2x - secx - 2 = 0 (secx + 1)(secx – 2) = 0 secx + 1 = 0 secx = -1 x = La secante es positiva en el primer y cuarto cuadrantes. Por tanto debemos hallar el ángulo x del primer cuadrante para el cual la secante vale 2 y a partir de el, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de x en el cuarto cuadrante. secx - 2 = 0 secx = 2 x = 5 ó x = 3 3 d) cos2x = cosx cos2x = cosx cos2x - sen2x = cosx cos2x – (1 - cos2x) = cosx 100 2cos2x – cosx - 1 = 0 (1) cosx = 12 42 1 22 cosx = 1 1 3 4 x = 0 El Coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrantes. Por tanto debemos hallar el ángulo x del primer cuadrante para el cual el coseno vale ½ y a partir de el, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de x en el segundo y tercer cuadrantes. cosx = 1 2 x = 2 3 ó x = 4 3 Logaritmos Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. Log a b c a c b Por ejemplo: 50 1 51 5 52 25 53 125, etc. Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log5 1 ) es 0, porque 0 es el exponente a que hay que elevar la base 5 para que dé 1; el log5 5 es 1; el log 5 25 es 2; el log5 125 es 3, etc. Pudiendo tomarse como base de un sistema de logaritmos cualquier número positivo, el número de sistemas es ilimitado. No obstante, los sistemas usados generalmente son dos: el sistema de logaritmos vulgares o de Briggs (denotados simplemente como log), cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o neperianos creados por Napier, cuya base es e 2.71828182845... (denotados simplemente como ln) 101 Son de importancia las siguientes propiedades de los logaritmos: a. La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativa, por que si fuera negativa sus potencias pares serían positivas y las impares negativas, por lo que se tendría una serie de números alternativamente positivos y negativos, y por tanto, habría números positivos que no tendrían logaritmo. b. Los números negativos no tienen logaritmo porque siendo la base positiva, todas sus potencias, ya sean pares o impares, son positivas y nunca negativas. c. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1, porque siendo b la base, tendremos: b1 b logb b 1 d. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero (0), porque siendo b la base, tendremos: b0 1 logb 1 0 e. Sean m y n dos números reales cualesquiera que los escribimos como potencias de b y en su forma logarítmica: i. m b x x logb m ii. n b y y logb n ; Multiplicando miembro a miembro i) y ii) resulta: mn b xb y b x y , tomando logaritmo a esta expresión nos queda: logb mn x y . Sustituyendo x e y por sus valores, tenemos: logb mn logb m logb n En conclusión: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. f. Sean m y n dos números reales cualesquiera que los escribimos como potencias de b y en su forma logarítmica: i. m b x x logb m y ii. n b y logb n ; Dividiendo miembro a miembro i) y ii) nos queda: 102 m bx m y b x y o sea bx y n b n Tomando logaritmo tenemos m logb logb m logb n n En conclusión: el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. g. Sea m un número real cualquiera que lo escribimos como potencia de b y en su forma logarítmica: i. m b x x logb m Elevando a la potencia n la expresión i) nos queda: mn b x m b n n tomando logaritmo tenemos: nx log b mn nx log b mn n log b m Conclusión: el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmos de la base de dicha potencia. h. Sea m un número real cualquiera que lo escribimos como potencia de b y en su forma logarítmica: i. m b x x logb m Tomando la raíz n – ésima a los dos miembros de la ecuación i) se tiene: x n m n bx b n y tomado logaritmo: logb m logn m n b Conclusión: el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo la parte subradical dividido por el índice de la raíz. Ejemplo 1: Hallar log a x en la expresión x 2 loga x loga ab3 c ab 2 c3 loga ab 2 loga c 3 loga a logb b 2 loga c 3 1 2log b 3log c a a Ejemplo 2: Hallar log a x en la expresión x m2 b 4 mb3 loga x loga m 2 b 103 loga m 3 loga b 4 Ejemplo 3: ¿Cual es el resultado del log2(64)? log2(64) = x 2x = 26 Ejemplo 4: Dado que 2x = 64 log(2) = 0,301 x = 6 y log(3) = 0,477 Calcular: a) log(3/8) = log(3) - log(8) = log(3) - log(23) = log(3) - 3 log(2) = - 0,426 b) log(5) = log(10/2) = log(10) - log(2) = 1 - 0.301 = 0,699 Ejemplo 5: Hallar el valor de x en las ecuaciones siguientes: a) log4(x+3) + log4(x-3) = 2 log4(x2-9) = 2 42 = (x2-9) x2-25 = 0 x = 5 al probar en la ecuación los valores se observa que x = 5 es la solución 2 4 b) ln x ln x ln 2 3 3 3 ln(8x2) = 0 e 0 = 8x2 x 1 8 Exponenciales. Llamaremos exponencial a toda aquella expresión cuya base sea un número real o una expresión de una(s) variable(s) real(es), y cuya potencia sea una expresión de una(s) variable(s) real(es). Estas expresiones cumplen con las propiedades de las potencias, tratadas en la unidad I; es decir: ii.- ax/ay = ax – y i.- ax . ay = ax + y iv.- (a.b)y = ay.by iii.- (ax)y = ax.y v.- (a/b)y = ay/by Ecuaciones exponenciales Son ecuaciones que tienen expresiones exponenciales. Ellas se resuelven usando las propiedades de las potencias, para reducir el problema a la comparación de los exponentes; o usando logaritmos y sus propiedades para descomponer las potencias en productos y así despejar las incógnitas según lo visto en la Unidad II. Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones: a) 625 x 625x 2 2 255 x 1 255 x 1 5 5 5 4 x 2 2 x 1 54x 2 5 2x 2 2 4x 2x 2 Al resolver la ecuación de segundo grado resultante, se obtiene: x = 1 ^ x = -½ 104 b) 52x – 1 = 7x + 2 ln(52x – 1) = ln(7x + 2) 2x ln(5) - x ln(7) = 2 ln(7) + ln(5) 122 32 4 122 32 c) 4 x (2x – 1) ln(5) = (x + 2) ln(7) x 2 ln 7 ln 5 2 ln 5 ln 7 x x x 2 x 2 x x SOLUCIÓN 32 0 12 2 2 4 2 x 4 x 2 8 2 x x 4 2 8 0 x 2 8 x 2 x2 x 3 x3 2 2 2 2 Ejercicios Propuestos Unidad IV 1.- Convierte de grados a radianes o de radianes a grados, según el caso: a. 1 g. –33° m. 0,25 b. 25 h. 625° n. – 6,5 c. 150 i. 212° o. 2 d. 135 j. 378° e. –1815° k. 0,28 f. 1215° l. q. 13 14 s. 14 7 t. p. 3 0.36 r. 5 5 24 25 u. – 0,57 4 2.- Determine los valores de las razones trigonométricas dadas, usando fórmulas de reducción al primer cuadrante. 1. sen(3930°) 4. csc(-9,25) 7. tg(-1680°) 10. tg(630°) 2. cos( 13 ) 3 5. cos(1950°) 8. sec( 26 ) 3 11. sec(3120°) 3. ctg(210°) 6. sen( 39 ) 4 9. csc(765°) 105 12. ctg(-390°) 3.- Determine los valores de las seis razones trigonométricas de los ángulos , , y ; en cada caso: f. a. 6 5 g. b. 3 c. h. 3 1 2 d. i. 5 4 e. j. 106 k. sen l. sec q. ctg 0,3 2 3 r. 5 3 tg 10 91 91 s. cos 5 m. sen 3 n. cos 0,7 t. o. tan 6 sec 7 4 6 7 7 u. ctg 2 6 p. csc 10 v. csc 5 4.- Desde la punta de un faro a 120 pies sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión (ángulo hacia abajo desde la horizontal) en dirección a un barco a la deriva en el mar es de 30°. ¿A qué distancia está el barco de la base del faro? 5.- Cuando el ángulo de elevación (el ángulo hacia arriba desde la horizontal) del sol es de 30°; en Paris, la Torre Eiffel forma una sombra horizontal de 1800 pies de largo. ¿Qué altura tiene la torre? 6.- Sara está volando una cometa y tiene sus manos a 5 pies por encima del suelo. Si la cometa está a 200 pies por arriba del suelo y la cuerda del cometa forma un ángulo de 45° con la horizontal. ¿Cuántos pies de cuerda está usando? 7.- Un obrero se encuentra a 6 metros de un poste de electricidad y, por efecto de la luz de este, proyecta una sombra de 1 metro. Si la estatura del obrero es 1,8 metros, ¿cuál es la altura del poste? 8.- Una persona de estatura 1,80 metros proyecta una sombra de 1,50 metros cuando se encuentra a una distancia de 15 metros de un poste de iluminación. ¿Cuál es la altura del poste? 9.- Un árbol arroja una sombra de 5 metros al tiempo que un poste próximo a el proyecta una sombra de 2 metros. Si el árbol y el poste forman ángulo recto con el suelo, ¿Cuál es la altura del árbol si el poste mide 6 metros de altura? 10.- Dos postes de alturas 30 y 15 metros, están separados una distancia de 50 metros. Si se unen los postes mediante dos cables atando, a la vez, el extremo 107 superior de uno con el extremo inferior del otro, ¿ a qué altura sobre el suelo se cruzan dichos cables? 11.- Para encontrar la distancia entre dos puntos A y B un topógrafo elige un punto C que está a 1125 m de B. Si el ángulo en B mide 30° y en C 90°, calcule la distancia entre A y B. 12.- Dos automóviles parten del mismo punto y viajan sobre dos carreteras que se desvían en 90°. ¿Cuál será la distancia que hay entre los dos, después de 20 minutos, si sus velocidades son 60 y 45 Km/h, respectivamente?. 13.- Un observador, desde una plaza, mira la azotea de un edificio con un ángulo de inclinación de 30°. Si se desplaza en dirección al edificio, el ángulo de inclinación de su visual con respecto a la azotea cambia a 45° cuando ha avanzado 40 m. Se pide la altura del edificio y la distancia que los separaba. 14.- Una persona se encuentra a 120 m de un árbol, y observa que su línea visual con la punta del árbol forma un ángulo de 30° con la horizontal. Calcula la altura del árbol sobre el nivel de los ojos de la persona. 15.- En la navegación aérea, las direcciones se especifican en grados siguiendo el sentido de las manecillas del reloj a partir del norte. Un avión sale de un aeropuerto y viaja 100 Km en una dirección de 300°. ¿A qué distancia al norte y al oeste se encuentra el avión del aeropuerto? 16.- La cuerda de una cometa forma un ángulo de 30° con el piso y tiene una longitud de 455 m. ¿A qué altura se encuentra la cometa?. 17.- Un helicóptero está fumigando un campo sembrado de cambures a una altura constante de 30 metros. El dueño del campo supervisa la tarea y observa que al iniciar la aspersión, el ángulo de elevación de su visual al helicóptero es de 60° y al terminar la aspersión, volando en línea recta, el ángulo a variado a 30°. Si el conoce que su campo mide 45 m, ¿puede usted indicarle si la fumigación se hizo en toda la longitud del campo o no? 18.- Desde su oficina, ubicada en el tercer piso del edificio administrativo, a 30 m del silo principal de la planta; el gerente general observa a un operador en la azotea del silo, con un ángulo de elevación de 45°, y a otro operador en la base del silo, con un ángulo de 30°. ¿Qué altura tiene el silo?. 108 19.- Un obrero está asperjando un cultivo de mandarinas con una asperjadora manual. La tarea la realiza moviendo la boquilla de arriba hacia abajo y viceversa, con movimientos verticales de su mano. Si el se encuentra a 2 m del árbol y su mano se mueve hacia arriba con un ángulo de 60° y hacia abajo con un ángulo de 30°, ¿qué altura tiene el árbol?. 20.- Desde una avioneta a 15000 pies, el piloto observa hacia el frente, el canal de un sistema de riego desde la derivación en el embalse, con un ángulo de depresión de 60°, en línea recta hasta la descarga en su finca, con un ángulo de depresión de 30°. ¿Qué distancia hay desde el embalse hasta la finca?. 21.- Al encontrarse sobre la derivación en el embalse, el piloto del problema anterior disminuye su altura y observa el final del canal en la finca con un ángulo de depresión de 45°. ¿A qué distancia está del final del canal y cuál es su altura?. 22.- Demuestre las siguientes identidades: x 1 cos x a. tan senx 2 b. csc2 x cot 2 x 2 1 tan x c. senx cos x csc2 x tan 2 x 1 senx cos x j. sec x 1 2 csc x ctgx sec x 1 x 2 tan 2 senx k. x 1 tan 2 2 senx sen3x l. tan 2 x cos x cos 3x d. (senx + cosx)2 = 1 + sen2x e. sen3 x cos3 x 1 1 sen2 x senx cos x 2 m. 1 cos 4 x 2 cos 2 2 x 2 tan x f. 1 tan 2 x cos 2 x 1 tan 2 x n. 1 sen2 x cos 2 x cot x 1 sen2 x cos 2 x sec2 x sec 2 x o. 2 sec2 x 2 1 ctg x csc 2x g. 2 ctgx 4 1 cos 2 x h. cot x sen2 x i. 2 2 p. tg sen 4 3 1 1 cos 2 x cos 4 x cos 4 x 8 2 8 sen 2 cos 4 q. cos sen cos 2 r. 109 sec y csc y csc y 1 tgy z. senx ctgx senx ctgx tgx csc x aa. cosa b tga b tga tgb cos a cos b cos 2 y 2 cos y sec y cos y bb. sen sen tg cos cos cos 2 y sen 2 y csc y seny cos y cc. sen3y cos 3y 2 seny cos y w. sen 2 y tgy 1 cos 2 y dd. cos 1 tg tg cos cos x. 1 cos 2x 1 tgx tg2x ee. tg2 y s. (sec + tg)(1-sen) = cos 2 t. 4 4 sec y tg y 1 sen y 2 cos y u. v. y. sen(x+y)sen(x-y)=sen2x–sen2y 1 1 1 tgy 1 tgy 23.- Calcule: d) a) b) e) c) f) Problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno 24.- Dado el trianguloABC: 110 Resolver: 25.- Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C, que dista del primero 42,6 m, desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento b angulos A=53,7º y C=64º. Hallar la distancia c. Sol: 43,24 m 26.- En una plazoleta de forma triangular, los lados a, b y c miden 60 m, 75 m y 50 m. respectivamente. ¿Qué ángulos se forman en las esquinas de la misma? 27.- Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente. 28.- En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras ue α, β y son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso: a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35º d) a = 12 cm. b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m. e) α = 53º β = 75º c) c = 10 cm. β = 40º α = 70º f) α= 48º = 68º b = 16 cm β= 43º c = 30,5 cm. c = 47,2 mm. 29.- Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 30.- Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. 31.- Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 20 km/hr y el otro a 30 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de 90 minutos de viaje. 32.- Un automóvil sale de una ciudad y circula en línea recta durante 30 minutos a una velocidad media de 90 Km/h. A continuación sigue por otra carretera, que 111 forma con la anterior un ángulo de 120°, durante 20 minutos a la misma velocidad media. ¿A qué distancia se encuentra de la ciudad de la que salió? 33.- Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ángulo a entre ellos. 34.- Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas: (0 x < 2) a. 2senx + b. 2cos2x + c. x. sen2 x 3senx 1 0 3 = 0 y. cos2x + 2cosx = 3 3 = 0 z. 2sen2x + 6senx = -4 3 tgx + 1 = 0 aa. cos x senx sec x sec x tan x d. (tgx + 1)( 3 ctgx - 1) = 0 sec x sec x 1 2 csc x senx e. 2cos2x = 1 bb. f. 4sen2x - 1 = 0 cc. sen2x – 2senxcosx – cos2x = 0 g. 1 cos x 3senx dd. 2sen2x+ 4senxcosx– 4cos2x =1 h. 2sen2 x senx ee. 2(1 – cosx) = senx tgx i. 2sen2 x senx 1 0 ff. 2(senx + cosx) = secx j. 2 tan xsenx tan x 0 gg. tg2x + 3secx + 3 = 0 hh. tg2x - 2 = 2sec2x + tgx k. sen2x ctgx - 2 cosx = 0 l. ii. 3ctg2x - 6ctgx + 3 = 0 sen2xsenx - cos2xcosx = -cosx jj. 16cos4x - 16cos2x + 3 = 0 m. sen2xcosx – senxcos2x = 1 kk. sen9x + sen5x + 2sen2x = 1 n. cos2xcosx + sen2xsenx = 1 o. sen2x + senx + 2cosx + 1 = 0 ll. tan 2 x 3tan x p. cos2x + cosx = - 1 mm. q. 2cos x sec x 3 x nn. cos cos x 1 2 r. 2cosx + 2senx = 8 4senx 4sen3 x cos x 0 oo. senx cos x s. 2senx - cscx = 1 t. senx = secx - cosx 3 4 pp. (1 – cosx) (1 + cosx) = ½ u. 2 tan x sec2 x 0 qq. sen x sec x cos x 0 2 v. 2sen2x + 3cosx = 0 w. senx 2 senx 1 0 112 rr. sen x cos x 1 2 uu. cos 2x 3 cos x sec x cos x ss. cos x sen x 1 2 vv. sen3x cos 3x 2tg2x senx cos x 2 2 tt. sen x cos x 0 2 35.- Hallar el valor de x usando la definición de logaritmo: a) log2(64) = x e) log4(x) = 3/2 i) logx(4) = ½ b) log5(625) = x f) log2(x) = - 3 j) logx(8) = 3 c) log7(323) = x g) log10(x) = - 2 k) logx(1111) = 1 d) log6(216) = x h) log91(x) = 0 l) logx(9) = 2/3 36.- Dado que log2 = 0,301 y log3 = 0,477; resolver: 1. log(8/9) 4. log(36) 7. log(30) 2. log(1/27) 5. log(0,09) 8. log(300)-1 3. log(54) 6. log 4 9. log(0,006) 72 37.- Aplicar los logaritmos y sus propiedades para descomponer las siguientes expresiones en sumas de logaritmos: a3b2 x3 4 a b a) c x d) 2 3 a 3 4 a b a b a b ab b 3 1 a a2 b 1 2 2 b) c 2 a b a 2b ab c e) ab 3 5 f) 5 g) 3 c) a3 b ab pq 1 r 2 3 s 2 pq 3 2 c 2 5 m 2 3 5 c 113 4 3 b 2 2 a b 3 mp 3 a bc a bc 7 4 2 2 3 2 m np a b 24 a b c m b 4 i) 2 3 h) 2 m n p 5 pq rs 3 5 6 m n 5 3 4 n p a b 5 3 3 j) a 3b 2 5 1 3 a b ab a a a b p k) 3 q 2 3 r t 6 5 3p q n) 4 8 rp 2 3 a b x m) c a 2 a b a b x 4 3a 1 2 2 2 c a b b a 2 a 1 a x c 5 b b2 p) a b x b a b ab a 3 1 b 3 4 t 2 2 3 1 3 3 2 x l) 3 y 3 4 z s 5 2 3 2 5 4 2x y 6 z 2s 2 b 3 x o) x 3 ab 5 38.- Aplicar los logaritmos y sus propiedades para escribir las siguientes expresiones como un solo logaritmo: a) ½logx + 3logy - 2logz 1 log r 6 log s 5 f) 3 log p log q 2 3 4 b) ln3x + 2(ln2x - lnx) 5 log z c) 5logx - 3logy + 2 log w 3 7 ln t g) 5 ln x ln y 3 ln z 2 4 5 1 1 h) ln x 2 ln a ln m 3 ln a b 4 ln n 5 2 d) 2logx + 3log(x + 2) - log(x2 + 5) e) (- 2/3)logx + (5/2)log(2x2 + 3) i) log x 32 log p 3 log k 4p log m 39.- Calcular logx en la siguientes expresiones: a) a 3a 2 xx x 3 3 b) ab x 3 2 3a 5 x2 b x 3 2 a b 2 x 2 d) 4 3 3 2 3 y z s 8 y 5 s z 1 3 5 2 5 10 b c 3 10 b x 4 5 x 7 2 g) z 2 5 y x 2 3 2 5 5 4 2x y 6 z 2s 1 2 c 1 s 5 9 32 x y 9z x2 a 1 h) x a2 114 4 3 q) 3 3 t 4 y 2 f) c a b 2 a x c x 3 i) a b 6 c) a b a b x e) c 2 x4 2 2 2 5 4 2 2 3 2 5 16 z 4 m x p 4 t 10 7 2 81s 5 3 2 4 x z a bc 2 2 m xp a bc 7 6 5 2 6 r) a b 3 mp 5 x p n 3 3 3 m n 5 3 4 n p a b 5 40.- Calcular el valor de x en las siguientes expresiones: a) log x 2 log a 4 log b 5 log c 3 log d b) ln x ln m 2 ln n 5 ln p g) log x c) log x 2 log a log 5 3 2log c k 2 5 h) 3log x 5 2log x 3log a d) log x 2 10 log 5 3 log b log 11 1 e) log x 5 log 3 a 1 3 f) 3log a 5log b k a 2log c log x 7 log 2log a 6log 3 5 5 i) x log x 3 3log a 2log 3 log 2 2 j) 2log x log 2 log x 1 3 41.- Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones: b) log4(x + 3) + log4(x - 3) = 2 x2 0 o) log 4 2x 3 c) log3(x + 7) - log3(x - 1) = 2 p) a) log5(2x + 3) = log5(11) + log5(3) log 2 x 1 2 log 2 x 1 d) log(x - 2) - log(2x + 3) = 0 2 2 e) logx + log(x - 15) = 2 log 2 log 11 x q) log 5 x f) log(x2 - 49) = log(9x + 63) r) ln x ln x ln 2 g) log3(13x + 3) - log3(x + 1) = 2 5 1 5 s) log x 3 log x 3 log x 27 4 2 3 h) log5(x2 + 21x – 10)– log5(5x– 1)= 1 2 i) 2(log4x) + 3log4x - 2 = 0 2 j) (logx8) - logx8 - 6 = 0 3 logx 2 16 log2 x 16 t) 2 u) x 4 3 v) 64 x + 1 = 22x + 5 k) log5(2x - 1) = 2 l) log10 log(logx w) 343 2x 6 - 10 ) = 1 x) m) log8log4(log2x) = 0 625x 2 49 2 7 3x x2 255 x 1 y) 3x + 1 +3x + 2 +3x + 3 +3x + 4 = 120 x 2 1 n) log 2 x 2 z) 52x + 1 = 6x – 2 aa) 43x – 2 = 15 115 bb) 102x + 3 = 200 ii) 9x – ½ + 3x = 36 cc) 122x + 5 = (55) (73x) jj) 5x + 55 - x = 150 dd) xlnx = x kk) 52x + 1 - 126(5x) + 25 = 0 ee) xln(x + 3) = (x2)ln(x + 1) ff) 4 x x 1 3 ll) 49 8 mm) x gg) 4 - 21(2 ) + 80 = 0 x 4 8 7 x 1 x x 7 0 6 3 52 x x 4 2 3 hh) 2(4x + 1) + 31(2x) - 4 = 0 UNIDAD V: MATRICES Y DETERMINANTES Matrices. Definición: Un arreglo rectangular de números que consiste en m filas y n columnas, Es llamado matriz de m*n o matriz de orden m*n. Para la entrada , llamamos i el subíndice de la fila y j el subíndice de la columna. Por brevedad, una matriz de m*n puede ser denotada por el símbolo [aij]m*n o de manera más sencilla [aij], donde el orden se entiende que es el apropiado para el contexto dado. Esta notación sólo indica qué tipos de símbolos son utilizados para denotar la entrada general. Una matriz que tiene exactamente una fila, tal como la matriz de orden 1*4 A = [ 1 7 12 3], es llamada matriz fila, o vector fila. Una matriz que consiste en una sola columna tal como la matriz de orden 5*1 116 1 2 15 , 9 16 es llamada matriz columna, o vector columna. Matrices Especiales: Tipo Forma Matriz Fila o Vector Fila Ejemplo Matriz Columna o Vector Columna Matriz Cuadrada Matriz Diagonal Matriz Identidad Matriz Nula Igualdad de Matrices Las matrices A = [aij] y B = [bij] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden y aij = bij para cada i y cada j ( esto es, entradas correspondientes son iguales).Por tanto 1 1 2 2 2 1 = , 2 * 3 0 6 0 117 pero 1 [1 1] y [1 1] [1 1 1] 1 (diferentes tamaños). Algebra de matrices Suma de Matrices Sean las matrices de orden y . Luego, la matriz y se obtiene como sigue: Por ejemplo, sean 3 0 2 A 2 1 4 5 3 6 B . 1 2 5 y Como A y B son del mismo tamaño (2*3), su suma está definida. Tenemos 3 5 0 (3) 2 6 8 3 4 AB C 2 1 1 2 4 (5) 3 1 1 Propiedades para la suma de matrices A+B=B+A (Propiedad conmutativa) A + (B + C) = (A + B) + C (Propiedad asociativa) A+O=O+A=A (Propiedad del neutro aditivo) Ejemplos: Sean: a. Demostrar que A + B = B + A. Solución: 1 3 3 A + B = ; 1 3 2 1 3 3 B+A= . 1 3 2 Por tanto, A + B = B + A. b. Demostrar que A + (B + C) = (A + B) + C. Solución: 118 es 2 2 1 1 4 2 A + (B + C) = A + , = 1 5 2 1 5 3 3 3 1 1 4 2 (A + B) + C = +C= . 1 3 2 1 5 3 c. Demostrar que A + O = A. 1 2 1 0 0 0 1 2 1 A+O= + 0 0 0 = 2 0 1 = A. 2 0 1 Solución: Multiplicación por un escalar Sean la matriz y el escalar . Luego, la matriz y se obtiene como sigue: es de orden Por ejemplo, 1 0 2 3(1) 3(0) 3(2) 3 0 6 = = . 2 1 4 3(2) 3(1) 3(4) 6 3 12 -3 1 2 A= , 4 2 Sean 3 4 B= , 7 1 0 0 O= . 0 0 Calcular lo siguiente, a) 4A 1 2 4(1) 4(2) 4 8 4A = 4 = = . 4 2 4(4) 4(2) 16 8 b) –2/3 B 2 2 ( 3 ) ( 4 ) 2 3 4 2 2 3 3 B 3 3 7 1 2 (7) 2 (1) 14 3 3 3 8 3 . 2 3 c) ½ A + 3B 1 1 1 1 2 3 4 A 3B 3 2 2 2 4 2 7 1 2 d) 0A 1 2 0 0 0A = 0 = = O. 4 2 0 0 e) kO 119 19 1 9 12 11 . 2 1 21 3 23 2 0 0 0 0 kO = k = = O. 0 0 0 0 Resta de Matrices Sean las matrices es de orden y . Luego, la matriz y se obtiene como sigue: Multiplicación de Matrices Sean las matrices y . Luego, la matriz es de orden . Para efectuar la multiplicación de matrices debemos tener matrices conformables. Es decir, que, el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz B y se obtiene como sigue: Así: Ejemplo: Sean las matrices y Luego el número de columnas de A es igual al número de filas de B (p=3), por lo que se puede hallar el producto AB de orden 2x3 120 Así, Tres puntos concernientes a la definición anterior de AB deben ser completamente comprendidos. Primero, la condición de que A sea de m*n y B sea de n*p, es equivalente a decir que el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Segundo, el producto será una matriz de orden m*p; tendrá tantas filas como A y tantas columnas como B. A m*n B n*p = C m*p Deben ser iguales Tamaño del producto Tercero, la definición se refiere al producto AB, en ese orden; A es el factor izquierdo y B el factor derecho. Para AB decimos que B está premultiplicado por A, o bien que A está posmultiplicado por B. repasemos el ejemplo anterior: 1 0 3 2 1 6 AB = 0 4 2 . 1 3 2 2 1 1 121 La matriz A tiene tamaño 2*3 (m*n) y la matriz B tiene tamaño 3*3 (n*p). El número de columnas de A es igual al número de filas de B (n=3), de modo que el producto C está definido y será una matriz de 2*3 (m*p): c c c C = 11 12 13 . c21 c22 c23 La entrada c11 es obtenida sumando los productos de cada entrada en la fila 1 de A por la “correspondiente” entrada en la columna 1 de B. Así Entradas de la fila 1 de A C11 = (2) (1) + (1) (0) + (-6) (-2) = 14. Entradas de la columna 1 de B En este paso tenemos 1 0 3 2 1 6 = 14 c12 c13 . 0 4 2 1 3 2 2 1 1 c21 c22 c23 De manera similar, para c12 usamos las entradas de la fila 1 de A y las de la columna 2 de B: Entradas de la fila 1 de A C11 = (2) (0) + (1) (4) + (-6) (1) = -2. Entradas de la columna 2 de B Ahora tenemos 1 0 3 2 1 6 14 2 c13 . 1 3 2 0 4 2 = c 2 1 1 21 c22 c23 Para las restantes entradas de AB obtenemos C13 = (2) (-3) + (1) (2) + (-6) (1) = -10. C21 = (1) (1) + (-3) (0) + (-6) (-2) = -3. C22 = (1) (0) + (-3) (4) + (-6) (1) = -10. C23 = (1) (-3) + (-3) (2) + (-6) (1) = -7. 122 Así 1 0 3 2 1 6 = 14 2 10 . AB = 0 4 2 1 3 2 2 1 1 3 10 7 Observe que si invertimos el orden de las matrices, el producto no es conformable, ya que el número de columnas de B (3) no es igual al número de filas de A(2): Propiedades de la multiplicación de matrices A(BC) = (AB)C (Propiedad asociativa) A(B + C) = AB + AC (Propiedad distributiva) (A + B)C = AC +BC Am*n In = A ; In Bn*p = B ; An*n, entonces AI = IA = A Am*n On*p = Om*p Ejemplos: 1) Sean las matrices: A , y Comprobar que: 1 0 1 2 3 0 1 = 1 2 2 1 = 4 9 . A (BC) = 0 2 3 4 1 1 2 1 1 3 4 3 4 6 19 1 2 3 0 1 1 0 1 2 5 1 0 4 9 0 2 = (AB)C = 5 4 11 0 2 = 6 19 . 3 4 1 1 2 1 1 1 1 Por tanto, 2) Verificar que A(B + C) = AB + AC si 1 0 A= , B = 2 3 2 0 1 3 , y C = 2 1 0 2 . 1 0 2 0 2 1 1 0 2 1 4 1 A(B + C) = . = = 2 3 1 3 0 2 2 3 1 5 5 17 123 1 0 2 0 1 0 2 1 2 0 2 1 4 1 AB + AC = + = 2 3 1 3 2 3 0 2 1 9 4 8 5 17 Por tanto, A(B + C) = AB + AC. Matriz Traspuesta: Sea la matriz de orden mxn. Se llama Matriz Traspuesta de A y T se denota A , a aquella cuya i-ésima fila es la i-ésima columna de A. Esto es, de orden nxm encontrar AT , Ejemplo: Sea Solución: La matriz A es de 2*3, de modo que A T es de 3*2. La columna 1 de A se convierte en la fila 1 de AT, la columna 2 se convierte en la fila 2 y la columna 3 se convierte en la fila 3: 1 4 A = 2 5. 3 6 T Observe que las columnas de AT son las filas de A. Debe darse cuenta de que si tomamos la traspuesta de nuestra respuesta, obtendremos la matriz original A. Esto es, la operación traspuesta tiene la propiedad de que: (AT)T = A. Determinantes. Definición Si A es una matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia con A exactamente un número real llamado determinante de A. Denotado el determinante de A con IAI Si: Ejemplo: Si: Si: es una matriz cuadrada de orden 1, entonces: , entonces: es una matriz cuadrada de orden 2, entonces Ejemplo: 124 Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea la matriz de orden que se obtiene de A al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima de A. se denomina ij- ésimo menor de A. El ij-ésimo cofactor de A denotado por es: Determinante de una matriz cuadrada Para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden n (n>2), seleccione cualquier fila (o columna) de A y multiplique cada entrada en la fila (columna) por su cofactor. La suma de estos productos será el determinante de A, llamado determinante de orden n. Ejemplo: Hallar el determinante de A: Así: Tomamos la primera fila para determinar los cofactores: Donde: 125 De aquí, Se puede evaluar un determinante de orden 3 como sigue. Copie la primera y la segunda columnas a la derecha como se muestra a continuación . Así: Matriz Adjunta. Definición La matriz adjunta de una matriz cuadrada , es la matriz traspuesta de la matriz de cofactores de la matriz A. Se denota por: Dada la matriz ; Donde: Ejemplo: Hallar la matriz adjunta de A, si: 126 , es decir: Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones La regla de Cramer es una técnica que permite la solución de sistemas de ecuaciones lineales, mediante el uso de determinantes. Una incógnita es igual a una fracción que tiene por denominador el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas, el cual llamamos determinante del sistema () y por numerador al determinante anterior, sustituyendo la columna correspondiente a la incógnita por la columna de los términos independientes (j). Resolución de un determinante de segundo orden: Un determinante de segundo orden es una cantidad representada por un ordenamiento en cuadro de 22 cantidades, llamadas elementos, ordenadas en 2 filas y 2 columnas. La solución se obtiene calculando los productos de las diagonales y restándolos. A la diagonal que se traza de izquierda a derecha se le llama diagonal principal, y al producto de sus elementos se le resta el producto de la llamada diagonal principal, la cual se traza de derecha a izquierda. 127 2 4 (2)(8) (4)(6) 16 24 8 6 8 Un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas puede escribirse como: Si el determinante denotado por es diferente de cero ( 0), entonces el sistema tiene una solución única dada por: Donde es la matriz ue se o tiene sustituyendo la columna “i” por el vector D de constantes, así: Resolución de un determinante de tercer orden: Un determinante de tercer orden es una cantidad representada por un ordenamiento en cuadro de 32 cantidades, llamadas elementos, ordenadas en 3 filas y 3 columnas. El modo más sencillo de hallar el valor de un determinante de tercer orden es aplicando la Regla de Sarrus. Explicaremos esta sencilla regla práctica con un ejemplo. 1 2 3 Resolver: 4 2 5 1 1 , por la regla de Sarrus. 3 Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas y tenemos: 128 1 2 3 4 5 2 1 1 2 3 4 5 1 3 1 2 3 4 2 1 2 1 1 3 1 2 3 4 2 1 Los productos de los números que hay en la diagonales trazadas de izquierda a derecha (diagonales principales) se escriben con signo (+) y los productos de los números que hay en la diagonales trazadas de derecha a izquierda (diagonales secundarias) se escriben con signo (-). Entonces: 1 2 3 4 2 5 1 1 1.2.3 4 . 1 . 3 5. 2 .1 3 .2.5 1. 1 .1 3. 2 . 4 3 6 12 10 30 1 24 16 7 16 7 9 Ejemplo: resolver el sistema dado, aplicando la regla de Cramer: 129 La solución del sistema es: x = 3 ; y = 2 ; z = -1 Ejercicios Propuestos. Unidad V 1. Dadas las matrices: 3 2 1 A 4 0 2 0 3 2 B 4 2 1 1 2 D 0 1 4 1 1 3 E 2 1 4 4 6 0 F 3 7 8 2 2 1 G 2 0 1 0 H 5 4 0 3 1 0 2 J 0 1 3 3 2 4 1 3 5 6 1 5 1 2 2 4 0 C 1 2 3 4 1 2 5 2 M 2 K 1 0 1 L 4 1 2 3 1 7 Realizar, si son posibles, las operaciones que se piden a continuación: A+B A –B E+F C–B+A (H – D) + (E – F) 4L – EM 3D + 5H – 4(E + F) G+K 3J + 2K (1/2)G CD DC CM GH JK AD + BH + CF (GD)A (KL) – 6M KG [J(E + H)] – F 130 2.- Calcular la matriz adjunta de las siguientes matrices. 2 1 11 3 6 3 a. b. c. 1 2 7 2 4 2 4 1 1 0 1 d. 2 1 0 1 1 1 1 2 3 e. 4 5 6 7 8 9 1 3 2 3 1 0 f. 1 1 1 1 1 2 5 1 3 1 0 g. 2 9 8 4 3.- De los ejercicios propuestos en la Unidad III, resolver los sistemas de ecuaciones y los problemas conducentes a sistemas de ecuaciones, usando la regla de Cramer. 131 BIBLIOGRAFÍA AYRES, F. 1978. Fundamentos de Matemáticas Superiores. Editorial McGraw – Hill. México. BALDOR, A. Álgebra. Editorial Cultural Venezolana. Eneva. Caracas. CENAMEC. 1993. Matemáticas, Funciones exponenciales y logarítmicas. FLEMING, W, VARBERG. 1991. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 3ra. Edición. Prentice may. México. JIMÉNEZ R, J. 1973. Matemática V. Eneva. Caracas. GOATACHE, Y. 1998. Matemática Básica. Curso Propedéutico. Facultad de Agronomía. Universidad Central de Venezuela. Maracay. LEITHOLD, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica. Sexta Ed. Harla. México. NORAKIS, V. 1976. Cálculo I. UPEL – IPMAR. Departamento de Matemáticas. Maracay. NAVARRO, E. Matemática para 4° año. Caracas. PANTOJA, H. 1991. Matemática 8vo. Grado. Ediciones Eneva. Caracas. SALAZAR, J y otros. 1977. Matemáticas 9no. Grado. Editorial ROMAR. SALAZAR, J y otros. 1992. Matemática 7mo. Grado. Editorial ROMAR. SMITH, S y otros. 1997. Álgebra y Trigonometría. Addison – Wesley Iberoamericana. Delaware, USA. TRUJO, C. 1978. El concepto de Número. 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