Trigonometría - IES Valle del Andarax

B
D
C
D
30º
45º
A
30 m
cotgα
α
cosecα
α
secα
α
r=1
α
O
cosα
α
tgα
α
senα
α
Emilio
Martínez
Ros
Trigonometría Plana
1. Ángulos. Unidades para su medida.......................................................1
1.1 Ángulos y arcos
1.2 Unidades para la medida de ángulos
• Sistema sexagesimal
• Sistema Internacional
1.3 Ampliación del concepto de ángulo
• Ángulos orientados
• Ángulos de barrido
2. Razones trigonométricas de un ángulo .................................................4
2.1 Definiciones
2.2 Signo de las razones trigonométricas de un ángulo
2.3 Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo
• Identidades trigonométricas
• Obtención de las razones de un ángulo a partir de una de ellas
3. Ángulos relacionados por sus razones trigonométricas.........................8
3.1 Ángulos de distinto cuadrante
3.2 Ángulos complementarios
4. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo ...........................9
4.1 Razones trigonométricas de los ángulos más utilizados
• Ángulos extremos de los cuadrantes
• Ángulos 30º, 45º y 60º
• Ángulos asociados a los anteriores
4.2 Razones trigonométricas de los restantes ángulos
5. Operaciones recíprocas al cálculo de razones ....................................12
6. Resolución de triángulos rectángulos..................................................14
6.1 Relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo
6.2 Casos de resolución de triángulos rectángulos
6.3 Aplicaciones
7. Razones de los angulos suma, diferencia, doble y mitad ....................18
7.1 Suma de ángulos
7.2 Diferencia de ángulos
7.3 Ángulo doble
7.4 Ángulo mitad
7.5 Aplicaciones
8. ¡Uf!, más fórmulas trigonométricas......................................................21
8.1 Fórmulas de transformación de productos en sumas
• senαcosβ
• senαsenβ
• cosαcosβ
• senA+senB
• senA-senB
• cosA+cosB
8.2 Fórmulas de transformación de sumas en productos
• cosA-cosB
9. Ecuaciones trigonométricas ................................................................23
10. Resolución de triángulos.....................................................................24
10.1 Relaciones entre los elementos de un triángulo
• Teorema del seno
• Teorema del coseno
10.2 Casos de resolución de triángulos
10.3 Aplicaciones
EJERCICIOS
Trigonometría Plana
Trigonometría Plana
Trigonometría es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto el estudio de
las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo.
Esta rama de las Matemáticas es especialmente útil en Física para el estudio de
fuerzas, fenómenos vibratorios y ondulatorios, etc. y en Topografía para la medida de
terrenos, distancias entre puntos inaccesibles, etc. También se usa en otros campos
como Astronomía, Navegación, ...
1. Ángulos. Unidades para su medida
1.1 Ángulos y arcos
Dos semirrectas n y s con origen común O dividen al plano
en dos regiones, α y β. Cada una de estas regiones es un ángulo.
Las semirrectas n y s son los lados de ambos ángulos y O el
vértice.
Si trazamos una circunferencia con centro en el vértice O y
radio cualquiera, los lados n y s la cortan en dos puntos,
respectivamente A y B. Estos, determinan sobre la
circunferencia dos arcos, en la figura contigua dibujados con
distinto trazo.
s
β
β
α
O
n
B
s
O
n
A
Como a cada ángulo corresponde un arco de circunferencia y recíprocamente,
para identificar un ángulo concreto, en adelante dibujaremos además de sus lados, su
arco correspondiente.
s
s
α
O
β
n
O
n
1.2 Unidades para la medida de ángulos
Un ángulo y su arco de circunferencia correspondiente utilizan la misma
medida. Para obtener esta, existen varias unidades de medida, de las cuales las más
utilizadas son:
•
El grado sexagesimal, que con sus submúltiplos, el minuto y el segundo,
constituyen el Sistema Sexagesimal de medida de ángulos.
•
El radián, que es la unidad de medida de ángulos en el Sistema Internacional.
1
Trigonometría Plana
Sistema sexagesimal
La unidad fundamental de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el
grado sexagesimal (º) que, como sabes, es la medida del ángulo cuya amplitud es la
noventava parte de un ángulo recto.
Para medir ángulos más pequeños utilizamos los submúltiplos del grado:
• 1 minuto (1') = sesentava parte de grado.
• 1 segundo (1") = sesentava parte de minuto.
La medida de un ángulo en este sistema puede venir expresada en una única
unidad (forma incompleja) o en varias (forma compleja):
24,22º
=
24º13'12"
Forma incompleja
Forma compleja
Para pasar de una a otra forma basta aplicar las equivalencias entre las diferentes
unidades.
Ejemplos
1.
Expresa en segundos y posteriormente en grados 35º17'26"
35x3600= 126000"
+
17·60= 1020"
26"
127046"
127046"=(127046/3600)º≅35,29º
2.
Expresa en forma compleja 32046"
32046"
204
246
6"
60
534' 60
54' 8º
32046"=8º54'6"
Por otra parte, las calculadoras científicas poseen la tecla º ' " , que nos permite
transformar la forma compleja de un ángulo en su incompleja y viceversa. Investiga
sobre la forma de usarla.
Sistema Internacional
Como hemos dicho, la unidad de medida de ángulos en el sistema internacional
es el radián (rad). Para definirlo, procedemos del siguiente modo:
Trazamos una circunferencia de radio arbitrario y
B
marcamos un radio OA .
A partir del punto A tomamos un arco AB de longitud
O
igual a la del radio.
A
El ángulo central AOB que abarca el arco AB mide un
radián.
Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que abarca un
arco de longitud igual a la del radio.
2
Trigonometría Plana
Como la longitud de la circunferencia es 2πr, ésta contiene 2π veces la longitud
del radio. Por tanto, 360º=2π rad, equivalencia esta que nos va a permitir pasar de
grados a radianes y viceversa.
Ejemplos
1. Expresa en radianes 25º
2π
5π
rad= rad≅0,44rad
25º=25·
360
36
2.
5π
rad
12
5π
 5π 360 
rad=  ⋅
 =75º
12
 12 2 π 
Expresa en grados
Con mucha frecuencia se identifica un ángulo con su medida, por lo que, a partir
de ahora, observarás expresiones como α=15º, ∠(n,s)=30º, AOB=π rad, Â =45º, etc.
Por otra parte, siempre que omitamos la unidad en que viene dado un ángulo,
daremos por supuesto que esta es radianes, nunca grados. Así por ejemplo,
3π 3π
α= = rad, α=15=15rad≠15º, ...
2 2
1.3 Ampliación del concepto de ángulo
Ángulos orientados
Partiendo de un punto cualquiera de una circunferencia podemos volver a él,
siguiendo la circunferencia, de dos maneras:
• En sentido negativo: Si lo hacemos como las agujas de un reloj.
• En sentido positivo: Si lo hacemos al contrario que las agujas de un reloj.
Sentido
negativo
Sentido
positivo
Asimismo, diremos que un ángulo es positivo si lo es el sentido de recorrido de su
arco correspondiente y negativo en caso contrario. En cualquiera de ambos casos,
estaremos hablando de ángulos orientados en los que habrá primer lado (aquel desde
donde parte el arco) y segundo lado (aquel a donde llega).
s
O
n
s
∠(n,s)=+75º
n es el primer lado
s es el segundo lado
O
n
3
∠(s,n)=-75º
s es el primer lado
n es el segundo lado
Trigonometría Plana
Ángulos de barrido
Hasta ahora, solamente hemos considerado arcos y ángulos cuya medida en
valor absoluto es menor o igual que 360º (2π rad). Vamos a continuación a ampliar el
concepto de arco y ángulo, para lo cual, supongamos que nos
P
desplazamos en la circunferencia de la figura contigua,
O
partiendo del punto A y girando en sentido positivo:
•
Si paramos en el punto P el arco recorrido es AP. Sea m su
A
medida.
•
Si damos una vuelta completa a la circunferencia y
P
continuamos hasta llegar a P, el arco recorrido medirá
m+360º.
O
Si damos k vueltas antes de detenernos en P, entonces el
•
A
arco recorrido medirá m+k·360º.
El ángulo correspondiente a estos arcos mayores que una circunferencia ya no se
puede considerar como una región angular, sino como un ángulo de barrido.
Repitiendo el proceso anterior, pero desplazándonos en sentido negativo,
obtenemos ángulos de barrido negativos.
Ejemplos de ángulos de barrido los puedes encontrar viendo moverse una aguja
de un reloj u observando el funcionamiento de un radar.
2. Razones trigonométricas de un ángulo
2.1 Definiciones
s
Sea α el ángulo orientado de la figura de la izquierda.
Fijado un sistema de coordenadas,
situamos α de forma que coincidan
n
su vértice con el origen del
er
sistema y su 1 lado con la parte positiva del eje de abcisas.
O
s
α
α
n
O
A continuación, trazamos una circunferencia con centro en O y radio cualquiera r.
Siendo P(x,y) el punto de corte del segundo lado de α, s, con la circunferencia,
definimos las razones trigonométricas del ángulo α de la siguiente forma:
Seno de α
y
senα=
r
Cosecante de α
r
cosecα=
y
Coseno de α
x
cosα=
r
Secante de α
r
secα=
x
Las tres recuadradas se
trigonométricas fundamentales.
Tangente de α
y
tgα=
x
Cotangente de α
x
cotgα=
y
llaman
razones
4
s
P(x,y)
r
α
O
n
Trigonometría Plana
Como se puede ver en la figura
contigua, si tomamos otra circunferencia
de radio r', al ser los triángulos OP'Q' y
OPQ semejantes se tiene que,
y y'
r r'
cosecα= =
senα= =
r r'
y y'
x x'
r r'
cosα= =
secα= =
r r'
x x'
s
P(x,y)
r
P'(x',y')
r'
α
Q'
O
Q
n
y y'
x x'
=
cotgα= =
x x'
y y'
es decir, las razones trigonométricas de α
no dependen de la circunferencia elegida.
tgα=
Tomemos a continuación la circunferencia de radio la unidad (r=1).
Si observamos la figura contigua,
podemos comprobar, utilizando la
definición de cada una de las razones
trigonométricas del ángulo α, que cada
una de ellas representa la medida de un
segmento relacionado con α:
cotgα
M
T
P
S
cosecα
secα
tgα
r=1
senα
α
O
cosα
Q R
y
senα= = y = PQ
1
cosα=
tgα=
x
= x = OQ
1
y PQ SR SR
=
=
=
= SR (Los triángulos OPQ y OSR son semejantes)
x OQ OR
1
cosecα=
secα=
1 OP OT OT
=
=
=
= OT (Los triángulos OPQ y TOM son semejantes)
y PQ OM
1
1 OP OS OS
=
=
=
= OS (Los triángulos OPQ y OSR son semejantes)
x OQ OR
1
cotgα=
x OQ TM TM
=
=
=
= TM (Los triángulos OPQ y TOM son semejantes)
y PQ OM
1
Siempre que nos sea posible, utilizaremos la circunferencia de radio la unidad,
que, como acabamos de ver, hace más simples las definiciones de las razones y
muestra el significado geométrico de ellas.
Además, siendo α un ángulo de un cuadrante cualquiera, de las fórmulas
anteriores se deduce que: -1≤senα≤1 y -1≤cosα≤1
5
Trigonometría Plana
2.2 Signo de las razones trigonométricas de un ángulo
Teniendo en cuenta que el primer lado de un ángulo siempre se situa en la parte positiva
1er cuadrante 
 º

del eje de abcisas, se dice que el ángulo pertenece o está en el 2ercuadrante  si su segundo
3 º cuadrante 
4 cuadrante 
la parte positiva del eje de abcisas y la parte positiva del eje de ordenadas 


lado está entre la parte positiva del eje de ordenadas y la parte negativa del eje de abcisas  .
la parte negativa del eje de abcisas y la parte negativa del eje de ordenadas
la parte negativa del eje de ordenadas y la parte positiva del eje de abcisas 


s
s
++
r=1
P(x,y)
- +
P(x,y)
r=1
n
O
n
O
r=1
n
O
O
+ -
P(x,y)
s
s
Primer cuadrante
Segundo cuadrante
n
r=1
- -
P(x,y)
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
Basta observar las figuras de arriba para concluir los resultados de la tabla siguiente.
y
r=1
senα=y
cosα=x
tgα= x
cosecα= 1y
secα= x1
cotgα= xy
α está en 1er cuadrante
α está en 2º cuadrante
α está en 3er cuadrante
α está en 4º cuadrante
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
-
2.3 Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo
Identidades trigonométricas
De la propia definición de cada una de las razones trigonométricas se deduce que:
• tgα=
sen α
cos α
• cotgα=
cos α
1
=
sen α tg α
• cosecα=
1
sen α
Por otra parte, puesto que el triángulo de la figura contigua
es rectángulo, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que
(senα)2+(cosα)2=1.
En la práctica, las potencias de las razones trigonométricas
suelen escribirse así: (senα)2=sen2α, (cosα)3=cos3α, ...
De esta forma, la igualdad anterior, conocida como fórmula
fundamental de la Trigonometría, es sen2α+cos2α=1
6
• secα=
1
cos α
P(x,y)
r=1
α
O
Trigonometría Plana
Dividiendo la fórmula fundamental de la Trigonometría por cos2α, se tiene:
sen 2 α cos2 α
1
+
=
, es decir, 1+tg2α=sec2α
2
2
2
cos α cos α cos α
Dividiendo nuevamente la fórmula fundamental, esta vez por sen2α, se tiene:
sen 2 α cos2 α
1
, es decir, 1+cotg2α=cosec2α
+
=
2
2
2
sen α sen α sen α
Ejemplos sobre la utilización de las fórmulas anteriores
1 + tg 2 α
2
1. Simplifica la expresión cos α·
cotgα
1
2
2
2
sen α
1 + tg α
sec α
cos2α·
= cos2α·
=cos2α· cos α =
=tgα
cos α cos α
cotgα
cotgα
sen α
2. Demuestra la igualdad secα-cosα=tgα·senα
1
1 − cos2 α sen 2 α sen α
secα-cosα=
-cosα=
=
=
·senα=tgα·senα
cos α
cos α
cos α cos α
Obtención de las razones de un ángulo a partir de una de ellas
Si conocemos una razón cualquiera de un ángulo y el cuadrante en que se
encuentra este, las identidades trigonométricas anteriores nos van a permitir obtener
las restantes razones trigonométricas de dicho ángulo. Veamos algunos ejemplos:
2
1. Sabiendo que cosα= y que 270º<α<360º, obtén las restantes razones de α.
3
2
3
cosα=
secα=
3
2
4 5
5
5
3
sen2α=1-cos2α=1- = ⇒senα==−
cosecα=9 9
9
3
5
α∈4º cuadrante
sen α
5 2
5
2
=−
: =−
cotgα=cos α
3 3
2
5
3
Sabiendo que tgα=- y que α∈2º cuadrante, obtén las restantes razones de α.
4
3
4
tgα=cotgα=α∈2º cuadrante
4
3
9 25
4
25
5
sec2α=1+tg2α=1+ = ⇒secα==−
cosα=16 16
16
4
5
sen α
4 3 3
5
⇒senα=cosαtgα=- ·(- )=
cosecα=
tgα=
cos α
5 4 5
3
tgα=
2.
7
Trigonometría Plana
3. Ángulos relacionados por sus razones trigonométricas
3.1 Ángulos de distinto cuadrante
En este apartado, trabajaremos solo con
ángulos entre 0º y 360º.
Tomado un ángulo en un cuadrante
cualquiera, existe un ángulo en cada uno de (-a,b)
(a,b)
r=1
los restantes cuadrantes cuyas razones
trigonométricas son, en valor absoluto,
iguales a las de dicho ángulo. Se dice
O
entonces que los cuatro ángulos están
asociados.
(a,-b)
Como se puede ver en la figura contigua, (-a,-b)
los segundos lados de estos cuatro ángulos
forman dos rectas simétricas respecto a los
dos ejes de coordenadas, y, si los
observamos con detenimiento, nos será fácil descubrir a partir de la medida de uno de
ellos lo que miden los tres restantes.
Además, si conocemos las razones trigonométricas de uno, podemos hallar
fácilmente las razones de los otros tres asociados.
Ejemplos
1. a. Calcula los tres ángulos asociados a 60º
Observando la figura anterior (nos vale aunque el ángulo del primer
cuadrante no corresponda exactamente a 60º) se adivina fácilmente que:
2º cuadrante: 180º-60º=120º
3er cuadrante: 60º+180º=240º
4º cuadrante: 360º-60º=300º
b. Calcula las tangentes de estos tres ángulos a partir de la de 60º
120º∈2º cuad. y 60º∈1er cuad. tienen tangentes opuestas: tg120º=-tg60º
240º∈3er cuad. y 60º∈1er cuad. tienen tangentes iguales: tg240º=tg60º
300º∈4º cuad. y 60º∈1er cuad. tienen tangentes opuestas: tg300º=-tg60º
2.
a. Sabiendo que 180º<α<270º, calcula los ángulos asociados a α
Observa nuevamente la figura de arriba y descubrirás que los ángulos son:
1er cuadrante: α-180º (Usamos este para calcular los otros dos)
2º cuadrante: 180º-(α-180º)=180º-α+180º=360º-α
4º cuadrante: 360º-(α-180º)=360º-α+180º=540º-α
b. Sabiendo que secα=-3, calcula la secante de los tres ángulos asociados a α
sec(α-180º)=-secα=3 (α-180º∈1er cuad. y α∈3er cuad. tienen secantes opuestas)
sec(360º-α)=secα=-3 (360º-α∈2º cuad. y α∈3er cuad. tienen la misma secante)
sec(540º-α)=-secα=3 (540º-α∈4º cuad. y α∈3er cuad. tienen secantes opuestas)
8
Trigonometría Plana
3.
Sabiendo que tgα= 3 y que 0º<α<90º, calcula cos(180º+α)
Como se observa en la figura contigua, α y 180º+α
son ángulos asociados con tangentes iguales.
tg(180º+α)=tgα= 3
sec2(180º+α)=1+tg2(180º+α)=1+3=4⇒
1
sec(180º+α)=- 4 =-2
cos(180º+α)=2
180º+α∈3 cuadrante
180+α
α
O
er
3.2 Ángulos complementarios
Dos ángulos entre 0º y 90º se llaman complementarios si suman 90º. Si uno de
ellos es α, evidentemente el otro es entonces 90º-α.
Observando con atención la figura
contigua, descubrimos que
sen(90º-α)=cosα y cos(90º-α)=senα,
y de estas igualdades deducimos que
sen(90º −α) cos α
tg(90º-α)=
=
=cotgα
cos(90º −α) sen α
cos(90º −α) sen α
=tgα
cotg(90º-α)=
=
sen(90º −α) cos α
1
1
=
=cosecα
sec(90º-α)=
cos(90º −α) sen α
1
1
cosec(90º-α)=
=
=secα
sen(90º −α) cos α
Q(b,a)
P(a,b)
90º-α
α
O
Ejemplos
1.
Sabiendo que sec60º=2, calcula cosec330º
cosec330º=-cosec30º=-sec60º=-2
330º y 30º son asociados
2.
30º y 60º son complementarios
Sabiendo que cotgα=4 y que 0º<α<90º, calcula tg(270º-α)
tg(270º-α)=tg(270º-α-180º)=tg(90º-α)=cotgα=4
90º-α y α son complementarios
270º-α∈3er cuadrante y 270º-α-180º∈1er cuadrante son asociados
4. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo
4.1 Razones trigonométricas de los ángulos más utilizados
La obtención de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera es, en
general, difícil y no puede hacerse por medio de métodos elementales.
9
Trigonometría Plana
Existen sin embargo algunos ángulos, frecuentemente utilizados, cuyas razones
pueden calcularse de forma más o menos sencilla. A continuación vamos a conocerlos.
Ángulos extremos de los cuadrantes
P(0,1)
r=1
r=1
P(1,0)
r=1
O
P(-1,0)
O
O
r=1
O
P(0,-1)
180º
90º
0º
270º
Basta observar las figuras de arriba para deducir los resultados de la tabla siguiente:
0º
90º
180º
270º
Seno
0
1
0
-1
Coseno
1
0
-1
0
Tangente
0
No existe
0
No existe
Cosecante
No existe
1
No existe
-1
Secante Cotangente
1
No existe
No existe
0
-1
No existe
No existe
0
Ángulos 30º, 45º y 60º
30º
El triángulo OSP de la figura adjunta es equilátero, con lo
1
que, sen30º= BP = .
2
Además, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo
OBP, tenemos
P
r=1
30º
O
30º
B
2
S
2
1 3
3
1
OB +   = 1 ⇒ OB = 1 − = ⇒ OB = cos 30º =
4 4
2
2
2
45º
El triángulo OBP es rectángulo isósceles ya que
cos45º= OB = BP =sen45º, con lo que, aplicando el teorema de
Pitágoras,
cos245º+cos245º=1⇒2cos245º=1⇒
1
1
2
⇒cos245º= ⇒ cos 45º =
=
=sen45º
2
2
2
60º
Al ser 60º complementario de 30º, resulta que
3
1
y cos60º=sen30º=
sen60º=cos30º=
2
2
10
P
r=1
O
45º
B
Trigonometría Plana
De todo lo anterior, deducimos con facilidad todas las razones de 30º, 45º y 60º,
que son:
Seno
1
2
2
2
3
2
30º
45º
60º
Coseno
3
2
2
2
1
2
Tangente
1
3
=
3
3
Cosecante
2
2
= 2
2
2 2 3
=
3
3
1
3
Secante Cotangente
2 2 3
=
3
3
3
2
= 2
1
2
1
3
=
2
3
3
Basta con que memorices las razones resaltadas (busca una regla
mnemotécnica), ya que las restantes se deducen con facilidad de estas.
Ángulos asociados a los anteriores
Veamos, mediante varios ejemplos, como calcular razones de ángulos asociados
con alguno de los anteriores:
1. cos135º=-cos45º=-
135º
-
O
2
2
2. tg240º=tg60º= 3
3. cotg330º=-cotg30º=- 3
r=1
r=1
+
60º
240º
45º
-
-
O
+
-
4. sen3645º=sen(10·360º+45º)=sen45º=
r=1
330º
O
30º +
+
-
2
2
5. sec720º=sec(2·360º+0º)=sec0º=1
6. cotg-300º=cotg60º=
3
3
7. sen–3000º=sen(-8·360º-120º)=sen-120º=sen(360º-120º)=sen240º=-sen60º=8. cos51π=cos(25·2π+π)=cosπ=-1
9. tg-
13π
=tg-585º=tg(-360º-225º)=tg-225º=tg(360º-225º)=tg135º=-tg45º=-1
4
10. cosec
11π
=cosec990º=cosec(2·360º+270º)=cosec270º=-1
2
11. cotg-3π=cotg(-2π-π)=cotg-π=cotgπ No existe
11
3
2
Trigonometría Plana
4.2 Razones trigonométricas de los restantes ángulos
Razones trigonométricas como sen33º, cos2, ... no es posible hallarlas con
métodos sencillos, pero afortunadamente, para su obtención, disponemos de las
calculadoras. Estas poseen las teclas sin cos tan , con las que podremos calcular
seno, coseno y tangente de cualquier ángulo.
Para ello, debemos en primer lugar escoger el modo adecuado al tipo de
unidades (DEG→grados, RAD→radianes) con la tecla Mode y en segundo lugar
escribir el ángulo y pulsar la tecla correspondiente.
Aunque la calculadora te sirve para calcular cualquier razón trigonométrica, es
imprescindible que sepas obtener, sin usarla, las razones de los ángulos más utilizados.
Ejemplos
1.
sen33º:
3
2.
3
sin
(Modo DEG)
0,54463904
cos2:
2
cos
(Modo RAD)
-0,41614684
5. Operaciones recíprocas al cálculo de razones
Hasta aquí hemos aprendido, dado un ángulo, a calcular sus razones
trigonométricas, pero, ¿qué ocurriría si no dispusiésemos del ángulo y sí de una de
sus razones?, ¿sabríamos obtener dicho ángulo?
Para ayudarnos a resolver estas cuestiones, definimos como sigue las
operaciones recíprocas al cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo:
Sea x un número real cualquiera.
Arcoseno de x:
arcsenx={ángulos cuyo seno es x}
Arcocoseno de x:
arccosx={ángulos cuyo coseno es x}
Arcotangente de x:
arctgx={ángulos cuya tangente es x}
Arcocosecante de x:
arccosecx={ángulos cuya cosecante es x}
Arcosecante de x:
arcsecx={ángulos cuya secante es x}
Arcocotangente de x:
arccotgx={ángulos cuya cotangente es x}
Ejemplos
Casos que debemos saber resolver sin calculadora
1.
2.
3.
4.
1
arcsen ={30º+k·360º, k∈Z}∪{150º+k·360º, k∈Z}
2
arctg-1={135º+k·360º, k∈Z}∪{315º+k·360º, k∈Z}={135º+k·180º, k∈Z}
1
arcsec2=arccos ={60º+k·360º, k∈Z}∪{300º+k·360º, k∈Z}
2
arcsen0={0+k·2π, k∈Z}∪{π+k·2π, k∈Z}={0+k·π, k∈Z}
12
Trigonometría Plana
3π
+k·2π, k∈Z}
2
π
3π
π
6. arccos0={ +k·2π, k∈Z}∪{ +k·2π, k∈Z}={ +k·π, k∈Z}
2
2
2
Casos en los que es necesario usar la calculadora y ... algo más
5.
arccosec-1=arcsen-1={
Si el valor dado corresponde a una de las tres razones fundamentales, el proceso
es muy sencillo, basta con escribirlo y, a continuación, pulsar la tecla INV seguida
de la razón de que se trate, sin , cos o tan .
Ahora bien, si el valor dado corresponde a la cosecante, secante o cotangente, se
introduce su valor en pantalla, se pulsa la tecla 1/x , con lo que se obtiene la razón
inversa, y se continua la operación de la misma forma que antes.
7.
arcsen0,4:
(Resultado en grados, modo DEG)
arcsen0,4={23,578178º+k·360º, k∈Z}∪{180º-23,578178º+k·360º, k∈Z}=
={23,578178º+k·360º, k∈Z}∪{156,421822º+k·360º, k∈Z}
0
8.
.
4
INV
sin
23,578178
arccos-0,6:
(Resultado en radianes, modo RAD)
arccos-0,6={π-0,92729522+k·2π, k∈Z}∪{π+0,92729522+ k·2π, k∈Z}=
={2,214297434+k·2π, k∈Z}∪{4,068887874+k·2π, k∈Z}
Piensa sobre como llegar al mismo resultado a partir de,
9.
0
.
6
INV
0
.
6
+/-
cos
INV
0,92729522
cos
2,2142974
arctg-4:
(Resultado en grados, modo DEG)
arctg-4={180º-75,963757º+k·180º, k∈Z}={104,036243º+k·180º, k∈Z}
Piensa sobre como llegar al mismo resultado a partir de,
4
INV
4
+/-
tg
INV
75,963757
tg
-75,963757
10. arcsec3:
(Resultado en grados, modo DEG)
arcsec3={70,528779º+k·360º, k∈Z}∪{360º-70,528779º+k·360º, k∈Z}=
={70,528779º+k·360º, k∈Z}∪{289,471221º+k·360º, k∈Z}
3
1/x
INV
cos
70,528779
Como hemos podido observar en los ejemplos, el ángulo que aparece en la
pantalla de una calculadora cuando intentamos calcular arcoseno, arcocoseno o
arcotangente de un número, está comprendido siempre entre –90º y 180º.
Parece claro entonces, que el procedimiento más sencillo para calcular arcoseno,
arcocoseno o arcotangente de un número es aquel que consiste en hallar, mediante la
calculadora, el ángulo del 1er cuadrante que resulta al hacer arcoseno, arcocoseno o
arcotangente repectivamente del valor absoluto del número, para, a partir de el y
mediante procedimientos que ya conoces, hallar los ángulos buscados.
13
Trigonometría Plana
Por otra parte, en muchas ocasiones no buscamos todos los ángulos cuya razón
trigonométrica es un número dado, sino solamente uno o varios de ellos. Así, con
frecuencia encontrarás y utilizarás expresiones como arcsen1=90º, arccos0,5=60º,
arctg0=0, etc. Piensa siempre si son correctas en el contexto en el cual las estás
usando. Ejemplos bastante claros de esto, los encontrarás en el siguiente apartado.
6. Resolución de triángulos rectángulos
6.1 Relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo
Dado el triángulo rectángulo ABC de la figura contigua,
B
recto en A, y cuyos lados opuestos a los vértices A, B y C
B̂
a
son a, b, y c respectivamente, se trata de establecer todas las
c
relaciones posibles entre los lados a, b y c, y los ángulos
Â
Ĉ
C
b
A
Â, B̂ y Ĉ de modo que conocidos varios de ellos podamos
calcular los restantes.
Sabemos ya que
Â + B̂ + Ĉ = 180º 
• 
 ⇒ B̂ + Ĉ = 90º , es decir, B̂ y Ĉ son complementarios.
Â = 90º

2
2
2
• a =b +c (Teorema de Pitágoras)
Si situamos el triángulo como puedes observar
en la figura adjunta, aplicando las definiciones
de las razones trigonométricas, tenemos que
B
c
sen Ĉ = = cos B̂
B̂
a
a
c
b
Â
Ĉ
cos Ĉ = = sen B̂
C
b
A
a
c
tg Ĉ = = cotg B̂
b
b
cotg Ĉ = = tg B̂
c
o, dicho más resumido,
si α es un ángulo no recto de un triángulo rectángulo, entonces,
cateto opuesto
cateto contiguo
cateto opuesto
senα=
, cosα=
y tgα=
.
hipotenusa
hipotenusa
cateto contiguo
6.2 Casos de resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo consiste en hallar todos sus elementos (tres
lados y tres ángulos de los cuales el recto ya sabemos que mide 90º), conocido un
número mínimo de los mismos que sea suficiente para determinarlo. En Geometría se
demuestra que es preciso conocer al menos dos elementos distintos del ángulo recto.
14
Trigonometría Plana
A continuación, utilizando las relaciones existentes entre los distintos elementos,
vamos a ver, mediante ejemplos, los cuatro casos posibles de resolución de triángulos
rectángulos.
1er caso: Los datos son un ángulo agudo y la hipotenusa
a=10, Ĉ =40º:
B̂ =90º-40º=50º
b
cos Ĉ = ⇒ b = a cos Ĉ =10cos40º≅10·0,766=7,66
a
c
sen Ĉ = ⇒ c = a sen Ĉ =10sen40º≅10·0,643=6,43
a
2º caso: Los datos son un cateto y un ángulo agudo
B
a=10
c
40º
C
b
A
b=6, B̂ =49º:
Ĉ =90º-49º=41º
b
b
6
6
sen B̂ = ⇒ a =
=
≅
≅ 7,95
a
sen B̂ sen 49º 0,75471
b
b
6
6
tg B̂ = ⇒ c =
=
≅
≅ 5,216
c
tg B̂ tg 49º 1,15037
B
a
C
b=6
49º
c
A
3er caso: Los datos son la hipotenusa y un cateto
a=25, b=20:
B
2
2
c= 25 − 20 = 625 − 400 = 225 =15
b 20 4
4
cos Ĉ = =
= ⇒ Ĉ = arccos ≅ 36º52'
a 25 5
5
B̂ ≅90º-36º52'=53º8'
a=25
C
b=20
c
A
4º caso: Los datos son los dos catetos
b=8, c=24:
B
2
2
a= 8 + 24 = 64 + 576 = 640 ≅25,3
c 24
tg Ĉ = =
= 3 ⇒ Ĉ = arctg 3 ≅ 71,6º
b 8
B̂ ≅90º-71,6º=18,4º
c=24
C
b=8
A
6.3 Aplicaciones
La resolución de triángulos rectángulos es de gran utilidad en el estudio de
numerosos problemas geométricos (cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etc. de
figuras geométricas), problemas físicos (estudio de fuerzas, movimientos, etc.) o
problemas topográficos (medida de extensiones de tierra, distancias entre puntos y
objetos de la superficie terrestre, ángulos, etc.).
15
Trigonometría Plana
A continuación, vamos a ver algunos de entre los muchos ejemplos de estos
problemas que podrían proponerse.
1.
La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el
ángulo opuesto 50º. Halla el área del triángulo.
Consideremos que el triángulo es el de la figura.
5
5
5
tg 25º=
⇒ AH =
≅
≅ 10,7225 m
AH
tg 25º 0'4663
Área de ABC= BH · AH =5 · 10,7225=53,6126 m2
A
25º 25º
5m
B
5m
H
C
2.
Calcula el lado de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 8 m de
radio.
Consideremos que el octógono es el de la figura.
F
E
360º
= 45º
AOB=
8
G
D
O
Trazando la apotema OM , el triángulo AOB queda
dividido en dos triángulos rectángulos iguales, el
H
C
8m
OAM y el OMB.
AOB 45º
A M B
AOM=
=
=22º30'
2
2
AM
sen22º30'=
⇒ AM = 8·sen 22º 30' =3,06147 m
OA
El lado del octógono es AB = 2 AM = 2·3,06147 = 6,123 m
3.
Un cuerpo cuyo peso es de 50 Kp cae por un plano inclinado de 30º. Halla las
fuerzas tangencial y normal al plano.
Consideremos el problema planteado en la
figura adjunta.
P
El peso PQ se descompone en las fuerzas
S
30º
PS y PR , paralela y normal al plano,
30º
R
respectivamente.
Q
30º
| PS |
1
sen30º=
⇒| PS |=| PQ | sen 30º = 50 · =25 Kp
2
| PQ |
cos30º=
4.
| PR |
3
⇒| PR |=| PQ | cos 30º = 50·
= 25 3 Kp
2
| PQ |
Para determinar la altura de un faro, a 50 m de distancia en horizontal del centro
de su base se dispone un teodolito, aparato topográfico destinado a la medición
de ángulos, y desde el mismo se lanza una visual al punto más alto del faro,
observándose que dicha visual forma un ángulo de 38º32' con la horizontal.
Considerando que el anteojo del teodolito se encuentra a 1,70 m de altura sobre
el suelo, calcula la altura del faro.
16
Trigonometría Plana
B
h
38º32'
h'
50 m
C
A
Representado gráficamente el problema en la figura de arriba,
AB
⇒ AB =50·tg38º32'=50·0,79639⇒ AB =39,82 m
tgACB=
AC
Teniendo en cuenta la altura a que se encuentra el anteojo del teodolito,
h=h'+ AB =1,70+39,82=41,52 m
5.
Con objeto de determinar la altura de un árbol situado en el mismo plano
horizontal que nosotros pero en un lugar inaccesible, disponemos un teodolito en
un punto accesible y desde el mismo lanzamos una visual al punto más alto del
árbol, obteniendo un ángulo de inclinación de 30º. A continuación, adelantamos
el teodolito una distancia de 30 m en dirección al árbol y volvemos a lanzar otra
visual al mismo punto, obteniendo en este caso un ángulo de 45º. Calcula la
altura del árbol, considerando que el anteojo del teodolito se encuentra a 1,50 m
de altura sobre el suelo.
B
D
C
30º
D
45º
A
30 m
17
Trigonometría Plana
Representado gráficamente el problema en la figura anterior, si escribimos
DA = d, AB = h , tenemos que,
h
h
tg45º= ⇒1= ⇒d=h
d
d
⇒
h
1
h
tg30º=
⇒
=
30 + d
3 30 + d
1
h
30
⇒
=
⇒ 30 + h = 3h ⇒ 30 = h ( 3 − 1) ⇒ h =
≅40,98 m
3 30 + h
3 −1
Por tanto, la altura del árbol será,
h + 1,50 m = 40,98 m + 1,50 m =42,48 m
Como has podido observar en los ejemplos anteriores, en Trigonometría es
muy frecuente tomar aproximaciones para resolver con más comodidad los
problemas. Cuando así lo hagas, utiliza al menos tres cifras decimales para
las razones trigonométricas, aunque para los ángulos, las distancias, áreas,
etc. utilices menos. ¿Por qué crees que es necesario usar más cifras
decimales para las razones que para otras medidas?
7. Razones trigonométricas de los ángulos suma,
diferencia, doble y mitad
7.1 Suma de ángulos
Sean α y β los dos ángulos de la figura.

OA
= OA
cos β =

1
 ⇒ CA = sen α·cos β
CA
sen α =
⇒ CA = sen α·OA 

OA

AB
sen β =
= AB

1
 ⇒ AE = cos α·sen β
AE
cos α =
⇒ AE = cos α·AB

AB
B
r=1
E
α
β
O
α
D
sen(α+β)= DB = CE = CA + AE ⇒ sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ
OC
⇒ OC = cos α·OA = cos α·cos β
OA
BE
sen α =
⇒ BE = sen α·AB = sen α·sen β
AB
cos(α+β)= OD = OC − DC = OC − BE ⇒ cos(α+β)=cosαcosβ-senαsenβ
cos α =
18
A
C
Trigonometría Plana
Aunque la demostración de las fórmulas anteriores está hecha con dos ángulos
del primer cuadrante, ambas fórmulas son ciertas para cualquier par de angulos α y β.
sen α cos β + cos α sen β
sen( α + β) sen α cos β + cos α sen β
cos α cos β
⇒
Además, tg(α+β)=
=
=
cos(α + β) cos α cos β − sen α sen β cos α cos β − sen α sen β
cos α cos β
tg α + tg β
⇒ tg(α+β)=
1 − tg α tg β
Dividimos numerador y denominador por cosαcosβ
7.2 Diferencia de ángulos
Sean α y β dos ángulos cualesquiera.
sen(α-β)=sen(α+(-β))=senαcos(-β)+cosαsen(-β)=senαcosβ-cosαsenβ
Fórmula del seno de una suma
cos(-β )=cosβ y sen(-β )=-senβ
cos(α-β)=cos(α+(-β))=cosαcos(-β)-senαsen(-β)=cosαcosβ+senαsenβ
Fórmula del coseno de una suma
tg(α-β)=tg(α+(-β))=
Fórmula de la tangente
de una suma
tg α + tg( −β)
tg α − tg β
=
1 − tg α tg( −β) 1 + tg α tg β
tg(-β )=-tgβ
Las fórmulas resultantes son por tanto
sen(α-β)=senαcosβ-cosαsenβ cos(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ tg(α-β)=
tg α − tg β
1 + tg α tg β
7.3 Ángulo doble
Sea α un ángulo cualquiera. Aplicando las fórmulas de las razones de una suma a α+α,
sen2α=sen(α+α)=senαcosα+cosαsenα=2senαcosα
cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-senαsenα=cos2α-sen2α
tg α + tg α
2 tg α
tg2α=tg(α+α)=
=
1 − tg α tg α 1 − tg 2 α
Las fórmulas resultantes son por tanto
sen2α=2senαcosα
cos2α=cos2α-sen2α
tg2α=
2 tg α
1 − tg 2 α
7.4 Ángulo mitad
Sea α un ángulo cualquiera y
α
su mitad.
2
La elección del signo depende del
cuadrante en que se encuentre α/2
Fórmula del coseno del ángulo doble
α
α
α
α
α
α
α
1 − cos α
cosα=cos2 =cos2 -sen2 =1-sen2 -sen2 =1-2sen2 ⇒ sen = ±
2
2
2
2
2
2
2
2
19
Trigonometría Plana
α
α
α
α
α
α
α
1 + cos α
cosα=cos2 =cos2 -sen2 =cos2 -1+cos2 =2cos2 -1⇒ cos = ±
2
2
2
2
2
2
2
2
La elección del signo depende del
cuadrante en que se encuentre α/2
Además,
1 − cos α
α
±
α
α
1 − cos α
2
2 =
tg =
⇒ tg = ±
2 cos α
2
1 + cos α
1 + cos α
±
2
2
sen
7.5 Aplicaciones
Veamos a continuación algunos ejemplos de aplicación de las fórmulas anteriores:
1.
Calcula, sin hallar razones trigonométricas con la calculadora, las razones
sen15º, cos15º, tg75º:
sen15º=+
1 − cos 30º
=+
2
3
2 = + 2 − 3 ≅0,259
2
2
1−
3
1 + cos 30º
2 = + 2 + 3 ≅0,966
cos15º=+
=+
2
2
2
1
+1
tg 30º + tg 45º
3 +1 4 + 2 3
3
=
=
=
≅3,732
tg75º=tg(30º+45º)=
1 − tg 30º tg 45º 1 − 1 ·1
2
3 −1
3
1+
2.
Sabiendo que sen20º≅0,342, halla, sin usar la calculadora para razones
trigonométricas, las razones cos40º, sen5º:
cos40º=cos(2·20º)=cos220º-sen220º=1-sen220º-sen220º=1-2sen220º≅0,7661
sen5º=sen(20º-15º)=sen20ºcos15º-cos20ºsen15º≅0,342·0,966-0,940·0,259≅0,087
2
cos20º= 1 − sen 20 º =0,940
3.
α
Sabiendo que tg2α= 8 y que 180º<2α<270º, halla senα, cosα y tg :
2
1
sec22α=1+tg22α=1+8=9⇒sec2α=-3⇒cos2α=3
1
1+
1 − cos 2α
3 =+ 2
senα=+
=+
2
2
3
1
1−
1 + cos 2α
3 =− 1
=cosα=2
2
3
20
Trigonometría Plana
1
α
1 − cos α
3 =
tg =
=
1
2
1 + cos α
1−
3
1+
3 +1
3 −1
α
2 :
Simplifica la expresión
α
1 + tg 2
2
α
sen
2
2
α
α
α
2 tg
2 tg
cos
2 =
2 =
2 = 2 sen α cos α = sen 2 α =senα
α
α
1
2
2
2
1 + tg 2
sec 2
2
2 cos2 α
2
2 tg
4.
5.
Demuestra que sen(90º-α)=cosα, cos(90º-α)=senα:
sen(90º-α)=sen90ºcosα-cos90ºsenα=1·cosα-0·senα=cosα
cos(90º-α)=cos90ºcosα+sen90ºsenα=0·cosα+1·senα=senα
8. ¡Uf!, más fórmulas trigonométricas
8.1 Fórmulas de transformación de productos en sumas
Estas fórmulas tienen por objeto transformar un producto de razones
trigonométricas de ángulos cualesquiera, en suma o diferencia de razones de otros
ángulos relacionados con los primeros.
Transformación en suma del producto senα·cosβ
Sumando miembro a miembro las fórmulas del seno de una suma y de una diferencia,
sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ
sen(α-β)=senαcosβ-cosαsenβ
se obtiene
1
sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ ⇔ senαcosβ= (sen(α+β)+sen(α-β))
2
Transformación en suma del producto senα·senβ
Restando miembro a miembro las fórmulas del coseno de una diferencia y de una suma,
cos(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ
cos(α+β)=cosαcosβ-senαsenβ
se obtiene
1
cos(α-β)-cos(α+β)=2senαsenβ ⇔ senαsenβ= (cos(α-β)-cos(α+β))
2
21
Trigonometría Plana
Transformación en suma del producto cosα·cosβ
Sumando miembro a miembro las fórmulas del coseno de una suma y de una diferencia,
cos(α+β)=cosαcosβ-senαsenβ
cos(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ
se obtiene
1
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ ⇔ cosαcosβ= (cos(α+β)+cos(α-β))
2
8.2 Fórmulas de transformación de sumas en productos
Estas fórmulas tienen por objeto transformar una suma o una diferencia de
razones trigonométricas de ángulos cualesquiera, en producto de razones de otros
ángulos relacionados con los primeros.
Transformación en producto de la suma senA+senB
Si en la fórmula de la pregunta anterior sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ hacemos
A+B
α+β=A
2α=A+B⇒α=
2
⇒
A−B
α-β=B
2β=A-B⇒β=
2
A+B
A−B
resulta
senA+senB=2sen
cos
2
2
Transformación en producto de la diferencia senA-senB
Si aplicamos la fórmula anterior a los ángulos A y –B,
A + ( − B)
A − ( − B)
senA+sen(-B)=2sen
cos
, y puesto que sen(-B)=-senB,
2
2
A−B
A+B
resulta
senA-senB=2sen
cos
2
2
Transformación en producto de la suma cosA+cosB
Si en la fórmula de la pregunta anterior cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ hacemos
α+β=A
A+B
A−B
⇒α=
y β=
α-β=B
2
2
A+B
A−B
resulta
cosA+cosB=2cos
cos
2
2
Transformación en producto de la diferencia cosA-cosB
Si en la fórmula de la pregunta anterior cos(α-β)-cos(α+β)=2senαsenβ hacemos
α+β=A
A+B
A−B
⇒α=
y β=
α-β=B
2
2
A+B
A−B
sen
resulta
cosA-cosB=-2sen
2
2
22
Trigonometría Plana
9. Ecuaciones trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que la incógnita está sometida a
alguna razón trigonométrica.
Ejemplos
1.
2.
3.
2senx+cos2x=1
senx+cosx=-1
sen3x+senx=0
Aunque no existe un método de carácter general que permita afrontar con
garantía la resolución de ecuaciones trigonométricas, para una gran mayoría de ellas,
es aconsejable seguir los siguientes pasos:
• Se expresan todas las razones trigonométricas en función de una de ellas.
• Se toma esta razón como incógnita, sustituyéndola por una letra.
• Se resuelve la ecuación algebraica obtenida.
• Se hallan los valores correspondientes a la incógnita inicial, discutiendo los
resultados y rechazando aquellos que sean absurdos.
• En algunos casos, es necesario comprobar si las soluciones obtenidas
verifican la ecuación inicial.
Ejemplos
1.
2senx+cos2x=1:
2senx+1-sen2x=1⇔2senx-sen2x=0
Hacemos senx=y:
y = 0
2y-y2=0⇔(2-y)y=0⇒ 
y = 2
y=senx=0⇒x=arcsen0=0º+k·180º, k∈Z
y=senx=2⇒x=arcsen2 no existe
Las soluciones de la ecuación son por tanto x=0º+k·180º, k∈Z
2.
senx+cosx=-1:
Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación,
(senx+cosx)2=(-1)2⇔sen2x+cos2x+2senxcosx=1⇔1+sen2x=1⇔sen2x=0⇒
⇒2x=arcsen0=0º+k·180º, k∈Z ⇒ x=0º+k·90º, k∈Z
Las soluciones correspondientes a la primera vuelta positiva de circunferencia
son 0º, 90º, 180º y 270º. Sin embargo, si las comprobamos,
sen0º+cos0º=0+1=1≠-1
sen90º+cos90º=1+0=1≠-1
sen180º+cos180º=0-1=-1
sen270º+cos270º=-1+0=-1
observamos que 0º y 90º no verifican la ecuación.
x = 180º + k·360º 
Las soluciones de la ecuación son por tanto 
 , k∈Z
x = 270º + k·360º 
23
Trigonometría Plana
3.
sen3x+senx=0:
Recordando la fórmula de transformación de una suma de senos en producto,
3x + x
3x − x
sen3x+senx=0⇒2sen
cos
=0⇒2sen2xcosx=0⇒
2
2
sen 2x = 0 ⇒ 2 x = arcsen 0 = 0º + k·180º ⇒ x = 0º + k·90º , k ∈ Z
⇒
cos x = 0 ⇒ x = arccos 0 = 90º + k·180º , k ∈ Z
Las soluciones de la ecuación son por tanto x=0º+k·90º, k∈Z
10. Resolución de triángulos
10.1 Relaciones entre los elementos de un triángulo
Dado el triángulo ABC de la figura contigua, cuyos lados
opuestos a los vértices A, B y C son a, b, y c
respectivamente, se trata de establecer todas las relaciones
posibles entre los lados a, b y c, y los ángulos Â, B̂ y Ĉ de
modo que conocidos varios de ellos podamos calcular los restantes.
Sabemos ya que
C
Ĉ
b
B̂
Â
A
a
c
B
•
•
 + B̂ + Ĉ = 180º
Cualquier lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
• A mayor lado corresponde mayor ángulo opuesto y viceversa.
Veamos a continuación las relaciones entre los elementos de un triángulo que nos
ofrece la Trigonometría.
Teorema del seno
Dado un triángulo cualquiera ABC, se verifica que
a
b
c
=
=
senAˆ senBˆ senCˆ
Demostración:
Consideremos el triángulo ABC de la figura contigua, en el
C
que trazamos la altura correspondiente al vértice C, CH .
b
a

CH
sen B̂ =
⇒ CH = a sen B̂ 

a
 ⇒ a sen B̂ = b sen  ⇒
A
c
H
CH

sen  =
⇒ CH = b sen  
b

a
b
⇒
=
.
sen  sen B̂
De igual modo, trazando la altura correspondiente al vértice B, se demuestra que
a
c
=
sen  sen Ĉ
24
B
Trigonometría Plana
Teorema del coseno
Dado un triángulo cualquiera ABC, se verifica que
a2=b2+c2-2bccos Â
b2=a2+c2-2accos B̂
c2=a2+b2-2abcos Ĉ
Demostración:
Consideremos el triángulo ABC de la figura contigua, en el
que trazamos la altura correspondiente al vértice C, CH .
2
2
2
2
a2= CH + HB
C
b
2
b2= CH + AH ⇒ CH = b 2 − AH
a
2
A
2
2
c
H
B
Sustituyendo CH en la expresión de a :
2
a2= b 2 − AH + HB
Por otra parte,
2
2
2
AH + HB = c ⇒ HB = c − AH ⇒ HB = (c − AH ) 2 = c 2 + AH − 2c AH
2
Sustituyendo HB en la última expresión de a2:
2
2
a2= b 2 − AH + c 2 + AH − 2c AH = b 2 + c 2 − 2c AH
AH
⇒ AH = b cos Â
Además, cos  =
b
Finalmente, sustituyendo AH en la última expresión de a2, tenemos que
a2=b2+c2-2bccos Â
Procediendo de igual modo, se demuestran
b2=a2+c2-2accos B̂
y
c2=a2+b2-2abcos Ĉ
10.2 Casos de resolución de triángulos
Resolver un triángulo consiste en hallar todos sus elementos (tres lados y tres
ángulos), conocido un número mínimo de los mismos que sea suficiente para
determinarlo. En Geometría se demuestra que es preciso conocer al menos tres
elementos de los cuales al menos uno ha de ser un lado.
A continuación, utilizando las relaciones existentes entre los distintos elementos,
vamos a ver, mediante ejemplos, los cuatro casos posibles de resolución de triángulos.
1er caso: Los datos son los tres lados
a=7, b=10, c=6:
b 2 + c 2 − a 2 87
a =b +c -2bccos  ⇒cos  =
=
⇒ Â ≅ 43,5º
2 bc
120
a 2 + c2 − b2
15
b2=a2+c2-2accos B̂ ⇒cos B̂ =
= − ⇒ B̂ ≅ 100,3º
2ac
84
Ĉ ≅180º-43,5º-100,3º=36,2º
El único triángulo solución tiene  ≅43,5º, B̂ ≅100,3º, Ĉ ≅36,2º
2
2
2
25
Trigonometría Plana
2º caso: Los datos son dos lados y el ángulo que comprenden
b=5, c=12, Â =40º:
a2=b2+c2-2bccos  ⇒a= 25 + 144 − 120 cos 40º ≅8,78
a 2 + c2 − b2
b2=a2+c2-2accos B̂ ⇒cos B̂ =
≅ 0,9306 ⇒ B̂ ≅ 21,48º
2ac
Ĉ ≅180º-40º-21,48º=118,52º
El único triángulo solución tiene a≅8,78, B̂ ≅21,48º, Ĉ ≅118,52º
3er caso: Los datos son dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos
a=6, c=9, Â =50º:
a
c
c sen Â
=
⇒ sen Ĉ =
≅ 1,149 > 1
a
sen  sen Ĉ
No existe un triángulo con estos elementos.
a=8, b=5, Â =62º:
 B̂ ≅ 33,5º
a
b
b sen Â
=
⇒ sen B̂ =
≅ 0,5518 ⇒ 
a
sen  sen B̂
 B̂ ≅ 180º −33,5º = 146,5º no válida
Ĉ ≅180º-62º-33,5º=84,5º
a
c
a sen Ĉ
=
⇒c=
≅9
sen  sen Ĉ
sen Â
El único triángulo solución tiene
B̂ ≅33,5º, Ĉ ≅84,5º, c≅9
a=7, c=8, Â =30º:
a
c
c sen  4 Ĉ ≅ 34,85º
=
⇒ sen Ĉ =
= ⇒
a
7 Ĉ ≅ 180º −34,85º = 145,15º
sen  sen Ĉ
1ª solución:
Ĉ ≅ 34,85º
B̂ ≅180º-30º-34,85º=115,15º
a
b
a sen B̂
=
⇒b=
≅ 12,67
sen  sen B̂
sen Â
El primer triángulo solución tiene Ĉ ≅ 34,85º , B̂ ≅115,15º, b≅12,67
2ª solución:
Ĉ ≅ 145,15º
B̂ ≅180º-30º-145,15º=4,85º
a
b
a sen B̂
=
⇒b=
≅ 1,18
sen  sen B̂
sen Â
El segundo triángulo solución tiene Ĉ ≅ 145,15º , B̂ ≅4,85º, b≅1,18
26
Trigonometría Plana
4º caso: Los datos son un lado y dos ángulos
a=340, B̂ =42º, Ĉ =57º:
 =180º-42º-57º=81º
a
b
a sen B̂
=
⇒b=
≅ 230,34
sen  sen B̂
sen Â
a
c
a sen Ĉ
=
⇒c=
≅ 288,70
sen  sen Ĉ
sen Â
El único triángulo solución tiene  =81º, b≅230,34, c≅288,70
10.3 Aplicaciones
La resolución de triángulos es de gran utilidad en una extensa variedad de
problemas, fundamentalmente geométricos y topográficos.
A continuación, vamos a ver algunos ejemplos suficientemente ilustrativos.
1.
Halla la diagonal mayor de un paralelogramo, sabiendo que uno de sus ángulos
interiores es igual a 70º y que sus lados miden 1 cm y 2 cm.
Sea el paralelogramo el representado en la figura.
B̂ =180º-70º=110º
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo
ABC, resulta
2
2
2
AC = AB + BC − 2·AB·BC·cos B̂ =
=22+12-2·2·1cos110º≅6,36808⇒ AC ≅2,524 cm
2.
D
C
1 cm
70º
2 cm
A
B
Los radares de dos portaviones que navegan en paralelo a 350 m de distancia
uno del otro detectan una avioneta situada en el mismo plano vertical que los
navíos, aunque no entre ellos. Las visuales lanzadas desde cada uno de los
barcos a la avioneta producen ángulos de inclinación de 38º y 21º. ¿A qué
distancia se encuentra la avioneta de cada uno de los portaviones?
A
38º
21º
B
27
350 m
C
Trigonometría Plana
Representado gráficamente el problema en la figura de la página anterior, en
el triángulo ABC conocemos: Ĉ =21º, B̂ =180º-38º=142º, BC=350 m.
Resolviendo dicho triángulo,
 =180º-21º-142º=17º
BC
AB
BC sen Ĉ 350·sen 21º
=
⇒ AB =
=
≅429 m
sen 17 º
sen  sen Ĉ
sen Â
BC
AC
BC sen B̂ 350·sen 142º
=
⇒ AC =
=
≅737 m
sen 17 º
sen  sen B̂
sen Â
Los portaviones están aproximadamente a 429 m y 737 m de la avioneta.
3.
El profesor Van Helsing, enemigo encarnizado del conde Drácula, intenta salvar
de los colmillos de este a los monjes que habitan una abadía en los Cárpatos. El
profesor, que aún ha de preparar las armas con las que acabar con Drácula, ya
sabes, el agua bendita, la ristra de ajos, la estaca de madera, ..., tarda en recorrer
el camino hasta la abadía 1 hora. Son las 7 de la tarde y la noche cae a las nueve,
hora en que Dracula despierta. Van Helsing, que dispone de un teodolito, como
todo profesor precavido, mide los ángulos que puedes observar en la figura,
DAC=70º, CAB=34º, ABD=50º, DBC=85º, para lo que se situa en los puntos A
y B distantes entre si 300 m. Sabiendo que Drácula vuela a una velocidad
constante de 32 km/h, ¿antes de qué hora ha de partir Van Helsing hacia la
abadía?
C
D
85º
70º
A
50º
34º
300 m
B
Parece claro que en primer lugar tenemos que calcular la distancia que tiene
que recorrer Drácula, es decir CD .
28
Trigonometría Plana
En el triángulo ABD, cuyos datos son,
DAB=DAC+CAB=70º+34º=104º, ABD=50º, AB =300 m,
calculamos AD :
ADB=180º-104º-50º=26º
AB
AD
AB sen ABD 300·sen 50º
=
⇒ AD =
=
≅524,244 m
sen ADB sen ABD
sen ADB
sen 26º
En el triángulo ABC, cuyos datos son,
CAB=34º, ABC=ABD+DBC=50º+85º=135º, AB =300 m,
calculamos AC :
ACB=180º-34º-135º=11º
AB
AC
AB sen ABC 300·sen 135º
=
⇒ AC =
=
≅1111,750
sen ACB sen ABC
sen ACB
sen 11º
En el triángulo ACD, cuyos datos son,
DAC=70º, AD ≅524,244 m, AC ≅1111,750 m,
calculamos CD :
2
2
2
CD = AD + AC − 2ADAC cos DAC ≅1112141,823⇒ CD ≅1054,581 m
La distancia que ha de recorrer Drácula es aproximadamente
1054,581 m=1,054581 km
y, a 32 km/h, tarda en recorrerla
60
·1,054581≅1,977 minutos ≅ 2 minutos.
32
Como Van Helsing tarda 1 hora en llegar a la abadía y Dracula despierta a las
nueve, el profesor habrá de partir antes de las ocho menos dos minutos.
Epílogo: Aquella noche, Van Helsing, que no sabía resolver triángulos, llegó
tarde y no pudo impedir que Drácula realizara su macabra misión. El
mal comenzó así a extenderse por toda la Tierra y el profesor,
recluyéndose en un monasterio, se prometió no regresar al mundo
hasta haber aprendido Trigonometría.
29
Ejercicios de Trigonometría
EJERCICIOS
1. Ángulos. Unidades para su medida
1.1
Expresa en forma incompleja de grados los siguientes ángulos:
a. 15º43'21"
1.2
1.4
c. 38º25'12"
d. 5º12'23"
Expresa en forma compleja los siguientes ángulos:
a. 324752"
1.3
b. 36º34'25''
b. 5652'
c. 25,1646º
d. 46,5216º
Expresa en radianes los siguientes ángulos:
a. 120º
b. 330º
c. 30º
d. 60º
e. 220º
f. 780º
g. 37º
h. -450º
i. 900º
j. -990º
k. -200º
l. 48º32'
m. 50º3'32"
n. 127º43'12"
Expresa en grados (forma incompleja) y en grados-minutos-segundos (forma
compleja) los siguientes ángulos:
π
π
4π
3π
rad
b.
rad
c.
rad
d.
rad
a.
6
5
3
4
5π
rad
3
i. 1 rad
e.
9π
rad
10
j. 2,35 rad
g. -8π rad
f. -
h.
10π
rad
3
k. 3 rad
1.5
Si la longitud de una circunferencia es 6π m, ¿cuánto mide el arco de la
circunferencia abarcado por un ángulo de 2 radianes?
1.6
A partir de las 3 h, ¿qué ángulo describe la aguja minutera de un reloj hasta
marcar las 4 h 35 m?. Expresa el resultado en grados y en radianes.
1.7
¿Cual es la medida, en grados y en radianes, del ángulo que forman las agujas
del reloj a las 13 h 24 m?
1.8
Halla la longitud de un arco de circunferencia de 5 cm de radio y amplitud
igual a 3 radianes.
1.9
Un arco de circunferencia de 10 cm de radio tiene una longitud de 15,7 cm.
¿Cuántos radianes mide el ángulo central correspondiente?
1.10 Se llama ángulo reducido de un ángulo al mayor o igual que 0º y menor que
360º cuyo segundo lado es el mismo que el del ángulo inicial.
Calcula el ángulo reducido de cada uno de los ángulos siguientes:
a. 427º
b. 2538º
c. 721º
e. –480º
f. –4200º
g. –710º
1
d. 925º
Ejercicios de Trigonometría
2. Razones trigonométricas de un ángulo
Calcula en cada caso las razones trigonométricas restantes del ángulo α y dibuja
aproximadamente este:
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
1
senα= , 0º<α<90º
3
3π
tgα=3, π<α<
2
1
tgα= , 180º<α<270º
2
3
2.10 senα= ,
5
4
2.11 cosα= ,
5
3
2.12 senα= ,
5
3
2.13 tgα=- ,
4
90º<α<180º
270º<α<360º
90º<α<180º
3π
<α<2π
2
3π
2.14 cotgα=-2,
<α<2π
2
cotgα=4, 0º<α<90º
3
senα= , 90º<α<180º
7
3π
<α<2π
secα=4,
2
2 π
cotgα=, < α< π
2
2
1 π
senα= , <α<π
4 2
2.15 secα=2, 270º<α<360º
3 π
, < α< π
2
2
2.17 secα=-3, 180º<α<270º
1 3π
<α<2π
2.18 cosα= ,
5 2
2.16 senα=
cosecα=-5, 270º<α<360º
Simplifica las siguientes expresiones:
2.19 sen2α+cos2α+tg2α
2.27 sen4α-cos4α+cos2α
2.20 (senα+cosα)2-tgαcotgα
2.28 (cosec2α-1)(sec2α-1)
2.21
sen αcotgα cos α tg α
+
sec α
cosecα
2.29
2.22 cosα(cotgα+tgα)
2.23
2.30 cosαsen2α+cos3α-cosα
1
-cosα-tg2αcosα
cos α
2.31
cos α sec α − sen 2 α
cos4 α(1 + sen α)
2.32
(1 − sen 2 α) 2
(1 − cos α)(1 + cos α)
2.24
sen α
2.25
cosecα
1 + cotg 2 α
sen 3 α − sen α
tg α
cos α − cos3 α
2.33
1
tg α + cotgα
2.34 cos3α+cos2αsenα+cosαsen2α+sen3α
2.26 cotg2α-cotg2αcos2α
2
Ejercicios de Trigonometría
Demuestra las siguientes identidades:
2.35 tgα+cotgα=secαcosecα
2.46 (senα+cosα)2=
tg α
1 + tg 2 α
=
2.36
cotgα
cos2 α
sec αcosecα + 2
sec αcosecα
2.47
sen α − cos α 2 sen 2 α − 1
=
sen α + cos α
tg α
2.38 tg2α-sen2α=tg2αsen2α
2.48
1 + cotg 2 α
2.39 sen α
=secα
cos α
sen α cos α
tg α
=
sen 2 α − cos2 α tg 2 α − 1
2.49
cos α
1 + sen α
+
= 2 sec α
1 + sen α
cos α
cos α + tg α
2.41
=cotgα+secα
cos α tg α
2.50
1
cos α
=
sec α + tg α 1 + sen α
2.42 3-4cos2α=4sen2-1
2.51
2 tg α + cotgα
=1+sen2α
tg α + cotgα
2.52
cosec 2 α − 1
=cotgαcosecα
cos α
2.37 sec2α+cosec2α=sec2αcosec2α
2
2.40 cos4α-sen4α=2cos2α-1
2.43 tg3α=
2.44
sec α − cos α
cosecα − sen α
cos α
1 − sen α
−
= 2 tg α
1 − sen α
cos α
2.53 (tgα+cotgα)2=sec2α+cosec2α
sec 4 α − tg 4 α
2.45
= 1 + sen 2 α
2
sec α
2.54
cosecα − sen α cotgα
=
cotgα
cosecα
2.55 Halla el cuadrante en que se encuentra α en cada uno de los siguientes casos:
a. senα>0 y cosα<0
b. senα<0 y tgα>0
c. secα<0 y cosecα<0
d. cotgα<0 y cosα>0
Responde razonadamente las siguientes cuestiones:
2.56 Sabiendo que tgα=tgβ, ¿se puede asegurar que α=β?
2.57 ¿Puede ser cosα=-1,003? ¿Y cosecα=0,2?
2.58 ¿Es posible encontrar un ángulo α que verifique simultáneamente que
3
1
senα= y cosα= ?
4
4
2.59 ¿Están relacionadas las razones trigonométricas de los ángulos -α y α? En
caso afirmativo, escribe las relaciones existentes.
2.60 ¿Es cierta la implicación senα<senβ⇒α<β ?
2.61 Al duplicar un ángulo, ¿se duplica el seno?
3
Ejercicios de Trigonometría
3. Ángulos relacionados por sus razones
3.1
Sabiendo que tgα=
a. tg(90º-α)
3
y que 0º<α<90º, calcula razonadamente:
4
b. tg(270º-α)
c. tg(90º+α)
d. tg(270º+α)
3.2
Sabiendo que senα=
a. sen(90º-α)
3.3
3.4
f. cotg(-α)
3
y que 0º<α<90º, calcula razonadamente:
5
b. sen(90º+α)
c. sen(180º-α)
d. sen(180º+α)
e. sen(270º-α)
f. sen(270º+α)
g. cos(360º-α)
h. tg(720º-α)
i. sec(450º+α)
Sabiendo que tgα=6 y que 180º<α<270º, calcula razonadamente:
a. sen(α+360º)
b. cos(360º-α)
c. tg(α+180º)
d. cotg(180º-α)
e. sec(α+90º)
f. cosec(90º-α)
Sabiendo que cosα=
a. cos(360º-α)
3.5
e. tg(180º-α)
4
y que 270º<α<360º, calcula razonadamente:
5
b. cos(α-270º)
c. cos(α-180º)
d. cos(450º-α)
e. cos(α-90º)
f. cos(540º-α)
g. cos(630º-α)
h. cos(270º+α)
i. sec(α-450º)
j. sen(-180º-α)
k. cotg(720º-α)
l. tg(-630º-α)
Sabiendo que tgα=-2 y que 90º<α<180º, calcula razonadamente:
a. tg(180º-α)
b. tg(90º+α)
c. cotg(270º+α)
d. sec(360º-α)
e. cosec(180º+α)
f. cos(270º-α)
g. tg(-540º-α)
h. cotg(990º-α)
i. cotg(α-720º)
4. Cálculo de razones trigonométricas
Halla, sin usar la calculadora, las siguientes razones trigonométricas:
4.1
cosec240º
4.6
sen-300º
4.11 cosec-810º
4.2
cos
5π
6
cotg-315º
4.7
sec-135º
4.12 cotg-630º
4.8
cos1410º
4.13 sec10π
4.9
sen
4.3
4.4
cos210º
4.5
tg-120º
11π
6
4.14 tg-
4.10 cos-11π
13π
4
4.15 sec-52π
4
4.16 cotg-840º
5π
4
4.18 sec3930º
4.17 tg
4.19 tg-45º
4.20 cosec570º
Ejercicios de Trigonometría
Halla, usando la calculadora, las siguientes razones trigonométricas:
4.21 sen39º
4.27 sen1,2
4.33 sen36º28'
4.22 cos62º
4.28 cos0,03
4.34 cos72º10'5"
4.23 tg17º
4.29 tg0,295
4.35 tg22º37'50"
4.24 cotg42º
4.30 cotg2,5
4.36 cotg40º40'
4.25 sec80º
4.31 sec7,1
4.37 sec83º6'37"
4.26 cosec19º
4.32 cosec0,2
4.38 cosec45º25'
5. Operaciones recíprocas al cálculo de razones
Halla, sin usar la calculadora:
5.1
arccos-1
5.2
arcsen-
5.3
arctg1
5.4
arccosec-2
5.5
arccosec
2
2
2
3
5.6
arccotg 3
5.7
arcsen-
5.11 arcsec- 2
1
3
5.8
1
2
arccos-2
5.13 arccosec1
5.9
arcsec-2
5.14 arctg0
5.10 arctg
1
3
5.12 arccotg-
5.15 arccotg- 3
Halla, usando la calculadora:
5.16 arcsen0,3
5.20 arcsec4,01
5.24 arctg-8,2
5.17 arccos-0,2
5.21 arccosec1,15
5.25 arccotg-1,7
5.18 arctg4,4
5.22 arcsen-0,1
5.26 arcsec-2,85
5.19 arccotg0,81
5.23 arccos-0,7
5.27 arccosec-1,9
Halla α en cada uno de los siguientes casos:
5.28 senα=-0,41, 270º<α<360º
5.31 cotgα=-4, 270º<α<360º
5.29 cosα=-0,66, 90º<α<180º
5.32 cosecα=10, 90º<α<180º
5.30 tgα=7, 180º<α<270º
5.33 secα=-12, 180º<α<270º
Halla, sin usar la calculadora:
5.34 0º<arccos(cos420º)<360º
5.36 0º<arccos(sen420º)<360º
5.35 0º<arcsen(cos(-36º))<360º
5.37 cos(arctg(-4))
Halla las siguientes expresiones:
5.38 sen(arcsenx)
5.40 sec(arctgx)
5.39 sen(arccosx)
5.41 cotg(arctgx)
5
Ejercicios de Trigonometría
¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?
5.42 arcsen(-x)={angulos -α tales que α∈arcsenx}
5.43 arccos(-x)={angulos α-180º tales que α∈arccosx}
5.44 arctg(-x)={angulos -α tales que α∈arctgx}
6. Resolución de triángulos rectángulos
Sabiendo que  =90º, resuelve los triángulos rectángulos ABC siguientes:
6.1
a=7, b=5
6.6
b=4, c=3
6.2
a=7, Ĉ =80º
6.7
b=8, Ĉ =55º
6.3
b=37, B̂ =40º
6.8
a=13, c=6
6.4
a=6, b=3
6.9
c=4, B̂ =37º37'
6.5
a=10, B̂ =53º
6.10 b=9, B̂ =26º27'
6.11 Calcula el área de un triángulo rectángulo ABC cuya hipotenusa es a=6 cm y
B̂ =38º uno de sus ángulos agudos.
6.12 En un triángulo ABC, rectángulo en A, un cateto es b=6 y un ángulo agudo
Ĉ =72º. Calcula su área.
6.13 Un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos agudos mide 12º, tiene un área
de 100 cm2. Calcula la longitud de su hipotenusa.
6.14 Calcula el ángulo desigual de un triángulo isósceles, sabiendo que sus lados
son a=6 cm, b=c=4 cm.
6.15 Un triángulo ABC es tal que B̂ = Ĉ =42º, a=8 m. Calcula su área.
6.16 Halla el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 10 cm y el
ángulo opuesto 50º.
6.17 Calcula el perímetro de un octógono regular inscrito en una circunferencia de
6 m de radio.
6.18 Calcula el lado de un decágono regular circunscrito a una circunferencia que
tiene 10 cm de radio.
6.19 Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide 12 m.
6.20 Calcula el área de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 2 m
de radio.
6.21 Calcula el ángulo que forman la diagonal y una de las aristas de un cubo.
6.22 Una circunferencia tiene 4 cm de radio. Calcula la longitud de la cuerda
correspondiente a un ángulo central de 68º.
6
Ejercicios de Trigonometría
6.23 En una circunferencia de 10 cm de diámetro, una cuerda mide 6 cm. Calcula
su distancia al centro de la circunferencia.
6.24 Calcula el ángulo central que corresponde a una cuerda de 10 m de longitud,
en una circunferencia de 6 m de radio.
6.25 Calcula el área de un trapecio isósceles, sabiendo que uno de sus ángulos
interiores es igual a 118º y que sus bases miden 30 cm y 14 cm.
6.26 Calcula el área de un trapecio rectángulo, sabiendo que uno de sus ángulos
interiores es 42º26' y que sus bases miden 6 cm y 12 cm.
6.27 Un trapecio rectángulo es tal que la longitud de su base mayor es 40 m y sus
lados no paralelos miden 22 m y 34 m. Calcula la longitud de su base menor.
6.28 Calcula el perímetro de un rombo que tiene un ángulo de 50º y cuya diagonal
menor mide 13 cm.
6.29 Las diagonales de un rombo miden 20 cm y 14 cm. Calcula los ángulos del
rombo, su perímetro y su área.
6.30 La pirámide de Keops tiene 138 m de altura y su base es un cuadrado de 227 m
de lado. Calcula el ángulo de inclinación de su apotema lateral.
6.31 Una escalera apoyada en una pared forma un ángulo de 60º con la horizontal
del suelo. Si la escalera mide 4 m, halla la altura que hay desde el suelo al
punto de apoyo de la escalera.
6.32 Una escalera de 6,5 m de longitud se apoya en una pared, formando con ella
un ángulo de 18º. Calcula la altura que alcanza.
6.33 Calcula la longitud de la sombra de un árbol de 18 m de altura, cuando los
rayos solares forman con el suelo un ángulo de 22º.
6.34 Sonia que mide 1,65 m proyecta una sombra de 1,8 m. ¿Qué altura mide un
árbol que proyecta una sombra de 15 m?
6.35 Para subir con una carretilla un desnivel de 1,5 m de altura, se coloca un
tablón de apoyo. Calcula la longitud mínima que debe tener dicho tablón, si se
desea que su inclinación no supere los 15º.
6.36 Durante la maniobra de despegue, un avión asciende 300 m por cada 8 km de
desplazamiento horizontal. En el supuesto de que su trayectoria sea una línea
recta, calcula el ángulo formado por dicha trayectoria y el suelo.
6.37 Un observador, situado a 48 m de distancia de la base de una chimenea, lanza
una visual al punto más alto de la misma, la cual forma un ángulo de 36º40'
con la horizontal del suelo. Calcula la altura de la chimenea.
6.38 Dos radares, separados una distancia de 20 km, observan un avión, situado
entre ellos en su mismo plano vertical, bajo ángulos de 36º y 52º
respectivamente. ¿A qué altura vuela el avión?
7
Ejercicios de Trigonometría
6.39 Para hallar la anchura de un río, un hombre procede del siguiente modo:
Observa un árbol situado en la orilla opuesta, perpendicular a su posición;
camina 50 m a lo largo del río y entonces ve el mismo árbol con un ángulo de
64º respecto de una roca que en ese momento se encuentra enfrente de el.
¿Cuál es la anchura del río?
6.40 Juan observa, desde la puerta de su casa, la torre de la iglesia de su pueblo
bajo un ángulo de 45º. Cuando se acerca 60 m en dirección a la torre, divisa la
misma bajo un ángulo de 60º. ¿Cuál será la altura de la torre? ¿A qué
distancia se encuentra la torre de su casa?
6.41 Con objeto de determinar la altura de una montaña situada en las
proximidades de la costa, se lanza una visual desde un barco, obteniéndose un
ángulo de elevación de 26º13'17". Una vez que el barco recorre una distancia
de 1 km en dirección a la montaña, se lanza una segunda visual, obteniéndose
un ángulo de elevación de 39º43'2". ¿Cuál es la altura de la montaña?
6.42 En un mapa a escala 1/300000, los puntos que señalan el Pico de Urbión, en
la provincia de Soria, y la cumbre del monte San Lorenzo, en la comunidad de
La Rioja, distan entre sí 88 mm. Sabiendo que las alturas de estas montañas
son 2223 m y 2271 m respectivamente, calcula el ángulo de inclinación con
que se ve el punto más alto de la segunda cota al visualizarlo desde la cumbre
de la primera.
6.43 Desde un punto A al pie de una colina, una persona camina, en dirección a la
cima, subiendo 300 m por una pendiente de 24º, y a continuación, 100 m por
una pendiente de 31º hasta alcanzar la cima. Calcula la distancia en línea recta
de A a la cima y el ángulo de elevación de la misma observado desde A.
6.44 Una antena de televisión de 1,5 m de altura se ha colocado en el punto más
alto de un edificio. Desde un punto de la calle medimos los ángulos de
elevación de la base y el extremo superior de la antena, que son 46º y 50º
respectivamente. ¿Qué altura tiene el edificio?
6.45 Un avión, que vuela a 2000 m de altura se acerca a dos pueblos situados en
una llanura y en el mismo plano vertical que el avión. Desde la cabina, se ven
ambos pueblos bajo ángulos de 42º y 18º en relación a la horizontal de vuelo
(ángulos de depresión). ¿Qué distancia hay entre ambos pueblos?
6.46 Desde la ventana de un edificio cercano se ve el punto mas alto de un
rascacielos bajo un ángulo de elevación de 57º y la base bajo un ángulo de
depresión de 13º. Sabiendo que la altura de la ventana es de 51 m sobre el
suelo, halla la altura del rascacielos.
6.47 Un avión que vuela a una velocidad de 60 m/seg comienza a descender hacia
un aeropuerto con un ángulo de 6º respecto a la horizontal de vuelo. Si el
avión se encuentra a una altura de 1800 m cuando comienza el descenso,
¿cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?
8
Ejercicios de Trigonometría
7. Nuevas fórmulas trigonométricas
Sin usar la calculadora para razones trigonométricas, resuelve los ejercicios siguientes:
7.1
Halla el valor exacto de sen105º, cos105º y tg105º.
7.2
Sabiendo que cos36º=0,8090, halla sen9º y tg6º.
7.3
Sabiendo que sen10º=0,173, halla cosec20º.
7.4
Sabiendo que sen38º=0,62, halla sen19º y cos76º.
7.5
3
Sabiendo que tgα= , halla tg(α+30º) y tg(45º-α).
4
7.6
7.7
4
12
y tanto α como β son ángulos del
Calcula cos(α-β) si senα= , senβ=
5
13
segundo cuadrante.
1
2
Calcula sen(α-β) si senα=- , cosβ= y tanto α como β son ángulos del
5
3
cuarto cuadrante.
7.8
Calcula sen(α+β) y cos(α-β) si α y β son dos ángulos del tercer cuadrante
3
1
tales que senα=- y cosβ=- .
5
5
7.9
Si tgα=
3
1
y tgβ= y ambos son del tercer cuadrante, calcula todas las
4
2
razones trigonométricas del ángulo α+β.
7.10 Calcula sen2α si sabemos que α es del tercer cuadrante y que senα=7.11 Sabiendo que cosα=0,2, calcula tg(90º-2α).
4
7.12 Sabiendo que cotgα= , calcula cos2α.
3
7.13 Sabiendo que tgα=2, calcula sen4α.
α
α
α
7.14 Sabiendo que secα=3 y que 270º<α<360º, halla sen , cos y tg .
2
2
2
7.15 Sabiendo que tg2α= 3 y que 0º<α<90º, halla senα y cosα.
7.16 Sabiendo que tgα=-
3
α
y que 90º<α<180º, calcula cos .
4
2
α
7.17 Sabiendo que sec2α=3 y que 270º<2α<360º, halla cosα y sen .
2
9
12
.
13
Ejercicios de Trigonometría
α
7.18 Sabiendo que tg =2 y que 90º<α<180º, calcula senα y tg2α.
2
α
7.19 Sabiendo que cotg2α=-4 y que 0º<α<90º, halla cosα y sen .
2
α 5
7.20 Sabiendo que cosec = y que 180º<α<270º, calcula cosα y sec2α.
2 4
7.21 Sabiendo que tg(α+β)=4 y que tgα=-2, calcula tg2β y tg(α-β).
1
7.22 Halla cos(2arccos ).
2
1
7.23 Halla tg(2arcsen ).
3
Simplifica las siguientes expresiones:
7.24 sen(5π-α)+sen(π+α)-sen( 32π +α)
7.25
sen α(cos β + sen α) + cos α(sen β + cos α) − 1
cos β(cos α + cos β) + sen β(sen β − sen α) − 1
7.26
sen( 2π − α) cos( π + α) tg( π − α) cos( − π)
sen( 32π + α) sen 2 α cos( π + α) sen( π − α)
7.27
cos(α − β) − cos(α + β)
sen( α − β) + sen( α + β)
7.35
sen 3α cos 3α
−
sen α cos α
7.28
tg(90º + α) sen(180º + α)
cotg(180º −α)
7.36
sen 2α + sen 4α
cos 2α − cos 4α
sen α cos α(1 − tg 2 α)
7.29
cos2 α − sen 2 α
7.37
sen 6α − sen 4α
cos 6α + cos 4α
sen 2α 1 + cos2 α
7.30
·
1 − cos4 α cos α
7.38
cos 3α − cos α
sen 2 α cos α
sen 2α 1 + cos α
7.31
·
1 − cos2 α cos α
7.39
sen α + sen 3α + sen 5α + sen 7α
cos α + cos 3α + cos 5α + cos 7α
7.40
sen 40º + sen 20º
(Sin calculadora)
cos 40º + cos 20º
2
α
α

 sen − cos  (1 + sen α)
2
2
7.32 
sen 2α
7.33
7.41 sen75º-sen15º (Sin calculadora)
7.42 sen52,5º·cos7,5º (Sin calculadora)
1 − cos 2α
tg α + cotgα
7.43 cos2αcos3α+sen2αsen3α
7.34 sen4α-cos4α
7.44 sen2αcos3α+sen3αcos2α
10
Ejercicios de Trigonometría
Demuestra las siguientes identidades:
7.45 senαsen(α+β)+cosαcos(α+β)=cosβ
7.46 sen( π2 -α)tg( π2 -α)cos(π+α)tg(π+α)+sen2α=-cos2α
7.47 tg( π4 +α)-tg( π4 -α)=2tg2α
7.48 tgα+tgβ=
α
2
7.58 cosα=
α
1 + tg 2
2
1 − tg 2
sen( α + β)
cos α cos β
7.49 tgα+cotgα=
2
sen 2α
α
2
7.59 sen α =
α
1 + tg 2
2
2 tg
cos2 α − cos2 β
7.50
= − sen( α + β)
sen( α − β)
α
sen α
7.60 tg =
2 1 + cos α
cotgαcotgβ − 1
7.51 cotg(α+β)=
cotgα + cotgβ
2
α 1 − cos2 α
7.61 sen
=
2 4 cos2 α
2
2
2
7.52 6sen α+8cos α=7+cos2α
7.53
1 − tg α 1 − sen 2α
=
1 + tg α
cos 2α
7.62 sec2α+cosec2α=4cosec22α
3
7.54 sen6α+cos6α=1- sen2α
4
7.63 2sen5αcos3α=sen8α+sen2α
α 2 sec α
7.55 sec2 =
2 1 + sec α
7.64
cos 3α + cos α
= cotgα
sen 3α − sen α
α
α
7.56 4sen2 cos2 =1-cos2α
2
2
7.65
sen 5α + sen α
=1+2cos2α
sen 3α − sen α
7.66
sen 4α + sen 2α
= tg 3α
cos 4α + cos 2α
2
2
7.57 cotg α-tg α=4cotg2αcosec2α
7.67 Expresa sen3α en función de senα.
7.68 Expresa cos3α en función de cosα.
7.69 Halla sen(α+β+γ) y cos(α+β+γ).
8. Ecuaciones trigonométricas
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
8.1
senx+2=3cos2x
8.4
tg2x-tgx=0
8.2
cos2x+5cosx+3=0
8.5
cos3x+cosx=0
8.3
cos2x+senx-1=0
8.6
sen2x=cosx
11
Ejercicios de Trigonometría
8.7
3tg2x=sec2x+1
8.8
senx+cos2x=
8.21 cos3x=0
8.22 senx+tgx=0
5
4
x
8.23 6cos2 =1-cosx
2
8.24 sen2x=cos2x+2cos2x
1
2
8.10 6sen3x=sen2xcosx
8.9
senxcosx=
8.25 senx=cosx
1
2
8.12 (1+tg2x)cosx=1
8.26 cos2x+sen(x+180º)=0
8.11 cosxtgx=
8.27 sen2x+sen8x=0
8.28 cos4x=sen2x
2
8.13 (tgx-1)(4sen x-3)=0
8.29 tg3x=tg(60º-2x)
8.14 tgx·tg2x=1
8.16 tgx=2senx
x
8.30 sen2x-2sen =senx
2
8.31 sen5x-cos4x=0
8.17 sen(2x+60º)+sen(x+30º)=0
8.32 sen3x+sen5x=0
8.18 senx+cosx=1
8.33 sen2x+senx-2cosx-1=0
8.19 cos4x+cos2x=0
8.34 cosx+cos5x-cos3x=0
8.20 cosxcos2x+cos2x=0
8.35 cos2x-cos6x=sen5x+sen3x
2
2
8.15 sen 2x+2cos x-2=0
9. Resolución de triángulos
9.1
¿En que se transforman las fórmulas del teorema del seno y del teorema del
coseno al aplicarlas en un triángulo rectángulo?
9.2
Demuestra que en un triángulo ABC, rectángulo en A, se verifica:
sen2 Â =sen2 B̂ +sen2 Ĉ
9.3
Demuestra que en un triángulo ABC se verifica:
tg  +tg B̂ +tgĈ =tg  ·tg B̂ ·tgĈ
Resuelve los triángulos ABC siguientes:
9.4
a=5, b=12, Â =40º
9.10 b=10, c=9, B̂ =40º
9.5
 =30º, B̂ =45º, a=26
9.11 Â =80, a=12, c=16
9.6
a=7, b=10, c=15
9.12 a=4, b=3, c=6
9.7
 =60º, b=40, c=60
9.13 a=23, B̂ =53º, Ĉ =84º
9.8
 =60º, B̂ =75º, c= 2
9.14 a=12, b=9, Â =96º
9.9
B̂ =30º, Ĉ =105º, a=1
9.15 a=81, b=100, Â =40º
12
Ejercicios de Trigonometría
9.16 a=5, b=4, Ĉ =47º
9.20 a=6, c=9, Â =50º
9.17 a=7, b=5, c=4
9.21 a=13, b=5, c=7
9.18 a=15, b=37, Â =56º
9.22 b=9, c=10, B̂ =50º
9.19 Â =40º, B̂ =60º, Ĉ =80º
9.23 a=3, b=10, Ĉ =53º
9.24 a. Demuestra geométricamente, que todo ángulo inscrito en una circunferencia
(su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas) mide
la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia que el.
b. Demuestra que todo ángulo inscrito en una circunferencia cuyos lados
abarcan una semicircunferencia, es siempre un ángulo recto.
9.25 Utilizando los resultados del ejercicio anterior, demuestra que en cualquier
triángulo ABC:
a
b
c
=
=
=Diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo
sen  sen B̂ sen Ĉ
9.26 Halla el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados 13 m, 14 m y 15 m.
9.27 Halla el radio de la circunferencia circunscrita a ABC siendo a=8 m y  =30º.
9.28 El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo mide 2 2 cm y dos
de sus ángulos son 30º y 45º. Resuelve dicho triángulo.
9.29 Calcula el área de un triangulo de lados 9 cm, 10 cm y 11 cm.
9.30 Calcula el área de un triángulo ABC sabiendo que a=25 cm, b=28 cm y que
sen2Ĉ =0,96 (Ĉ <45º).
9.31 Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido
entre ambos mide 60º. Halla los otros dos ángulos.
9.32 Calcula los lados de un triángulo ABC sabiendo que su área mide 18 cm2 y
sus ángulos  =30º y B̂ =45º.
9.33 Resuelve un triángulo sabiendo que su superficie es 32 cm2 y dos de sus
ángulos miden 40º y 65º.
9.34 Calcula el área de un triángulo ABC sabiendo que a=8 m, B̂ =30º y Ĉ =45º.
9.35 Dos de los lados de un triángulo miden 10 cm y 14 cm, y su área 35 cm2.
Calcula la longitud del otro lado y la medida de sus ángulos.
9.36 Los lados de un paralelogramo miden 4 cm y 6 cm y comprenden un ángulo
cuya tangente es 0,65. Calcula el área del paralelogramo.
9.37 Las diagonales de un paralelogramo miden 12 cm y 8 cm y se cortan
formando un ángulo de 40º. Halla su área.
9.38 Resuelve un triángulo sabiendo que uno de sus ángulos es doble de otro y sus
lados opuestos miden respectivamente 12 cm y 8 cm.
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Ejercicios de Trigonometría
9.39 Dos puntos, entre los que se quiere construir un túnel a través de una
montaña, distan de un tercer punto visible desde ellos 315 m y 480 m. Si
desde este punto se ven los anteriores bajo un ángulo de 42º, calcula la
distancia entre dichos puntos.
9.40 Un barco se encuentra a una distancia de 3,5 km del espigón del puerto en el
instante en que otro barco se encuentra a 3 km del primero. Si ambos son
observados desde el espigón bajo un ángulo de 43º, ¿a qué distancia se
encuentra el segundo barco del puerto?
9.41 Las dos orillas de un río son rectas y paralelas. Desde dos puntos situados en
una de ellas y separados entre sí 100 m se observa un mismo punto de la orilla
contraria bajo visuales de 15º y 30º respectivamente. Calcula la anchura del río.
9.42 Dos individuos observan un globo situado entre ellos en su mismo plano
vertical. La distancia entre los dos individuos es de 4 km. Los ángulos de
elevación del globo desde los observadores son 46º y 52º. Halla la altura del
globo y su distancia a cada observador.
9.43 Un faro tiene 40 m de altura, hallándose situado sobre una roca. Situados en
un punto A de la playa, hemos comprobado que la distancia que hay hasta la
base del faro es 60 m. y la distancia hasta la cúpula del faro es 80 m. Halla la
altura de la roca sobre la que se encuentra el faro.
9.44 Una torre de una antena está en la cima de un monte. Desde un punto A se ve
la base de la torre con un ángulo de 23º y el extremo superior de la torre con
un ángulo de 28º. Nos alejamos 500 m y observamos la base de la torre con
un ángulo de 18º. Halla la altura del monte y de la torre.
9.45 El ángulo de elevación de una montaña es 47º. Después de caminar hacia ella
1000 m, subiendo una pendiente inclinada 32º respecto de la horizontal, su
ángulo de elevación es de 77º. Halla la altura de la montaña con respecto al
plano horizontal de la primera observación.
9.46 La anchura de un campo de fútbol es 50 m. y la de las porterías 7 m. ¿Bajo
qué ángulo (de poste a poste) ve una portería un jugador situado en un punto
de la banda lateral que está a 20 m de la línea de fondo donde está dicha portería?
9.47 Desde un punto A se ven dos árboles, C y D, situados al otro lado de un río
bajo un ángulo de 50º y desde un punto B, distante 100 m de A y en el mismo
lado del río, se ven los árboles bajo un ángulo de 45º. Midiendo las visuales
ABC y BAD obtenemos 55º y 60º respectivamente. Halla la distancia entre
los dos árboles C y D.
9.48 Desde un lado de un barranco queremos medir la distancia entre los puntos A
y B situados en el otro lado. Para ello, desde el punto C situado en nuestro
lado, medimos los ángulos ACB=30º y ACD=75º. Asimismo, desde otro
punto D de nuestro lado, distante 50 m de C, medimos los ángulos ADC=25º
y BDC=85º. ¿Cuál es la distancia entre A y B?
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Ejercicios de Trigonometría
9.49 Sean A y B dos puntos inaccesibles pero visibles ambos desde otros puntos
accesibles C y D, separados estos por 73,2 m. Sabiendo que ACD=80º,
BCD=43º, BDC=32º y ADC=23º, calcula la distancia entre A y B.
9.50 Un barco navega paralelamente a la línea que une dos faros F y G distantes
entre sí 10 km. En un momento dado, las visuales dirigidas al barco desde F y
G forman con FG ángulos de 60º y 50º respectivamente. Al cabo de 10
minutos, la visual desde F forma un ángulo de 45º con FG . ¿A qué velocidad
navega el barco?
9.51 Dos móviles parten de un punto A con direcciones que forman entre sí un
ángulo de 60º, uno a 30 km/h y el otro a 50 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo
distarán uno del otro 100 km?
9.52 Un barco A y otro B salen de un puerto con rumbos que difieren en un ángulo
de 35º. Halla la distancia entre los dos barcos al cabo de 3 horas sabiendo que
la velocidad de A es de 37 km/h y la de B 41 km/h.
9.53 Dos trenes salen de una estación a la misma hora con direcciones distintas que
forman un ángulo de 78º. Al cabo de una hora se encuentran a 234 km de
distancia entre sí. Si uno de los trenes lleva una velocidad de 150 km/h,
calcula la velocidad del otro tren.
9.54 Un vehículo sale en dirección oeste con una velocidad de 90 km/h. Al cabo de
15 minutos gira 82º hacia el sur con respecto a la línea del oeste. ¿A qué
distancia se encontrará del punto de partida al cabo de otros 15 minutos?
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