MÉTODOS MATEMÁTICOS IV, curso 2009/2010 Primer parcial (17 de diciembre de 2009) Solución Problemas 5 y 6 5) Considera la curva plana r = r(θ) en coordenadas polares, donde r(θ) es una función suave. a) Deriva una fórmula para la curvatura en términos de r, r0 y r00 . Dada la curva x(θ) = r cos θ i + r sen θ j, con r := r(θ), es inmediato calcular x0 (θ) = (r0 cos θ − r sen θ) i + (r0 sen θ + r cos θ) j , x00 (θ) = ([r00 − r] cos θ − 2r0 sen θ) i + ([r00 − r] sen θ + 2r0 cos θ) j . La curvatura puede ser calculada, entonces, con la fórmula κ(θ) = ||x0 (θ) × x00 (θ)|| . ||x0 (θ)||3 De hecho, x0 (θ) × x00 (θ) = [−r r00 + 2 r02 + r2 ] k , de modo que su norma es trivial, y la de x0 (θ) resulta ||x0 (θ)||2 = (r0 cos θ − r sen θ)2 + (r0 sen θ + r cos θ)2 = r02 + r2 , por lo que, finalmente, la curvatura resulta | − r r00 + 2 r02 + r2 | κ(θ) = . (r02 + r2 )3/2 b) Si la curva es la espiral logarı́tmica r(θ) = eaθ , muestra que la curvatura de un punto 1 que se encuentra a una distancia R del origen es √ . R 1 + a2 Si r = r(θ) = eaθ , r0 = a r y r00 = a2 r. Entonces, llamando r := R: κ(θ) = (a2 + 1) R2 1 = √ . 2 2 3/2 ((a + 1) R ) R 1 + a2 c) ¿Cómo interpretas el resultado anterior en los lı́mites a → 0 y a → ∞? Cuando a → 0, κ(θ) → 1. Se trata de una circunferencia de radio unidad. Cuando a → ∞, κ(θ) → 0, es decir, una recta (circunferencia de radio infinito). 6) Considera el elipsoide de semiejes a, b y c (a ≤ b ≤ c), x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1. a2 b c a) Encuentra una parametrización en término de los ángulos polar y azimutal. Indica si es regular. Por analogı́a con la ecuación de la esfera, se puede parametrizar al elipsoide en términos de los ángulos polar y azimutal: x := x(θ, φ) = a sin θ cos φ e1 + b sin θ sin φ e2 + c cos θ e3 , con θ ∈ [0, π] y φ ∈ [0, 2π). Para ver si es regular, xθ = a cos θ cos φ e1 + b cos θ sin φ e2 − c sin θ e3 , xφ = −a sin θ sin φ e1 + b sin θ cos φ e2 , de donde podemos calcular xθ × xφ = sin θ (bc sin θ cos φ e1 + ac sin θ sin φ e2 + ab cos θ e3 ) . La parametrización de la superficie es regular, salvo en los puntos θ = 0 y π, en los que xθ × xφ = 0. Si θ ∈ [0, π], entonces, no es regular. Alternativamente, si consideramos θ ∈ (0, π), la parametrización es regular y se necesita completar la carta con otra parametrización complementaria. Como en el caso de la esfera. b) Encuentra las curvas monoparamétricas y demuestra que son regulares. Calcula el ángulo de intersección entre ellas. ¿Qué pasa si a = b? Las curvas monoparamétricas se obtienen fácilmente: y(θ) := x(θ, φ0 ) = sin θ (â e1 + b̂ e2 ) + c cos θ e3 z(φ) := x(θ0 , φ) = a0 cos φ e1 + b0 sin φ e2 + c0 e3 donde hemos definido las siguientes constantes: â = a cos φ0 , b̂ = b sin φ0 , a0 = a sin θ0 , b0 = b sin θ0 y c0 = c cos θ0 . Es decir, las curvas monoparamétricas son, respectivamente, semi-elipses (porque θ ∈ [0, π]) y elipses. Las funciones y(θ) y z(θ) son suaves y y0 (θ) = cos θ (â e1 + b̂ e2 ) − c sin θ e3 6= 0 , z0 (φ) = −a0 sin φ e1 + b0 cos φ e2 6= 0 , ya que el seno y el coseno no pueden anularse simultáneamente. Las curvas monoparamétricas, entonces, son regulares. El ángulo de intersección entre las curvas es: cos α = p = p gθ,φ (θ0 , φ0 ) gθ,θ (θ0 , φ0 ) gφ,φ (θ0 , φ0 ) (b2 − a2 ) cos θ0 sin φ0 cos φ0 (cos2 θ0 [a2 cos2 φ0 + b2 sin2 φ0 ] + c2 sin2 θ0 ) (a2 sin2 φ0 + b2 cos2 φ0 ) , donde utilizamos las componentes de la métrica calculadas en el apartado siguiente. Cuando a = b las curvas monoparamétricas son ortogonales. c) Calcula la primera forma fundamental y el área total del elipsoide que tiene a = b (comprueba que ésta, en el lı́mite c → a tiende al área de la esfera). Fórmula útil: Z π √ sen θ cos2 θ + λ2 sen2 θ dθ = 1 + λ2 0 1 ω = arccos λ ω , tan ω La primera forma fundamental resulta E := gθθ = xθ · xθ = cos2 θ a2 cos2 φ + b2 sin2 φ + c2 sin2 θ , F := gθφ = xθ · xφ = b2 − a2 sin θ cos θ sin φ cos φ , G := gφφ = xφ · xφ = sin2 θ a2 sin2 φ + b2 cos2 φ . Para calcular el área total del elipsoide que tiene a = b, comenzamos por escribir la primera forma fundamental en ese caso gθθ = a2 cos2 θ + c2 sin2 θ , gθφ = 0 , gφφ = a2 sin2 θ , y calcular la raı́z cuadrada del determinante de la métrica q p 1/2 2 g = gθθ gφφ − gθφ = a sin θ a2 cos2 θ + c2 sin2 θ . El área total del elipsoide resulta Z 2π Z π Z (a=b) 1/2 A = dφ dθ g = a 0 = 2πa2 0 Z 2π dφ 0 r π dθ sin θ cos2 θ + 0 Z π dθ sin θ p a2 cos2 θ + c2 sin2 θ 0 c2 sin2 θ 2 a c2 ω 2 = 2πa 1 + 2 , a tan ω donde ω = arccos ac . En el último paso usamos la fórmula útil dada en el enunciado. En el lı́mite c → a, lim A(a=b) = 4πa2 c→a ya que ω → 0 y, entonces, ω/tan ω → 1. Éste es el valor del área de la esfera de radio a. d) Calcula la segunda forma fundamental y clasifica los puntos del elipsoide. Para calcular la segunda forma fundamental, necesitamos las segundas derivadas: xθθ = −a sin θ cos φ e1 − b sin θ sin φ e2 − c cos θ e3 , xθφ = −a cos θ sin φ e1 + b cos θ cos φ e2 , xφφ = −a sin θ cos φ e1 − b sin θ sin φ e2 , y el vector normal n = xθ ×xφ , ||xθ ×xφ || bc sin θ cos φ i + ac sin θ sin φ j + ab cos θ k n= q . c2 sin2 θ a2 sin2 φ + b2 cos2 φ + a2 b2 cos2 θ La segunda forma fundamental resulta abc , L := bθθ = xθθ · n = − q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c sin θ a sin φ + b cos φ + a b cos θ M := bθφ = xθφ · n = 0 , abc sin2 θ . N := bφφ = xφφ · n = − q c2 sin2 θ a2 sin2 φ + b2 cos2 φ + a2 b2 cos2 θ Para clasificar los puntos del elipsoide, calculamos el determinante b = bθθ bφφ − b2θφ a2 b2 c2 sin2 θ = 2 2 >0. c sin θ a2 sin2 φ + b2 cos2 φ + a2 b2 cos2 θ Todos los puntos del elipsoide, como el propio nombre lo sugiere, son elı́pticos.