x + 3 – x – 2 - Curso de Matemática

Facultad de Contabilidad y Finanzas
2006-III
SOLUCIONARIO DE EXAMEN FINAL
Curso
Profesor
Ciclo
:
:
:
A
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Ing. Oscar Reyes Almora
II
1. Calcule los siguientes límites:
(0,5 puntos)
a) lím 8x4 + 2.= 0 / 3 = 0
6
x → ∞ 3x + 1
b) lím
x→∞
x+3
x+2
2x + 5
(0,7 puntos)
.= e 2
→
(2x + 5)( x + 3 – 1) = (2x + 5)(x + 3 – x – 2) = 2x + 5
x+2
x+2
x+2
lím 2x + 5 = 2
x→∞ x + 2
(0,6 puntos)
c) lím x2 – 6x + 8. = lím (x - 4)(x - 2) = lím x - 2 = 4 – 2 = 2
x→4
x–4
x→4
x–4
x→4
4
1 –6 8
4 -8
1 -2 0
____
_____
____
____
____
____
d) lím √ x + 2 – √ x – 2. = lím (√ x + 2 – √ x – 2) (√ x + 2 + √ x – 2).
x→+∞
x→+∞
(√ x + 2 + √ x – 2)
= lím
x→+∞
(0,7 puntos)
(x + 2) – (x – 2) . = lím
4
.=0/2=0
(√ x + 2 + √ x – 2) x → + ∞ √ x + 2 + √ x – 2
2. Determine las asíntotas de la siguiente función:
Asíntotas Verticales:
(2,5 puntos)
f(x) = 2x2 + 1
3x – 4
Analizamos los ceros del denominador
3x – 4 = 0 → 3x = 4 → x = 4/3
2x2+ 1 . = 2(4/3)2+ 1 . = 41/9 = ∞
x → 4/3 3x – 4
3(4/3) – 4
0
lím
∴ A.V.:
x = 4/3
Asíntotas Horizontales:
Como el grado del numerador es mayor que el grado del
denominador entonces no tiene asíntota horizontal.
Asíntotas Oblicuas: Como el grado del numerador es mayor en una unidad al grado
del denominador entonces tiene asíntota oblicua.
m = lím
x→∞
2x2+ 1 . = lim 2x2 + 1 . = 2/3
2
x(3x – 4)
x → ∞ 3x – 4x
(Tomamos los coeficientes de los términos x2)
n = lím 2x2+ 1 – (2/3) x = lím 2x2+ 1 – (2/3)x(3x – 4).= lím 8/3 x + 1 .= 8/9
x → ∞ 3x – 4
x→∞
3x – 4
x → ∞ 3x – 4
(Porque el grado del numerador es igual al grado del denominador)
∴ A. O.:
y = 2/3 x + 8/9
3. Determine si el Teorema del Valor Intermedio es válido para la función, el intervalo
cerrado [a, b] y el valor de k dado. Si el teorema se cumple halle el número c tal que
f(c) = k.
f(x) = ½ x2 + x – 1
;
[a, b] = [1, 2] ;
k=2
(2,5 puntos)
f(a) = f(1) = ½ (1)2 + (1) – 1 = ½ + 1 – 1 = 1/2
Hallamos f(a) y f(b):
f(b) = f(2) = ½ (2)2 + (2) – 1 = 2 + 2 – 1 = 3
En efecto, k = 2 pertenece al intervalo [1/2, 3]
Hallamos “c”:
f(c) = k →
f(c)=½(c)2 + (c) – 1 = 2 → c2 /2 + c – 3 = 0
______________
_____
__
c = -1 ± √ (1) 2 – 4(1/2)(-3) = -1 ± √ 1+ 6 = -1 ± √ 7 ≈ 1,645 y –3,645
2(1/2)
1
Descartamos el resultado negativo por no pertenecer al intervalo [1, 2]
__
Rpta. : c = -1 +√ 7
4. Dada la función: f (x) = x2 + x – 1
a. Halle la TVM en el intervalo [-5, -2] e indique si existe un crecimiento o
decrecimiento de la función.
(1,5 puntos)
TVM [-5, -2] = f (-2) – f (-5) = (-2)2 + (-2) – 1 – ((-5)2 + (-5) – 1) = 4 – 3 – (25 – 6) = - 6
-2 – (-5)
-2 + 5
3
En el intervalo [-5, -2] existe un decrecimiento de la función.
b. Halle la TVI en el punto 2.
(1,0 punto)
TVI (2) = lím f (2+ h) – f (2) = lím (2+h)2 + (2+h) – 1 – ((2)2 + (2) – 1) =
h→0
h
h→0
h
lím (4+4h + h2) + 2+h – 1 – (5) = lím 5h + h2 = lím 5 + h = 5
h→0
h
h→0
h
h→0
5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa
indicado:
y = 4x – x2
;
x=-1
(2,5 puntos)
Hallamos f (- 1):
f (- 1) = 4(- 1) – (- 1)2 = -4 – 1 = -5
Hallamos f ´ (x):
f ´ (x) = 4 - 2x
Hallamos f ´ (- 1):
f ´ (- 1) = 4 - 2(- 1) = 4 + 2 = 6
Sustituimos los valores en la forma punto-pendiente de la recta:
y – (-5) = 6 (x – (-1))
→ y=6x+6–5 → y=6x+1
6. Estudie la continuidad de la siguiente función:.
f(x) =
x–4,
si -1 < x ≤ 2
3x – 3 ,
si 2 < x ≤ 5
(2,5 puntos)
Luego, halle las derivadas laterales de f(x) en x = 2 y determine si f ´(2) existe.
Continuidad:
•
las dos expresiones son continuas en su dominio por ser polinómicas.
•
En x = 2:
f(2) = (2) – 4 = -2
lím f(x) = lím x – 4 = -2
x→ 2
-
x→2
lím f(x) = lím 3x – 3 = 3(2) – 3 = 6 – 3 = 3
x→ 2
+
x→2
∴ La función f no es continua en x = 2.
Derivadas laterales:
f ´(2-)= lím f (2+ h) – f (2) = lím (2 + h) – 4 – (-2) = lím h = lím 1 = 1
h→0
h
h→0
h
h→0 h
h→0
f ´(2+)= lím f (2+ h) – f (2) = lím 3(2 + h) – 3 – (-2) = lím 3h + 5 = ∞
+
h→0
h
h→0
h
h→0 h
∴ f ´(2) no existe.
7. Usando las reglas de derivación, calcule la derivada de las siguientes funciones:
a. f (x) = x2 + 3x + 1
→
b. g (x) = ( x2 + x) (3 – 2x) →
f ´(x) = 2 x + 3
g ´(x) = (2x + 1)(3 – 2x) + (x2 + x)(-2)
= 6x – 4x2+ 3 – 2x – 2x2 – 2x = – 6x2 + 2x + 3
c. h (x) = (x5 – 2x + 1)3
d. t(x) =
(0,5 puntos)
(0,6 puntos)
→ h ´(x) = 3(x5 – 2x + 1)2(5x4 – 2)
(0,7 puntos)
. → t ´(x) = 2(x3+ 2x – 4) – 2x(3x2 + 2) = 2x3+ 4x – 8 – 6x3 – 4x
(x3 + 2x – 4) 2
(x3 + 2x – 4) 2
x3 + 2x – 4
2x
(0,7 puntos)
= - 4x3 – 8
(x3 + 2x – 4) 2
8. Determine el punto de inflexión (si existe) y estudie la concavidad y convexidad de la
siguiente función: h (x) = x3 + 3x2
(2,5 puntos)
h´ (x) = 3x2 + 6x
→ h´´(x) = 6x + 6
Punto de inflexión: 6x + 6 = 0 → x = - 6/6 = -1
h´´´(x) = 6 ≠ 0
Comprobación:
-∞
∞
-1
h´´(x)
–
+
h (x)
convexa
cóncava
Rpta.: La función h tiene en x = -1
un punto de inflexión, siendo convexa
sobre el intervalo ] -∞, -1 [ y cóncava
sobre el intervalo ] –1, ∞ [.
9. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos
(mínimos y máximos) de la función: f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6.
(2,5 puntos)
f ´(x) = 3x2 – 12x + 11
3x2 – 12x + 11 = 0
Extremos relativos:
x = 12 + √ 144 – 4(3)(11) = 12 +√ 23 ≈ 2,799
6
6
-∞
(12 -√ 23)/6
x = 12 -√ 23 ≈ 1,2
6
(12 +√ 23)/6
∞
f ´(x)
+
–
+
f (x)
creciente
decreciente
creciente
Rpta.: La función f es creciente en los intervalos ] -∞ , (12 -√ 23)/6 [ y ] (12+√ 23)/6 , ∞ [,
mientras que es decreciente en el intervalo ] (12 -√ 23)/6 , (12+√ 23)/6 [. Además, tiene un
máximo relativo en (12 -√ 23)/6 y un mínimo relativo en (12 +√ 23)/6.
10. ¿Cuál es la máxima superficie rectangular que se puede cercar con 400 m. De
alambre?.
(2,5 puntos)
Superficie rectangular:
Condición:
f(x,y) = x.y
2x + 2y = 400
La función a maximizar es:
→ x + y = 200 → y = 200 – x
g(x) = x(200-x)
g´(x) = (1)(200-x) + x(-1) = 200 – 2x = 0
Luego:
→ x = 100
y = 200 – 100 = 100
Rpta.: La máxima superficie es 10000.
11. Utilice el Método de Newton para calcular la raíz positiva de la ecuación dada con dos
cifras decimales exactas:
x2 – x – 3 = 0
(2,5 puntos)
Nota: Considere como valor inicial a x = 2,5
x n+1 = xn – UU f(xn)
f ´(xn)
f ´(x) = 2x – 1
x1 = 2,5
f(x1) =(2,5)2 – (2,5) – 3 = 0,75
f ´( x1) = 2(2,5) – 1= 4
x2 = 2,5 – 0,75/4 = 2,3125
f(x2) =(2,3125)2 – (2,3125) – 3 = 0,03515625
f ´( x2) = 2(2,3125) – 1= 3,625
x3 = 2,3125 – 0,03515625/3,625 ≈ 2,3028
f(x3) =(2,3028)2 – (2,3028) – 3 = 0,00008784
f ´( x3) = 2(2,3028) – 1= 3,6056
x3 = 2,3028 – 0,00008784/3,6056 ≈ 2,30277 ≈ 2,3028
UEL PROFESOR
Facultad de Contabilidad y Finanzas
2006-III
EXAMEN FINAL
Curso
Profesor
Sección
Aula
Ciclo
Fecha
:
:
:
:
:
:
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Ing. Oscar Reyes Almora
Extraordinaria
B-304
II
SÁBADO 10 DE MARZO
B
Indicación: Usted deberá responder como máximo ocho (08) de los once (11)
problemas que se plantean, debiendo indicar al final de la presente hoja,
en el reverso de la misma, los tres problemas que no deberán corregirse.
1. Calcule los siguientes límites:
(0,5 puntos)
a) lím 8x4 + 2.= 8 / 3
4
x → ∞ 3x + 1
b) lím
x→∞
2x + 1
2x
3x – 2
(0,7 puntos)
= e 3/2
(3x – 2)( 2x + 1 – 1) = (3x – 2)(2x + 1 – 2x) = 3x – 2
2x
2x
2x
→
lím 3x – 2 = 3/2
x → ∞ 2x
x2 – x – 2 .= lím (x - 2)(x + 1) = lím x + 1 = 2 + 1 = 3 / 0 = ∞
2
x → 2 x – 4x + 4 x → 2 (x – 2)(x - 2)
x→2 x – 2
2-2
(0,6 puntos)
c) lím
2
1 -1 -2
2 2
1 1 0
2
____
_____
1 -4 4
2 -4
1 -2 0
____
____
____
____
d) lím √ x + 2 – √ x – 2. = lím (√ x + 2 – √ x – 2) (√ x + 2 + √ x – 2).
x→+∞
x→+∞
(√ x + 2 + √ x – 2)
= lím
x→+∞
(0,7 puntos)
4
.=0/2=0
(x + 2) – (x – 2) . = lím
(√ x + 2 + √ x – 2) x → + ∞ √ x + 2 + √ x – 2
2. Determine las asíntotas de la siguiente función:
Asíntotas Verticales:
(2,5 puntos)
f(x) = x2 + 2
3x – 1
Analizamos los ceros del denominador
3x – 1 = 0 → 3x = 1 → x = 1/3
x2+ 2 . = (1/3)2+ 2 . = 19/9 = ∞
x → 1/3 3x – 1
3(1/3) – 1
0
lím
∴ A.V.:
x = 1/3
Asíntotas Horizontales:
Como el grado del numerador es mayor que el grado del
denominador entonces no tiene asíntota horizontal.
Asíntotas Oblicuas: Como el grado del numerador es mayor en una unidad al grado
del denominador entonces tiene asíntota oblicua.
m = lím
x→∞
x2 + 2 . = 1/3
x2+ 2 . = lim
2
x(3x – 1)
x → ∞ 3x – x
(Tomamos los coeficientes de los términos x2)
n = lím
x→∞
x2+ 2 – (1/3) x = lím x2+ 2 – (1/3)x(3x – 1).= lím 1/3 x + 2 .= 1/9
3x – 1
x→∞
3x – 1
x → ∞ 3x – 1
(Porque el grado del numerador es igual al grado del denominador)
∴ A. O.:
y = 1/3 x + 1/9
3. Determine si el Teorema del Valor Intermedio es válido para la función, el intervalo
cerrado [a, b] y el valor de k dado. Si el teorema se cumple halle el número c tal que
f(c) = k.
f(x) = ½ x2 + 2x – 1
;
[a, b] = [0, 2] ;
k=3
(2,5 puntos)
f(a) = f(0) = ½ (0)2 + 2(0) – 1 = 0 + 0 – 1 = -1
Hallamos f(a) y f(b):
f(b) = f(2) = ½ (2)2 + 2(2) – 2 = 2 + 4 – 2 = 4
En efecto, k = 4 pertenece al intervalo [-1, 6]
Hallamos “c”:
f(c) = k →
f(c)=½(c)2 + 2(c) – 1 = 3 → c2 /2 + 2c – 4 = 0
______________
_____
__
c = -2 ± √ (2) 2 – 4(1/2)(-4) = -2 ± √ 4+ 8 = -2 ± √ 12 ≈ 1,464 y –5,464
2(1/2)
1
Descartamos el resultado negativo por no pertenecer al intervalo [1, 2]
___
Rpta. : c = -2 +√ 12
4. Dada la función: f (x) = x2 + x – 1
a. Halle la TVM en el intervalo [1, 4] e indique si existe un crecimiento o
decrecimiento de la función.
(1,5 puntos)
TVM [1, 4] = f (4) – f (1) = (4)2 + (4) – 1 – ((1)2 + (1) – 1) = 16 + 3 – (2 – 1) = 6
4–1
3
3
En el intervalo [1, 4] existe un crecimiento de la función.
b. Halle la TVI en el punto – 3.
(1,0 punto)
TVI (-3) = lím f (-3+ h) – f (-3) = lím (-3+h)2 + (-3+h) – 1 – ((-3)2 + (-3) – 1) =
h→0
h
h→0
h
lím (9 - 6h + h2) - 3+ h – 1 – (5) = lím -5h + h2 = lím -5 + h = -5
h→0
h
h→0
h
h→0
5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa
indicado:
y = 4x – x2
;
x=3
(2,5 puntos)
Hallamos f (3):
f (3) = 4(3) – (3)2 = 12 – 9 = 3
Hallamos f ´ (x):
f ´ (x) = 4 - 2x
Hallamos f ´ (3):
f ´ (3) = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2
Sustituimos los valores en la forma punto-pendiente de la recta:
y – (3) = (-2) (x – 3)
→ y = -2 x + 6 + 3 → y = -2 x + 9
6. Estudie la continuidad de la siguiente función:.
(2,5 puntos)
f(x) =
x–3,
si -1 < x ≤ 3
2x – 6 ,
si 3 < x ≤ 6
Luego, halle las derivadas laterales de f(x) en x = 3 y determine si f ´(3) existe.
Continuidad:
•
las dos expresiones son continuas en su dominio por ser polinómicas.
•
En x = 3:
f(3) = (3) – 3 = 0
lím f(x) = lím x – 3 = 0
x→ 3
-
x→3
lím f(x) = lím 2x – 6 = 2(3) – 6 = 6 – 6 = 0
x→ 3
+
x→ 3
∴ La función f es continua en x = 3.
Derivadas laterales:
f ´(3-)= lím f (3+ h) – f (3) = lím (3 + h) – 3 – 0 = lím h = lím 1 = 1
h→0
h
h→0
h
h→0 h
h→0
f ´(3+)= lím f (3+ h) – f (3) = lím 2(3 + h) – 6 – (0) = lím 2h = lím 2 = 2
+
h→0
h
h→0
h
h→0 h
h→0
∴ f ´(3) no existe.
7. Usando las reglas de derivación, calcule la derivada de las siguientes funciones:
a. f (x) = x2 + 2x – 1
→
b. g (x) = ( x2 – x) (2x – 3) →
g ´(x) = (2x - 1)(2x – 3) + (x2 - x)(2)
= -6x + 4x2 + 3 – 2x + 2x2 – 2x = 6x2 – 10x + 3
c. h (x) = (x4 + 2x –1) 2
d. t(x) =
(0,5 puntos)
f ´(x) = 2 x + 2
(0,6 puntos)
→ h ´(x) = 2(x4 + 2x - 1)(4x3 + 2)
(0,7 puntos)
. → t ´(x) = 2(2x3+ x – 1) – 2x(6x2 + 1) = 4x3+ 2x – 2 – 12x3 – 2x
2x3 + x – 1
(2x3 + x – 1) 2
(2x3 + x – 1) 2
2x
(0,7 puntos)
= - 8x3 – 2
(2x3 + x – 1) 2
8. Determine el punto de inflexión (si existe) y estudie la concavidad y convexidad de la
siguiente función: h (x) = x3 + 4x2
(2,5 puntos)
h´ (x) = 3x2 + 8x
→ h´´(x) = 6x + 8
Punto de inflexión: 6x + 8 = 0 → x = - 8/6 = -4/3
h´´´(x) = 6 ≠ 0
Comprobación:
-∞
-4/3
∞
Rpta.: La función h tiene en x = -4/3
un punto de inflexión, siendo convexa
sobre el intervalo ]-∞,-4/3[ y cóncava
h´´(x)
–
+
h (x)
convexa
cóncava
sobre el intervalo ]–4/3, ∞ [.
9. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos
(mínimos y máximos) de la función: f(x) = x3 – 5x2 + 4.
(2,5 puntos)
f ´(x) = 3x2 – 10x + 4
3x2 – 10x + 4 = 0
Extremos relativos:
x = 10 + √ 100 – 4(3)(4) = 10 +√ 52 ≈ 2,869
6
6
-∞
(10 -√ 52)/6
x = 10 -√ 52 ≈ 0,465
6
(10 +√ 52)/6
∞
f ´(x)
+
–
+
f (x)
creciente
decreciente
creciente
Rpta.: La función f es creciente en los intervalos ] -∞ , (10 -√52)/6 [ y ] (10+√52)/6 , ∞ [,
mientras que es decreciente en el intervalo ] (10 -√52)/6 , (10+√52)/6 [. Además, tiene un máximo
relativo en (10 -√52)/6 y un mínimo relativo en (10 +√52)/6.
10. De todos los rectángulos de perímetro 144 cm., halle las dimensiones del que tiene
área máxima?.
(2,5 puntos)
Superficie rectangular:
Condición:
f(x,y) = x.y
2x + 2y = 144
La función a maximizar es:
→ x + y = 72 → y = 72 – x
g(x) = x(72-x)
g´(x) = (1)(72-x) + x(-1) = 72 – 2x = 0
Luego:
→ x = 36
y = 72 – 36 = 36
Rpta.: La máxima superficie es 1296.
11. Utilice el Método de Newton para calcular la raíz positiva de la ecuación dada con dos
cifras decimales exactas:
x2 – x – 4 = 0
(2,5 puntos)
Nota: Considere como valor inicial a x = 3
x n+1 = xn – f(xn)
f ´(xn)
f ´(x) = 2x – 1
x1 = 3
f(x1) =(3)2 – (3) – 4 = 2
f ´( x1) = 2(3) – 1= 5
x2 = 3 – 2/5 = 2,6
f(x2) =(2,6)2 – (2,6) – 4 = 0,16
f ´( x2) = 2(2,6) – 1= 4,2
x3 = 2,6 – 0,16 / 4,2 ≈ 2,5619
f(x3) =(2,5619)2 – (2,5619) – 4 = 0,00143161
f ´( x3) = 2(2,5619) – 1= 4,1238
x3 = 2,5619 – 0,00143161 / 4,1238 ≈ 2,5616 ≈ 2,56
EL PROFESOR