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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
GRADO 10º
TALLER Nº 6
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE II
LA PARABOLA
RESEÑA HISTÓRICA
Historia de las Cónicas: El estudio de las cónicas tiene su
origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se
estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono
cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo
existían
estudios
elementales
sobre
determinadas
intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de
un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según
que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso,
respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica
todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se
aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por
Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las
primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi
total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas,
con las restricciones que esto impone.
 OBJETIVO GENERAL
Identificar las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado parábola y
aplicarlas en situaciones problema.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar la ecuación de la parábola.
Realizar ejercicios con parábolas, hallando vértice, focos, ecuación, entre otros.
 PALABRAS CLAVES
Parábola, foco, vértice, cónica.
 DESARROLLO TEÓRICO
Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana como por ejemplo
se pueden apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una
pelota de tenis. La curva que describe la pelota en su movimiento describe una trayectoria
parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la
representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la
altura `y' alcanzada por la pelota.
Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos
interesa hacer converger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo
las antenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir,
por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en
algunos deportes también tienen forma paraboloidal.
Definición
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de
la parábola (suele denotarse por p).
Dada una parábola, se llama eje de la parábola a la recta que contiene al foco y es
perpendicular a la directriz.
Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.
En el siguiente gráfico se ilustran las definiciones anteriores.
Ecuación Analítica de la Parábola
c , por lo
Suponga que el foco está situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y
tanto el vértice está en su punto medio (0,0). Si se toma un punto cualquiera P ( x, y)
de la parábola y un punto Q
( x, c) de la recta debe de cumplirse que: PF
PQ .
Calculando la distancia entre estos puntos (usando la fórmula de distancia) y elevando
al cuadrado ambos miembros se obtiene que: x 2 4cy .
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en ( p, q) entonces la ecuación sería:
( x p ) 2 4c( y q ) . Desarrollando la ecuación se tiene que
x2
Haciendo D
obtiene que
2 p, E
4c, F
p2
p
2
2 xp 4cy
4cq
0
4cq y reemplazando en la ecuación anterior se
x 2 Dx Ey F 0
Observación: es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que se ha
supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de
coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico
dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.
Ejemplo
Hallar la ecuación reducida de la parábola 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vértice, su
foco y su directriz.
Solución:
La ecuación dada se debe transformar en una de la forma (y - y0)2 = ± 2p(x - x0) ó
(x - x0) 2 = ± 2p(y - y0). Como la ecuación tiene un término en x2 se debe transformar,
en una del tipo (x - x0) 2 = ± 2p(y - y0):
2x 2
8x 3 y 5
0
x2
4x
3
y
2
5
2
3
5
y
4
2
2
3
13
( x 2) 2
y
2
2
3
13
( x 2) 2
y
2
3
2, p 3 / 4, y 0 13 / 3 . Se
Se identifica a partir de esta última ecucación que x0
tiene entonces una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice: el
vértice es el punto (-2,13/3) y foco (-2,95/24) (para hallar el foco se le resta la mitad
del parámetro a la ordenada del vértice, esto es 13/3 – 3/8 = 95/24).
x2
4x 4
Como el eje es vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole
la mitad del parámetro a la del vértice:
y
13 3
3 8
113
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 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en ( –7/2, 0)
R : y2 + 14x = 0
2. Encuentre las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola 2y 2 = – 7x
R: f (–7/2, 0) , x = 7/2
3. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, su eje es el eje X y la
ecuación de su directriz es 3x – 1 = 0
R: 3y2 + 4x = 0
4. Encuentre las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola
x2 + 2 y = 0
R: f (0, – ½ ) , y = ½
5. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz y – 5 = 0
R: x2 + 20y = 0
6. Hallar la ecuación general de la parábola con vértice en el punto V(1, – 4) y su foco se
ubica en el punto f (1, –2)
R: x2 – 2x + 8y + 33 = 0
7. Hallar las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz de la parábola cuya
ecuación es 5y2 – 20x – 20y – 60 = 0
R: V (2, – 4)
f ( 3, – 4)
x–1=0
8. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas:
a. F(3, 0), V(2, 0)
b. F(0, 0), V(-1, 0)
c. F(2, 3), directriz: x = 6
d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2)
e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2)
f. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7)
9. Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas:
a. y = x2 – 2x – 8
b. y = x2 – 6x + 9
c. y = 5 – 4x - x2
d. y = 9 – x2
10.
Encuentre la ecuación de la parábola que pasa por los siguientes puntos: (3, 2), (3,-3)
y (-3,0).
R: 3 x = y 2 + y
11.
Deduzca la ecuación de la parábola con v(0,0) y foco (0,2) y trace su grafica
12.
Determine el foco y la directriz de la parábola y = - x2 ; y trace su grafica
 PEQUEÑOS RETOS
1. El arco de una ventana de una iglesia tiene forma parabólica vertical hacia abajo. La
altura del arco, por el punto medio es de 16 metros y el ancho de la base es de 8
metros. Se desea pasar una caja rectangular, deslizándose a través de la ventana. Si
la caja tiene una altura de 12 metros, ¿Cuál es el máximo ancho posible que puede
tener la caja?
2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas.
Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la
ecuación de la tangente en el vértice.
a. y2 + 4x + 4y = 0
b. 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0
c. x2 – 8x + 3y + 10 = 0
d. 6x2 – 8x + 6y + 1 = 0