Movimiento oscilatorio forzado

Detalles del desarrollo algebraico asociado con el
estudio del movimiento oscilatorio forzado
Segunda ley de Newton
Diagrama de fuerzas sobre la partícula unida a un resorte horizontal, en un medio
r
viscoso. Además de las F elástica y viscosa sobre la partícula actúa una fuerza oscilatoria F (t )
r
v
r
Fel
0
r
N
r
Fv
r
mg
r
F (t )
Superficie sin roce
x
x
Fel = −kx b > 0
Fv = −bv k > 0
F (t ) = F0 cos ωt
F0 > 0
Segunda ley de Newton
Fneta = Fel + Fv + F (t ) = ma
La 2da ley de Newton es equivalente a la ecuación diferencial inhomogénea
d 2 x b dx k
+
+ x = F0 cos ωt , b, k , F0 > 0
2
dt
m dt m
Solución propuesta
x(t ) = A cos(ωt − φ )
derivadas
dx
= −ωA sen (ωt − φ )
dt
d 2x
2
=
−
ω
A cos(ωt − φ )
2
dt
Reemplazando la función y sus derivadas en la ecuación diferencial:
b
k
− ω A cos(ωt − φ ) − ωA sen (ωt − φ ) + A cos(ωt − φ ) = F0 cos ωt
m
m
2
Usando:
cos(ωt − φ ) = cos φ cos ωt + sen φ sen ωt
sen (ωt − φ ) = cos φ sen ωt − sen φ cos ωt
resulta:
F0 
k
b

2
ω
φ
φ
ω
φ
cos
cos
sen
−
+
+
−

 cos ωt +
m
m
A

k
b


2
−
ω
sen
φ
+
sen
φ
−
ω
cos
φ

 sen ωt = 0
m
m


Para que la igualdad anterior se cumpla para todo
t
se debe verificar simultáneamente que:
F
k
b
cos φ + ω sen φ − 0 = 0
m
m
A
k
b
2
− ω sen φ + sen φ − ω cos φ = 0
m
m
− ω 2 cos φ +
Resolviendo para A y φ
tanφ =
A=

 bω 
2
atan
si
k
>
m
ω



2
k
−
m
ω



φ =
π + atan  bω  si k < mω 2
2

ω
k
−
m


bω
k − mω 2
F0 / m
(ω
2
0
−ω
)
2 2
 bω 
+

m


2
donde
ω0 =
k
m