1.3 la demostración

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.3 LA DEMOSTRACIÓN
1.3.1 El proceso demostrativo
En el lenguaje de la lógica el proceso demostrativo consiste básicamente en que, a partir de
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
unas proposiciones dadas que llamaremos premisas o hipótesis, que se admiten como
verdaderas, obtener mediante una cadena de implicaciones lógicas, una proposición final que
se denomina conclusión o tesis. Este proceso está regido por unas reglas lógicas que lo
regulan, denominadas reglas de validez y se reducen a las siguientes:
Regla de validez 1: Los axiomas pueden figurar en cualquier paso de una demostración,
cuando se necesiten. Igualmente ocurre con los teoremas ya demostrados.
Regla de validez 2: Si en una demostración figura P  Q y en la misma demostración también
figura P, entonces, en dicha demostración se puede concluir Q. Esta regla universal se conoce
con el nombre del Modus Ponendo Ponens ó Modus Ponens.
Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes, se puede sustituir la una por la otra
en cualquier parte de una demostración. Esta regla se conoce como sustitución por
equivalencia.
Para probar que una proposición determinada (conclusión) se deduce (demuestra) a partir de
las premisas dadas, se aplican reiteradamente las tres reglas señaladas, partiendo de las
premisas y generando nuevas proposiciones, el número de veces necesario hasta obtener la
conclusión.
En demostraciones en áreas específicas, como la geometría, en nuestro caso, utilizamos
además de los axiomas y teoremas probados, las definiciones y las relaciones construidas a
través de este proceso, en todas las ocasiones en que se requieran. Como lo observaremos en
el desarrollo de este trabajo, a medida que se avanza en la construcción de la teoría, las
demostraciones tienden a ser más ágiles puesto que se dispone de más teoremas y
herramientas propias, que facilitan esta labor.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Como el proceso demostrativo puede hacerse muy largo, utilizando únicamente las reglas
anteriores, recurrimos a unas reglas más dinámicas y, desde luego, fundamentadas en ellas
que se llaman Reglas de inferencia ó Reglas de prueba y que se definen así:
1.3.2 Reglas de inferencia
Son reglas que nos sirven para probar que a partir de unas premisas dadas, es posible hacer
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
la demostración para una conclusión específica. Su objetivo es abreviar las demostraciones.
A continuación se destacan las reglas de mayor utilización en las demostraciones
matemáticas.
1.3.2.1 Modus Ponens
PQ
P
.
Q
Nota: Se destaca nuevamente por su importancia no obstante
Premisas
ser una regla de validez.
Conclusión
1.3.2.2 Modus Tollendo Ponens
PóQ
PóQ
no P.
Premisas
no Q.
Premisas
Q
Conclusión
P
Conclusión
1.3.2.3 Modus Tollendo Tollens
PQ
no Q.
Premisas
no P
Conclusión
1.3.2.4 Transitividad en la implicación ó silogismo hipotético
PQ
QR
Premisas
PR
Conclusión
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.3.2.5 Inferencia Conjuntiva ó Conjunción
P
Q.
Premisas
PyQ
Conclusión
1.3.2.6 Simplificación de la conjunción
Premisas
P
Conclusión
Q
Conclusión
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
PyQ
1.3.2.7 Adjunción
P
Premisa
Nota: Q es una proposición cualquiera, sin importar su valor de
PóQ
Conclusión
verdad.
1.3.2.8 Método de casos o Silogismo disyuntivo
PóQ
Caso particular:
PR
PóQ
PR
QS
Premisas
QR
Premisas
RóS
Conclusión
R
Conclusión
Ilustración Nº3
Elaboremos, utilizando las reglas de validez e inferencias necesarias, una demostración para
probar que de las premisas dadas, es posible obtener la conclusión establecida.
1.H  no.T

2.P  R.ó.S   no.Q  T 

3.S .y .P
 Premisas

4.no.H  K


5.Q  no.P
Demostración
Conclusión: K ó V.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.H  no.T

2.P  R.ó.S   no.Q  T 

3.S .y .P
 Premisas

4.no.H  K


5.Q  no.P
Simplificación en 3.
7.P
Simplificación en 3.
8.R.ó.S   no.Q  T 
Modus Ponens de 7. y 2.
9.R.ó.S
Adjunción en 6.
10.no.Q  T
Modus Ponens de 9. y 8.
11.no.no.T  no.H
Equivalencia por el contrarreciproco en 1. Regla de
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
6.S
validez 3.
12.T  no.H
Equivalencia por doble negación en 11.
13.T  K
Transitividad entre 12. y 4.
14.no.Q
Modus Tollendo Tollens de 7.y 5.
15.T
Modus Ponens de 14. y 10.
16.K
Modus Ponens de 15. y 13.
17.K .ó.V
Adjunción en 16.