BN 12 ruido blanco

3.3
MATRIZ VARIANZA DE ESTADO ESTACIONARIO PARA
SISTEMAS INVARIANTES EN EL TIEMPO.
Es interesante determinar el comportamiento asintótico de la
matriz varianza en los SLIT, es decir, cuando A, B y V son matrices
constantes. En este caso la matriz (3.10) queda:
R x ( t ,t ) = Q ( t ) = e
A( t - t o )
Q oe
A T ( t -t o )
+
t A( t - τ )
AT ( t - τ )
T
BVB e
dτ
e
to
Si y sólo si, A es asintóticamente estable, Q(t) tiene el siguiente
límite para Qo arbitrario:
T
- lim Q ( t ) = lim Q ( t ) = Q = e Aτ BVB T e A τ dτ
to
t to -
Ya que Q(t) es la solución de la ecuación diferencial (3.11), su límite
_
Q también la debe satisfacer, luego:
_
_
AQ + Q AT + BVBT =0
(3.18)
Los resultados que se indican a continuación con el Lema 3.1,
_
demuestran que Q es la única solución de la ecuación (3.18).
Lema 3.1 Tomemos M1 , M2 y M3 como matrices reales nxn, mxn y nxm,
respectivamente. Además λi , i=1,2,…,n y µ j , j= 1,2,….,m como los valores
característicos de M1 y M2 respectivamente.
M 1 X + X M2 T = M 3
Tiene una única n x m matriz X de solución si y sólo si, para todo i, j:
λi + µ j ! 0
Aplicando este lema a (3.18), tomando M1 = A, M2 = AT.
Resulta m = n y λj = µ j, j= 1,2,…,m. Como A es asintóticamente estable,
todos los valores característicos tienen parte real estrictamente negativa,
entonces:
λi + µ j ! 0
Para todo i,j. Luego (3.18) tiene solución única.
Teorema 3.3
Consideremos la ecuación diferencial estocástica
.
x ( t ) = Ax ( t ) + Bw ( t )
x ( to ) = X o
(3.22)
Donde A y B son constantes y w(t) es ruido blanco con intensidad constante
V. Entonces si A es asintóticamente estable y to → - ∞ o t → ∞, la matriz
varianza de x(t) tiende a una matriz constante no negativa definida:
Tτ
- Aτ
T
A
dτ
Q = e BVB e
0
Que es la única solución de la ecuación matricial:
_
_
AQ + Q AT + BVBT =0
(3.23)
(3.24)
Las ecuaciones matriciales del tipo (3.24) aparecen en teorías
de estabilidad y son conocidas como las “ecuaciones de Lyapunov”.
Podemos observar que si A es asintóticamente estable y to→ -∞,
la salida del sistema diferencial (3.22) es un proceso estacionario en
el sentido amplio.
3.4
MODELADO DE PROCESOS ESTOCASTICOS
Mas adelante usaremos el modelado de un proceso estocástico
por un sistema diferencial lineal excitado por ruido blanco. Las
ecuaciones que lo describen son:
•
x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B ( t ) w ( t )
v( t ) = C ( t ) x ( t )
Donde w(t) es ruido blanco y v(t) es el proceso estocástico.
3.5
EXPRESIÓN INTEGRAL CUADRÁTICA
Más adelante se emplearán expresiones de la forma:
t
1
E{ x T (t)R(t)x(t)dt + x T (t )P x(t ) }
1 1 1
to
(3.26)
En el siguiente teorema se resumen fórmulas para esta expresión.
Consideremos el sistema diferencial lineal
Teorema 3.4
•
x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B ( t ) w ( t )
(3.27)
Donde w(t) es ruido blanco con intensidad V(t) y x(to) = xo es una variable
estocástica con E{xoxo T} = Qo. Tomemos R(t) como una matriz simétrica y no
negativa definida para to ≤ t ≤ t1 y P1 como una matriz constante, simétrica y
no negativa definida. Entonces:
E{
t
1
to
x ( t ) T R ( t ) x ( t ) dt + x T ( t ) P x ( t ) } =
1 1
1
(3.28)
tr { P ( to ) Q o +
t
1
B( t ) V ( t ) B
T ( t ) P ( t ) dt }
to
Donde P(t) es la matriz simétrica no negativa definida:
t
1
P ( t ) = Φ τ ( τ , t ) R ( τ ) Φ ( τ , t ) dτ + Φ T ( t , t ) P Φ ( t , t )
1
1 1
t
(3.29)
Φ(t,to) es la matriz de transición del sistema (3.27). P(t) satisface la ecuación
matricial:
•
- P ( t ) = A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A( t ) + R ( t )
(3.30)
Con la condición terminal: P(t1) = P1
(3.31)
En particular, si el sistema (3.27) se reduce al sistema diferencial
autónomo:
•
x ( t ) = A( t ) x ( t )
Es decir, V(t) = 0 y x(to) determinístico, entonces
t
1
T
T
x ( t ) R ( t ) x ( t ) dt + x ( t1 ) P1 x ( t1 ) = x ( t o ) P ( t o ) x ( t o )
t
o
(3.33)
Para el caso en que A, B, V y R son constantes, la ecuación (3.29)
se reduce a:
t1
A T ( τ - t)
P ( t ) = e
t
AT ( t1 -t)
A( t1 -t)
A
(
τ
-t)
Re
dτ + e
P1 e
(3.34)
Si A es asintóticamente estable, obtenemos cuando t1 → ∞:
_ A T ( τ - t) A( τ -t)
Re
dτ
P ( t ) = P = e
t
(3.35)
Haciendo cambio en la variable de integración tenemos:
_ A T t'
'
P ( t ) = P = e
R e At dt'
0
(3.36)
_
Esto demuestra que P es una matriz constante y cumple:
_ _
AT P + P A + R = 0
(3.37)
Ya que satisface la ecuación (3.30).
Como se supone que A es asintóticamente estable, el lema 3.1
garantiza que esta ecuación algebraica tiene solución única.