Un criterio de estabilidad para las soluciones constantes de xn+1 = f

Un criterio de estabilidad para las soluciones
constantes de xn+1 = f (xn) basado en el estudio
de f 0
José Luis López Fernández
6 de octubre de 2011
Al verme aparecer en una clase práctica de biología, los alumnos se mostraron
expectantes y alborozados, pensando sin duda que yo era el nuevo espécimen a
disecar (fragmento de la novela corta Dejen todo en mis manos, de Mario Levrero)
Supongamos que la evolución de nuestra población viene representada por
la ecuación en diferencias xn+1 = f (xn ), de la que sabemos que x = α es un
punto de equilibrio (es decir, f (α) = α). Pretendemos a continuación establecer un criterio matemático para dilucidar el carácter de x = α respecto de su
estabilidad.
Para ello recordaremos en primer lugar algo que ya anunciamos en una ocasión anterior: cuando uno se enfrenta a cocientes incrementales de la forma
f (x) − f (y)
,
x−y
(1)
y en tanto que x sea un valor muy próximo a y, entonces la expresión (1) puede
reemplazarse por f 0 (y) en la certeza de que el error cometido en la aproximación
es despreciable para nuestros propósitos. Es decir, (1) y f 0 (y) son cantidades muy
parecidas, lo cual denotaremos del siguiente modo:
f (x) − f (y)
≈ f 0 (y) .
x−y
(2)
Entonces, restando α en ambos miembros de la ecuación en diferencias, podemos escribir xn+1 −α = f (xn )−α, o equivalentemente xn+1 −α = f (xn )−f (α),
en tanto en cuanto sabemos que α = f (α) por tratarse de un punto fijo de f .
En ese caso, haciendo en (2) las asignaciones x → xn , y → α, se obtiene
xn+1 − α = f 0 (α)(xn − α) .
1
(3)
Precisamente será la magnitud de f 0 (α) la que dictamine el carácter estable o
inestable del punto de equilibrio x = α. En efecto, si fuese −1 < f 0 (α) < 1
tendríamos que la distancia de xn+1 al punto de equilibrio, dada por |xn+1 − α|,
sería más pequeña que |xn −α|, lo que querría decir que la solución de la ecuación
en diferencias estaría, a cada paso de tiempo, más cerca del punto de equilibrio
x = α. Se trata de un modo de comportarse asintóticamente estable. Si, por
el contrario, f 0 (α) > 1 o bien f 0 (α) < −1, entonces la solución se va alejando
paso a paso del punto fijo, comportándose por consiguiente de forma inestable.
Resumiendo, el criterio de estabilidad que acabamos de discutir dice lo siguiente:
Si |f 0 (α)| < 1, entonces x = α es un punto de equilibrio asintóticamente
estable.
Si |f 0 (α)| > 1, entonces x = α es un punto de equilibrio inestable.
Es importante observar que nada puede afirmarse si f 0 (α) = ±1 (caso crítico), salvo que la función f adopte la forma f (x) = ±x, en cuyo caso se conoce perfectamente cómo se comportan todas las soluciones de xn+1 = xn y
xn+1 = −xn (recuérdese).
Apliquemos ahora el criterio anterior para estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio de la ecuación xn+1 = xn (2 − xn ). En este caso se tiene que
f (x) = x(2 − x), cuyos puntos fijos son x = 0 y x = 1. Además, si calculamos la
derivada de f obtenemos f 0 (x) = 1 · (2 − x) + x · (0 − 1) = 2 − 2x (en virtud de
las reglas 2, 5, 1 y 4 de la Tabla 1). Por consiguiente, se tiene que
|f 0 (0)| = 2 > 1
y
|f 0 (1)| = 0 < 1 .
Como consecuencia, el punto fijo x = 0 es inestable mientras que x = 1 es
asintóticamente estable. Esto, además, pone de manifiesto el hecho de que dos
puntos de equilibrio con diferentes comportamientos, uno estable y otro inestable, pueden convivir al amparo de la misma ecuación en diferencias.
Cuando uno se enfrenta al caso crítico debe emplear otros recursos diferentes a los puramente analíticos; en este sentido, el método gráfico resulta en
muchas ocasiones de gran ayuda. Para ilustrar este hecho, podemos considerar
por ejemplo la ecuación xn+1 = 3xn (1 − xn ). En este caso, f (x) = 3x(1 − x)
tiene dos puntos fijos: x = 0 y x = 32 . Como f 0 (x) = 3(1 − 2x) (compruébese), se
tiene que f 0 (0) = 3, lo que conduce directamente a la inestabilidad de x = 0, y
f 0 (2/3) = −1, que nos abandona a nuestra suerte en el caso crítico. Sin embargo,
el método gráfico resulta aquí revelador.
Lo que se aprecia a la luz de las Figuras 1, 2 y 3 es que el punto fijo x = 2/3
es asintóticamente estable, a pesar de que el criterio expuesto anteriormente no
hubiese sido capaz de detectarlo.
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Figura 1: De izquierda a derecha y de arriba abajo: Resolución gráfica de xn+1 =
3xn (1 − xn ) con condición inicial x0 = 0,8, donde se han representado 10, 20, 50 y
100 pasos de tiempo, respectivamente. El resultado es una telaraña que va cerrándose
alrededor del punto de equilibrio x = 2/3
Figura 2: Idem que el anterior con condición inicial x0 = 0,9
3
Figura 3: Idem que los dos anteriores con condición inicial x0 = 0,5
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