Integrales notables

Integrales notables: con
∫
∫
∫
∫
∫
Identidades trigonométricas: con
[
]
[
]
[
]
Transformadas de Laplace notables: con
{ }
{
{
}
{
}
{
}
{
}
| |
{
}
| |
{
}
{
{∫
}
}
}
∑
{
{
}
}
{
}
Teorema de Lerch:
{
}
{
}
Así, se define la inversa de la TdL como sigue:
{
}
{
}
Propiedades de translación de la TdL:

1° teorema de traslación: con
{

}
{
}
2° teorema de traslación:
Obs:
1. La Función de Heaviside o función escalón se define como:
{
2. El Delta de Dirac se define como:
{
∫
{
}
Así, considerando
y:
{
{
}
{

Sean
{
}
}
{
}
Producto de convolución:
[
funciones localmente integrables. Se define el producto de convolución como sigue:
∫
Obs:
Así, se tiene que:
{
}
{ {
}
{
{
}
}
{
}
}
Ecuación Integral de Volterra: una ecuación de la forma
∫
, es decir
, con f y g continuas. Si
{
}
{
{
}
{
}
}
{
}
Series de Fourier:
Sea f(t) una función periódica con periodo fundamental T, con
de Fourier de f(t):
⁄ y
, entonces se denomina Serie
∑
, si
se denominan Coeficientes de Fourier, los que se determinan por:
∫
∫
∫
⁄ y
Relaciones de ortogonalidad: Sean
, entonces el conjunto
{
}
satisface las siguientes relaciones:

∫

∫

∫
{

∫
{

∫
Obs:
La integral de una función par entre –A y A es el doble de la integral entre 0 y A.
La integral de una función impar entre –A y A es cero.
SdF - Desarrollos de Medio Rango:
[
Sea
]. Se denomina extensión par de f a la función:
{
(
∑
)
[
[
[
]
[
[
]
]
Se denomina extensión impar de f a la función:
{
∑
(
)
[
]
Análisis cualitativo1 de E.D.:
Una ec.dif.
se dice autónoma si existe una función g tal que
.
Obs: Para el análisis de EDO de primero orden, se estudia el comportamiento de los factores de la autónoma y
se clasifican las soluciones de acuerdo al signo de la
alrededor de los puntos críticos como sigue:




- - - + + + entonces
+ + + - - - entonces
- - - + + + entonces
+ + + - - - entonces
es un Repulsor.
es un Atractor.
es un Repulsor-Atractor.
es un Atractor-Repulsor.
El sistema general autónomo de dos ecuaciones de primer orden tiene la forma:
{
Se supone
, luego un punto
se llama punto crítico del sistema si
Cualquier punto crítico
es un par solución constante pues la derivada de una constante es cero. Un
punto crítico del sistema es un punto de equilibrio, puesto que una vez llegados a este punto no es posible
abandonarlo nunca, ya que las derivadas de x(t) e y(t) son ambas cero en dicho punto.
Sean
y
condiciones iniciales. Sea
⃑
la única solución del sistema (no estacionaria) que satisface la condición inicial.
Sea
1
un punto de equilibrio. Diremos,
Fuente: Profe Aguilera y “Derrick y Grossman”.
, que
es:
.

Estable si
(

Asintóticamente estable si
)
es estable y existe un A>0 tal que
(

(⃑
)
(⃑
)
)
Inestable si no es estable.
Teorema: Sea
(
)
(
(
)
)
Entonces el polinomio característico de la ecuación diferencial es:
, donde
y
tienen los casos y sub-casos siguientes:
1. Valores propios
. Luego, analizando el determinante de la ecuación cuadrática, se
reales.
La solución general de la ec.dif. es de la forma:
(
Al tomar valores arbitrarios (0 y no 0) para

: Cuando
(
)
y
)
(
)
y hacer ⁄ y luego despejar x, se tienen las rectas:
, todas las órbitas se aproximan a la con pendiente
, todas las soluciones se vuelven asintóticas a la recta pendiente
Nodo asintóticamente estable.
⁄ .
⁄
y cuando

Cuando
Cuando
, todas las soluciones tienden a infinito, asintóticamente con la recta
, todas las órbitas se aproximan a cero con la pendiente
⁄ .
⁄ .
Nodo inestable.

: Cuando
es
, x(t) y y(t) se acercan a cero con la pendiente
⁄ , ambos se aproximan a
.
Punto de Silla (inestable).
⁄ . Cuando la pendiente
2. Valores propios
reales.
Si la matriz A es diagonalizable, la solución del sistema está dada por:
⃑
Al tomar valores arbitrarios (0 y no 0) para

: Cuando
y
y hacer ⁄ y luego despejar x, se tiene la recta
, todas las soluciones tienden a cero.
Nodo estrella asintóticamente estable.

: Cuando
, todas las soluciones tienden a infinito.
Nodo estrella inestable.
.
Si la matriz A no es diagonalizable, la solución es como sigue:
⃑
, donde
es el vector propio asociado a λ y
una solución (¡cualquiera! hay infinitas) del sistema:
, y la solución del sistema está dada por:
⃑
⁄
Se aproxima a

]
cuando
: Cuando
⁄
[
cuando
[
]
.
, todas las soluciones tienden a cero, y las órbitas son asintóticas a las recta
.
Asintóticamente estable.

: Cuando
, todas las soluciones tienden a infinito.
Inestable.
̅̅̅.2
3. Valores propios imaginarios con

: x(t) y y(t) se aproximan a cero cuando
.
Foco estable (asintóticamente).
2
Se omite el análisis para estos sub-casos pues es tedioso y largo.

: x(t) y y(t) se aproximan a infinito cuando
.
Foco inestable.

(imaginarios puros): El análisis resulta en la ecuación de una elipse centrada en el origen.
Centro (estable).
Teorema: Considere
(
)
(
(
)
, donde
, así que el origen (0,0) es el único punto crítico. Sean
característica asociada. Entonces:



)
las raíces de la ecuación
El origen es estable si y son imaginarios puros.
El origen es asintóticamente estable si Re( )<0 y Re( )<0.
El origen es inestable en todos los demás casos.
En resumen:
Tipo de punto crítico
Reales, distintos, negativos
Nodo estable
Reales, distintos, positivos
Nodo inestable
Reales, distintos, signos contrarios
Punto de silla (inestable)
Reales, iguales, negativos
Nodo estable
Reales, iguales, positivos
Nodo inestable
Complejos conjugados, Re(λ)<0
Foco estable
Complejos conjugados, Re(λ)>0
Foco inestable
Imaginarios puros
Centro (estable)
by Paul.