Cálculo infinitesimal Grado en Matemáticas Curso 2014/15

Cálculo infinitesimal
Relación de problemas
Grado en Matemáticas
Curso 2014/15
Sucesiones
1. Demostrar aplicando la definición de lı́mite:
lı́m
1
(−1)n
=0
+
n
n2
lı́m
2n + 3
2
=
3n − 50
3
lı́m
3n2 − 12n + 1
= +∞
n + 25
2. 2. Sea (an ) una sucesión infinita tal que lı́m a2n = lı́m a2n+1 = L. Demostrar que entonces la sucesión
n→∞
n→∞
(an ) es convergente y además lı́m an = L.
n→∞
3. Calcular los lı́mites de las sucesiones cuyo término general es el indicado a continuación:
p
n2 + n − n,
p
cos(tan(log nπ ))
,
n+1
√
n
p
n2 + n + 1 − n2 − n − 1,
p
3
n2
+8−
2n+1 + 3n+1
,
2n + 3 n
a, (a > 0),
log(en + 4)
,
log[(e−n + 1)(4n + 2n )]
p
3
n2
− 3,
√
√
3
n+1− 3n+2
√
√
.
n+3− n+4
(−2)n + 3n
,
(−2)n+1 + 3n+1
log(5n3 + 2)
,
log(6n4 + 2n + 1)
an (a > 0).
2 + (−1)n
,
log(n + 2)
log(3n2 + 4n + 5)
.
log(n + 10)
n2/3 sen(n!)
,
n+1
1
sen
n
1
.
n
4. Probar que si {xn } es una sucesión de números reales no nulos tales que lı́m xn = 0, entonces:
a) lı́m
n→∞
senxn
=1
xn
b) lı́m
n→∞
1
1 − cos xn
= .
x2n
2
Calcular el lı́mite de las siguientes sucesiones:
a) nsen (3/n)
b)
tan(an )
, |a| < 1
an
c) n2 (1 − cos(1/n)).
5. a) Probar que si {an } es una sucesión de números reales no nulos tal que lı́m an = 0, entonces:
lı́m
log(1 + an )
= 1.
an
b) Sean {xn } {yn } dos sucesiones de números reales verificando:
xn 6= 1, ∀n ≥ n0 ; xn −→ 1, yn −→ ∞, yn (xn − 1) −→ a.
Demostrar que (xn )yn −→ ea .
1
6. Calcular los lı́mites de las sucesiones de términos generales:
!n
√
n2 + 2n
√
,
n2 − 1
(1 +
√
n−
√
log(n + 2)
log(n + 1)
√
n + 1)
7. Calcular a sabiendo que lı́m
n
n
,
n2n
,
(1 + n2 )n
1 + sen
4 1/(1+2 log n)
,
(2 + 3n )
log(n + a)
log n
n
1
,
n
,
n+1
2
n +n+5
a+n
a+n−1
n
.
1/(1+log n)
.
n log n
= 2.
8. Demostrar que ∀a ∈ R existen sucesiones (xn ) e (yn ) tales que
lı́m xn = lı́m yn = a
n→∞
n→∞
siendo xn ∈ Q e yn ∈ R \ Q ∀n ∈ N.
9. Sea la sucesión recurrente definida por u1 = 0; un+1 = 1/(un + 1).
a) Calcular el posible lı́mite l.
b) Demostrar que se tiene |un+1 − l| < 23 |un − l|
∀ n ∈ N.
c) Demostrar que efectivamente lı́mn→∞ un = l.
10. Considérese la sucesión definida por recurrencia de la siguiente forma:
3 an+1 = 2 + a3n ,
a1 = −
3
.
2
Pruébese que tal sucesión es monótona creciente y acotada superiormente por K = 1. Calcúlese su lı́mite.
11. Se define la sucesión {xn }, por recurrencia, como:
a) x1 = 1, xn+1 =
c) x1 = 0, xn+1 =
√
6 + xn
1
2 − xn
3(1 + xn )
3 + xn
1
=2−
, con a > 1
xn
b) x1 = 2, xn+1 =
d) x1 = a, xn+1
Demostrar, utilizando argumentos de monotonı́a, que {xn } es convergente, y calcular su lı́mite.
12. Sea a > 0 y sea {xn } la sucesión definida por recurrencia:
x1 = a,
√
Probar que xn ≥ 2
xn+1 =
x2n + 2
, n∈N
2xn
∀n ≥ 2, independientemente del valor de a. ¿Es convergente la sucesión {xn }?
Caso de serlo, calcular su lı́mite.
2
13. Se define la sucesión a1 = a y an+1 = a2n − 2an + 2 donde a ∈ (1, 2). Demostrar que es monótona
convergente y calcular su lı́mite.
14. Calcular los lı́mites de las sucesiones:
log n
,
n
√
nnn−1
,
log n
log(n!)
,
log n
r
n
k+1
1X
k log(
),
n
k−1
1 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2
,
1 + n + n2 + n3
n
1 X
π
sen( ),
log n
k
k=2
n
√
,
n
n!
k=1
1 a1
a2
an Si an −→ a
,
+
+ ··· +
log n 1
2
n
1
n
r
n
(1! + 2! + 3! + · · · + n!)
.
n!
(2n)!
,
n!
√
n
X
1
k
√
.
k
+
1
n + 1 k=1
n
n
n
+ 2
+ ··· + 2
,
2
n +1 n +2
n +n
((3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n))1/n
,
n
√
s 3n 2n
n
.
n
n
√
√
1 + 2 + ··· + n
√
.
(n + 1) n
15. Sea A ⊂ N cuyo complementario es finito. Demostrar que una sucesión {xn } converge si y sólo si converge
la subsucesión asociada a A, y en ese caso tienen el mismo lı́mite.
16. Sea (an ) una sucesión acotada de números reales y sea σn =
a1 + · · · + an
. Demostrar que entonces
n
lı́m inf an ≤ lı́m inf σn ≤ lı́m sup σn ≤ lı́m sup an .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
an
= 0. Indicación: Si n > 2a entonces
n→∞ n!
17. Probar que si a > 0 entonces lı́m
an+1
a
an
1 an
=
·
< ·
(n + 1)!
n + 1 n!
2 n!
18. Sea (an ) una sucesión de números positivos. Demostrar que entonces se tiene
lı́m inf
n→∞
√
√
an+1
an+1
≤ lı́m inf n an ≤ lı́m sup n an ≤ lı́m sup
.
n→∞
an
an
n→∞
n→∞
an+1
= e. Usar el problema 18 para concluir que
n→∞ an
19. Sea an = nn /n!. Probar que lı́m
n
lı́m √
= e.
n
n!
n→∞
20. Demostrar que
lı́m sup(xn + yn ) ≤ lı́m sup xn + lı́m sup yn
n→∞
n→∞
y dar un ejemplo en el que no se dé la igualdad.
3
n→∞
21. Calcular los lı́mites de oscilación de las siguientes sucesiones indicando para cada lı́mite una subsucesión
que converja hacia él:
(−1)n
;
e−1/n
1
nπ
+ sen ;
n
2
sen(1/n)
;
(−1)n + 2
3n
3n
− [ ].
4
4
22. Se dice que una sucesión {xn } de números reales es contractiva de constante α ∈ (0, 1) si |xn+2 − xn+1 | ≤
α|xn+1 − xn | para todo n ∈ N. Demostrar que toda sucesión contractiva es una sucesión de Cauchy.
23. Dada una sucesión, demostrar que el conjunto formado por sus términos y sus lı́mites de oscilación es
cerrado.
24. Construir una sucesión que tenga 10 lı́mites de oscilación. Y otra que tenga infinitos.
4