solucionario del segundo examen parcial

Geometrı́a II
Segundo de Matemáticas UAM, curso 2005-2006
Examen parcial (grupo de mañana), 6-4-2006
1.
Queremos comparar el área de dos regiones sobre la superficie terrestre (que suponemos que es una
esfera de radio R): la región 1 está comprendida entre el meridiano 0o , el meridiano 45o y el paralelo de
colatitud 45o . La región 2 es el casquete polar (del hemisferio norte) de altura h.
Hállese el valor de h que hace que ambas regiones tengan la misma área.
Solución. Empezamos parametrizando la esfera de radio R de la manera habitual (en términos de los ángulos
de longitud θ y colatitud ϕ):
X(θ, ϕ) = (R cos θ sin ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos ϕ) ,
donde θ ∈ (0, 2π) y ϕ ∈ (0, π). Y calculamos las derivadas habituales:
Xθ (θ, ϕ) = (−R sin θ sin ϕ, R cos θ sin ϕ, 0) ;
Xϕ (θ, ϕ) = (R cos θ cos ϕ, R sin θ cos ϕ, −R sin ϕ) .
Para calcular las áreas de interés necesitamos calcular Xθ ×Xϕ , esto es,
que escribimos a continuación:
√
EG − F 2 , en términos de los coeficientes
E(θ, ϕ) = Xθ (θ, ϕ) · Xθ (θ, ϕ) = R2 sin2 ϕ ;
F (θ, ϕ) = Xθ (θ, ϕ) · Xϕ (θ, ϕ) = 0 ;
G(θ, ϕ) = Xϕ (θ, ϕ) · Xϕ (θ, ϕ) = R2 .
Ası́ que
E(θ, ϕ)G(θ, ϕ) − F (θ, ϕ)2 = R4 sin2 ϕ = R2 sin ϕ
(nótese que sin ϕ es no negativo para los valores de ϕ considerados). En los dos siguientes dibujos representamos
z
z
las dos regiones:
h
región 1
región 2
y
x
y
x
Los puntos de la región 1 tienen parámetros 0 < θ < π/4 y 0 < ϕ < π/4. Ası́ que
π/4
π/4
Área de la región 1 =
0
0
R2 sin ϕ dϕ dθ =
√ π/4 π
2
π 2
= R2 1 −
R − cos ϕ
4
4
2
0
Los de la región 2 tienen 0 < θ < 2π, mientras que el ángulo de colatitud ϕ va
desde 0 hasta un cierto ϕ0 que depende de h. En concreto, ϕ0 es el ángulo para el que
cos(ϕ0 ) = (R − h)/R, como se aprecia en el esquema de la derecha. De manera que
2π
Área de la región 2 =
0
0
ϕ0
R2 sin ϕ dϕ dθ = 2πR2
= 2πR2 1 − cos ϕ0
ϕ0 − cos ϕ
0
R − h
= 2πR2 1 −
= 2π Rh .
R
Finalmente, el valor buscado de h se obtiene resolviendo
√ √ 2
2
π
R
2π Rh = R2 1 −
=⇒ h =
1−
.
4
2
8
2
h
R−h
ϕ0
R
2.
Ahora estamos con una esfera de radio 1. Queremos ir del punto A (el Polo Norte, colatitud ϕ = 0)
al punto B (longitud θ = π/2, colatitud ϕ = π/2) por una trayectoria α en la que, en cada punto de la
misma, la longitud θ coincida con la colatitud ϕ.
(a) Dibuja esa trayectoria en la esfera y calcula su longitud (puedes dejarla en forma de integral).
Solución. Con la parametrización habitual, X(θ, ϕ) = (cos θ sin ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ), tenemos
E(θ, ϕ) = sin2 ϕ ;
F (θ, ϕ) = 0 ;
G(θ, ϕ) = 1 .
En el siguiente dibujo mostramos (aproximadamente) la trayectoria α. Incluimos también la trayectoria correspondiente en el plano de los parámetros:
z
A
-
X
ϕ
π
y
π/2
x
θ
2π
π/2
B
Podemos parametrizar la curva α como α(t) = X(t, t), con t ∈ (0, π/2), por lo que
α̇(t) = Xθ (t, t) · 1 + Xϕ (t, t) · 1
α̇(t) =
=⇒
Finalmente,
longtiud de α =
0
π/2
E(t, t) + G(t, t) = sin2 (t) + 1 .
1 + sin2 (t) dt .
(b) A la vista de la expresión obtenida, argumenta por qué el camino de A a B a lo largo del meridiano
es más corto que la trayectoria α.
Solución. Como sin2 (t) ≥ 0, el integrando de la expresión anterior es siempre ≥ 1. Por lo que podemos estimar
longtiud de α =
0
π/2
2
1 + sin (t) dt ≥
0
π/2
1 dt =
π
,
2
que es, justamente, la longitud del arco de meridiano que une los puntos A y B.
√ (c) ¿Qué ángulo forma la trayectoria α con el meridiano en el punto p = X π4 , π4 = 12 , 12 , 22 ?
Solución. La curva α, tal como la hemos parametrizado arriba, pasa por el punto de interés en tiempo t = π/4.
En ese punto, el vector tangente es
α̇(π/4) = Xθ (π/4, π/4) + Xϕ (π/4, π/4)
cuya norma es α̇(π/4) = 1 + sin2 (π/4) = 1 + 1/2 = 3/2
a
Por su parte, el vector tangente al arco de meridiano (en el sentido creciente de ϕ) es, como bien
sabemos , Xϕ . En
el punto de interés tenemos el vector tangente Xϕ (π/4, π/4), de norma Xϕ (π/4, π/4) = G(π/4, π/4) = 1 .
Finalmente, el ángulo buscado β cumple que
2 α̇(π/4) · Xϕ (π/4, π/4)
F (π/4, π/4) + G(π/4, π/4)
2
0+1
=
=⇒ β = arc cos
=
=
cos β =
α(π/4) Xϕ (π/4, π/4)
3
3
3/2 × 1
3/2
a
Si no queda claro, parametrı́cese el arco de meridiano que pasa por el punto X(π/4, π/4) como γ(t) = X(π/4, t) y
derı́vese con respecto a t.
Geometrı́a II
Segundo de Matemáticas UAM, curso 2005-2006
Examen parcial (grupo de tarde), 6-4-2006
1.
Queremos construir una rampa helicoidal con las siguientes caracterı́sticas:
el suelo es de madera;
el radio interior es de 1 metro;
el radio exterior, de 3 metros;
en cada vuelta completa se suben 4π metros;
en total, se describen 8 vueltas completas.
(a) Parametriza dicha rampa.
Solución. Una posible parametrización es
X(u, θ) = (u cos θ, u sin θ, 2θ) ,
con 1 < u < 3
θ ∈ (0, 16π).
y
El factor 2 de la tercera componente asegura que, cada vez que el ángulo θ cubra una vuelta completa, la altura
se incremente en 4π. El rango de θ se corresponde con las ocho vueltas de la rampa, y el de u, con los bordes.
(b) ¿Cuántos metros cuadrados de madera necesitaremos para construirla? (puedes dejarlo en forma de
una integral).
Solución. Calculamos primero las derivadas parciales:
Xu (u, θ) = (cos θ, sin θ, 0)
y los coeficientes
y
Xθ (u, θ) = (−u sin θ, u cos θ, 2) .
E(u, θ) = Xu (u, θ) · Xu (u, θ) = 1 ;
F (u, θ) = Xu (u, θ) · Xθ (u, θ) = 0 ;
G(u, θ) = Xθ (u, θ) · Xθ (u, θ) = 4 + u2 .
Por lo que
E(u, θ)G(u, θ) − F 2 (u, θ) = 4 + u2 .
El área de la rampa es, entonces,
16π
área de la rampa =
0
1
3
4 + u2 du dθ = 16π
1
3
4 + u2 du .
(c) Comprueba que con 1000 m2 de madera tendremos suficiente.
Solución. La integral se puede calcular explı́citamente y el resultado es que el área de la rampa es algo más de
287 m2 .
√
√
√
Aunque podemos estimar el
maneras. Por ejemplo, como u < 3, 4√+ u2 < 4 + 9 = 13.
√
√ integrando√de diversas
O también, como u > 0, 4 + u2 < 4 + u2 = 2 + u. O incluso, como 4 + u2 > 1, 4 + u2 < 4 + u2 . Con
cualquiera de estas estimaciones, podemos dar respuesta a lo que se pide.
Por ejemplo, para la primera de ellas,
3
√ 3
√
√
4 + u2 du < 16π 13
1 du = 32π 13 = 32 π 13 < 29 < 1000 .
área de la rampa = 16π
1
1
=25 <22 <22
(d) Queremos pintar con una lı́nea continua los dos bordes de la rampa, el interior y el exterior, con
pintura amarilla. Cada bote de pintura permite pintar 100 metros de lı́nea continua. ¿Cuántos botes de
pintura necesitaremos?
Solución. En realidad, los bordes interior y exterior son sendas hélices (de radios respectivos 1 y 3), ası́ que
podrı́amos parametrizarlas directamente y calcular sus longitudes. Pero abordemos la cuestión considerando ambos
bordes como curvas sobre la superficie. El borde interior se corresponde con la imagen, mediante X, de la lı́nea
coordenada u = 1, ası́ que podemos parametrizarlo de la siguiente manera:
α int (t) = X(1, t) ,
con 0 < t < 16π.
Por lo tanto,
α̇ int (t) = Xθ (1, t)
=⇒
α̇ int (t) =
Finalmente,
longitud de α int =
16π
0
√
G(1, t) = 4 + 12 = 5 .
√
√
5 dt = 16 5 π .
Un argumento análogo para α̇ ext (la imagen de la lı́nea coordenada u = 3) nos lleva a que
longitud de α ext =
16π
√
0
√
13 dt = 16 13 π .
Sumando, obtenemos la longitud completa que pretendemos pintar:
√
√
16π( 5 + 13) .
Que podemos acotar superiormente por, por ejemplo, 16 × 4 × (3 + 4) = 448, o, con algo más de precisión, por
16 × 7/2 × (5/2 + 7/2) = 336. En realidad, el resultado correcto es algo más de 293 metros, ası́ que nos bastarı́a
comprar tres botes de pintura.
2.
(3 puntos) Estamos ahora con el helicoide parametrizado por
X(u, θ) = (u cos(θ), u sin(θ), θ)
con u > 0 y θ ∈ R.
En cada punto de la superficie, ¿cuánto de inclinado está el vector normal (a la superficie) con respecto
a la vertical?
Solución. Ahora la parametrización es X(u, θ) = (u cos θ, u sin θ, θ) y las derivadas parciales son
Xu (u, θ) = (cos θ, sin θ, 0)
y
Xθ (u, θ) = (−u sin θ, u cos θ, 1) ,
por lo que
Xu (u, θ) × Xθ (u, θ) = (sin θ, − cos θ, u)
=⇒
Xu (u, θ) × Xθ (u, θ) =
1 + u2
De manera que el vector normal a la superficie en un punto de la rampa de coordenadas (u, θ) es
N (X(u, θ)) =
(sin θ, − cos θ, u)
Xu (u, θ) × Xθ (u, θ)
√
=
Xu (u, θ) × Xθ (u, θ)
1 + u2
El ángulo β(u, θ) que forma el normal a la superficie en el punto de coordenadas (u, θ) con la vertical cumple que
(sin θ, − cos θ, u) · (0, 0, 1)
u
√
=√
cos β(u, θ) =
1 + u2
1 + u2
=⇒
u
β(u, θ) = arc cos √
1 + u2