Capítulo 3 Propagación de la luz en los medios no conductores

Capítulo 3
Propagación de la luz en los
medios no conductores. Leyes
de la reflexión y de la refracción
3.1
Índice de refracción
El efecto de la presencia de un dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo en
una región del espacio libre es un cambio de la velocidad de propagación de
la luz en esa región con respecto al vacío y a otros dieléctricos.
En el vacío es
1
c= √
ε0 µ0
en tanto que en un dieléctrico con permitividad eléctrica ε y permeabilidad
magnética µ
1
v=√
εµ
Se llama índice de refracción de un dieléctrico a la razón entre la velocidad
de la luz en el vacío y en el dieléctrico
c
εµ
√
n= =
= εr µr
v
ε0 µ0
Como en la mayoría de los dieléctricos se puede aproximar
µ ≈ µ0 ⇒ µr ≈ 1
17
18CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
resulta que
n≈
√
εr
expresión que se conoce como relación de Maxwell
La velocidad de la luz es máxima en el vacío, de manera que en cualquier
otro medio el índice de refracción es mayor o igual que uno
v≤c⇒n=
3.1.1
c
≥1
v
Dispersión
En los dieléctricos reales, el valor de εr depende de la frecuencia del campo
eléctrico a que están sometidos, de manera que el índice de refracción n es
función del «color» de la luz.
La causa de este comportamiento es que la capacidad de los dieléctricos
para polarizarse eléctricamente siguiendo las variaciones del campo eléctrico
es diferente en función de la «rapidez» de dichas variaciones.
Ejemplos:
• La descomposición de la luz blanca en colores cuando atraviesa un
prisma de vidrio.
• La formación del arcoiris.
• La aparición de colores en lupas y lentes no corregidas
3.2
Reflexión y refracción
La experiencia diaria muestra que cuando la luz incide en la superficie de
separación entre dos medios diferentes, en los que se propaga con velocidades
distintas, una parte se refleja hacia el mismo medio del que procedía y otra
parte pasa al segundo y cambia su dirección de propagación, esto es, se
refracta.
Al estudiar este fenómeno, interesa determinar:
• La relación entre las direcciones de propagación de los haces incidente,
reflejado y refractado.
• La relación entre sus amplitudes (o entre sus irradiancias) y entre sus
fases.
3.3. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA FÍSICA
19
Estudiaremos los tres modelos clásicos que se emplean para determinar
las leyes de la reflexión y de la refracción:
• Óptica Física (ondulatoria): Principio de Huygens.
• Óptica Geométrica: Principio de Fermat.
• Óptica Electromagnética: Ecuaciones de Maxwell.
3.3
3.3.1
Planteamiento de la Óptica Física (repaso
de Física 2)
Principio de Huygens
Se trata de un principio aplicable a todo tipo de ondas, con independencia
de su naturaleza, y establece que
• Cada punto del espacio que es alcanzado por una onda se convierte en
un nuevo foco de «ondas elementales» que tienen su misma frecuencia
y velocidad de propagación.
• Las nuevas posiciones del frente de onda vienen dadas por la envolvente
de estas ondas elementales.
3.3.2
Leyes de la reflexión y de la refracción
Del principio de Huygens se derivan las siguientes leyes que relacionan las
direcciones de propagación de las ondas incidente, reflejada y refractada:
1. Las direcciones de propagación de las ondas incidente, reflejada y refractada, así como la normal a la superficie de separación de los dos
medios están en el mismo plano.
2. Los ángulos de incidencia θi y de reflexión θr son idénticos
θi = θr
3. Los ángulos de incidencia θi y de refracción θt satisfacen la Ley de Snell
ni sin θi = nt sin θt
20CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
3.3.3
Ángulo límite. Reflexión total
Cuando la luz pasa de un medio a otro con menor índice de refracción la
onda refractada se aleja de la normal
nt < n i ⇒ θ t > θ i
Se llama entonces ángulo límite o ángulo crítico al valor del ángulo de
incidencia θc para el que el ángulo de refracción toma su valor máximo
θi = θc ⇔ θt =
ni sin θc = nt sin
π
2
π
nt
⇒ sin θc =
2
ni
θc = arcsin
nt
ni
Cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite se produce
la reflexión total de la onda incidente.
3.4
Planteamiento de la Óptica Geométrica
3.4.1
El principio de Fermat
El principio de Fermat es axiomático y no asume ninguna hipótesis acerca
de la naturaleza de la luz.
La primera formulación de este principio se debe a Herón de Alejandría,
que estableció su principio variacional de la reflexión más o menos en los
siguientes términos:
«La trayectoria que sigue la luz para ir de un punto a otro
pasando por una superficie reflectora es la más corta de las posibles»
Fermat amplió este principio para englobar tanto la reflexión como la
refracción, estableciendo su principio del tiempo mínimo:
«La trayectoria que sigue la luz para ir de un punto a otro del
espacio es aquélla en la que invierte el menor tiempo posible»
3.4. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA GEOMÉTRICA
21
Este principio permite predecir e interpretar la trayectoria de los rayos
de luz así como calcular los cambios de dirección que experimentan al pasar
de un medio a otro.
Ejemplo 3.1 Deducción de la Ley de Snell de la refracción
El tiempo empleado por la luz para ir de A a B pasando por un punto
genérico O de la superficie de separación de dos medios en que se mueve con
velocidades respectivas vi y vt es
si st
+
vi vt
√
si = h2 + x2
t=
st = b2 + (a − x)2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
√
h2 + x2
⇒ t (x) =
+
⎪
vi
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
b2 + (a − x)2
vt
para que t (x) sea mínimo han de ser
dt
=0 ;
dx
d2 t
≥0
dx2
al imponer la primera condición resulta
2x
dt
1 [−2 (a − x)]
1
√
+
=
dx vi 2 h2 + x2 vt
2 b2 + (a − x)2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
x
√
= sin θi
2
h + x2
a−x
= sin θt
2
2
b + (a − x)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⇒
dt
1
1
= sin θi − sin θt = 0
dx vi
vt
y despejando se obtiene
sin θt
sin θi
=
vi
vt
que es la ley de Snell.
22CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
3.4.2
Camino Óptico
Cuando entre dos puntos del espacio A y B hay m medios transparentes
distintos, el tiempo que emplea la luz en recorrer una trayectoria determinada
entre A y B es
t=
sm
s1 s2
+ + ··· +
v1 v2
vm
teniendo en cuenta que los índices de refracción de los m medios están definidos como
ni =
c
1
ni
⇒ =
vi
vi
c
resulta
t=
m
si
i=1
vi
=
m
ni
i=1
c
si
es decir
1
1
t=
ni si = (L.C.O.)AB
c i=1
c
m
Se define la longitud del camino óptico entre dos puntos A y B como
(L.C.O.)AB =
m
ni si
i=1
o bien, en el caso de que el índice de refracción varíe de forma continua
B
(L.C.O.)AB =
n (s) ds
A
que es «la distancia que la luz tendría que recorrer en en el vacío para tardar
el mismo tiempo que en ir de A a B por un camino determinado atravesando
los medios que haya entre ellos».
Para que el tiempo que tarda la luz en ir de A a B
t=
1
(L.C.O.)AB
c
sea mínimo, es suficiente con que sea mínima la longitud del camino óptico.
El principio de Fermat se puede escribir, pues:
3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA
23
«La trayectoria que sigue la luz para ir de un punto a otro del
espacio es aquella que minimiza la longitud del camino óptico»
Esta formulación, equivalente a la original de Fermat no es completamente exacta. La formulación moderna del principio de Fermat es ligeramente
diferente:
«Para ir de un punto a otro del espacio la luz sigue toda aquella trayectoria en que la longitud del camino óptico es estacionaria
con respecto a las variaciones de la propia trayectoria»
3.4.3
Principio de reversibilidad
Este principio, corolario del de Fermat, establece que
«La trayectoria que sigue la luz para ir de un punto A a otro
B es la misma que sigue para ir de B a A»
3.5
Planteamiento de la Óptica Electromagnética
El análisis del comportamiento de los campos de la onda electromagnética
luminosa en la superficie de separación entre dos medios permite obtener no
sólo las leyes de la reflexión y de la refracción que relacionan las direcciones
de propagación, sino también un nuevo conjunto de ecuaciones (las fórmulas
de Fresnel) que relacionan las amplitudes de los campos incidente, reflejado
y refractado.
Consideremos una onda electromagnética plana que incide en la superficie,
también plana1 y que denominaremos interfase, que separa dos dieléctricos
lineales, homogéneos e isótropos con índices de refracción respectivos
c
ni =
vi
y
c
nt =
vt
En un punto de la interfase r en que coinciden las tres ondas se pueden
escribir:
1
Las condiciones de que la onda y la superficie de la interfase sean planas no constituyen
una restricción importante ya que, en caso de tener otra geometría, el problema siempre
se puede reducir localmente a esta situación.
24CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
• Onda incidente:
i (r , t) = E
i (r ) e−iωi t
E
• Onda reflejada:
r (r, t) = E
r (r ) e−i(ωr t−r )
E
• Onda refractada:
t (r , t) = E
t (r ) e−i(ωt t−t )
E
En estas expresiones, ωi , ω r y ω t son las frecuencias angulares, en principio
diferentes, de las tres ondas, en tanto que r y t son los desfases globales de
las ondas reflejada y refractada con respecto a la incidente.
3.5.1
Leyes de la reflexión y de la refracción
En la interfase se cumplen las ecuaciones de frontera del campo electromagnético.
Empezemos teniendo en cuenta que la componente tangencial del campo
se conserva a ambos lados de la interfase. De un lado tenemos la
eléctrico E
superposición de las ondas incidente y reflejada
1=E
i+E
r
E
en tanto que del otro sólo se tiene la onda refractada
2=E
t
E
de modo que la ecuación de frontera se escribe
i+E
r−E
t =0
n̂ × E
i + n̂ × E
r = n̂ × E
t
n̂ × E
i (r ) e−iωi t + n̂ × E
r (r ) e−i(ωr t−r ) = n̂ × E
t (r ) e−i(ωt t−t )
n̂ × E
Conservación de la frecuencia angular.
La condición precedente ha de cumplirse en todo instante, para lo cual la
frecuencia angular ha de ser común a las tres ondas,
ωi = ωr = ωt = ω
3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA
25
Coplanariedad de las direcciones de propagación.
Al incorporar la frecuencia angular común, la ecuación de frontera queda
i (r ) + n̂ × E
r (r) eir = n̂ × E
t (r ) eit
n̂ × E
Teniendo en cuenta que
(r ) = E0x ei(k·r +φx ) ı̂ + E0y ei(k·r +φy ) ĵ + E0z ei(k·r +φz ) k̂
E
= E0x eiφx ı̂ + E0y eiφy ĵ + E0z eiφz k̂ ei k·r
0 ei
=E
k·r
la condición anterior queda
0i ei
n̂ × E
k i ·r
0t ei (k t ·r +t )
0r ei (k r ·r +r ) = n̂ × E
+ n̂ × E
y, además, ha de cumplirse en todos los puntos de la interfase, que es un
plano cuya ecuación vectorial es
n̂ · r = C
con C una constante. Por consiguiente, para todo punto de la interfase con
posición r han de ser
ki · r = kr · r + r = kt · r + t
n̂ · r = C
Al analizar estas igualdades nos encontramos con que tiene que ocurrir
todo lo siguiente en cada punto r de la interfase:
• n̂ · r = C ⇒ la interfase es un plano perpendicular al vector n̂, luego
n̂ es un vector normal a la interfase,
ki − kr es un vector
• ki · r = kr · r + r ⇒ ki − kr · r = r ⇒
normal a la interfase,
ki − kt es un vector
• ki · r = kt · r + t ⇒ ki − kt · r = t ⇒
normal a la interfase.
En consecuencia, los tres vectores anteriores son paralelos entre sí. Teniendo en cuenta, además que dos vectores paralelos están en el mismo plano
y que la diferencia de dos vectores está siempre en el mismo plano que ellos,
se puede concluir que
26CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
• n̂ ki − kr ⇒ n̂, ki y kr están en un mismo plano, por ejemplo, el
que definen n̂ y ki ,
• n̂ ki − kt ⇒ n̂, ki y kt están en un mismo plano, también el que
definen n̂ y ki
en consecuencia, los cuatro vectores n̂, ki , kr y kt están todos en el mismo
plano, el que definen n̂ y ki , y que se denomina plano de incidencia.
Ley de la reflexión.
En el desarrollo precedente hemos obtenido que
n̂ ki − kr ⇔ n̂ × ki − kr = 0
⇒ n̂ × ki = n̂ × kr
⇒ |n̂| ki sin n̂, ki = |n̂| kr sin n̂, kr
⇒ ki sin θi = kr sin θr
como la onda incidente y la refractada se propagan en el mismo medio
ni = nr ⇒ ki = kr ⇒ sin θi = sin θr
que es la ley de la reflexión
θi = θr
Ley de la refracción.
Tambien hemos obtenido que
n̂ ki − kt ⇔ n̂ × ki − kt = 0
⇒ n̂ × ki = n̂ × kt
⇒ |n̂| ki sin n̂, ki = |n̂| kt sin n̂, kt
⇒ ki sin θi = kt sin θt
en este caso cada una de las ondas se mueve en un medio con distinto índice
de refracción, pero ambas tienen la misma frecuencia angular ω. Como quiera
3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA
27
que
v=
n=
ω
ω ⎫
⎪
⇒k=
⎬
k
v ⎪
1
1 ⎪
c
⎪
⇒ = n ⎭
v
v
c
⇒k=
ω
n = k0 n
c
con k0 el número de onda en el vacío, resulta
k0 ni sin θi = k0 nt sin θt
que, una vez simplificada, es la ley de Snell
ni sin θi = nt sin θt
3.5.2
Fórmulas de Fresnel
Llegado este punto, conocemos ya las relaciones entre las direcciones de propagación. Sabemos además que los campos de las tres ondas oscilan con la
misma frecuencia,
ωi = ωr = ωt = ω
y que en todos los puntos de la interfase
ki · r = kr · r + r = kt · r + t = C
r y E
t
i, E
de manera que la relación entre los valores instantáneos de E
0i , E
0r y E
0t
coincide con la relación entre sus amplitudes complejas E
i (r , t) = E
0i e−i(ωt−C)
i (r ) e−iωi t = E
0i e−i(ωi t−k i ·r ) = E
E
(r , t) = E
e−i(ωt−C)
(r ) e−i(ωr t−r ) = E
e−i(ωr t−k r ·r −r ) = E
E
r
r
0r
0r
−i(ω t t−
k t ·r −t )
t (r , t) = E
t (r) e−i(ωt t−t ) = E
0t e
E
0t e−i(ωt−C)
=E
Para encontrar esta relación se estudian por separado los comportamientos de dos componentes características de los campos eléctricos de las tres
ondas que son respectivamente2
⊥
⊥ Perpendicular al plano de incidencia E
2
Nótese que las componentes perpendiculares de las tres ondas son paralelas entre sí.
No así las componentes paralelas que, por ser coplanares y perpendiculares a los respectivos
vectores de propagación, forman entre ellas los mismos ángulos y con la normal los ángulos
complementarios que las direcciones de propagación respectivas.
28CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
Paralela al plano de incidencia E
Se utilizan las siguientes ecuaciones de frontera
F1) Conservación de la componente tangencial del campo eléctrico, ya empleada anteriormente,
i+E
r−E
t =0
n̂ × E
F2) Conservación de la componente tangencial de la intensidad del campo
magnético
n̂ × H i + H r − H t = 0
y, además, se tiene en cuenta que en una onda electromagnética la relación
entre los módulos de estos dos campos es
H=
1E
11c
1
B=
=
E
µ
µv
µcv
H=
1n
E
cµ
perpendicular al plano de incidencia.
Polarización σ (s): E
Al aplicar las ecuaciones de frontera se obtienen
F1) Como los tres campos electricos son tangentes a la interfase y paralelos
entre sí
r−E
t = 0 ⇒ Ei + Er − Et = 0
i+E
n̂ × E
E0i + E0r = E0t
{1}
donde
E0i = E
0i ;
E0r = E
0r ;
E0t = E
0t 3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA
29
F2) Dado que, por estar los tres campos magnéticos contenidos en el plano
de incidencia y ser perpendiculares a los respectivos vectores de propagación, forman con la interfase los mismos ángulos que sus respectivos
vectores de propagación con la normal
n̂ × H i + H r − H t = 0 ⇒ Hi cos θi − Hr cos θr − Ht cos θt = 0
1 ni
1 nr
1 nt
Ei cos θi −
Er cos θr =
Et cos θt
c µi
c µr
c µt
como las ondas incidente y reflejada se propagan en el mismo medio
son
ni = nr
µi = µr
y además tenemos la ley de la reflexión
θi = θr
se puede escribir
ni
nt
(E0i − E0r ) cos θi = E0t cos θt
µi
µt
{2}
Al resolver este sistema de dos ecuaciones ({1} y {2}) con dos incógnitas
(E0r y E0t ), se obtienen las fórmulas de Fresnel para la polarización σ
r⊥ ≡
t⊥ ≡
E0r
E0i
E0t
E0i
⊥
⊥
ni
cos θi −
µi
= ni
cos θi +
µi
nt
cos θt
µt
nt
cos θt
µt
ni
cos θi
µi
= ni
nt
cos θi + cos θt
µi
µt
2
Los parámetros r y t son números complejos que representan las relaciones
entre las amplitudes y fases de la onda incidente y de las ondas reflejada y
refractada, respectivamente. Se denominan:
r coeficiente de reflexión de amplitud
t coeficiente de transmisión de amplitud
30CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
paralelo al plano de incidencia.
Polarización π (p): E
Al aplicar las ecuaciones de frontera en este caso se obtienen
F1) Ahora son los tres campos eléctricos los que están contenidos en el
plano de incidencia y son perpendiculares a los respectivos vectores
de propagación; forman con la interfase los mismos ángulos que sus
respectivos vectores de propagación con la normal y
i+E
r−E
t = 0 ⇒ Ei cos θi − Er cos θr − Et cos θt = 0
n̂ × E
como θi = θr
(E0i − E0r ) cos θi = E0t cos θt
{3}
F2) Los campos magnéticos de las tres ondas son, en este caso, tangentes a
la interfase y paralelos entre sí, con lo que
n̂ × H i + H r − H t = 0 ⇒ Hi + Hr − Ht = 0
1 nr
1 nt
1 ni
Ei +
Er =
Et
c µi
c µr
c µt
teniendo en cuenta una vez más que ni = nr y µi = µr , resulta
ni
nt
(E0i + E0r ) = E0t
µi
µt
{4}
Al resolver las ecuaciones {3} y {4} para las incógnitas E0r y E0t , se
obtienen
r ≡
t ≡
E0r
E0i
E0t
E0i
nt
cos θi −
µt
= nt
cos θi +
µt
ni
cos θt
µi
ni
cos θt
µi
ni
cos θi
µi
= nt
ni
cos θi + cos θt
µt
µi
2
que son las fórmulas de Fresnel para la polarización π.
3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA
31
Fórmulas de Fresnel simplificadas.
En la mayoría de los dieléctricos
µi ≈ µt ≈ µ0
y se pueden aproximar
r⊥ ≡
t⊥ ≡
r ≡
t ≡
E0r
E0i
E0t
E0i
E0r
E0i
E0t
E0i
≈
ni cos θi − nt cos θt
ni cos θi + nt cos θt
≈
2ni cos θi
ni cos θi + nt cos θt
≈
nt cos θi − ni cos θt
nt cos θi + ni cos θt
≈
2ni cos θi
nt cos θi + ni cos θt
⊥
⊥
Haciendo uso de la ley de Snell
ni sin θi = nt sin θt ⇒ nt = ni
sin θi
sin θt
las fórmulas de Fresnel en los dieléctricos se pueden expresar en función
únicamente de los ángulos θi y θt
En resumen:
r⊥ ≈ −
sin (θi − θt )
sin (θi + θt )
t⊥ ≈ +
2 sin θt cos θi
sin (θi + θt )
r ≈ +
tan (θi − θt )
tan (θi + θt )
t ≈ +
2 sin θt cos θi
sin (θi + θt ) cos (θi − θt )
32CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
• Las componentes con polarizaciones perpendicular y paralela al plano
de incidencia de una onda electromagnética (verbigracia, la luz) se reflejan y refractan de formas diferentes en la superficie de separación
entre dos medios transparentes.
• La relación entre las amplitudes complejas de las ondas incidente, reflejada y refractada depende del estado de polarización de la onda incidente.
• En general, el estado de polarización de las ondas incidente, reflejada
y refractada no tiene por qué ser el mismo.
3.5.3
Reflexión externa y reflexión interna
La ley de Snell pone de manifiesto que se pueden distinguir dos situaciones
características en el estudio de la reflexión y la refracción:
• Reflexión externa: nt > ni ⇒ θt < θi
— Al refractarse, la dirección de propagación de la onda se acerca a
la normal.
— Para cualquier ángulo de incidencia hay una dirección posible para
la onda refractada.
• Reflexión interna: nt < ni ⇒ θt > θi
— Al refractarse, la dirección de propagación de la onda se aleja de
la normal.
— Existe un ángulo de incidencia límite (ángulo crítico)
θc = arcsin
nt
ni
a partir del cual se produce una reflexión total y no hay onda
refractada.
Cada una de estas situaciones se corresponde con un comportamiento
característico de los coeficientes de reflexión y transmisión de amplitud frente
al ángulo de incidencia.
3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA
3.5.4
33
Ángulo de Brewster
El comportamiento del coeficiente de reflexión de amplitud de la polarización
π (r ) es singular, tanto en reflexión interna como en externa, en cuanto es
el único cuyo valor cambia de signo a medida que se incrementa el ángulo de
incidencia.
Se llama ángulo de Brewster al valor θB (también se le llama θp ) del
ángulo de incidencia para el cuál sólo se refleja la componente de polarización
perpendicular al plano de incidencia (polarización σ).
Para θi = θB ha de ser
⎫
tan (θi − θt )
⎪
r ≈ +
=0 ⎪
⎬
tan (θi + θt )
⇒ tan (θi + θt ) → ∞
⎪
⎪
⎭
θi = θt
π
π
()
⇒ θi + θt = ⇒ θt = − θB
2
2
usando la ley de Snell
ni sin θB = nt sin θt = nt sin
π
2
− θB = nt cos θB
nt
sin θB
=
= tan θB
ni
cos θB
θB = arctan
nt
ni
Obsérvese que, al contario que para el ángulo límite, existe un valor real
para el ángulo de Brewster tanto en reflexión interna como en reflexión externa.
En la práctica experimental, la relación () permite orientar fácilmente
la onda incidente según el ángulo de Brewster.
3.5.5
Reflectancia y transmitancia
La fórmulas de Fresnel proporcional la relación entre las amplitudes y fases
de las ondas incidente, reflejada y refractada, pero en muchos casos interesa
conocer cómo se reparte la energía de la primera entre las otras dos.
Consideremos las potencias medias incidente, reflejada y refractada en
una porción de área A de la interfase. En A son:
34CAPÍTULO 3. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN
Potencia incidente:
Pi = Ii A cos θi
Potencia reflejada:
Pr = Ir A cos θr
Potencia refractada:
Pt = It A cos θt
dónde la irradiancia, en general, se puede escribir
1 1 2 1 n 2
1
E =
E
I = vεE02 =
2
2 vµ 0
2 cµ 0
y, teniendo en cuenta que en los dieléctricos µi ≈ µt ≈ µ0 , se puede escribir
I≈
1
nE02
2cµ0
con E0 = |E0 | la amplitud real del campo eléctrico de la onda correspondiente.
Reflectancia.
Se define la reflectancia R como la razón de las potencias medias reflejada e
incidente
R=
Ir
R= ≈
Ii
Ir
Ir A cos θr
⇒R=
Ii A cos θi
Ii
1
n E2
2cµ0 r 0r
1
n E2
2cµ0 i 0i
=
E0r
E0i
2
=
|E0r |
|E0i |
2
= |r|2
en consecuencia
R⊥ = |r⊥ |2
;
2
R = r Transmitancia.
Se define la transmitancia T como la razón de las potencias medias refractada
e incidente
T =
It cos θt
T =
≈
Ii cos θi
It cos θt
It A cos θt
⇒T =
Ii A cos θi
Ii cos θi
1
n E 2 cos θt
2cµ0 t 0t
1
n E 2 cos θi
2cµ0 i 0i
nt cos θt
=
ni cos θi
E0t
E0i
2
=
nt cos θt 2
|t|
ni cos θi
3.5. PLANTEAMIENTO DE LA ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA
y,en consecuencia,
T⊥ =
nt cos θt
|t⊥ |2
ni cos θi
;
T =
nt cos θt 2
t
ni cos θi
Es sencillo probar que
R⊥ + T⊥ = 1 ;
R + T = 1
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