Lección 5 Magnetostática

Lección 5
Magnetostática
1.
Introducción.
1
2.
Fuerza ejercida por un campo magnético. Ley de Lorentz.
1
3.
Pares de fuerza sobre espiras. Momento magnético.
4
4.
Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magnético.
9
4.1.
Selector de velocidades.
11
4.2.
Efecto Hall.
12
5.
Campo magnético creado por una carga puntual.
13
6.
Campo magnético creado por corrientes estacionarias. Ley de Biot y
Savart.
14
7.
Fuerza magnética entre dos corrientes rectilíneas. Definición de
Amperio.
19
8.
Circulación del Campo Magnetostático. Ley de Ampère. Aplicaciones.
20
Lección 5. Magnetostática.
1.-
1
Introducción.
Los primeros fenómenos magnéticos observados por el hombre estaban
ligados a los llamados imanes naturales que, como es sabido, tienen la propiedad de
atraer al hierro; pero el estudio de tales fenómenos tuvo relativamente poca
importancia hasta que en 1819 el físico danés Hans Christians Oersted (1777 –1851)
puso de manifiesto los efectos magnéticos de la corriente eléctrica, al investigar las
desviaciones experimentadas por una brújula situada en las proximidades de un
conductor por el que circula una corriente.
Actualmente se sabe que los fenómenos magnéticos se deben a fuerzas
originadas por cargas eléctricas en movimiento; es decir, toda carga, además de crear
un campo eléctrico dado por la Ley de Coulomb, cuando se desplaza respecto a un
observador origina en el espacio que la rodea una nueva perturbación que constituye
un campo magnético.
Por tanto entre dos cargas móviles existen dos tipos de acciones mutuas:
acciones o fuerzas del campo eléctrico (que se manifiestan tanto si se trata de cargas
fijas como móviles), y acciones o fuerzas debido al campo magnético que, a diferencia
de las primeras, sólo existen entre cargas que se mueven una respecto a otra. En
consecuencia, y dado que una corriente eléctrica supone un movimiento de cargas,
podemos afirmar que toda corriente eléctrica crea un campo magnético. Si la corriente
es estacionaria, es decir, no es función del tiempo, el campo creado tampoco
dependerá del tiempo y se denomina Magnetostático. En lo que sigue nos
dedicaremos al estudio del campo Magnetostático, en temas posteriores estudiaremos
el campo magnético producidos por corrientes no estacionarias.
2.- Fuerza ejercida por un campo magnético.
Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula con carga q se
r
mueve con una velocidad v en una región del espacio donde se ha establecido un
campo magnético, aparece sobre ella una fuerza que llamaremos Fuerza Magnética.
Si conocemos en un punto la dirección del campo magnético (cuyo origen por
ahora no interesa), por ejemplo, a partir de estudiar la orientación de una brújula y
realizamos una experiencia con distintas cargas que se mueven con distintas
velocidades en ese punto, se obtienen los siguientes resultados:
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
Lección 5. Magnetostática.
•
2
r
F
La fuerza es proporcional a la carga q de la partícula.
La fuerza que actúa sobre una carga negativa es
r
B
opuesta a la de una carga negativa con igual
velocidad.
•
α
r
v
La fuerza es proporcional al módulo de la velocidad
r
v.
•
La fuerza es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad.
•
La fuerza es proporcional al seno del ángulo formado por el campo magnético y la
velocidad de la partícula. Si la partícula se mueve en la dirección del campo
magnético la fuerza es nula.
Estos resultados se resumen en la siguiente ley:
r
r r
F = qv × B
[5.1]
r
r
donde se ha definido el vector Intensidad de Campo Magnético B . El valor de B se
r
encuentra comparando el valor de la fuerza con los de q, v , y α. La unidad SI del
vector
intensidad
de
campo
magnético
r
B
es
el
Tesla
(T),
que
será:
1 T = 1 N C ⋅ m ⋅ s −1 = 1 N A ⋅ m . Esta unidad es bastante grande y se suele utilizar una
unidad menor llamada Gauss (G) cuya equivalencia es 1 T = 104 G.
Cuando una partícula se mueve en una región en la que hay tanto una campo
r
r
eléctrico E como uno magnético B , la fuerza total que experimentará será la suma de
las fuerzas debidas a ambos campos.
r
r r r
F = q(E + v × B )
[5.2]
a esta expresión se le suele denominar Fuerza de Lorentz.
r
Ejemplo: una carga positiva de 1 µC se mueve con una velocidad v = 10 5 iˆ + 10 5 ˆj m/s
en el interior de un campo magnético B = 2iˆ + 2kˆ T. Calcular la fuerza magnética que
actúa sobre la carga.
Utilizando la ecuación [5.1] tenemos:
ˆj
iˆ
r
F = 10 −6 10 5 10 5
2
0
kˆ
0 = 0.2 iˆ − ˆj − kˆ N
2
(
)
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3
r
B
Si por un hilo conductor situado en el
interior de un campo magnético circula una
r
Id l
corriente, existe una fuerza que se ejerce sobre
el conductor que es simplemente la suma de
r
F
las fuerzas magnéticas sobre las partículas
cargadas que constituyen la corriente.
Si la corriente está constituida por un solo tipo de partículas de carga q, la
r
r
r
fuerza sobre cada carga será qv × B siendo v la velocidad de desplazamiento de las
cargas. Si hay n cargas por unidad de volumen y A y l son, respectivamente la sección
y la longitud del hilo tendremos:
r
r r r r
r r
F = (qv × B) nAl = qnvAl × B = I l × B
[5.3]
r
donde l es un vector cuyo módulo es la longitud del hilo y su dirección es paralela a
r
qv . Si el conductor es de forma arbitraria, se puede dividir en elementos de corriente
lo suficientemente pequeños para que puedan ser considerados como rectilíneos, en
este caso, la fuerza que actúa sobre dicho elemento será:
r
r r
r
r r
dF = Id l × B ⇒ F = ∫ Id l × B
l
[5.4]
Ejemplo: Por un conductor recto de longitud l =2 m, situado a lo largo del eje X,
circula una intensidad de corriente de 5 A en sentido negativo. Determinar la fuerza
r
que ejerce el campo magnético uniforme B = 6iˆ + 4 ˆj + 2kˆ T.
La fuerza que actúa sobre un conductor rectilíneo está dada por la ecuación [5.3], el
elemento de corriente es en este caso
(
)
r
I l = 5 A ⋅ − 2iˆ m = −10iˆ A ⋅ m
de forma que la fuerza sobre el hilo es:
iˆ
r r r
F = I l × B = − 10
6
ˆj
0
4
kˆ
0 = 20 ˆj − 40kˆ
2
y se comprueba que, como era de esperar, la componente del campo según el eje X
no influye en el resultado.
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4
3.- Pares de fuerza sobre espiras.
La fuerza ejercida por un campo magnético constante sobre un conductor de
forma arbitraria por el que circula una corriente estacionaria I es:
( )
r
r r
r r
r r
F = ∫ Id l × B = I ∫ d l × B = I l × B
C
[5.5]
c
r
Siendo l el vector resultante de la suma de todos los
r
elementos d l .
Si el conductor es un circuito cerrado se
tendrá que
( )
r
Id l
r
l
r
r r
F = I ∫ dl × B = 0
C
[5.6]
Luego la fuerza neta sobre el conductor
es nula y el circuito no se verá acelerado. Esto
no
implica
que
el
circuito
no
pueda
experimentar un par de fuerzas que lo haga
rotar sobre su eje. Para ilustrar esta afirmación,
supongamos un circuito cerrado (espira) por la
que circula una intensidad I en el seno de un
campo magnético constante, tal y como se
muestra en la figura.
Según se deduce de la ecuación [5.6] no existe una fuerza neta sobre la espira
ya que el campo es uniforme. Lo que si existe es un par de fuerzas que provocará el
giro de la espira sobre el eje que hemos dibujado.
Las fuerzas magnéticas experimentadas por los segmentos superior e inferior
r
( Fm ) no provocan el giro de la espira (es decir no constituyen un par de fuerza) ya que
tienen la misma dirección y sentido opuesto. Las fuerzas responsables del giro son las
que experimentan los segmentos laterales de la espira ( Fm' ) que constituyen un par de
fuerzas (es decir no están aplicadas sobre la misma línea de acción). Esto se puede
apreciar la siguiente figura en la que se muestra la espira vista desde el segmento
superior. Para determinar el efecto de este par de fuerzas debemos conocer el
momento que ejerce.
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Lección 5. Magnetostática.
5
El módulo del momento de este par de
fuerzas está dado por:
M = Fd = FL sen α
[5.7]
y como
Fm' = IL´ B
[5.8]
entonces
M = IL' LB sen α = ISB sen α
[5.9]
Siendo S = LL´ la superficie de la espira. La ecuación [5.9] se puede escribir de forma
vectorial como
r r
r
M = IS × B
[5.10]
Llegados a en este punto, resulta útil definir nueva magnitud
r
r
m = IS
[5.11]
que se denomina momento magnético de la espira y cuyas unidades en el S.I. son
A⋅m2. En función del momento magnético de la espira, la ecuación [5.10] se expresa
como:
r r r
M = m× B
[5.12]
Como consecuencia de lo anterior podemos afirmar que una espira cerrada de
forma arbitraria en un campo magnético experimenta un par de fuerzas que tiende a
alinear su momento magnético con el campo. Este resultado es muy importante para
el estudio de los medios materiales magnéticos.
Este resultado, que se ha deducido para una espira rectangular, es válido para
cualquier espira de forma arbitraria. El momento sobre cualquier espira es igual al
producto vectorial del momento magnético de la espira por el campo. Es frecuente que
una espira esté formada por varias vueltas muy apretadas de hilo conductor (de
longitud despreciable) es evidente que en este caso la superficie efectiva de la espira
será N veces la superficie de una vuelta, de forma que el momento magnético de una
espira de este tipo será igual al numero de vueltas N por el momento magnético de
una espira
r
r
m = NIS
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[5.13]
Lección 5. Magnetostática.
6
Conviene recordar que, tal y como se indicó en la lección 1, el momento
r
r
r
ejercido por un campo eléctrico sobre dipolo es M = p × E . Si comparamos las
ecuaciones
r r r
r r r
M = m × B; M = p × E
[5.14]
correspondientes al momento experimentado por una espira en un campo magnético y
por un dipolo en un campo magnético, vemos que ambas ecuaciones son formalmente
análogas. Por tanto, una espira de corriente en un campo magnético se comporta del
mismo modo que un dipolo eléctrico en un campo eléctrico. Por esto a las espiras de
corriente se les denomina dipolos magnéticos.
r
m
Por analogía con el estudio hecho para el
dipolo eléctrico, la energía acumulada al hacer
girar un dipolo magnético contra las fuerzas del
campo será:
r r
U = −m ⋅ B
[5.15]
Para el estudio de las propiedades magnéticas de la materia se supone que
esta está constituida por espiras elementales que pueden orientarse en la dirección
del campo magnético aplicado. Cuando esto ocurre decimos que el material se ha
magnetizado.
Ejemplo, Una espira rectangular de lados a = 0.1 m y b = 0.4 m está situada tal y como
se indica en la figura. Existe un campo magnético constante B = 10 −2 ˆj T. Calcular la
fuerza que actúa sobre cada lado de la espira y el momento sobre la misma si está
recorrida por una corriente eléctrica de 5 A.
Calcularemos
la
fuerza
sobre
cada
z
2
segmento de espira aplicando la ecuación [5.3].
r
Segmento 1-2: l12 = 0.1k̂ m
3
ˆj
iˆ
kˆ
r
r
r
F12 = Il12 × B = 5 ⋅ 0 0 0.1 = −5 ×10−3 iˆ N
x
0 10−2 0
r
(
a
)
y
1
30º
4
(
)
Segmento 2-3: l 23 = 0.4 sen 30º iˆ + 0.4 cos 30º ˆj m = 0.2 iˆ + 0.2 3 ˆj m
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b
Lección 5. Magnetostática.
7
ˆj
iˆ
kˆ
r
r
r
F23 = I l23 × B = 5 ⋅ 0.2 0.2 ⋅ 3 0 = 10−2 kˆ N
0
10−2
0
r
r
Segmento 3-4: l 34 = − l12 = −0.1k̂ m
ˆj
iˆ
kˆ
r
r
r
F34 = I l34 × B = 5 ⋅ 0 0 − 0.1 = +5 ×10−3 iˆ N
0 10−2
0
r
(
r
)
(
)
Segmento 4-1: l 41 = − l 23 = − 0.4 sen 30º iˆ + 0.4 cos 30º ˆj m = − 0.2 iˆ + 0.2 3 ˆj m
ˆj
iˆ
kˆ
r
r
r
F41 = I l41 × B = 5 ⋅ − 0.2 − 0.2 ⋅ 3 0 = −10−2 kˆ N
0
10−2
0
Vemos que la fuerza neta sobre la espira es cero como era de esperar, en
efecto:
r
r
r
r
r
Fneta = F12 + F23 + F34 + F41 = −5 × 10 −3 iˆ N + 10 −2 kˆ N + 5 × 10 −3 iˆ N − 10 −2 kˆ N = 0
Para calcular el momento que experimenta la espira, hemos de conocer el
r
r
momento magnético de la misma que viene dado por la ecuación [5.11] ( m = IS ).
Para calcular el momento magnético hemos de conocer el vector superficie de la
espira que, como definimos en la lección 1, tendrá como módulo la superficie de la
espira (0.04 m2) y como sentido el de avance de un tornillo a derechas que gire con la
intensidad que recorre la espira.
) (
)(
)
r
r
r
m = IS = I S nˆ = (5 A) ⋅ 0,04 m 2 ⋅ − sen60º iˆ + cos 60º ˆj = − 0.1 ⋅ 3 iˆ + 0.1 ˆj A ⋅ m 2
(
y aplicando la ecuación [5.12]
ˆj
iˆ
kˆ
r r r
M = m × B = − 0.1 ⋅ 3 − 0.1 0 = − 3 ⋅ 10 −3 kˆ N ⋅ m
(
0
10
−2
)
0
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8
4.- Movimiento de una partícula cargada en un campo
magnético.
Una característica importante de la fuerza magnética que se deduce
inmediatamente de la expresión [5.1] es que siempre es perpendicular a la velocidad
(y por tanto a la trayectoria) de forma que el trabajo que realiza al mover la carga es
nulo. Esto implica que la fuerza magnética no produce cambio alguno en la energía
cinética de la partícula, ya que, según establece la mecánica en el teorema de las
fuerzas vivas, el trabajo de una fuerza sobre una partícula es igual a la variación de
energía cinética de la partícula. Por tanto la velocidad de una partícula cargada
sometida a una fuerza magnética permanece constante en módulo pudiendo cambiar
sólo en sentido1.
Si una partícula de masa m y carga q penetra perpendicularmente a un campo
r
magnético uniforme B obtendremos:
r
qvB
r r
v ⊥B ⇒ F = qvB ⇒ a =
m
[5.16]
esta aceleración debe ser centrípeta ya
que el módulo de la velocidad permanece
constante con lo que:
a=
v 2/ qv/ B
mv
=
⇒r=
r
m
qB
[5.17]
con lo que si B = cte el radio es constante, y la partícula describirá un movimiento
circular de frecuencia angular dada por:
v = ωr ⇒
qBr
q
= ωr ⇒ ω = B
m
m
[5.18]
Como se deduce la ecuación anterior la frecuencia de giro sólo depende de la
relación carga masa de las partícula y del campo aplicado. El periodo del movimiento
(tiempo que tarda la partícula en describir una circunferencia completa será:
1
Conviene recordar que según establece la cinemática, las componentes intrínsecas de la aceleración
r
r2
r
están dadas por ar = d v uˆ t + v uˆ n donde v es la velocidad de la partícula y r es el radio de curvatura
dt
r
de la trayectoria. El primer término es la componente de la aceleración tangente a la trayectoria
(aceleración tangencial) y la segunda la componente normal (aceleración normal o centrípeta).
Evidentemente si la velocidad es constante en módulo, la componente tangencial se anula.
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Lección 5. Magnetostática.
9
T=
2π
ω
2πm
qB
=
[5.19]
En general si la partícula penetra con un cierto ángulo respecto al campo el
movimiento será helicoidal de radio constante. Si el campo varia de un punto a otro del
espacio, B=B(x,y,z), el radio de la hélice será variable obteniéndose, en general un
movimiento helicoidal de paso variable.
En el ejemplo dibujado, si el campo es muy intenso en los extremos, la
partícula puede quedar confinada el la estructura de líneas de campo en lo que se
denomina una botella magnética.
Ejemplo 2. Un electrón y un protón inciden perpendicularmente en una región del
espacio en la que hay establecido un campo magnético de 5 mT y con una velocidad
de 3×106 m/s. Determinar el radio de la órbita descrita por cada uno de ellos así como
la frecuencia y el periodo de su movimiento. Datos: qe=-1.609×10-19 C, me= 9.1×10-31
kg, qp=1.609×10-19 C, mp= 1.67×10-27 kg.
Supondremos
que
el
campo
magnético entra perpendicularmente en el
rP
plano del a hoja y que las partículas
inciden desde abajo hacia arriba tal y como
re
se ve en la figura.
El radio del la trayectoria del protón es:
rp =
mpv
qpB
=
+
(1.67 × 10 kg )⋅ (3 × 10 m s ) = 6.2 m
(1.609 × 10 C )⋅ (5 × 10 T )
−27
6
−19
−3
para el electrón tendremos que
(
(
)(
)(
)
)
me v
9.1 × 10 −31 kg ⋅ 3 × 10 6 m s
re =
=
= 0.0034 m
q e B 1.609 × 10 −19 C ⋅ 5 × 10 −3 T
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-
Lección 5. Magnetostática.
10
como vemos el radio de la trayectoria del electrón es mucho menor que la del protón
debido a su menor masa. El protón gira en sentido horario mientras que el electrón lo
hace en sentido horario, esto se puede deducir simplemente analizando el sentido de
la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada partícula. Este hecho se utiliza
para discriminar la carga de las partículas subatómicas en experimentos científicos.
La frecuencia de cada partícula es
ωp =
ωe =
qp
mp
1.609 × 10 −19 C
5 × 10 −3 T = 4.8 × 10 5 rad s ;
− 27
1.67 × 10 kg
B=
qe
1.609 × 10 −19 C
5 × 10 −3 T = 8.8 × 10 −8 rad s ;
B=
−31
me
9.1 × 10 kg
y finalmente el periodo
Tp =
2π
ωp
= 1.3 × 10 −5 s ; Te =
2π
ωe
= 7.1 × 10 −9 s
4.1.- Selector de velocidades.
En muchos dispositivos es necesario disponer de partículas cargadas cuya
velocidad sea conocida, para esto se utilizan los selectores de velocidad. Se basan en
que es posible equilibrar la fuerza magnética que experimenta una partícula cargada
mediante un campo eléctrico, siendo este equilibrio sólo válido para partículas de una
determinada velocidad.
En efecto para que una
partícula atraviese sin desviarse la
región de la figura en la que
coexisten un campo eléctrico y uno
magnético
perpendiculares
debe
cumplirse que:
qvB = qE ⇒ v =
E
B
[5.20]
De forma que cualquier partícula con esta velocidad independientemente de su
masa o carga atravesará el espacio sin desviarse. Una partícula de velocidad mayor
se desviará en ele sentido de la fuerza magnética y una de velocidad menor lo hará en
el de la fuerza eléctrica.
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11
4.2.- Efecto Hall.
Una manifestación especialmente importante de la Fuerza de Lorentz la constituye el
efecto Hall. Supongamos que introducimos un conductor por el que circula una
r
corriente I en el seno de un campo magnético uniforme B perpendicular al sentido de
r
r
la corriente (realmente al sentido del vector densidad de corriente J = qnv ).
Entonces sobre cada una de las cargas móviles actuará una fuerza de Lorentz
que desviará las partículas cargadas (en este caso hacia arriba). Esto provocará la
aparición de un campo interno (creado por las cargas acumuladas) dirigido hacia
debajo que tiende a compensar la fuerza magnética. Cuando se alcance el equilibrio
se cumplirá que E = vB , de forma que si w es la anchura del conductor, la diferencia
de potencial entre los bordes debido a la carga acumulada (potencial de Hall) es:
V H = Ew = vBw
[5.21]
A partir del potencial de Hall se pueden determinar la densidad de portadores n
o el campo magnético aplicado (sonda Hall). En efecto, si l es el espesor del
conductor y S su sección (S=wl) tendremos que
I = qnvS ⇒ n =
B=
I
I
IB
=
=
qvS qvwl qlV H
qlnVH
I
[5.22]
[5.23]
el efecto Hall se utiliza, por ejemplo, parar determinar si una muestra de material
semiconductor es tipo N o P.
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