Números complejos

APUNTES DE
MATEMÁTICA II
Tecnicaturas en Diagnóstico por Imágenes
y en Electromedicina
Escuela de Ciencia y Tecnología
UNSAM
Alicia Denis
Matemática II
Números complejos
Números complejos
Al estudiar los números reales vimos que hay ecuaciones que no tienen solución en ese
campo. Por ejemplo, x 2 + 1 = 0 , ya que ∀x ∈ R es x 2 ≥ 0 . En general, ecuaciones del tipo
ax 2 + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R no tienen solución en R si b 2 − 4ac < 0 . Se hace necesario
ampliar el conjunto de los números a otro en el que estas ecuaciones puedan resolverse. Dicho
conjunto es el de los números complejos.
Los números complejos se definen como pares ordenados (a,b) de números reales. La
primera componente se denomina componente real y la segunda, componente imaginaria. En
la representación cartesiana, el eje horizontal es el eje real y el vertical, el eje imaginario.
Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de los números
complejos.
eje imaginario
b
• (a,b)
a
eje real
El conjunto de los números complejos se simboliza con C. En notación simbólica, la
definición que dimos más arriba se expresa:
C = {( a, b) / a, b ∈ R}
Se suele indicar z = (a, b) y también z ∈ C. Para identificar a sus componentes, escribimos
a = Re( z ) y b = Im( z )
♣ Ejemplo 1: Representar
-
• (-2,2)
los números complejos (1,0),
(1,1), (0,1), (3,-1), (-1,0), (-2,2)
(0,1) •
•
(-1,0)
• (1,1)
•
(1,0)
• (3,-1)
Los números reales son aquellos pares ordenados cuya segunda componente es nula: (a,0), y
los números imaginarios, aquellos pares con primera componente nula: (0,b).
1
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Números complejos
El par ordenado (1,0) es la unidad real y se indica también como
(1,0)=1;
el par ordenado (0,1) es la unidad imaginaria y se indica también como
(0,1)=i.
Definimos en el conjunto de los números complejos la relación de equivalencia:
(a,b)=(c,d) ⇔ a=c ∧ b=d
Suma
Sean (a,b) y (c,d) dos números complejos. Definimos la operación de suma según:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
que es similar a la de suma de vectores en R2.
La suma de números complejos satisface las propiedades asociativa y conmutativa:
[(a,b)+(c,d)]+(e,f)=(a,b)+[(c,d)+(e,f)] es decir, ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
(a,b)+(c,d)= (c,d)+ (a,b) es decir, z1 + z2 = z2 + z1
donde z1=(a,b) , z2=(c,d) y z3=(e,f). Ambas se demuestran fácilmente a partir de la definición
de suma en Χ y de la validez de esas propiedades en los números reales.
El elemento neutro para la suma es el complejo (0,0):
(a,b)+(0,0)=(a,b)
Como consecuencia de la definición de suma en C, la suma de dos números reales es otro
número real y la suma de dos números imaginarios es otro imaginario:
(a,0)+(c,0)=(a+c,0)
(0,b)+(0,d)=(0,b+d)
Cualquiera sea (a,b)∈ C, existe (-a,-b)∈ C que satisface
(a,b)+(-a,-b)=(0,0)
El complejo (-a, -b) se denomina inverso aditivo de z=(a,b) y se indica –z. Ahora podemos
definir la resta de dos complejos (a,b) y (c,d) como la suma de (a,b) con el inverso aditivo de
(c,d):
(a, b) − (c, d ) = (a, b) + (−c,−d ) = (a − c, b − d ) es decir, z1 − z 2 = z1 + (− z 2 )
2
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La suma y la resta de complejos son similares a las de vectores en R2. Gráficamente, se
interpretan como se muestra en los esquemas:
z1 + z2
z1
z2
z1
z1 - z2
z1 - z2 =
z1+(-z2)
z2
-z2
La suma está dada por el complejo que se representa según la diagonal del paralelogramo que
contiene al origen de coordenadas (esquema de la derecha). La resta está dada por la otra
diagonal del paralelogramo trasladada hasta el origen de coordenadas. También podemos
pensarla como la suma de z1 con –z2 (esquema de la izquierda).
♣ Ejemplo 2: Efectuar la suma entre (2,4) y (-3,3):
(2,4)+(-3,3)=(2-3,4+3)=(-1,7)
Producto de un número complejo por un número real
Sean (a,b)∈C y r∈ R. Su producto se define como:
r.(a,b)=(r.a,r.b)
Nuevamente, esta propiedad es similar a la de vectores en R2.
♣ Ejemplo 3: Calcular el producto 2.(-3, 1):
2.(-3, 1)=(2.(-3),2.1)=(-6,2)
Cuadrado de la unidad imaginaria
Presentamos ahora una propiedad de los números complejos que no tiene su equivalente entre
los vectores en el plano. Definimos el cuadrado de la unidad imaginaria i en la forma
i 2 = −1
Esta propiedad confiere al conjunto C su estructura particular y lo distingue del espacio
euclídeo de dos dimensiones. Por lo pronto, comprobamos que i es solución de la ecuación
x 2 + 1 = 0 que planteamos al comienzo. Pero también –i es solución pues (-i)2=(-i)(-i)=i2=-1.
Las soluciones de esa ecuación son ± i .
Forma binómica de un número complejo
Todo número complejo puede descomponerse como suma de un número real más un
imaginario, en la forma:
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(a,b)=(a,0)+(0,b)
Pero, usando la definición de producto de un número complejo por un número real, tenemos:
(a,b)=a(1,0)+b(0,1)
donde se pueden reemplazar las unidades real e imaginaria y se llega a:
(a,b)=a+bi
que es la forma binómica de un número complejo. En particular, (a,0) = a y (0, b) = bi
indican respectivamente a un número real y a uno imaginario.
Producto de números complejos
Sean z1=(a,b) y z2=(c,d)∈C. Escritos en la forma binómica son z1=a+bi y z2=c+di. Esta
notación es ventajosa desde el punto de vista operativo ya que el producto en C se reduce a
una mecánica conocida, donde basta recordar que i2=-1. Así,
z1 ⋅ z2 = (a, b) ⋅ (c, d ) = (a + bi ) ⋅ (c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd ) + (ad + bc)i
z1 ⋅ z2 = (ac − bd , ad + bc )
♣ Ejemplo 4: Calcular el producto entre (-2,3) y (1,-3):
(-2,3) . (1,-3)=((-2).1-3.(-3), (-2).(-3)+3.1)=(7,-3)
Se puede demostrar que el producto de números complejos satisface las propiedades
conmutativa y asociativa. Las operaciones de suma y producto cumplen con la propiedad
distributiva.
(a,b).(c,d)= (c,d). (a,b) , es decir, z1 ⋅ z2 = z2 ⋅ z1
[(a,b).(c,d)].(e,f)=(a,b).[(c,d).(e,f)] , es decir, ( z1 ⋅ z2 ) ⋅ z3 = z1 ⋅ ( z2 ⋅ z3 )
[(a,b)+(c,d)].(e,f)=(a,b) .(e,f)+(c,d).(e,f) , es decir, ( z1 + z2 ) ⋅ z3 = z1 ⋅ z3 + z2 ⋅ z3
El elemento neutro para el producto es el complejo (1,0) pues
(a, b) ⋅ (1,0) = (a + bi) ⋅ (1 + 0i ) = (a + bi) ⋅ 1 = (a + bi) =(a,b)
El inverso multiplicativo de un complejo no nulo dado (a,b) es otro complejo (c,d) que
cumple que
(a, b) ⋅ (c, d ) = (1,0) es decir, (ac − bd , ad + bd ) = (1,0)
⎧ac − bd = 1
Esta igualdad da lugar al sistema de ecuaciones ⎨
cuya solución única es
⎩ad + bc = 0
a
b
c=
, d =−
. Por lo tanto el inverso multiplicativo de (a,b) es
2
2
2
a +b
a + b2
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a − bi
a
b
a
b
= (c , d ) = (
,−
)=
−
i=
( a, b)
a 2 + b2
a 2 + b2 a 2 + b2
a 2 + b2 a 2 + b2
( 1)
El producto en C cumple que
(a,0) ⋅ (c,0) = (a + 0i ) ⋅ (c + 0i ) = ac + 0i = ac = (ac,0)
es decir, el producto de dos números reales es otro número real. Asimismo, se obtiene que
(0, b) ⋅ (0, d ) = (0 + bi ) ⋅ (0 + di ) = bdi 2 = −bd = (−bd ,0)
o sea que el producto de dos números imaginarios es un números real.
♣ Ejemplo 5: Transformar a la forma binómica y efectuar el producto: (-2, 4).(-1,3).
(-2, 4).(-1,3)=(-2+4i).(-1+3i)=2-6i-4i+12i2=2-6i-4i-12=-10-10i.
Conjugado de un número complejo
Cualquiera sea (a,b)∈C, existe (a,-b)∈C, que se denomina complejo conjugado de (a,b). Si
designamos a un número complejo como z = (a, b) = a + bi , su conjugado suele designarse
como z :
z = (a,−b) = a − bi
También expresamos
Re( z ) = Re( z )
;
Im( z ) = − Im( z ) .
El producto de dos complejos conjugados es el número real que se obtiene como suma de los
cuadrados de sus partes real e imaginaria:
z ⋅ z = (a + bi )(a − bi ) = a 2 + abi − abi − b 2i 2 = a 2 + b 2
( 2)
Los complejos conjugados satisfacen, además, que su suma es también un número real, igual
al duplo de la parte real:
z=a+bi
b
z + z = (a + bi ) + (a − bi ) = 2a = 2 Re( z )
En su representación gráfica, dos complejos
conjugados aparecen como se muestra en la
figura
a
-b
z = a-bi
♣ Ejemplo 6: El complejo conjugado
de z=(2,-1)=2-i es z = (2,1) = 2 + i
5
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Cociente de números complejos
Para efectuar el cociente de dos números complejos (a+bi)/(c+di) suele multiplicarse el
numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador, con lo que, al
hacer los productos, se obtiene un número real en el denominador:
a+bi (a+bi) (c-di) (ac+bd )+(bc-ad )i ac+bd
bc-ad
=
=
=
+
i
c+di (c+di) (c-di)
c2 + d 2
c2 + d 2 c2 + d 2
Mediante este procedimiento, podemos separar las componentes real e imaginaria del
complejo cociente.
♣ Ejemplo 7: Calcular (3-6i)/(-2+i):
(3 − 6i ) (3 − 6i )(−2 − i ) (−6 − 3i + 12i + 6i 2 ) − 12 + 9i
12 9
=
=
=
=− + i
(−2 + i ) (−2 + i )(−2 − i )
4 +1
5
5 5
Forma trigonométrica de un complejo
A todo número complejo z=a+bi le asociamos su distancia al origen, que llamamos módulo y
simbolizamos z , y un ángulo θ medido en sentido antihorario a partir del eje real positivo,
que designamos argumento.
El módulo y el argumento de un complejo
constituyen sus coordenadas polares. A partir de
la figura, resulta claro que
a= z cos ϕ
;
b= z sin ϕ
z=a+bi
z
b
ϕ
a
Por lo tanto, el complejo z también se puede escribir en la forma:
z=a+ib= z cos ϕ+ i z sin ϕ
z= z (cos ϕ + i sin ϕ)
Esta expresión se conoce como forma trigonométrica de un complejo.
Dado que las funciones seno y coseno son periódicas, esto es, los valores de ambas funciones
se repiten cíclicamente cada vez que el ángulo varía en 2π, si un valor particular de ϕ es
reemplazado por ϕ+2π ó por ϕ-2π ó, en general, por ϕ+2πk, con cualquier k entero, los
valores de a y de b no se ven modificados. Esto indica que el punto del plano, o sea el número
complejo que él representa no cambia cuando al argumento se le suma un múltiplo entero de
2π. Concluimos que no existe un argumento único sino una familia de argumentos, todos
igualmente válidos. Por lo tanto
z= z (cos ϕ + i sin ϕ)= z [cos (ϕ+2πk) + i sin (ϕ+2πk)]
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De todos los argumentos, hay sólo uno que pertenece al intervalo [0,2π). A este valor del
argumento lo llamamos argumento principal de z, lo indicamos Arg(z) y cumple que 0≤
Arg(z)<2π. Los demás argumentos de z se indicarán arg(z) y están relacionados con el
principal en la forma arg(z)= Arg(z) +2πk, con k∈Z.
Dados dos números complejos escritos en forma trigonométrica:
z1 = z1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1) y
z2 = z2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
la igualdad entre ellos significa que
⎧ z1 = z2
z1 = z2 ⇔ ⎨
,
ϕ
=
ϕ
+
2
k
π
2
⎩ 1
con k∈Z.
( 3)
pues todos lo argumentos que difieran en un múltiplo entero de 2π conducen a un mismo
punto en el plano, supuesto que los módulos son iguales.
Pasaje de la forma cartesiana a la trigonométrica
Las tres representaciones de los números complejos mostradas hasta aquí: de par ordenado,
binómica y trigonométrica, son equivalentes y se puede pasar fácilmente de una a otra. En
efecto, dado el complejo en su forma de par ordenado, el paso a la forma binómica es sencillo.
El pasaje de la forma trigonométrica a las de par ordenado y binomio se efectúa a partir de las
relaciones a= z cos ϕ y b= z sin ϕ.
Para obtener la forma trigonométrica a partir de las coordenadas cartesianas es necesario
calcular z y un valor de ϕ. De la figura surge que
z = a 2 + b2
( 4)
Para calcular el ángulo, podemos recurrir a las funciones trigonométricas seno, coseno o
tangente. Si empleamos el seno, tenemos
sin ϕ =
b
z
⇒ ϕ = arcsin
b
z
Teniendo en cuenta que la función seno es positiva en el primero y segundo cuadrantes y
negativa en el tercero y cuarto, la determinación de un valor del argumento requiere que se
considere el signo de cada una de las componentes.
Por ejemplo, si se quiere calcular las coordenadas polares de z1 = 3 + i 3 , determinamos
primero su módulo:
z1 = 32 + ( 3 ) 2 = 12 = 2 3 . Una representación gráfica nos
mostraría que el complejo se encuentra en el primer cuadrante. Su argumento es tal que
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sin ϕ1 =
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3
1
π
= y por lo tanto, el argumento principal es ϕ1 = 30° ≡ .
6
2 3 2
Consideremos ahora el ejemplo z2 = −3 − i 3 . Si lo representamos, vemos que se encuentra
en el tercer cuadrante. Su módulo es también
z2 = 2 3 ; para encontrar un valor de su argumento,
ϕ2
1
− 3
calculamos sin ϕ2 =
= − . La calculadora nos
2
2 3
dirá que ϕ2 = −30° . Sin embargo, la representación
θ
nos indica que esto no es correcto pues este ángulo o
cualquiera que difiera de él en un múltiplo entero de
z2
2π, nos sitúa en el cuarto cuadrante. Esta
ambigüedad proviene de que la función seno es
negativa tanto en el tercero como en cuarto cuadrante y la calculadora da por respuesta sólo
una de ellas. La figura nos ayuda a encontrar el valor correcto. El ángulo θ que se señala es de
7π
30° y el argumento principal de z2 es ϕ2 = 180° + 30° ≡
.
6
Dos complejos conjugados: z=a+bi y z = a − bi tienen igual módulo:
z = z = a 2 + b2
y argumentos de signo contrario:
z
arg(z)= θ=arctan
arg( z )= arctg (
b
a
y
θ
-θ
-b
b
) = − arctg = −θ
a
a
z
La escritura en forma trigonométrica pone en evidencia la relación que existe entre los
módulos y argumentos de dos complejos conjugados. Dado z = z (cos θ + i sin θ) , su
conjugado se escribe en forma polar como z = z (cos(−θ) + i sin(−θ)) . Pero, puesto que
cos(−θ) = cos θ (el coseno es una función par) y que sin(−θ) = − sin θ (el seno es una función
impar), resulta
z = z (cos θ - i sin θ)
Inverso multiplicativo de un complejo no nulo
Retomemos las expresiones (2) y (4). De ellas resulta
z⋅z = z
2
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que concuerda con la expresión (1), ya que ésta puede escribirse en la forma
1
z
=
2
z
z
suponiendo que z≠0. Dado que los complejos z −1 y z están relacionados a través de una
constante real y positiva, z 2, sus módulos serán en general diferentes pero tendrán el mismo
argumento. En particular, si z =1, entonces z −1 = z .
♣ Ejemplo 8: Calcular el inverso multiplicativo de z=(-1,4):
z = 1 + 16 = 17
;
z −1 =
(−1,−4)
17
=−
1
17
−
4
17
i
Producto de complejos en forma trigonométrica
Sean ahora dos complejos z y w escritos según la notación trigonométrica:
z = z (cos θ + i sin θ) y w = w (cos φ + i sin φ)
Su producto es:
z ⋅ w = z w (cos θ + i sin θ) ⋅ (cos φ + i sin φ) =
= z w (cos θ cos φ + i sin θ cos φ + i cos θ sin φ + i 2 sin θ sin φ) =
= z w [(cos θ cos φ - senθ sin φ) + i (sin θ cos φ + cos θ sin φ)] =
z ⋅ w = z w [cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)]
( 5)
donde hemos usado las fórmulas para el coseno y el seno de la suma de dos ángulos. Esta
expresión nos indica que el producto de dos complejos da otro complejo cuyo módulo es igual
al producto de los módulos de los complejos dados y su argumento es igual a la suma de los
argumentos de los complejos dados.
En particular, si uno de los complejos tiene módulo 1, su producto por otro complejo tiene el
efecto de una rotación pura. La escritura de los complejos mediante sus coordenadas polares
nos permite obtener una interpretación geométrica para la operación producto.
Vale aclarar que el argumento que se obtiene para el complejo producto no necesariamente es
el argumento principal, aún cuando hayamos tomado los argumentos principales de los dos
complejos que estamos multiplicando, ya que el resultado de la suma puede caer fuera del
intervalo [0,2π).
En forma análoga, efectuemos el cociente entre z y w:
9
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z (cos θ + i sin θ)
z (cos θ + i sin θ)(cos φ − i sin φ)
z
=
=
=
w w (cos φ + i sin φ) w (cos φ + i sin φ)(cos φ − i sin φ)
=
z (cos θ cos φ + sen θ sinφ) + i (sin θ cosφ - cos θ sinφ)
w
(cos 2 φ + sin 2φ)
z
z
= [cos(θ − φ) + i sin(θ - φ)]
w w
Es decir, el cociente de dos complejos es otro complejo cuyo módulo es igual al cociente de
los módulos de los complejos dados y su argumento es igual a la diferencia de los argumentos
de los complejos dados.
Como aplicación de (5), calculemos el cuadrado de un complejo z (como producto de z.z)
z2 = = z z [cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ)]
z2 = = z 2 (cos 2θ + i sin 2θ)
de donde se concluye que elevar un complejo al cuadrado equivale a elevar su módulo al
cuadrado y duplicar su argumento. Teniendo presente (5), el resultado anterior se puede
extender fácilmente a cualquier potencia de exponente natural:
n
z n = z (cos nθ + i sin nθ)
( 6)
Esta
igualdad vale trivialmente para n=0. Pero además, como ya vimos,
z [cos(−θ) + i sin( −θ)]
z
−1
z −1 =
=
= z [cos(−θ) + i sin(−θ)] , de modo que la fórmula (6)
2
2
z
z
vale también para n=-1. Si a z-1 lo dividimos por potencias naturales sucesivas de z, aplicando
lo visto para el cociente, veremos que la fórmula continúa siendo válida para exponentes
enteros negativos de z. Luego,
n
z n = z (cos nθ + i sin nθ) , n∈Z
(6’)
Si z es un complejo de módulo 1, o sea z = cos θ + i sin θ , la expresión anterior da lugar a la
fórmula de De Moivre:
(cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ
♣ Ejemplo 9: Calcular las siguientes potencias y escribir los resultados en las formas
trigonométrica y binómica:
a) z2 para z de módulo 2 y argumento π/4:
z = 2(cos π / 4 + i sin π / 4)
;
z 2 = 2 2 (cos 2 π / 4 + i sin 2 π / 4) = 4(0 + i.1) = 4i
b) z 4 para z = 3 + i :
el módulo de z es z = 3 + 1 = 2 y su argumento es θ = arcsin(1 / 2) = π / 6 , de modo
10
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z = 2(cos π / 6 + i sin π / 6) ;
que
z 4 = 24 (cos 4π / 6 + i sin 4π / 6) =
luego,
= 16(cos 2π / 3 + i sin 2π / 3) = 16(−1 / 2 + i 3 / 2) = −8 + i8 3 .
Potencias de i
Las definiciones de potencias de exponente 0 y 1 indican que:
i0 = 1
i1 = i
;
Como aplicación de la regla de potenciación de un complejo, calculemos las potencias
naturales de la unidad imaginaria. Su expresión trigonométrica es:
π
π
i = 1 (cos + i sen )
2
2
de donde:
i2 = 1(cos π+i sen π) = -1
i3 = 1(cos 3π/2+i sin 3π/2) = -i
i4 = 1(cos 2π+i sin 2π) = 1
Debido a la periodicidad de las funciones seno y coseno, las potencias enteras sucesivas de i
darán en forma secuencial los resultados 1, i, -1 y -i. Más precisamente, si el exponente n es
un múltiplo de 4, esto es si n se puede escribir como 4k, donde k es algún número entero, se
tendrá i 4k = i 0 = 1 . Si, en cambio, n es el consecutivo de un múltiplo de 4, es decir,
n = 4k + 1 , se tendrá i 4 k +1 = i1 = i . Para n = 4k + 2 , será i 4 k + 2 = i 2 = −1 y para n = 4k + 3 ,
i 4k + 3 = i 3 = −i . En resumen:
⎧1 si
⎪
n ⎪i si
i =⎨
⎪-1 si
⎪⎩-i si
n=4k
n=4k+1
n=4k+2
n=4k+3
;
k∈Z
Regiones en el plano complejo
Dado que, como se definió más arriba, el módulo de un complejo representa su distancia al
origen de coordenadas, el conjunto de todos los complejos que tienen un módulo dado
constituye una circunferencia de radio igual a dicho módulo. El conjunto A = {z / z = r} es el
del esquema de la izquierda
A
B
r
C
r
D
r
z0
θ
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Si, en cambio, nos interesa representar el conjunto B = {z / z ≤ r} , obtendremos los puntos de
la circunferencia y los de su interior, pues todos ellos se encuentran a una distancia del origen
a lo sumo igual a r.
Para representar a aquellos complejos que distan r de un cierto z0, debemos tener presente la
interpretación gráfica que dimos antes de la resta de dos complejos: z1 − z0 es un complejo
que trazamos desde z0 hasta z1; la distancia entre z0 y z1 está dada por z1 − z0 = r . Luego,
todos los complejos que están a igual distancia (r) de z0, es decir, los puntos de la
circunferencia de radio r centrada en z0, son los que pertenecen al conjunto definido como
C = { z / z − z 0 = r} .
Como otro ejemplo, consideremos la región definida como D = {z / Arg( z ) = θ} . Estos son
aquellos complejos ubicados sobre la semirrecta con origen en el origen de coordenadas y
ángulo de inclinación θ respecto del eje real, como se ve en el esquema de la derecha.
♣ Ejemplo 10: El conjunto definido por M = {z / 1 < z ≤ 2}
es el de aquellos complejos que a la vez cumplen que z ≤ 2
y que z > 1 , es decir los que pertenecen al anillo mostrado
en el gráfico. Nótese la diferencia entre el círculo de línea
continua, que representa a los complejos tales que z = 2 ,
que están incluidos en el conjunto, y el círculo en línea de
puntos que indica que aquellos números con z = 1 no
pertenecen al conjunto.
♣
Ejemplo
11:
El
conjunto
definido
por
N = {z / 0 < z ≤ 2 ∧ π / 3 ≤ arg( z ) ≤ 11π / 6} está dado por la
porción sombreada de círculo de radio 2 con argumentos en
la franja indicada. Obsérvese que está eliminado el origen
pues el conjunto contiene complejos con z > 0 .
Raíces de un complejo
Calculemos ( 3 + i )3 , (− 3 + i )3 , (−2i )3 y comprobemos que en los tres casos se obtiene 8i.
Si tuviéramos que resolver la ecuación z 3 = 8i , es decir encontrar todos los números
complejos tales que su cubo es 8i, tendríamos varias soluciones diferentes. ¿Cuántas son en
total? Hasta ahora conocemos tres. ¿Cómo sabemos si hay o no más soluciones?
Dado que la fórmula (6) nos enseña que para elevar al cubo, debemos elevar el módulo al
cubo y multiplicar el argumento por tres, podríamos pensar que para sacar la raíz cúbica de un
complejo debemos tomar la raíz cúbica de su módulo y dividir su argumento por tres.
Rápidamente veremos que en este razonamiento hay un error. Pensemos en el ejemplo de
encontrar las raíces cúbicas de 8i: su módulo es 8 y su argumento es π/2, de modo que si
12
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Matemática II
Números complejos
buscamos sus raíces cúbicas mediante ese razonamiento obtendremos un complejo de módulo
2 y argumento π/6, que no es otro que ( 3 + i ) . Este complejo es solución del problema, pero
sabemos que no es la única y el razonamiento anterior no nos permite encontrar las otras.
Para encontrar todas las soluciones de la ecuación z 3 = 8i nos valemos de la notación
trigonométrica de los números complejos. La representación gráfica del complejo conocido 8i
nos ayuda a ver rápidamente que su módulo es 8 y su argumento principal es π/2. Entonces,
π
π
8i = 8(cos + i sin ) .
2
2
Del número complejo desconocido, z, tendremos que determinar su módulo z y su
argumento φ . En la notación trigonométrica z es:
z = z (cos ϕ + i sin ϕ)
De acuerdo con la fórmula (6), es
3
z 3 = z (cos 3ϕ + i sin 3ϕ)
Para que se cumpla la ecuación z 3 = 8i , como ya enunciamos en (3), los complejos z 3 y 8i
deben cumplir simultáneamente que
⎧z3 =8
⎪
, con k∈Z.
⎨
π
⎪3ϕ = + 2kπ
2
⎩
La primera es una igualdad entre números reales positivos. Su solución, única, es z = 2 . La
segunda, que nos dará los valores del argumento φ , tiene la particularidad de contener un
entero arbitrario k. Al asignarle diferentes valores a k, obtendremos diferentes valores de φ , y
por lo tanto, diferentes soluciones complejas de la ecuación planteada, es decir, un número
complejo z por cada valor de φ , todos ellos con módulo 2. Esto es, en
π
ϕ = ( + 2kπ) / 3
2
π
si tomamos k =0, resulta ϕ0 =
6
5π
si tomamos k =1, resulta φ1 =
6
9π 3π
si tomamos k =2, resulta φ 2 =
=
6
2
13π
Pero, si tomamos k =3, resulta φ3 =
. Este argumento, que es mayor que 2π, es
6
13π π
13π
equivalente a π/6 pues, por ser
= + 2π , las funciones seno y coseno de
toman los
6
6
6
mismos valores que las de π/6. En otras palabras, el argumento φ 3 da lugar a la misma
13
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solución compleja que el argumento φ 0 . Algo similar ocurre al tomar k=4, ya que se obtiene
17π
5π
que resulta equivalente a φ1 =
. Vemos que para esta ecuación,
un argumento φ 4 =
6
6
hay sólo tres valores de k (0, 1 y 2) que dan lugar a tres argumentos distintos y de cada uno de
ellos se obtiene un número complejo z que es solución de la ecuación. Tenemos así,
π
π
3
1
+ i sin ) = 2(
+i )= 3+i
6
6
2
2
5π
5π
3
1
z1 = 2(cos
+ i sin ) = 2(−
+i )=− 3+i
6
6
2
2
3π
3π
z 2 = 2(cos
+ i sin ) = 2(0 + i (−1)) = −2i
2
2
z0 = 2(cos
- 3 +i
y éstas son todas las soluciones del problema. En la
representación en el plano complejo, vemos que
aparecen distribuidas sobre una circunferencia de radio 2
(el módulo de los tres complejos solución) y que sus
argumentos difieren en 120° (la tercera parte del ángulo de un giro).
•
•
3 +i
• -2i
Enunciamos sin demostración el siguiente resultado general: el número total de soluciones
coincide con el orden de la ecuación. En el ejemplo que desarrollamos obtuvimos tres
soluciones por tratarse de una ecuación de tercer grado. En general, las soluciones aparecen
como los vértices de un polígono regular cuyo número de lados coincide con el orden n de la
ecuación, si n ≥ 3 . Si n=2, las dos soluciones tienen argumentos que difieren en π y, por lo
tanto, aparecen en los extremos de un diámetro. En otras palabras, las dos soluciones z0 y z1
cumplen que z0 =- z1.
♣ Ejemplo 12: Encontrar las raíces cuartas complejas de la unidad (resolver z 4 = 1 ) y
graficar los complejos obtenidos.
Para esto, escribimos al número real 1 como un complejo de módulo 1, argumento
principal 0 y argumento genérico 0+2kπ. Las cuatro raíces tendrán entonces módulo 1
y argumentos que se obtienen de (0+2kπ)/4, esto es: 0, π/2, π y 3π/2. Se comprueba
fácilmente que estos cuatro complejos son 1, i, -1, -i. Si resolviéramos el mismo
problema en el campo real, obtendríamos sólo 1 y –1. Estas soluciones, naturalmente,
también aparecen en la resolución en el campo complejo, pero a las dos raíces i y –i no
las “vemos” si trabajamos en el campo real.
♣ Ejemplo 13: Calcular las raíces cuadradas complejas de –16, es decir, resolver la
ecuación z 2 = −16 .
En forma análoga, tenemos un complejo de módulo 16 y argumento genérico π+2kπ.
Sus dos raíces cuadradas tendrán módulo 4 y argumentos que resultan de hacer
(π+2kπ)/2, es decir π/2 y 3π/2. Estos complejos son entonces 4i y –4i. Notamos que la
última ecuación no tiene solución en el campo de los números reales.
♣ Ejemplo 14: Resolver la ecuación cuadrática s2-2s+5=0.
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Al aplicar la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado, nos aparece la
raíz cuadrada de -16. Si trabajamos en el campo real, decimos que esta ecuación no
tiene solución. En el campo complejo, empleando el resultado del ejemplo anterior,
obtenemos s=(2±4i)/2=1±2i, es decir, dos complejos conjugados.
Notación exponencial
Presentamos por último la notación exponencial de un complejo. Para ello definimos la
exponencial compleja mediante la identidad
eiθ = cos θ + i sin θ
Emplearemos la exponencial compleja para escribir de otra forma los números complejos. Sea
z de módulo z y argumento θ; en notación trigonométrica lo escribimos como
z = z (cos θ + i sin θ) . Introduciendo la exponencial compleja, resulta
z = z e iθ
Antes observamos que, dos complejos conjugados tienen igual módulo y argumentos de
signos opuestos. En la notación exponencial, tenemos:
z = z (cos(−θ) + i sin(−θ)) = z e-iθ
donde
e −iθ = cos θ − i sin θ
♣ Ejemplo 15:
a) Dado z = 3(cos
π
π
+ i sin ) , en forma trigonométrica, su forma exponencial es
3
3
z = 3eiπ / 3 .
b) Dado z = 1 + i , obtenemos su módulo ( 2 ) y su argumento (π / 4 ) y lo escribimos
π
π
en forma trigonométrica z = 2 (cos + i sin ) o en forma exponencial z = 2eiπ / 4 .
4
4
c) De z = 3 − i obtenemos z = 2(cos
11π
11π
+ i sin
) ; z = 2 ei11π / 6 .
6
6
La forma exponencial resulta muy compacta pero para conocer las partes real e imaginaria del
complejo, debemos pasar a la forma de seno y coseno.
♣ Ejemplo 16:
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a) eiπ = cosπ + i senπ = −1 ;
b) eiπ/2 = cosπ/2 + i senπ/2 = i
Por el momento la exponencial compleja es sólo una notación. Su justificación requiere del
empleo de elementos de funciones de variable compleja que escapan a los contenidos de este
curso. Sólo mostraremos aquí que esta notación es consistente con las propiedades de los
números complejos vistas hasta ahora.
Sabemos que el producto de z1 = z1 (cos θ1 + i sin θ1) y z2 = z2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) es
z1.z2 = z1 z2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )] . Llevado cada complejo a la notación exponencial
es
z1 ⋅ z2 = z1 eiθ1 ⋅ z2 eiθ 2 = z1 z2 ei (θ1 + θ 2 )
de donde
eiθ1 eiθ 2 = ei (θ1 +θ 2 )
es decir, la notación exponencial respeta la propiedad conocida para exponentes reales
referida al producto de potencias de la misma base, que da lugar a la suma de los exponentes.
n
También sabemos que, dado z = z (cos θ + i sin θ) , es z n = z (cos nθ + i sin nθ) . En la
notación exponencial, esta igualdad dice:
z n = ( z eiθ ) n = z einθ
n
de donde
(eiθ ) n = einθ
es decir, la notación exponencial también respeta la propiedad conocida para los exponentes
reales, referida a la potencia de potencia.
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Sucesiones y series numéricas.
Sucesiones y series numéricas
Sucesiones
Si se nos presentan listas ordenadas de números como los que damos en estos ejemplos:
1,3,5,7,...;
2,4,8,16,...;
1 2 3
, , , L , ....; 2,-5,8,-11,...
2 3 4
nos resulta bastante simple inferir cuál es en cada caso el número siguiente. Esto es así porque
estas secuencias ordenadas de números tienen alguna ley de formación, de modo que, una vez
que descubrimos cuál es esa ley, podemos decir qué valor toma el término que ocupa cada
posición en la lista.
A estas secuencias de números las llamamos sucesiones. Vamos a limitarnos a las sucesiones
de números reales y a dar sobre ellas sólo una idea somera.
Emplearemos la siguiente notación: por un lado, numeramos la posición que ocupa cada
término en la sucesión mediante un número natural n. Esto significa que para n=1 tenemos el
primer término, para n=2 el segundo, etc. Dado que el valor de cada término está relacionado
con su ubicación en la sucesión, empleamos el símbolo an para representar al término general,
es decir a aquél que ocupa el lugar n-ésimo. Más concretamente, a1 simboliza al primer
término, a2 al segundo, etc. La ley de formación o término general al que hacíamos
referencia será una expresión matemática de an mediante la cual podremos determinar el
1
,
valor del término que ocupa cada posición particular. Por ejemplo: dado a n =
n2
1 1 1
( −1) n
, construimos
construimos la sucesión 1, , , ,... Otro ejemplo: dado a n =
2n − 1
4 9 16
1 1 1
− 1, ,− , ,... Los puntos suspensivos indican que la secuencia de números continúa
3 5 7
indefinidamente. Notemos que en el último ejemplo, la alternancia de signos proviene del
factor (−1) n .
Enunciamos la definición:
Una sucesión infinita es una función f : N→R cuyo dominio son los números naturales y su
recorrido es el conjunto de números reales {f(1), f(2), f(3),...} que también se escribe
{ a1 , a2 , a3 , ...}. El valor f (n) = an se llama término n-ésimo o término general de la
sucesión.
Recordemos el significado del factorial de un número natural, que indicamos en la forma n! .
Comenzamos con algunos ejemplos: 4!=4.3.2.1=24; 7!=7.6.5.4.3.2.1=5040. En general,
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definimos
n!=n.(n-1).(n-2)....3.2.1
Notamos que, a medida que n crece, su factorial n! crece muy rápidamente. El cálculo del
factorial de un número puede hacerse mediante la calculadora (hay una tecla con el signo “!”).
Notamos, asimismo, que 4!=4.3! ; 7!=7.6!. En general, vale la propiedad
n!=n.(n-1)!
Veamos un ejemplo de una sucesión en la que interviene el factorial en la expresión de su
n!
1 2 6 24 120
término general. Dado a n = n , construimos , , , ,
,... .
2 4 8 16 32
2
Si la expresión del término general está dada, encontrar la lista de términos de la sucesión es
similar a encontrar los valores de una función, asignando a la variable independiente los
valores naturales consecutivos. Resulta un poco más complicado encontrar la expresión del
término general de la sucesión cuando partimos de los valores de sus primeros términos. Es
necesario poner un poco de ingenio para descubrir cuál es la ley de formación. Nos
proponemos, por ejemplo, encontrar el término general en las sucesiones dadas al principio.
En el primer caso, vemos que se trata de los números naturales impares. Sabemos que los
números pares son aquellos que resultan de multiplicar por 2 a cualquier número natural, o
sea, tienen la forma 2n. Sabemos también que cada dos números pares consecutivos hay un
número impar. Esto es, si a un número par le sumamos 1 ó le restamos 1, obtenemos un
número impar. Por lo tanto, 2n-1 y también 2n+1 expresan a números impares y elegiremos a
una u otra según cuál sea el primer término de la sucesión y cuál sea el primer valor de n. En
nuestro ejemplo, el término general tiene la forma an = 2n − 1 para n=1,2,3,…. Podemos
verificar que esto es así asignando a n dichos valores naturales y viendo que obtenemos el 1°,
2°, 3°, ... términos de la sucesión. Los términos de la segunda sucesión son las potencias
naturales de 2, de modo que escribimos para el término general a n = 2 n con n=1,2,3,…. Si la
sucesión fuera 1,2,4,8,16,... , escribiríamos an = 2n −1 con n=1,2,3,…., pues el primer término
corresponde a 20. En el tercer ejemplo tenemos fracciones en las que el denominador es una
unidad más que el numerador, y los numeradores siguen la secuencia de los números
n
naturales. Por lo tanto, el término general se expresa como an =
con n=1,2,3,…. . En el
n +1
cuarto ejemplo, los valores absolutos de los términos se obtienen sumando 3 al término
anterior. La secuencia 3n, es decir los múltiplos de 3, sigue una ley similar, pero los términos
de la sucesión del ejemplo son una unidad menos que los que resultan de calcular 3n. Luego,
los valores absolutos que nos interesa evaluar son de la forma 3n-1. La alternancia de signos
se puede expresar mediante las potencias naturales de (-1). Dado que el primer término es
positivo, el segundo, negativo, etc., escribimos para el término general an = (−1) n −1 (3n − 1)
con n=1,2,3,….
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1
Miremos la sucesión de término general a n = (1 + ) n . Sus primeros términos son a1 = 2 ,
n
a2 = (3 / 2) 2 = 9 / 4 = 2.25 , a3 = (4 / 3)3 = 64 / 27 ≅ 2.37 , a4 = (5 / 4) 4 = 625 / 256 ≅ 2.44 ,…
1
a100 = 1.01100 ≅ 2.704 , etc. Recordemos que e = lim (1 + ) n ≅ 2.718281828... . Este es un
n
n →∞
ejemplo de una sucesión convergente, es decir, su límite es un número real (irracional)
perfectamente definido. En forma similar a lo que sabemos sobre el límite de una función,
decimos que el límite de esta sucesión es e para n tendiendo a infinito porque el valor absoluto
de la diferencia entre un término cualquiera de la sucesión y el número e, puede hacerse tan
pequeña como se quiera, con tal que tomemos un término suficientemente avanzado de la
sucesión.
Existen sucesiones en las cuales, al hacer n → ∞ , el valor de a n se hace infinito. Tal es el
n!
caso de la sucesión de término general a n = n en la que el numerador tiende a infinito más
2
n( −1) n
es diferente pues, si bien el valor absoluto
n +1
de los términos tiende a 1 cuando n → ∞ , la alternancia de signos hace que los términos pares
formen una subsucesión con límite 1, mientras que la de los términos impares tiende a -1.
Aquí decimos que la sucesión completa no tiene límite. En ambos tipos de situaciones
hablamos de sucesiones que no convergen.
rápido que el denominador. El caso de an =
Consideremos ahora los siguientes ejemplos:
3,6,12,24,...;
5,
10 20 40
, , ,L.
3 9 27
Vemos que en ambos, cada término puede obtenerse a partir del anterior multiplicándolo por
una constante. En el primer ejemplo esa constante es 2 y en el segundo es 2/3. Las sucesiones
de este tipo se llaman geométricas. A esa constante multiplicativa la llamamos razón y la
indicamos con q. Así, tenemos que a 2 = q ⋅ a1 ; a3 = q ⋅ a 2 ; a 4 = q ⋅ a3 , etc. Generalizando,
a n = q ⋅ a n −1 .
También podemos expresar a3 a partir de a1 en la forma a 3 = a1 ⋅ q 2 y análogamente
a 4 = a1 ⋅ q 3 , etc. En general, resulta
a n = a1 ⋅ q n −1
(1)
Series numéricas
Tomemos ahora una sucesión infinita a1, a2, a3, a4,...,an,... y construyamos con sus términos lo
que se conoce como sumas parciales, esto es
S1=a1
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S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
...
Sn=a1+a2+a3+...+an
Como la sucesión a1, a2, a3, a4,...,an,... tiene infinitos términos, podemos construir a partir de
las sumas parciales una nueva sucesión infinita: S1, S2, S3, S4,...,Sn,.... Si esta nueva sucesión
tiene límite, a dicho límite lo llamamos serie y lo indicamos con S. Formulamos la siguiente
definición:
Dada una sucesión infinita a1, a2, a3, a4,...,an,..., se denomina serie numérica a la expresión
∞
S = lim S n = a1 + a 2 + a3 + L = ∑ a n
n →∞
n =1
Hemos introducido una notación abreviada mediante el signo de "sumatoria". Indica que a n
debemos asignarle valores naturales sucesivos, comenzando en 1 y continuando
indefinidamente, y por cada valor de n obtenemos un término de la suma.
Aclaremos que no se trata de una suma en el sentido habitual, ya que tiene infinitos términos.
Por esta razón, el cálculo de la suma no puede hacerse término a término y habrá que
encontrar algún otro método para obtener el resultado, si es que existe. Nos preguntamos si
una suma de infinitos términos puede dar por resultado un número finito. Parecería que, si
sumamos infinitos sumandos, el resultado debería ser siempre infinito. Veremos que no
siempre es así.
1/8
1/2
1/4
Tomemos como ejemplo la sucesión geométrica 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...,
formemos la sucesión de las sumas parciales 1/2, 1/2+1/4,
1/2+1/4+1/8,... y representemos sus términos como porciones de área
de un cuadrado de lado 1. Vemos gráficamente que a medida que el
número de términos aumenta, el resultado de las sumas parciales tiende
a cubrir toda el área del cuadrado. Es decir, 1/2+1/4+1/8+1/16+...=1.
Concluimos que esta serie converge a 1.
En el caso que representamos, partimos de una sucesión geométrica (de razón ½) y
construimos con ellos una suma de infinitos términos que llamamos serie geométrica. Este
ejemplo basta para ver que una suma de infinitos términos puede dar un resultado finito.
Vamos a tratar de generalizar esta idea.
Consideremos una sucesión geométrica cualquiera pero supongamos que la razón q es distinta
de 1 y de –1. (Estos casos los analizaremos aparte). Escribamos la suma parcial de los
primeros n términos:
Sn=a1+ a2+ a3+ a4+...+an
Por lo dicho en (1):
Sn=a1+ a1.q+ a1.q2+ a1.q3+...+a1.qn-1
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Multiplicamos ambos miembros por q:
Sn.q=a1.q+ a1.q2+ a1.q3+ a1.q4+...+a1.qn
y restamos las dos últimas:
Sn-Sn.q=a1-a1.qn
de donde se obtiene:
S n = a1
1− q n
1− q
(2)
Esta expresión nos da el valor de la suma de los primeros n términos de una sucesión
geométrica, sabiendo los valores del primer término, el número de ellos y su razón.
Tomemos en esta expresión el límite para n→∞. Si q es tal que ⏐q⏐<1, es lim q n = 0 y
n →∞
S = lim S n = a1 /(1 − q) . Decimos que la serie geométrica converge a a1/(1-q).
n →∞
S=
a1
si q < 1
1− q
(3)
En el ejemplo del cuadrado es a1=1/2, q=1/2, S=1/2/(1-1/2)=1.
Si q es tal que ⏐q⏐>1, es lim q n = ∞ y lim S n = ∞ . Decimos que la serie geométrica
n →∞
n →∞
diverge. Si q=1, la serie es S=a1+ a1+ a1+...=∞. Si q=-1, la serie es S=a1- a1+ a1- .... La
sucesión de las sumas parciales toma los valores a1 y 0, alternativamente, de modo que no
tiende a un límite único. En ninguno de estos dos casos la serie converge (en uno tiende a
infinito y en el otro no tiene límite). En resumen,
la serie geométrica de razón q
converge a
a1
si q < 1
1− q
no converge si q ≥ 1
♣ Ejemplo 1: El número periódico 0,4141... puede escribirse como serie: 0,414141...
=0,41+0,0041+0,000041+...= 41/100+41/10000+41/1000000+... Es una serie
geométrica de razón q=1/100. Por ser ⏐q⏐<1, la serie converge a S= a1/(1-q)
=0,41/(1-0,01)=0,41/0,99=41/99.
♣ Ejemplo 2: Consideremos las raíces quintas complejas de -1, o sea resolvamos la
ecuación z 5 = -1:
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⎧ z 5 = 1⇒ z = 1
⎫⎪
⎪
⎬ ⇒ ⎨
5
π 2 πk
5
z = z (cos θ + i sin θ) ⇒ z = z (cos 5θ + i sin 5θ)⎪⎭
⎪5θ = π + 2kπ ⇒ θ = +
5
5
⎩
iπ/5
z0=1(cos π/5+ i sen π/5)= e
z1=1[cos (π/5+2π/5)+ i sen (π/5+2π/5)]= ei3π/5= eiπ/5.ei2π/5
z2=1[cos (π/5+4π/5)+ i sen (π/5+4π/5)]= ei5π/5= eiπ/5.(ei2π/5)2
z3=1[cos (π/5+6π/5)+ i sen (π/5+6π/5)]= ei7π/5= eiπ/5.(ei2π/5)3
z4=1[cos (π/5+8π/5)+ i sen (π/5+8π/5)]= ei9π/5= eiπ/5.(ei2π/5)4
1 = 1 (cos π + i sin π)
Las soluciones forman una progresión geométrica de 5 términos, cuya razón es
q = e i 2π / 5 y su primer término es a1 = e iπ / 5 . Aclaremos que no es una serie ya que
tiene un número finito de términos. Usando (2), su suma es
S 5 = z 0 + z1 + z 2 + z 3 + z 4 =
a1 (1 − q 5 ) e iπ / 5 (1 − (e i 2 π / 5 ) 5 ) e iπ / 5 (1 − e i 2 π )
=0
=
=
1− q
1 − ei2π / 5
1 − ei 2π / 5
Este resultado se podría haber anticipado si hubiéramos representado las soluciones en
el plano complejo.
Series alternadas
Se trata de series cuyos términos son alternadamente positivos y negativos. Una serie
alternada es de la forma a1 - a2 + a3 – a4 + ... , donde a1, a2, a3, ... es una sucesión de números
positivos. (Esta condición es para garantizar que los términos realmente alternan en signos).
Vamos a mostrar, mediante un argumento geométrico, bajo qué condiciones una serie
alternada converge.
Consideremos el caso en que los términos de la serie alternada decrecen en valor absoluto, a1
> a2 > a3 > ... y cumplen que lim an = 0 . Formemos la sucesión de sumas parciales:
n →∞
S1=a1 ; S2=a1-a2 ; S3=a1-a2+a3 ; ....y representémoslas gráficamente:
a1
-a2
a3
0
S2
S3
S1
Intuitivamente comprendemos que la secuencia de intervalos encajados que se forma al
representar las sumas parciales, converge a un límite y que ese límite se encuentra en el
intervalo comprendido entre 0 y a1. Enunciamos el teorema de Leibniz:
Si una serie alternada de la forma a1 - a2 + a3 – a4 + ..., con an > 0, es tal que: 1) sus términos
decrecen en valor absoluto, a1 > a2 > a3 > ... y cumplen que 2) lim an = 0 , entonces la serie
n →∞
alternada converge a un valor S en el rango 0<S<a1.
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Vale la pena comentar que la condición a1 > a2 > a3 > ... no basta para asegurar la
convergencia pues el término general podría tender a una constante no nula y en ese caso la
serie sería oscilante. Para asegurar la convergencia hay que exigir además que lim a n = 0 .
n →∞
♣ Ejemplo 3: Analicemos, desde el punto de vista de las condiciones de Leibniz, la
convergencia de: 1-1/2+1/3-1/4+..., llamada serie armónica alternada. El término
general es (-1)n+1/n. Su valor absoluto, que se expresa an=1/n, es decreciente y su
límite es 0. La serie armónica alternada cumple las condiciones del teorema de
Leibniz. Por lo tanto, converge a algún valor entre 0 y 1, pero no podemos por el
momento encontrar a qué valor converge la serie.
♣ Ejemplo 4: Sea la serie 2 -3/2 + 4/3 -5/4,... El término general es (−1) n+1 (n + 1) / n .
Para ver que sus valores absolutos son decrecientes (2>3/2>4/3>5/4>...), comparemos
dos términos consecutivos: a n = (n + 1) / n con a n+1 = (n + 2) /(n + 1) . Al calcular
a n / a n+1 , vemos que a n > a n+1 pues (n + 1) 2 > n(n + 2) . Pero la serie no cumple
todas las condiciones del teorema de Leibniz pues lim a n = lim (n + 1) / n = 1 . Por lo
n →∞
n →∞
tanto esta serie alternada no converge.
En líneas generales, cuando trabajamos con series numéricas, nos interesa determinar si la
serie es convergente o no. Sólo en unos pocos casos podremos calcular, en caso de ser
convergente, a qué valor converge.
Si se trata de una serie geométrica y si su razón es en valor absoluto menor que 1, sabemos
a
que converge a
. Si se trata de una serie alternada que cumple las condiciones del
1− q
teorema de Leibniz, podemos calcular en forma aproximada el valor de la suma de la serie,
tomando unos cuantos términos (suma parcial). La aproximación será tanto mejor cuantos
más términos tomemos.
Más adelante veremos que, mediante las series de potencias y las de Fourier, podremos
calcular la suma de algunas series numéricas.
Establecemos, sin demostración, un criterio general para la convergencia de las series
numéricas.
Para que una serie numérica converja es necesario que su término general tienda a cero.
Este enunciado indica que no alcanza con comprobar que el término general tiende a cero para
garantizar la convergencia de la serie. En otras palabras, se trata de una condición necesaria
pero no suficiente. Sin embargo, el criterio resulta sumamente útil pues garantiza que
si el término general no tiende a cero, entonces la serie no converge.
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Sucesiones y series numéricas.
Series de términos positivos
Es intuitivamente evidente que, dada una serie de términos positivos, si estos no decrecen
hasta hacerse infinitamente pequeños, la suma de los infinitos términos será infinita. Con esto
queremos significar que resulta clara la necesidad de la condición lim a n = 0 para que la
n →∞
serie sea convergente. En cambio, no es evidente que esta condición no baste para garantizar
la convergencia. Para comprender esto último, vamos a mostrar series en las cuales se cumple
la condición lim a n = 0 y a la vez son divergentes.
n →∞
Existen diversos métodos para efectuar el análisis de convergencia en series de términos
positivos. En particular, mostraremos ahora el que se conoce como criterio de la integral. Para
esto, consideremos la función de variable real f(x) definida de manera que f(1)=a1, f(2)=a2,
f(3)=a3, …, es decir que adopta los mismos valores que los términos de la serie cuando x toma
valores naturales. La curva de la figura representa a la función f(x) y los segmentos gruesos, a
los términos an de la sucesión que
conforma la serie S. El primer rectángulo
tiene altura a1 y base 1, de modo que el
área del rectángulo es a1. Análogamente,
a1
el segundo rectángulo tiene área a2, etc.
La suma de las áreas de todos los
a2
rectángulos representa el valor de la serie
S=
∞
∑ a n . Por otra parte, la integral de
1 2 3….. n n+1…
x
n =1
la función está representada por el área
bajo la curva. Enunciamos aquí, sin demostración, un principio general, que afirma que si
bien la integral impropia de la función evaluada entre 1 e infinito y la suma de la serie no
producen el mismo resultado, se puede asegurar que
si la integral converge, también converge la serie y si la integral diverge, también
diverge la serie. Esto se conoce como criterio de la integral.
Aplicaremos ahora este principio a series de la forma
∞
1
∑ n p . Si p<0, el término general
n =1
an = 1 / n tiende a infinito para n→∞, de modo que no cumple con la condición necesaria
para la convergencia de la serie. Con p=0, todos los términos de la serie son 1, de manera que
la serie también diverge pues es la suma de infinitos unos. Nos centraremos, entonces, en los
casos en que p>0, en los cuales se cumple que lim a n = 0 , y comprobaremos que esta
p
n →∞
condición no es suficiente para asegurar la convergencia.
Consideremos para empezar el caso p=1 que da lugar a la serie
1+1/2+1/3+1/4+... llamada serie armónica.
24
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Sucesiones y series numéricas.
Sus términos conforman la sucesión an=1/n y para aplicar el criterio de la integral tomamos la
función f(x)=1/x. La integral impropia se evalúa en la forma:
∞
Q
1
1
1
[ln Q − ln1] = ∞
∫ f ( x)dx = Qlim
∫ dx = Qlim
→∞ x
→∞
Concluimos que, como la integral diverge, también diverge la serie armónica,
∞
1
∑n.
n =1
Analicemos ahora de manera similar el comportamiento asintótico de series de la forma
∞
1
∑ np
con p≠1 y positivo. Definimos f ( x) =
n =1
1
xp
y calculamos
⎧∞ , p < 1
x − p +1 Q
Q − p +1 − 1 ⎪
=⎨
[
]1 = lim
1
∫ f ( x)dx = Qlim
∫ dx = Qlim
−
→∞ x p
→∞ − p + 1
Q →∞ − p + 1
⎪ − p +1 , p > 1
1
1
⎩
∞
Q
1
Generalizamos los resultados anteriores enunciando que, para cualquier valor real de p,
∞
1
converge si p > 1
p
n =1 n
diverge si p ≤ 1
∑
.
1
= 0 , las suma de infinitos términos de esta
np
forma se hace infinita. En otras palabras, los términos que conforman la serie, aunque son
cada vez más pequeños a medida que avanzamos en la serie, no decrecen “suficientemente”
rápido. Recalcamos que el resultado de la integración para p>1 no representa en modo alguno
al valor de la suma de la serie. De ésta última sólo sabemos que toma algún valor finito.
Subrayemos que, si bien para 0<p<1, es lim
n→ ∞
♣ Ejemplo 5:
∞
∞
1
1
diverge pues p=1/2<1.
a) La serie ∑
=∑
1
/2
n =1 n
1 n
∞
∞
1
n
=∑
converge pues p=4/3>1.
b) La serie ∑
4/3
n =1 3 n 7 n =1 n
Existen además otros criterios que son de utilidad para analizar el comportamiento de las
series de términos positivos. Uno de ellos es el criterio del cociente. Se basa en la
comparación entre dos términos sucesivos de la serie, simbolizados genéricamente como an y
an+1, mediante el cociente entre ellos cuando se encuentran muy avanzados en la serie, es
a
decir lim n +1 . El criterio afirma que
n →∞ an
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Sucesiones y series numéricas.
a
si lim n +1 < 1 , la serie converge
n →∞ an
a
si lim n +1 > 1 , la serie diverge
n →∞ an
a
si lim n +1 = 1 , no hay diagnóstico
n →∞ an
Otra herramienta útil es el criterio de la raíz, cuya expresión es
si lim n an < 1 , la serie converge
n →∞
si lim n an > 1 , la serie diverge
n →∞
si lim n an = 1 , no hay diagnóstico
n →∞
♣ Ejemplo 6: Para analizar la convergencia de
∞
2n
∑ n! , empleemos el criterio del
n =1
cociente. El término general es a n = 2 n / n! y entonces es a n +1 = 2 n +1 /( n + 1)! .
∞ n
a n+1
2
2
2 n +1 ⋅ n!
= 0 < 1 . Luego, la serie ∑
= lim
= lim
n
n→∞ ( n + 1)!⋅2
n→∞ ( n + 1)
n→ ∞ a n
n =1 n!
Entonces, lim
converge.
♣ Ejemplo 7: Para analizar la convergencia de
∞
∑
3n
n =1 2
n
n
, resulta sencillo emplear el
criterio de la raíz. El término general es a n = 3n / 2 = (3 / 2 )n . Entonces, lim n a n =
n→ ∞
∞ n
3 3
3
es divergente.
lim n (3 / 2 )n = lim = > 1 . Por lo tanto, la serie ∑
n
n→ ∞
n→∞ 2 2
n =1 2
Existen otros criterios, que no abordaremos aquí, que permiten establecer la convergencia de
una serie mediante su comparación con otra de comportamiento conocido.
La descripción expuesta en este capítulo sobre las series numéricas no es en absoluto
completa. En líneas generales, ellas representan un campo bastante más amplio que lo
presentado aquí, cuyo tratamiento riguroso demandaría mucho más tiempo y profundización.
El propósito de esta introducción es facilitar las herramientas para abordar en los próximos
capítulos otro tipo de series, como las de Fourier.
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Series de potencias.
Series de potencias
Series de funciones
Se llaman así aquellas series en las que los términos son funciones de x. Pongamos como
ejemplos:
∞
xn
x x 2 x3
=
+
+
+
+L
1
∑ n +1
2
3
4
n =0
∞
∑ n(nx 2 + 1) = ( x 2 + 1) + 2(2 x 2 + 1) + 3(3x 2 + 1) + L
n =1
∞
∑ n sen(nx) = sen x + 2 sen 2 x + 3 sen 3x + L
n =1
El primero es un ejemplo de las llamadas series de potencias y el tercero, es una serie
trigonométrica. A lo largo de este curso vamos a estudiar en especial estos dos tipos de series
de funciones.
Cuando en una serie de funciones se asigna a x un valor numérico particular, se obtiene una
serie numérica. Así, en el primer ejemplo,
2 4 8
+ + + L . En esta serie los términos son crecientes, es decir, el
2 3 4
término general no tiende a cero cuando n tiende a infinito. Por lo tanto, no cumple con la
condición necesaria para la convergencia.
1 1 1
para x=1 se obtiene 1 + + + + L . Ésta es la serie armónica, que, como ya sabemos, es
2 3 4
divergente.
1 1 1
para x=-1 se obtiene 1 − + − + L . Ésta es la serie armónica alternada, cuyos términos
2 3 4
decrecen en valor absoluto y cuyo término general tiende a cero y es, por lo tanto,
convergente.
1 1
1
para x=-1/2 se obtiene 1 − + −
+ L . Ésta es una serie alternada que, como la anterior,
4 12 32
tiene términos decrecientes en valor absoluto, y su término general tiende a cero. La serie es,
por lo tanto, convergente.
para x=2 se obtiene 1 +
Vemos que el carácter de la serie puede cambiar según cuál sea el valor que se le asigne a x.
Determinar cuál es el conjunto de valores de x que hace que la serie resulte convergente es
encontrar su intervalo de convergencia. Nos vamos a ocupar ahora de estudiar las series de
potencias y de determinar su intervalo de convergencia.
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Series de potencias.
Series de potencias de x
Son series de funciones de la forma
∞
∑ cn x n = c0 + c1x + c2 x 2 + c3 x3 + L ,
( 1)
n=0
donde todos los términos contienen potencias enteras no negativas de x. Con cn se indican los
coeficientes de la serie y vienen dados por una expresión que depende de n (como en las
series numéricas). En particular, a c0 se lo designa término independiente, c1x es el término
lineal, c1x2 es el término cuadrático, etc.
No debemos confundir a una serie de potencias con un polinomio, ya que la serie tiene
infinitos términos. Pero, si a partir de la serie, tomamos la suma parcial de sus primeros N+1
términos:
N
∑ c n x n , obtenemos un polinomio de grado N, que indicamos PN (x)
n =0
PN ( x) =
N
∑ c n x n = c0 + c1 x + c 2 x 2 + c3 x 3 + L + c N x N
n =0
Para encontrar para qué valores de x converge una serie de potencias, comencemos
observando que si en la serie general (1) tomamos x=0, obtenemos c0, es decir, la serie
converge a c0. Esto nos dice que, al menos para x=0, cualquier serie de potencias es
convergente. Veamos cómo determinar el conjunto de valores de x para los cuales la serie
numérica resultante es convergente. Se demuestra (no lo haremos aquí) que esos valores
forman un intervalo centrado en 0 que se denomina intervalo de convergencia de la serie de
potencias. Dicho intervalo es en todos los casos simétrico alrededor del origen, a excepción de
lo que pudiera suceder en los extremos. En particular, el intervalo puede reducirse a un punto
(el cero) o extenderse a toda la recta real. Por su carácter simétrico, el intervalo de
convergencia tiene en general la forma x < R , donde R representa el radio de convergencia.
Dejando aparte la consideración de los bordes, x = ± R , esta propiedad asegura que la serie no
converge para x > R ni para x < − R . El problema consiste, entonces en determinar el valor
de R y, para esto, en lugar de la serie (1),
c0 + c1x + c2 x 2 + c3 x3 + L
consideramos la que construimos mediante los valores absolutos de sus términos:
c0 + c1x + c2 x 2 + c3 x3 + L
Por ser ésta una serie de términos positivos, podemos emplear alguno de los criterios que
vimos para las series numéricas de términos positivos, como por ejemplo, el criterio del
cociente. Así, designando
an = cn x n
y
an +1 = cn +1x n +1 , calculamos
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Series de potencias.
c n +1 x n +1
c n +1
a n +1
= lim
x.
= lim
L = lim
n →∞ c x n
n →∞ a n
n →∞ c n
n
Diremos que la serie es convergente para aquellos valores de x para los cuales L < 1 y
divergente para los que resulte L > 1 . Deberemos analizar por separado qué ocurre
cuando L = 1 , ya que en ese caso el criterio del cociente no puede diagnosticar la
convergencia. Esto último sucederá para un cierto valor de x , o sea, para los dos valores de x
que representan los bordes del intervalo de convergencia.
Si resolvemos el problema aplicando el criterio de la raíz, calculamos
L = lim n a n = lim n c n x n = lim n c n x
n→∞
n→∞
n→∞
y diremos que la serie converge para los valores de x para los cuales L < 1 y diverge para los
que es L > 1 . También con este método deberemos analizar en forma separada qué ocurre en
los valores de x para los cuales L = 1 , ya que en ese caso el criterio de la raíz no da
diagnóstico.
La conveniencia de elegir uno u otro procedimiento en cada caso particular depende de la
expresión del término general de la serie de potencias.
Veamos cómo se aplica el criterio del cociente.
♣ Ejemplo 1: Determinar el intervalo de convergencia de
Definamos an =
∞
xn
x x2
=
+
+
+L
1
∑ n +1
2
3
n =0
xn
x n +1
y an +1 =
y calculemos
n +1
n+2
x n+1 /(n + 2)
a n +1
n +1
= lim
= lim
x= x
L = lim
n →∞ a n
n→∞ x n /( n + 1)
n →∞ n + 2
La serie es convergente para aquellos x para los que L < 1 , es decir, para |x|<1. La
serie es divergente donde L > 1 , es decir, para |x|>1. Esto indica que si en la serie de
potencias se reemplaza x por algún valor comprendido entre –1 y 1, se obtendrá una
serie numérica convergente. Por el contrario, si el valor de x es menor que –1 ó mayor
que 1, la serie numérica resultante será divergente. Hemos obtenido un intervalo de
convergencia centrado en 0, de amplitud 1. En forma equivalente, decimos que el
radio de convergencia es R=1.
Aún no sabemos qué ocurre en los extremos del intervalo de convergencia, es decir en
x=-1 y en x=1. Para averiguarlo reemplazamos cada uno de estos valores en la serie
original. Así,
29
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•
Series de potencias.
para x=-1 obtenemos 1 −
1 1 1
+ − + L . Ésta es la serie armónica alternada,
2 3 4
que ya sabemos que converge.
•
para x=1 obtenemos 1 +
1 1 1
+ + + L que es la serie armónica, que ya
2 3 4
sabemos que diverge.
Luego, el intervalo de convergencia de la serie dada es [-1,1).
♣ Ejemplo 2: Determinar el intervalo de convergencia de
∞
3n − 2 n
x .
n
2
n =0
∑
3(n + 1) − 2 n +1 3n + 1 n
3n − 2 n
x y entonces, a n +1 =
x
x ⋅x ,
=
2 n+1
2n ⋅ 2
2n
x
a
3n + 1
x = . La serie es convergente para
de modo que L = lim n+1 = lim
2
n →∞ a n
n→∞ 2(3n − 2)
aquellos x para los que |x|/2<1, es decir para |x|<2, y es divergente para |x|>2. Para
conocer el comportamiento en los bordes, donde |x|=2, analizamos la serie de origen
En este caso es a n =
en x=2 y x=-2. En el primer caso, resulta
∞
∑ 3n − 2
n =0
∞
y en el segundo ∑ (3n − 2)(−1) n ;
n =0
ambas series son no convergentes pues sus respectivos términos generales no tienden a
cero al tender n a infinito. Luego, el intervalo de convergencia de esta serie es (-2,2).
Series de potencias de (x-a)
Las series de funciones de la forma
∞
∑ cn ( x − a)n = c0 + c1( x − a) + c2 ( x − a)2 + c3 ( x − a)3 + L
n =0
se denominan series de potencias de (x-a).
Haciendo el cambio de variable w=x-a, tenemos
∞
∑ cn wn = c0 + c1w + c2 w2 + c3w3 + L
, es
n =0
decir, una serie de potencias de w. Si R es el radio de convergencia de esta serie, será porque
la serie converge en el intervalo –R<w<R. Pero entonces, -R<x-a<R, es decir, a-R<x<a+R.
Esto representa un intervalo de amplitud R con centro a. El análisis se completa con el estudio
de los bordes, x=a-R y x=a+R.
♣ Ejemplo 3: Determinar el intervalo de convergencia de
x + 2 ( x + 2) 2 ( x + 2) 3
1−
+
−
+L
2
4
8
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Series de potencias.
El término general de la serie es
valores absolutos es a n =
(−1) n ( x + 2) n
x+2
2n
2n
con n=0,1,2…, y el de la serie de
n
. Si definimos w=x+2, tenemos a n =
w
n
2n
.
n
Apliquemos el criterio de la raíz: L = lim n an = lim n w / 2 n = lim w / 2 =
n →∞
n →∞
n →∞
w / 2 . Luego, la serie converge si w / 2 < 1 , o sea, x + 2 < 2 . Entonces, la serie
converge en el interior del intervalo − 4 < x < 0 . Para analizar los bordes,
consideremos en primer lugar x=-4. En ese punto tenemos 1 −
− 4 + 2 ( −4 + 2 ) 2
+
−
2
4
( −4 + 2 ) 3
2 2 2 23
+ L = 1 + 1 + 1 + 1 + L = ∞ . En el otro extremo, x=0, es 1 − +
−
+L =
8
2 4
8
1 − 1 + 1 − 1 + L , que no tiene límite. Por lo tanto, como no converge en ninguno de los
dos extremos, el intervalo de convergencia es − 4 < x < 0 .
Desarrollo de funciones en series de potencias de x.
Como se vio, dada una serie de potencias, al asignarle a x algún valor numérico perteneciente
al intervalo de convergencia, la serie numérica resultante converge a un número. Esto
significa que cada serie de potencias, en su intervalo de convergencia, hace corresponder un
número a cada valor de x, es decir, define una función φ ( x) = c0 + c1x + c2 x 2 + c3 x3 + L . Se
puede demostrar que esta función es única, que es derivable, que la derivada se obtiene
derivando término a término la serie de potencias y que la nueva serie que así resulta
converge en el interior del mismo intervalo en que converge la serie primitiva.
Consideremos, como ejemplo particular, la serie de potencias
∞
∑ x n = 1 + x + x 2 + x3 + L .
n =0
Podemos pensarla como una serie geométrica de razón x. Esto indica que, si x es tal que
⏐x⏐<1, la serie converge a 1/(1-x). (Recordemos que si la razón q es tal que |q|<1, la serie
geométrica converge a a1/(1-q), donde a1 indica al primer término). Luego,
∞
1
∑ x n = 1 + x + x 2 + x3 + L = 1 − x
para ⏐x⏐<1.
n =0
El conjunto definido por⏐x⏐<1 representa al intervalo de convergencia de esta serie. Podemos
indicarlo también como el intervalo (-1,1).
Los gráficos que se muestran a continuación nos ayudarán a obtener una idea intuitiva del
significado de la convergencia de una serie de potencias hacia una función. Tomemos, a modo
de ejemplo, a partir de la serie 1+x+x2+x3+... sumas parciales de dos, tres y cuatro términos.
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Series de potencias.
Construimos así los polinomios 1+x, 1+x+x2 y 1+x+x2+x3, respectivamente. En las figuras los
hemos representado en líneas de trazos, superpuestos con la función 1/(1-x), en línea llena.
3.5
3.5
3
3
1/(1-x)
2.5
2
2
2
1.5
1.5
1+x
-0.4
-0.2
1+x+x2
1
1
0.5
0.5
0.2
0.4
0.6
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
1/(1-x)
2.5
1.5
0.5
-0.6
3
1/(1-x)
2.5
1
-0.8
3.5
0.2
0.4
0.6
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
1+x+x2+x3
0.2
0.4
0.6
Vemos que, a medida que aumenta el grado del polinomio, aumenta el contacto entre las
curvas representativas del polinomio y de la función. Inferimos, y siempre desde un punto de
vista intuitivo, que si aumentamos aún más el grado del polinomio, lograremos que la curva
correspondiente "se pegue" más a la de la función 1/(1-x). Dicho en otras palabras, si
tomamos algún valor particular de x cercano a 0 y calculamos allí la función y los diversos
polinomios, veremos que cuanto mayor sea el grado más parecido será el valor que da el
polinomio al que da la función. Si aumentamos en forma indefinida el número de términos,
lograremos la igualdad con la función. Naturalmente, esto ocurre sólo si el valor de x se
encuentra dentro del intervalo de convergencia, que para el ejemplo que nos ocupa es (-1,1).
Fuera de él, si bien existen, tanto la función como la serie, ésta no converge a la función, o sea
los valores de las sumas parciales no tienden a parecerse a los de la función cuando
aumentamos el grado del polinomio.
En este ejemplo, partiendo de una serie geométrica, fuimos capaces de encontrar la función a
la cual converge y el intervalo en que esto ocurre, empleando propiedades que ya conocíamos
de las series geométricas. La misma igualdad entre la serie y la función admite otra lectura:
podemos decir que la función 1/(1-x) tiene un desarrollo en serie de potencias de x de la forma
1+x+x2+x3+..., válido en el intervalo (-1,1).
Polinomio y serie de Mac Laurin.
Dado que los polinomios son funciones comparativamente sencillas de manejar, para muchas
aplicaciones prácticas puede resultar muy útil sustituir una función complicada por un
polinomio, aún cuando el polinomio represente sólo una aproximación a la función. Nos
preguntamos si, dada una función cualquiera, seremos capaces de encontrar un polinomio que
la represente, aunque sólo sea en forma aproximada, bajo qué condiciones esto es posible,
dónde es válido hacerlo y cuál es la magnitud del error que cometemos.
Para responder a esta pregunta, nos planteamos el problema en forma general: dada una cierta
función f(x), a la que le pedimos que sea continua, con derivadas continuas hasta el orden n
(más adelante pediremos que esta condición se cumpla para las derivadas de todos los
órdenes), queremos encontrar un polinomio Pn(x) de grado n que se aproxime a f(x) cuando x
sea próximo a 0. Para que este requisito se cumpla, exigimos que la función dada y sus
derivadas sucesivas hasta el orden n, evaluadas en 0, coincidan respectivamente con el
polinomio y sus derivadas sucesivas también evaluados en 0. Si el polinomio es
Pn ( x) = c 0 + c1 x + c 2 x 2 + c3 x 3 + L + c n x n
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Series de potencias.
sus derivadas sucesivas son
Pn' ( x) = c1 + 2c 2 x + 3c3 x 2 + L + nc n x n −1
Pn'' ( x) = 2c 2 + 3.2c3 x + 4.3x 2 + L + n(n − 1)c n x n − 2
Pn''' ( x) = 3.2c3 + 4.3.2 x + L + n(n − 1)(n − 2)c n x n −3
...................
( n)
Pn ( x) = n! c n
Entonces, debe ocurrir que
Pn (0) = c 0 = f (0) ; Pn' (0) = c1 = f ' (0) ; Pn'' (0) = 2c 2 = f '' (0) ;
Pn''' (0) = 3.2c3 = f ''' (0) ; L ; Pn( n ) (0) = n!cn = f ( n) (0)
de donde pueden obtenerse los coeficientes del polinomio:
c 0 = f (0) ; c1 = f ' (0) ; c 2 = f '' (0) / 2 ; c3 = f ''' (0) /(3.2) ; L c n = f ( n ) (0) / n!
El polinomio que cumple con todas estas condiciones tiene la forma
Pn ( x) = f (0) + f ' (0) ⋅ x +
f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3
f ( n) (0) n
⋅x +
⋅ x +L+
⋅x
2!
3!
n!
(2)
y se denomina polinomio de Mac Laurin.
Este polinomio coincide exactamente con la función sólo en x=0. Para valores de x≠0, el
polinomio difiere de la función, pero esa diferencia es pequeña si el valor de x es próximo a 0.
Decimos que Pn (x) es una aproximación polinómica de orden n a f (x) .
Como ejemplo, calculemos en forma aproximada el valor de e −0.1 . Para esto, tomemos la
función f ( x) = e x y su correspondiente polinomio de Mac Laurin. Busquemos, en este caso,
una aproximación de orden 3. Según lo requerido por la fórmula (2), evaluemos la función y
sus derivadas, hasta el tercer orden, en x=0. Como en este caso es f ( x) = f ' ( x) = f ' ' ( x) =
= f ' ' ' ( x) y f (0) = f ' (0) = f ' ' (0) = f ' ' ' (0) = 1 , tenemos
e x ≅ P3 ( x) = 1 + 1 ⋅ x +
1 2 1 3
⋅x + ⋅x .
2!
3!
Luego, evaluando en x = −0.1 (que es "suficientemente" cercano a 0), tenemos
e −0.1 ≅ P3 (−0.1) = 1 − 0.1 +
1
1
⋅ 0.12 − ⋅ 0.13
2!
3!
33
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Series de potencias.
(Nótese que empleamos el signo "≅" para relacionar a e x con P3(x)). La calidad de la
aproximación depende de la cantidad de términos, o sea, del grado del polinomio, y de la
cercanía a 0 de x. La evaluación del error encierra algunas dificultades que no abordaremos en
este curso. Nos limitaremos a dar algunos argumentos que nos permitirán adquirir una idea
intuitiva de problema. Para esto, observemos que para un dado x (cercano a 0), los sucesivos
términos del polinomio son cada vez más pequeños en valor absoluto, de modo que el
agregado de términos de orden superior no puede afectar a las primeras cifras del resultado.
Por ejemplo, cuando calculamos P3(-0.1), el primer término es 1, el segundo, -0.1, el tercero
(segundo orden), 0.005 y el cuarto (tercer orden), − 1.67 × 10 −4 . La calculadora nos da para
P3(-0.1) el valor 0.904833333. Sin embargo, no es correcto escribir el resultado con tantas
cifras decimales ya que algunas de ellas, desde una posición decimal en adelante pueden estar
afectadas de error. Como los términos son decrecientes en valor absoluto, de todos los que no
incluimos, el mayor es el de cuarto orden (el primero no incluido). Su valor es:
(−0.1) 4 / 4! = 4.16 × 10 −6 ; los términos posteriores serán aún menores que éste en módulo, de
manera que al tomar una aproximación de tercer orden el error que cometemos es (al menos)
del tamaño del término de cuarto orden. Esto significa que en el cálculo de la aproximación de
tercer orden para e −0.1 es más correcto escribir 0.904833±0.000004, donde hemos truncado
la cola decimal en el sexto lugar, previo redondeo. Queda claro que para mejorar la precisión
del resultado, basta con agregar más términos en el desarrollo. (Si en la calculadora
computamos e −0.1 obtenemos 0.904837418. Nuestro resultado coincide perfectamente con
éste hasta la quinta cifra decimal. La calculadora opera internamente de esta manera, tomando
muchos términos).
Si el problema es ahora calcular e0.5 , podemos proceder de la misma manera. Consideremos
como antes una aproximación de tercer orden:
e0.5 ≅ P3 (0.5) = 1 + 0.5 +
1
1
⋅ 0.52 + ⋅ 0.53
2!
3!
La calculadora nos da 1.645833333 y el término de cuarto orden es 0.54/4!=2.6x10-3. Esto
indica que del resultado anterior no podemos tomar más allá de la segunda cifra decimal,
previo redondeo. Esto nos da e0.5 ≅ 1.65 . El valor dado por la calculadora es 1.648721271.
Vemos que nuestro resultado es correcto hasta la segunda cifra decimal, pero la aproximación
resulta en este caso bastante más pobre que en el caso anterior. Esto se debe a que el valor 0.5
de x está considerablemente más alejado de 0 que en el ejemplo anterior. Para lograr aquí una
aproximación de igual calidad que la anterior deberíamos incluir más términos en el
desarrollo.
Dado que el polinomio de Mac Laurin representa una mejor aproximación a la función
cuantos más términos tomemos, inferimos que si tomamos infinitos términos, el acuerdo entre
el desarrollo y la función será perfecto. Esto significa pasar del polinomio a una serie.
Naturalmente, este pasaje requiere de una justificación rigurosa, que no haremos aquí. Se
llama serie de Mac Laurin a la expresión
f ( x ) = f ( 0) + f ' ( 0) ⋅ x +
f ' ( 0) 2 f ' ' ( 0) 3
f ( n ) ( 0) n
⋅x +
⋅ x +L+
⋅ x +L
2!
3!
n!
(3)
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Cuando podamos encontrar una expresión para el término general de la suma, escribiremos
f ( x) =
∞
f ( n ) ( 0) n
x
n!
n =0
∑
(3')
La expresión (3) requiere que la función f admita derivadas de todos los órdenes. En
particular, para la función e x , cuyas derivadas de todos los órdenes son todas iguales a e x , el
desarrollo en serie de Mac Laurin es
ex = 1 + x +
∞ xn
1 2 1 3
1
⋅ x + ⋅ x + L + ⋅ xn + L = ∑
2!
3!
n!
n = 0 n!
Ésta es una serie de potencias de x de la que ahora debemos encontrar el intervalo de
convergencia para saber en qué región es vale la igualdad entre la función y la serie. Para esto,
definimos a n = x n / n! y a n +1 = x n+1 /(n + 1)! y calculamos
x n +1 /(n + 1)!
a n+1
n!
n!
= lim
= lim
x = lim
x=
lim
n →∞ a n
n →∞
n→∞ ( n + 1)!
n→∞ ( n + 1).n!
x n / n!
1
x = 0. x = 0
n→∞ ( n + 1)
= lim
El valor del límite es <1 para cualquiera que sea el valor de x. Concluimos que esta serie
converge a la función e x para todo x real. En otras palabras, el intervalo de convergencia es
todo el eje real, desde -∞ hasta +∞.
♣ Ejemplo 4: Calcular los desarrollos de Mac Laurin de sin x y de cos x.
Comencemos por
f ( x) = sin x . Sus derivadas son f ' ( x) = cos x , f '' ( x) = − sin x ,
f ''' ( x) = − cos x , f IV ( x) = sin x = f ( x) , que se repiten cíclicamente cada cuatro. Por
lo tanto, existen las derivadas de todos los órdenes y podemos inferir la ley que siguen.
Las evaluamos en x=0 y obtenemos f (0) = 0 , f ' (0) = 1 , f '' (0) = 0 , f ''' (0) = 1 , etc.
Al reemplazar en la fórmula (3), resulta
sin x = x −
∞
x3 x5 x7
(−1) n x 2n +1
+
−
+L = ∑
3! 5! 7!
(2n + 1)!
n =0
donde sólo están presentes las potencias impares de x (el seno es una función impar de
x). En forma análoga se obtiene el desarrollo de cos x:
35
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Series de potencias.
cos x = 1 −
∞
x2 x4 x6
(−1) n x 2n
+
−
+L = ∑
2! 4! 6!
(2n)!
n=0
donde sólo están presentes las potencias pares de x (el coseno es una función par de x).
Se deja como ejercicio verificar que ambos desarrollos son válidos en todo el eje real.
Desarrollo de funciones en serie de potencias de x-a. Polinomio y serie de Taylor.
El polinomio de Taylor da una aproximación mediante un polinomio de grado n, a una
función f(x) en las cercanías de un punto a. El polinomio se construye, en forma análoga al
polinomio de Mac Laurin, pero exigiendo que el valor del polinomio y el de sus primeras n
derivadas coincidan con los correspondientes valores de la función y sus derivadas en el punto
a. El polinomio de Taylor se expresa:
Pn ( x) = f (a ) + f ' (a ) ⋅ ( x − a ) +
f ' ' (a)
f ' ' ' (a)
f (n) (a)
⋅ ( x − a)2 +
⋅ ( x − a )3 + L +
⋅ ( x − a)n
n!
3!
2!
Este es un polinomio en potencias de x-a. Se comprueba fácilmente que coincide con la
función en el punto a, esto es Pn (a) = f (a) y también Pn' (a ) = f ' (a ) , Pn'' (a ) = f '' (a ) , etc.
Para otros valores de x, el polinomio representa una aproximación a la función, que es mejor
cuanto más próximo a a se encuentre x. También podemos afirmar que, para un dado x la
aproximación mejora al tomar un mayor número de términos. Si, en particular a=0,
obtenemos nuevamente la expresión del polinomio de Mac Laurin.
Veamos una aplicación, calculando
5 mediante una aproximación de tercer orden. Para
esto, tomamos f ( x) = x y hacemos el desarrollo alrededor del punto a=4. Una razón de
esta elección es que este valor tiene raíz cuadrada entera, lo que permitirá evaluar fácilmente
la función y sus derivadas en dicho punto. Otra razón es que se trata de un valor
razonablemente cercano a 5, lo que hará posible que el error sea pequeño con la aproximación
elegida.
f ( x ) = x = x1 / 2
1
1
f ' ( x) = x 1 / 2 =
2
2 x
1 3/ 2
1
f ' ' ( x) =
x
=
3
4
4 x
3
3
f ' ' ' ( x) = x 5 / 2 =
5
8
8 x
;
;
;
;
f (a) = 4 = 2
1
1
=
f ' (a) =
2 4 4
1
1
=
f ' ' (a) =
3
32
4 4
3
3
=
f ' ' ' (a) =
5
8 32
8 4
Construimos la aproximación de tercer orden
f ( x) ≅ P3 ( x) = f ( a) + f ' ( a) ⋅ ( x − a ) +
f ' ' (a )
f ' ' ' (a )
⋅ ( x − a) 2 +
⋅ ( x − a) 3
2!
3!
36
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Series de potencias.
3 /(8 ⋅ 32)
1 / 32
1
x ≅ P3 ( x) = 2 + ⋅ ( x − 4) −
⋅ ( x − 4) 2 +
⋅ ( x − 4) 3
2!
3!
4
1
1
1
5 ≅ P3 (5) = 2 + ⋅ (5 − 4) − ⋅ (5 − 4) 2 +
⋅ (5 − 4) 3 = 2.236328125
4
64
512
Para decidir dónde interrumpimos la cola decimal, evaluamos el término siguiente, el de
cuarto orden
15
15
f IV ( x) = − x −7 / 2 = −
7
16
16 x
;
f IV (a )
15
5
5
=−
=−
=−
= −3 x10 −4
7
7
14
4!
16 ⋅ 2 ⋅ 8
2
16 4 ⋅ 24
Este término, del que sólo nos interesa su valor absoluto, afecta al resultado desde el cuarto
decimal en adelante, de modo que expresamos 5 = 2.2363 ± 0.0003 , o bien, mediante las
tres primeras cifras decimales, que son exactas, para lo cual redondeamos el resultado:
5 ≅ 2.236 . El valor de 5 que da la calculadora es 2.236067977. Comprobamos que
nuestra aproximación coincide con ésta hasta el tercer decimal.
Si ahora, en el polinomio de Taylor, hacemos n→∞, y suponemos que f admite infinitas
derivadas sucesivas, obtenemos una serie de potencias de ( x − a ) llamada serie de Taylor:
f ( x) = f (a ) + f ' (a ) ⋅ ( x − a ) +
f ' ' (a)
f ( n) (a)
⋅ ( x − a) 2 + L +
⋅ ( x − a) n + L =
2!
n!
f ( x) =
( 1)
∞
f ( n) (a )
∑ n! ⋅ ( x − a) n
n =0
También se la designa desarrollo en serie de Taylor alrededor de a, o en un entorno de a.
Comparando (3) con (4), vemos que la serie de Mac Laurin es un caso particular de la serie de
Taylor, cuando hacemos a=0. Por lo tanto, cuando se pida encontrar el desarrollo de una dada
función en potencias de x, entenderemos que se trata del desarrollo alrededor de 0, es decir,
del desarrollo de Mac Laurin.
Empleo de desarrollos de ciertas funciones para obtener los de otras
∞
1
= ∑ x n = 1 + x + x 2 + x3 + L para x < 1 . A partir de este desarrollo en
1 − x n=0
serie podemos, con muy poco esfuerzo, obtener, por ejemplo el de 1/(1+x) sin recurrir a la
serie de McLaurin. En efecto, si reescribimos la función como 1/[1-(-x)], su desarrollo en
serie surge del anterior con sólo sustituir x por –x en la expresión de la serie y en el intervalo
de convergencia
Vimos que
37
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Series de potencias.
∞
∞
1
1
=
= ∑ (− x) n = ∑ (−1) n x n = 1 − x + x 2 − x 3 + L para x < 1
1 + x 1 − (− x) n =0
n=0
Nótese que el intervalo de convergencia no ha variado pues − x = x . Mediante un
razonamiento análogo, sustituyendo x por x2 en la serie de referencia, podemos obtener el
desarrollo de
1
1− x
2
=
∞
∑ ( x 2 )n =
n=0
∞
∑ x 2n
n =0
= 1 + x 2 + x 4 + x 6 + L para x < 1
donde hemos tenido en cuenta para el intervalo de convergencia, que x 2 < 1⇒ x < 1 .
♣Ejemplo 5: Calcular el desarrollo de Mac Laurin de
x
.
2x + 3
x
1
. El segundo factor es la función a
⋅
3 (2 x / 3 + 1)
la cual converge la serie geométrica de razón -2x/3 y lo hace si − 2 x / 3 < 1 , es decir,
Escribamos esta función en la forma
en el intervalo x < 3 / 2 . Luego,
∞ ( −1) n 2 n x n +1
x
x
x ∞ (−1) n 2 n x n
1
=
= ∑
= ⋅
= ∑
2 x + 3 3 1 − (−2 x / 3) 3 n = 0
3n
3n +1
n=0
=
x 2 x 2 4 x3 8x 4
−
+
−
+ L para x < 3 / 2
3
9
27
81
Del mismo modo, partiendo del desarrollo de e x =
válido ∀x , obtenemos, por ejemplo,
e −x =
∞
xn
x2 x3
xn
1
x
=
+
+
+
+
L
+
+ L,
∑ n!
2
!
3
!
n
!
n =0
∞
∞
(− x) n
(−1) n x n
(−1) n x n
x2 x3
x
1
=
=
−
+
−
+
L
+
+L
∑ n! ∑ n!
2
!
3
!
n
!
n =0
n =0
En particular, resultan interesantes los desarrollos de las exponenciales complejas, si
aceptamos como válidas las mismas reglas que para las de exponente real.
∞ n n
(ix ) n
i x
i 2 x 2 i3 x3 i 4 x 4
x 2 ix 3 x 4
=
=
1
+
+
+
+
+
..
=
1
+
−
−
+
+ ..
ix
ix
∑ n! ∑ n!
2
!
3
!
4
!
2
!
3
!
4
!
n=0
n =0
2
⎞
⎛ x
⎞ ⎛
x4
x3 x5
e ix = ⎜1 −
+
− L⎟
+
− L⎟ + i ⎜ x −
⎟
⎜
⎟ ⎜
2!
4!
3! 5!
⎠
⎝
⎠ ⎝
e ix =
∞
38
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e − ix =
Series de potencias.
∞
∞
i 2 x 2 i3 x3 i 4 x 4
(−ix ) n
(−1) n i n x n
=
=
−
+
−
+
−L =
ix
1
∑ n! ∑ n!
2
!
3
!
4
!
n =0
n=0
1 − ix −
x 2 ix 3 x 4
+
+
−L
2! 3!
4!
⎛ x2 x4
⎞ ⎛
⎞
x3 x5
+
− L⎟ − i⎜ x −
+
− L⎟
e −ix = ⎜1 −
⎜
⎟ ⎜
⎟
2!
4!
3! 5!
⎝
⎠ ⎝
⎠
Recordemos los desarrollos de las funciones cos x y sin x. Vemos que coinciden
respectivamente con las partes real e imaginaria de estos dos desarrollos, de modo que
e ix = cos x + i sen x
;
e −ix = cos x − i sen x
o bien
2
e ix + e −ix
x4
= 1− x +
− L = cos x
2!
4!
2
;
3 x5
e ix − e −ix
= x− x +
− L = sen x
3! 5!
2i
Nuevamente, la notación exponencial de los complejos resulta consistente con las propiedades
de las funciones trigonométricas seno y coseno.
Hemos dicho que la función definida mediante una serie de potencias es derivable y que la
expresión en serie de la función derivada se obtiene derivando término a término la serie
primitiva. Ambas series convergen en el interior del mismo intervalo. Como ejemplo,
partamos de la serie 1 + x + x 2 + x 3 + L , que sabemos que converge a 1/(1-x) en el intervalo
(-1,1). Por un lado, la derivada de esta función es
d ⎛ 1 ⎞
1
⎜
⎟=
dx ⎝ 1 − x ⎠ (1 − x) 2
Por otro lado, la derivada del desarrollo es
∞
d
(1 + x + x 2 + x 3 + L) = 1 + 2 x + 3x 2 + 4 x 3 + L = ∑ (n + 1) x n
dx
n =0
Igualando, obtenemos
1
∞
= ∑ (n + 1) x n , válido en el intervalo (-1,1)
2
(1 − x)
n =0
Se puede proceder en forma análoga respecto a la integración de una función y de su serie de
potencias asociada. Consideremos la función ln (1-x). Su derivada es –1/(1-x). Por lo tanto,
39
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x
x
⎡ t2 t3 t4
⎤
1
+ L⎥ =
ln(1 − x) = − ∫
dt = − ∫ (1 + t + t 2 + t 3 + L)dt = − ⎢t + + +
1− t
2
3
4
⎢⎣
⎥⎦ 0
0
0
x
∞ n
⎛
⎞
x 2 x3 x 4
x
⎜
⎟
− x+
+
+
+L = −∑
⎜
⎟
2
3
4
n =1 n
⎝
⎠
Obtenemos así el desarrollo de la función ln (1-x) partiendo del de 1/(1-x). El intervalo de
convergencia de ambas series es el mismo.
∞ xn
ln(1 − x) = − ∑
n =1 n
, válido en el intervalo (-1,1)
Resolución aproximada de ecuaciones trascendentes
Aquellas ecuaciones en las que la incógnita aparece como argumento de alguna función
trascendente (función trigonométrica, exponencial, logaritmo, etc.) no pueden en general ser
resueltas en forma exacta. Existen diversos recursos para obtener soluciones aproximadas
(métodos gráficos, computacionales, etc.). Veremos ahora uno que apela a las aproximaciones
polinómicas de funciones. Sea, por ejemplo, la ecuación
5 − 6 x + ln x = 0 .
Escrita en la forma ln x = −5 + 6 x , indica la intersección entre la curva representativa de ln x
con la recta –5+6x. Si representamos ambas funciones, vemos que la intersección se produce
razonablemente cerca de 1, que es un valor para el cual resulta sencillo calcular la función
logaritmo y sus derivadas.
Esto sugiere que hagamos un desarrollo de Taylor
ln x en un entorno de 1. (Se deja como ejercicio
2
verificar que dicho desarrollo es válido en el
intervalo de radio 1 y centro 1, es decir, en (0,2)).
Para que el cálculo posterior resulte simple,
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
truncamos la serie en el término de segundo
grado:
-2
( x − 1) 2
x
x
≅
−
−
ln
(
1
)
-4
2
y consideramos, en lugar de la ecuación
( x − 1)2
planteada, esta otra: − 5 + 6 x ≅ ( x − 1) −
, de la que, ordenando y agrupando, resulta
2
4 ± 16 − 4 ⋅ (−1 / 2) ⋅ (7 / 2) 4 ± 16 + 7
0.7958
x2
7
=
=
−
− 4 x + = 0 . Luego, x =
− 8.7958
−1
2 ⋅ (−1 / 2)
2
2
4
Estos dos valores corresponden a los dos puntos de intersección entre la función de segundo
grado y la recta. Pero la parábola es una buena aproximación a la función logaritmo sólo en
un entorno de 1. Por lo tanto, el valor -8.7958 resulta completamente ajeno al problema
planteado de la intersección entre el logaritmo y la recta. En cambio, el valor 0.7958, si bien
40
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representa una intersección entre la parábola y la recta, da un valor aproximado de la
coordenada x del punto de intersección entre el logaritmo y la recta.
La elección del orden 2, y no otro mayor, para la aproximación está determinada por la
imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas de más alto grado sin el auxilio de una
computadora.
41
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Series de Fourier.
Series de Fourier de funciones periódicas de
variable continua
Funciones periódicas
Una función f (t ) se dice periódica si cumple que f(t)=f(t+T) para todo t. La constante T se
llama período de la función. En forma iterativa se obtiene f(t)=f(t+kT) con k=0, ±1, ±2, ...
T
f(t)
t
a
a+T
Las funciones trigonométricas seno, coseno y sus inversas, las funciones cosecante y secante
tienen período 2π. En cambio, la tangente y la cotangente tienen período π. En el caso de la
función coseno, la periodicidad se expresa en la forma cos t = cos(t + 2π) o, en forma más
general, cos t = cos(t + 2kπ) donde k es cualquier número entero.
Determinar el período de la función f (t ) es hallar el mínimo valor de T tal que f(t)=f(t+T).
Consideremos como ejemplo la función f (t ) = cos(t / 3) . Para encontrar su período, pedimos
t
t +T
t
t T
que cos( ) = cos(
) . Escrita la igualdad en la forma cos( ) = cos( + ) , se pone en
3
3
3
3 3
1
evidencia que ella se cumple si T / 3 = 2π . Por lo
tanto, el período de f (t ) = cos(t / 3) es 6π. En las
0.5
gráficas de las funciones cos t (línea llena) y
cos(t/3) (línea de trazos), vemos que, mientras
cos t recorre tres ciclos, cos(t/3) recorre sólo
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
uno. (En el eje horizontal, la variable t toma los
-0.5
valores comprendidos entre -3π y +3π).
-1
En general, razonando de igual modo con una función de la forma cos(ωt ) , diremos que
cos(ωt ) = cos[ω(t + T )] = cos(ωt + ωT ) , de donde inferimos que su período T es tal que
ωT = 2 π
Al parámetro ω lo denominamos frecuencia. En el ejemplo, para la función cos t es ω=1 y
T = 2π , en tanto que para cos(t/3) es ω=1/3 y T = 6π .
42
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Series de Fourier.
Comparemos las gráficas de las funciones sen t y
sen(3t). (En el eje horizontal, la variable t toma los
valores comprendidos entre -π y +π). Vemos que,
mientras la función sen t (línea llena) recorre un
ciclo, es decir, un intervalo de T = 2π , la función
sen(3t) (línea de trazos) recorre tres ciclos, es decir,
su frecuencia es ω=3 y su período es T=2π/3.
1
0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
-1
1.5
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
Representemos la función cos t + sen(3t). (El
gráfico está trazado para t entre -2π y +2π). Vemos
que se obtiene una nueva función también
periódica. El primer término tiene período 2π y el
segundo, 2π/3. El período de la función suma es
2π, que es el menor múltiplo común de 2π y 2π/3.
-1.5
2
Si ahora representamos la función cos t + cos(t/3),
vemos que la nueva función tiene período 6π, que
es el menor múltiplo común entre 2π (período de
cos t) y 6π (período de cos t/3). Esta gráfica está
trazada para t entre -6π y +6π, de modo que se
representan dos ciclos completos de la función
suma.
1
-15
-10
-5
5
10
15
-1
-2
2
1
-10
-5
5
-1
10
Algo diferente sucede con la función
sin(2t ) − cos(πt ) . Cada término tomado por
separado es una función periódica, el primero de
período π y el segundo de período 2. Dado que no
es posible encontrar un múltiplo común de π y 2,
la función dada resulta no periódica.
-2
2
Veamos qué efecto tiene una constante
multiplicativa. Como ejemplos, comparemos las
gráficas de 2cost (línea punteada), cos t (línea
llena) y ½ cos t (línea de trazos).
1
-6
En general, en una función de la forma A cos t ó
A sin t , la constante multiplicativa A representa la
amplitud de la onda.
Consideremos ahora la familia de funciones
-4
-2
2
4
6
-1
-2
f1 (t ) = cos(ω o t ) ,
f 2 (t ) = cos(2ω o t ) ,
f 3 (t ) = cos(3ω o t ) , etc., que en general indicamos f k (t ) = cos(kω o t ) , con k∈Ν. En la
primera, de frecuencia ω0, el período es T1 = 2π / ω 0 . En la segunda, la frecuencia es 2ω0 y el
43
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Series de Fourier.
2π
2π
. En general, para la de frecuencia kω0 el período es Tk =
.
2ω 0
kω 0
Diremos que ω0 representa la frecuencia fundamental y sus múltiplos naturales, kω0, son sus
armónicas. La primera armónica, que corresponde a k=1, coincide con la frecuencia
fundamental. La segunda, tercera, etc. armónicas, corresponden a k=2,3,…
período es T2 =
Diremos también que las funciones de la familia fk están armónicamente relacionadas.
Tienen la particularidad de que cualquier combinación lineal entre ellas dará por resultado una
función de período T = 2π / ω 0 , que es el
menor múltiplo común de los períodos de las
2
componentes. Para ilustrar esta idea citamos
algunos de los ejemplos dados más arriba: cos t
1
+ sen(3t), cos t + cos(t/3), y el que mostramos
en esta figura, que corresponde a la función
-6
-4
-2
2
4
6
1
2
f (t ) = 2 sen t − cos 2t + sen 4t .
-1
2
5
-2
Resulta natural preguntarse a esta altura si,
dada una función periódica cualquiera, será posible encontrar una combinación lineal
apropiada de senos y cosenos que la represente. La respuesta a esta pregunta es afirmativa, al
menos para funciones periódicas que representan sistemas reales. J.B.Fourier fue un físico y
matemático francés que a principios del siglo XIX formuló el concepto general de que
cualquier función periódica se puede representar mediante series de senoides relacionadas
armónicamente y fue el primero en emplear tales series para resolver un problema de
difusión del calor. En su honor, se las conoce como series de Fourier, si bien la
fundamentación rigurosa de estas ideas fue realizada posteriormente por Dirichlet. Para
encontrar la representación de una función periódica dada mediante una serie de funciones
trigonométricas relacionadas armónicamente se debe determinar cuáles son las armónicas que
intervienen en la serie y cuál es el “peso”, es decir, la amplitud de cada componente.
Antes de presentar la expresión de esta serie, enunciaremos sin demostración algunas
propiedades de las funciones periódicas frente a la integración.
• La integral definida de una función de período T, en la que el intervalo de integración
tiene una longitud de un período, toma siempre el mismo valor, independientemente del punto
en que empieza a contarse el intervalo.
T
a +T
T /2
0
a
−T / 2
∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt = ∫
f (t )dt =
a +T / 2
∫ f (t )dt
a −T / 2
• La integral definida de una función de período T a lo largo de un intervalo cualquiera
(a,b), no cambia su valor si se desplaza el intervalo en una distancia que sea un múltiplo
entero cualquiera de un período.
b
b +T
b + nT
a
a +T
a + nT
∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt =
∫ f (t )dt
44
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Series de Fourier.
Serie de Fourier
Vamos a aceptar sin demostración que cualquier función de variable continua f(t) de período
T puede representarse mediante una serie trigonométrica de la forma:
ao
+ a1 cos ωot + a2 cos 2 ωot + a3 cos 3 ωot + L + b1 sin ωot + b2 sin 2 ωot + L
2
∞
a
f (t ) = o + ∑ [ak cos(kωot ) + bk sen(kωot )]
(1)
2 k =1
f (t ) =
donde ω o = 2π / T . En este desarrollo, conocido como serie de Fourier, aparecen infinitas
armónicas de la frecuencia fundamental ω0. Se puede demostrar, aunque no lo haremos aquí,
que esta serie es convergente para cada valor de t donde la función f(t) sea continua. Más
adelante se discutirá el comportamiento de la serie de Fourier en los puntos de discontinuidad
de la función.
Dada una función periódica particular, para hallar su desarrollo trigonométrico habrá que
encontrar los valores de sus coeficientes a0, a1, a2, ..., b1, b2, ..., que representan la amplitud de
cada armónica. Para esto calculemos, para empezar, la integral de la función de período T a lo
largo de un período.
T
∫
0
T
T
0
0
T
T
T
a
f (t )dt = ∫ 0 dt + ∫ a1 cos ω 0 t dt + ∫ a 2 cos 2ω 0 t dt + ⋅ ⋅ + ∫ b1 sin ω 0 t dt + ∫ b2 sin 2ω 0 t dt + ⋅ ⋅
2
sen ω 0t
a
= 0 ⋅ T + a1
2
ω0
0
T
0
0
sen 2ω 0t
+ a2
2ω 0
T
0
cosω 0t
+ L − b1
ω0
0
T
0
cos 2ω 0t
− b2
2ω 0
T
−L =
0
T
⎧sen ω 0T = sen 2ω 0T = L = 0
a
pero ω 0T = 2π ⇒ ⎨
⇒ ∫ f (t )dt = 0 ⋅ T
2
⎩cosω 0T = cos 2ω 0T = L = cos 0 = 1
0
a0
2
=
1
T
T
0
∫
f (t )dt
(2)
De este modo vemos cómo evaluar el término independiente del desarrollo trigonométrico de
Fourier. Recordemos que el teorema del valor medio afirma que la integral definida de una
función continua dividida por la extensión del intervalo de integración, da el valor medio de la
función en dicho intervalo. Vemos entonces que
a0/2 representa el valor medio de la función en un período.
Calculemos ahora
45
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T
∫
0
Series de Fourier.
T
T
T
0
0
T
0
T
0
0
a
f (t ) cos ω 0 t dt = ∫ 0 cos ω 0 t dt + ∫ a1 cos 2 ω 0 t dt + ∫ a 2 cos 2ω 0 t cos ω 0 t dt + ⋅ ⋅
2
+ L + ∫ b1 sin ω 0 t cos ω 0 tdt + ∫ b2 sin 2ω 0 t cos ω 0 tdt + L
Se puede comprobar que, en el segundo miembro, se anulan todas las integrales definidas
excepto la segunda, que da por resultado a1T / 2 . Resulta así que
2T
a1 = ∫ f (t ) cos ω0t dt
T0
Mediante procedimientos similares se encuentra que los demás coeficientes están dados por
ak =
2
T
T
∫
f (t ) cos(kω 0 t ) dt
;
bk =
0
2
T
T
∫ f (t ) sin(kω 0 t ) dt
para k=1, 2, 3, ...
0
(3)
Veamos en el siguiente caso cómo utilizamos estas expresiones para obtener el desarrollo en
⎧− 1 para − π < t < 0
serie trigonométrica de una función periódica dada. Sea f (t ) = ⎨
con
0<t <π
⎩1 para
f (t + 2π) = f (t )
1
-2π
π
-π
2π
t
-1
Destaquemos que la función está definida ∀t ∈ Ρ pues, si bien la primera parte de la
definición se refiere al intervalo (-π,π), la segunda parte, f (t + 2π) = f (t ) , indica que
incrementar la variable independiente en 2π deja al valor de la función inalterado. En
términos más precisos, indica que la función tiene período T=2π. Por lo tanto,
ω 0 = 2π / T = 1 . Calculemos los coeficientes de la serie:
a0
1
=
2
2π
π
∫
−π
f (t )dt =
0
π
⎤ 1
1 ⎡
⎡− t 0 + t π ⎤ = 1 [− (0 + π ) + (π − 0)]
⎢ ∫ − 1dt + ∫ 1dt ⎥ =
0 ⎥⎦ 2π
2π ⎢
⎥⎦ 2π ⎢⎣ −π
0
⎣−π
a
⇒ 0 =0
2
Podríamos haber obtenido este resultado sin resolver la integral, recordando que a0/2
46
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representa el valor medio de la función en un período. El gráfico revela que dicho valor medio
es nulo. Para calcular los restantes coeficientes:
0
π
π
⎤ 1 ⎡ sin kt 0
1⎡
sin kt ⎤
⎥
⎢
⎢
⎥
=
−
+
f
(
t
)
cos(
kt
)
dt
cos(
kt
)
dt
cos(
kt
)
dt
=
−
+
∫
∫
π⎢∫
π⎢
k −π
k 0⎥
⎥
⎣
⎦
−π
0
⎦
⎣−π
⇒ ak = 0 , k = 1,2,...
π
2
ak =
2π
2
bk =
2π
0
π
π
⎤ 1 ⎡ cos kt 0
cos kt ⎤
1⎡
⎥
⎢
⎢
∫ f (t ) sin(kt )dt = π ⎢ ∫ − sin(kt )dt + ∫ sin(kt )dt ⎥ = π ⎢+ k −π − k 0 ⎥⎥
⎦
⎣
0
−π
⎦
⎣−π
π
Calculemos cos(kπ). Para esto veamos que, para k=0 es cos0=1, para k=1 es cosπ=-1, para
k=2 es cos2π=1, para k=3 es cos3π=-1, etc. Generalizando, como para k par es cos(kπ)=1 y
para k impar es cos(kπ)=-1, escribimos cos(kπ) = (−1) k . Dado que la función coseno es par,
es cos(-kπ)= cos(kπ). Luego,
[
]
[
]
1 ⎡1 − (−1) k (−1) k − 1⎤
1
1
bk = ⎢
1 − (−1) k − (−1) k + 1 =
2 − 2(−1) k =
−
⎥=
π ⎣⎢
k
k
kπ
⎦⎥ kπ
2
⇒ bk =
1 − (−1) k
kπ
[
]
Cuando k toma un valor par, es (−1) k = 1 y entonces bk = 0 , pero cuando k es impar, es
4
. Expresamos estos coeficientes en la forma
(−1) k = −1 y entonces bk =
kπ
⎧0
⎪
bk = ⎨ 4
⎪⎩ kπ
,
si k par
,
si k impar
Reemplazando en (1) los coeficientes hallados, podemos escribir la serie trigonométrica para
la función dada:
f (t ) =
1
1
4
4
4
4
sin 5t + L = (sin t + sin 3t + sin 5t + L) =
sin 3t +
sin t +
5
3
π
5π
3π
π
4 ∞ sin[(2k − 1)t ]
= ∑
π n =1 2k − 1
Analicemos esta suma término a término, graficando los primeros de ellos y viendo cuál es la
tendencia. El primero es una oscilación de período 2π y amplitud 4/π. En el segundo, el
período es 2π/3, o sea, la frecuencia es 3 veces la anterior, y su amplitud es la tercera parte de
la primera. La tercera tiene la frecuencia multiplicada por 5 y la amplitud dividida por 5
respecto de la primera.
47
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-6
-4
Series de Fourier.
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
-2
2
4
6
-6
-4
-2
-0.5
2
4
6
-6
-0.5
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
-1
-1
-1.5
-1.5
-1.5
La suma de estos primeros tres términos da la curva que se muestra en la figura, donde
comienza a insinuarse el parecido con la sucesión de escalones que representan a f(t).
1.5
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
-1.5
La gráfica siguiente representa una suma finita de Fourier en la que se incluyeron los 10
primeros términos y donde el parecido con los escalones es aún mayor, particularmente en los
tramos donde f es constante.
1.5
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
-1.5
Funciones pares e impares
Una función f:R →R (no necesariamente periódica) se dice
™ par si satisface que f(t)=f(-t)
™ impar si satisface que f(t)=-f(-t)
Como ejemplos, digamos que funciones como cos t, t2, 3t4-7t2-4, y, en general los polinomios
que sólo contienen términos con exponentes pares, son funciones pares. Sus gráficas son
simétricas respecto del eje vertical, como si colocáramos allí un espejo.
Ejemplos de funciones impares son sen t y los polinomios que sólo contienen grados impares.
Las gráficas de las funciones impares son curvas simétricas respecto del origen de
coordenadas; los valores que toma la función para los valores positivos de t, cambian de signo
pero no de valor absoluto al cambiar t por -t.
48
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Series de Fourier.
Existen, naturalmente, funciones que no son pares ni impares, es decir, que no tienen paridad
definida. Un ejemplo es la función exponencial et.
Cualquier función f(t) puede expresarse como suma de una función par y otra impar. Esto es
f (t ) = f p (t ) + f i (t ) con f p (t ) = [ f (t ) + f (−t )]/ 2 y fi (t ) = [ f (t ) − f (−t )]/ 2 .
Para la función exponencial, su componente par es f p (t ) = (et + e −t ) / 2 = cosh t , llamada
coseno hiperbólico, y su componente impar es fi (t ) = (et − e −t ) / 2 = sinh t , llamada seno
hiperbólico. Sus gráficas son:
cosh t
sinh t
4
3
3.5
3
2
2.5
1
2
-2
1.5
-1
1
2
-1
1
-2
0.5
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Resulta evidente que, si f(t) es par, su componente impar es nula y si es impar, es nula su
componente par.
Damos a continuación algunas características de las funciones pares e impares que surgen de
la definición. Las aceptaremos como geométricamente evidentes, si bien pueden ser
rigurosamente demostradas.
¾
¾
¾
¾
¾
Si f(t) es par y continua en t=0, entonces tiene un máximo o un mínimo relativo en t=0.
Si f(t) es impar y continua en t=0, entonces f(0)=0.
El producto de dos funciones pares es otra función par.
El producto de dos funciones impares es otra función par.
El producto de una función par por una función impar es otra función impar.
a
¾ Si f(t) es par, para cualquier a>0 se cumple que
∫
−a
a
f (t )dt = 2∫ f (t )dt .
0
a
¾ Si f(t) es impar, para cualquier a>0 se cumple que
∫ f (t )dt = 0 .
−a
Estas propiedades nos resultarán de gran utilidad a la hora de evaluar los coeficientes de la
serie de Fourier de una función particular, cuando ésta tiene paridad definida.
Coeficientes de Fourier de funciones pares e impares
Las expresiones de los coeficientes de la serie de Fourier fueron dadas mediante integrales en
el intervalo [0,T]. Pero, como ya dijimos, dichas integrales también pueden evaluarse en el
49
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Series de Fourier.
intervalo [-T/2,T/2] o en cualquier otro intervalo de longitud T.
Consideremos una función par f(t) y analicemos sus coeficientes bk con k=1,2,... En la integral
2
bk =
T
T /2
∫ f (t ) sin(kω0t ) dt , el integrando resulta impar por ser el producto de la función par
−T / 2
f(t) por la función impar sin(kω0t). Por lo tanto, la integral entre –T/2 y T/2 (intervalo
simétrico respecto del origen) se anula. Luego,
Si f(t) es par, entonces bk = 0 para k=1,2,3,....
Consideremos ahora una función impar y analicemos los coeficientes ak con k=0,1,2,... En la
a
1 T /2
integral 0 =
∫ f (t )dt el integrando es impar y el intervalo es simétrico, por lo tanto, la
2 T −T / 2
integral es nula. En ak =
2
T
T /2
∫ f (t ) cos(kω0t ) dt
para k=1,2,... , el integrando es impar por ser
−T / 2
el producto de la función impar f(t) por la función par cos(kω0t). Luego la integral se anula.
Tenemos entonces que
Si f(t) es impar, entonces ak = 0 para k=0,1,2,....
Nótese que en esta última regla está incluido el término independiente.
La utilidad de estos resultados generales reside en que nos permiten hacer una importante
economía de cálculos. Cuando se nos presente una función periódica a desarrollar en serie de
Fourier, nos convendrá representarla gráficamente para identificar fácilmente su paridad. Si la
función es par, sabemos de antemano que son nulos todos los coeficientes de los senos (bk=0,
k=1,2,...). El desarrollo contendrá sólo términos con cosenos y posiblemente un término
independiente. Por el contrario, si la función es impar, sabemos para empezar que el término
independiente es nulo y también lo son todos los coeficientes de los cosenos (ak=0, k=1,2,...).
El desarrollo contendrá sólo términos con senos.
Frecuentemente la simetría de una función periódica no es evidente debido a la presencia de
un término constante. El siguiente ejemplo servirá para ilustrar esta idea.
♣ Ejemplo 1: Desarrollar f(t)=1-t/2 si
0<t<2, con f(t+2)= f(t) en serie
trigonométrica.
Esta función no tiene paridad definida, de
modo que, en principio podríamos
suponer que su desarrollo contiene tanto
términos con seno como con coseno, así
como un término independiente. Sin
embargo,
con
sólo
desplazar
f
1
f(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
3
4
50
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verticalmente hacia abajo en 1/2, obtenemos otra función, g(t)=f(t)-1/2, cuya gráfica es
una función periódica impar. El desarrollo de g contendrá, por lo tanto, sólo términos
con seno. Expresamos esta última función como
g (t ) = 1 / 2 − t / 2 si 0 < t < 2, con g (t + 2) = g (t ) .
Ambas funciones tienen período 2, de modo
que la frecuencia fundamental es ω 0 = π .
Para encontrar el desarrollo de f, resulta
más fácil encontrar primero el desarrollo de
g, pues sólo hay que evaluar los
coeficientes bn, y luego hacer uso de la
relación entre ambas funciones. Así:
0.4
g(t)
0.2
-2
-1
1
2
3
4
-0.2
-0.4
bk =
T
2
0
0
2
2
1 t
g (t ) sin(kω 0t )dt = ∫ ( − ) sin( kπ t ) dt =
∫
2 2
T
2
− cos kπ t
1
1 t − cos kπ t
⋅ (− )dt =
) −∫
bk = ( − )(
2
2 2
kπ
kπ
0
0
2
1 − cos(2kπ ) 1 − cos 0
1 sin kπ t
1
1
1
bk = − (
)− (
)−
=
+
=
2
kπ
2 kπ
2kπ kπ 0 2kπ 2kπ kπ
g (t ) =
∞
1
1
1
1
∑ kπ sin(kπ t ) = π (sinπ t + 2 sin 2π t + 3 sin 3π t + L)
k =1
f (t ) = g (t ) + 1 / 2
f (t ) =
1 ∞ 1
1 1
1
1
+ ∑
sin(kπt ) = + (sin πt + sin 2 πt + sin 3πt + L)
2 k =1 kπ
2 π
2
3
Resulta claro que este último desarrollo no es el de una función impar pues, si lo fuera,
sólo debería contener términos con seno. Sin embargo, el único término que escapa a
esta regla es la constante 1/2 y esto se corresponde de manera evidente con la
representación gráfica de la función f(t), que al ser desplazada verticalmente hacia
abajo en una distancia de 1/2, se convierte en una función impar. Esta característica se
describe como simetría escondida.
Naturalmente, si hubiéramos buscado los coeficientes de Fourier de f(t) sin reconocer
la simetría escondida, habríamos encontrado a0 / 2 = 1 / 2 , ak = 0 y bk = 1 /(kπ) para
k = 1,2,3,L , pero con un esfuerzo mayor.
⎧− 1 para − π / 2 < t < π / 2
con h(t + 2π) = h(t ) .
♣ Ejemplo 2: Desarrollar h(t ) = ⎨
π / 2 < t < 3π / 2
⎩1 para
Observando su gráfica resulta evidente que esta función es par, de modo que sus
coeficientes bk deben ser todos nulos. También debe anularse el término independiente
51
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a0/2, ya que el valor medio de la función en un período es cero. El cálculo se reduce,
entonces, a encontrar los coeficientes ak.
h(t)
1
-π
-π/2
π/2
π
3π/2
t
También podemos encontrar el desarrollo de h(t) partiendo del de la función
⎧− 1 para − π < t < 0
f (t ) = ⎨
0<t <π
⎩1 para
con
f (t + 2π) = f (t ) , que ya encontramos antes.
Previamente debemos determinar la relación entre ambas funciones. Vemos
gráficamente que h resulta de desplazar f horizontalmente hacia la derecha en π/2. Por
lo tanto, h(t ) = f (t − π / 2) . Dado que
4
1
1
4 ∞ sin( 2k − 1)t
(sin t + sin 3t + sin 5t + L) = ∑
, reemplazando t por t-π/2:
π
3
5
π k =1 2k − 1
π
4 ∞ sin[(2k − 1)(t − π / 2)]
f (t − ) = ∑
2
π k =1
2k − 1
f (t ) =
Usando la fórmula del seno de una diferencia de dos ángulos:
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β , tenemos
sin[(2k − 1)(t − π / 2)] = sin[(2k − 1)t − (2k − 1) π / 2] =
= sin[(2k − 1)t ] ⋅ cos[(2k − 1) π / 2] − cos[(2k − 1)t ] ⋅ sin[(2k − 1) π / 2]
Pero el coseno de los múltiplos impares de π/2 se anula: cos[(2k − 1)π / 2] = 0 y el seno
de esos ángulos vale 1 ó –1, dependiendo de que el valor de k sea par o impar. Se
comprueba fácilmente que sin[(2k − 1)π / 2] = (−1) k −1 . Luego,
sin[(2k − 1)(t − π / 2)] = − cos[(2k − 1)t ] ⋅ (−1) k −1 = cos[(2k − 1)t ] ⋅ (−1) k
Tenemos así que
h(t ) =
4 ∞ (−1) k cos[(2k − 1)t ] 4
cos 3t cos 5t
= (− cos t +
−
+ L)
∑
π k =1
2k − 1
π
3
5
Forma compleja de la serie de Fourier
Recordemos la relación de Euler entre la exponencial compleja y las funciones
trigonométricas
52
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Series de Fourier.
eiθ = cos θ + i sin θ
y su conjugada
e −iθ = cos θ - i sin θ .
Sumándolas obtenemos cosθ =
e iθ + e − iθ
e iθ − e − iθ
y restándolas, sin θ =
2i
2
Vamos a emplear estas expresiones para pasar de la forma trigonométrica de la serie de
Fourier a su forma compleja. En la expresión
∞
a
f (t ) = o + ∑ [ak cos(kωot ) + bk sin(kωot )] , con ω0=2π/T, reemplazamos
2 k =1
cos kωot =
eikωot + e −ikωot
2
y sin kωot =
eikωot − e −ikωot
:
2i
∞
a
eikωot + e −ikωot
eikωot − e −ikωot
+ bk
f (t ) = o + ∑ [ak
]
2 k =1
2
2i
y agrupamos los términos según su factor exponencial:
∞
a
a
b
a
b
f (t ) = o + ∑ [( k + k )eikωot + ( k − k )e −ikωot ]
2 k =1 2 2i
2 2i
Pero
bk bk ⋅ i
b ⋅i
=
= − k . Luego,
2i 2i ⋅ i
2
∞
a
a − ibk ikωot
a + ibk −ikωot
+( k
f (t ) = o + ∑ [( k
)e
)e
]
2 k =1
2
2
∞
∞
a
a − ibk ikω ot
a + ibk −ikω ot
f (t ) = o + ∑ [( k
)e
] + ∑ [( k
)e
]
2 k =1
2
2
k =1
(4)
Ahora, en las expresiones que definen a los coeficientes ak y bk, permitamos que k tome
2
valores negativos. Si en ak =
T
a− k =
2
T
T
∫ f (t ) cos(kωot ) dt ,
reemplazamos k por -k, obtenemos
0
T
∫ f (t ) cos(−kωot ) dt .
Por ser el coseno una función par, es cos(-kω0t)=cos(kω0t).
0
2
Entonces, a− k =
T
T
∫ f (t ) cos(kωot ) dt . Por lo tanto,
0
ak = a− k
(5)
53
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Series de Fourier.
En forma análoga, partiendo de bk =
b− k =
2
T
2
T
T
∫ f (t ) sin(kωot ) dt , tenemos
0
T
∫ f (t ) sin(−kωot ) dt .
Por ser el seno una función impar, es sin(-kω0t)=-sin(kω0t).
0
T
Entonces, b− k = −
2
f (t ) sin( kωot ) dt . Por lo tanto,
T∫
0
bk = −b− k
(6)
Sustituyamos estas igualdades en la segunda sumatoria de (4),
∞
ak + ibk −ikω0t ∞ a− k − ib− k i ( − k )ω0t −∞ ak − ibk ikω0t
=∑(
=∑ (
(
)e
)e
∑ 2 )e
2
2
k =1
k =1
k = −1
donde, en la última sumatoria hemos cambiado k por –k y a la vez extendido la suma a valores
negativos de k. Ahora esta sumatoria tiene la misma forma que la primera, salvo el rango de
valores enteros (aquí negativos) que recorre el índice k. Al reemplazar en (4) tenemos
−∞
ao ∞ ak − ibk ikω ot
a − ibk ikω ot
+ ∑ [(
f (t ) =
)e
] + ∑ [( k
)e
]
2 k =1
2
2
k = −1
(7)
La exponencial compleja es la misma en ambas sumatorias: eikω0t , y aparece multiplicada
por el mismo coeficiente complejo: (ak − ibk ) / 2 . Podríamos reunirlas en una sola sumatoria,
pero para k = ±1,±2,±3,L . Veamos si podemos incluir en ella también el término
independiente. Para esto, analicemos qué ocurre cuando k=0. Si en la expresión (3) para ak
reemplazamos k=0, obtenemos la de a0 (2) y, si hacemos lo mismo en la expresión para bk,
a − ibo
obtenemos b0=0. Entonces, el término independiente de (7), puede escribirse como o
,
2
a − ibo i 0ωot
pues restamos el término nulo ib0. Pero también puede ponerse en la forma ( o
)e
,
2
pues multiplicamos por el factor ei 0ω 0 t = 1 . Ahora este término tiene la misma forma que los
demás. Al reconstruir la expresión (7), obtenemos:
∞
−∞
a − ib o i 0 ω o t
a − ib k ik ω o t
a − ib k ik ω o t
+ ∑( k
+ ∑ ( k
f (t ) = ( o
)e
)e
)e
,
2
2
2
k =1
k = −1
Ya podemos reunir a todos los términos en una única suma, permitiendo que el índice k
adopte todos los valores enteros desde -∞ hasta +∞, pasando inclusive por 0.
f (t ) =
∞
a − ibk ikω0t
( k
)e
2
k = −∞
∑
54
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Series de Fourier.
Si definimos
a − ibk
ck = k
2
(8)
la serie se escribe en la forma simple
∞
∑ cneikω0t
f (t ) =
k = −∞
Esta última expresión se conoce como serie compleja de Fourier.
Al igual que en la serie trigonométrica, es necesario determinar los coeficientes ck para cada
función particular f(t). Para esto reemplazamos las fórmulas (3) en (8)
T
T
⎤
ak − ibk 1 ⎡ 2
2
ck =
= ⎢ ∫ f (t ) cos(kωot )dt − i ∫ f (t ) sin(kωot )dt ⎥ =
2
2 ⎢T
T
⎥⎦
0
⎣ 0
T
T
⎤ 1T
1 2⎡
⎢ ∫ f (t ) cos(kωot )dt − ∫ i f (t ) sin(kωot )dt ⎥ = ∫ f (t )[cos(kωot ) − i sin(kωot )]dt
ck =
2T ⎢
⎥⎦ T 0
0
⎣0
1
ck =
T
1
En particular, co =
T
T
∫ f (t )e
− i 0ωo t
0
1
dt =
T
T
T
∫ f (t )e
dt
(9)
0
∫ f (t )dt =
0
−ikω0t
ao
, es decir, c0 representa el valor medio
2
de la función en un período.
Ambas expresiones de la serie de Fourier, la trigonométrica y la compleja, son dos formas
equivalentes de describir un mismo problema y, dada una de ellas, podemos obtener la otra.
Observando la expresión (6), vemos que ck es un número complejo cuya parte real es ak/2 y su
parte imaginaria es –bk/2.
Si f (t ) es una función real, los coeficientes ak y bk también lo son. De las relaciones
a − ib− k ak + ibk ak − ibk
ak = a− k y bk = −b− k , resulta que c− k = − k
=
=
= ck . Luego,
2
2
2
c− k = ck
(10)
Las propiedades de simetría de una dada función periódica tienen un efecto visible en los
coeficientes complejos de Fourier:
• Si la función periódica es par, vimos que los coeficientes bk de la serie trigonométrica son
todos nulos. Esto se traduce en que los coeficientes complejos ck carecen de componente
55
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imaginaria y son, por lo tanto, números reales de la forma ck = ak / 2 para k = ±1,±2,±3,L .
Si, en particular, fuera a0=0, entonces resultaría c0=0.
• Vimos que si la función periódica es impar, los coeficientes ak de la serie trigonométrica
son todos nulos, incluido a0. Esto indica que los coeficientes complejos ck carecen de
componente real y son, por lo tanto, números imaginarios puros de la forma ck = −ibk / 2
para k = ±1,±2,±3,L . Como en una función periódica impar, el valor medio en un período es
cero, resulta siempre c0=0.
Queda claro que, si la función no tiene paridad definida, sus coeficientes ck son números
complejos (con componentes real e imaginaria no nulas). Esto está evidentemente conectado
con el hecho de que la serie trigonométrica contiene es ese caso términos con seno y con
coseno. Si la función tiene alguna simetría escondida, algunos coeficientes complejos pueden
tener sólo una de las componentes, real o imaginaria.
Veremos en seguida algunos ejemplos en los que c0 toma un valor que no responde a la ley de
formación de los demás coeficientes ck para k = ±1,±2,±3,L . Allí se hace necesario separar
de la suma general al término correspondiente a k=0 y adoptar una notación levemente
∞
diferente para la suma: en lugar de
∑
∞
, usaremos
∑
para denotar que el índice de suma
k = −∞
k ≠0
k = −∞
toma todos los valores enteros excepto el cero. La serie de Fourier queda expresada entonces
como:
f (t ) = c0 +
∞
∑ ck eikω0t
k = −∞
k ≠0
donde se ha separado de la suma al término c0ei 0ω 0t = c0
Convergencia de la serie de Fourier
Para cualquier señal periódica podemos intentar obtener el conjunto de los coeficientes dados
por la expresión para ck . Sin embargo, en algunos casos, la integral puede divergir, es decir,
algunos coeficientes pueden resultar infinitos. Pero además, aún cuando los coeficientes
resulten finitos, puede suceder que la serie infinita no converja a la función f (t ) .
Afortunadamente, para las señales periódicas que representan fenómenos físicos, no hay
problemas de convergencia. En general se puede afirmar (aunque no lo demostraremos) que si
la señal tiene energía finita en un período, esto es,
∫
2
f (t ) dt < ∞ , entonces la serie converge
T
a la función. Esta afirmación equivale a decir que el error que se comete al tomar un número
K
finito de términos en la suma
∑ ck eikω0t , es menor cuanto mayor es K.
k =− K
Además de la condición de energía finita, que se satisface en los problemas físicos reales,
56
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Series de Fourier.
Dirichlet elaboró un conjunto de condiciones que debe cumplir la función f (t ) periódica para
garantizar la existencia de la serie de Fourier:
¾
f (t ) debe ser absolutamente integrable sobre cualquier intervalo de un período de
duración, esto es
∫
f (t ) dt < ∞ . Esta condición asegura que los coeficientes ck son todos
T
finitos. Como ejemplo, una señal que viola esta condición es f (t ) = 1 / t , 0 < t ≤ 1 , con
período 1.
¾ f (t ) debe tener un número finito de máximos y mínimos en un período. Para aclarar la
idea, mostremos un caso donde esta condición no se cumple: f (t ) = sin(2π / t ) , 0 < t ≤ 1 , con
período 1.
¾ f (t ) debe tener un número finito de discontinuidades en un período y esas
discontinuidades deben ser finitas.
Si t0 es un punto de discontinuidad finita de f, se cumple que los límites para t → t0 por
derecha y por izquierda existen y son ambos finitos. Se demuestra que el valor que da la serie
de Fourier para t = t0 es igual al promedio de los dos límites laterales.
♣ Ejemplo 3: Calcular la serie compleja de f(t)=t para 0<t<1, con f(t+1)=f(t).
f(t)
1
-2
-1
1
2
t
El período es T=1 y la frecuencia fundamental es ω0=2π. Calculamos los coeficientes
de la serie compleja:
1
ck =
T
T
∫ f (t )e
−ikω0t
0
1
dt = ∫ te −ik 2 πt dt =
0
−ik 2 π 1
1
0
0
e
e −ik 2 π
e −ik 2 π
1 e −ik 2 π
ck = t
−∫
dt =
+
⋅
− ik 2π
− ik 2 π
− ik 2π ik 2π − ik 2 π
ck =
1
0
−ik 2 π
−1
1
1 e
i
+
⋅
=
para k = ±1,±2,±3,L
− ik 2 π ik 2 π − ik 2 π
2kπ
Esta expresión no puede emplearse para k=0 y habrá que calcular aparte c0.
1
c0 =
T
T
∫
0
1
t2
f (t )dt = ∫ tdt =
2
0
1
=
0
1
2
La serie compleja de Fourier para esta función es
57
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Series de Fourier.
f (t ) =
∞
1
i ik 2 πt
+ ∑
e
2 k = −∞ 2kπ
k ≠0
Vemos que, salvo el término independiente, que es real, todos los demás coeficientes
son imaginarios puros. En otras palabras, la función f(t)-1/2 es impar pues tiene un
desarrollo en el cual los coeficientes son imaginarios puros.
f(t)-1/2
1/2
-2
-1
1
2
t
-1/2
Tal como comentamos al hablar de los desarrollos trigonométricos, resulta conveniente
descubrir la simetría escondida que pudiera tener la función para conocer de antemano las
características que tenemos que esperar de sus coeficientes complejos.
Si conocemos los coeficientes ck, con k = 0,±1,±2,±3,L , resulta sencillo determinar los de la
a
i
1
a
serie trigonométrica. Para el ♣ Ejemplo 3, es o =
pues o = co ; de ck =
y de
2kπ
2
2
2
a − ibk
a
ck = k
concluimos que ak = 0 para k = 0,±1,±2,±3,L pues k representa la parte
2
2
ibk
i
1
real de ck, que en este caso es nula; luego, de ck = −
extraemos bk = − . La
=
2
2kπ
kπ
serie trigonométrica es entonces
f (t ) =
1 ∞ 1
1 1 ∞ sin 2kπt 1 1
sin 4πt sin 6πt
+ ∑ − sin k 2πt = − ∑
= − (sin 2 πt +
+
+ L)
2 k =1 kπ
2 π k =1 k
2 π
2
3
Espectros discretos
Al hacer el desarrollo de Fourier de una señal periódica, estamos descomponiéndola en
términos de una base de funciones exponenciales complejas relacionadas armónicamente,
cuyas frecuencias son los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. (Salvando las
diferencias, es como si descompusiéramos un color en los colores primarios y diéramos la
proporción en que cada uno interviene). En cualquier serie compleja de Fourier, cada ck es el
coeficiente de una exponencial compleja eikωot , de manera que cada coeficiente tomado en
valor absoluto indica cuál es el peso relativo de cada armónica dentro de la descomposición
espectral de la señal. La representación gráfica de ck en función de la frecuencia ω = kωo
ayuda a interpretar cuáles son las armónicas presentes en la señal y cuál es su importancia
relativa. Esta representación se denomina espectro de amplitud. Dado que los coeficientes ck
son números complejos, que se expresan mediante su módulo y su argumento en la forma
58
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ck = ck eiϕk , la representación se completa mediante el espectro de fase, que es el gráfico
del argumento o fase ϕk de cada coeficiente ck en función de ω = kωo . Como esta nueva
variable ω está definida sólo para los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, los
espectros de amplitud y de fase no son gráficas continuas sino discretas, que se representan
mediante puntos o mediante líneas verticales levantadas sobre dichos múltiplos de ω0.
A partir de (10) vemos que c− k = ck . Pero, además, ck = ck . Luego, c− k = ck , lo que
indica que ck es función par de k. Para obtener el argumento de ck hacemos ϕk = arg ck =
−b
−b
Im(ck )
Im(c− k )
arctan
= arctan k y para el de c− k , ϕ− k = arg c− k = arctan
= arctan − k
ak
a− k
Re(ck )
Re(c− k )
b
= arctan k = −ϕk ; esto dice que el argumento es función impar de k.
ak
♣ Ejemplo 4: Representemos los espectros discretos de amplitud y de fase
correspondientes a la función f(t) del ♣ Ejemplo 3 que desarrollamos antes. Para eso,
calculamos el valor absoluto de cada coeficiente:
c0 =
1
2
;
ck =
i
1
1
para k = ±1,±2,±3,L
=
=
2kπ 2 k π k ωo
En particular, para las primeras armónicas:
c1 = c−1 =
1
1
1
≅ 0.159 ; c2 = c− 2 =
≅ 0.0796 ; c3 = c−3 =
≅ 0.0531 ; etc.
2π
4π
6π
Dado que ck =
i
para k ≠ 0 , para k>0 tenemos ck = ck i = ck eiπ / 2 y, para k<0,
2kπ
ck = ck (−i ) = ck e −iπ / 2 , en tanto que c 0 = 1 / 2 = c 0 e i 0 . La fase es entonces π/2
para k>0, 0 para k=0 y -π/2 para k<0.
0,5
Ic k I
π/2
0,4
ϕk
0,3
0,2
-4 π
0,1
2π
-2 π
4π
ω (=k 2π )
0,0
-4 π
-2 π
2π
4π
ω (=k2 π )
−π/2
Consideremos ahora la función g(t)=t para -1/2<t<1/2, con g(t+1)=g(t). Podemos obtener el
desarrollo de esta función resolviendo las integrales, o bien relacionándola con f(t) del ♣
Ejemplo 3. Las gráficas de f y de g nos ayudarán a encontrar esta relación. Si a partir de la
definición de f(t) hacemos un corrimiento horizontal en ½, tenemos f(t+1/2)=t+1/2 para
0<t+1/2<1, es decir para –1/2<t<1/2. Si en esta función hacemos ahora un corrimiento vertical
en ½, llegamos a g (t ) = f (t + 1 / 2) − 1 / 2 .
59
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Series de Fourier.
g(t)
1/2
-1/2
1/2
t
Para obtener su desarrollo, sustituimos en f su argumento t por t+1/2 y restamos 1/2 al
resultado:
g (t ) =
∞
∞
∞
1
i ik 2 π (t +1 / 2) 1
i ik 2 π (t +1 / 2)
i ik 2 πt
+ ∑
e
− = ∑
e
= ∑
e
(−1) k
2 k = −∞ 2kπ
2 k = −∞ 2kπ
2
k
π
k = −∞
k ≠0
k ≠0
Vemos que este desarrollo tiene la forma que
esperábamos, es decir, su coeficiente c0=0 (ya
que el valor medio de g en un período es cero) y
ϕk
π/2
ω(=k2π)
-4π
-2π
k ≠0
2π
4π
-π/2
que los restantes coeficientes ck = (−1) k i /(2kπ)
son imaginarios puros (ya que la función g es
impar). El espectro de amplitudes de la función g
es muy similar al de f; sólo difieren en el valor
del término independiente. El corrimiento en el
tiempo tiene un efecto marcado sobre el espectro
de fases, como se aprecia en la figura.
Teorema de Parseval
Este teorema da una relación entre el valor cuadrático medio de la función en un período y los
coeficientes del desarrollo complejo. Esa relación es:
1
T
∫
T
2
f (t ) dt =
+∞
∑ ck
2
k = −∞
La integral se ha indicado con un subíndice T para señalar que sólo interesa que la longitud
del intervalo de integración sea de un período, pero no a partir de qué valor particular de t se
lo computa.
1
2
Si f (t ) representa a una señal física, la cantidad ∫ f (t ) dt da la potencia media de la señal
TT
en un período. La relación de Parseval expresa entonces esta potencia en términos de las
amplitudes de todas las armónicas que describen a dicha señal.
Para demostrarlo, supongamos el caso más general en que la función f (t ) es compleja, si bien
en todos los ejemplos mostrados hasta aquí hemos considerado funciones reales, y escribamos
60
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Series de Fourier.
2
f (t ) = f (t ) ⋅ f (t ) .
∞
∑ ck eikω0t , entonces es f (t ) =
Dado que f (t ) =
k = −∞
∞
∑ ck e−ikω0t .
k = −∞
2
Si en ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) ⋅ f (t ) dt reemplazamos f (t ) , obtenemos
T
T
∫ f (t ) ⋅ f (t ) dt =
T
∫
∞
f (t ) ⋅ (
∑ ck e−ikω0t )dt . Como
f (t ) multiplica a cada término de la suma,
k = −∞
T
podemos reescribir la anterior en la forma
∫(
∞
f (t ) e −ikω0t )dt . Pero, como la integral de
∑ ck
T k = −∞
una suma es la suma de las integrales, podemos intercambiar los signos de integración y de
∞
∑ ∫ ck
suma:
f (t ) e −ikω0t dt . Las constantes pueden salir de la integral y tenemos
k = −∞ T
∞
∑
k = −∞
ck
∫ f (t ) e
−ikω0t
T
∫
tenemos que
1
dt . Recordemos que ck =
T
2
f (t ) dt =
∞
∑
T
∫ f (t )e
dt , de modo que hasta aquí
0
ck ⋅ T ⋅ ck y, por lo tanto,
n = −∞
T
−ikω0t
∫
+∞
2
f (t ) dt = T ⋅
∑ ck
2
con lo que
n = −∞
T
queda probada la relación de Parseval.
Cuando c0 no se ajusta a la expresión general para los restantes ck , se debe separar de la suma
2
el término c0 . Así, la expresión del teorema de Parseval queda:
1
T
∫
2
2
f (t ) dt = c0 +
T
+∞
∑ ck
2
k = −∞
k ≠0
♣ Ejemplo 5: Aplicar la fórmula de Parseval a la función f(t)=t para 0<t<1, con T=1.
Esta función ya fue analizada en el ♣ Ejemplo 3 y obtuvimos los coeficientes c0 =
y ck =
i
para k = ±1,±2,±3,L . Al reemplazar en la fórmula de Parseval, tenemos
2kπ
1
1
t3
2
2
=
=
(
)
f
t
dt
t
d
t
∫
∫
3
TT
0
2
c0 +
1
2
+∞
∑ ck
k = −∞
k ≠0
2
1
0
+∞
=
1
3
i
1
= + ∑
4 k = −∞ 2kπ
k ≠0
2
+∞
1
1
1
1 +∞ 1
= + ∑
= +
∑
4 k = −∞ 4k 2 π 2 4 4 π 2 k = −∞ k 2
k ≠0
k ≠0
Igualando, resulta
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1 1
1 +∞ 1
= +
∑
3 4 4 π 2 k = −∞ k 2
k ≠0
Como los términos de la suma adoptan los mismos valores para los k positivos y
negativos, podemos reescribir la anterior en la forma
1 1
2 +∞ 1
− =
∑ ,
3 4 4π 2 k =1 k 2
+∞
de donde
∑
1
k =1 k
2
=
π2
6
Cuando estudiamos las series numéricas, nos bastaba saber si una serie dada converge o no.
+∞ 1
En particular, de la serie que aparece aquí, sabíamos que converge pues es de la forma ∑
p
n =1 n
+∞ 1
con p>1. El resultado que acabamos de encontrar nos dice que la serie numérica ∑
2
n =1 n
π2
. Esto agrega una utilidad adicional a las series de Fourier, junto con
6
el teorema de Parseval, que es la de permitir el cálculo de la suma de ciertas series
convergentes.
converge al número
Ejemplos de cálculo de series de Fourier
Desarrollaremos a continuación tres ejemplos de funciones escalón, compararemos sus
respectivas series y espectros de amplitud y de fase.
⎧1 , − 1 < t < 1
con f(t+4)=f(t) ⇒ T=4 ⇒ ω0=π/2
♣ Ejemplo 6: f (t ) = ⎨
⎩0 , 1 < t < 3
f(t)
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
π 1
−
ik
t
π
π
⎧ 1 −ik t
⎫
⎛ −ik π
3
ik
2
1⎪
1
1
e
⎜
⎪
2 −e 2
ck = ⎨ 1 ⋅ e 2 dt + 0dt ⎬ =
=−
⎜e
π
4⎪
4
2
π
ki
⎜
⎪⎭
− ik
1
⎩−1
⎝
2 −1
∫
∫
=−
ck =
kπ
)
2
π
k
2
1 sin(
kπ
1
sin( ) =
kπ
2
2
, k ≠0
;
co =
5
t
⎞
⎟
⎟=
⎟
⎠
1
kπ
⋅ [−2i sin( )]
2π ki
2
11
1 1
1
dt = t −1 =
∫
4 −1
4
2
62
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Los coeficientes son todos reales, como era de esperar, pues la función es par.
Calculemos algunos de ellos y representemos su módulo y argumento principal.
Vemos que para cualquier k par, es ck=0; para ellos, el módulo es 0 y, por lo tanto, no
está definido el argumento.
1
, arg(c 0 ) = 0
2
1
π
1
1
c1 = sin( ) = = c −1 , c1 = c −1 = ≅ 0.3183 , Arg(c1 ) = Arg(c −1 ) = 0
π
2
π
π
1
3π
1
1
c3 =
sin( ) = −
= c −3 , c 3 = c −3 =
≅ 0.1061 , Arg(c3 ) = Arg(c −3 ) = π
3π
2
3π
3π
1
5π
1
1
c5 =
sin( ) =
= c −5 , c5 = c -5 =
≅ 0.06366 , Arg(c5 ) = Arg(c −5 ) = 0
5π
2
5π
5π
c0 =
0,5
Arg(c k)
Ic k I
3
π
0,4
2
0,3
0,2
1
0,1
0
0,0
π/2 π
-2 π
ω (=k π/2)
π/2 π
-π
ω (=k π/2 )
⎧1 , − 1 < t < 1
con g(t+6)=g(t) ⇒ T=6 ⇒ ω0=π/3
♣ Ejemplo 7: g (t ) = ⎨
⎩0 , 1 < t < 5
g(t)
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
t
Calculamos los coeficientes en este caso y los representamos en valor absoluto y
argumento principal.
11
1 1
1
co = ∫ dt = t −1 =
6 −1
6
3
;
1
kπ
1
ck =
sin( ) =
kπ
3
3
kπ
)
3
π
k
3
sin(
, k≠0
63
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Series de Fourier.
IcnI
Arg(ck)
0,5
3
π
0,4
2
0,3
0,2
1
0,1
0
0,0
-π
π
-π
ω (=kπ/3)
π
ω (=kπ/3)
⎧1 , − 1 < t < 1
con h(t+12)=h(t) ⇒ T=12 ⇒ ωo=π/6
♣ Ejemplo 8: h(t ) = ⎨
⎩0 , 1 < t < 11
h(t)
1
-1
co =
1
6
1
1
1 1
1
dt = t −1 =
∫
12 −1
12
6
0,5
;
12
kπ
1
kπ
1 sin( 6 )
ck =
sin( ) =
π
kπ
6
6
k
6
IckI
Arg(ck)
3
t
, k ≠0
π
0,4
0,3
2
0,2
1
0,1
0
0,0
-π
π
ω (=kπ/6)
-π
π
ω (=kπ/6)
Los tres últimos ejemplos elegidos corresponden a funciones escalón en las que se ha
modificado el período, dejando las restantes características iguales. La forma general del
espectro es la misma en los tres casos pero el espaciado entre las líneas disminuye en relación
inversa al período, a la vez que disminuye la amplitud de todas las armónicas. Podemos inferir
que si el período se hiciera infinitamente grande, la distancia entre las líneas del espectro sería
infinitesimal, de modo que dejaríamos de tener un espectro discreto para pasar a tener un
espectro continuo. En esto precisamente consiste el cálculo de la transformada de Fourier, que
será nuestro próximo tema.
64
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Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Vimos que las series de Fourier constituyen una herramienta poderosa para estudiar
problemas periódicos y obtener su representación en frecuencias. En muchos problemas
prácticos que involucran a funciones no periódicas, se hace también necesario obtener
representaciones en frecuencias. Este análisis es el denominado integral o transformada de
Fourier.
Revisemos las características salientes de la serie de Fourier. Dada una función de la variable
continua t, de período T, su desarrollo en serie de Fourier, que escribimos en la forma
f (t ) =
∞
∑ c k e ikω0t , contiene los infinitos múltiplos enteros de la frecuencia fundamental
k = −∞
ω 0 = 2π / T . Cada señal compleja de la forma e ikω0t con k entero, corresponde a una
armónica, kω0. Cada coeficiente complejo c k en el desarrollo de la función periódica
representa el “peso” que la armónica respectiva tiene en la descomposición de f (t ) . La
representación de c k en función de la frecuencia da lugar a un conjunto de infinitas líneas que
se levantan en cada múltiplo entero de la frecuencia fundamental (kω0). Esto equivale a decir
que estas líneas tienen un espaciado regular en frecuencia, igual a ω0. Dado el carácter
complejo de c k , su representación requiere dos gráficos, ya sean su parte real y su parte
imaginaria, o bien su módulo y su argumento, en función de la frecuencia. Si consideramos a
la frecuencia como una nueva variable real ω, los coeficientes c k resultan ser funciones de ω
que existen sólo para los valores de la forma kω0. Estas representaciones discretas o espectros
pueden pensarse como muestras tomadas sobre una función de la variable continua ω,
elegidas para valores kω0 con k entero. A esa función de variable continua la llamamos
envolvente.
Al final del capítulo anterior obtuvimos, como ejemplos, los espectros correspondientes a
diversos pulsos rectangulares periódicos, consistentes en un tramo de señal constante, de igual
duración en todos los casos, seguido de un tramo de señal nula, de duración diferente en cada
caso, lo que da lugar a un período distinto en cada uno. Observamos que el espectro tiene en
todos ellos una forma característica; la diferencia en el período se manifiesta en la separación
en frecuencia entre una y otra línea del espectro. Dicho espaciado es, como vimos, ω 0 = 2π .
T
A medida que el período aumenta, es decir, a medida que aumenta la espera entre uno y otro
tramo de señal “encendida”, la representación en frecuencias muestra líneas cada vez más
próximas. Inferimos que si permitimos que T se haga infinitamente grande, las líneas del
espectro estarán tan próximas entre sí que el espectro ya no podrá ser considerado discreto
sino continuo, a la vez que la señal dejará de ser periódica para convertirse en no periódica.
Basándonos en la idea de los ejemplos mencionados, haremos un artificio que nos permitirá
obtener la descripción en frecuencias de una función genérica f (t ) no periódica, valiéndonos
de lo que aprendimos para las funciones periódicas. Como requisito inicial, supongamos que
65
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Transformada de Fourier
f (t ) tiene duración finita, es decir, que es nula fuera de un cierto intervalo − t1 < t < t 2 , como
en la figura.
f(t)
-t1
t2
t
~
Definamos una función periódica f (t ) , de período T, de modo que T > t1 + t 2 . Por
simplicidad, elijamos T de modo que T / 2 > max(t1 , t 2 ) , como en la figura.
~
f (t )
T
-T/2
-t1
t2
t
T/2
~
Ambas funciones, f (t ) y f (t ) , son idénticas en el intervalo [-T/2,T/2].
~
Al hacer que T aumente sin modificar t1 y t 2 , aumentan los tramos donde f (t ) es nula, si bien
sigue siendo periódica, pero de período mayor. Esta idea está ejemplificada en la figura que
sigue, que ha de ser comparada con la anterior.
~
f (t )
T
-T/2
-T1
T2
T/2
t
Dado que el incremento del período implica la disminución de la frecuencia fundamental, la
representación de los coeficientes de Fourier en función de la frecuencia mostrará las líneas
~
con un espaciado más pequeño. Cuando T → ∞ , por un lado, ambas funciones f (t ) y f (t )
se vuelven idénticas. Por otro lado, las líneas del espectro se habrán acercado tanto entre sí
que el espaciado se habrá vuelto infinitesimal y, en lugar de un espectro discreto, se obtiene
una representación continua en función de la frecuencia. El desarrollo en serie de Fourier de
~
f (t ) se convierte en lo que llamaremos la transformada de Fourier de f (t ) .
Veamos cómo se expresa esta idea en forma matemática. Comencemos con la serie compleja
~
de Fourier de la función f (t ) de período T:
66
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Transformada de Fourier
~
f (t ) =
∞
∑ c k e ikω0t
( 1)
k = −∞
donde los coeficientes se calculan mediante
1
ck =
T
T /2 ~
∫
f (t )e −ikω0t dt
−T / 2
~
Dado que f (t ) = f (t ) para t < T / 2 , podemos escribir la expresión para c k en la forma:
ck =
1
T
T /2
∫ f (t )e
−ikω0t
dt
−T / 2
Pero como, además, f (t ) = 0 fuera de ese intervalo, podemos escribirla en la forma
ck =
1
T
∞
∫ f (t )e
−ikω0t
dt .
( 2)
−∞
Definimos ahora la función
∞
F (ω) =
∫ f (t ) e
−iωt
dt
( 3)
−∞
que depende de la nueva variable continua ω. Si la comparamos (2) con (3), vemos que
ck =
1
F (kω 0 )
T
( 4)
1
F (ω) tendrá como representación gráfica una cierta curva y sobre ella se
T
podrán marcar, como puntos aislados, los valores correspondientes a c k . Dicho a la inversa,
1
la curva representativa de F (ω) es la envolvente de los puntos que representan a c k .
T
En palabras,
Volvamos ahora a (1) y reemplacemos allí la expresión (4):
~
f (t ) =
Dado que
∞
1
F (kω 0 )e ikω0t
T
k = −∞
∑
1 ω0
, tenemos
=
T 2π
1 ∞
f (t ) =
F (kω 0 )e ikω0t ω 0
∑
2π k = −∞
~
( 5)
Cada término de la sumatoria puede pensarse como la superficie de un rectángulo de altura
F (kω 0 )e ikω0t y base ω0 , como el que se muestra sombreado en la figura. Para cada valor de
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Transformada de Fourier
k (es decir, para cada uno de los armónicos de
frecuencia kω 0 ) se obtiene un término de la
suma, o sea, el área de un rectángulo. La
distancia en frecuencia entre dos armónicos
sucesivos es ω 0 . A medida que T aumenta,
ω 0 disminuye, de modo que los segmentos
iωt
F(ω)e
ikω0t
F(kω0)e
kω0
ω0
0,0
verticales que representan a F (kω 0 )e ikω0t
aparecen cada vez más próximos entre sí.
Cuando T tiende a infinito, ω 0 se hace
infinitesimal y en lugar de ω 0 podemos
escribir dω . Al mismo tiempo, el argumento
ω
0
kω 0 de F (kω 0 )e ikω0t puede pensarse como la variable continua ω. La sumatoria de (5) se
convierte, por lo tanto, en una integración en frecuencia de la función F (ω)e iωt . Pero,
~
además, como ya dijimos, cuando T → ∞ , f (t ) y f (t ) se vuelven idénticas. En resumen, la
expresión (5) adopta la forma
f (t ) =
1 ∞
F (ω) eiω t dω
∫
2π − ∞
( 6)
A la función de la frecuencia ω definida en (3):
∞
F (ω) = ∫ f (t )e −iω t dt
−∞
la designamos transformada de Fourier de f (t ) . Nótese que la integral da lugar a una función
que, en general, es compleja. Nótese, asimismo, que la integración se realiza sobre la variable
real t. Para que esta integral no diverja es necesario que la función f (t ) satisfaga alguna
∞
condición. Se puede demostrar (pero no lo haremos aquí) que la condición ∫ f (t ) dt < ∞ es
−∞
suficiente para garantizar la existencia de la transformada de Fourier.
Recíprocamente, la función f (t ) está relacionada con F (ω ) , y puede obtenerse a partir de
ella mediante la expresión (6), que se designa transformada inversa o antitransformada de
Fourier de F (ω ) .
Las funciones f (t ) y F (ω ) forman un par de funciones que describen un mismo fenómeno;
una lo describe en el tiempo y la otra en frecuencias. Cada una de ellas contiene toda la
información del proceso y de cada una se puede obtener la otra.
ℑ
Suele emplearse la notación: F (ω) = ℑ [ f (t )] o bien f (t ) ⎯⎯→ F (ω) para indicar el
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Transformada de Fourier
procedimiento de calcular la transformada de Fourier. F (ω ) representa el espectro de
frecuencias asociado a un dado fenómeno que ocurre en el tiempo según la ley f (t ) .
ℑ−1
⎯→ f (t ) , donde ℑ −1
El procedimiento inverso se indica: f (t ) = ℑ −1[ F (ω)] o bien F (ω) ⎯⎯
indica a la transformada inversa. A partir del espectro de frecuencias, ℑ −1 genera la secuencia
temporal del proceso.
♣ Ejemplo 1: Encontrar el espectro de frecuencias
correspondiente a la función
⎧⎪e − at t > 0
, con a>0.
f (t ) = ⎨
⎪⎩0
t<0
1
t
Si bien es cierto que esta función no cumple con la condición que postulamos al inicio
∞
de ser nula fuera de un dado intervalo, sí cumple con la condición ∫ f (t ) dt < ∞ , que
−∞
enunciamos como suficiente para garantizar la existencia de la transformada.
Calculamos:
∞
∫ f (t )e
F (ω) =
−iωt
−∞
e −( a +iω)t
lim −
Q →∞ ( a + iω)
∞
dt = ∫ e
0
Q
lim e
e
∞
dt = ∫ e
−( a +iω)t
0
e −( a +iω)t
dt =
− ( a + iω)
∞
=
0
e − ( a + iω ) Q − 1
(a + iω)
Q →∞
= lim −
0
Calculamos aparte
lado,
− at −iωt
−iωQ
Q →∞
lim e −( a +iω)Q = lim e − aQ −iωQ = lim e − aQ ⋅ e −iωQ . Por un
Q →∞
Q →∞
Q →∞
= lim (cos ωQ − i sin ωQ ) no existe pues las funciones seno y
Q →∞
coseno oscilan a medida que su argumento varía, pero sus valores están acotados entre
+1 y –1. Por otro lado, lim e − aQ = 0 pues a>0. Por lo tanto, como el producto de
Q →∞
una función acotada por otra que tiende a cero es cero, obtenemos
F ( ω) =
1
a + iω
El módulo de esta función es
F (ω) =
1
a 2 + ω2
Para encontrar el argumento, es conveniente escribirla como:
F (ω) =
1
a − iω
=
y luego,
a + iω a 2 + ω 2
69
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Transformada de Fourier
ArgF (ω ) =
Im(F (ω ))
−ω
= arctan
Re( F (ω ))
a
Arg(F(ω))
IF(ω)I
1/a
π/2
1/2
1/(2 a)
ω
-π/2
-a
ω
a
Propiedades de la transformada de Fourier
Linealidad
La transformada de la combinación lineal de dos funciones es la combinación lineal de las
transformadas. Para demostrarlo, consideremos dos funciones f1 (t ) y f 2 (t ) , con
transformadas ℑ [ f1 (t )] y ℑ [ f 2 (t )] . Construyamos una combinación lineal de ellas:
af 1 (t ) + bf 2 (t ) , donde a y b son dos constantes arbitrarias y calculemos su transformada
mediante la definición:
∞
ℑ[a f1 (t ) + b f 2 (t )] =
−iωt
∫ [af1 (t ) + bf 2 (t )]e dt = a
−∞
∞
∫
f1 (t )e −iωt dt + b
−∞
∞
∫ f 2 (t )e
−iωt
dt
−∞
Luego:
ℑ[ a f1 (t ) + b f 2 (t )] = aℑ[ f1 (t )] + bℑ[ f 2 (t )]
Escalamiento
Si F (ω ) es la transformada de f (t ) ,veremos que
ℑ[ f (at )] =
∞
Para esto, en ℑ[ f (at )] =
∫ f (at )e
−iωt
ω
1
F( )
a
a
para a ≠ 0 .
dt introducimos el cambio de variable at=u de donde
−∞
dt = du / a . Consideremos primero el caso a>0:
∞
ℑ[ f (at )] =
∫
−∞
f (u )e
−iω u / a
du 1
=
a a
∞
∫ f (u)e
−i (ω/ a )u
du =
−∞
1 ω
F( )
a
a
70
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Transformada de Fourier
Consideremos ahora el caso a<0, es decir a = − a . Al efectuar el cambio de variable, es
necesario invertir los límites de integración pues cuando t → ∞ , u → −∞ y viceversa.
−∞
ℑ[ f (at )] =
∫
f (u )e −iω u / a
∞
du
1
=
−a a
∞
∫ f (u )e
−i (ω/ a )u
du =
−∞
1 ω
F( )
a
a
Dado que cuando a>0, es a = a , ambos resultados pueden unificarse en la expresión de
arriba. En particular, si a=-1, resulta
ℑ[ f (−t )] = F (−ω)
Desplazamiento en el tiempo
Encontraremos la transformada de f (t − t 0 ) , sabiendo que F (ω ) es la transformada de f (t ) .
∞
Para esto, en ℑ[ f (t − t 0 )] =
∫ f (t − t 0 )e
−iωt
dt introducimos el cambio de variable t-t0=u de
−∞
donde t=u+t0 y dt = du . Tenemos entonces que
∞
ℑ[ f (t − t o )] =
∫ f (u )e
−iω(u +t0 )
du = e
−iωt0
∞
∫ f (u)e
−iωu
du = e −iωt0 F (ω) . Entonces,
−∞
−∞
ℑ[ f (t − t o )] = e −iωt0 F (ω)
Desplazamiento en frecuencia
Calculemos la transformada del producto f (t )e iω0t , sabiendo que F (ω ) es la transformada de
f (t ) . En efecto, ℑ[ f (t )e
i ω 0t
∞
]=
∫ f (t )e
iω0t −iωt
e
∞
dt =
−∞
∫ f (t )e
−i (ω-ω0 )t
dt =F (ω - ω 0 ) . Luego,
−∞
la multiplicación de una dada función de t por una exponencial compleja da lugar a un
corrimiento en frecuencia de la transformada:
ℑ[ f (t )e iω0t ] = F (ω - ω 0 )
Simetría
Hemos dicho que las funciones f (t ) y F (ω) forman un par de funciones que encierran, cada
una de ellas, toda la información relativa a la señal considerada, una la da en el tiempo y la
otra en el dominio de las frecuencias. Tomemos ahora la forma funcional F y construyamos
con ella una función del tiempo (cambiando ω por t) y calculemos su transformada. Para
verlo, en la expresión (6) para la transformada inversa, cambiemos t por -t:
71
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f ( −t ) =
Transformada de Fourier
1 ∞
− iω t
∫ F (ω) e dω
2π − ∞
Si ahora intercambiamos t con ω, obtenemos
1
f (−ω) =
2π
∞
∫ F (t ) e
−iωt
dt
−∞
Esta última integral tiene la forma de la expresión (3) con la que definimos la transformada,
pero aplicada a la función F (t ) . Por lo tanto
si ℑ[ f (t )] = F (ω) , entonces ℑ[ F (t )] = 2πf (−ω)
Veremos que al transformar a la función F, obtenemos nuevamente la función f pero
multiplicada por la constante 2π y con argumento -ω.
Transformada de la derivada
Veamos cómo obtener la transformada de f ' (t ) a partir de la transformada de f(t).
∞
ℑ[ f ' (t )] =
∫ f ' (t )e
-∞
−iωt
∞
−iωt ∞
dt = f (t )e
+ iω f (t )e −iωt dt
−∞
-∞
∫
donde hemos aplicado la fórmula de integración por partes. Dado que f (t ) → 0 para
t → ±∞ , el primer término se anula y resulta que
ℑ[ f ' (t )] = iωℑ[ f (t )]
♣ Ejemplo 2: Encontrar la transformada de Fourier de g (t ) = e
−a t
, con a>0.
Podemos resolver este problema, ya sea
1
aplicando la definición, o bien empleando las
propiedades que acabamos de enunciar, junto
con el resultado del ♣ Ejemplo 1. En efecto,
e at
e-at
la función puede escribirse como función
⎧⎪e − at t ≥ 0
t
.
partida: g (t ) = ⎨
⎪⎩e at t < 0
La primera rama coincide con la función f (t ) del ♣ Ejemplo 1 y su
transformada, F (ω) , ya fue obtenida; la segunda rama puede escribirse como f (−t ) y
su transformada es F (−ω) . La función g (t ) puede descomponerse como
g (t ) = f (t ) + f (−t ) . Aplicando la linealidad de la transformada, tenemos que
72
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Transformada de Fourier
ℑ[ g (t )] = ℑ[ f (t )] + ℑ[ f (−t )] = F (ω) + F (−ω) =
F(ω)
1
1
2a
ℑ[ g (t )] =
+
=
.
a + iω a − iω a 2 + ω 2
2/a
2
Esta función es real y positiva para todo
valor de la frecuencia. Por lo tanto, su
argumento es siempre 0. Para representarla,
basta con un único gráfico.
ω
♣ Ejemplo 3: Encontrar la transformada del
⎧1 , t < d / 2
pulso rectangular de ancho d: pd (t ) = ⎨
⎩0 , para otro valor
Apliquemos la definición de transformada:
∞
ℑ[ p d (t )] = F (ω) =
∫
p d ( ω) e
− i ωt
d /2
dt =
−∞
=
∫e
−i ω t
−d / 2
e − iωt
dt =
− iω
d /2
=
−d / 2
e − iωd/2 − e iωd/2
=
− iω
2 e − iωd/2 − e iωd/2 2
ωd
sin(ωd / 2)
= sen( ) = d
ω
ω
2
ωd / 2
− 2i
En este ejemplo, F (ω) resultó ser
una función real de la frecuencia.
(Su gráfica tiene la forma de la
sen x
. Recordemos
función f ( x) =
x
que esta función es par, vale 1 para
x=0 y se anula en los demás
múltiplos enteros de π. Las
oscilaciones que introduce la
función seno tienen una amplitud
que disminuye con x debido al
factor 1/x que actúa como la
amplitud del seno).
F(ω)
d
2π/d
ω
⏐F(ω)⏐
Es habitual representar el espectro
de frecuencias mediante el módulo y argumento de F (ω) . En el caso presente, por ser
F (ω) una función real, puede representarse mediante un único gráfico; se muestra,
además F (ω) .
sin( at )
t
Comparando esta función con la transformada del pulso rectangular, vemos que ambas
tienen formas funcionales similares. Sabemos que
♣ Ejemplo 4: Encontrar la transformada de Fourier de f (t ) =
73
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Transformada de Fourier
a
sin(ωd / 2)
f(t)
ω
La propiedad de simetría nos dice
que, si en la expresión de la
t
π/a 2π/a
transformada,
cambiamos
la
variable ω por t, la transformada de
la nueva función de t que así resulta se obtiene cambiando en la función de partida t
por -ω y multiplicando por 2π. Esto es:
ℑ
p d (t ) ⎯⎯→
2
2
sin(td / 2) ℑ
⎯⎯→ 2πp d (−ω )
t
F(ω)
Esto nos da un escalón de ancho d en el espacio
de las frecuencias. Como ésta es una función
par, 2π pd (−ω) = 2π pd (ω) . Si ahora elegimos
a=d/2, tenemos que
2
π
-a
a
ω
sin( at ) ℑ
⎯⎯→ 2 πp 2a (ω)
t
Luego, la transformada de f (t ) =
sin( at )
es F (ω) = π p2a (ω)
t
Componentes real e imaginaria de la transformada de Fourier
Recordando que e−iω t = cosω t − i senω t , vemos que F (ω ) es, en general, una función
compleja de ω . En particular, si f (t ) es una función real de t, y descomponemos F (ω ) en sus
partes real e imaginaria,
∞
F (ω ) =
∫ f (t )e
−iωt
∞
dt =
−∞
∞
F (ω) =
∫ f (t )(cos ωt − i sin ωt ) dt
−∞
∞
∫ f (t ) cosω t dt − i ∫ f (t ) sin ω t dt
−∞
−∞
vemos que la parte real de F (ω ) es
∞
R(ω) = ∫ f (t ) cosω t dt
−∞
y su parte imaginaria es
∞
J (ω) = − ∫ f (t ) sin ωt dt
−∞
de modo que
F (ω) = R(ω) + iJ (ω)
Dado que ω interviene en R (ω) a través del coseno, resulta que R (ω ) es una función par de ω ,
es decir, R(−ω) = R(ω) . En cambio, en la parte imaginaria, ω interviene en sen ω t , de modo
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que J (ω) es una función impar de ω , es decir, J (−ω ) = − J (ω ) . Esto significa que
F (−ω) = R(−ω) + iJ (−ω) = R(ω) − iJ (ω)
Suponiendo, como antes, que f (t ) es real, el complejo conjugado de F (ω ) es
F (ω) = R (ω) − iJ (ω)
por lo tanto,
F (−ω) = F (ω)
Encontramos una relación similar a ésta entre los coeficientes complejos de la serie de Fourier
( c −k = c k ) correspondiente a una función periódica real.
De la igualdad de estos complejos, surge la igualdad de sus módulos: F (−ω ) = F (ω) . Por
otra parte, como dos complejos conjugados tienen igual módulo, es F (ω ) = F (ω ) . En
consecuencia:
F (−ω) = F (ω)
Esto indica que F (ω) es una función par de ω que se denomina espectro de amplitud de f (t ) .
Atención que estas propiedades valen sólo si f (t ) es una función real de t.
Relación entre la paridad de la función de t y las componentes de su transformada
Si f (t ) , además de real, es una función par de t, entonces
∞
∫ f (t ) sin ωt dt = 0
−∞
por ser el integrando impar (pues es el producto de una función par por otra impar) y por ser
el intervalo de integración simétrico respecto del origen. En este caso, es J (ω) = 0 , es decir,
la parte imaginaria de F (ω ) es nula y se expresa como F (ω) = R(ω) , que es una función real y
par de ω . Concluimos que
si f (t ) es real y par, su transformada F (ω ) es real y par
Si, en cambio, f (t ) es una función real e impar de t, entonces
∞
∫ f (t ) cosω t dt = 0
−∞
por ser el integrando impar (pues es el producto de una función impar por otra par) y por ser
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el intervalo de integración simétrico respecto del origen. En este caso, es R (ω) = 0 , es decir,
la parte real de F (ω ) es nula y se expresa como F (ω) = iJ (ω) , que es una función imaginaria
pura, donde J (ω) es real e impar en ω . Concluimos que
si f (t ) es real e impar, su transformada F (ω ) es imaginaria pura e impar
Si f (t ) no tiene paridad definida, puede descomponerse como la suma de una función par
más otra función impar:
f (t ) = f p (t ) + fi (t )
Debido a la linealidad de la transformada,
ℑ[ f (t )] = ℑ[ f p (t )] + ℑ[ f i (t )]
El primer término es real y par en ω , en tanto que el segundo es imaginario e impar en ω .
Sabemos que F (ω) = ℑ[ f (t )] = R(ω) + iJ (ω) . Dada la unicidad de la transformada, podemos
identificar a la transformada de la componente par de f con la parte real de la transformada de
f, esto es: ℑ[ f p (t )] = R(ω) y análogamente, a la transformada de la componente impar de f
con la componente imaginaria de la transformada: ℑ[ f i (t )] = iJ (ω) . Concluimos que
la parte real de la transformada de f es la transformada de la parte par de f.
la parte imaginaria de la transformada de f es la transformada de la parte impar de f.
Funciones generalizadas: impulso y escalón unitario
Definimos la función
⎧0 , t < 0
⎪1
⎪
uλ (t ) = ⎨ t , 0 ≤ t ≤ λ
⎪λ
⎪⎩1 , t > λ
uλ (t )
1
λ
t
Es una función continua pero su derivada no lo es. Dicha derivada es
⎧0 , t < 0
⎪1
⎪
δ λ (t ) = ⎨ , 0 ≤ t ≤ λ
⎪λ
⎪⎩0 , t > λ
δ λ (t )
1/λ
λ
t
y representa un pulso rectangular de duración λ e intensidad 1/λ . El área debajo de δ λ (t ) es
1.
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Si ahora disminuimos el valor de λ , la recta oblicua en uλ (t ) aumenta su pendiente a
medida que la duración de la rampa disminuye. También disminuye la duración del pulso
δ λ (t ) a la vez que su intensidad aumenta, de modo que el área se mantiene igual a 1. En el
límite, cuando λ → 0 , tenemos
⎧0 , t < 0
lim u λ (t ) = u (t ) = ⎨
λ →0
⎩1 , t > 0
;
⎧0 , t ≠ 0
lim δ λ (t ) = δ(t ) = ⎨
λ →0
⎩∞ , t = 0
u (t ) representa un salto instantáneo. Su valor no está definido en t=0. Se denomina escalón
unitario o función de Heaviside.
δ (t ) es un pulso sin duración. Se denomina impulso unitario o delta de Dirac.
El impulso unitario es una idealización. Toda señal, por más breve que sea, tiene alguna
duración. Sin embargo, que esa duración sea apreciable o no, depende del sistema que recibe
a la señal. En efecto, todo sistema físico tiene alguna inercia de modo que su respuesta nunca
es rigurosamente instantánea. Que un pulso corto pueda ser considerado como un impulso
instantáneo depende de cómo resulte la comparación entre la duración del pulso y el tiempo
propio de respuesta del sistema. Naturalmente, para cada sistema se podrá encontrar un pulso
suficientemente corto como para poder considerarlo como instantáneo. Desde este punto de
vista, δ (t ) representa a un pulso que puede considerarse instantáneo para cualquier sistema
imaginable.
Más allá de esta consideración, cuando un pulso corto ingresa a un sistema, la inercia del
mismo impide ver los detalles de la señal que constituye al pulso. De él sólo interesa su efecto
integrado, es decir el área bajo la curva que lo representa. De acuerdo al modo en que
definimos el impulso ideal δ (t ) , este área es finita y su valor es 1:
∞
∞
λ
λ
−∞
−∞
0
0
1
1
⋅ λ =1
∫ δ( x)dx = λlim
∫ δλ ( x)dx = λlim
∫ δλ ( x)dx = λlim
∫ dx = λlim
→0
→0
→0 λ
→0 λ
Veamos algunas propiedades de las funciones generalizadas:
du (t )
¾
= δ (t )
dt
¾
t
∫δ ( x)dx = u (t )
−∞
¾ k ⋅ δ (t ) es un impulso localizado en t=0, de área k.
¾ δ (t − x) es un impulso de área 1, localizado en t=x.
¾ Si Φ(t ) es una función continua cualquiera, que se anula fuera de algún intervalo finito, se
∞
∞
−∞
−∞
cumple que, ∫Φ(t )δ (t − x)dt = Φ( x) . En particular, ∫ Φ( t )δ (t )dt = Φ(0) .
Estas funciones generalizadas resultarán de utilidad para representar pulsos idealmente cortos
o saltos instantáneos ideales.
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Transformada de Fourier
Transformada de Fourier de las funciones generalizadas impulso y escalón unitario
Si aplicamos la definición de transformada y la propiedad integral de la función impulso,
tenemos que:
∞
ℑ[δ(t )] =
∫ δ(t )e
−iωt
dt = e −iω0 = 1
−∞
A partir de esta igualdad y de la propiedad de simetría,
ℑ[1] = 2πδ(−ω) = 2πδ(ω)
Si intentamos aplicar el mismo procedimiento para calcular la transformada de la función
∞
u (t ) , encontramos que no cumple la condición se ser absolutamente integrable: ∫ f (t ) dt < ∞
−∞
que, como dijimos asegura la existencia de la transformada. Sin embargo, su transformada
existe en el sentido de una función generalizada de la frecuencia. Si hiciéramos uso de
du (t )
= δ (t ) , de la relación entre las transformadas de una función y de su derivada
dt
( ℑ[ f ' (t )] = iωℑ[ f (t )] ) y de la transformada del impulso que acabamos de hallar,
⎡ du ⎤
obtendríamos, por un lado, ℑ[ f ' (t )] = ℑ⎢ ⎥ = ℑ[δ(t )] = 1 y, por otro, iωℑ[ f (t )] = iωℑ[u (t )] ,
⎣ dt ⎦
1
de donde, al igualar, resultaría ℑ[u (t )] = . Pero esta expresión no puede ser correcta ya que,
iω
por ser una función imaginaria pura en ω, debe representar a la transformada de una función
impar de t y u (t ) no lo es (1). Lamentablemente, la deducción rigurosa de la expresión
correcta requiere el uso de recursos que están fuera de los objetivos de este curso.
Enunciamos entonces:
ℑ[u (t )] =
1
+ πδ(ω)
iω
Retomemos las relaciones ℑ[δ(t )] = 1 y ℑ[1] = 2πδ(ω) pues nos permitirán extraer una
conclusión importante. Dijimos antes que la función impulso representa una señal ideal
instantánea, concentrada en un único punto, tal que la integral de la función tiene el valor 1.
Acabamos de encontrar que el espectro de frecuencias asociado a esta señal es constante (su
valor es 1) lo que indica que todas las frecuencias están presentes con igual peso, desde las
bajas hasta las altas frecuencias.
Por el contrario, a una señal constante (la de variación más lenta imaginable pues nunca varía)
le está asociado un espectro de frecuencias representado por un impulso en el espacio de las
frecuencias y ese impulso se localiza en ω=0.
1
El procedimiento aquí indicado de calcular la transformada de una cierta función f a partir de la de su derivada,
1
en la forma F (ω) = ℑ[ f (t )] =
ℑ[ f ' (t )] , es aplicable siempre que ℑ[ f ' (t )] se anule en ω = 0 .
iω
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Transformada de Fourier
Pensemos ahora en un fenómeno que presenta una variación suave (en el tiempo, si se trata,
por ejemplo, de la caída de tensión sobre un componente de un circuito eléctrico, o en el
espacio, si se trata, por ejemplo, del brillo de una imagen). En general, los fenómenos que
varían en forma suave tienen asociado un espectro de amplitud con fuerte predominio de las
bajas frecuencias, cercanas a ω=0. Como caso límite, en una señal eléctrica de corriente
continua sólo está presente la frecuencia cero. Lo mismo sucede con una imagen con brillo
uniforme.
En el otro extremo, a las señales que presentan variaciones bruscas en el tiempo o en el
espacio, dependiendo del fenómeno del que se trate, les corresponden espectros donde las
altas frecuencias tienen una presencia importante.
Estas características generales son las que dan lugar a la utilización de dispositivos conocidos
como filtros selectivos en frecuencia para efectuar el procesamiento de señales. A modo de
ejemplo, supongamos que tenemos una imagen en la que queremos hacer más visibles los
contornos de los objetos que allí aparecen. Los contornos son curvas en las que la imagen
cambia bruscamente, por lo tanto, están caracterizados por altas frecuencias. Si intercalamos
un filtro que atenúe o elimine las bajas frecuencias, lograremos el efecto que buscamos. Pero
esto será tema de cursos futuros.
Transformada inversa de Fourier
Así como, a partir de la representación en el tiempo de un fenómeno ( f (t ) ), podemos obtener
su representación en el dominio de las frecuencias mediante la aplicación de la expresión
∞
F (ω) = ∫ f (t )e −iω t dt , también podemos efectuar la operación contraria, es decir, obtener la
−∞
representación en el tiempo partiendo de su expresión en frecuencias ( F (ω) ) y aplicando
1 ∞
iω t
∫ F (ω) e dω . Como ya dijimos, el primer procedimiento es el que conocemos
2π − ∞
como efectuar la transformada de Fourier de f (t ) y nos da por resultado F (ω) ; en el segundo
caso hablamos de efectuar la antitransformada o transformada inversa de Fourier de F (ω) y
obtenemos f (t ) .
f (t ) =
A primera vista, el cálculo de la antitransformada se reduce a una integración similar a la que
resolvemos para obtener la transformada. Sin embargo, debemos tener presente que F (ω) es,
en general, una función compleja, aún cuando f (t ) sea una función real. Si escribimos
F (ω) en la forma F (ω) = R(ω) + iJ (ω) , el cálculo de f (t ) consiste en resolver dos integrales:
f (t ) =
1 ∞
1 ∞
iωt
iωt
∫F (ω) e dω =
∫[R(ω) + iJ (ω)] e dω =
2π ∞
2π ∞
1
f (t ) =
2π
∞
∫ R(ω) e
−∞
iω t
1
dω + i
2π
∞
∫ J (ω) e
iω t
dω
−∞
También podemos escribir F (ω) mediante su módulo F (ω) y su argumento ϕ(ω) =
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Arg( F (ω)) = arctan
1
f (t ) =
2π
∞
∫ F (ω) e
−∞
J (ω)
, esto es F (ω) = F (ω) e iϕ(ω) , y obtener f (t ) resolviendo la integral
R(ω)
iωt
1
dω =
2π
∞
∫ F (ω) e
iϕ(ω) iωt
−∞
e
1
dω =
2π
∞
∫ F (ω) e
i[ϕ(ω) + ωt ]
dω
−∞
♣ Ejemplo 5: Encontrar la antitransformada de la función F (ω) cuyo módulo y
argumento se dan en los gráficos siguientes:
Arg F(ω)
F(ω)
- 1
-3ω
-1
1
ω
ω
Los gráficos nos indican que
⎧⎪− ωe −i3ω , - 1 < ω < 0
.
F (ω) = F (ω) e
= F (ω) e
=⎨
⎪⎩ωe −i3ω , 0 ≤ ω < 1
∞
0
1
⎫⎪
1
1 ⎧⎪
iωt
−i 3ω iωt
−i 3ω iωt
F
(
)
e
d
ω
e
e
d
ω
e
e
d
ω
ω
=
−
ω
+
ω
Entonces f (t ) =
⎬
⎨
∫
2π ∫
2π ⎪ ∫
⎪⎭
−∞
0
⎩−1
0
1
⎫⎪
1 ⎧⎪
iω(t −3)
f (t ) =
dω + ∫ ωe iω(t −3) dω⎬
⎨ ∫ − ωe
2π ⎪
⎪⎭
0
⎩−1
Resolvemos cada integral por el método de integración por partes
1 1 iω(t −3)
0
⎧
⎫
0
1 ⎪
e iω(t −3)
e iω(t −3)
e iω(t −3)
e
⎪
−
ω
−
−
+
ω
−
f (t ) =
(
1
)
d
ω
1
d
ω
⎨
⎬=
∫
∫
2π ⎪
(t − 3)i
(t − 3)i
(t − 3)i
(t − 3)i
⎪
−1 −1
0 0
⎩
⎭
1⎫
0
⎧
1 ⎪
e −i (t −3)
1 e iω(t −3)
e i (t −3)
1 e iω(t −3) ⎪
+
+1
−0−
f (t ) =
⎨0 + (−1)
⎬
2π ⎪
(t − 3)i (t − 3)i (t − 3)i
(t − 3)i
(t − 3)i (t − 3)i ⎪
−1
0⎭
⎩
1 ⎧⎪ e −i (t −3) 1 − e −i (t −3) e i (t −3) e i (t −3) − 1⎫⎪
−
+
+
f (t ) =
⎨−
⎬=
2 π ⎪⎩ (t − 3)i
(t − 3)i
(t − 3) 2
(t − 3) 2 ⎪⎭
1 ⎧⎪ e i (t −3) − e −i (t −3) e i (t −3) − 1 − (1 − e −i (t −3) ) ⎫⎪
f (t ) =
+
⎬=
⎨
2 π ⎪⎩
(t − 3)i
⎪⎭
(t − 3) 2
1 ⎧⎪ 2i sin(t − 3) 2 cos(t − 3) − 2) ⎫⎪ 1 ⎧⎪ sin(t − 3) cos(t − 3) − 1) ⎫⎪
f (t ) =
+
+
⎬
⎬= ⎨
⎨
2 π ⎪⎩ (t − 3)i
⎪⎭ π ⎪⎩ (t − 3)
(t − 3) 2
(t − 3) 2 ⎪⎭
iϕ(ω)
i ( −3ω)
Siempre que resulte posible, recurriremos a un procedimiento alternativo que consiste
en utilizar resultados ya obtenidos de transformadas de ciertas funciones y aplicar las
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propiedades de la transformada, en particular la de simetría, como veremos a
continuación.
♣ Ejemplo 6: Encontrar la antitransformada de
⎧2 , 0 ≤ ω ≤ 2
G (ω) = ⎨
⎩0 , para otro valor de ω
G(ω)
2
En el ♣ Ejemplo 4 vimos que la transformada
2
ω
sin( at )
es el pulso rectangular de ancho 2a
de
πt
en el espacio de la frecuencia, p 2a (ω) , simétrico respecto del origen. En el caso
actual, tenemos un pulso rectangular de ancho 2 que no está centrado. Podemos pensar
a G (ω) como el resultado de un desplazamiento en frecuencia en una unidad:
G (ω) = p 2 (ω − 1) , donde a=1. Sabemos que un desplazamiento de este tipo se debe a
sin t it
una exponencial del tiempo: ℑ[ f (t )e iω0t ] = F (ω - ω 0 ) . Por lo tanto, ℑ[
e ]=
πt
p 2 (ω - 1) = G (ω) o bien
e 2it − 1
sin t it e it − e −it it e 2it − 1 i
e =
e =
⋅ =−
i=
πt
2iπt
2iπt i
2 πt
cos 2t + i sin 2t − 1 sin 2t 1 − cos 2t
+
i = g (t )
ℑ −1 [G (ω)] = −
i=
2 πt
2 πt
2 πt
ℑ −1 [G (ω)] =
Naturalmente, podríamos haber arribado al mismo resultado resolviendo
1
2π
∞
∫ G(ω) e
iωt
dω .
−∞
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