X0,1. - FCEA - Facultad de Ciencias Económicas y de Administración

Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y
Administración.
ECONOMETRIA II- CURSO 2003
MODELOS DE VARIABLE DEPENDIENTE CUALITATIVA Y MODELOS DE VARIABLE
DEPENDIENTE LIMITADA
EJERCICIO 1
A- Una investigación sobre el mercado laboral de las mujeres en Uruguay ha
prestado especial atención al grado de dedicación de la población
económicamente activa femenina. Así, se ha optado por modelizar
econométricamente la decisión de participar en forma de "tiempo completo" o
en "tiempo parcial". Para ello se optó por ajustar un modelo logit cuya
variable dependiente fue precisamente una variable Y dicotómica (tiempo
completo=1, tiempo parcial=0).
SE PIDE:
1) Indicar las razones por las cuales se juzgó utilizar un modelo logit
y no un modelo clásico.
2) Indicar por qué no se opta generalmente por un modelo de probabilidad
lineal.
3) ¿Qué forma funcional tiene la probabilidad (Pi) en los modelos logit y
cuál es el sentido que tiene la misma? ¿Y en el modelo probit?
B- La investigación arrojó los siguientes resultados (modelo logit):
X β̂ = 3,640 - 0,434. X 1 - 0,143. X 2 + 0,053. X 3 - 0,287. X 4 - 0,1. X 5
(6,3) (-5,3)
(-2,66)
(0,71)
(-1,9)
(-6,9)
donde:
X1= educación en años de estudio
X2= cantidad de menores de 14 años en el hogar
X3= número de inactivos en el hogar
X4= categoría de la ocupación (0= sector público, 1= sector privado)
X5= tipo de ocupación ordenada de mayor a menor ingreso.
Los valores entre paréntesis es el valor de t.
Por otra parte se sabe:
a) que ln L(Ω)= -826.99
b) el número de observaciones fue de 1789 mujeres activas.
c) el R2 fue de 0.56
d) Si se hace el mismo modelo pero únicamente con la constante (sin variables
explicativas) se observa que el logaritmo neperiano de la función de
verosimilitud nueva es de ln L(ω)= -2345.4
e) las medias de las variables son:
X 1 = 9 X 2 = 1,8 X 3 = 2 X 4 = 0,7 X 5 = 7,8
SE PIDE:
1) ¿Qué método de estimación se utilizó para este modelo si entendemos que
el investigador no se equivocó?
2)
¿Cómo juzga Ud. este modelo a la luz de los resultados obtenidos?
3)
¿Cómo se interpreta el coeficiente de X2?
EJERCICIO 2
A partir de una encuesta de marketing sobre consumo de bebidas light se observó
que de 100 personas encuestadas, (57 mujeres y 43 hombres), el 63% prefería
esta categoría de bebidas a las tradicionales. Esta preferencia resultó ser
sensiblemente superior entre las consumidoras mujeres, de las 57 encuestadas,
45 respondieron afirmativamente. Contrariamente, entre los 43 encuestados de
sexo masculino, sólo 18 manifestaron preferirlas.
Para analizar esta comportamiento particular se especificó el modelo
econométrico siguiente:
F(X, a0 , a1 ) = P(Y = 1) =
1
1 + exp(- a0 - a1* SEXO)
donde,
Y=1 si el individuo prefiere las bebidas light
Y=0 en el caso contrario.
SEXO=1 si sexo femenino
SEXO=0 si sexo masculino
A partir de los datos de la encuesta realizada sobre una muestra de 100
individuos, se estimaron por el método de máxima verosimilitud los parámetros
del modelo anterior, y en una segunda etapa se estima el modelo restringido,
donde a1=0, obteniendo los resultados siguientes:
[1] Modelo sin restricción
coef. Variable
Estim.
Err.Std.
a0
Constante
-0.328
0.031
a1
SEXO
1.650
0.448
ln L= ln(LH)= -58.568
[2] Modelo con restricción a1=0
coef
Variable
b0
Constante
Estim.Err.Std.
0.53220.207
En este caso el log de la función de verosimilitud se define como:
100
100
ln (LH) =
∑
i =1
y i * ln F ( b 0 )
+ ∑ (1 - y
i
) * ln [1 - F( b 0 )]
i=1
SE PIDE:
(a) Analizar los resultados de la estimación en [1] explicitando la
significación estadística y la interpretación de los estimadores.
(b) Calcular ln[LH] para el modelo [2] y verificar la validez de la restricción
a1=0.
(c) Mostrar que en el caso del modelo lineal Y= b0 + b1*X + u, donde Y es una
variable binaria y el residuo u tiene media 0, éste es heteroscedástico.
Explicitar los problemas de estimación y de formulación que se presentan.
EJERCICIO 3
Se busca analizar los factores que diferencian a las empresas exportadoras
dinámicas, a partir de una muestra de 100 firmas exportadoras. Se propone
estimar el modelo logit siguiente:
[1]
P(Y = 1) = F(X, β ) =
1
1 + exp(-X.β )
donde Y=1, si la empresa es dinámica; Y=0, si la empresa no lo es.
X , vector de variables que identifican la estrategia de la empresa;
β: vector de parámetros.
Los resultados obtenidos de la estimación por máxima verosimilitud son los
siguientes:
Ln(Verosimilitud)= ln[LH]= -12.78
Coef. Variable
β0
β1
β2
β3
β4
β5
Coef.Estim.
Constante
Flex (var.binaria)
Ps.Prd(var.continua)
Ps.Tec(var.continua)
Acuerdos (var.binar)
% Región (var.cont.)
-4.052
2.518
0.012
0.211
2.605
-1.042
Err.Std.
T-Stat
1.727
1.442
0.006
0.103
1.430
0.573
-2.346
1.741
2.005
2.045
1.821
-1.818
donde:
*
Flex=1 si la empresa tiene una estructura de producción flexible, en caso
contrario Flex=0.
*
Ps.Prd, Ps.Tec: representa el total de personal de producción y personal
técnico respectivamente.
*
Acuerdos=1, si la empresa inició su actividad exportadora motivada por las
preferencias otorgadas por los acuerdos comerciales con los países de la
Región.
*
% Región: representa el % de las exportaciones de la firma a la Región
(Brasil y Argentina) en el total de sus exportaciones.
En una segunda etapa se estimó el modelo [1] imponiendo las siguientes
restricciones al modelo inicial [2] β1=β2=β3=β4=β5=0.
La estimación del modelo con restricciones por máxima verosimilitud, da como
resultado: ln L[LH]= -23.05
SE PIDE: 1)Explicite las ventajas del modelo logit sobre el modelo de
probabilidad lineal.
2) Analizar los resultados presentados y verificar la validez de las
restricciones [2].
EJERCICIO 4
Se desea explicar los determinantes de que llevan a los trabajadores de una
rama a sindicalizarse o no, para lo cual se estima un modelo logit siguiente
en base a una encuesta a 595 trabajadores (valores de t entre paréntesis):
ln [Pi/(1-Pi)] = 2.734 - 0.74 EXP -0.68.EDU - 0.483.SEX + 1.038. OCUP +
(3.27) (-1.15) (-1.93)
(-1.85)
(6.27)
0.114.MANUF + 0.247. ESTCIV + 0.567. LUGRES.
(1.96)
(1.68)
(2.34)
donde:
EXP: experiencia en años en el trabajo.
EDU: años de educación.
SEX: variable dummy con 1= mujer y 0= hombre
OCUP: variable dummy con 1= ocupaciones manuales y 0= no manuales.
MANUF: variable dummy con 1= rama industrial manufacturera, 0= otro caso.
ESTCIV: variable dummy con 1= casado o unido y 0 otro caso.
LUGRES: variable dummy con 1= residencia en Montevideo y 0 en el resto.
Se sabe además que:
(i)
el logaritmo de la función de verosimilitud en la estimación anterior
dio -312.37
(ii) el pseudo R2 de McFadden fue calculado en 0.201
(iii) el logaritmo de la función de verosimilitud de la estimación sin
considerar las variables LUGRES ni MANUF fue -410.34
SE PIDE:
a) Comentar la calidad y razonabilidad de cada variable del modelo completo
anteriormente presentado, indicando las propiedades de los estimadores
utilizados.
b) Indique cómo calcularía el efecto marginal en la probabilidad de
sindicalización de la variable LUGRES (por ejemplo, cúanto cambiaría y en
qué sentido la probabilidad de sindicalizarse de un trabajador que se muda
a Montevideo).
c) Pruebe la hipótesis (al 5%) de que las variables LUGRES y MANUF son
significativas conjuntamente, indicando claramente hipótesis nula, región
crítica y decisión tomada.
EJERCICIO 5
Se realiza en una ciudad un estudio para estudiar los factores explicativos
de la decisión de los consumidores por seleccionar el crédito más barato antes
de hacer una compra. Al respecto se observa que el consumidor no siempre hace
una búsqueda previa y así muchas veces no compara entre créditos del proveedor
o bancarios. Para modelizar el problema se consideran las siguientes
variables:
FUENTE: variable dummy con 1= si el consumidor seleccionó el crédito más
barato, 0= en caso contrario
ALTOC: dummy 1= el consumidor incurrió en altos costos al buscar el crédito
más barato, 0= en caso contrario.
ANTES: dummy 1= el consumidor utilizó previamente la fuente de crédito
elegida, 0= en caso contrario.
TAMANO: tamaño del crédito en una escala de 1 a 6, en orden creciente.
INGRESO: ingreso del consumidor.
RECHANT: dummy 1= el consumidor tuvo rechazos anteriores a solicitudes de
crédito, 0= en caso contrario.
RECHHOY: dummy 1= el consumidor es rechazado en esta solicitud de crédito,
0= en caso contrario.
SANCION: dummy 1= el consumidor teme a las sanciones por incumplimiento, 0=
en caso contrario.
LUGAR : dummy 1= el consumidor vive en la ciudad del otorgante, 0= en caso
contrario.
A los efectos de modelizar la decisión de seleccionar o no el crédito más
barato de plaza, se plantea el siguiente modelo:
LS // Dependent Variable is FUENTE
SMPL range: 1 100
Number of observations: 100
========================================================================
VARIABLE
COEFFICIENT
STD. ERROR
T-STAT.
2-TAIL SIG.
========================================================================
C
0.2705197
0.1313461
2.0595949
0.0423
ALTOC
0.0739448
0.1943647
0.3804435
0.7045
ANTES
0.2912300
0.0893644
3.2589030
0.0016
TAMANO
0.0546167
0.0231947
2.3547061
0.0207
INGRESO
6.399E-06
3.890E-06
1.6449111
0.1034
RECHANT
-0.0860358
0.1038707
-0.8282970
0.4097
RECHHOY
0.0120319
0.1690905
0.0711566
0.9434
SANCION
0.0694218
0.1924804
0.3606696
0.7192
LUGAR
0.0978643
0.1051313
0.9308768
0.3544
========================================================================
R-squared
0.221826
Mean of dependent var
0.710000
Adjusted R-squared
0.153416
S.D. of dependent var
0.456048
S.E. of regression
0.419610
Sum of squared resid
16.02259
Log likelihood
-50.33533
F-statistic
3.242562
Durbin-Watson stat
1.554376
Prob(F-statistic)
0.002722
========================================================================
Como se observa que algunas variables no son muy significativas se opta por
un modelo más parco cuya salida se presenta a continuación:
LS // Dependent Variable is FUENTE
SMPL range: 1 100
Number of observations: 100
========================================================================
VARIABLE
COEFFICIENT
STD. ERROR
T-STAT.
2-TAIL SIG.
========================================================================
C
0.2637668
0.1088323
2.4236080
0.0173
ALTOC
0.0538265
0.1898632
0.2835017
0.7774
ANTES
0.2968236
0.0872215
3.4031022
0.0010
TAMANO
0.0564739
0.0227219
2.4854390
0.0147
INGRESO
6.466E-06
3.665E-06
1.7642790
0.0809
========================================================================
R-squared
0.206925
Mean of dependent var
0.710000
Adjusted R-squared
0.173533
S.D. of dependent var
0.456048
S.E. of regression
0.414594
Sum of squared resid
16.32941
Log likelihood
-51.28373
F-statistic
6.196737
Durbin-Watson stat
1.467090
Prob(F-statistic)
0.000179
========================================================================
PARTE A
SE PIDE:
a.1) Comente sobre la modelización realizada indicando las ventajas
inconvenientes de plantear el modelo de la manera en que fue realizado.
e
a.2) Compare los modelos anteriores utilizando un test asintótico conveniente.
Dado que los inconvenientes de la anterior modelización fueron considerados
excesivos, se opta por un modelo logit, cuyas salidas se presentan a
continuación:
LOGIT // Dependent Variable is FUENTE
SMPL range: 1 100
Number of observations: 100
Convergence achieved after 4 iterations
========================================================================
VARIABLE
COEFFICIENT
STD. ERROR
T-STAT.
2-TAIL SIG.
========================================================================
C
-1.5747465
0.7789884
-2.0215277
0.0462
ALTOC
0.6740321
1.5122936
0.4457019
0.6569
ANTES
1.6300818
0.5205796
3.1312824
0.0023
TAMANO
0.3995130
0.1664400
2.4003422
0.0184
INGRESO
4.167E-05
2.439E-05
1.7084777
0.0910
RECHANT
-0.4845424
0.5624051
-0.8615541
0.3912
RECHHOY
-0.0992501
0.8994445
-0.1103459
0.9124
SANCION
0.3625645
1.1195969
0.3238349
0.7468
LUGAR
0.6280505
0.6559669
0.9574424
0.3409
========================================================================
Log likelihood
-47.708822
Cases with FUENTE = 1
71
Cases with FUENTE = 0
29
========================================================================
LOGIT // Dependent Variable is FUENTE
Date: 11-30-1997 / Time: 19:10
SMPL range: 1 100
Number of observations: 100
Convergence achieved after 2 iterations
========================================================================
VARIABLE
COEFFICIENT
STD. ERROR
T-STAT.
2-TAIL SIG.
========================================================================
C
0.8953840
0.2203513
4.0634381
0.0001
========================================================================
Log likelihood
-60.215168
Cases with FUENTE = 1
71
Cases with FUENTE = 0
29
========================================================================
PARTE B:
b. 1) Estime la probabilidad de que una persona que no tuvo costos elevados
de búsqueda, que utilizó la actual fuente de préstamo previamente, con un
monto solicitado de crédito en una escala de 4, con $25000 de ingreso, sin
antecedentes de rechazos previos ni actuales, sin temores a sanciones y
viviendo en la ciudad del proveedor de crédito, haya seleccionado el crédito
más barato.
b. 2) Calcule una medida de bondad del modelo logit estimado.
b. 3) Plantee la forma de la función de verosimilitud que está implícita en
la estimación anterior e indique cuál serían, a su juicio, los más útiles
valores iniciales a dar a los parámetros en la optimización de la misma.
EJERCICIO 6
Se postula una relación teórica entre una variable y*:
y* = β1 + β2.x2 + u.
Al contrastarlo empíricamente, se sabe que la variable y* es censurada y, en
realidad, se observa sólo sí es mayor o igual a cero. Por ello se opta por
estimar un modelo tobit, para lo cual se observan 20 observaciones y se
redefine el modelo teórico así:
y = y* si y* ≥ 0
= 0
en otro caso
Para estimar el modelo tobit se cuenta con la siguiente información:
y
x2
y
x2
0
0
0
0
3.1348
3.508
0.8312
8.0064
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3.9048
6.5144
5.9772
3.726
10.4124
16.9064
9.2968
7.8916
14.2164
2.9352
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11
Al estimarlo se utiliza el software LIMDEP 7.0 del cual surgen las siguientes
salidas:
--> TOBIT;Lhs=Y;Rhs=ONE,X2$
+-----------------------------------------------------------------------+
| Limited Dependent Variable Model - CENSORED
Regression
|
| Ordinary
least squares regression
Weighting variable = none
|
| Dep. var. = Y
Mean=
4.863080000
, S.D.=
4.999494698
|
| Model size: Observations =
20, Parameters =
2, Deg.Fr.=
18 |
| Residuals: Sum of squares= 465.0228905
, Std.Dev.=
5.08278 |
| Fit:
R-squared= .020807, Adjusted R-squared =
-.03359 |
| Model test: F[ 1,
18] =
.38,
Prob value =
.54403 |
| Diagnostic: Log-L =
-59.8423, Restricted(b=0) Log-L =
-60.0526 |
|
LogAmemiyaPrCrt.=
3.347, Akaike Info. Crt.=
6.184 |
+-----------------------------------------------------------------------+
+---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+
|Variable | Coefficient | Standard Error |b/St.Er.|P[|Z|>z] | Mean of X|
+---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+
Constant 4.399890411
1.3611271
3.233
.0012
X2
.2988319928E-01 .48319808E-01
.618
.5363 15.500000
Normal exit from iterations. Exit status=0.
+---------------------------------------------+
| Limited Dependent Variable Model - CENSORED |
| Maximum Likelihood Estimates
|
| Dependent variable
Y
|
| Weighting variable
ONE
|
| Number of observations
20
|
| Iterations completed
4
|
| Log likelihood function
-51.19597
|
| Threshold values for the model:
|
| Lower=
.0000
Upper=+infinity
|
+---------------------------------------------+
+---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+
|Variable | Coefficient | Standard Error |b/St.Er.|P[|Z|>z] | Mean of X|
+---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+
Primary Index Equation for Model
Constant 2.773231770
1.8644910
1.487
.1369
X2
.5410185033E-01 .62094804E-01
.871
.3836 15.500000
Disturbance standard deviation
Sigma
6.429371360
1.3031508
4.934
.0000
SE PIDE:
1) Analice la pertinencia de la utilización del modelo tobit como método
de estimación de una variable dependiente censurada.
2) ¿Qué hubiera cambiado del análisis anterior si usáramos un modelo de
variable dependiente truncada?
3) Analice las salidas de LIMDEP evaluando el modelo tobit y el modelo
estimado por MCO.
EJERCICIO 7
Se desean analizar los determinantes del ingreso per cápita de los hogares
que se encuentran bajo la línea de pobreza en Uruguay. Para ello, se plantea
el trabajo con una muestra de 350 hogares calificados previamente como
"pobres".
El modelo planteado es:
yi = β0 + β1.X1i + β2.X2i + β3.X3i + β4.X4i + β5.X5i + ui
donde:
y = log del ingreso per cápita del hogar (yi > línea de pobreza)
X1 = años de educación del jefe del hogar
X2 = sexo del jefe del hogar (variable dummy 1=hombre, 0=mujer)
X3 = variable dummy de actividad del jefe (1=ocupado, 0=no ocupado)
X4 = cantidad de perceptores de ingreso en el hogar
X5 = rama de actividad del jefe (1= servicios y comercio, 0= otras).
SE PIDE:
1) Indicar si el método de los MCO es apropiado para encarar la
estimación del modelo planteado. En caso de no serlo, describa el
método más apropiado para proceder fundamentando la razón en un
sentido u otro.
2) Suponiendo que se estimó el modelo utilizando el mejor método de
estimación en función del punto 1) se obtuvo el siguiente modelo
estimado:
yi = 0.324 + 1,724.X1 + 1,836.X2 + 0,107.X3 + 0,987.X4 + 1,234.X5
(0.23) (4.21)
(8.31)
(7.32)
(12.43)
(3.92)
(Wald entre paréntesis)
ln L(β) = -2252.36
Además, si se supone β1 = β2 = β3 = β4 = β5 = 0 y se estima nuevamente el
modelo anterior, se obtuvo que:
ln L(β) = -3886.58
De acuerdo a lo anterior, indique -utilizando la prueba de hipótesis que
Ud. juzgue adecuada- si el modelo estimado es o no significativo al 95%.
3) Plantee la forma de la función de verosimilitud a maximizar en el
modelo en caso de estimarlo por el método de máxima verosimilitud
realizando los supuestos que Ud. juzgue necesarios.
EJERCICIO 8
A los efectos de estudiar los factores explicativos de las horas
trabajadas de las mujeres en Montevideo, se estimaron varios modelos que
se complementan (son resultados ficticios):
1) un modelo probit explicativo de la tasa de actividad de las mujeres en
función de características individuales de las mujeres y del hogar de
pertenencia.
2) Un modelo de regresión lineal explicativo de su salario (ecuación
salarial en el sentido de Mincer) incorporando como variable
explicativa el llamado “sesgo de selección”.
3) Un modelo tobit explicativo de las horas trabajadas de las mujeres en
función de características individuales y del hogar de origen.
4) Finalmente se realizó, para el modelo tobit, la descomposición de
McDonald y Moffit a los efectos de contar con mayor poder explicativo
de los resultados obtenidos.
Los resultados resumidos fueron:
1) Modelo Probit
Variable explicada: Y (1: activa; 0: inactiva)
Variables explicativas:
Coeficiente
Constante
0.0443
Edad
-0.0268
Educación
0.4156
Estado Civil
-0.0958
Jefe (1,0)
0.7039
Ingr.total
Del hogar sin muj.
-0.0010
Otros ingresos
-0.0007
Niños de 0 a 2
-0.3193
Niños de 3 a 5
-0.1192
Niños de 6 a 12
-0.0480
Serv.doméstico
0.8281
Cant.de desocup.
0.3604
Cant.de preceptores
0.4824
Log likelihood: -1250.7
Número de observaciones: 2624
t
0.14
-5.71
11.29
-2.58
4.66
-6.12
-4.13
-5.22
-2.04
-1.41
3.33
4.68
14.47
2) Ecuación Salarial con sesgo de selección (λ)
Variable explicativa: W (salario por hora)
Variables explicativas:
Coeficiente
Constante
-1.96625
Edad
0.00581
Edad al cuadrado
-0.0251
Educación
0.34989
Ingr.Total del hogar
Sin la mujer
0.0034
λ
0.18828
t
-16.82
2.428
3.21
15.66
4.189
2.238
R2 corregido: 0.48
3) Modelo tobit
Variable explicativa: HRS (horas trabajadas)
Variables explativas:
Coeficiente
Constante
-6.822
Edad
-0.2008
Educación
2.1532
Estado Civil
-1.6448
Jefe
15.3362
Ingr.total del
Hogar sin mujer
-0.02830
Niños de 0 a 2
-0.00185
Niños de 3 a 5
-2.25421
Niños de 6 a 12
-0.96392
Serv.doméstico
1.2372
Número desocupados
-18.089
Número de preceptores 11.1137
Salario de Reserva (W) 16.05272
t
-1.026
-1.778
1.453
-1.64
5.072
-4.641
-3.835
-1.546
-1.1513
3.35
-9.834
14.41
2.019
Varianza estimada σ2: 1022.4
Log likelihood: -8264
Número de observaciones: 2624
(El salario de reserva surge de imputarle un salario a las mujeres que no
son activas de acuerdo al modelo 2.
4) Descomposición de McDonald y Moffit:
Calculada en la media de las variables, el 45.6% del efecto total se debe
a cambios en las variables por encima de cero, es decir de cambios en el
conjunto de variables explicativas en las horas trabajadas, sabiendo que
ectivamente son activas.
SE PIDE:
a) Comente los resultados de los modelos.
b) Explicite la forma del sesgo de selección λ y su significado.
c) Explicite los componentes de la descomposición de McDonald y
Moffit y su significado.
d) Indique cómo estimaría el modelo tobit por el método bietápico de
Heckman. ¿Qué relación guarda con lo realizado anteriormente?