apuntes de mecánica cuántica

Enrique Cantera del Río
Apuntes de Mecánica Cuántica
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APUNTES DE MECÁNICA CUÁNTICA
Introducción.
Sistemas de Coordenadas en Mecánica Cuántica.
El operador momento angular de una partícula en coordenadas esféricas.
La ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno. Armónicos Esféricos.
Teoría general del momento angular de una partícula en mecánica cuántica.
El oscilador armónico unidimensional en mecánica cuántica.
Hacia la segunda cuantización.
Apéndice Matemático.
Referencias.
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Introducción.
Para que la ciencia sea posible debe haber luz y debe haber un observador, es decir,
alguien que sea capaz de extraer información de la luz. La limpieza intelectual mas
elemental exige reconocer a la luz como el mensajero del conocimiento; y como suele
decirse “no debemos matar al mensajero”.
Durante decenas de miles de años la humanidad observó las estrellas y planetas.
Esas luces del firmamento se ordenaron en constelaciones de modo que a lo largo del
tiempo llevaron a los observadores a la idea de un movimiento cíclico y repetitivo de
los cielos; llegando a pensar incluso que el tiempo mismo era cíclico. Como dijo
Einstein, “Nuestras ideas dependen de nuestras experiencias como la ropa de la forma
de nuestros cuerpos.” Se distinguieron las estrellas del firmamento por su brillo y su
color, dos propiedades de la luz que ahora sabemos son una medida de la potencia de
emisión de energía y la temperatura de la estrella respectivamente, o de cualquier otro
emisor térmico de luz. La luz y la geometría están unidas desde el origen. Es fácil
observar una parte de la luz procedente directamente del sol que atraviesa un
pequeño orificio en una habitación oscura. Ese cilindro de luz pasa a ser un cono si la
fuente de luz está relativamente ceca del pequeño agujero. Pero cuanto mas se aleja
la fuente mas se parece el cono de luz a un cilindro. Evidentemente el sol está muy
alejado y los rayos componentes de su luz nos llegan por tanto prácticamente
paralelos unos respecto a otros. Estos rayos no son mas que pequeños cilindros por
los que circula una determinada cantidad de luz. Los rayos de fuentes de luz cercanas
no son en general paralelos entre sí y proyectan sombras menos nítidas (penumbra).
Los rayos pueden ser reflejados en espejos, también pueden ser absorbidos por la
materia o cambiados de dirección (refractados) sin ser absorbidos en medios
transparentes como el cristal de una lente. La refracción y la reflexión de la luz son la
base de los microscopios y telescopios ópticos; auténticos símbolos del observador y
de la ciencia. La refracción de un rayo de luz solar al pasar por un prisma triangular
transparente revela que nuestro rayo es la unión de rayos de distintos colores. Si entra
un cilindro de luz al prisma sale una dispersión angular de rayos coloreados limitada
por los colores violeta y rojo; esto es debido a la ley de refracción y a que la velocidad
de la luz en el prisma depende del color de cada rayo. No es el prisma el que produce
los colores, los colores ya estaban en el rayo incidente. Si se coloca un termómetro
sobre los rayos de salida no se observa ningún efecto térmico asociado a ningún color,
salvo cuando se coloca mas allá del extremo rojo (infra-rojo) en una zona donde no se
aprecia luz a simple vista. Este efecto térmico también se da en el rayo de sol original
y por tanto hay mas “luz” de la que vemos a simple vista. La dispersión de rayos que
sale de un prisma hace que los rayos de distintos colores no sean paralelos entre sí al
salir del prisma, pero los rayos de un mismo color en el haz de salida si lo son. Con un
pequeño telescopio (catalejo) montado adecuadamente en la dirección de salida de
uno de los colores y a cierta distancia del prisma se puede ver exclusivamente el color
asociado a esa dirección de salida. En la interpretación ondulatoria de la luz el color
está asociado a la longitud de onda, y al ser este un número real …¿existen infinitos
colores?. Utilizando un pequeño catalejo enfocado sobre la luz que sale del prisma y
montado todo en una mesa giratoria (espectroscopio) es posible ver si la luz del sol
emite rayos en una longitud de onda muy precisa o no lo hace. Se descubren así las
líneas oscuras de Fraunhofer : colores (longitudes de onda) no incluidos en la luz
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solar. Con el tiempo se descubre la forma de atomizar la materia aplicando calor o
corriente eléctrica que descompone las moléculas. El propio sistema de atomización
hace que los átomos “estén calientes” y emitan luz que puede ser analizada en el
espectroscopio. Se observa que la luz que emiten los átomos solo incluye una serie de
colores (longitudes de onda) discretos y no gamas continuas como la luz del sol. Este
conjunto discreto de líneas representa una huella dactilar distintiva del átomo
correspondiente. Posteriormente se desarrollan los espectros de absorción en los que
una muestra atomizada absorbe luz de una fuente. Se constatan las mismas
longitudes de onda para la luz absorbida y para la luz emitida en el espectro de
emisión del mismo elemento químico. Se interpretan las líneas negras de Fraunhofer
como luz absorbida por átomos de gases relativamente fríos situados en las capas
exteriores del sol o en la atmósfera terrestre y se identifican los gases
correspondientes menos uno, el Helio, que era desconocido y fue descubierto y
analizado posteriormente en la tierra.
El experimento de Rutherford revela la estructura interna del átomo :un núcleo que
acumula toda la carga positiva y un conjunto de electrones moviéndose alrededor del
núcleo y que compensan su carga. La física conocida dice que si el electrón se mueve
alrededor del núcleo es una carga acelerada y por tanto debe emitir energía en forma
de radiación. Existe soporte experimental de esto en los aceleradores de partículas y
en el fenómeno Bremsstrahlung, hechos conocidos en la época. La emisión teórica de
energía es tal que el electrón debería precipitarse hacia el núcleo en una fracción
tremendamente pequeña de 1 segundo. Pero el experimento no deja lugar a dudas y
este resultado desata en la física una ola de cambios solo comparables a la
introducción del modelo Copernicano en la mecánica clásica. En 1913 Bohr introduce
un modelo del átomo de hidrógeno similar a un planeta (electrón) orbitando alrededor
del sol (núcleo); pero incluyendo el concepto de cuanto de acción desarrollado por
Planck y Einstein en su explicación de aspectos anómalos (cuánticos) de la interacción
entre luz y materia. El concepto clave del modelo propuesto por Bohr es el de estado
cuántico del electrón : el electrón es capaz de mantener un estado estable y duradero
en el átomo de hidrógeno. El modelo consigue explicar con éxito los resultados
espectroscópicos del átomo de hidrógeno y por tanto la hipótesis del estado cuántico
del electrón se extiende al resto de los átomos como explicación natural de sus
espectros. También fenómenos como el efecto Zeeman [5] o la ley de Moseley [6] se
reinterpretan según la hipótesis del estado cuántico del electrón. Del efecto Zeeman se
derivan conceptos importantes como el de razón giromagnética, spin, interacción spínórbita etc. La ley de Moseley supone una ampliación de las predicciones del modelo
de Bohr que introduce el concepto de apantallamiento de carga para átomos
polielectrónicos; concepto que evolucionará hasta el concepto de capas electrónicas
del átomo. Sin el estado cuántico del electrón este se precipitaría al núcleo, los átomos
desaparecerían y nada de lo que consideramos físicamente real existiría. Por tanto
debemos considerar el estado cuántico del electrón algo “duro” y “duradero”, ya que
está en la base de la realidad física. La mecánica cuántica se desarrolla para
obtener una descripción matemática satisfactoria del estado cuántico y sus
propiedades[7]; descripción que resulta matemáticamente compleja y conceptualmente
es una difícil combinación de conceptos clásicos y conceptos cuánticos. Según el
premio Nobel Richard Feynman, “Nadie entiende realmente la mecánica cuántica”.
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Sistemas de Coordenadas en Mecánica Cuántica.
En física clásica el proceso de medida se introduce teóricamente por medio de los
sistema de coordenadas. Los sistemas de coordenadas son una refinada abstracción
de la “vulgar” regla de medida; y en relatividad también del ”vulgar” reloj. Elegimos el
sistema de coordenadas que simplifique mas las medidas que requiere nuestro
problema. Aunque la lógica nos dice que una cosa es definir un sistema de
coordenadas y otra cosa es obtener información (medida) procedente de dicho
sistema, la física clásica asume sin mas que una vez definido el sistema de
coordenadas la obtención de información es inmediata y no requiere ninguna
consideración adicional. Imagine el lector un sistema de coordenadas formado por un
gran conjunto de relojes muy pequeños (puntuales) distribuidos en una zona del
espacio. Los relojes están en reposo respecto al observador y sincronizados entre si;
de modo que cada reloj “conoce” su posición (x,y,z) y la hora actual (t). Una partícula
se mueve en el sistema y queremos saber las posiciones que ocupa a medida que
pasa el tiempo. Es evidente que esta información no es intrínseca a la partícula ni al
sistema de coordenadas, sino que depende de en un proceso en que la partícula y el
sistema de coordenadas interaccionan. La forma mas sencilla es que la partícula emita
una señal que capta un reloj próximo, tan próximo como queramos, de modo que en
dicho reloj quedan memorizados los valores (x,y,z,t) asociados a la partícula. Si la
señal emitida es un fotón provocará una reacción en la partícula según el principio de
conservación del impulso mecánico y según el principio de Heisenberg esto llevará
asociado una imprecisión en la posición de la partícula. En caso de partículas
atómicas la imprecisión en la posición puede ser mayor que el tamaño de la propia
partícula. ¿De qué sirve entonces nuestro sistema de coordenadas en el caso de
partículas en el dominio atómico?
La Mecánica Cuántica, partiendo de datos experimentales, fundamentalmente
espectroscópicos, sobre el comportamiento de la materia a escala atómica, propone
un replanteamiento radical de la física introduciendo una serie de nuevos conceptos
fundamentales:
1-Una partícula ya no se representa como una función trayectoria parametrizada por el
tiempo : [x(t),y(t),z(t)] sino como una función ψ(x,y,z,t) compleja ;es decir, con parte
real e imaginaria; en el dominio de todo el sistema de coordenadas y el tiempo. Los
atributos mas importantes de esta función son
1.1-Su módulo al cuadrado está relacionado con la probabilidad de localizar la
partícula en un volumen diferencial dxdydz entorno un punto (x,y,z)
1.2-Dar cuenta de la dualidad onda/partícula; de modo que puede provocar
fenómenos lineales de interferencia y difracción debido a su carácter complejo;
como el caso de la experiencia de la difracción por doble rendija de Young. De
esto debemos esperar que ψ(x,y,z,t) esté relacionada con una ecuación
diferencial lineal similar a la de Helmholtz [2] y veremos que se trata de la
ecuación de Schrödinger.
Esta función ψ(x,y,z,t) corresponde al estado cuántico de la partícula y carece de
dimensiones; las dimensiones están asociadas a los correspondientes operadores.
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Note que ψ(x,y,z,t) no supone un mayor conocimiento de la estructura interna de la
partícula que sigue considerándose puntual.
2-La medida de una magnitud física relevante : posición, impulso mecánico y angular,
energía, etc; está asociada a la acción de un operador matemático lineal sobre la
función de onda o estado postulado en el punto anterior. Este operador incluye
derivadas parciales y tiene también parte real y parte imaginaria. Si A es uno de estos
operadores, entonces el conjunto de valores posibles ai resultantes de una medida de
la magnitud correspondiente verifica la ecuación de valores propios del operador:
A ψi(x,y,z,t)=ai ψi(x,y,z,t)
las funciones ψi describen los posibles estados de la partícula. Si conocemos el
operador A, la expresión anterior corresponde a una ecuación diferencial que puede
resolverse obteniendo el conjunto de valores y funciones propias {ai , ψi(x,y,z,t)}
3-Existe un álgebra de operadores cuyo conocimiento es indispensable. Dados dos
operadores A,B se define el operador de conmutación [A,B] = AB-BA. Si el conmutador
no es nulo entonces el resultado de las medidas de A y B no es independiente del
orden en que se tomen y podemos decir que el resultado conjunto de las dos medidas
incluye algún tipo de interferencia o indeterminación. Si el conmutador es nulo,
entonces esta interferencia no existe y los operadores A,B comparten el mismo
conjunto de funciones propias {ψi(x,y,z,t)}, pero con distintos valores propios. Si el
conmutador no es nulo, entonces no existe ningún estado cuántico ψ(x,y,z,t) que tenga
valores bien definidos para las magnitudes asociadas a los operadores A y B.
Es importante resaltar que sigue siendo básica la existencia de un sistema de
coordenadas al estilo de la física clásica; sin embargo la mecánica cuántica introduce
un nuevo objeto entre el sistema de coordenadas y la medida : el operador. Además
el operador puede escribirse en el contexto del sistema de coordenadas utilizado, es
decir, utilizando derivadas parciales de las coordenadas. Un operador básico es el
impulso mecánico de una partícula cuya forma y ecuación de valores propios es
  
p  i , ,   i
 x y z 
 i ( x, y, z , t )  ( px , p y , pz ) ( x, y, z , t )  p ( x, y, z , t )
La interpretación física del principio de incertidumbre de Heisenberg muestra que no
podemos medir simultáneamente la posición y el impulso mecánico de una partícula.
En términos de operadores, si asignamos un operador posición (X,Y,Z) de la forma
(X,Y,Z)ψ(x,y,z,t)=(x,y,z) ψ(x,y,z,t), el principio de Heisenberg nos dice que no existe
ningún estado cuántico en el que una partícula tenga una posición y un impulso
mecánico definidos con exactitud. El principio también indica que el estado cuántico
del electrón no es aplicable exclusivamente al átomo, sino que es una propiedad
intrínseca de cualquier partícula.
Otro operador básico es el momento angular que puede definirse a partir del anterior
como
  
L  r  p  i( x, y, z )   , , 
 x y z 
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El gradiente es una operación diferencial asociada a un punto y r es el radio-vector a
ese punto desde el origen de coordenadas. Note el lector que los operadores
presentados son mas bien definiciones y que la mecánica cuántica solo ofrece reglas
heurísticas para la formulación de los operadores. En todo caso existe un álgebra
básica de conmutadores; que puede demostrarse fácilmente. Para cualesquiera
operadores A,B,C:
[ A, C ]  [C , A]
[ A  B, C ]  [ A, C ]  [ B, C ]
[ A, BC ]  [ A, B ]C  B[ A, C ]
El operador Momento Angular de una partícula en coordenadas esféricas.
Podemos aprovechar el álgebra del operador gradiente desarrollado en el trabajo
sobre mecánica de fluidos [1](apéndice matemático). En este caso podemos introducir
el operador gradiente en coordenadas cartesianas por medio de la inversa de la matriz
de giro local : GL-1 , aplicada al operador gradiente en esféricas. Utilizando la forma
matricial
(tensorial)
del
producto
vectorial
tenemos
r  ( x, y, z )  (r sin(  ) cos( ), r sin(  ) sin(  ), r cos( ))
 r cos( )
r sin(  ) sin(  )
 0  z y  p x 
 0

 

L  r p   z
0  x  p y   i r cos( )
0
 r sin(  ) cos( )
  y x 0  
  r sin(  ) sin(  ) r sin(  ) cos( ) 0

 p z 

  x 
 
  y ;
 
  z 




r


x 
 
 

1
  y   GL 

 
 r


 z
  


 r sin(  ) 





r

 Lx   0
 r cos( )
r sin(  ) sin(  )  sin(  ) cos( ) cos( ) cos( )  sin(  ) 


 
1   
L

r
cos(

)
0

r
sin(

)
cos(

)
sin(

)
sin(

)
cos(

)
sin(

)
cos(

)
 y 



i   
r

 cos( )

 sin(  )
0

 
 Lz    r sin(  ) sin(  ) r sin(  ) cos( ) 0




 r sin(  ) 
 Lx   0  r sin(  )
1   
r cos( )
 Ly    0
i   
0
0
L

 z





r

 r cos( ) cos( ) 

 
 r cos( ) sin(  ) 

r


r sin(  )
 




 r sin(  ) 

 
Lx
 sin(  )  cos( )  
i
tan( ) 

Ly

 sin(  )   cos( ) 
i
tan( )


Lz
 

i

de modo que obtenemos las componentes cartesianas del operador momento angular
expresadas en coordenadas esféricas. A partir de esto podemos definir también el
operador cuadrado del momento angular L2=(Lx)2+(Ly)2 +(Lz)2 en esféricas
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 
 
   cos( )
 L2x 
cos( )
 sin(  )  cos( )   sin(  )  cos( )    sin 2 ( )2 
 cos( )   sin(  ) cos( )    
 sin(  ) 
2
tan( )  
tan( ) 
tan 2 ( )

 tan( )  tan( )
 L2y 
 
 
   sin(  )
sin(  )
 cos( )  sin(  )   cos( )  sin(  )    cos 2 ( )2 
 sin(  )   cos( ) sin(  )     
 cos( ) 
2
2

tan( )  
tan( ) 
tan ( )

 tan( )  tan( )
 L2z
 2
2

2 

 L2  L2x  L2y  L2z   2 2 
 2 
tan( ) sin ( ) 

Para todos estos operadores introducidos podemos calcular, partiendo de su definición
y del álgebra de operadores, los siguientes conmutadores (ver apéndice)
[ Lx , Ly ]  iLz ; [ Ly , Lz ]  iLx ; [ Lz , Lx ]  iLy
L , L   L , L   L , L   0
2
z
2
2
y
x
Hasta ahora hemos seguido de alguna forma la mecánica clásica en la definición de
operadores; pero el álgebra nos permite introducir otros operadores que resultarán ser
importantes : los operadores de escalera L±=Lx±iLy. Podemos introducir y calcular
estos operadores en coordenadas esféricas de esta forma


L2  L2z  L2x  L2y  Lx  iL y Lx  iL y   i Lx , Ly  L2  L2z  Lz  L L
L





L Lx

 i y  sin(  )  cos( )   i sin(  )   cos( )   cos( )  i sin(  )   sin(  )  i cos( ) 
i i
i
tan( ) 
tan( )
tan( )

cos( )  i sin(  )

 

 i i sin(  )  cos( )  e  i    i  
tan( )
 tan( )

 

L  Lx  iL y  e i i
   
 tan( )

Lz , L   L ;
L , L   0
2

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el átomo de
Hidrógeno y el operador momento angular. Armónicos esféricos del Laplaciano.
Si el estado cuántico de una partícula ψ(x,y,z,t) se puede tratar como una onda
monocromática que verifica la ecuación de Helmholtz[2] podemos plantear el
movimiento de la partícula en un potencial V(x,y,z), tomando k como el vector de onda
y la relación de De Broglie entre impulso mecánico y vector de onda tenemos

E
2

p2 
 k 2  ( x, y, z )  0 ; p   k    2  2  ( x, y, z )  0
 


 2 2

p2
 V (r )   
  V ( x, y, z )  ( x, y, z )  E ( x, y, z )
2m
 2m

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Donde E representa, para bajas velocidades respecto a la luz, la energía mecánica de
la partícula afectada por el potencial V. Se puede presentar la ecuación de
Schrödinger como la respuesta al problema de hallar los estado cuánticos en los que
una partícula cargada cancela la emisión de radiación por carga acelerada y por tanto
la energía E debe considerarse una constante si en el estado cuántico no existe
pérdida ni ganancia de energía. En el caso del átomo de hidrógeno la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo para el electrón en coordenadas esféricas será

2 2
  (r ,  ,  )  V (r ) (r ,  ,  )  E (r ,  ,  )
2m
donde V(r) es el potencial Coulombiano y E la energía correspondiente al estado ψ(r,θ,
ϕ). Una condición para llegar a la ecuación anterior es que el potencial no sea función
del tiempo. Podemos encontrar los estados estacionarios de esta ecuación mediante
la técnica de la separación de variables; de forma similar a como hicimos en el trabajo
sobre la ecuación de onda [2] para el cálculo de las ondas estacionarias. De esto
modo dividimos el estado en dos factores que separan las variables r y (θ,ϕ) :
ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ, ϕ). Por otra parte veremos que la expresión del Laplaciano de la
ecuación de Schrödinger en esféricas incorpora de forma natural al operador L2 que
hemos visto antes.
2 
1
r2
   2  
 
1
 r

   2
 r  r   r sin(  )  
 2 
 
1

sin(  )     r 2 sin 2 ( )   2  



1
r2
   2    1 L2
 r
   2 2 
 r  r    r
  2 1    2    1 L2

 r

2 
   2m r 2  V (r ) R (r )Y ( ,  )  E R(r )Y ( ,  ) 
2
m
r

r

r






1 L2Y ( ,  )
1    2    2m 2
 
  2 r E  V (r )  R(r )
 r
2

Y ( ,  )

R (r )  r  r   

Siguiendo el método de separación de variables tenemos dos expresiones : a la
derecha una que depende exclusivamente de r y a la izquierda otra que depende
exclusivamente de (θ,ϕ). Siendo todas las variables independientes, esto solo puede
significar que λ es una constante en el proceso de integración de la ecuación de
Schrödinger. Podemos seguir con el procedimiento de separación de variables para
Y(θ, ϕ), pero también aplicar el álgebra de operadores derivado de la Mecánica
Cuántica. Dado que L2 y Lz son operadores que conmutan, estos dos operadores
comparten sus funciones propias. La función Y(θ,ϕ) encontrada en la separación de
variables es una función propia del operador L2 y por tanto también de Lz .
Aplicar los operadores L± a Y(θ,ϕ) generará nuevas funciones propias de L2 y Lz; pero
con la notable diferencia de que para estas nuevas funciones generadas a partir de
Y(θ,ϕ) el valor propio λ de L2 se mantiene (degeneración) y el valor propio m de LZ
aumenta o disminuye en una unidad (no degeneración). Las siguientes fórmulas,
fácilmente demostrables con el álgebra de conmutadores, dan cuenta de estas ideas
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 L2

L2
L  2 Y ( ,  )  Y ( ,  )  2 LY ( ,  )    LY ( ,  ) 



L
L

L  z Y ( ,  )  mY ( ,  )  z LY ( ,  )   m  1LY ( ,  ) 




Lz
Y ( ,  )  i Y ( ,  )  mY ( ,  )  Y ( ,  )  ( )eim

La última ecuación nos dice la forma de Y(θ,ϕ) como producto de funciones de cada
ángulo, lo cual está de acuerdo con la separación de variables. Además, si exigimos
que Y(θ,ϕ) sea una función univaluada de modo que, para (r,θ) fijos Y(θ,ϕ) se repita
cíclicamente cada 2π radianes en la variable ϕ; entonces los valores propios (m) solo
pueden ser números enteros : 0,±1,±2,…Aplicando conclusiones anteriores sobre la
forma de Y(θ,ϕ), la ecuación en valores propios para L2 nos lleva a
 2
2 
 2

L2

 
m2 
im
im
( ) 
Y
(

,

)






 ( )e   ( )e    

 ( )     2
2
2

tan( ) sin ( ) 
tan( ) 
sin ( ) 




1
m2 
 ( )
 sin(  ) ( )     2
sin(  )
sin ( ) 



Esta es una ecuación diferencial compleja, pero afortunadamente podemos aplicar
resultados vistos en el trabajo sobre la ecuación de ondas[2]. En este trabajo se
introdujeron los Polinomios de Legendre Pl(θ) en el contexto del desarrollo en serie del
potencial Coulombiano de una carga en reposo localizada fuera del centro de
coordenadas. El lector puede comprobar que tomando m=0 la ecuación anterior se
reduce a la ecuación diferencial de los polinomios de Legendre con la elección
λ=l(l+1), y l=0,1,2,3…Tenemos por tanto que los polinomios de Legendre son un
conjunto de soluciones válido de Y(θ,ϕ) parametrizados por el par de números (l,m=0).
Para l=1 el polinomio de Legendre es cos(θ) y es una función propia de los operadores
(L2,Lz). Si aplicamos los operadores de escalera a esta función tenemos
 

L
cos( )  e  i i     cos( )   sin(  )e  i

 tan( )

que son las funciones propias correspondientes a (l,m)=(1,±1). Si volvemos a aplicar el
operador escalera para generar las funciones de m=±2 tenemos
 

L
sin(  )ei  ei i     sin(  )ei  0

tan(

)



 

L
sin(  )e i  e i i     sin(  )ei  0

tan(

)


y, por supuesto, se anularán las correspondientes sucesivas aplicaciones de los
operadores de escalera. Esta es una propiedad general y puede demostrarse que,
para un valor dado de l los valores posibles de m son –l ≤ m ≤ l que hace un total de
2l+1 valores posibles para m, incluido m=0. El lector puede comprobar esto para el
siguiente polinomio de Legendre correspondiente a l=2, m=0 : P2(θ)= (3cos2(θ)-1)/2.
Enrique Cantera del Río
Apuntes de Mecánica Cuántica
10
De esta forma podemos construir un conjunto completo de soluciones dependientes de
dos números cuánticos y de variables angulares Ylm(θ,ϕ). Se puede demostrar que el
conjunto de funciones Ylm(θ,ϕ) es, respecto a funciones arbitrarias de dos variables
angulares f(θ,ϕ), análogo al conjunto de funciones {sin(nx),cos(nx)} para funciones f(x)
de una sola variable. Si según el teorema de Fourier podemos aproximar una función
f(x) como una suma infinita de funciones {sin(nx),cos(nx)}; resulta que se puede
demostrar que podemos hacer lo mismo con los Ylm(θ,ϕ) para cualquier función de dos
variables angulares f(θ,ϕ). En este sentido las Ylm(θ,ϕ) son un conjunto completo de
soluciones, ya que cualquier otra posible solución es una combinación lineal de ellas;
sin importar si se trata de una serie infinita. Aunque las funciones Ylm(θ,ϕ) encontradas
son complejas se pueden obtener valores reales tomando las partes real e imaginaria
de las combinaciones de soluciones Ylm(θ,ϕ)±Yl-m(θ,ϕ). Desde un punto de vista
matemático este conjunto de funciones reales son los armónicos esféricos asociados
al operador de Laplace y su dominio de aplicación excede con mucho la mecánica
cuántica : Geodesia, Astronomía, Telecomunicaciones…En mecánica cuántica los
Ylm(θ,ϕ) están asociados a los orbitales atómicos y sus capas electrónicas: l=0 es un
orbital tipo S, l=1 es un orbital tipo P, l=2 es un orbital tipo D…
Para encontrar la forma completa de los estados ψ(r,θ,ϕ) en el átomo de Hidrógeno
necesitamos resolver la parte radial de la ecuación de Schrödinger.
2

 
1    2    2m 2
 2m

2  

 R(r )   2 r 2 E  V (r )   l (l  1)  R(r )  0



r
E

V
(
r
)
R
(
r
)

l
(
l

1
)

2
r

r

 r

2
2 



R(r )  r  r   
r 


 r

dividiendo el resultado por r tenemos
 
2 
 2m
 R(r )
 2  r 2  R(r )   2 r 2 E  V (r )   l (l  1) 
0
r 

 r
 r
haciendo
u (r )  rR (r ) 
d 2u  2m
l (l  1) 
  2 E  V ( r )  
u  0
2
dr
r2 

Para la solución de esta ecuación diferencial se suele hacer notar al lector que se
pueden conseguir soluciones asintóticas para r→∞ que verifiquen la ecuación
d 2u 2m
e  kr
2m
 2 Eu  0  u  rR(r )  e  kr  R(r ) 
; k
E
2
dr

r
2
La interpretación probabilista exige que ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ, ϕ) se anule para r→∞ y
debemos elegir el exponente negativo. Note el lector también que para que la solución
asintótica funcione la energía debe ser negativa E<0; lo cual corresponde a un objeto
orbitando alrededor de otro bajo el efecto de una fuerza de tipo newtoniano. En el caso
general suponemos una solución que factoriza el caso asintótico con un polinomio de
índice n
 i n

u (r )    ai r i e kr
 i 0

Enrique Cantera del Río
Apuntes de Mecánica Cuántica
11
Es sencillo demostrar sustituyendo esta forma en la ecuación diferencial que las
soluciones en forma de polinomio con un número finito de términos solo son posibles
si se verifica
2
m Ze2
m  Ze2  1
Ze2
 2 ; n  l; V (r )  
 n  E   
2 E 4
2  4  n
4 r
donde n es un entero correspondiente al índice máximo del polinomio , Z es el número
de cargas elementales del núcleo y l es el número cuántico asociado al momento
angular que hemos visto. Una solución en forma de polinomio con infinitos términos
debe descartarse para asegurar el comportamiento asintótico. El número n
corresponde al número cuántico principal.
Podemos hacer cierto contraste de estos resultados con los de la físicas clásica. En el
trabajo [3] Análisis elemental del movimiento bajo fuerza central de tipo Newtoniano se
vio que, independientemente de la trayectoria, se verificaba siempre la siguiente
desigualdad en el movimiento
2
 Ze 2  m

E  
 4 L  2
Aplicando los resultado anteriores sobre los valores de E y L2 a esta relación tenemos
2
2
 Ze 2  m 1
 Ze 2  m
1


 
  
2
4


2
n
4


2
l
(
l
 1)




 n 2  l (l  1)  n  l
debido a que (n,l) son números enteros no cabe la igualdad entre ellos.
Teoría general del momento angular de una partícula en mecánica cuántica.
Los resultados que hemos obtenido para el momento angular de una partícula están
en el contexto de un campo central Coulombiano. Sin embargo es posible llegar a
conclusiones sobre los valores y funciones propios de momento angular de una
partícula en cualquier contexto utilizando solamente los principios de la mecánica
cuántica que hemos introducido.
La siguiente lista de formulas se derivan directamente de la definición del momento
angular que hemos utilizado

 
 

L2  L2x  L2y  L2z  Lz , L2  Ly , L2  Lx , L2  0
[ Lx , Ly ]  iLz ; [ Ly , Lz ]  iLx ; [ Lz , Lx ]  iLy


L  Lx  iL y  Lz , L   L ; L2 , L  0
L L  L2  L2z  Lz
dado que los operadores L2 y Lz conmutan es posible encontrar estados cuánticos ψ
que sean funciones propias de ambos operadores, de modo que
L2  a ; Lz  b ; a  b 2
Enrique Cantera del Río
Apuntes de Mecánica Cuántica
12
donde la desigualdad de valores propios es la relación que se espera entre el
cuadrado de una componente y el cuadrado del modulo de un vector en cartesianas.
En este punto nos vamos afijar en un valor arbitrario a para L2 y el máximo valor
posible bmax para Lz. Dado que suponemos bmax positivo, si aplicamos el operador
escalera L+ a la ecuación en valores propios de Lz para el caso bmax tenemos,
utilizando la lista de fórmulas al principio de esta sección
L Lz  bmax L 
Lz , L   L   Lz L  bmax   L
lo cual significaría que hemos encontrado en L+ψ una función propia de Lz con un valor
propio que supera a bmax . Dado que no puede existir una función propia con estas
características debe ser L+ψ=0, es decir, la función propia que hemos encontrado debe
anularse en todas partes. Si aplicamos a este resultado el operador L- , los resultados
de la lista de fórmulas y las ecuaciones de valores propios de L2 y Lz tenemos




L L  L2  L2z  Lz   0  L2  L2z  Lz   0 
L2  a  bmax bmax     a  bmax bmax   
Por otro lado, si aplicamos reiteradamente n veces el operador L- a la ecuación en
valores propios de Lz tenemos
Lz  bmax  L Lz  bmax L  Lz , L   L   Lz L  bmax   L
L Lz L  bmax   L2  Lz , L   L   Lz L2  bmax  2 L2
..........................
Lz Ln  bmax  n Ln
el resultado es nuevamente una ecuación en valores propios para Lz con las
correspondientes funciones propias Ln-ψ. En todo caso los valores propios
correspondientes deben verificar
bmax  n2  a
y por tanto tiene que haber un valor máximo de nmax que no debe ser superado y que
verifica
Lz '  bmax  nmax   ' ;  '  Ln max
Si aplicamos el operador escalera L- a la relación anterior obtendríamos una función
propia L- ψ’ con un valor propio menor que el menor posible, lo cual no es posible y por
tanto debe ser L- ψ’=0 en todo punto. Aplicando a este resultado el operador escalera
L+ tenemos




L L '  L2  L2z  Lz  '  0  L2 '  L2z  Lz  '  0 
L2 '  a '  bmax  nmax  bmax  (nmax  1)  '  a  bmax  nmax  bmax  (nmax  1) 
y recuperando el resultado que encontramos para el valor propio a de L2 tenemos,
debido a la degeneración
Enrique Cantera del Río
Apuntes de Mecánica Cuántica
bmax bmax     bmax  nmax  bmax  (nmax  1)   bmax 
13
nmax

2
dado que nmax es un número positivo que puede ser arbitrario en principio, tenemos
que los valores propios b de Lz pueden adoptar valores 0,±1/2, ±1,…mientras que el
valor propio a de L2 verifican
L2  l l  1 2 ; l  0, 1/ 2, 1....
los valores fraccionarios están relacionados con el Spin de partículas como el electrón
(fermiones) y los valores enteros con el momento angular orbital y con el Spin de
partículas como el fotón (bosones). Vemos por tanto que la forma de los valores
propios de L2 que hemos encontrado en el problema del electrón en el átomo de
hidrógeno no es una forma exclusiva de este problema, sino que es un resultado
general para el momento angular de una partícula. En concreto, un electrón de un
átomo con varios electrones debe tener valores propios de L2 y Lz según la forma
L2  l (l  1) 2 ; l  0,1,2,3.... Lz  ml  ; ml  0,1...  l
Un ejemplo del nivel de generalidad del resultado anterior es el análisis de los
espectros moleculares de rotación. Una molécula diatómica (N2,ClNa..) puede estar
girando respecto de su centro de masas y tendrá una energía cinética de rotación Er-CM
respecto al centro de masas de valor E r-CM =L2/2I según la mecánica clásica; donde L
es el momento angular respecto al centro de masas e I es el momento de inercia.
Según nuestro resultado tenemos
Er CM (l )  l (l  1)
2
2
 Er CM  Er CM (l )  Er CM (l  1)  l ; l  0,1,2,3....
2I
I
en la práctica se puede constatar en moléculas la existencia de líneas espectrales
separadas según la ley anterior, sobre todo en el dominio del infrarrojo lejano y para
valores de l relativamente bajos. Para valores mayores el propio giro provoca efectos
centrífugos que modifican el momento de inercia de la molécula. Algunos núcleos
atómicos, los que no presentan simetría esférica, también tienen asociados niveles de
energía de rotación según la fórmula anterior[4’].
Note el lector que los valores de m semi-enteros suponen una excepción al carácter
univaluado para las correspondientes componentes de la función de onda de forma
Y(θ,ϕ)= Y(θ,ϕ+2mπ); en concreto para el caso del Spin del electrón m=±1/2.
Spin y momento angular total
Siguiendo la mecánica clásica, el momento angular total (J) de un sistema de
partículas se puede descomponer en el momento angular del centro de masas (L) y el
momento angular de las partículas respecto al centro de masas (S)
J  L  S  J x  Lx  S x ; J y  Ly  S y ; J z  Lz  S z ;
Si identificamos L como el momento angular orbital y S el momento angular de Spín, y
mantenemos que J sigue siendo un momento angular en el contexto de la mecánica
cuántica, entonces debemos analizar la expresión anterior en términos de operadores.
Enrique Cantera del Río
Apuntes de Mecánica Cuántica
14
El operador L actúa sobre las coordenadas de una partícula, que podemos asociar con
las coordenadas del centro de masas de la mecánica clásica. Siguiendo la analogía
clásica, el operador S actúa sobre coordenadas internas de la partícula e
independientes de las coordenadas sobre las que actúa L. Debido a esta
independencia de coordenadas los operadores L2, Lx, Ly, Lz y S2, Sx, Sy, Sz conmutan
dos a dos. Por otro lado, elevando al cuadrado la relación vectorial de momentos
angulares tenemos
J 2  L2  S 2  2 L  S
Interpretemos la expresión anterior en términos de operadores para calcular los
conmutadores [J2,L2], [J2,S2]. Según las consideraciones precedentes sobre la
dependencia funcional de los operadores L y S podemos poner
L , L  S   L , L S  L , L S  L , L S  0
S , L  S   S , L S  S , L S  S , L S  0
2
2
2
x
2
2
x
y
2
y
z
2
x
x
z
2
y
y
z
z
ya que L2 y S2 conmutan con cualquier componente de S y con cualquier componente
de L; y por tanto tenemos
J
J
2
2
     

, S   L , S  S , S  2J  S , S   0
, L2  L2 , L2  S 2 , L2  2 J  S , L2  0
2
2
2
2
2
2
y por tanto J2, L2 y S2 conmutan; es decir, admiten un conjunto común de estados
cuánticos y pueden ser determinados sin incertidumbre y simultáneamente.
De la misma forma podemos calcular el conmutador [J2,Jz]
J
2
 
 
 
, J z  L2 , Lz  S z  S 2 , Lz  S z  2 L  S , Lz  S z

dado que L2 y S2 conmutan con cualquier componente de S y con cualquier
componente de L, los dos primeros conmutadores del lado derecho de la expresión
anterior se anulan. Veamos el comportamiento del conmutador restante, para lo que
utilizaremos las propiedades de conmutación de las componentes propias del
momento angular orbital L y el de Spin S
L  S , L  S   S L , L   S L , L  S L , L  
z
z
x
x
z
y
y
z
z
z
z
Lx S x , S z   Ly S y , S z   Lz S z , S z 
[ Ly , Lz ]  iLx ; [ Lz , Lx ]  iLy ; [ S y , S z ]  iS x ; [ S z , S x ]  iS y 
L  S , L  S   S L , L   S L , L  
z
z
x
x
z
y
y
z


 iS , L   S , L   0
Lx S x , S z   Ly S y , S z 
 iS x Ly  iS y Lx  iLx S y  iLy S x
y
x
x
y
donde el valor nulo final es consecuencia de que Las componentes de L y S son
operadores sobre variables independientes diferentes. En resumen hemos visto que
[J2,Jz]=0, tal como se espera para un momento angular en mecánica cuántica. En
consecuencia el conjunto de operadores J2,L2,S2,Jz,Lz,Sz conmutan dos a dos y por
tanto los estados cuánticos de cualquiera de estos operadores son también estados
cuánticos del resto de operadores. Podemos poner las conclusiones de esta forma
Enrique Cantera del Río
L2  l (l  1) 2 ; l  0,1,2,3....
Apuntes de Mecánica Cuántica
15
Lz  ml  ; ml  0,1...  l
0,1,2...  s 


ms   1 3


,

...

s
 2 2

0,1,2...
0,1,2...  j 




J 2  j ( j  1) 2 ; j   1 3 .... J z  m j  ; m j   1 3

,
...

,

...

j
 2 2 
 2 2

0,1,2...


S 2  s ( s  1) 2 ; s   1 3 ... S z  ms  ;
,
...
 2 2 
Donde los valores semi-enteros de s y j hacen referencia a partículas como el electrón
(fermiones) y los valores enteros a partículas como el fotón (bosones). Los autovalores
ml y ms, al ser componentes de momentos angulares, tienen la propiedad de nodegeneración. Esto significa que la relación entre ψ (estado cuántico) y valor propio ml
es biunívoca: dos estados cuánticos diferentes tienen valores propios ml diferentes y
dos valores propios ml diferentes tienen estados cuánticos diferentes. Lo mismo vale
para ms ; y para mj esto también debería ser cierto. Para ver esto suponemos
inicialmente unos valores l y s fijos para los momentos angulares L,S. El valor máximo
de mj correspondiente será mj-max = l+s; pero mj-max = j0 y por tanto j0=l+s. La acción del
operador escalera J- sobre Jz nos lleva a un nuevo estado cuántico que disminuye mj
en una unidad y por tanto será mj=l+s-1. Pero según la relación Jz=Lz+Sz hay dos
formas en que se puede conseguir este resultado:
A-Que ml disminuya en 1 y ms se mantenga
B-Que ms disminuya en 1 y ml se mantenga
evidentemente el estado cuántico resultante de A y el de B son distintos; pero no
puede haber dos estados cuánticos distintos para un mismo valor de mj si exigimos
no-degeneración para el operador Jz . Para solucionar este problema en el dominio
cuántico debemos pensar que una sola de las opciones A,B supone disminuir mj en
una unidad pero manteniendo j0 (ya que 2j0+1 valores son posibles para mj) y que la
otra opción supone disminuir mj pero modificando también j0 ; y es evidente que el
nuevo valor j’0 será j’0=l+s-1= j0-1 el nuevo valor máximo. De este modo podemos
repetir el razonamiento y obtener una serie j0, j’0 , j’’0…. de valores posibles para j (y
por tanto para mj) entre los límites l - s ≤ j ≤ l + s (supuesto s>0).
Dado que L y S son operadores independientes, para unos valores fijos l,s , el número
total de posibilidades para el par (ml,ms) es el producto cartesiano, es decir
(2l+1)(2s+1) pares posibles. Según el resultado anterior l - s ≤ j ≤ l + s , tenemos que
para un l dado hay 2l+1 valores de ml posibles y para un s dado hay según la
desigualdad anterior 2s+1 valores de mj posibles, es decir (2l+1)(2s+1) estados
cuánticos distintos en total; de modo que hemos contado el mismo número de estados
para los pares (ml,ms) y para los pares (ml,mj); como era esperable.
El oscilador armónico unidimensional en mecánica cuántica.
Análogamente al caso del electrón en el átomo de hidrógeno podemos preguntarnos
por la existencia de estados cuánticos con cancelación de radiación por carga
acelerada cuando dicha carga está afectada por un movimiento oscilatorio armónico.
La imagen clásica de un oscilador es una masa puntual conectada a un muelle y
Enrique Cantera del Río
Apuntes de Mecánica Cuántica
16
oscilando en una línea que podemos considerar el eje x de nuestro sistema de
coordenadas. Podemos plantear el operador H asociado a la energía en la ecuación
de Schrödinger independiente del tiempo de esta forma
H  E ; H 
Px2 1 2

 kx ; Px  i
2m 2
x
donde podemos reconocer el operador de energía cinética y el operador de energía
potencial elástica. El valor x es la distancia al punto en el que el extremo del muelle no
está ni estirado ni comprimido. Veremos que es posible encontrar operadores de
escalera para los valores propios del operador H de forma análoga al caso del
operador momento angular L. Aprovechando la forma de suma de componentes
cuadráticas podemos escribir el operador H así
H
Px2 k 2  1
k  1
k  
 x  
Px  i x 
Px  i x   i x, Px  
2m 2
2  2m
2  2
 2m
 1
1
k  1
k 
H    
Px  i x 
Px  i x 
2
2  2m
2 
 2m
R 
1
k
k
Px  i x  [ H , R ]  R ;  
2
m
2m
donde ω es la frecuencia propia de oscilación del muelle según la mecánica clásica.
Hemos encontrado la expresión explicita de los operadores escalera, de modo que si
ψ(x) es un estado cuántico del oscilador con energía E, la acción de los operadores de
escalera sobre ψ(x) generan otro estado cuántico posible R±ψ(x) del oscilador con
energía E±hω. Según la mecánica clásica la energía total del oscilador es un número
siempre mayor o igual que cero; por tanto si utilizamos sobre ψ(x) reiteradamente el
operador R-, llegaremos necesariamente a un estado ψ0(x) de mínima energía
posible. Si aplicamos nuevamente el operador de descenso al estado de mínima
energía será R- ψ0(x) =0 , ya que no pueden existir estados cuánticos de energía
menor. Si a este resultado le aplicamos el operador de ascenso R+ tenemos
 P 2 1


R R 0  0   x  kx2  i x, Px   0  0
2
 2m 2

 Px2

1
1
 kx2  0    0
2
m
2
2


x, Px   i  
El resultado es la ecuación de Schrödinger para el estado cuántico de mínima energía
del oscilador; y resulta que esta energía mínima no es nula sino un valor positivo
1
osciladorlineal
Emin
 
2
La aplicación reiterada del operador R+ genera los correspondientes estados cuánticos
que aumentan en energía según el número natural n=0,1,2,3…..


1

H Rn 0   n   Rn 0
2

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Apuntes de Mecánica Cuántica
17
Se puede encontrar la función correspondiente al estado cuántico de mínima energía
fácilmente resolviendo la relación R- ψ0(x) =0 en forma de ecuación diferencial
d

mk 


R 0  0   i  i mk x  0  0   
x  0  0 
x
 


 dx

 0  A exp  

mk 2 
x 
2

donde A es una constante que puede determinarse en base a la condición de
normalización.
Note el lector que, desde el punto de vista clásico, estamos despreciando la masa del
muelle o elemento flexible del oscilador. Lo cierto es que la mecánica cuántica hace
total abstracción de este punto. En concreto, la teoría de la radiación del cuerpo negro
considera a dicho cuerpo formado por osciladores cuánticos con los niveles de energía
que hemos encontrado; y esto en cualquier rango de frecuencias, sin que se aprecie
experimentalmente alguna desviación atribuible a la masa del muelle.
Por otra parte note el lector que hemos atribuido estados cuánticos estables a
sistemas caracterizados por una fuerza interna atractiva que hace converger a la
partícula hacia un centro de fuerzas, como es el caso del átomo de hidrógeno y el del
muelle. Si el signo de estas fuerzas es opuesto y divergente respecto del centro de
fuerzas los estados cuánticos tal como los hemos presentado dejan de tener sentido.
Hacia la segunda cuantización.
Los átomos con varios electrones también presentan espectros discretos de emisión y
absorción similares al hidrógeno y esta evidencia experimental significa que el estado
cuántico también existe en los sistemas de muchas partículas iguales. Otro caso de
sistema de muchas partículas, fotones en este caso, es el campo de radiación de
ondas electromagnéticas. Clásicamente todos los puntos de un medio afectado por
una onda sufren una oscilación armónica, de modo que el campo de radiación
electromagnética se puede ver también como un conjunto de osciladores operando en
cada punto del espacio. Se conoce por segunda cuantización el desarrollo de la
mecánica cuántica encaminado al estudio de sistemas de varias partículas. Es de
esperar que la mecánica cuántica ofrezca alguna herramienta teórica para estudiar los
sistemas de varias partículas iguales, y a partir de la sección anterior sobre el
oscilador armónico podemos desarrollar algunos conceptos en este sentido.
A partir del los operadores de escalera R± podemos definir los operadores A± de esta
manera
A   
R

; A   
R


A , A     
donde α± son valores constantes. Elegimos estos valores de modo que satisfagan las
siguientes condiciones
*
A  A*        

i
 i
    e ,   e
A , A   1      1  
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Apuntes de Mecánica Cuántica
18
es decir, A± son operadores conjugados y su conmutador es la unidad. El valor del
argumento θ es arbitrario. Vamos a abstraer estos resultados para un operador A y su
conjugado A* y recordando el álgebra de conmutadores tenemos
[ A, BC]  [ A, B]C  B[ A, C] ; [ A, A* ]  1
a partir de estas relaciones vamos a analizar las propiedades de conmutación del
operador A*A del siguiente modo
   
 A A* A  A* A A
[ A, A* A]  
[ A, A* ] A  A*[ A, A] 

*
*
*
  A A A  A A A  A  A A A 1
A
 
   
 


(d )


A* A* A  A* A A*
[ A, A* A]   * *
 A* A A*  A* A* A  A*  A* A* A  1 (c)
*
*
*
[ A , A ] A  A [ A , A]   A 
 
 


Imaginemos que ψ es un estado cuántico propio del operador A*A con autovalor n.
Entonces las relaciones anteriores nos lleva a lo siguiente
A A  n  A AA  AA A  1  (n  1) A
A AA   A A A  1  (n  1) A 
*
*
*
*
*
*
*
*
es decir, Aψ es también un estado propio de A*A pero con un autovalor n-1 y A*ψ es
también un estado propio de A*A pero con un autovalor n+1. Veamos que pasa ahora
con A2ψ y (A*)2ψ de esta forma

 

 A A A* A  1   A(n  1) A   (n  1) A2 
*
2
2
A A* A A   * 2
  1  A A A   (n  1) A  
 AA A   1  A* A A2

  
 



AA A   (n  2) A 
*
 

2
2
  

  
 
 
 A* A* A* A  1   A* (n  1) A*  (n  1) A* 2 
*
* 2
* 2
A A A A  
  A A  1 A   (n  1) A  
*
*
*
*
* 2
 A AA  1 A   A A  1 A 

*
  
*
*

 
 
AA A    (n  2)A  
*
* 2
* 2
es decir, A2ψ es también un estado propio de A*A pero con un autovalor n-2 y (A*)2ψ
es también un estado propio de A*A pero con un autovalor n+2. El lector puede
comprobar por inducción que se verifica para cualquier valor natural k
AA A   (n  k ) A  ; AA A    (n  k )A  
*
k
k
*
* k
* k
Por tanto podemos interpretar físicamente el operador A*A como el número de
partículas del sistema, el operador A como eliminación de una partícula en su estado
(partícula-estado) y el operador A* como creación de una partícula-estado.
En el caso de los sistemas de varias partículas de la 2ª cuantización también existen
operadores similares a estos, pero hay diferencias. En el caso del oscilador armónico
existe un solo operador de creación y uno solo de eliminación válido para todos los
estados, pero en segunda cuantización existe un operador de creación y uno de
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Apuntes de Mecánica Cuántica
19
destrucción distinto y específico de cada estado de la partícula. El producto de ambos
operadores representa el número de partículas de dicho estado. Si en un átomo
polielectrónico un electrón cambia de estado, en términos de operadores se destruye
la partícula-estado inicial, se crea la partícula-estado final, disminuye en 1 la ocupación
del estado inicial y aumenta en 1 la ocupación del estado final. El contexto de la
segunda cuantización es el espacio de operadores de Hilbert y necesita un nivel
matemático superior.
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20
Apéndice Matemático
Cálculo del conmutador [Lx,Ly] en esféricas
 


 

 

1
1
[ Lx , Ly ]  Lx Ly  Ly Lx    sin(  )  cos( )   sin(  )   cos( )    sin(  )   cos( )  sin(  )  cos( )   
i
i
tan( ) 
tan( )
tan( )
tan( ) 

 


  
sin(  )   cos( )  cos( )  
sin 2 ( )     sin(  ) cos( )2  cos( )
2
tan(

)
tan
(

)
tan( )




cos( )   cos( ) sin(  )2  cos 2 ( )    
sin(  )  sin(  )   sin(  )
tan( )
tan 2 ( )
 tan( ) 
   
 



  cos( )  cos( )   sin(  )  sin(  )   cos( )
sin(  )   sin(  ) 2 cos( )  
 
2
tan( )
tan( )
tan ( )
tan ( )

  tan( ) 
 
    

 2    2     [ Lx , Ly ]  iLz
 sin ( )   tan ( ) 
Cálculo del conmutador [Lx,Ly] en cartesianas
 0  z y   x 

 
L
 z
0  x   y    y z  z y , z x  x z , x y  y x ;
 i 
x 0   z 
y



1
Lx , Ly   y z  z y  z x  x z    z x  x z  y z  z y   y z  z x   yx 2z  z 2  yx  zx yz  zy xz  z 2  xy  xy 2z  x z z y  
2
L
y z  z x   zx yz  zy xz  x z z y   y x  x y  z 
i
L , L   iL
x
y
z
Cálculo conmutadores de L2
L , L   L , L
2
z
z
2
x
 
 
 

 L2y  L2z  Lz , L2x  Lz , L2y  Lz , L2z  [ Lz , Lx ]Lx  Lx [ Lz , Lx ]  [ Lz , Ly ]Ly  Ly [ Lz , Ly ]  0 
i Ly Lx  Lx Ly  Lx Ly  Ly Lx   0
L , L   L , L   L , L   0
2
z
2
y
2
x
Referencias, en esta misma web por este mismo autor
[1]Introducción a la mecánica de fluidos
[2]Sobre la ecuación de ondas
[3]Análisis elemental del movimiento bajo fuerza central Newtoniana.
[4]R.H.Dicke/J.P.Wittke.Introducción a la mecánica cuántica. Ed.Libreria General-1975
[4’]L.L.Goldin,G.I Nóvikova imntroducción a al Física Cuántica Ed.MIR-1988
[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Moseley´s_law
[6]https://en.wikipedia.org/wiki/Zeeman_effect
[7] https://es.wikipedia.org/wiki/Estado_cuántico
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_state