Taller de campo B, Biot-Savart y ley de Ampere Archivo

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLÍN
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
TALLER DE FÍSICA II
CAMPO MAGNÉTICO, LEY BIOT SAVART Y LEY DE AMPERE
1) Dos alambres paralelos e infinitos, están separados por una distancia 2a, si por cada
uno pasa una corriente I en direcciones opuestas, ver figura. Calcule el campo
magnético en el punto P de coordenadas (x,y). ¿Es una restricción esencial, la no
definición de la coordenada z en el punto P?
2) Un cilindro conductor de masa M y radio R, reposa sobre dos rieles horizontales
paralelos conductores de longitud L y con una separación d entre si, en presencia de un
campo externo B uniforme, en la dirección en que se muestra, ver figura. Si una
corriente I se hace circular por el cilindro, determinar la velocidad de este cuando
abandona los rieles:
A. Asuma que no existe fricción entre los rieles y el cilindro (el cilindro desliza sin rodar).
B. Asuma el coeficiente de fricción estático como μE (el cilindro rueda sin deslizar).
NOTA: Desprecie el campo magnético debido a los conductores
3) Una barra de cobre de 1.15 kg descansa sobre dos rieles horizontales paralelos
separados una distancia d = 95 cm y por los cuales circula una corriente de I = 53.2 A, de
un riel al otro. Si el coeficiente de fricción estático es de 0.53, determine el campo
magnético uniforme mínimo (no necesariamente vertical) entre los rieles, que haría que la
barra comience a deslizar.
NOTA: Desprecie el campo magnético debido a los conductores
4) Una espira tiene la forma de un triángulo rectángulo de lados 50 cm, 120 cm y 130
cm, la cual conduce una corriente de 4 A. Si la espira está dentro de un campo
magnético uniforme de 75 mT de magnitud, cuya dirección es paralela a la corriente en la
hipotenusa de la espira.
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A. Halle la fuerza magnética sobre cada uno de los lados de la espira.
B. Demuestre que la fuerza magnética total es cero.
5) Se tiene una lámina de cobre de ancho a y espesor despreciable e infinitamente larga
en sentido X, por la cual pasa una corrienteI, distribuida uniformemente en su sección
transversal. Determine el campo magnético B en los puntos A, B y M. Ver figura
6) En la figura se muestra un arreglo conocido como
bobinas de Helmholtz. Consta de dos bobinas coaxiales,
cada una de N vueltas y de radio R, separadas por una
distancia R entre ellas. Si ambas bobinas conducen una
corriente I en el misma sentido:
A. Hallar el campo magnético en un punto P a medio camino entre las bobinas y sobre
su eje común.

B. Haga una gráfica de la forma como varía B con la distancia z, en la dirección del eje
común. ¿Qué tiene de particular el punto P?
C. Demuestre que
dB
es cero en el punto P
dz
NOTA: Este arreglo es utilizado para hallar la relación Q/M (carga - masa) de una

partícula cargada, haciendo que un haz de las mismas entren con una velocidad v
perpendicularmente a la dirección de z., en la cercanía del P.
7) En una región del espacio se tiene un campo magnético B uniforme de magnitud 1 T,
entrando al plano de la figura. Un protón entra a la región donde existe el campo,
formando un ángulo de 45° con su frontera, ver figura, con una energía cinética de 6 M
eV.
2
A. Encuentre la distancia entre el punto donde ingresó y el punto donde salió de la
influencia del campo magnético B.
B. Determine el ángulo θ entre la frontera y la velocidad al salir del campo magnético B.
C. Repita el problema con un electrón.
8) Un alambre que conduce una corriente I, esta
formado por un arco de circunferencia y dos rectas. Las
dos secciones rectas semi-infinitas son cada una
tangente al arco de circunferencia, cuyos puntos de
tangencia se encuentran separados por un ángulo θ, ver
figura . ¿Cuál debe ser θ para que el campo magnético
producido por la corriente I sea cero en el centro de la
circunferencia?
9) Se tiene un circuito formado por dos de arcos de
 circunferencia y dos segmentos
radiales, ver figura. Hallar el campo magnético B en P (centro de los arcos de
circunferencia), suponiendo una corriente uniforme I en el circuito.
10) Demuestre que el campo magnético B en el centro de una espira rectangular
conductora de longitud L y ancho A, que conduce una corriente I uniforme, está dado por:
B=
2 µ0 I
π
L2 + A 2
LA
11) Una espira cuadrada de alambre, de lado a, ubicada sobre el plano XY conduce una
corriente uniforme I.
A. Demuestre que el campo magnético B para un punto P, en el eje perpendicular a la
espira y a una distancia z de su centro, está dado por:
4 μ0 I a 2
B ( z) =
1/ 2
π ( 4 z 2 + a 2 )( 4 z 2 + 2 a 2 )
B. Compruebe que este resultado coincide con el del ejercicio anterior cuando Z = 0 y
L=a=A
12) Suponga que usted dispone de un alambre de longitud L, por el cual se puede poner
a circular una corriente uniforme I. Si con este alambre puede formar un triángulo
equilátero o un cuadrado o una circunferencia. ¿Cuál configuración le permite tener un
campo magnético más intenso en el centro de la misma?
13) Un alambre en forma de polígono regular de N lados, está justamente inscrito por una
circunferencia de radio R. Si la corriente por el alambre es uniforme y de magnitud I.
3
A. Demuestre que el campo magnético B en el centro del polígono es:
B=
μ0 N I
π 
tan  
2πR
N 
B. Demuestre que cuando N → ∞, el campo magnético B se aproxima al de una espira
circular.
14.) Una arandela de radio interior R y radio exterior 2R
que posee una densidad superficial de carga σ , gira con
una velocidad angular ω constante alrededor de su eje
(perpendicular al plano de la arandela).
Si por un anillo de radio
2
R , situado en un plano paralelo al de la arandela a una
3
distancia 2R por encima del centro de la misma, circula una corriente uniforme I, Ver
figura. Determinar el valor de la velocidad angular ω , para que el campo magnético B en
el punto medio de separación entre los centros del anillo y la arandela sea cero. ¿Cuál
debe ser el sentido de rotación de la arandela? Explique.
15) Por una lámina delgada de cobre de sección transversal de área A, altura h y longitud
L, se hace pasar una corriente I. Suponga que la lámina esta inmersa en un campo
magnético B uniforme, ver figura, y que los portadores de carga son electrones que se
mueven con velocidad Vd.
A. Demuestre que electrones se acumularan en el borde superior de la placa.
B. Demuestre que la máxima diferencia de potencial que marcará el voltímetro (de la
IBh
figura) es V =n q A ; donde n es el número de portadores de carga por unidad de
volumen.
NOTA: Los resultados reportados en las partes A y B del problema anterior,
corresponden al denominado EFECTO HALL
16) En una región del espacio existe un campo magnético B y un campo eléctrico E
uniformes, perpendiculares entre sí. Si una partícula de carga + Q se lanza con velocidad
V0 paralela al campo magnético B:
A. Escriba la ecuación de movimiento para esta partícula, en coordenadas cartesianas.
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B. Determine la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo.
C. Haga un gráfico de la trayectoria.
D. Analice la forma como se movería una partícula, si la carga fuera de signo contrario a
la supuesta.
17) Se tienen siete (7) conductores rectos independientes, paralelos y muy largos y por
cada uno pasa una corriente uniforme I en el mismo sentido. Si la separación entre cada
par de ellos es d, determinar la dirección de la fuerza por unidad de longitud que
experimenta cada uno de los alambres. En un plano perpendicular a las corrientes, la
distribución de las mismas sería la que se muestra, ver figura
18) Una partícula de carga Q y masa M, se libera en una región donde existe un campo
eléctrico E y otro magnético B perpendiculares entre sí y uniformes. Demuestre que la
trayectoria realizada por la partícula es una cicloide.
19) La espira rectangular y el alambre recto de la figura están en un mismo plano, las
direcciones de las corrientes i y I son las que se muestran, ver figura. El alambre recto
es infinitamente largo y los lados de la espira rectangular son a y b.
A. Calcular, para cada tramo recto de la espira rectangular, la fuerza por
unidad de longitud que actúa, debido a la acción de I.
B. A partir del anterior resultado, calcular la fuerza resultante sobre cada
tramo recto de la espira rectangular y su respectivo punto de aplicación.
C. Encontrar la fuerza total sobre la espira rectangular y su punto de aplicación. ¿Es de
atracción o de repulsión?
20) Una circunferencia de radio a se encuentra en el plano XY con su centro en el origen.
Conduce una corriente I’ que circula en el sentido contrario al de las manecillas del reloj
cuando es vista desde los valores positivos de Z hacia el origen. Una corriente I muy
larga es paralela al eje X y está dirigida en el sentido positivo de X, interceptando el eje Z
positivo a una distancia d del origen. Encontrar la fuerza total sobre el circuito circular
debido a la corriente paralela al eje X.
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21) Sean dos alambres de longitud l y L en ángulo recto entre
sí, ver figura. Suponga que las corrientes i e I se dirigen
como se muestran.
A. Demuestre que el campo magnético B en la posición del elemento de longitud dy es
B=
µ0 i
4 πy





−b
b2 + y2
+
b +l
( b + l)2


 Û Z
2
+y 

B. Demuestre que la fuerza magnética dF sobre el elemento dy es
 µ iI
dF = 0
4 πy





−b
b2 + y2
+
b +l
( b + l)2


 dy Û X
2
+y 

C. Calcule la fuerza total F sobre el alambre de longitud L.
22) Un cascarón esférico de radio a y densidad de carga σ , se pone a rotar alrededor de
un eje que pasa por su centro. Calcular el campo B en el centro del cascarón.
23) Considérese las dos corrientes rectas infinitamente
largas que se muestran en la figura. I’ coincide con el eje
Y. I es paralela al plano YZ, se encuentra a una distancia
R del mismo, cruza el eje X en X = R y forma un ángulo α
con el plano XY, como está mostrado. Demostrar que la
fuerza sobre I ejercida por I’ es
F =−
1
µ0 I I ' Cotg (α) Uˆ X
2
6
24) Un cilindro de madera de masa M, longitud L y radio R,
tiene N vueltas de alambre devanados alrededor de el
longitudinalmente, de tal modo que el plano de la espira
contiene el eje del cilindro.
Determine el sentido de
circulación de la corriente por la espira y su mínimo valor, a
fin de que el cilindro permanezca estático sobre el plano
inclinado de ángulo θ con la horizontal, sabiendo que existe
un campo magnético uniforme y vertical B, ver figura.
Suponga que el plano del devanado se encuentra paralelo al plano inclinado. Haga las
suposiciones que considere pertinente a la existencia o no de fricción.
25) Una varilla de masa M, longitud L y resistencia R,
desliza sin fricción sobre dos rieles paralelos que están
conectados a través de una batería. El circuito se
encuentra inmerso en una región donde existe un campo
magnético B cuya dirección se ilustra en la figura.
Sabiendo que la varilla parte del reposo, determinar su
velocidad y posición en el tiempo t.
26) Un cilindro infinitamente largo con sección transversal circular de radio a
conduce una corriente I que esta uniformemente distribuida sobre la superficie.
El eje del cilindro coincide con el eje Z y la corriente está en la dirección
positiva de Z. Escoger un punto sobre el eje X. y encontrar el campo
magnético B para todos los valores de X, tanto dentro como fuera del cilindro.
29) En el circuito que se muestra en la figura, las líneas curvas son
semicírculos con centro común C. Las porciones rectas son horizontales. En
cierto instante, una carga puntual q situada en C tiene una velocidad v en
dirección vertical hacia abajo. Encontrar la fuerza magnética sobre q.
27) Se tiene una espira cuadrada de lado L,
ubicada tal como se indica en la figura: un lado
coincide con el eje X, teniendo su punto medio en
el origen y el plano de la espira hace un ángulo de
30° con el plano XY.
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Por la espira circula una corriente I uniforme en el sentido indicado y en la

región actúa un campo magnético B dado por:
  z B0 
 y B0 
B=
 Û Y + 
 Û Z
B0 conocido.
 L 
 L 
D. Calcular, para cada tramo recto de la espira, la fuerza por unidad de

longitud que actúa debido a la acción del campo B sobre I.
E. A partir del anterior resultado, calcular la fuerza resultante sobre cada
tramo y su respectivo punto de aplicación.
F. Calcular el torque neto alrededor del eje X.
28) Se tiene una espira formada a partir de un aro de radio a, al cual se le
hace un doblez de 90° alrededor de un diámetro para obtener dos semicírculos
en planos perpendiculares (que aquí coinciden con los planos XY y YZ).
Por la espira circula una corriente I uniforme en el sentido indicado, ver


figura. En la región actúa un campo magnético B uniforme B = Bo ÛX con Bo
conocido.
A. Calcule la distribución de fuerzas por unidad de longitud sobre cada
semicírculo.
B. Con el resultado anterior, calcule la fuerza neta y su punto de aplicación.
C. Calcule el el torque neto alrededor del eje Y.
29) La misma espira del problema anterior, pero ahora esta
hace un ángulo θ con los planos XY y YZ (ver corte
transversal en la figura). La dirección de la corriente I y

del campo magnético B son como en el problema anterior.
A. Calcule la distribución de fuerzas por unidad de longitud sobre cada
semicírculo.
B. Con el resultado anterior, calcule la fuerza neta y su punto de aplicación.
C. Calcule el el torque neto alrededor del eje Y.
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
SUGERENCIA: Descomponga B en dos componentes, una paralela a X’ y la
otra paralela a Z’.
Luego, calcule los efectos de cada una de esas
componentes sobre cada semicírculo.
30) Se tiene un alambre recto y muy largo que conduce
una corriente I uniforme. En su cercanía y en un plano
perpendicular a ella, se tiene una espira conductora con
corriente I’, formada por dos arcos de circunferencia de
radios a y 2a concéntricos que subtienden un ángulo θ,
unidos por rectas radiales. El centro de los arcos de
circunferencia coincide con el centro del conductor recto,
como se muestra en la figura.
A. Calcular, para cada tramo de la espira, las fuerzas distribuidas debido a la

acción del campo B (que produce I) sobre I’.
B. A partir del anterior resultado, calcular la fuerza resultante sobre cada
tramo y su respectivo punto de aplicación.
C. Calcular el torque neto sobre la espira (tenga en cuenta que el campo

magnético B , producido por I, es paralelo al plano de la espira).
31) Se tiene un alambre recto y muy largo que conduce una corriente I
uniforme. En su cercanía y en el mismo plano de ella, se tiene una espira
conductora con corriente I’, formada por dos arcos de circunferencia de radios
a y 2a concéntricos que subtienden un ángulo θ, unidos por rectas radiales. El
centro de los arcos de circunferencia coincide con el centro del conductor
recto, como se muestra en la figura. El radio medio de los dos arcos es
perpendicular al alambre recto.
A. Calcular, para cada tramo de la espira, las fuerzas distribuidas debido a la

acción del campo B (que produce I) sobre I’.
B. A partir del anterior resultado, calcular la fuerza resultante sobre cada
tramo y su respectivo punto de aplicación.
C. Calcular el torque neto sobre la espira (tenga en cuenta que el campo

magnético B , producido por I, es perpendicular al plano de la espira).
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