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MATRICES Y DETERMINANTES
A × B y B × A siendo A = (1 3 2 - 1)
1
Calcular
2
Dadas las matrices
3
4
5
æ 3ö
ç
÷
ç 1÷
B=ç
.
- 2÷
ç
÷
ç 2÷
è
ø
A y B tales que:
· A = (a ij ) tiene cuatro filas y una columna y el único elemento distinto de 0 es a 21 = 1 .
· B = (bij ) tiene una fila y cuatro columnas y el único elemento distinto de 0 es b12 = 1 .
Calcular AB y BA .
æ 1 - 1ö
æ- 2 0ö
÷÷ B = çç
÷÷ calcular ( A + B )2 y A 2 + 2 AB + B 2 .
Dadas las matrices A = çç
1ø
è2
è 1 2ø
¿Por qué los resultados no son idénticos?.
Sean A y B matrices de tres filas y tres columnas. Indicar cuándo es cierta la igualdad
( A + B )( A - B ) = A 2 - B 2
Consideremos
las
y dar un ejemplo en el que dicha igualdad sea falsa.
matrices
æ1 xö
÷÷
A = çç
è2 1ø
æ0 1ö
÷÷ ,
B = çç
è1 2ø
hallar
x
para
que
æ8 8 ö
÷÷ .
A 2 + B 2 = çç
è 6 12 ø
6
7
8
9
æ 1 1ö
æ - 1 0ö
÷÷ C = çç
÷÷ . Hallar una matriz A tal que al
B = çç
è 0 1ø
è 0 2ø
multiplicarla por B y sumarle C resulte 2 A .
æ 1 y ö æ 1 x ö æ 5 0ö
çç
÷÷ çç
÷÷ = çç
÷÷
Determinar los valores de x, y, z para que se verifique la igualdad:
x
z
y
z
0
5
è
øè
ø è
ø
æ0 1ö
÷÷ , encontrar una matriz cuadrada X de orden 2 tal que
Dada la matriz
A = çç
1
0
è
ø
A + X = AX + XA .
æ 1 1ö
÷÷ . Hallar A n , siendo n u número natural arbitrario.
Sea la matriz A = çç
è 0 1ø
Consideremos las matrices
0ö
æ-1 0
÷
ç
10 Dada la matriz A = ç 0 1
0 ÷ , calcular A n , donde n es un número natural arbitrario.
ç 0 0 - 1÷
ø
è
æ1 0 0 ö
÷
ç
100
11 Sea la matriz A = ç1 1 0 ÷ . Calcular A .
ç1 0 1 ÷
ø
è
æ
ç1
ç
37
12 Calcular el valor de A siendo A = ç 0
ç0
ç
è
1
7
1
0
1ö
÷
7÷
0÷.
1 ÷÷
ø
1
æ1 1ö
÷÷ .
A n , siendo A = çç
è0 2ø
æ
ö
ç
÷
1
0
0
ç
÷
1
ç
14 Sea la matriz
1 0÷
ç 10
÷
ç1
÷
0 1÷
ç
è 10
ø
2
(a) Calcúlese la matriz A + A .
æ x ö æ 20 ö
ç ÷ ç ÷
5
(b) Resuélvase el sistema A ç y ÷ = ç 5 ÷
çz÷ ç 1 ÷
è ø è ø
13 Calcular
æ1 1 0ö
÷
ç
15 Sea la matriz A = ç 0 1 1 ÷
ç0 0 1÷
ø
è
T
(a) Calcúlese una matriz B tal que se cumpla A + B = AA .
k
(b) Para la matriz B anterior, obténgase la expresión de B .
æa bö
æ 1 1ö
÷÷ ; V = çç
÷÷ , a, b Î Â
16 Se consideran las matrices M = çç
è0 aø
è 0 1ø
(a) Calcular
M n , n=1, 2, ....
M tales que M 100 = V
æ1 0 0ö
æ 0 - 1 - 2ö
÷
ç
÷
ç
17 Dadas las matrices A = ç - 1 0 - 2 ÷, I = ç 0 1 0 ÷ determinar, si es posible, un valor de
ç0 0 1÷
ç1
1
3 ÷ø
ø
è
è
2
l para el que la matriz ( A - l I ) sea la matriz nula.
æ3 - 2 - 2 4 ö
ç
÷
ç 6 - 5 - 6 12 ÷
2
18 Sabiendo que la matriz A = ç
verifica A = A (no es preciso comprobarlo),
÷
3 -3 -2 6
ç
÷
ç3 - 3 - 3 7 ÷
è
ø
2
determinar un valor no nulo del número real l tal que (l A - I ) = I , siendo I la matriz
(b) Hallar todas las matrices
identidad.
19 Se dice que dos matrices conmutan si
AB = BA . Encontrar todas las matrices que conmutan con
æ0 1ö
÷÷ .
B = çç
è0 2ø
æ 3 - 4ö
æa bö
÷÷ encontrar las matrices B = çç
÷÷ tales que AB = - BA .
A = çç
è 2 - 3ø
è0 cø
0 ö
æa
÷÷ que verifican A 2 = A .
21 Hallar las matrices A = çç
è c 1- aø
æ0 aö
÷÷ , que cumplan A 3 = A .
22 Hallar las matrices A = çç
èb 0ø
20 Dada la matriz
2
- aö
æ a
÷÷ , con a ¹ 0 , que verifican A 2 = A .
A = çç
èa -1 d ø
æ 2 - 1ö
÷÷ verifique A 2 = A .
Determinar los valores de a y b de forma que la matriz A = çç
èa b ø
æ 3 - 3ö
÷÷ encontrar una de las matrices X cuadradas de orden dos y simétricas
Dada la matriz A = çç
è 2 - 2ø
tales que AX = O .
æ 1 - 1ö
÷÷ . Hallar una matriz B tal que AB = A + I , siendo I la matriz unidad.
Sea A = çç
è0 2 ø
æ1 1ö
÷÷ verifique A 2 = 2 A . Para estos
Encontrar números a y b de forma que la matriz A = çç
a
b
è
ø
1
50
50
valores de a y b y tomando B = A , calcular B , A .
2
3 2 - 1ö
æ 0
÷
ç
4 1 - 6÷
ç 7
Se sabe (no es necesario que lo compruebe) que la matriz A = ç
verifica la
-9 -2 1
7÷
÷
ç
÷
ç 2
5
3
3
ø
è
23 Encontrar las matrices
24
25
26
27
28
A 2 = A + I , siendo I la matriz identidad. Calcular A -1 y A 4 .
3
2
29 Sea A una matriz cuadrada de orden 3 ´ 3 que cumple la relación: A - 3 A + 2 A + I = 0 ,
siendo I la matriz unidad de orden 3. Demostrar que A tiene inversa y calcularla en función de A .
2
30 Sea A una matriz cuadrada y sea I la matriz unidad. Pruébese que si A + 5 A = I , entonces A es
igualdad
una matriz regular. (Recuérdese que A es regular si admite inversa o si tiene determinante no nulo).
31 Comprobar que
æ1 0ö
÷÷
A 2 = 2 A - I siendo A = çç
è3 1ø
æ1 0ö
÷÷ . Determinar la matriz inversa de
I = çç
è0 1ø
A y A8 .
32 Determinar todas las matrices
æ2 aö
÷÷ tales que su inversa sea 2 I - A , donde I es la matriz
A = çç
èb c ø
unidad.
33 Calcular los valores del parámetro
æl - 2 ö
÷÷ coincida con
l para que la inversa de la matriz A = çç
è 5 -l ø
su opuesta.
æ 1 0 0ö
÷
ç
34 Resolver la ecuación det ( A - xI ) = 0 , siendo A = ç 2 2 4 ÷ , I la matriz unidad de dimensión
ç 1 1 2÷
ø
è
3 y x Î Â la incógnita.
a b c
c b a
35 Sabiendo que
d
g
e
h
f = 1 , calcular k
k
f
36 Calcular el valor del determinante
h g.
e d
-d
a b
c
d
g
f sabiendo que - a
i
-g
e
h
3
-e - f
-b
-h
- c = 100 .
-i
a
37 Si
b c
2x
z 3y
x y z = 5 , calcular 2 p r 3q .
p q r
2a c 3b
æx y zö
ç
÷
38 Sabiendo que el determinante de la matriz A = ç 1 0 2 ÷ es igual a 1, calcular el valor del
ç 3 8 4÷
è
ø
æ
ö
ç3 + x 8 + y 4 + z ÷
ç 2
determinante de la matriz B =
0
4 ÷.
ç
8
4 ÷
ç 1
÷
3
3 ø
è
x x +1 x + 2
39 Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de
1
40 Determinar los valores de
x
x
x+3 x+4
x+5 x+6
-1
0
m que anulan el determinante m m + 1
m
2 m 2m + 1 2m + 1
3a + 1
41 Determinar el valor de
a
a que anula el siguiente determinante: 6a + 2 2a + 1 2a
3a + 1
a
a +1
42 Calcular el valor del determinante:
1
1
1
a
a2
a +1
(a + 1)2
a+2
(a + 2)2
a +1
43 Determinar el valor de
a
a que anula el siguiente determinante:
a
44 Calcular el determinante
b
a
a
a
a
a +1
a
a
a +1
c
a + b b + c c + a en función de a, b y c , simplificando el
b+c c+a a+b
resultado.
a +1
a
a
a +1
45 Calcular el valor del determinante
a
a
a
a
x 1
1 x
46 Determinar la raíz múltiple de la ecuación
8 1
1 8
4
a
a
a
a
a +1
a
a
a +1
8 1
1 8
=0
x 1
1 x
a
2
47 Hallar, en función de a , el valor del determinante:
3
4
1 0 0 a
0 1 0 0
.
48 Calcular el valor del determinante
1 0 1 0
0 1 0 1
a
a
2
3
a
a
a
2
a
a
.
a
a
1
x
x2
x3
3 2 x + 1 x 2 + 2 x 3x 2
49 Resolver la ecuación:
=0
3 x + 2 2 x + 1 3x
1
1
1
1
50 Dadas las matrices
2ö
æ - 4 - 1ö
æ 1
÷÷ y B = çç
÷÷ encontrar una matriz de la forma
A = çç
1ø
è 4
è - 2 - 4ø
æa aö
÷÷ que verifique AP = PB y tenga determinante igual a 1.
P = çç
èb cø
æ x yö
÷÷ cuyo determinante vale 25 y tales que BA - AB = O , siendo
51 Hallar las matrices A = çç
è0 z ø
1ö
æ3
æ0 0ö
÷÷, y O = çç
÷÷ .
B = çç
è 2 - 2ø
è0 0ø
52 Dada la matriz 2 ´ 2 con elementos a11 = 1, a12 = -1, a 21 = 0, a 22 = 2 , calcule la matriz inversa
y compruebe el resultado.
æ 1 1 0ö
÷
ç
B = ç 1 0 1 ÷ y comprobar el resultado.
ç 0 1 0÷
ø
è
æ 1 1 2ö
÷
ç
53 Hallar la inversa de las matrices: A = ç 2 1 1 ÷
ç0 3 1÷
ø
è
æ1 0 1ö
÷
ç
-1
n
54 Sea la matriz A = ç 0 1 0 ÷ . Hallar A y A .
ç0 0 1÷
ø
è
55
Se considera la matriz
de
56 Si
æ1 2ö
2
÷÷ . Calcular (A T × A -1 ) × A , donde AT es la matriz traspuesta
A = çç
è3 4ø
A.
æ1 2 ö
2
÷÷ , calcular la matriz B = A t × A -1 , siendo A t la matriz traspuesta
A es la matriz A = çç
è1 4 ø
(
(
)
276
)
.
A . Hallar el determinante de la matriz A t × A -1
æ 2 1ö
÷÷ donde y es un número real.
57 Sea la matriz A = çç
è y 0ø
(a) Determinar los valores de y para los cuales la matriz A tiene inversa.
(b) Calcular la inversa de A en estos casos.
de
5
æ a 1 0ö
ç
÷
58 Sea A = ç 0 1 1 ÷ . Hallar el valor o valores de a para los que la matriz A no tiene inversa.
ç 1 a 0÷
è
ø
-1
Hallar A para a = 2 .
æ1
t 2t 2 ö
ç
÷
59 Para cada valor del número real t , se considera la matriz A(t ) = ç 1 - 1
0 ÷.
ç0
1 1 ÷ø
è
(a) Encontrar todos los valores de t para los que la matriz
(b) Hallar la inversa de
A(t ) cuando t = -1 .
A(t ) no tiene inversa.
x ö
æ 3x x
ç
÷
60 Determinar para qué valor o valores de x tiene inversa la matriz ç 0 3 x - x ÷
ç0 0
x ÷ø
è
1 ö
æ1 1
÷
ç
61 Calcular los valores de l para los que la matriz A = ç l 1 l - 1÷ tiene inversa.
ç1 l
1 ÷ø
è
1
1 ö
æ1 + l
÷
ç
1+l
1 ÷.
62 Calcular los valores de l para los que no tiene inversa la matriz ç 1
ç 1
1
1 + l ÷ø
è
æa b cö
÷
ç
63 Se considera la matriz A = ç 3 3 1 ÷ en la que a, b, c son tres números reales cuya suma es 7.
ç 4 8 2÷
ø
è
(a) Comprobar que el determinante de A es múltiplo de 7.
(b) Encontrar todos los valores de a, b, y c para los que la matriz A no tiene inversa.
æ1 1 ö
÷÷ , obtener las matrices B tales que AB = BA . Determinar qué matriz
64 Dada la matriz A = çç
è1 2 ø
B de las anteriores verifica B = A -1
æ1 0ö
æ 2 - 1ö
æ 1 - 1ö
÷÷ , hallar una matriz X tal
÷÷ I = çç
÷÷
65 Dadas las matrices A = çç
B = çç
0
1
1
1
0
1
ø
è
ø
è
ø
è
que AXB = I .
æ 2 3ö
æ 1 1ö
÷÷ , hallar una matriz X tal que AXA = çç
÷÷ .
66 Dada la matriz A = çç
è 1 2ø
è 2 3ø
X que
satisface
la
ecuación
AX = BA ,
siendo
67 Hallar
la
matriz
æ 0 1 - 1ö
æ 1 0 2ö
÷
÷
ç
ç
A = ç 0 1 1÷
B=ç 1 0 2 ÷
ç-1 0 2 ÷
ç - 1 0 1÷
ø
ø
è
è
6
68 (a) Determinar los valores del parámetro real
matricial
AX = B , siendo:
a para los que tiene solución única la ecuación
0ö
1 2ö
æ1 1
æ0
ç
÷
ç
÷
A = ç a 1 - 1÷ , B = ç 1
0 1÷
ç 0 2 - 1÷
ç1 - 1 0÷
è
ø
è
ø
(b) Resolver dicha ecuación matricial para a = 0.
69 Resolver la ecuación matricial XA = B + C , donde
æ1 1 0ö
ç
÷
A = ç0 1 1÷
ç0 0 1÷
è
ø
0ö
æ 1
ç
÷
70 Sean las matrices A = ç 1 - 1÷
ç- 2 2 ÷
è
ø
(a) ¿Se cumple la igualdad
æ 2 0 0ö
ç
÷
B = ç 1 1 2÷
ç 2 0 1÷
è
ø
æ1 1 0ö
ç
÷
C = ç 0 1 0÷
ç 0 1 2÷
è
ø
2 0ö
æ- 2
÷÷
B = çç
è 3 - 1 1ø
rango( A × B ) = rango( A) × rango(B ) ?. Justificar la respuesta.
(b) Encontrar todas las matrices
æa b
X = çç
èd e
cö
÷ tales que XA = I , donde I es la matriz
f ÷ø
identidad de orden 2.
(c) ¿Existe alguna matriz
de
71 (a)
Y , cuadrada de orden 2, tal que AY = B t ? ( B t es la matriz traspuesta
B ). Justificar la respuesta.
Se sabe que una matriz no nula
( A - m I )3 , siendo
A verifica A 2 = A . Desarrollar la expresión matricial
I la matriz identidad y m una constante.
(b) Calcular m sabiendo que se verifican las relaciones:
A2 = A
72 Halla
y
( A - m I )3 = A - m 3 I .
2ö
æ- 3
æ 2 - 3ö
÷÷ .
÷÷, M = çç
X si MXP = I , con P = çç
è 4 - 3ø
è 4 - 5ø
1 1ö
æ0 1 1ö
æ 1
÷
÷
ç
ç
0 1÷, B = ç 1 0 1 ÷ .
72 Calcula P BP si ç - 1
ç1 1 0÷
ç 0 - 1 1÷
ø
ø
è
è
-1
0 1 1 1
1 0 x y
.
72 Calcula:
1 x 0 z
1 y z 0
7
APLICACIÓN DE LAS MATRICES Y LOS SISTEMAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1
Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los precios de coste de cada unidad son 600,
920 y 1.430 pesetas, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada
artículo son 1.800, 2.800 y 4.000 pesetas. El número de unidades vendidas anualmente es de 2.240,
1.625 y 842, respectivamente. Sabiendo que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales y
que la matriz de ventas, V, es una matriz fila, se pide:
(a) Determinar las matrices C, I y V.
(b) Obtener, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondiente a los
tres artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales.
2
Carmen trabaja como telefonista en una empresa de lunes a viernes entre las nueve de la mañana y
las dos de la tarde. Además cuida un bebé de cuatro a siete de la tarde los lunes, miércoles y viernes,
y es mecanógrafa en un bufete de abogados los martes y jueves de cinco a nueve.
(a) Escribir la matriz que expresa el número de horas que dedica a cada actividad a lo lardo de los
días de la semana.
(b) Si le pagan 1.500 pts. Por hora como telefonista, 800 pts. Por hora que cuida al bebé y 2.000 pts.
Por hora por su trabajo como mecanógrafa, expresar matricialmente los ingresos diarios de
Carmen.
(c) Si dejara de ir los lunes a cuidar al bebé y los jueves al bufete y le aumentaran su sueldo como
telefonista un 5%, ¿cómo serían en este caso las dos matrices anteriores?.
3
Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorras y banderines para ayudarse a pagar un viaje.
Cada camiseta se vende a 800 pesetas, cada gorra a 120 pesetas y cada banderín a 200 pesetas. Los
costes de cada prenda son de 300 pts. Por camiseta, 20 pts. Por gorra y 80 pts. Por banderín. El
beneficio neto obtenido es de 67.400 pts. Y el gasto total es de 34.600 pts. Sabiendo que se han
vendido un total de 270 unidades en conjunto, calcúlese cuántas se han vendido de cada clase.
4
Tres recipientes A, B y C, almacenan un total de 72 litros de disolvente. El recipiente A contiene la
tercera parte de la cantidad que hay en B y C juntos. Si de B se pasan 4 litros a C y 6 litros a A, se
igualan las cantidades que hay en cada recipiente.
(a) Plantéese el sistema de ecuaciones lineales que proporciona las cantidades de disolvente que
había inicialmente en cada recipiente.
(b) Resuélvase el sistema anterior.
8
5
Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total
de altos ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el número de altos ejecutivos de
la delegación de Barcelona fuese igual a la de Madrid, tendrían que trasladarse 3 de Madrid a
Barcelona. Además, el número de los de Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las
otras dos ciudades. ¿Cuántos altos ejecutivos están destinados en cada ciudad?.
6
Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total
entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en
euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la
décima parte del valor del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igula a 1,5 euros y
un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la
empresa ha de tener disponible.
9