Cálculo I - Escuela de Matemáticas UIS

Cálculo I
4.6. Aplicaciones de las Derivadas: A Optimización
Julio C. Carrillo E.*
Índice
1. Introducción
1
2. Extremos de funciones
1
3. Problemas de optimización
2
*
Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.
Cálculo I
1.
Introducción
Los problemas de optimización con o sin restricciones surgen de una manera natural en problemas de la
Física y las ingenierías, por cuanto las funciones que son su objeto de estudio, se les deben encontrar sus
extremos (entendidos como su máximo absoluto o mínimo absoluto) que de manera muy natural pueden
sufrir restricciones en las variables independientes de tales funciones.
2.
Extremos de funciones
Los problemas de extremos de funciones son básicamente de dos categorías:
1. Extremos sin restricciones:
a) Extremos (relativos) de funciones en una variable independiente:
Extremos
Condición
f (x)
x 2 Df ✓ R
Hallar extremos (relativos) de f (x) = 9
x2 ,
x 2 Df = R
b) Extremos (relativos) de funciones en más de una variable independiente:
Extremos
Condición
f (x1, . . . , xn)
(x1, . . . , xn) 2 Df ✓ Rn
Hallar extremos (relativos) de f (x, y) = 9
c
Julio C. Carrillo E.
x2
y2,
Para uso exclusivo en el salón de clase
(x, y) 2 Df = R2
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2. Extremos con restricciones:
a) Extremos (absolutos) de funciones en una variable independiente:
Extremos
Condición
f (x)
x 2 A ⇢ Df ✓ R
Hallar extremos (absolutos) de f (x) = 9
x2 ,
x 2 [ 2, 2]
b) Extremos (absolutos) de funciones en más de una variable independiente:
Extremos
Condición
f (x1, . . . , xn)
(x1, . . . , xn) 2 A ⇢ Df ✓ Rn
Hallar extremos (absolutos) de f (x, y) = 9
3.
x2 y 2 ,
(x, y) 2 A = {(x, y) 2 R2 : x + y = 1}, Df = R2
Problemas de optimización
Los problemas de optimización surgen en problemas de aplicaciones, los cuales se reducen al problema
de encontrar los extremos de una función, con o sin restricciones:
1. Los problemas de optimización sin restricciones, los cuales consisten en encontrar los extremos relativos que tiene una función en su dominio, y
c
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2. Los problemas de optimización de optimización con restricciones, los cuales consisten en encontrar los
extremos absolutos de una función en un subconjunto de su dominio.
Por ejemplo, dada la función f (x) = x2, el problema de optimización sin restricciones consiste en encontrar los extremos relativos de la función en el conjunto de todos los números reales. Un problema
de optimización con restricciones con esta función consiste en encontrarle sus extremos absolutos en el
intervalo ( 1, 5], por ejemplo.
3.1.
Problemas de optimización sin restricciones
Consiste en encontrar los extremos locales o relativos de una función (Ver capítulo anterior).
3.2.
Problemas de optimización con restricciones
Se considera ahora el problema de encontrar los extremos absolutos de una función en un subconjunto
de su dominio. Estos problemas de optimización con restricciones pueden ser a su vez en una o más de
una variable independiente.
3.2.1.
Problemas de optimización con restricciones en una variable independiente
Este tipos problemas consiste en encontrar el máximo o el mínimo de una función de una variable en un
subconjunto del dominio de f . Más exactamente, estos problemas consisten en lo siguiente:
Si Df es el dominio de una función f (x) en una variable, se buscan los extremos absolutos de f
en un intervalo I contenido en Df .
c
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Simbólicamente,
(
Extremos (absolutos) y = f (x)
Restricción
x 2 I ✓ Df
Este problema se puede resolver mediante las técnicas estudiadas en capítulos anteriores de este curso.
Por ejemplo, se sabe que si f es continua en el intervalo cerrado I = [a, b] entonces la función f tiene un
máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo I. En caso que I no sea un intervalo cerrado se
pueden utilizar el criterio de la primera y segunda derivada para establecer los extremos relativos de f
en el intervalo I y luego establecer eventualmente mediante otros métodos cuales de ellos son extremos
absolutos (Ver ejemplos a continuación).
Ejemplo 1. El alcance horizontal de una bala de
cañón que es lanzada con una velocidad inicial v0 y
con un ángulo de elevación o de salida ✓, cuando es
ignorada la resistencia del aire, está dada mediante
la función
v02
R(✓) = sen 2✓,
g
donde g es la aceleración de la gravedad. Encontrar
el máximo alcance de la bala.
Solución. El dominio de la función R(✓) son todos los reales. No obstante, desde el punto de vista
físico, para ángulos mayores a ⇡/2 a la dirección de lanzamiento de la bala (ver figura) sale en dirección
contraria a la dirección de disparo. Por tal razón, tiene sentido físico restringir el dominio de la función
c
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R(✓) al intervalo cerrado [0, ⇡/2]. En este caso el problema de optimización con restricciones consiste
en encontrar el máximo alcance del proyectil, es decir, de encontrar el máximo de la función R(✓) en el
intervalo [0, ⇡/2], el cual es intervalo que está contenido en R, el dominio de la función R(✓).
Como la función R(✓) es continua en el intervalo cerrado [0, ⇡/2], el teorema del valor extremo garantiza
que esta función tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en este intervalo. Para encontrar los
extremos absolutos de R(t), primero se encuentran los números críticos. Como
2v02
R (✓) =
cos 2✓,
g
0
⇡
⇡
⇡
se tiene que R0(✓) = 0 cuando cos 2✓ = 0 o 2✓ = , es decir, cuando ✓ = . Así que es el único número
2
4
4
crítico de R(✓) en el intervalo abierto (0, ⇡/2). El valor de la función en este número crítico y los extremos
del intervalo [0, ⇡/2] se obtiene que
R(0) = 0,
v02
R(⇡/4) = ,
g
R(⇡/2) = 0.
Entonces el mínimo de estos valores es 0, por lo cual el alcance mínimo de la bala esR(0) = R(⇡/2) = 0
v02
y el alcance máximo es R(⇡/4) = . Es decir, el máximo alcance de la bala se logra al ser lanzada a un
g
ángulo de 45 con respecto a la horizontal.
Ejemplo 2. Un canalón para agua de 20 pies de longitud tiene extremos en forma de triángulos isósceles
cuyos lados miden 4 pies de longitud. Determine la dimensión a través del extremo triangular de modo
que el volumen del canalón sea máximo. Encuentre el volumen máximo.
c
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Solución. Se debe maximizar el volumen V del canalón,
V = (área del extremos triangular del canalón) ⇥ (largo del canalón).
Sea h la altura del extremo triangular del canalón.
De la figura y del teorema de Pitágoras se tiene que
r
⇣ x ⌘2
x2 1 p
2
2
h +
= 4 =) h = 16
=
64
2
4
2
c
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x2 ,
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0  x  8.
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Por lo tanto,
(base) ⇥ (altura)
(área del extremo triangular del canalón) =
=
2
x
q
16
2
x2
4
1 p
= x 16
4
x2 .
Como el largo del canalón es de 20 pies entonces el volumen del canalón es
✓ p
◆
p
1
2
V (x) =
x 16 x · 20 = 5x 64 x2,
0  x  8.
4
Como la función V (x) es continua en el intervalo cerrado [0, 8], el teorema del valor extremo garantiza
que ella tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en este intervalo.
Dado que
x2 32
0
V (x) = 10 p
,
2
64 x
p
p
se tiene que V 0(x) = 0 cuando x = ±4 2, siendo x = 4 2 el único número
crítico de V (x) en el intervalo
p
p q
p
p p
2
abierto (0, 8). En este caso V (0) = V (8) = 0, V (4 2) = 5(4 2) 64 (4 2) = 20 2 64 32 =
p p
20 2 32 = 20 ⇥ 8 = 160. El mayor de estos tres valores
p es el máximo absoluto del volumen. De acuerdo
con esto, el canalón de mayor volumen debe tener 4 2 ⇡ 5,66 pies de ancho en la parte superior, con lo
cual el volumen máximo del canalón será de 160 pies3.
c
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Ejemplo 3. Una mujer que se encuentra en el punto
P en una isla desea llegar a una población situada
en el punto S sobre una playa recta en tierra firme.
El punto P está a 9 millas del punto más próximo
Q sobre la playa y la población en el punto S está a
15 millas de Q (ver la figura). Si la mujer rema un
bote a razón de 3 mi/h hacia un punto R en tierra,
luego camina el resto del camino hacia S a razón
de 5 mi/h, determine dónde debe desembarcar en la
playa a fin de minimizar el tiempo total de viaje.
Solución. Según la figura, x que denota la distancia del punto Q en la playa al punto R donde la mujer
desembarca en la playa, donde 0p
 x  15. Según esto, y por el teorema de Pitágoras, la distancia de P
a Q que ella rema es d(P, Q) = 81 + x2 y la distancia de R a S que ella camina es d(R, S) = 15 x.
Si T denota el tiempo total de viaje, es claro que se busca encontrar el punto R, o lo que es lo mismo un
x, de tal manera que se minimice T . Ahora bien, como el desplazamiento sobre el agua y en la tierra es
a velocidad constante, tales movimientos son rectilíneos y uniformes. Por tal razón
T = (tiempo remando) + (tiempo caminando)
d(P, R)
d(R, S)
=
+
,
velocidad en el agua velocidad en tierra
c
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o bien,
T (x) =
p
81 + x2 15 x
+
,
3
5
La primera derivada de T es
2x
T 0(x) = p
6 81 + x2
0  x  15.
1
x
= p
5 3 81 + x2
1
.
5
Ahora, T ”(x) = 0 cuando\
x
1
x2
9
p
= =)
=
81 + x2 25
3 81 + x2 5
=) 25x2 = 729 + 9x2
=) 16x2 = 729
27
=) x = .
4
27
Es decir,
es el único punto crítico en (0, 15). Como T (x) es continua en [0, 15] el teorema del valor
4
extremo garantiza que T tiene un mínimo en el intervalo [0, 15]. Este valor se obtiene a partir de los
valores
T (0) = 6 h,
T 27
T (15) ⇡ 5,83 h.
4 = 5,4 h,
Por lo tanto, el tiempo de viaje mínimo ocurre cuando la mujer desembarca en el punto R localizado a
27
= 6,75 millas del punto Q y luego camina las 8,25 millas restantes hacia el punto S.
4
c
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3.2.2.
Problemas de optimización con restricciones en mas de una variable independiente
Este segundo tipo de problemas de optimización con restricciones se puede plantear de manera más
general, pero por ahora se va a plantear la versión más sencilla de ellos. El problema consiste en encontrar
los extremos (absolutos) de una función z = g(x, y), en las dos variables independientes x y y, en donde los
puntos (x, y) de que depende la función g deben satisface una condición o restricción, la cual usualmente
es dada mediante una ecuación en dos variables h(c, y) = c, siendo c una constante dada. Simbólicamente,
(
Extremos (absolutos) z = g(x, y)
Restricción
h(x, y) = c
En este tipo de problemas, a la ecuación h(x, y) = c se le llama la restricción o condición, y a la función
g(x, y) se le llama la función objetivo. Si suponemos que de la restricción se puede obtener a y en función
de x, es decir que y = f (x), entonces al reemplazar este valor de y en la función objetivo se obtiene el
problema de optimización en una variable
Extremos z = h(x, f (x)),
el cual es un problema de optimización con restricciones en una variable (independiente).
Ejemplo 4. Encontrar dos números no negativos cuya suma sea 5, pero de tal manera que el producto
de uno con el cuadrado del otro sea lo más grande posible.
c
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Solución. Sean x y y que denotan tales números y z el producto propuesto. Entonces se debe resolver
el problema de optimización con restricciones,
máx (absoluto)
Restricción
z = xy 2, x
x+y =5
0, y
0
Al despejar de la restricción a y se obtiene que
y=5
x.
Dado que y 0 y y = 5 x entonces se tiene que 5 x 0, o sea que 0  x  5.
Al reemplazar en la función objetivo se obtiene el problema de optimización con restricciones en una
variable
máx z = x(5 x)2, 0  x  5.
El teorema del valor extremos garantiza que la función z tiene un máximo en el intervalo [0, 5].
Dado que
dz
= (5 x)2 2x(5 x) = (5 x)(5 x 2x) = (5 x)(5 3x) = 0
dx
cuando x = 5 o x = 5/3, entonces x = 5/3 es es el número critico de z que se encuentra en el intervalo
abierto (0, 5). Dado que el mayor valor de los valores
z
x=0
= 0,
z
x=5/3
=
500
⇡ 18,51,
27
z
x=5
=0
es 18,51, el cual se logra cuando x = 5/3 entonces y = 5 5/3 = 10/3. Por lo tanto, los números buscados
son x = 5/3 y y = 10/3.
c
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Ejemplo 5. Encuentre el punto P (x, y) en el primer cuadrante que se encuentra en el círculo de ecuación
x2 + y 2 = 1 y que está más cercano al punto Q(2, 4).
Solución. En este caso se debe minimizar la distancia d entre los puntos P y Q bajo la condición que
el punto P esté en el círculo y en el primer cuadrante, o sea, se debe resolver el problema de optimización
siguiente:
p
mı́n d = (x 2)2 + (y 4)2
x > 0, y > 0
Rest. x2 + y 2 = 1
A fin de evitar la derivada de la raíz cuadrada se tiene en cuenta que
p
d = (x 2)2 + (y 4)2 si y solo si d2 = (x 2)2 + (y
c
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4)2.
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De tal modo que se hace D = d2 y se resuelve entonces el problema de optimización
mı́n
Rest.
D = (x 2)2 + (y
x2 + y 2 = 1
4)2
x > 0, y > 0
Como y > 0 al resolver la ecuación de la restricción para y se tiene que
p
y = 1 x2 .
De esta manera se obtiene el problema de minimizar la función
⇣p
⌘2
2
D(x) = (x 2) +
1 x2 4 ,
(1)
0 < x < 1.
No obstante, la solución del problema no se afecta de ninguna manera si se supone que el dominio es
el intervalo cerrado [0, 1]. Por el teorema del valor extremo la función tiene un mínimo en el intervalo
[0, 1]. Este mínimo es menor de los valores D(0), D(1) y D(c) para cualquier número crítico de D(x) en
el intervalo abierto (0, 1).
Como
p
⇣p
⌘
4 2x
1 x2
2x
0
2
p
D (x) = 2(x 2) + 2
1 x
4 · p
=
,
2 1 x2
1 x2
p
p
0
2
entonces D (x) = 0 cuando 2x
1 x = 0 o 2x = 1 x2. Como x > 0 y 1 x2
0, se puede
elevar al cuadrado ambos miembros y obtener que
p
5
4x2 = 1 x2 =) 5x2 = 1 =) x = ± ,
5
c
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p
5
de lo cual se sigue que x =
es el único número crítico de D(x) en el intervalo abierto (0, 1). Como el
5
menor de los valores
p
p
D(0) = 13,
D( 5/5) = 21 4 5 ⇡ 12,06,
D(1) = 17
p
p
5
es D( 5/5), se las distancias D y d son mínimas cuando x =
. Al usar la restricción del problema en
5
la forma dada en (1) se tiene que
v
u
p !2
p
u
5
2 5
y = t1
=
.
5
5
p p !
5 2 5
Esto significa que el punto P
,
es el punto en el círculo más cercano al punto Q(2, 4).
5
5
Ejemplo 6. Un granjero intenta delimitar un terreno rectangular que tenga un área de 1500 metros
cuadrados. El terreno estará cercado y dividido en dos partes iguales por medio de una cerca adicional
paralela a dos lados. Encuentre las dimensiones del terreno que requiere la menor cantidad de cerca
posible.
Solución. De acuerdo con la siguiente figura y con los datos del problema, sean x y y las variables que
denotan las dimensiones del terreno cercado y L la suma de las cinco longitudes de las porciones de cerca
que delimitan el terreno.
c
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Entonces
L = 2x + 3y.
Debido a que la área del terreno rectangular es de 1500 metros cuadrados, entonces
xy = 1500.
De esta manera se plantea el problema de optimización
mı́n
Restr.
L = 2x + 3y,
xy = 15000
x > 0, y > 0
Escribiendo la restricción de la forma
1500
x
y reemplazar en la función objetivo se obtiene el problema de minimizar la función en una variable
y=
L(x) = 2x +
c
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4500
,
x
x > 0,
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el cual no representa un problema de optimización de una función en un intervalo cerrado.
Como
4500
L0(x) = 2
=0
x2
entonces se sigue que
r
p
4500
2
2x = 4500 =) x = ±
= ±15 10.
2
p
Como x > 0 entonces x = 15 10 es el número crítico de la función L0(x). Para clasificar este número
crítico se utiliza el criterio de la segunda derivada. Dado que
00
p
L (15 10) = L00(x)
entonces
p
x=15 10
=
9000
x3
p
x=15 10
=
9000
>0
153 ⇥ 103/2
⇣ p ⌘
p
4500
L(15 10) = 2 15 10 + p = 60 10 metros
15 10
es la cantidad mínima requerida de cerca. De la restricción se tienen que
p
p
1500
1500
y=
= p = 10 10.
x
15 10
p
p
En consecuencia las dimensiones del terreno deben ser de 15 10 metros por 10 10 metros.
c
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