Extremos absolutos de funciones en regiones compactas

Extremos absolutos de funciones en regiones compactas
Luis Villamizar Facultad de Ingeniería
Uno de los resultados clásicos sobre funciones reales de una variable real, definidas en un
intervalo cerrado y acotado [a, b] , donde la función es continua, es que ésta alcanza su máximo
y mínimo absolutos dentro del intervalo [a, b] . Esto es, si la función f :[a, b] → \ es continua,
entonces existe un M , m ∈ [a, b] , donde f ( M ) ≥ f ( x) ∀x ∈ [a, b] y, f (m) ≤ f ( x) ∀x ∈ [a, b] . Al
valor f ( M ) (respectivamente f (m) ) se le llama máximo (mínimo) absoluto de la función f en
el intervalo [a, b] . Se sabe además que los puntos M , m donde f
alcanza sus extremos
absolutos, son o los extremos del intervalo [a, b] ( x = a o x = b ), o bien, si es un punto en el
intervalo abierto (a, b) , éste debe ser un punto crítico, es decir, un punto en donde la derivada
f ′ es cero o no existe.
Este resultado sigue siendo cierto para funciones reales continuas de varias variables en
ciertos tipos de regiones B ⊂ \ n , con propiedades análogas (desde el punto de vista
topológico) a las de los intervalos cerrados y acotados de \ . Estas regiones se llaman
compactas y se caracterizan por ser conjuntos cerrados y acotados de \ n . De acuerdo a esto,
se tiene:
Teorema: Sea f : B ⊂ \ n → \ una función real definida en el conjunto compacto B de
\ n . Supongamos que
f
es continua. Entonces existen puntos M , m ∈ B tales que
f ( M ) ≥ f ( x) ∀x ∈ B , f (m) ≤ f ( x) ∀x ∈ B .
Lo que establece éste teorema, es que la función continua f
definida en el conjunto
compacto B alcanza su máximo y mínimo absolutos en puntos de B . Si además suponemos que
la función f es diferenciable (por ejemplo en un conjunto abierto U que contenga a B ), se
puede demostrar que los extremos absolutos de f ocurren:
1. En la frontera de B .
2. En puntos interiores de B , donde las derivadas de f se deben anular (es decir, si el
(los) extremo(s) absoluto(s) se encuentran en puntos del interior de B , estos deben
ser puntos críticos de f ).
3. En los puntos angulosos (si los hay) de la frontera de B .
En el caso de funciones diferenciables de dos variables, f : \ 2 → \ , definidas en un
conjunto compacto B (la función f continua en B y diferenciable en un abierto U que
contiene a B ), limitado por una curva cerrada del plano, definida por la ecuación g ( x, y ) = 0 , el
problema de determinación de los extremos absolutos de f en B se limita a determinar los
puntos críticos de
f
dentro de B (pues en ellos se podrían encontrar los extremos
absolutos), y luego, determinar los extremos de f en los puntos de la curva dada g ( x, y ) = 0 , la
cual es la frontera de B , donde también se pueden ubicar los extremos absolutos buscados.
Estos últimos cálculos se pueden realizar resolviendo el problema de extremos condicionados
de la función f con la restricción de que sus variables independientes x, y satisfagan la
relación g ( x, y ) = 0 . Comparando los valores de f en los puntos así obtenidos, se puede decidir
cuál de ellos es el máximo y cuál es el mínimo absoluto de f en el conjunto compacto B .
Fuente:
Pita R. Claudio. Cálculo Vectorial. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. 1995.
México.
Ejemplo: Un disco circular tiene la forma de la región acotada por x 2 + y 2 = 1 . Si
T grados es la
temperatura del cualquier punto ( x, y) del disco y T ( x, y ) = 2 x + y − y , determine los puntos
2
2
más fríos y más calientes en el disco.
Debemos determinar los extremos absolutos de la función T ( x, y ) = 2 x 2 + y 2 − y en la región
{
}
B = ( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1 . La función g ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0 , que limita a la región B es una
circunferencia donde para cada punto ( x, y) de esa curva la función T ( x, y ) es diferenciable.
1. Se localizan los puntos críticos de T ( x, y ) que estén dentro de B , para ello se resuelve:
Tx = 4 x = 0, Ty = 2 y − 1 = 0
de donde se obtiene el punto critico dentro de B , X 1 = (0,1 2) .
2. Pasamos ahora a determinar los extremos de T ( x, y ) en la frontera de B , para ello,
resolvemos el problema de extremos condicionados de T ( x, y ) con la restricción g ( x, y ) = 0 .
Por tanto la función de Lagrange, es:
F ( x, y, λ ) = 2 x 2 + y 2 − y + λ ( x 2 + y 2 − 1)
de donde:
Tx = 4 x + 2λ x = 0, Ty = 2 y − 1 + 2λ y = 0, Tλ = x 2 + y 2 − 1 = 0
de donde se obtienen los puntos:
X 2 = (0,1), X 3 = (0, −1), X 4 = ( 3 2, −1 2), X 5 = (− 3 2, −1 2)
Se tiene entonces:
T (0,1 2) = −1 4, T (0,1) = 0, T (0, −1) = 2, T ( 3 2, −1 2) = 9 4, T (− 3 2, −1 2) = 9 4
Así, el mínimo absoluto de T ( x, y ) en B se encuentra en el punto X 1 = (0,1 2) (dentro
de B en un punto crítico de T ( x, y ) , también extremo local) el cual vale −1 4 , y el máximo
absoluto de T ( x, y ) en B se encuentra en los puntos X 4 = ( 3 2, −1 2), X 5 = (− 3 2, −1 2) (en
la frontera de B ), el cual vale 9 4 .