EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
DE DOS VARIABLES
Extremos relativos
Definiciones de extremos relativos:
Sea f: A → R, A ⊂ R2 y sea (x0 , y0) un punto interior de A. Se
dice que:
1) f(x0 , y0) es un máximo relativo de f si existe algún entorno del punto (x0 , y0)
tal que f(x , y) ≤ f(x0 , y0) para todo (x , y) de dicho entorno.
2) f(x0 , y0) es un mínimo relativo de f si existe algún entorno del punto (x0 , y0)
tal que f(x , y) ≥ f(x0 , y0).
En ambos casos se dice que f alcanza en (x0 , y0) un extremo relativo cuyo valor
es f(x0 , y0).
2
2
−(x +y )
f(x,y)=x.e
f(x,y) ≤ f(x0,y0)
OZ
0.5
0
−0.5
2
1
0
f(x,y) ≥ f(x0,y0)
−1
OY
2
1
0
−1
−2
−2
OX
Interpretación gráfica
Extremos relativos
Definición de punto crítico:
Sea f: A → R, A ⊂ R2 y sea (x0 , y0) un punto interior de A. Se
dice que (x0 , y0) es un punto crítico de f si se verifica una de las
siguientes condiciones:
1) Se anulan las derivadas parciales, es decir,
∂f
( x0 , y0 )= 0
∂x
2) No existe
∂f
( x0 , y0 )= 0
∂y
∂f
( x0 , y0 )
∂x
o bien no existe
∂f
( x0 , y0 )
∂y
Teorema:
Si f(x0 , y0) es un extremo relativo, entonces (x0 , y0) es un punto crítico
de f.
Extremos relativos
Observación: La función no tiene porque alcanzar un extremo relativo
(local) en un punto crítico.
z = y2 - x2
∂f
∂f
(0,0) = (0,0) = 0
∂x
∂y
(0,0) es un punto crítico
con f(0,0) = 0. Si embargo,
⎧ f ( x,0) < 0, x ≠ 0
⎨
⎩ f (0, y ) > 0, y ≠ 0
Punto de silla: punto crítico de f en el que f no alcanza un extremo relativo.
Extremos relativos
Criterio de las derivadas parciales segundas:
Supongamos que f es una función con derivadas parciales segundas
∂f
∂f
continuas en un entorno del punto (x0 , y0), y
(0,0) = (0,0) = 0 .
∂x
∂y
Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f,
utilizamos el hessiano:
∂2 f
( x0 , y0 )
2
∂x
H ( x0 , y0 ) = 2
∂ f
( x0 , y0 )
∂x∂y
Proposición:
i)
Si H(x0 , y0) > 0 y
ii) Si H(x0 , y0) > 0 y
∂2 f
( x0 , y0 ) > 0
∂x 2
∂2 f
( x0 , y0 ) < 0
∂x 2
∂2 f
( x0 , y0 )
∂y∂x
∂2 f
( x0 , y0 )
2
∂y
entonces f tiene en (x0 , y0) un mínimo relativo.
entonces f tiene en (x0 , y0) un máximo relativo.
iii) Si H(x0 , y0) < 0, entonces (x0 , y0) es un punto de silla.
iv) Si H(x0 , y0) = 0 este criterio no aporta información.
Extremos absolutos
Definiciones de extremos absolutos:
Sea f: A → R, A ⊂ R2 y sean (xm , ym) y (xM , yM) ∈ A. Se dice que:
1) f alcanza el máximo absoluto en el punto (xM , yM) si para todo (x , y) ∈ A se
tiene que f(x , y) ≤ f(xM , yM). En este caso, al valor zM = f(xM , yM) se le llama
máximo absoluto de f en A.
2) f alcanza el mínimo absoluto en el punto (xm , ym) si para todo (x , y) ∈ A se
tiene que f(x , y) ≥ f(xm , ym). En este caso, al valor zm = f(xm , ym) se le llama
mínimo absoluto de f en A.
Teorema de Weiertrass: Sea f: A → R, con A ⊂ R2 un conjunto
cerrado y acotado. Si f es continua en A, entonces f alcanza el máximo y
el mínimo absolutos en el conjunto A, es decir, existen (xm , ym) y (xM , yM)
∈ A tales que f(xm , ym) ≤ f(x,y) ≤ f(xM , yM) para todo (x , y) ∈ A.
Extremos absolutos
Proposición:
Si f alcanza un extremo absoluto en el punto (x0 , y0) interior al
dominio de f, entonces f tiene en (x0 , y0) un extremo relativo.