Práctico 5: Extremos relativos Consideremos una función f : A ⊂ R n

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Cálculo 2
Curso 2016
Práctico 5: Extremos relativos
Consideremos una función f : A ⊂ Rn → R y a ∈ A. Recoremos que
1. f tiene un máximo relativo en a si existe > 0 tal que f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ B ∗ (a, ).
2. f tiene un mínimo relativo en a si existe > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ B ∗ (a, ).
3. f tiene un extremo relativo en a si tiene un máximo o mínimo relativo.
Recordemos además que si f es diferenciable en a (con a punto interior de A) y presenta un
extremo relativo en dicho punto, entonces a es un punto crítico de f , es decir que ∇f (a) = 0.
Sin embargo el recíproco no es cierto, es decir que una función diferenciable puede tener puntos
críticos que no sean extremos relativos, a estos le llamaremos puntos silla.
Ejercicio 1. Hallar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones:
1. f (x, y) = 1 + x2 − y 2 .
2. f (x, y) = x3 − 3xy 2 + y 3 .
3. f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy.
Ejercicio 2. Se considera la función f : R2 → R, f (x, y) = 3x4 − 4x2 y + y 2 .
1. Probar que la restricción de f a cualquier recta por el origen tiene un mínimo relativo en
dicho punto.
2. Probar que f no posee un mínimo relativo en el origen.
Proponer otros ejemplos que cumplan con la misma condición.
Ejercicio 3. Sea f : R → R una función con derivada segunda continua que cumple f 0 (a) = 0
y f 00 (0) 6= 0. Probar que la función h : R2 → R definida por h(x, y) = f (x + y) − f (x − y) tiene
un punto silla en (a, 0).
Ejercicio 4. Probar que si f : R → R es una función C 1 que tiene un único extremo relativo
que es máximo local, entonces es máximo absoluto. Ahora considerar la función g : R2 → R
definida por g(x, y) = 3xey − x3 − e3y y probar que tiene un único extremo relativo que es un
máximo local, pero sin embargo no tiene máximo absoluto.
Ejercicio 5. En los casos en que existan, hallar el máximo y el mínimo absolutos en todo R2
de cada una de las siguientes funciones:
1. f (x, y) = 1 − y 2 − x4 .
1
2. f (x, y) = (x2 + y 2 ) e−(x
2 +y 2 )
3. f (x, y) = (x2 − y 2 ) e−(x
2 +y 2 )
.
.
Ejercicio 6. Sea f (x, y) = (3−x)(3−y)(x+y−3). Hallar todos sus puntos críticos y clasificarlos.
¿Tiene f extremos absolutos en todo R2 ?
Ejercicio 7. Determinar los extremos absolutos y relativos, y los puntos de silla de la función
f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 ) en [0, 1] × [0, 1].
Ejercicio 8. Dados (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), parejas de números reales con x1 , . . . , xn no todos
iguales, hallar una función f : R → R de la forma f (x) = ax + b que minimice el “error
cuadrático"E(a, b), dado por
i=n
X
E(a, b) =
(f (xi ) − yi )2 .
i=1
¿Por qué es importante que x1 , . . . , xn no sean todos iguales?
Ejercicio 9. Estudiar extremos relativos y absolutos de la función f : Rn × Rm → R definida
por f (x, y) = kxk2 − kyk2 .
Ejercicio 10. Consideremos la función f : B → R definida por f (x, y) = x2 + y, donde
B = B[0, 1] ⊂ R2 .
1. Observar que f tiene máximo y mínimo absoluto en B.
2. Hallar el máximo y el mínimo de dicha función. Sugerencia: estudiar por separado el
interior y la frontera de B. Para el caso de la frontera, parametrizarla por una curva.
3. En caso de que el máximo o el mínimo se alcance en la frontera, dibujar el gradiente de
f en dicho punto.
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