Ayudantia 3.2 - Matesup

Ayudantías 2010
Semana del 22-26 de Noviembre
UNIVERSIDAD DE TALCA
Instituto de Matemática y Física
Clase dirigida No 8, Ayudantía
Curso: Cálculo 1
Carrera: Ingeniería Civil
Unidad No 3
Aplicaciones de la Derivada. 1era y 2da. derivada
Objetivos de la Clase Monotonia, Concavidad y aplicaciones.
Ejercicio propuesto para: N El alumno en sala.
de clase.
El ayudante en clase. H El alumno fuera
1. Determinar los extremos absolutos de la función y los valores de x donde se alcanzan.
(a)
f (x) = 2(3 x) en [ 1; 2]
2x + 5
(b) N f (x) =
en [0; 5]
3
(c) N f (x) = x2 + 3x en [0; 3]
(d) H f (x) = x2 + 2x
(e) H f (x) = x
3
4 en [ 1; 1]
2
3x en [ 1; 3]
2. Utilizando el criterio de la primera derivada, determinar los máximos y mínimos locales
o relativos de las siguientes funciones:
(a)
f (x) = x2
(b) N g(x) = x
(c) N h(x) =
3
4x + 3
6x2 + 9x
2x3 + 6x
(d) H f (x) = x4
2
1
4x3
3. Hallar todos los extremos relativos. Usar el criterio de la segunda derivada cuando sea
aplicable
(a)
f (x) = 6x
x2
(b) N f (x) = x2 + 3x
(c) N f (x) = (x
8
5)2
(d) H f (x) = x4 4x3 + 2
p
(e) H f (x) = x2 + 1
4. Hallar los números críticos de f , si los hay, los intervalos abiertos de crecimiento o
decrecimiento de la función algebraica y localizar los extremos relativos
(a)
f (x) =
2x2 + 4x + 3
(b) N f (x) = x2
6x
1
(c) N f (x) = 2x3 + 3x2
(d) H f (x) = (x
(e) H f (x) = 5
12x
3
3)
jx
5j
5. H Encontrar dos números no negativos cuya suma sea igual a 12 y tales que su producto
sea un máximo absoluto.
6. N Determinar el área del rectángulo de mayor área que tenga dos vértices en el eje X
y los otros dos en la parábola y = 9 x2 , por arriba del eje X.
7. N Un fabricante de cajas de cartón desea elaborar cajas abiertas a partir de trozos
rectangulares de cartón con dimensiones de 10 cm por 17 cm, cortando cuadrados en
las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Determinar la longitud del lado
de los cuadrados que se deben cortar de modo que la caja tenga el mayor volumen
posible. Solución: Lado de los cuadrados cortados 2.03 cm
8.
Un terreno rectangular se encuentra en la orilla de un río y se desea delimitarlo de
modo que no se utilice cerca a lo largo de la orilla del río. Si el material para la cerca
de los dos lados cuesta US$12 por metro colocado y US$18 por metro colocado para
el lado paralelo al río. Determinar las dimensiones del terreno de mayor área que se
limitan con US$5400 de cerca. Solución: Lado paralelo al rio 150 metros y longitud
de cada lado no paralelo al rio, 112.5 metros
9. N Al estornudar, la tráquea se contrae, lo cual afecta a la velocidad v del aire que pasa
por ella. Supongamos que la velocidad del aire durante un estornudo es
v = k(R
r)r2 ; 0
r<R
donde k es una cosntante, R el radio normal de la tráquea y r el radio durante el
estornudo. ¿Qué radio produce la máxima velocidad del aire?Solución:r = 2R
3
10. H La potencia eléctrica (en vatios) en un circuito de corriente continua con dos resistencias R1 y R2 , conectadas en serie, es
P =
vR1 R2
(R1 + R2 )2
donde v es el voltaje. Si v y R1 se mantienen constantes, ¿qué resistencia R2 produce
la máxima potencia?. Solución:Cuando R2 = R1
11. Hallar los extremos relativos y los puntos de in‡exión
(a) f (x) = x3
(d)Hf (x) = sen
12x
x
2
(b)Nf (x) = x3 + 1
(e)Hf (x) = x3 (x
4)
1
(c)Nf (x) = x4 2x2
4p
(f)Hf (x) = x x + 1
12. Esbozar la grá…ca de una función f con las características que se especi…can
(a)
2
(b) H
f (2) = f (4) = 0
f (3) está de…nido
f 0 (x) < 0 si x < 3
f 0 (3) no está de…nido
f 0 (x) > 0 si x > 3
f 00 (x) < 0 si x 6= 3
f (0) = f (2) = 0
f 0 (x) > 0 si x < 1
f 0 (1) = 0
f 0 (x) < 0 si x > 1
f 00 (x) < 0
13. N Determinar los valores de a; b; c; d tales que la función de…nida por y = ax3 + bx2 +
cx + d tenga extremos relativos en los puntos (1; 2) y (2; 3)
14. El siguiente es el grá…co de la derivada de una función y = g(x). Determinar
(a)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de y = g(x)
(b) N Extremos relativos de y = g(x)
(c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de y 0 = g 0 (x)
(d) N Extremos relativos de y 0 = g 0 (x)
(e) H Intervalos donde es positiva o negativa y 00 = g 00 (x)
15. H Demostrar que el punto de in‡exión de f (x) = x(x
los extremos relativos de f
16.
6)2 está a medio camino entre
Demostrar la grá…ca de y = xsen(1=x) es cóncava hacia abajo a la derecha de
x = 1=
17. H Probar que toda función cúbica con tres raíces reales distintas tiene un punto de
in‡exión cuya abscisa es el promedio de los tres ceros
3
18. N La ecuación
E=
(x2
kqx
+ a2 )3=2
da la intensidad del campo eléctrico en el eje de un anillo uniformemente cargado,
donde q es la carga total, k una constante y a el radio del anillo. ¿Para qué valor de x
es máximo E?
19.
Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en
un semicírculo de radio r
20. N El costo total de pedido y almacenamiento de x unidades es
C = 2x +
300000
x
¿Qué tamaño de pedido produce el mínimo costo?
21. H Un empresario ha determinado que el costo total C de funcionamiento de su fábrica
es
C = 0; 5x2 + 15x + 5000
donde x es el número de unidades fabricadas. ¿A qué nivel de producción es mínimo
el costo medio por unidad? (El costo medio por unidad es C=x)
22. Un avión desciende desde 1 milla de altitud y desde un punto situado a 4 millas de la
pista de aterrizaje
(a)
Hallar la función cúbica f (x) = ax3 + bx2 + cx + d que describe, en el intervalo
[ 4; 0], una trayectoria suave del aterrizaje
(b) N Con ese modelo para la trayectoria, ¿en qué momento descendería más rápidamente el avión?
23.
Problema de la vaca perezosa que se convirtió en física
Al atardecer, las vacas entran a un corral por una puerta ubicada en un punto A; luego
se dirigen automáticamente a un estero a tomar agua. El estero sirve como límite
del canal. Después se dirigen a la puerta del establo, ubicada en B. Una vacamuy
perezosa y,por lo tanto, inteligente, quiso minimizar el número de pasos que debería
efectuar para ir primero al estero, beber agua y entrar al establo a dormir. Procedió
de la siguiente forma:
El estero está sobre una recta que tomó como el eje X; el eje Y lo tomó como la
perpendicular de A al eje X. Llamó P = (x; 0) al punto en el estero en el cual debería
beber para minimizar el número de pasos. Sean entonces A = (0; a), B = (c; b),
a; b; c > 0 y s = jAP j + jP Bj para hallar donde s es mínima
24. N Con un trozo de material rectangular, se forma una caja abierta suprimiendo de cada
esquina cuadrados iguales y doblando los lados hacia arriba. Hallar las dimensiones de
la caja de mayor volumen que se puede construir de esta manera, si el material tiene
dimensiones a y b
4
25.
Una tropa de scouts saldrá de campamento y necesitan comprar género para construir carpas cónicas, sin piso y de un volumen dado. Para disminuir los costos del
campamento necesitan comprar el mínimo de género. Entonces se preguntan: ¿Qué
relación debe existir entre la altura de la tienda y el radio del suelo para que el área
lateral sea mínima?
26. N De todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de radio r, ¿Cuál es
el que tiene área máxima?
27. N Entre todos los rectángulos de perímetro dado, encuentre el de mayor área
28.
Entre todos los cilindros circulares rectos de volumen dado, hallar el de menor área
lateral
29. H Entre todos los triángulos rectángulos con perímetro 2p, ¿Cuál es el que tiene área
máxima?
30. (a)
Si la suma de dos variables x e y es constante, ¿pueden la suma de sus cuadrados
y la suma de sus cubos tener un máximo y un mínimo?
(b) N Una recta de longitud l está dividida en dos segmentos que sirven de diámetros
a dos esferas. ¿Cuál es el máximo y el mínimo de la suma de los volúmenes de las
dos esferas?
31. N Determine las bases del trapecio de área máxima inscrito en un semicírculo de radio
r
32. Considere el punto (a; b) en el primer cuadrante. Hallar los puntos de la curva señalada
más próximos al punto (a; b)
(a)
y = x2
(b) N x2 +
(c) N x2
33.
y2
=1
2
y2 = 1
Una cancha de fútbol mide 90 61 metros, y los arcos tienen un largo de 11 metros.
Un puntero izquierdo, que chutea muy bien, se mueve pegado a su costado. ¿A qué
distancia del banderín del corner debe chutear para obtener las máximas posibilidades
de marcar un gol?
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