Test de Cálculo Diferencial

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Test de Derivadas Parciales y Extremos. Tipo 0
1. El vector director de la recta normal al plano tangente en un punto (x0 , y0 ) de una supercie de
ecuación z = f (x, y) es
a ) (fx (x0 , y0 ) , fy (x0 , y0 ) , −1).
b ) (1, fx (x0 , y0 ) , fy (x0 , y0 )).
c ) Cualquiera de los dos vectores anteriores.
2. Sea una función real de dos variables reales, marca la sentencia falsa
a ) La función puede tener ambas derivadas parciales en un punto y no ser continua en dicho
punto.
b ) Si la función tiene ambas derivas parciales en un punto es continua en dicho punto.
c ) La función puede ser continua en un punto y sin embargo no tener derivadas parciales en dicho
punto.
3. En el punto (0, 0) la función denida a trozos
(
f (x, y) =
xy 2
x2 +y 2
0
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
a ) Es continua pero no existen las derivas parciales.
b ) Existen las derivas parciales pero la función no es continua.
c ) La función es continua y existen las derivadas parciales.
4. El Hessiano es
a ) El determinante
b ) El determinante
fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 )
fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 )
fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 )
fyy (x0 , y0 ) fyx (x0 , y0 )
c ) Ninguna de las anteriores.
5. Marcar la sentencia cierta
a ) Si una función es continua en un conjunto cerrado y acotado entonces la función alcanza
extremos absolutos en el interior del conjunto.
b ) Si una función es continua en un conjunto cerrado y acotado entonces la función alcanza
extremos absolutos en la frontera del conjunto.
c ) Si una función es continua en un conjunto cerrado y acotado entonces la función alcanza
extremos absolutos en el conjunto.
6. Marcar la sentencia cierta
a ) Si una función alcanza un extremo relativo en un punto entonces es un punto crítico.
b ) Si un punto es crítico entonces en ese punto la función alcanza un extremo relativo si es
continua.
c ) Si la función es continua entonces un punto es crítico si y sólo si alcanza en él un extremo
relativo.
7. Si f tiene un máximo relativo en (x0 , y0 ) ,
a ) Entonces fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0
b ) Entonces no existe alguna de las derivadas parciales fx (x0 , y0 ) , fy (x0 , y0 )
c ) Se cumple alguna de las dos condiciones anteriores
8. Sea la función denida a trozos
(
f (x, y) =
5x2 y
x4 +y 2
0
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
Las derivadas parciales primeras en (0, 0)
a ) Existen y son iguales.
b ) Una existe y la otra no.
c ) No existe ninguna de las dos.
9. En el criterio de las derivadas parciales segundas, el Hessiano
a ) Siempre aporta información.
b ) Aporta información si coinciden las derivadas parciales cruzadas.
c ) Sólo aporta información si es distinto de cero.
10. Marcar la denición correcta
a ) Se dice que la función f alcanza máximo absoluto en (xM , yM ) ∈ Dominio (f ) si f (x, y) ≤
f (xM , yM ) para todo (x, y) ∈ Dominio (f ) y el valor del máximo es f (xM , yM ).
b ) Se dice que la función f alcanza máximo absoluto en (xM , yM ) ∈ Dominio (f ) si f (x, y) ≤
f (xM , yM ) para todo (x, y) ∈ E (xM , yM ) y el valor del máximo es f (xM , yM ).
c ) Se dice que la función f alcanza máximo absoluto en (xM , yM ) ∈ Dominio (f ) si f (x, y) ≥
f (xM , yM ) para todo (x, y) ∈ Dominio (f ) y el valor del máximo es (xM , yM ).
11. El plano tangente en un punto (x0 , y0 , z0 ) a una supercie de ecuación z = f (x, y) es
a ) (x − x0 ) fx (x0 , y0 ) + (y − y0 ) fy (x0 , y0 ) = z0 .
b ) (x − x0 ) fx (x0 , y0 ) + (y − y0 ) fy (x0 , y0 ) = (z − z0 ).
c ) Un plano no puede representarse mediante una única ecuación.
12. El teorema de Weierstrass asegura que una función tiene extremos absolutos en un conjunto A si
a ) La función es continua en A.
b ) Si A es cerrado y acotado y la función es continua en A.
c ) Si A es cerrado y la función acotada en A.
13. El teorema de Weierstrass garantiza
a ) La existencia de puntos críticos.
b ) La existencia de extremos relativos.
c ) La existencia de extremos absolutos.
14. Se llama recta normal a una supercie en un punto
a ) A la recta contenida en el plano tangente a una superce en un punto.
b ) A la recta que pasa por el punto cuya pendiente es el módulo del vector gradiente.
c ) A la recta perpendicular al plano tangente a una superce en un punto.
15. Los puntos de silla son:
a ) Extremos relativos que no son extremos absolutos.
b ) Puntos críticos que no son extremos relativos.
c ) Extremos relativos en la frontera del conjunto.
16. La derivada parcial de la función f (x, y) = x2 + y 2 respecto a la variable x en el punto (0, 0) es
a ) 2x
b ) 2y
c) 0
17. Sea f : A −→ R, A ⊂ R, tal que f 0 (a) = 0. Marcar la sentencia verdadera
a ) Esta condición es necesaria y suciente para que la función tenga un máximo o un mínimo
relativo en a
b ) Esta condición es necesaria para que la función tenga un máximo o un mínimo relativo en a
c ) Esta condición es suciente para que la función tenga un máximo o un mínimo relativo en a
18. Una función f tiene segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene al
punto crítico (a, b) . Si fxx (a, b) y fyy (a, b) tienen signos opuestos ¾qué implica esto?
a ) Que el criterio del Hessiano no me da información sobre (a, b)
b ) Que el criterio del Hessiano indica que (a, b) es un máximo o mínimo relativo
c ) Que el criterio del Hessiano indica que (a, b) es un punto de silla
19. Si f : R −→ R es continua para todo x y tiene dos mínimos relativos, entonces debe tener un
máximo relativo
a ) Verdadero
b ) Falso
c ) Depende
20. Sea f : R2 −→ R con f (0, 0) = 0. y no identicamente nula. Entonces la función g (x, y) = |f (x, y)|
a ) Tiene un máximo absoluto en (x, y) = (0, 0)
b ) Tiene un mínimo absoluto en (x, y) = (0, 0)
c ) Tiene un punto de silla en (x, y) = (0, 0)
Las respuestas correctas son: 1a, 2b, 3c, 4a, 5c, 6a, 7c, 8a, 9c, 10a, 11b, 12b, 13c, 14c, 15b, 16c, 17b, 18c,
19a, 20b