Para el dibujo de un segmento de línea recta debemos... para luego, identificar los puntos ... CAPITULO III: Algoritmos de líneas

CAPITULO III: Algoritmos de líneas
Para el dibujo de un segmento de línea recta debemos conocer los extremos del segmento,
para luego, identificar los puntos intermedios entre los extremos del trayecto lineal. A
continuación describiremos algoritmos para el dibujo de líneas.
Algoritmo punto pendiente de la recta
Dada la ecuación punto pendiente de la recta:
𝑦 = 𝑚. 𝑥 + 𝑏
Siendo 𝑚 la pendiente de la línea y 𝑏 el punto de intersección de la línea con el eje 𝑦. Si
consideramos los dos extremos del segmento de línea con las coordenadas (𝑥0 , 𝑦0 ) y
(𝑥𝑓𝑖𝑛 , 𝑦𝑓𝑖𝑛 ), podemos determinar los valores de la pendiente 𝑚 y 𝑏 (punto de intersección
con el eje 𝒚) de la siguiente manera:
𝑦𝑓𝑖𝑛 − 𝑦0
𝑚=
𝑥𝑓𝑖𝑛 − 𝑥0
𝑏 = 𝑦0 − 𝑚. 𝑥0
Podemos utilizar estas ecuaciones para el dibujo de líneas rectas en un dispositivo de
visualización tomando un intervalo de valores en el eje 𝑥 o 𝑦 para luego determinar sus
correspondientes valores en el eje 𝑥 o 𝑦 según intervalo inicial elegido.
Por ejemplo nos indican dibujar la línea recta cuyos extremos son (𝑥0 , 𝑦0 ) = (1,4) y
(𝑥𝑓𝑖𝑛 , 𝑦𝑓𝑖𝑛 ) = (9, 6) podemos tomar el intervalo en el eje 𝑥 cuyos límites son 1 y 9 para este
intervalo debemos identificar sus correspondientes valores en el eje 𝑦 . También es
necesario establecer un muestreo de valores dentro del intervalo en el Eje 𝑥 que puede ser
valores sucesivos que se incrementan de uno en uno que van de 1 a 9 los límites del
intervalo.
Se realiza el uso de la ecuación punto pendiente para determinar los valores en el eje 𝑦
pero es necesario determinar la pendiente 𝑚 y la constante 𝑏 entonces realizamos los
cálculos siguientes:
𝑚=
𝑦𝑓𝑖𝑛 − 𝑦0
𝑥𝑓𝑖𝑛 − 𝑥0
𝑚=
6−4 2
= = 0.25
9 −1 8
𝑏 = 𝑦0 − 𝑚. 𝑥0
𝑏 = 4 − 0.25(1) = 3.75
Ahora los valores de 𝑦 para cada valor del intervalo en el eje 𝑥 se calcula de la siguiente
manera:
𝑦 = 𝑚. 𝑥 + 𝑏
pág. 1
Para 𝑥0 = 1
𝑦0 = 0.25(1) + 3.75 = 4
Para 𝑥1 = 2
𝑦1 = 0.25(2) + 3.75 = 4.25
Así sucesivamente podemos realizar la siguiente tabulación:
𝑥
1
2
3
4
5
6
7
8
9
𝑦
4
4.25
4.5
4.75
5
5.25
5.5
5.75
6
Seguidamente en base a la tabla podemos dibujar la línea en un dispositivo de
visualización.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Podemos apreciar que para representar los puntos en el dispositivo de visualización fue
necesario realizar las aproximaciones puesto que las posiciones en las pantallas solo
utilizan números enteros. Por el efecto de las aproximaciones podemos apreciar una
separación de pixeles y un efecto escalonado.
Verifiquemos ahora cual sería el escenario si tomamos un intervalo en Y para determinar
sus correspondientes valores en el eje X
La pendiente y la constante b son los mismos que se utilizaron al tomar un intervalo X.
La ecuación que debemos utilizar es:
𝑦 = 𝑚. 𝑥 + 𝑏
𝑥=
𝑦−𝑏
𝑚
Es así para 𝑦0 = 4
𝑥=
𝑦−𝑏
𝑚
𝑥=
4−3.75
0.25
0.25
= 0.25 = 1
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Es así para 𝑦1 = 5
𝑥=
5−3.75
0.25
1.25
= 0.25 = 5
Es así para 𝑦2 = 6
𝑥=
6−3.75
0.25
2.25
= 0.25 = 9
Así sucesivamente podemos realizar la siguiente tabulación:
𝑥
1
5
9
𝑦
4
5
6
Seguidamente en base a la tabla podemos dibujar la línea en un dispositivo de
visualización.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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