Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales. - amp-cal-isa

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.
Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la
siguiente forma:
an (x)y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + · · · + a0 (x)y(x) = g(x)
donde an (x), an−1 (x), . . . , a0 (x) y g(x) son funciones que sólo dependen de la variable independiente x .
Si en la ecuación anterior la función g(x) = 0 decimos que la ecuación es homogénea. En
caso contario se dice que la ecuación es completa.
Ejemplo 1 La ecuación dy + (3x2 y − x2 )dx = 0 es lineal de primer orden, ya que puede
expresarse de la forma y 0 + 3x2 y = x2 .
Las ecuaciones diferenciales lineales poseen una propiedad básica que facilita enormemente
la construcción de técnicas para su resolución, como nos muestra el siguiente teorema.
Teorema 1 Solución General de la ecuación lineal completa
Si yP (x) es una solución particular de la ecuación lineal completa
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a0 (x)y = g(x)
e yH (x) es la solución general de ecuación homogénea asociada
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a0 (x)y = 0
entonces
y(x) = yH (x) + yP (x)
es la solución general de la ecuación completa.
El teorema anterior nos dice que podemos dividir el proceso de resolución de una ecuación
lineal completa en dos tareas: determinar la solución general de la ecuación homogénea asociada
y encontrar una solución particular de la ecuación completa.
1.
Ecuaciones lineales de primer orden.
Son de la forma
a(x)y 0 + b(x)y = g(x)
.
Solución general de la homogénea:
Las ecuaciones lineales homogéneas de primer orden a(x)y 0 + b(x)y = 0 son siempre ecuaciones de variables separables, cuya resolución ya ha sido estudiada en el tema anterior.
1
Solución particular de la completa:
Para hallar una solución particular de la completa se puede seguir el método de variación
de la constante que consiste en buscar la solución particular de la completa de la misma forma
que la solución general de la homogénea, pero reemplazando la constante por una función. En
concreto:
Método de variación de la constante:
(1o ) Supongamos que yH = yH (x; c) es la solución general de la ecuación homogénea asociada a(x)y 0 + b(x)y = 0. Entonces, reemplazamos la constante c por una función c(x) y
buscamos una solución particular de la ecuación completa de esa forma:
Si yH = yH (x; c) =⇒ Buscamos yP = yH (x; c(x))
(2o ) Determinamos c0 (x) sustituyendo yP = yH (x; c(x)) y su derivada en la ecuación completa.
(3o ) Integramos para obtener c(x) y la sustituimos en yP .
1 dy 2y
Ejemplo 2 Resolver la ecuacion diferencial ·
−
= x cos(x).
x dx x2
1 dy 2y
Solución general de la homogénea: ·
−
= 0.
x dx x2
1 dy
2y
dy
1
1
·
= 2;
= dx;
ln(y) = ln(x) + ln(k); ln(y 1/2 ) = ln(kx)
x dx
x
2y
x
2
y 1/2 = kx; yH (x) = k 2 x2 = [llamamos c = k 2 ] = cx2 .
Solución particular de la completa:
Buscamos una solución de la forma y = c(x)x2 ası́ que imponemos que verifique la ecuación
completa:
1 0
2c(x)x2
2
(c (x)x + 2xc(x)) −
= x cos(x)
x
x2
c0 (x)x + 2c(x) − 2c(x) = x cos(x);
c0 (x) = cos(x);
c(x) = sen(x)
Por lo tanto: yP (x) = x2 sen(x)
Solución general de la completa:
y(x) = yH (x) + yP (x) = cx2 + x2 sen(x)
.
Ejemplo 3 Hallar la solución particular de la ecuación diferencial
dy 3y
+
+ 2 = 3x que pasa
dx
x
por el punto (1, 1).
Solución general de la homogénea:
Z
Z
dy 3y
dy
−3y
dy
−3
+
= 0;
=
;
=
dx; ln y = −3 ln x + ln k;
dx
x
dx
x
y
x
ln y = ln(x−3 ) + ln k; yH (x) = cx−3 .
Solución particular de la completa:
Buscamos una solución de la forma y = c(x)x−3 ası́ que imponemos que verifique la ecuación
completa:
3
c0 (x)x−3 − 3c(x)x−4 + c(x)x−3 + 2 = 3x;
x
c0 (x) 3c(x) 3c(x)
−
+
+ 2 = 3x;
x3
x4
x4
c0 (x)
= 3x − 2;
x3
3x5 x4
c (x) = 3x − 2x ; c(x) =
− .
5
2
¶
µ 5
4
2
x
1
3x
x
3x
Por lo tanto yP (x) =
−
· 3 =
− .
5
2
x
5
2
Solución general de la completa:
0
4
3
c
3x2 x
+
−
x3
5
2
Solución particular de la completa que pasa por el punto (1, 1):
3 1
9
Como y(1) = 1 =⇒ 1 = c + − =⇒ c = .
5 2
10
9
3x2 x
Por lo tanto, la solución buscada es: y(x) =
+
− .
10x3
5
2
y(x) = yH (x) + yP (x) =
2.
Ecuaciones lineales de segundo orden.
Son de la forma
a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = g(x)
.
En virtud del Teorema 1, la solución general de la ecuacion anterior se obtiene como suma
de la solución general de la homogénea y una solución particular de la completa.
Para hallar la solución general de la ecuación homogénea necesitamos el concepto de Sistema
Fundamental de Soluciones.
Se llama Sistema Fundamental de Soluciones (SF) de la ecuación homogénea
a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = 0
a cualquier par de soluciones de la misma, y1 (x) e y2 (x), que no son múltiplos la una de la otra.
Ejemplo 4 Comprobar que las funciones {ex ; x2 + 2x + 2} son un sistema fundamental de la
ecuación diferencial xy 00 − (x + 2)y 0 + 2y = 0.
Es evidente que no son múltiplos una de la otra. Veamos ahora que ambas satisfacen la
ecuación diferencial:
Denotemos f (x) = ex . Entonces f 0 (x) = f 00 (x) = ex . Sustituyendo en la ecuación:
xex − (x + 2)ex + 2ex = xex − xex − 2ex + 2ex = 0
.
Denotemos g(x) = x2 + 2x + 2. Entonces g 0 (x) = 2x + 2 y g 00 (x) = 2. Sustituyendo en la
ecuación:
2x − (x + 2)(2x + 2) + 2(x2 + 2x + 2) = 2x − 2x2 − 2x − 4x − 4 + 2x2 + 4x + 4 = 0
.
El siguiente resultado nos muestra cómo encontrar la solución general de una ecuación lineal
de segundo orden homogénea a partir de un sistema fundamental de soluciones.
Teorema 2 Si {y1 (x), y2 (x)} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea
a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = 0
entonces la solución general de dicha ecuación es
yH (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
donde C1 , C2 son constantes arbitrarias.
Ejemplo 5 Comprobar que yH (x) = C1 ex +C2 (x2 +2x+2) es la solución general de la ecuación
diferencial xy 00 − (x + 2)y 0 + 2y = 0 (ver Ejemplo 4).
Por tanto, resolver una ecuación homogénea de segundo orden se reduce a encontrar un
sistema fundamental de soluciones de la misma. En general, puede ser difı́cil encontrar un
sistema fundamental de soluciones de una ecuación arbitraria, pero en el caso particular de las
ecuaciones de coeficientes constantes esta tarea resulta sencilla.
2.1.
Ecuaciones lineales de segundo orden de coeficientes constantes.
Una ecuación lineal de segundo orden de coeficientes constantes es una ecuación de la forma
ay 00 + by 0 + cy = g(x)
con a, b, c ∈ R.
Solución general de la homogénea:
Se llama ecuación caracterı́stica de la ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes
constantes
ay 00 + by 0 + cy = 0
a la ecuación
az 2 + bz + c = 0
que se obtiene reemplazando y por z 0 = 1, y 0 por z 1 = z e y 00 por z 2 .
Ejemplo 6 Dada la ecuación diferencial y 00 + 5y 0 + 6y = 0, su ecuación caracterı́stica es
z 2 + 5z + 6 = 0.
Teorema 3 Sean m1 y m2 las dos raı́ces en C de la ecuación caracterı́stica az 2 + bz + c = 0
de la EDO homogénea ay 00 + by 0 + cy = 0. Entonces:
Caso 1: m1 , m2 ∈ R:
a) Si m1 6= m2 =⇒ {em1 x , em2 x } es un SF de la EDO homogénea.
b) Si m1 = m2 = m =⇒ {emx , xemx } es un SF de la EDO homogénea.
Caso 2: m1 , m2 ∈ C \ R:
Entonces, {eαx cos(βx), eαx sen(βx)} es un SF de la EDO homogénea, siendo m1 = α + βi
y m2 = α − βi.
Ejemplo 7 Las soluciones de la ecuación caracterı́stica z 2 +5z+6 = 0 de la ecuación diferencial
y 00 + 5y 0 + 6y = 0 del Ejemplo 6 son m1 = −2 y m2 = −3, ambas reales y distintas, por lo que
{e−2x ; e−3x } es un SF de la ecuación.
Como consecuencia de los Teoremas 2 y 3, obtenemos el siguiente corolario que nos proporciona la forma de encontrar la solución general de la ecuación homogénea de segundo orden de
coeficientes constantes.
Corolario 1 Sean m1 y m2 las dos raı́ces en C de la ecuación caracterı́stica az 2 + bz + c = 0
de la EDO ay 00 + by 0 + cy = 0.
Entonces, la solución general, yH (x), de dicha ecuación es:
(a) Si m1 6= m2 ∈ R =⇒ yH (x) = C1 em1 x + C2 em2 x
(b) Si m1 = m2 = m ∈ R =⇒ yH (x) = C1 emx + C2 xemx
(c) Si m1 , m2 ∈ C \ R con m1 = α + iβ y m2 = α − iβ =⇒ yH (x) = C1 eαx cos(βx) +
C2 eαx sen(βx)
siendo en todos los casos C1 y C2 constantes arbitrarias.
Ejemplo 8 En virtud del corolario anterior, la solución general de la ecuación diferencial que
aparece en los Ejemplos 6 y 7 es y(x) = C1 e−2x + C2 e−3x .
Ejemplo 9 Hallar la solución general de la ecuación y 00 − 2y 0 + y = 0.
Su ecuación caracterı́stica es z 2 − 2z + 1 = 0, cuya solución es m = 1 (solución doble). Por
lo tanto, {ex ; xex } es un SF de la ecuación y su solución general es y(x) = C1 ex + C2 xex .
Ejemplo 10 Hallar la solución general de la ecuación y 00 + 4y 0 + 6y = 0.
√
2
Su ecuación
caracterı́stica
es
z
+
4z
+
6
=
0,
cuyas
soluciones
son
m
=
−2
+
2i y
1
√
√
√
−2x
−2x
m2 = −2 − 2i. Por lo tanto, {e
· cos(
√ 2x); e−2x · sen(√ 2x)} es un SF de la ecuación y su
−2x
solución general es y(x) = C1 e
· cos( 2x) + C2 · sen( 2x).
Solución particular de la completa:
Para encontrar una solución particular de la ecuación lineal completa ay 00 + by 0 + cy = g(x)
utilizaremos el Método de los coeficientes indeterminados que consiste en buscar dicha solución
de la misma forma que tenga la función g(x), pero con unos coeficientes que habremos de
determinar.
Método de los coeficientes indeterminados.
Denotemos por yP a la solución particular de la ecuación ay 00 + by 0 + cy = g(x) que queremos
determinar. Entonces:
Si g(x) = Pn (x) (polinomio de grado n), entonces buscamos yP = An xn + An1 xn−1 + · · · +
A0 .
Si g(x) = emx , entonces buscamos yP = Aemx .
Si g(x) = sen (rx) o bien g(x) = cos (rx), entonces buscamos yP = A cos (rx)+B sen (rx).
En el caso en que g(x) sea la suma de dos funciones de los tipos anteriores, buscaremos yP
como la suma de las correspondientes soluciones particulares mostradas anteriormente.
En el caso en que g(x) sea el producto de dos funciones de los tipos anteriores, procederemos
a buscar yP del siguiente modo:
Si g(x) = emx sen (rx) o bien g(x) = emx cos (rx), entonces buscamos yP = emx (A cos (rx)+
B sen (rx)).
Si g(x) = Pn (x)emx , entonces buscamos yP = (An xn + An1 xn−1 + · · · + A0 )emx
Si g(x) = p(x) sen (rx) o bien g(x) = p(x) cos (rx), entonces buscamos yP = (An xn + · · · +
A0 ) cos (rx) + (Bn xn + · · · + B0 ) sen (rx).
NOTA: El método anterior funciona salvo cuando la solucion particular yP buscada sea a su
vez solución de la ecuación homogénea asociada. En tal caso, ésta debe buscarse multiplicada
por xk donde k es el menor natural que hace que xk yP ya no sea solución de la ecuación
homogénea asociada.
Ejemplo 11 Hallar la solución general de la ecuación y 00 − 2y 0 − 3y = 3x2 − 5.
Solución general de la homogénea: y 00 − 2y 0 − 3y = 0.
La ecuación caracterı́stica es z 2 − 2z − 3 = 0, cuyas soluciones son m1 = −1, m2 = 3, por
lo que {e3x , e−x } es un SF y la solución buscada es yH (x) = C1 e3x + C2 e−x .
Solución particular de la completa:
Como g(x) es un polinomio de segundo grado, buscamos yP = A0 + A1 x + A2 x2 , donde
A0 , A1 y A2 son constantes a determinar.
yP0 = A1 + 2A2 x; yP00 = 2A2 . Imponemos ahora que yP , yP0 e yP00 verifiquen la ecuación
diferencial:
2A2 − 2A1 − 4A2 x − 3A0 − 3A1 x − 3A2 x2 = 3x2 − 5
.
Agrupando términos en el primer miembro:
−3A2 x2 + (−4A2 − 3A1 )x + (2A2 − 2A1 − 3A0 ) = 3x2 − 5
.
Y
 ahora, igualando los coeficientes de los términos del mismo grado:
 −3A2 = 3
−4A2 − 3A1 = 0

2A2 − 2A1 − 3A0 = −5
1 4
de donde A0 = 1/9, A1 = 4/3, A2 = −1 e yP (x) = + x − x2 .
9 3
1 4
3x
Solución general de la completa: y(x) = C1 e + C2 e−x + + x − x2 .
9 3
Ejemplo 12 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y 00 − 3y = x2 − ex .
Solución general de la homogénea: y 00 − 3y = 0.
√
√
2
La √ecuación
caracterı́stica
es
z
−
3
=
0,
cuyas
soluciones
son
m
=
3
y
m
=
−
3 por lo
1
2
√
√
√
que {e 3x , e− 3x } es un SF y la solución buscada es yH (x) = C1 e 3x + C2 e− 3x .
Solución particular de la completa:
Como g(x) es suma de un polinomio de segundo grado y una exponencial, buscamos yP =
a + bx + cx2 + dex , donde a, b, c y d son constantes a determinar.
y 0 = b + 2cx + dex ; y 00 = 2c + dex .
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
2c + dex − 3a − 3bx − 3cx2 − 3dex = x2 − ex
.
Igualando ahora coeficientes:

−3c = 1



−3b = 0
2c − 3a = 0



−2d = −1
2 1
1
de donde a = −2/9, b = 0, c = −1/3, d = 1/2 e yP (x) = − − x2 + ex .
9 3
2
Solución general de la completa:
√
√
2 1
1
y(x) = C1 e 3x + C2 e− 3x − − x2 + ex .
9 3
2
Ejemplo 13 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y 00 − 4y 0 + 4y = x sen(x).
Solución general de la homogénea: y 00 − 4y 0 + 4y = 0.
La ecuación caracterı́stica es z 2 − 4z + 4 = 0, cuya solución es m = 2 (doble) por lo que
{e2x , xe2x } es un SF y la solución buscada es yH (x) = C1 e2x + C2 xe2x .
Solución particular de la completa:
Como g(x) es producto de un polinomio de primer grado y una trigonométrica, buscamos
yP = (a + bx) cos(x) + (c + dx) sen(x), donde a, b, c y d son constantes a determinar.
y 0 (x) = (b + c + dx) cos(x) − (d − a − bx) sen(x)
y 00 (x) = (2d − a − bx) cos(x) + (−2b − c − dx) sen(x)
Sustituyendo en la ecuación diferencial y agrupando términos:
(4a − 2b + 3c − 4d) sen(x) + (3d + 4b)x sen(x) + (3a − 4b − 4c + 2d) cos(x) + (3b − 4d)x cos(x) =
x sen(x).
Igualando
ahora coeficientes:

4a − 2b + 3c − 4d = 0



3d + 4b = 1
3a − 4b − 4c + 2d = 0



3b − 4d = 0
de dondeµa = 22/125,¶b = 4/25, µ
c = 4/125, d¶= 3/25 e
22
4
4
3
yP (x) =
+ x cos(x) +
+ x sen(x).
125 25
125 25
Solución general de la completa:
µ
¶
µ
¶
22
4
4
3
2x
2x
y(x) = C1 e + C2 xe +
+ x cos(x) +
+ x sen(x).
125 25
125 25
Ejemplo 14 Hallar la solución general de la ecuación diferencial y 00 − 4y = e2x .
Solución general de la homogénea: y 00 − 4y = 0.
La ecuación caracterı́stica es z 2 − 4 = 0, cuyas soluciones son m1 = 2 y m2 = −2 por lo
que {e2x , e−2x } es un SF y la solución buscada es yH (x) = C1 e2x + C2 xe−2x .
Solución particular de la completa:
No podemos buscar la solución particular de la forma yP = Ae2x ya que entonces también
serı́a solución de la ecuación homogénea (para C1 = A, C2 = 0), por lo que buscamos yP =
Axe2x (de esta forma ya no es solución de la homogénea).
y 0 (x) = Ae2x + 2Axe2x ; y 00 (x) = 2Ae2x + 2Ae2x + 4Axe2x = 4Ae2x + 4Axe2x .
Sustituı́mos ahora en la ecuación diferencial:
4Ae2x + 4Axe2x − 4Ax2x = e2x .
Igualando coeficientes, 4A = 1 de donde A = 1/4.
1
La solución particular es yP (x) = xe2x .
4
Solución general de la completa:
1
y(x) = C1 e2x + C2 xe−2x + xe2x .
4