Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemáticas
Coordinación de Matemáticas I (MAT021)
1er Semestre de 2013
Guía de Ejercicios Semana 4, Complementos: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril.
1. Si a + b + c = 180 , pruebe que:
tan (a) + tan (b) + tan (c) = tan (a) tan (b) tan (c)
2. Pruebe las siguientes Identidades trigonométricas
a)
1
cot2 (a)
b)
1+cos(3t)
sin(3t)
+
1
sec2 (a)
+
+
1
csc2 (a)
sin(3t)
1+cos(3t)
= sec2 (a)
= 2 csc (3t)
2
x
sin x2
=1
2
cos(3x) cos(7x)
sin(3x)+sin(7x) = tan(2x)
c) cos
d)
e)
s
1 sin (x)
= sec x
1 + sin (x)
sin x
tan x
tan2 x + 1
= sec3 x
2 cos( x) sin(90
x)
sin2 (x) + cos2 (x)
2
+
= (1 + sin (x) cos (x))2
g) 1 +
tan (x) + cot (x) sec2 (x) + csc2 (x)
h) sin3 (x) + cos3 (x) = (sin (x) + cos (x))(1 sin (x) cos (x))
f)
3. Problemas de Aplicación
a) Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma una ángulo de 17 con
la horizontal. Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste
a un unto a 72 pies cuesta abajo (medido desde la base del poste). Tal como indica la …gura:
Respuesta: 92 pies.
b) Teorema de Neper o de la Tangente: "La suma de los lados de un triángulo es a la diferencia
de ellos como la semisuma de los ángulos opuestos, es a la tangente de la semidiferencia de
ellos":
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Es decir debemos probar:
tan
a+b
=
a b
tan
+
2
2
Indicación: Utilice el teorema del seno:
a
sin ( )
=
b
sin ( )
para probar que:
a+b
sin ( ) + sin ( )
=
a b
sin ( ) sin ( )
utilice este resultado para probar su tesis.
c) En la …gura siguiente calcular el valor de x :
Respuesta: x = 4; 96
d ) Una escalera de mano, cuyo pie está …jo en la calle, forma un ángulo de 30 con el suelo
cuando su extremo superior se apoya en un edi…cio situado en uno de los lados de la calle,
y forma un ángulo de 40 cuando se apoya en un edi…cio situado al otro lado de la calle. Si
la longitud de la escalera es de 50 mts. ¿Cuál es el ancho de la calle?.
Respuesta: 82 mts.
e) Un observador determina que el ángulo de elevación a una torre es A, avanza a mts. hacia
la torre y el ángulo de elevación es 45 , sigue avanzando b mts., y el ángulo de elevación es
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(90
A). Demostrar que la altura de la torre es:
H=
a b
a b
f ) La base de un triángulo isósceles mide 100 mts., y su altura es de 35; 01 mts. Resolver el
triángulo.
Respuesta: 61; 04 mts:; 35 ; 110
g) El palo central de una tienda de campaña de forma de cono círcular tiene una elevación de 6
mts. y su parte superior está sostenida por cuerdas de 12 mts. de largo amarradas a estacas
clavadas en la tierra. ¿A qué distancia están las estacas del pie del mástil central?. ¿Cuál es
la inclinación de los cables con la tierra?.
Respuesta: 10; 39; 30
h) Las distancias desde un punto P a los lados AC y BC de un triángulo ABC son m y n
respectivamente. Suponga que P es un punto que está en el interior del triángulo. Demuestre
que
2
CP = (m2 + n2 + 2mn cos ) csc2
donde es el ángulo correpondiente al vértice C.
i ) Dos boyas están apartadas por una distancia de 64,2 mts., y un bote está a 74,1 mts. de la
más cercana. El ángulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de 27 180 .¿Qué
distancia hay del bote a la boya más alejada?
Respuesta: 120; 3 mts.
j ) Desde la cúspide de una torre de altura h metros una persona observa, con ángulos de
depresión de (45
) y (45 + ), a dos objetos que están en el plano, y en línea que pasa
por el pie de dicha torre. Si llamamos d a la distancia entre los objetos observados entonces
demuestre que
d = 2h tan(2 )
4. Considere el triángulo de ángulos ;
y
como de la …gura con lados a; b y c correspondientes.
Demuestre que si se veri…can simultaneamente las propiedades:
a2 =
sin ( ) sin ( ) =
Entonces el 4ABC es equilátero.
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3
b3 + c3
b+c
3
4
a3
a
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5. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) cot (
2x) + tan (
Respuesta: x = 45
4x) = 0
90 n; n 2 Z
2
b) 2 cos2 (x) + 7 sin (x)
Respuesta: x1 = 30
5=0
360 n; x2 = 150
c) 2 sin (x) cos (x) = 1
Respuesta: x1 = 45
n2Z
360 n, n 2 Z
360 n; x2 = 135
360 n, x3 = 225
360 n; x4 = 315
360 n,
d ) Resolver la ecuación:
2 cos (2x) +
p
3 + 1 (cos (x)
sin (x)) = 0
Respuesta: x = 45
180 n; n 2 Z
p
p
+3
2 + 3 cos ( ) sin ( ) = 0
e) tan (
) cot 2
Respuesta: 3 + k ; 23 + k ; 712 + 2k ; 13
k2Z
12 + 2k
f ) cos (2x
g)
15 ) =
3 sec2 (x)
h) (tan (x)
+
sin (60
4 cos2 (x)
3x)
=7
1)(2 sin (x) + 1) = 0
2
i ) 2 sin (x)
sin (x)
1=0
j ) 2 sin (x) + csc (x) = 3
k ) cos
sin =
l ) sec (4x)
p1
2
sec (2x) = 2
6. El proceso rítmico de respiración consiste en intervalos alternos de inhalación y exhalación. Por lo
general, un ciclo completo tiene lugar cada 5 segundos. Si F (t) denota el volumen de circulación
de aire en el instante t (en litros por segundo), y si el volumen máximo s 0; 6 litros por segundo,
encuentra la fórmula de la forma F (t) = a sin (bt) que se adapte a esta información.
Respuesta: F (t) = 0; 6 sin
2
5
t
7. Realizar la grá…ca de f (x) = 4 sin
x
3
8. Encuentre la amplitud, el periodo, el ángulo de fase y represente gra…camente f en un periodo
si:
p
3 cos 2x +
f (x) = cos (
2x)
2
Resuesta: 2;
y
12
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