RELACIONES MÉTRICAS ENTRE PUNTOS DEL PLANO , d A B AB

RELACIONES MÉTRICAS ENTRE PUNTOS DEL PLANO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Como hemos visto anteriormente la distancia entre dos puntos es 
d  A, B   AB Punto que divide a un segmento en dos partes cuyas longitudes AP
K guardan una relación dada PB
Hallamos las coordenadas del punto utilizando relaciones vectoriales 


AP
  k  AP  k  PB
PB
 x0  x1 , y0  y1   k  x2  x0 , y2  y0 
x0  x1  kx2  kx0
y0  y1  ky2  ky0
x0  kx0  x1  kx2
y0  ky0  y1  ky2
x0 1  k   x1  kx2
d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 La distancia entre dos puntos A( x1 , y1 ) y B( x2 , y2 ) es el valor del módulo del vector determinado por ellos, sin importar el orden de éstos. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO  1 
AM  AB
2
 x  x y  y2 
M 1 2, 1

2   2
Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Esta relación también se puede obtener por semejanza de triángulos. PUNTO SIMÉTRICO DEL PUNTO A RESPECTO DEL PUNTO P A’ es el punto simétrico de A si P es su punto medio  
AP  PA '
x x
x0  1 2
2
x2  2 x0  x1
y1  y2
2
y2  2 y0  y1
y0 
A '  2 x0  x1 , 2 y0  y1 
Las coordenadas del punto simétrico se obtienen sin hacer otra cosa que despejar sus coordenadas de las expresiones del punto medio. CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS  
Los puntos A, B y C están alineados si AB  BC , es decir, si 
las coordenadas del vector AB son proporcionales a las 
del vector BC x2  x1 y2  y1

x3  x2 y3  y2
y0 1  k   y1  ky2
x1  kx2
y  ky2
y0  1
1 k
1 k
 x  kx2 y1  ky2 
 P 1
,

1 k 
 1 k
x0 
También podemos obtener las coordenadas del punto por semejanza de triángulos. Coordenadas de los puntos que dividen a un segmento en “n” partes iguales Podemos obtener rápidamente las coordenadas de los puntos que dividen a un segmento en n partes iguales utilizando relaciones vectoriales  1   2   3 
AM 1   AB ; AM 2   AB ; AM 3   AB ; n
n
n
BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO Baricentro: es el punto de intersección de las tres medianas, lo denotamos con la letra G. Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.  x  x  x y  y2  y3 
G 1 2 3 , 1
 3
3


Propiedades:  La distancia de cada vértice a G es 2/3 de la longitud de la mediana  El baricentro es el centro de gravedad del triángulo Las coordenadas del baricentro son la media aritmética de las coordenadas de sus vértices También: si los tres puntos están alineados entonces los triángulos señalados son semejantes, y por tanto, sus lados son proporcionales Math Quick Reference Card ─ GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.0 ─ (cc) www.3con14.com