A r

VI. Campo magnético
Potencial vector. Fuentes de B
® Gabriel Cano Gómez, 2007/08
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Campos Electromagnéticos
Ingeniero de Telecomunicación
Potencial vector magnético (I)
„Definición
9 campo
de potencial vector
magnético de corriente {I'; Γ'}:
• Γ' curva fija; r' y dr' constantes en cada P'…
μ0
⎛
I ′dr ′ ⎞
⇒ B(r) = ∇ × ⎜
⎟
′
|
r
−
r
|
4π
⎝ Γ′
⎠
¾Campo potencial vector magnético:
μ
I ′dr ′
A(r) = 0
, tal que
′
4π Γ′ | r − r |
∂S
>∫
μ0
S
>∫
B(r ) = ∇ × A(r ); ∀ P ∈ \
3
Gó
ómez, 07/08
® Gabriel Cano G
„Propiedades
A(r)
I'dr'
P'
Γ'
9B(r) “deriva” del potencial A(r)
9fuentes del potencial vector:
•B(r) → distribución de fuentes vectoriales
•no tiene fuentes escalares: ∇ ⋅ A(r) = 0;
9significado físico:
∀ P∈\
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
S
2
P
B(r) =∇×A(r)
r'
Φ m = ∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ × A ⋅ dS =
S
r-r'
dr
r
3
>∫ A⋅ dr
∂S
flujo magnético
VI. Campo magnético
Potencial vector magnético (II)
„
Potencial de distribución volumétrica
Ω
9corriente volumétrica J(r) en Ω crea…
A(r ) =
μ0
4π
Γi'
J (r′) dτ ′
′
Ω |r −r |
∫
A(r)
J(r')dτ'
• … del cual deriva el campo B(r):
μ0
J ( r ′) × ( r − r ′ )
3
4π Ω | r − r ′ |
B(r ) =
„
∫
P'
r-r'
dτ ′ = ∇ × A(r )
J
P
∇×A(r)=B(r)
Potencial de distribución superficial
Gó
ómez, 07/08
® Gabriel Cano G
9corriente superficial K(r) en Ω crea…
μ0
A(r ) =
4π
K (r′) dS ′
′
Σ |r −r |
∫
B(r ) =
K (r ′) × (r − r ′ ) dS ′ =
3
| r − r′ |
4π Σ
∫
P
r-r'
∇ × A(r ) ∇×A(r)= B(r)
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
μ0
A(r)
• … del cual deriva el campo B(r):
μ0
E
3
P'
Σ
K
K(r')dS'
VI. Campo magnético
Fuentes del campo B(r) (I)
„
Fuentes en regiones “continuas”
Jext=0
9campo de corriente volumétrica J(r) en Ω:
B(r ) =
μ0
J ( r ′) × ( r − r ′ )
3
4π Ω | r − r ′ |
∫
dτ ′ = ∇ × A(r )
μ0
Ω
Γi'
¾ Distribución de fuentes escalares:
9 B(r) no tiene fuentes escalares
•es un campo solenoidal en todo \3
Gó
ómez, 07/08
® Gabriel Cano G
∇ ⋅ B(r ) = ∇ ⋅ [∇ × A(r )] = 0
A(r)
Ley de Gauss
(local)
E
J(r')dτ'
P'
r-r'
¾ Distribución de fuentes vectoriales:
9corrientes electricas son las fuentes de B(r)
• rot B(r)∝ J(r') en la región de corrientes Ω y
P
J(P)=0
∇×A(r)=B(r)
J
nulo fuera de ella
∇ × B(r ) = −
⎛
′ ⎞
∇ 2 ⎜ J (r ) ⎟ dτ ′ = μ0 J (r )
4π Ω ⎝ | r − r′ | ⎠
μ0
∫
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
4
Ley de Ampère
(local)
VI. Campo magnético
Fuentes del campo B(r) (II)
„
μ0
Ley de Gauss
Ω
9“el flujo magnético a través de cualquier
superficie cerrada ∂τ es siempre nulo”
•consecuencia de B(r) solenoidal
∇ ⋅ B(r ) = 0;
∀ P∈\
3
v∫ τ B ⋅ dS = 0;
∂
„
∀ ∂τ ⊂ \ 3
J
P
Ley de Ampère
B(r)
9“la circulación de B(r) por una curva
Gó
ómez, 07/08
® Gabriel Cano G
IS
P'
¾ las líneas de B(r) son curvas cerradas
E
J(r')
dr
S
τ
cerrada ∂S es proporcional a la intensidad IS que fluye a través”
•consecuencia de la distribución de
∂τ
∂S
fuentes vectoriales del campo
∇ × B(r ) = μ0 J (r );
∀ P∈\
3
>∫ B ⋅ dr = μ ∫ J ⋅ dS = μ I
0
∂S
∀ ∂S ⊂ \
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
0 S
S
3
5
VI. Campo magnético
Fuentes del campo B(r) (III)
„
Fuentes en “zonas de discontinuidad”
9corriente superficial K(r) en Σ:
•separa regiones con campos B1(r) y B2(r)
¾ De la Ley de Gauss…
dS
dr ΔS IΔS
Δτ
9 aplicada en Δτ, en torno a P∈Σ…
Σ
Δτ →0
B ⋅ dS = 0 ⎯⎯⎯→ n ⋅[B 2 − B1 ]P∈Σ = 0
v∫∂ (Δτ )
Gó
ómez, 07/08
® Gabriel Cano G
9continuidad de la componente normal
en cualquier punto de Σ
¾ De la Ley de Ampère…
9aplicada en ΔS, en torno a P∈Σ…
>∫
K
B1(r)
B2(P)
n
P
B ⋅ dr = μ 0 I ΔS ⎯⎯⎯→ n × [B 2 − B1 ]P∈Σ = μ0 K ( P)
ΔS →0
∂ ( ΔS )
K(P)
Σ
9la corriente superficial provoca disconti-
nuidad en la componete tangencial
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
μ0
B2(r)
6
B1(P)
VI. Campo magnético