UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA Facultad de Ingeniería, Ciencias y Administración Departamento de Matemática y Estadística El número irracional φ, una propuesta didáctica interdisciplinaria Tesis presentada para optar al grado de Magíster en Educación Matemática Alumno: Daniel E. Sánchez Ibáñez Profesor Guía: Raúl Benavides Gallardo Septiembre 2012 Agradecimientos Mis más sinceros agradecimientos son para mi profesora Rosa Eugenia Trumper quien me otorgó la posibilidad y me ayudó en todo momento para poder enseñar matemáticas en la Universidad Austral de Chile, labor que desempeño desde hace 5 años. Sin sus conocimientos y experiencia no hubiera llegado a las instancias de realizar este Magister en Educación Matemática y cambiar el rumbo de mi vida para trabajar como profesor de matemáticas. Cabe destacar también, la gran ayuda entregada por mi profesor guía, Sr. Raúl Benavides y por el apoyo en todo momento de la Prof. Elena Olivos, ambos del cuerpo docente del Magíster en Educación Matemática. En especial, agradezco la paciencia y mucho amor entregado por mi mujer, Carola, que me ayudó en todo momento para estar siempre alegre e feliz. Además, este trabajo fue realizado con la mayor de las motivaciones gracias a mi querida hija, Alegría, a quien amo mucho y me da felicidad día a día. Finalmente, cabe mencionar que esta tesis de magíster está dedicada a mis padres, Mónica e Iván, por haberme dado la oportunidad de vivir y darme muchas enseñanzas y oportunidades para mi aprendizaje. 2 Resumen Este estudio recopila, sintetiza y describe a un número irracional en particular, denominado como número áureo o de oro y representado con el símbolo φ, desde bibliografía y referencias, que establecen sus aplicaciones y singularidades a lo largo de la historia de la humanidad hasta nuestros tiempos actuales. Es entonces desarrollada, una temática que narra históricamente la aparición de este número, su especial proporción involucrada, denominada como proporción divina o razón áurea, y los aspectos formales matemáticos que lo envuelven. Con todo, se desarrollan diversos problemas relacionados con el uso de algunas estrategias metodológicas de enseñanza de la matemática con una actividad educativa final, de tipo taller, que permita tanto a profesores como estudiantes de educación media, enriquecer su acervo cultural matemático, utilizando por un lado, un software de geometría dinámica, como GeoGebra, aplicado a la visualización experimental y didáctica de este número irracional en especial, y por otro, establecer algunas relaciones con otros números irracionales cuyo desarrollo metodológico específico, es descrito a través de este trabajo. 3 ÍNDICE 1. Introducción ............................................................................................... 6 2. Objetivo General ....................................................................................... 8 2.1 Objetivos Específicos ............................................................................ 8 3. Antecedentes y marco teórico................................................................. 10 El número φ en la historia ................................................................. 10 3.1 3.1.1 Antigua Grecia y Egipto .....................................................................................10 3.1.2 Edad Media y Renacimiento ..............................................................................13 3.1.3 Tiempos Modernos .............................................................................................16 3.2 La Razón Áurea o Divina Proporción ............................................... 18 3.2.1 Definición geométrica ........................................................................................18 3.2.2 El Rectángulo áureo ...........................................................................................19 3.2.3 El Pentágono regular y el triángulo áureo ..........................................................21 3.2.4 La razón áurea en la fisiología humana y la visión ............................................24 3.3 El número de oro desde un punto de vista matemático..................... 27 3.3.1 Ecuación general y números metálicos ..............................................................27 3.3.2 La sucesión de Fibonacci y su espiral ................................................................30 4. Problemas y desarrollos didáctico-matemáticos .................................. 33 4.1 Visualizando antiguas edificaciones áureas ...................................... 33 4.1.1 Problema N°1: Encontrar la relación entre las dimensiones del Partenón .......33 4.1.2 Problema N°2: Encontrar la relación entre las dimensiones de la Pirámide de Keops ............................................................................................................................35 Proposición áurea de “Los Elementos” de Euclides ......................... 36 4.2 4.2.1 Problema N°3: Verificar geométricamente que “el área del cuadrado construido sobre el segmento mayor es equivalente al área del rectángulo cuyos lados son el segmento menor y toda la línea”, (sobre un segmento dividido en extrema y media razón) ............................................................................................................................36 4.3 Otras formas de la sucesión de Fibonacci ......................................... 37 4.3.1 Problema N°4: Demostrar que el término general de la sucesión de Fibonacci es: ............................................................................................................................37 4 Potencias de φ ..................................................................................... 39 4.4 4.4.1 Problema N°5: Probar que las potencias del número de oro cumplen la relación n n 1 n 2 , para todo n>1 ....................................................................................39 4.4.2 Problema N°6: Investigar la existencia de una relación similar a la anterior con las potencias del número de plata (n=2) y el número de bronce (n=3) .........................40 4.5 4.6 Comparando números descompuestos en fracciones continuas ...... 41 4.5.1 Problema N°7: Comparar las descomposiciones de los números irracionales e, π yφ ............................................................................................................................41 El número áureo en polinomios de cuarto grado .............................. 45 4.6.1 Problema N°8: Visualizar las relaciones encontradas entre los puntos de intersección de un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por los puntos de inflexión de dicho polinomio ...........................................................................................45 5. Elaboración del Taller ............................................................................ 50 5.1 Introducción y beneficios de los talleres didácticos en GeoGebra ... 50 5.2 El Taller............................................................................................... 51 6. Conclusiones............................................................................................. 69 6.1 Conclusión General ............................................................................ 69 6.2 Conclusiones específicas .................................................................... 70 6.3 Propuestas y proyecciones .................................................................. 71 7. Bibliografía y referencias........................................................................ 72 7.1 Referencias bibliográficas .................................................................. 72 7.2 Referencia Web ................................................................................... 73 5 1. Introducción En cada momento de nuestro trabajo, como profesores, se presentarán escenarios donde el alumno sabe que allí encontrará un número irracional 1, ¿pero dónde? Y esa parte del hallazgo es la que nos brindará oportunidades para poner en marcha ciertas actividades específicas, o no, de la matemática: plegar, trazar (regla y compás), medir, usar software ad-hoc, calcular, buscar regularidades, conjeturar, demostrar. Es justamente esta amplia variedad de actividades, no sólo matemáticas, que hará entusiasmar de alguna manera a nuestros alumnos y alumnas, que por sus características, son de por sí curiosos e indagadores. Con este trabajo apostamos a potenciar un encuentro con el quehacer matemático, entrelazando fuertemente la historia, el conocimiento y la práctica. Dice Miguel de Guzmán: “el quehacer matemático es por naturaleza, eminentemente comunicativo. Es arte, productor de belleza de la que hacemos a otros partícipes; es ciencia, que explora la realidad en colaboración con otros; es herramienta, con la que se puede dominar algunos aspectos interesantes de este mundo que compartimos; es juego, del que se disfruta en compañía…….” Además, se pretende ligar lo matemáticamente tradicional y exacto a lo inconmensurable o no medible. En esencia, en muchas ocasiones, al obtener cierto conocimiento y visualizar respuestas como ciertas por el resto de la sociedad, el hombre tiende a conformarse e imitar lo realizado tantas veces sea necesario, ya que piensa, por defecto, que siempre le dará resultado. Esta sucesión cotidiana se entrelaza con lo tradicional de la comunidad en la que se encuentra el hombre inmerso y genera un gran acostumbramiento. 1 Número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción. 6 Ahora bien, pensando en las matemáticas, como ciencias exactas, nos podemos preguntar: ¿son bases sólidas, siempre medibles y sin ningún error? La respuesta es no, ya que al igual que en muchas otras ciencias aplicadas, las matemáticas, presentaron históricamente fragilidades, baches y caídas de las cuales el hombre ha logrado y sigue intentando superar. Por ejemplo, remontándonos muchos siglos atrás, para los pitagóricos (de la escuela pitagórica), toda la naturaleza podía ser representada por números, pero cuando el triángulo rectángulo, cuyos catetos son igual a 1, generó una hipotenusa igual a , apareció un profundo descontento entre ellos, pues la representación geométrica de los números debería trasmitir armonía y felicidad, y esa extraña diagonal podía ser trazada pero no podía ser medida, era inconmensurable. Así, y debido al misticismo que predominaba entre los pitagóricos, el descubrimiento de un número como fue guardado en secreto, y lo llamaron de “indivisible”. Se cuenta que Hipasos, discípulo de Pitágoras, reveló el escándalo y fue asesinado. Además, otros, que se arriesgaron a contar tal revelación, murieron en un naufragio2. Actualmente: ¿es para nosotros extraño el símbolo y lo que representa? Lo más probable es que no, ya que se presenta como un conocimiento general básico (verificable con el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo) en muchas sociedades y pasa a ser parte, ahora, de algo cotidiano y tradicional. Con todo lo anterior, podemos obtener muchas conclusiones acerca de cómo abordar los “nuevos” y los “antiguos” conocimientos, sea cual sea el área de estudios, ya que nos abundan e invaden en esta época súper tecnológica de la historia de la humanidad, utilizarlos sabiamente (lo cual no implica tener un pensamiento limitado) y nunca “acostumbrarnos” creyendo que serán por siempre válidos.... y medibles. 2 Ejemplo sobre los pitagóricos extraído desde “A matematica na arte e na vida” de Paulo Martins Contador, 2da Edición. Editora Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2011. 7 2. Objetivo General A través de este trabajo, queremos estudiar fundamentalmente, un número irracional particular, simbolizado por φ, llamado número áureo o de oro. Desde su aparición histórica y su representación geométrica, intentaremos descubrir y describir en una amplia gama de ejemplos y problemas la presencia de valores aproximados a ese número en diferentes ámbitos interrelacionados como el arte, la biología y la matemática en si misma. Por otro lado, pretendemos desarrollar una serie de actividades lúdicas integradas en un taller didáctico experimental diseñado para alumnos y/o profesores de educación media, sobre el número de oro, sus relaciones con otros números y que en cuanto a su uso en el aula, pueden considerarse actividades integradoras, por las relaciones horizontales y verticales establecidas con otras asignaturas y con otros contenidos de la propia matemática. 2.1 Objetivos Específicos Realizar una recopilación e investigación bibliográfica sobre el origen histórico y estudios actuales (libros, papers, tesis antiguas y/o páginas web) con respecto a la razón áurea y el número de oro (mitológica y matemáticamente). Evidenciar la construcción de formas geométricas armónicas (triángulo, rectángulos, pentágono y espiral), utilizando la razón áurea, y visualizar su representación artística y arquitectónica. Presentar las bases explícitamente matemáticas que envuelven al número de oro y su representación como ecuación algebraica (y su asociación a los números metálicos), en una sucesión (de Fibonacci) y en forma exponencial (potencias). 8 Desarrollar problemas matemáticos que involucren al número de oro y muestren los desarrollos matemáticos necesarios que conlleven a resultados llamativos sobre este número. Crear y/o modificar actividades lúdicas y confeccionar con ellas un taller didáctico experimental que incluya desarrollos en un software dinámico libre, como GeoGebra, con experiencias y posibles resultados que evidencien las principales características y formas de visualización del número áureo. 9 3. Antecedentes y marco teórico 3.1 El número φ en la historia El número φ, así como muchas otras temáticas y aspectos ligados a la matemática, se origina sobre un contexto histórico que nos lleva a preguntarnos si ¿fue creado por el hombre? o bien, si ¿fue descubierto por el hombre y extraído desde la naturaleza?. Sin embargo, lo que sí podemos afirmar es que ambas preguntas son difíciles de responder y de separar como posibles causas independientes. A continuación, será presentada una sinopsis histórica que abarca a algunos (no todos) grandes personajes que de alguna u otra manera conocieron, admiraron y/o utilizaron el número φ. 3.1.1 Antigua Grecia y Egipto Nuestra primera aproximación a este número, la encontramos ligada a grandes construcciones realizadas por arquitectos griegos y egipcios en tiempos anteriores al nacimiento de Cristo. En ambas civilizaciones se buscaba la majestuosidad y a la vez la belleza estética en sus templos lo que conllevó a la aparición de ciertas geometrías estructurales que permitieron ir visualizando una proporción particularmente armoniosa ligada directamente al número de oro φ, denominada razón áurea o proporción divina3. La moderna denominación φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor al escultor y arquitecto Fidias (490 - 430 A. C.) ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego. Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, y porque utilizó la razón áurea en la construcción del Partenón 3 La proporción es una relación entre dos magnitudes cuantificables (en estos casos de alturas, anchuras y/o largos de las construcciones). El nombre de proporción divina se debe a que tales edificaciones justamente proporcionan armonía y majestuosidad, a estos templos asociados a dioses y divinidades en estas culturas. 10 (Figuras N°1 y N°2), que es de las más importantes, imponentes y antiguas construcciones realizadas por el hombre, cuyas ruinas aún se mantienen en nuestros tiempos. Figura N°1 y N°2: Ruinas a del Partenón y rectángulo áureo en su fachada frontal. Esta construcción, el Partenón, es uno de los ejemplos más claros del saber en geometría por parte de los matemáticos y arquitectos griegos ya que lograron obtener el efecto visual más estético, armonioso y majestuoso con certeras alteraciones geométricas en su construcción. Es así, que es posible visualizar entre otras características, por ejemplo, que su fachada frontal queda inserta, aproximadamente, dentro de un rectángulo áureo4. Se ha encontrado, también el número φ presente en obras del antiguo Egipto. Esto debido a que los egipcios se basaban en las medidas humanas para proyectar sus construcciones (luego veremos la relación de la fisiología humana y este número). Así entonces, se encuentra que en la gran pirámide de Keops (Figuras N°3 y N°4) la relación entre su altura y la mitad de un lado de su base es, aproximadamente φ. La pirámide de Keops fue construida hace 4500 años, y es una de las primeras aplicaciones arquitectónicas en la que encontramos al número φ. Como mencionamos anteriormente, no necesariamente implica que los egipcios conocieran φ, si no que, en una búsqueda de relaciones armoniosas, “casualmente” dieron con una que envuelve a este número. 4 Rectángulo Áureo es aquel rectángulo cuyo lado mayor dividido en su lado menor es aproximadamente el número φ (se detallará su construcción más adelante). 11 Figura N°3 y N°4: Pirámide de Keops y Relación de la pirámide con el número φ. Ahora bien, dentro del contexto formal, a lo que nos conduce este trabajo, podemos encontrar que la primera publicación oficial hallada y que involucra el número φ, sin ser descrito como tal, se encuentra en el clásico Los Elementos5 de Euclides, que data del año 300 a. C. aproximadamente. Ahí, se define y se formaliza una proposición, pero en ambas, se habla de una forma geométrica de dividir o cortar una recta de tal manera que sus lados o formas que genere con ellas se encuentren en una determinada proporción o razón (que es la razón áurea, como cociente entre las longitudes de los segmentos de recta resultantes luego de la división). Cabe destacar, que como en muchos otros temas científicos y matemáticos el número φ (como tal o como proporción) era conocido en la antigua Grecia y que Euclides, en la Universidad de Alejandría, y en particular en el tratado Los Elementos, (Figura N°5), diseña una brillante síntesis de geometría, álgebra y aritmética recopilada en especial desde la escuela pitagórica entre 570 - 480 a. C. aproximadamente. 5 Página web con ilustraciones y actualizada de http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm 12 “Los Elementos” de Euclides, disponible en Figura N°5: Fragmento de los Elementos de Euclides, datado hacia el año 100 A. C. El diagrama acompaña la Proposición 5 del Libro II. 3.1.2 Edad Media y Renacimiento Posterior al nacimiento de Cristo y durante casi toda la Edad Media ocurre un estancamiento general del desarrollo obtenido por los griegos y civilizaciones del medio oriente con respecto a las matemáticas y en directa manera del número φ. Esta “paralización científica” fue influenciada directamente por el fervor e imposición religiosa y también por guerras entre los principales imperios y civilizaciones existentes (que conllevan, por ejemplo, a la pérdida de libros al ser quemados en las invasiones). Sin embargo, durante este periodo oscuro y bélico existieron ciertos personajes (muchos de ellos clérigos, debido a su fuerte posicionamiento social en esos tiempos) que de alguna manera u otra fueron conservando y transmitiendo de generación en generación bases mínimas y útiles de las matemáticas, haciendo hincapié en la geometría ya que era aplicable directamente en sus construcciones (como templos religiosos). Uno de estos personajes, un matemático italiano, llamado Leonardo de Pisa (1175 1240), conocido como Fibonacci, (Figura N°6), se destaca en este periodo debido principalmente a su pensamiento sin prejuicios, su conocimiento de otras culturas y su 13 profundización de varios asuntos matemáticos. La vinculación de Leonardo de Pisa con el número φ surge de la relación directa entre su conocida sucesión6 (de Fibonacci) ya que la razón entre dos sucesivos términos de ésta se aproxima al número φ. Figuras N°6 y N°7: Retratos de Leonardo de Pisa (Fibonacci) y Leonardo da Vinci. Luego del aletargado periodo medieval, surge en Europa un florecimiento espiritual y científico que conlleva a un período de revolución cultural denominado como Renacimiento. Es así, que un fraile llamado Luca di Borgo (nacido en 1445), más conocido como Luca Pacioli, utiliza el número φ en su libro "De Divina Proportione" (la Divina Proporción) término relativo a la razón o proporción ligada al denominado número áureo o número de oro. El nombre de “número de oro” se debe al notable pintor italiano Leonardo da Vinci, (Figura N°7), quien trabajó en las ilustraciones del libro de Pacioli, mencionado anteriormente, y que se publicó en 1509. Es así que el número áureo, se junta al interés matemático y el interés artístico de Leonardo y para numerosos otros artistas representando la máxima expresión de la belleza, como la “proporción perfecta”, apareciendo en innumerables edificios y obras de arte desde la antigüedad hasta nuestros días. 6 Más detalles de ésta sucesión y sus particularidades son presentados más adelante 14 Una representación muy conocida y que involucra el número áureo es ilustrada magníficamente por Leonardo Da Vinci en el “Hombre de Vitrubio”. En esta obra se representa explícitamente, entre otras proporciones, a la razón áurea en muchas secciones. Una evidencia importante se establece comparando la altura total de la persona con la que hay hasta su ombligo (Figura N°8) o como las falanges dividen el dedo según la razón áurea. Además, existen también otras proporciones áureas en pies, brazos y en la división entre la distancia del ombligo a los pies con la del ombligo a la cabeza, donde también se obtiene, aproximadamente φ. ht ho Figura N°8: El hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci, 1487. 15 3.1.3 Tiempos Modernos Posterior al Renacimiento existen muchos autores entre matemáticos o artistas que utilizan el número áureo y su proporción asociada. Cada uno de ellos aporta en gran medida a la visualización científica y arquitectónica formal de este número irracional. Entre los principales personajes que se destacan en este periodo se encuentra a Martin Ohm, matemático alemán, que escribió sobre la sección áurea en 1835 en su libro "Die reine elementar-mathematik", también fue el primero en utilizar la denominación “phi” en honor a Fidias para este número. Luego, el filósofo alemán, doctor en filosofía y profesor, Adolf Zeising (1810 - 1876), estudió la proporción áurea desde el punto de vista estético y arquitectónico, buscando esta proporción en los monumentos clásicos. Se menciona que es él quien introduce el lado mítico y místico del número φ. Otro personaje interesante fue Matila Ghyka, rumano y último príncipe de Moldavia reinante, quien se destacó por un exhaustivo estudio de la sección áurea, en la arquitectura y la naturaleza, a la cual fueron dedicados voluminosos textos con títulos, por ejemplo, como “Esthétique des Proportions dans la Nature et dans les Arts”, traducido como “Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes”, de 1927. Sin embargo, uno de los principales personajes de esta época que estudió y difundió al número de oro, fue el arquitecto Suizo-Francés Charles Édouard Jeanneret-Gris, conocido como “Le Corbusier”. Siendo considerado uno de los arquitectos más influyentes del siglo XX, Le Corbusier ideó el “Modulor”, (Figura N°9), que era un sistema de medidas arquitectónico basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el número áureo φ. Fue desarrollado entre los años 1948 a 1953 y de esta forma retomaba el ideal antiguo (de griegos y egipcios) de establecer una relación directa, a través del número áureo, entre las proporciones de los edificios y las del hombre. 16 Figura N°9: El “Modulor” de Le Corbusier. Finalmente, podemos mencionar que durante este periodo de tiempos modernos muchos artistas plásticos y pintores han utilizado de alguna manera u otra la armonía, belleza y estética presentada por el número áureo, lo cual quedará establecido en los siguientes capítulos. 17 3.2 La Razón Áurea o Divina Proporción Como hemos mencionado en las secciones anteriores, el significado de “Razón Áurea” o “Divina Proporción” corresponde a la denominación que se ha dado para aquella proporción entre dos magnitudes medibles, como forma geométrica o bien en construcciones que genera, premeditadamente o no, el número φ. Se denomina “de oro” por su armonía y belleza, tal como lo hace este metal como pieza de adorno en construcciones y en humanos y de ahí la propuesta de nombrarla (a la razón) como áurea (que viene de dorado como el oro). Ahora bien, lo “divino” se debe a la asociación mística de construcciones, como templos o iglesias, hacia las divinidades (de ahí lo “divino”) de antiguas civilizaciones. A continuación, se presentará una definición formal de la razón áurea y luego algunas construcciones de formas geométricas muy utilizadas en la arquitectura y el arte 3.2.1 Definición geométrica La definición formal de la Razón Áurea aparece en la el Libro VI (definición 3), de Los Elementos de Euclides, como: “Se dice que una recta” (finita) “ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”. Tal definición, puede tratarse como un problema que se resuelve con regla y compás (que era la manera eficaz y popular de resolver los problemas matemáticos antiguamente en tiempos de los Bernoulli y Euler, entre otros). Así, dado un segmento AB de longitud l se dice que un punto M lo divide en “media y extrema razón” si se verifica la siguiente relación: ab a a b 18 Siendo l a b , a el lado mayor y b el lado menor del segmento AB cortado en el punto M. Lo anterior, se representa en forma gráfica como sigue (Figura N°10): b a l=a+b Figura N°10: Segmento dividido en media y extrema razón. De tal división, se cumple que l a 1, 61803 . Una construcción en software de a b este segmento y su partición en media y extrema razón, aparece en la actividad N°1 del taller didáctico a realizar. 3.2.2 El Rectángulo áureo El rectángulo áureo es un paralelógramo, con ángulos interiores rectos, cuyo lado mayor es al lado menor, en proporción, igual al número φ, (Figura N°11). Este rectángulo es posible de construir usando regla y compás. Una construcción en software aparece en la actividad N°2 del taller didáctico a realizar. Figuras N°11: Rectángulo Áureo construido en software GeoGebra. 19 Cabe destacar, que las medidas de los lados no son únicas ya que lo importante es la proporción entre ellas, la cual genera el número áureo. Como hemos mencionado brevemente, en los capítulos anteriores, el rectángulo áureo comienza a aparecer en muchas construcciones y obras de artes como esculturas y pinturas, desde ya la antigua Grecia (ya vimos el rectángulo áureo en la fachada del Partenón, en Figuras N°1 y N°2) hasta nuestros tiempos modernos. A modo de ejemplo, podemos a continuación apreciar el rostro de la Gioconda de Leonardo da Vinci, en el cual se inscribe un rectángulo áureo (Figura N°12) para contemplar y comprobar subjetivamente su armonía y estética. Figuras N°12 y N°13: La Gioconda de Leonardo da Vinci, y Edificio de la ONU en Nueva York, Estados Unidos. Una construcción moderna que representa muy gráficamente al rectángulo áureo es el edificio de la ONU de Nueva York que es un rectángulo áureo que a su vez tiene marcas distintivas lo dividen, de nuevo, según la razón áurea (Figura N°13). 20 Además, aprovechando su armonía y belleza “natural”, el rectángulo áureo ha sido utilizado, actualmente, en objetos comerciales como avisos publicitarios y, entre otros, en las tarjetas de crédito (Figura N°14): 8, 26 1, 607 5,14 Figura N°14: Proporciones áureas en tarjeta de crédito. 3.2.3 El Pentágono regular y el triángulo áureo El pentágono regular está muy ligado al número áureo, ya que al trazar sus diagonales se encuentran relaciones entre ellas y en los triángulos interiores que se forman, como se presentan a continuación (Figura N°15). Figura N°15: Pentágono Regular y triángulos áureos, construido en GeoGebra. 21 Podemos visualizar que se forman dos tipos de triángulos áureos (un tipo son los dos triángulos en amarillo, y el otro es un tercer triángulo destacado en celeste, desde la Figura N°16). Así, se tienen dos triángulos isósceles cuya proporción entre su base y uno de sus lados congruentes generan al número φ. La asociación directa de este par de triángulos la podemos encontrar en un famoso cuadro del pintor español Salvador Dalí llamado “Cristo de San Juan de la Cruz” y que fue realizado en 1951. Figura N°16: Imagen del “Cristo de San Juan de la Cruz”, de Salvador Dalí. 22 Es muy probable que, debido a lo místico y divino asociado a la razón áurea, el pentágono o más bien el pentagrama asociado a éste (estrella de cinco puntas inscrita en un pentágono regular) fuese utilizada en muchas culturas como símbolo religioso o de sociedades, como la escuela pitagórica (Figura N°17) y de ahí a que se le conozca también como estrella pitagórica. Figura N°17: Manuscrito griego de los siglos XI-XII donde se visualiza el pentagrama místico de los pitagóricos. Existe otro tipo de triángulo, igualmente asociado a la razón áurea llamado “Triángulo de Kepler”, en honor a su descubridor Johannes Kepler (1571 - 1630), que fue un astrónomo alemán y que consideró al numero φ como uno de los grandes tesoros de la geometría. El triángulo de Kepler es rectángulo y combina dos conceptos clave de la matemática, el teorema de Pitágoras y el número áureo, ya que sus lados están en la proporción 1: : , y por lo tanto, se cumple que: 23 2 1 Esta expresión matemática es el polinomio característico o ecuación general del número áureo que detallaremos más adelante. El área de los cuadrados construidos sobre los catetos e hipotenusa formados en este triángulo son presentados a continuación (Figura N°18). φ 1 Figura N°18: Triángulo de Kepler y área formada por sus catetos. 3.2.4 La razón áurea en la fisiología humana y la visión Además de apreciar a la razón áurea de modo geométrico-arquitectónico es posible encontrarla en la naturaleza y en específico en el cuerpo humano. Es así, que ya en el siglo XX, un destacado investigador del número de oro, llamado Zeysing (nacido en 1850) realiza investigaciones y observa el crecimiento en los seres humanos, de ambos sexos, y establece una ley estadística (“Proportional Gesetz”) que fija una proporcionalidad aparente entre las partes del cuerpo en 13 8 1, 625 para el hombre y 8 5 1, 6 para la mujer. Estas dos relaciones son próximas (o bien, como cotas superior e inferior) a 1, 61803 y además tienen números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci (que veremos más adelante). 24 Cabe mencionar, como ya fue descrito en el “Hombre de Vitrubio” por Leonardo da Vinci, que es posible evidenciar la razón áurea en las falanges de la mano humana (Figura N°19). A B 1, 61803 B C Figura N°19: Proporciones áureas en falanges de la mano. Los trabajos de Zeysing fueron ampliados por Sir Th. Cook en “The Curves of Live” y por Gustav Theodor Fechner, el inventor de la Psicología física, cuando en 1876, realizó una secuencia de experiencias de estadística estética, solicitando a muchas personas que eligieran entre diferentes rectángulos concluyendo que la mayoría se inclinó hacia el rectángulo áureo. Esto es una suerte de confirmación de una ley expresada por Zeysing que decía “para que un objeto sea considerado bello desde el punto de vista de la forma debe haber entre la parte menor y la mayor la misma relación que entre la mayor y el todo”. Por otro lado, utilizando los ángulos promedio de visión horizontal y vertical del ojo humano, más el teorema del seno en triángulos formados por estas líneas de visión, se ha podido establecer que la zona donde la visión humana es más cómoda (no en los bordes límites) tiene proporciones, aproximadamente, áureas. Así, por ejemplo, es posible insertar un rectángulo áureo en la zona de estereovisión que es la zona de dominio simultáneo de ambos ojos (Figura N°20). 25 Zona visión ojo izquierdo Rectángulo áureo Rectángulo áureo Zona visión ojo derecho Figura N°20: Zonas de visión humana y relación con las proporciones áureas. 26 3.3 El número de oro desde un punto de vista matemático Conocida la construcción geométrica del número φ, es posible además encontrarlo definido algebraicamente, por una ecuación o bien al calcular el límite de una sucesión. Estos dos y otros puntos de vista matemáticos de definición, más sus características y aplicaciones son presentados a continuación. 3.3.1 Ecuación general y números metálicos El número φ es notable por estar entre los números que se definen por una proporción, que son raíces de ecuaciones algebraicas y que no son posibles de representar como cociente de dos números enteros. Por lo tanto, se clasifican como números irracionales algebraicos. En el siglo XX se han estudiado otros números irracionales algebraicos que por la forma como se definen constituyen una generalización del número de oro. Son los llamados “Números Metálicos” que se pueden definir como las raíces positivas de la ecuación cuadrática: x 2 Nx 1 0 x N N2 4 2 Precisamente, se tiene que para N = 1 obtenemos el número de oro, luego con N = 2 el de plata y así sucesivamente, como se presenta a continuación: N 1 (oro) N 2 (plata) 1 5 1, 61803 1 12 4 1 5 2 x 2 2 1 5 0, 61803 2 x 1 2 2, 41421 2 22 4 2 8 1 2 2 2 1 2 0, 41421 27 N 3 (bronce) N 4 (cobre) x 3 13 3,30277 3 3 4 3 13 2 x 2 2 3 13 0,30277 2 2 2 5 4, 23606 4 42 4 4 20 2 5 2 2 2 5 0, 23606 Tal como el rectángulo áureo (de oro), es posible construir geométricamente el rectángulo de Plata, el rectángulo de Bronce, etc. Este conjunto de rectángulos se les ha denominado como los “Rectángulos Metálicos”. Figura N°21: Rectángulos metálicos construidos en GeoGebra. 28 Existe un aspecto muy interesante sobre los números metálicos que se genera al descomponer éstos en fracciones continuas, estableciendo así una interesante propiedad. Como explicación a la descomposición en fracciones continuas, se expondrá a continuación la descomposición del número 14 y su notación definida por los coeficientes 5 enteros que aparecen: 14 10 4 10 4 4 1 1 1 2 2 2 2 2,1, 4 5 4 1 1 5 5 5 5 5 1 4 4 4 En efecto, y como visto anteriormente, si tomamos la ecuación cuadrática x 2 Nx 1 0 , con N = 1 se obtiene el número de oro como solución positiva. Si asumimos x0 y dividimos ambos miembros de dicha ecuación (con N = 1) obtenemos: x2 x 1 0 x 1 1 0 x x 1 1 x Ahora bien, si remplazamos iteradamente el valor de “x” en el miembro derecho se obtiene: 1 x 1 1,1,1, 1 1 1 1 1 Como los coeficientes “1” se repiten indefinidamente aparece la notación 1 (que significa periódico puro, ya que es un solo número el que se repite) y podemos formalizar otra definición del número áureo como descompuesto en fracciones continuas periódica pura. 29 Análogamente, resolviendo la ecuación cuadrática x 2 Nx 1 0 , con N = 2 se obtiene el número de plata como solución positiva y descompuesto en fracciones continuas se obtiene: x2 2x 1 0 x 2 1 1 1 0 x 2 2 2, 2, x x 1 2 2 En resumen, resolviendo ecuaciones cuadráticas del tipo x 2 Nx 1 0 , con N natural, se obtienen como soluciones positivas miembros de la familia de números metálicos cuya descomposición en fracciones continuas es periódica pura, de la forma: x N 3.3.2 La sucesión de Fibonacci y su espiral Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII (ya descrito en el primer capítulo) y que es más conocido como Fibonacci (diminutivo de hijo de Bonacci que era el apodo de su padre). Esta sucesión tiene numerosas aplicaciones en ciencias, ya que aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo, en las ramas de los árboles y en el crecimiento poblacional de conejos (problema inicial que plantea y aplica la sucesión Fibonacci), entre muchas otras. Desde el punto de vista matemático, la sucesión de Fibonacci ( Fn ) es una sucesión infinita de número naturales definida como: Fn Fn 1 Fn 2 ; n / n 2 ; F1 1 y F2 1 Así, la secuencia de números que se forman (llamados elementos o términos de Fibonacci), como suma de los dos anteriores, es: 30 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... La importancia de esta sucesión tiene que ver con la convergencia del cociente entre dos sucesivos términos de ella. Si se denota el n-ésimo término de Fibonacci como Fn , y al siguiente, como Fn 1 , descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila, y es alternadamente menor y mayor que la razón áurea. 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 ; 2 ; 1,5 ; 1, 6 ; 1, 6 ; 1, 625 ; 1, 6153 ; 1, 6190 ; 1, 6176 ; 1, 6181 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Fn 1 n F n Es posible conjeturar que: lim Además, con los mismos números de la sucesión de Fibonacci, veremos que es posible construir una curva especial en forma de espiral, que es una buena aproximación de una espiral logarítmica, la cual se construye geométricamente a través de cuadrados de lado igual a los términos de su sucesión (Figura N°22): Figura N°22: Espiral de Fibonacci construida en GeoGebra. 31 Ahora bien, esta espiral se aproxima a la espiral áurea que se construye con una iteración de rectángulos áureos (actividad del taller propuesto), lo cual podemos observar a continuación: Figura N°23: Espiral Áurea construida en GeoGebra. Lo maravilloso de estas espirales es que representan a muchos fenómenos físicos de la naturaleza. Por ejemplo, en la estructura de conchas de moluscos como el “nautilus”, en la forma de tornados, huracanes y galaxias, en la disposición del polen en el corazón de ciertas flores y en el vuelo en descenso de un halcón hacia su presa, entre otras espectaculares semejanzas (Figuras N°24 y N°25). Figuras N°24 y 25: Imagen de una Galaxia y “corazón” de un girasol. 32 4. Problemas y desarrollos didáctico-matemáticos En este capítulo se expondrán algunas comprobaciones, demostraciones y actividades lúdico-matemáticas creadas y/o modificadas sobre los antecedentes y marco teórico, descrito en el capítulo anterior. 4.1 Visualizando antiguas edificaciones áureas Comenzaremos comprobando si las antiguas edificaciones revelan las dimensiones del número de oro en sus construcciones. En primer lugar, intentaremos verificar si la fachada del Partenón está inmersa dentro de un rectángulo áureo. Las dimensiones exactas no son fáciles de encontrar en bibliografía y referencias pero, en general, y aproximadamente, se establecen las siguientes7: Largo de la planta de 69,5 metros. Ancho de la planta 30,88 metros La altura máxima se estima en unos 13,72 metros (en centro de la fachada). Altura de columnas 10,43 metros, media. 4.1.1 Problema N°1: Encontrar la relación entre las dimensiones del Partenón Según dimensiones dadas, la razón con la cual fue diseñado, aparentemente, el Partenón fue de r 9 : 4 , lo cual es verificable ya que: ancho largo 30,88 69,50 9 2, 25 , 2, 25 y 2, 25 13,72 30,88 4 alto ancho 7 Referencias sobre las dimensiones del Partenón en http://www.metrum.org/key/athens/dimensions.htm y http://www.mlahanas.de/Greeks/Arts/Parthenon.htm (adicionalmente esta última página presenta un video magnifico de la historia de construcción y reconstrucciones del Partenón). 33 Con lo cual no se establece la razón áurea. Sin embargo, tal relación expresa las medidas rectangulares del edificio sin contar con su techo y sus peldaños de acceso. Una aproximación de medidas sobre una foto actual y con buena resolución se presenta a continuación (Figura N°26): ≈3,54 1 0 , 4 3 1 3 , 7 2 ≈1,83 Figura N°26: Fachada del Partenón y medidas (en metros), aproximadas. Así, tomando en consideración el techo triangular más todos los peldaños, la altura que impone el Partenón es de 19,09 metros, aproximadamente, con lo cual: ancho 30,88 1, 6176 19, 09 alto Siendo esta última, una explicación a la asociación de esta edificación con el número de oro, ya que de esta forma, se puede insertar un rectángulo áureo en torno a su fachada (presentadas en Figuras N°1 y N°2). 34 En segundo lugar, verificaremos si la Pirámide de Keops, presenta similitudes en sus relaciones dimensionales con el número áureo. El egiptólogo británico Sir William Flinders, hizo el estudio más detallado realizado hasta el momento acerca del monumento, siendo sus dimensiones las siguientes8: Altura actual de 136,86 metros (altura original de 146,61 metros) Pendiente: 51º 50' 35" Media de la longitud de los lados de la base de 230,347 metros. 4.1.2 Problema N°2: Encontrar la relación entre las dimensiones de la Pirámide de Keops Según las dimensiones dadas, un triángulo formado en el centro de la pirámide tendría las siguientes dimensiones (Figura N°27): Figura N°27: Representación transversal triangular interna de las dimensiones de la pirámide de Keops, construida en GeoGebra. 8 Extraído desde http://es.wikipedia.org/wiki/Gran_Pir%C3%A1mide_de_Guiza 35 Así, observamos que la razón áurea aparece cumpliéndose las relaciones tal como nuestros antecedentes lo establecían (equivalentes hasta 3 decimales). 4.2 Proposición áurea de “Los Elementos” de Euclides En el capitulo anterior (subcapítulo 3.2.1), fue descrita la definición geométrica formal de la razón áurea tal como aparece en el libro “Los elementos” de Euclides. Ahora bien, en el libro VI, aparece una proposición (la número 30) que señala otra definición de la proporción áurea, presentada en el siguiente problema: 4.2.1 Problema N°3: Verificar geométricamente que “el área del cuadrado construido sobre el segmento mayor es equivalente al área del rectángulo cuyos lados son el segmento menor y toda la línea”, (sobre un segmento dividido en extrema y media razón) Se construye, sobre un segmento dividido en media y extrema razón, un cuadrado y un rectángulo, siguiendo las indicaciones del texto presentado en el problema y se visualiza como sigue (Figura N°28): Figura N°28: Representación de la Prop. N°30, libro VI de Los Elementos, construida en GeoGebra. 36 Sea cual sea la medida del segmento, se comprueba que las áreas del cuadrado y rectángulo construidos tienen igual valor numérico (esto se visualiza moviendo cualquiera de los dos puntos originales del segmento, en un software geométrico-dinámico como GeoGebra). Podemos comprobar algebraicamente, definiendo que el segmento todo tenga longitud igual a “ x 1 ”. Así: se tiene la siguiente relación: x 1 x x x 1 1 Por lo tanto, el área del cuadrado A sobre el lado mayor de la división del segmento (en media y extrema razón) y el área del rectángulo A A x2 4.3 x2 x 1 A 1 x 1 1 x son: A A Otras formas de la sucesión de Fibonacci La sucesión de Fibonacci, asociada con el número áureo, visto en el capítulo anterior, se conoce generalmente a través de una fórmula general que entrega el valor de cada término según el valor de los dos términos anteriores. Sin embargo, es sabido que es posible establecer una fórmula general para los sucesivos elementos de una sucesión. 4.3.1 Problema N°4: Demostrar que el término general de la sucesión de Fibonacci es: n n 1 1 5 1 5 Fn 5 2 2 1 Haremos la demostración por Inducción Matemática, tomando como antecedente a nuestra definición inicial de la sucesión de Fibonacci: 37 Fn Fn 1 Fn 2 ; n / n 2 ; F1 1 y F2 1 Primero verificamos que para n=3, (nuestro primer término) se verifica el tercer elemento de la sucesión como sigue: 3 3 3 3 1 1 5 1 5 1 1 F3 1 5 1 5 5 2 2 5 8 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 5 3 1 5 5 1 3 1 5 3 1 5 8 5 1 1 3 5 35 5 5 1 3 5 35 5 5 8 5 1 8 1 3 5 que Fk 1 5 2 3 5 15 5 5 1 3 5 15 5 5 Luego, asumimos como verdadera a 1 8 6 5 5 10 5 16 5 8 5 2 k k 1 1 5 1 5 Fk 5 2 2 y demostraremos k 1 k 1 1 5 1 1 5 también lo es. 2 5 2 Tomamos el antecedente original y lo asumido como hipótesis ( Fk ): Fk 1 Fk Fk 1 k k k 1 k 1 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 2 5 2 2 5 2 k k k 1 k 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 1 5 1 5 5 2 2 2 2 2 2 k k k k 1 1 5 2 1 5 2 1 1 5 3 5 1 5 3 5 1 1 5 2 1 5 2 1 5 5 2 1 5 2 1 5 k k 1 1 5 3 5 1 5 1 5 3 5 1 5 5 2 1 5 1 5 2 1 5 1 5 1 1 38 k 3 5 1 5 1 1 5 5 2 2 3 5 k 1 1 5 1 5 1 2 2 5 2 k 1 5 3 5 1 5 2 2 3 5 k k 1 k 1 1 5 5 1 5 1 1 5 2 2 5 2 Por lo tanto, se comprueba que es posible describir el término general de la sucesión de Fibonacci, en función del número de oro: n n 1 1 5 1 5 1 n n Fn 1 5 2 2 5 1 4.4 Potencias de φ Desde la ecuación algebraica que define a nuestro número de oro x 2 x 1 0 se infiere que φ es solución de la misma y por lo tanto cumple: 2 1 0 2 1 4.4.1 Problema N°5: Probar que las potencias del número de oro cumplen la relación n n 1 n 2 , para todo n>1 Primero probamos la relación: 2 1 / ya que 0 3 2 3 2 / 4 3 2 n 1 n 2 n 3 / n n 1 n 2 39 Sin embargo, lo importante podría ser el resultado que generan estas potencias (desde n n 1 n 2 ): 1 n 1 1 0 1 n 2 2 1 0 1 n 3 3 2 1 nk 1 1 2 1 2 1 0 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 0 0 2 2 1 2 1 0 k k 1 k 2 k k 2 1 0 k k 2 k k 2 k 1 k 1 5 0 0 2 Con lo cual, descartando una solución trivial igual a cero, se obtiene siempre el número de oro y su “conjugado” ( 1 5 y 1 1 5 ). 2 2 4.4.2 Problema N°6: Investigar la existencia de una relación similar a la anterior con las potencias del número de plata (n=2) y el número de bronce (n=3) Visualizando la ecuación algebraica y la formulación en potencia anterior se puede inferir para el número de plata y el número de bronce lo siguiente: Para n = 2, el número de plata: n 2 n 1 n 2 1 n 1 1 2 0 1 n 2 2 2 1 0 n 3 3 2 2 1 nk 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 1 0 1 2 2 2 1 0 0 1 2 k 2 k 1 k 2 k 2 k 2 2 1 0 k k k 2 k 2 2 k 1 k 0 0 Para n = 3, el número de bronce: n 3 n 1 n 2 40 1 2 1 n 1 1 3 0 1 n 2 2 3 1 0 n 3 3 3 2 1 nk 1 3 1 2 3 1 2 3 1 0 3 13 2 3 13 2 3 13 2 3 1 0 0 2 k 3 k 1 k 2 2 3 1 2 3 1 0 k 3 k 2 3 1 0 k k k 2 k 2 3 k 1 k 3 13 0 0 2 Por lo tanto, hemos visualizado fórmulas para las potencias n-ésimas de una ecuación cuyo resultado, no trivial, genera el número de plata y el número de bronce. 4.5 Comparando números descompuestos en fracciones continuas Ya que todo número real puede ser desarrollado en fracciones continuas, se propone a continuación presentar una comparación y evidenciar una afirmación entre tres números irracionales. 4.5.1 Problema N°7: Comparar las descomposiciones de los números irracionales e, πyφ Primero, describimos los tres números con 10 cifras decimales: e 2,7182818284 , 3,1415926535 , 1, 6180339887 La descomposición en fracciones parciales sería la siguiente: a) Para e y como 2 e 3 , se tiene que: 41 e 2e2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 e 1 1 1 1 1 1 1 1 3e 8 1 e2 e2 e2 2 2 3e 3e 1,4 3e 2,5 3e 8 1,8 1 2 1 1 2 1 1 1 2 11 4e 1 3e 8 2 1 2 1 1 1 2 1 1 3e 8 11 4e 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 7e 19 1 11 4e 1 1 1 1,4 1 11 4e 7e 19 4,5 Entonces se puede evidenciar que e 2,1, 2,1,1, 4 cuyo significado se aprecia en la fracción racional de aproximación: 1 5 2 1 1 1 1 1 1 1 23 9 2 1 1 1 1 1 2 9 23 1 2 1 1 4 1 5 5 4 1 23 87 2 2 2, 71875 e 32 32 32 23 1 1 4 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 9 5 1 2 1 1 2 5 9 Así, se puede observar que en la quinta fracción racional de aproximación el valor es exacto hasta 3 decimales. b) Para y como 3 4 , se tiene que: 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 22 7 1 1 1 7 7 7 106 333 3 3 3 15 22 7 7,1 22 7 15,9 42 1 3 7 1 3 1 1 7 1 15 22 7 106 333 15 1 355 113 1 106 333 1,003 Entonces se puede evidenciar que 3, 7,15,1 cuyo significado se aprecia en la fracción racional de aproximación: 3 3 1 3 1 7 15 1 1 1 1 7 16 3 1 16 355 3 3,1415929 113 113 113 16 Así, se puede observar que en la tercera fracción racional de aproximación el valor es exacto hasta 6 decimales. Finalmente, para y como 1 2 , se tiene que: c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 5 3 2 2 1,6 1 2 3 2 3 1,6 1,6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 8 1 5 3 1 1 1 1,6 1 1 1 5 3 5 8 1,6 43 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 8 1 5 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 8 13 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 21 1 13 8 1 1 1 1,6 1 13 8 13 21 1,6 Entonces se puede evidenciar que 1,1,1,1,1,1,1,1 cuyo significado se aprecia en la fracción racional de aproximación: 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 8 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 13 8 1 1 1 1 8 13 1 1 1 1 1 5 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 1 1 1 8 5 1 13 34 1 1, 6190476190 21 21 21 13 Así, se puede observar que en la séptima fracción racional de aproximación el valor es exacto hasta 2 decimales. Al comparar la descomposición entre los tres números irracionales presentados y al verificar que la descomposición del número de oro, presentará sucesivos e infinitos “unos” 44 podemos concluir que “el número de oro es el más irracional de todos los irracionales” [Spinadel]. 4.6 El número áureo en polinomios de cuarto grado Un aspecto muy interesante del número de oro es que puede encontrarse en diversos aspectos matemáticos relativamente “inesperados”. Es así, que en el año 2005, Mcmullin y Weeks, en su libro “The Golden Ratio and Fourth Degree Polynomials”, describe un peculiar aparecimiento del número áureo, que se introduce en el mundo del Cálculo, y en particular, en desarrollos que involucran a un polinomio de cuarto grado. A continuación, describiremos, en el problema a desarrollar, los notables descubrimientos realizados: 4.6.1 Problema N°8: Visualizar las relaciones encontradas entre los puntos de intersección de un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por los puntos de inflexión de dicho polinomio Para este problema necesitamos de una herramienta como GeoGebra para graficar y visualizar las relaciones entre los puntos en cuestión. Comenzamos escogiendo a P x x 4 2 x3 3x 2 5 x 1 como un polinomio de cuarto grado, a modo de ejemplo. Su gráfica, (Figura N°29), presenta dos “ondas” que aseguran la existencia de dos puntos de inflexión: Figura N°29: Polinomio de cuarto grado con dos “ondas”, construido en GeoGebra. 45 A continuación, se establecen la primera y segunda derivada de P x . Con la segunda derivada se establecen las abscisas de sus puntos de inflexión: P ' x 4 x 3 6 x 2 6 x 5 P '' x 12 x 2 12 x 6 P '' x 0 12 x 2 12 x 6 0 6 x 2 6 x 3 0 x 6 6 2 4 6 3 2 6 6 36 72 12 6 108 1 3 0,37 12 2 6 108 1 3 i2 1,37 12 2 i1 Entonces, los puntos de inflexión son: i , P i 1 2 1 1 3 1 3 , P 2 i , P i 1 2 2 2 3 1 3 , P 2 Además, la recta que pasa por estos dos puntos posee la ecuación: L: y P i2 P i1 x i1 P i1 i2 i1 Ahora bien, para ubicar los puntos de inflexión en el programa GeoGebra se efectúan las derivadas del polinomio con el comando “derivada” que permite colocar la función a derivar y el orden que se requiere (en este caso orden 2, para la segunda derivada). Además, las abscisas de los puntos de inflexión para este polinomio serán aquellos donde la segunda derivada sea igual a cero (como mostrado anteriormente), ubicables en el programa con la herramienta “intersección entre dos objetos” para la función cuadrática de la segunda derivada y el eje X (puntos A y B, de la Figura N°30). 46 Figura N°30: Segunda derivada y visualización para obtención de puntos de inflexión, construido en GeoGebra. Así, se pueden obtener los puntos de inflexión en la barra de entrada como C x A , P x A D x B , P x B donde para nosotros x A i1 x B i2 . Luego, y explicando lo realizado en el programa, con la herramienta “Recta que pasa por dos puntos” se genera la recta L (Figura N°31). Figura N°31: Recta que pasa por los puntos de inflexión del polinomio, construido en GeoGebra. Esta recta intersecta la curva en otros dos puntos. Para encontrar formalmente esos puntos de intersección se debe resolver una ecuación de cuarto grado P x y 0 donde 47 es necesario la utilización de un Programa Computacional de Algebra avanzado (CAS) y un gran trabajo de simplificación para comprobar que las abscisas de los puntos de intersección faltantes x1 x2 están directamente relacionados con las abscisas de los puntos de inflexión y el número de oro, mediante las siguientes fórmulas9: 1 5 1 5 x1 i1 i2 2 2 1 5 1 5 x2 i2 i1 2 2 Según estas fórmulas podemos ver que: 1 5 1 3 1 5 1 3 1 5 1 3 1 5 1 3 x1 x2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 3 15 1 5 3 15 1 5 3 15 1 5 3 15 x1 x2 4 4 4 4 1 5 3 15 1 5 3 15 x1 4 x1 1 5 3 15 1 5 3 15 x2 4 2 2 15 1 15 1, 436491673103708 4 2 x2 2 2 15 1 15 2, 436491673103708 4 2 Sin embargo, y utilizando nuevamente la gran versatilidad del programa GeoGebra, es posible ubicar los puntos de intersección de esta recta con el polinomio, simplemente con una herramienta (“Intersección entre dos objetos”), y obtener el valor numérico de estos puntos con una aproximación de hasta 15 decimales, con lo cual se verifica lo entregado por las fórmulas. A continuación, se muestra la recta L y x que pasa por los puntos de inflexión del polinomio P x y en donde se han modificado los nombres (Figura N°32) de los 4 puntos de intersección (nombre genérico en mayúscula según el nombre dado a su abscisa): 9 MCMULLIN, L., y WEEKS, A. (2005): The Golden Ratio and Fourth Degree Polynomials. National Council of Teachers of Mathematics. 48 Figura N°32: Renombre de puntos en recta L, construido en GeoGebra. Ahora, lo más interesante de esta construcción son las impresionantes relaciones entre estos puntos y el número de oro, las cuales se visualizan a continuación (Figura N°33): Figura N°33: Relaciones en donde se encuentra al número de oro, construido en GeoGebra. Por último, cabe destacar que es posible encontrar otra gran relación en las áreas generadas entre el polinomio y la recta. La relación es 1:2:1 y es posible efectuarla y visualizarla, a través de la integración definida entre las curvas (Figura N°34). 49 Figura N°34: Relaciones de áreas encontradas por integración, construido en GeoGebra. 5. Elaboración del Taller A continuación serán presentadas algunas reseñas sobre la realización de talleres didácticos y sobre herramientas informáticas, como GeoGebra. 5.1 Introducción y beneficios de los talleres didácticos en GeoGebra Los talleres didácticos como el que se presentará a continuación, surgen de visualizar herramientas de apoyo a la docencia en Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC). La idea de estos talleres es presentarlos en congresos y/o seminarios para ser de práctica ayuda a estudiantes de pedagogía en matemáticas, a estudiantes de nivel secundario y a profesores que tengan relación y estén interesados en la actualización e innovación con el quehacer matemático. Sobre las herramientas informáticas como software de álgebra o geometría, existe una gran gama de productos que se dividen en los que tienen acceso liberado (software libre de licencias pagadas) o acceso restringido (al pago de licencias, por un tiempo limitado). 50 En nuestro taller, y bajo un aspecto muy futurista y solidario, aceptamos y difundimos la idea de trabajar con software libre y a disposición de toda la comunidad, siendo el de nuestra elección GeoGebra. GeoGebra es un software de matemática, de uso libre para educación en todos sus niveles, disponible en múltiples plataformas. Reúne dinámicamente, aritmética, geometría, álgebra y cálculo en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en organización en tablas y planillas y hojas de datos dinámicamente vinculadas. Ha recibido numerosas distinciones y ha sido galardonado en Europa y USA en organizaciones y foros de software educativo10. 5.2 El Taller A continuación, será presentado el taller tal cual está organizado (con distinto formato de la tesis) por lo cual será encuadrado: El número áureo ϕ, una propuesta didáctica. Daniel Sánchez I. y Rosa Eugenia Trompar M. Universidad Austral de Chile, Coyhaique, Chile. [email protected], [email protected] Introducción El uso de nuevas tecnologías como recurso para la enseñanza de la matemática requiere la intervención docente en el diseño didáctico, en la elección de los medios, en la sistematización de los conocimientos, y en la adaptación de las herramientas tecnológicas a las condiciones institucionales. Esto implica la necesidad de incorporar nuevos elementos a la formación del profesorado y a la modernización de los actuales profesores. 10 Sitio Oficial del Programa en http://www.geogebra.org/cms/es 51 El propósito de este taller es presentar una secuencia de actividades sobre construcciones geométricas que visualizan al número φ usando un software matemático interactivo libre, llamado GeoGebra. Se enfatizará en la visualización de la “divina proporción” que ha sido utilizados en las artes y en los emblemas históricos, relacionando así distintas disciplinas como la pintura, escultura, arquitectura e ingeniería. El taller está dirigido a profesores de enseñanza media con el objeto de contribuir a incorporar en la práctica docente el uso de este recurso tecnológico y el diseño de actividades organizadas dentro de un marco metodológico adecuado para la enseñanza de la geometría en la escuela. Con este trabajo apostamos a potenciar un encuentro con el quehacer matemático, entrelazando fuertemente la historia, el conocimiento y la práctica. El taller GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que se abre a la educación para interactuar dinámicamente con la matemática, en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Algebra y el Cálculo. Lo ha desarrollado Markus Hohenwarter en la Universidad Atlantic de Florida para la enseñanza de matemática escolar. Desde el punto de vista geométrico GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos y secciones cónicas como con funciones que a posteriori se pueden modificar dinámicamente. Cuando entramos en GeoGebra aparece la ventana geométrica que será nuestro lugar de trabajo. La ventana geométrica (a la derecha) expone gráficamente la representación de puntos, vectores, segmentos, polígonos, funciones, rectas y secciones cónicas. Cuando el mouse se desplaza sobre un objeto, se ilumina y exhibe su descripción. La ventana geométrica se denominará, ocasionalmente, zona gráfica o “área gráfica”. 52 Barra de menú Barra de Herramientas Ventana Algebraica Zona Gráfica Campo de Entradas La barra de herramientas consta de distintos íconos que agrupan herramientas semejantes. En este documento, se han agregado indicaciones que señalan cuáles son las herramientas que predominan en cada ícono y para identificarlos se usará un orden de izquierda a derecha (primer, segundo, tercer ícono, etc.) de la barra de herramientas. Por ejemplo al desplegar quedan a disposición del usuario: 53 Utilidades Polígonos Circunferencias Ángulos Cónicas Cursor Puntos Rectas Paralelas y perpendiculares Transformaciones Isométricas Actividad Inicial Objetivo: Conocer los elementos básicos del software GeoGebra. Nuestra primera tarea será construir un octógono regular inscrito. Preparemos nuestra pantalla: En el menú Vista desmarque Ejes y Vista Algebraica. En el menú Opciones elija “Rotulado” y seleccione “Ningún Nuevo Objeto”. Despliegue el sexto ícono y elija “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”. 54 Deslizador y texto Haga clic y obtendrá el punto del centro, arrastre el ratón hasta dar a la circunferencia el radio deseado y haga clic. Obtendrá dos puntos: el centro y un punto sobre la circunferencia. Con la tecla derecha del ratón, haga clic sobre el centro, elija Renombra y llame O a este punto. Repita con el punto sobre la circunferencia, llamándolo A. Trace una ahora recta que contenga un diámetro. Para ello, del tercer ícono, seleccione “Recta que pasa por Dos Puntos”, haciendo clic primero en O y luego en A. Observe que a la derecha de los íconos, GeoGebra le proporciona ayuda sobre la forma de utilizar el elemento elegido. A trace continuación una contenga recta el perpendicular a que diámetro AO . En el ícono “Paralelas y Perpendiculares”, elija 55 “Recta Perpendicular” y seleccione primero O y luego la recta AO . Los puntos de intersección de estas rectas con la circunferencia son los vértices de un cuadrado regular inscrito. Encuentre los puntos de intersección, eligiendo “Intersección de dos objetos” del ícono “Puntos”. Llame a los puntos encontrados B, C y D. Los vértices del octógono son los puntos medios de los arcos AB, BC, CD y DA . Para encontrar los puntos medios, basta encontrar las mediatrices de dos lados consecutivos del cuadrado. Para ello elija “Mediatriz” del ícono “Paralelas y perpendiculares” y haga clic en A y B para encontrar una mediatriz, y en B y C para la otra. Determine ahora los puntos de intersección de las mediatrices con la circunferencia y una los 8 vértices consecutivamente usando la herramienta “Polígono”. Debe terminar en el mismo vértice en que empezó. Usando el cursor (primer ícono), arrastre A para comprobar si se altera el tamaño o la posición sin que la construcción pierda sus propiedades. Repita con el punto O. Arrastre también otros puntos ¿Qué observa? Procederemos ahora a ocultar los elementos secundarios utilizados en la construcción. Para ello, haga clic con la tecla derecha del ratón sobre el elemento que desea ocultar y desmarque “Muestra Objeto”. También puede eliminar el rótulo desmarcando “Muestra Rótulo”. Para mejorar el aspecto de su construcción, haga clic con la tecla derecha sobre él y elija “Propiedades”. Podrá modificar el color, grosor de las líneas, sombreado, etc. 56 Procure dar a su octógono un aspecto parecido al que se muestra en la figura: Guarde su archivo con el nombre de Octógono. Actividad 1. Objetivo: Construir y dividir un segmento en extrema y media razón. Nuestra primera tarea será construir un segmento áureo. Preparemos nuestra pantalla: En el menú Vista desmarque “Ejes” (y si le es más cómodo puede marcar “Cuadrícula”). Del menú Opciones escoja “Rotulado” y seleccione “Solo los Nuevos Puntos”. La construcción comienza con el segmento a dividir. Despliegue el tercer ícono y elija “Segmento entre dos Puntos” y genere un segmento horizontal. Se observará un segmento que por defecto tendrá puntos extremos A y B. Despliegue el sexto ícono y elija “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”. Genere una circunferencia con centro en A y uno de sus puntos escoja alguno (punto C) sobre el segmento sin pasar la mitad de este. Llame C1 a esta circunferencia. Usando la herramienta “Punto Medio o Centro” determine el punto medio de C , CD AC y llámelo D. Trace una y llámela C2. Usando “Recta Perpendicular”, del tercer ícono al segmento pasando por C y que cortará a la circunferencia (con centro en C) en los puntos F y E (utilice las herramientas de “Recta Perpendicular” y “Intersección entre dos Objetos”, respectivamente). Según lo anterior, deberíamos visualizar algo como: 57 Continuando con nuestra construcción, generemos una semirrecta con inicio en A y que pase por F (en el tercer ícono se encuentra la herramienta “Semirrecta que pasa por dos Puntos”). Seleccione la herramienta “Compás” y marque a C y luego a D (estamos designando el radio) y luego marque en F (centro de la nueva circunferencia). Utilice “Intersección entre Dos Objetos” entre la recién creada circunferencia y la semirrecta. Deberían aparecer los puntos G y H. Repetimos la anterior acción del compás, pero con un radio AC y centro en H. Utilice “Intersección entre Dos Objetos” entre la última circunferencia y la semirrecta. Deberían aparecer los puntos J e I (I queda sobre G y representan el mismo punto). Para finalizar la construcción genere una recta que pase por J y B (herramienta “Recta que pasa por Dos Puntos”) y otra paralela a ésta y que pase por H (herramienta “Recta Paralela”). La intersección de esta última recta con el segmento genera el punto K (mediante “Intersección entre Dos Objetos”) Utilizando la proporcionalidad entre paralelas entregada por Thales, hemos establecido una partición del segmento AB en el punto K, de tal manera que lo hemos dividido en extrema y media razón, o sea que: AB AK AK KB 58 Tal proporción, nos presenta el número de oro φ cuyo valor decimal podemos mostrarlo en GeoGebra. Determine las distancias AB, AK y KB utilizando la herramienta “Distancia o Longitud”. Luego, visualicemos las proporciones con “Inserta Texto” y en el cuadro de texto escribimos, según muestra la figura a la derecha para AB y repetimos finalmente para AK AK KB Actividad 2. Objetivo: Construir rectángulos metálicos. Al igual que en el trabajo anterior, preparemos nuestra pantalla: En el menú Vista desmarque “Ejes” y “Vista Algebraica” y marque “Cuadrícula”. Además, diríjase al menú Opciones escoja “Rotulado” y seleccione “Solo los Nuevos Puntos”. Comenzamos esta actividad construyendo un cuadrado a través de la herramienta “Polígono Regular”, 59 de modo que se obtenga un cuadrado, de lado 1, tal como el que se muestra en la imagen arriba (para tener un ordenamiento establecido en la construcción de los sucesivos otros rectángulos). A continuación, establezca el punto medio entre B y C. Por defecto, debería generar el punto E que será centro de una circunferencia de radio ED (utilice la herramienta “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”). Extienda el lado inferior del cuadrado con una semirrecta con origen en B y que pasa por C. La intersección entre la semirrecta y la circunferencia generará el punto F (herramienta “Intersección de Dos Objetos”). Establezca una recta perpendicular a la semirrecta que pase por F (“Recta Perpendicular”) y construya otra semirrecta con origen en A y que pase por D. La intersección de éstas dos últimas determina el punto G. Con la herramienta “Expone / Oculta Objeto” toque una vez a la circunferencia, a cada semirrecta, a la recta perpendicular al cuadrado y cada uno de los puntos C, D y E, todo por separado y notará que se remarcarán más intensos. Luego de marcar estos elementos, diríjase al ícono de la flechita “Elige y Mueve”. Se deberían ocultar todos los elementos salvo los puntos A, B, F y G. Una estos cuatro puntos con la herramienta “Polígono” y obtendrá el rectángulo áureo. Comprobemos que la relación entre los lados de este rectángulo genera el número de oro. Para ello marquemos las distancias del lado mayor y menor del rectángulo con la herramienta “Distancia o Longitud”. Ahora despliegue “Inserta Texto” y en su cuadro de dialogo escriba “φ=” + (distancia BF / distancia FG), con fórmula Latex seleccionada, y generará la razón entre el lado mayor y el lado menor, que es el número de oro. Ampliemos el número de decimales en el menú “Opciones”, luego “Redondeo” y seleccione “5 lugares decimales”. Con el botón derecho sobre su rectángulo, marque “Propiedades” y seleccione un color similar al oro, y en un 60 sombreado de 50 % (en etiquetas Color y Estilo, respectivamente). Ahí mismo, en propiedades renombre el rectángulo y de el nombre “ORO”. Su trabajo debiera ser similar a la figura. Desde el punto de vista puramente φ matemático es notable por estar entre los números que son raíces de ecuaciones algebraicas, se definen por una proporción y en cambio no es posible representarlos como cociente de dos números enteros. Por tanto, se clasifican como números irracionales algebraicos. En el siglo XX se han estudiado otros números irracionales algebraicos que por la forma como se definen constituyen una generalización del número de oro. Son los llamados números metálicos que se pueden definir como las raíces positivas de la ecuación cuadrática x 2 Nx 1 0 . Esta ecuación en el caso N = 1 define el número áureo. Para pueden determinar los sucesivos números metálicos: x 2 Nx 1 0 x N 1 (oro) N 2 (plata) N 3 (bronce) N 4 (cobre) 1 5 1, 61803 1 1 4 1 5 x 2 2 2 1 5 0, 61803 2 2 N N2 4 2 x x 1 2 2, 41421 2 22 4 2 8 1 2 2 2 1 2 0, 41421 3 13 3,30277 3 32 4 3 13 2 x 2 2 3 13 0,30277 2 2 5 4, 23606 4 42 4 4 20 2 5 2 2 2 5 0, 23606 61 N se Para la construcción de los próximos rectángulos metálicos ocuparemos las mismas herramientas, y una muy similar sucesión de pasos para la construcción, utilizadas para el rectángulo áureo. Basándose en un lado menor igual a la unidad, podemos construir los sucesivos rectángulos metálicos montándolos uno tras otro en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se presenta en la figura, que además describe como se obtienen las raíces de estos números utilizando el teorema de Pitágoras Por ejemplo, para el rectángulo de plata construya una circunferencia con centro en G y radio FG . Desmarque la recta perpendicular que pasa por F. Establezca los puntos de intersección de esta circunferencia con el lado AG del cuadrado (punto H) y con la parte superior de recta perpendicular que pasa por F (punto J). Genere una circunferencia con centro en J y radio JH . Cortará a la recta perpendicular que pasa por F en el punto K 62 (inferior) y L (superior). Usted, genere dos rectas perpendiculares, una al lado pase por H y al lado GL AG que que pase por L y establezca el punto de intersección entre ellas en el punto M que es el cuarto vértice para construir el polígono que representa el rectángulo de plata. La distancia lado mayor y la distancia HG GL es el es el lado menor del rectángulo, que deben ser establecidas y presentadas en un cuadro de texto para mostrar su razón. Oculte circunferencias y rectas auxiliares y deje sombreado y de color plata a su rectángulo. Los rectángulos de Bronce y Plata quedan como tareas según todas las indicaciones dispuestas anteriormente. Actividad 3 Objetivo: Construcción del Espiral de Fibonacci y comparar con imágenes reales En esta actividad utilizaremos iteraciones creadas por una herramienta propia para poder repetir la construcción del rectángulo áureo tantas veces se quiera (o pueda). En primer lugar construyamos un cuadrado, por ejemplo de lado 5 (con herramienta “Polígono Regular”). Desde este cuadrado y construimos hacia nuestro la derecha, rectángulo 63 áureo tal cual como en la actividad anterior. Una vez construido oculte todas las rectas o circunferencias auxiliares, deje sólo los vértices del rectángulo áureo más los vértices C y D del cuadrado y coloréelo con un tono lo más claro posible Generemos nuestra propia herramienta para ir repitiendo este proceso. En menú “Herramientas” seleccione “Creación de Nueva Herramienta” y en el cuadro de texto aparecerán 3 etiquetas. Rellénelas según lo que se quiere construir iteradamente “Objetos de Salida”, en este caso el rectángulo áureo y el segmento CD más sus puntos extremos visibles. Los “Objetos de Entrada” serán los puntos A y B y el nombre para la nueva herramienta puede ser “Rectángulos ORO”. Una herramienta vez diseñada y seleccionado la su ícono marque el punto G y luego el D para formar un rectángulo áureo interior al primero. La cantidad de iteraciones y dirección de los rectángulos áureos debe ser hacia el centro de la espiral. Este centro queda ubicado en la intersección de la diagonal AF del primer rectángulo áureo y el segmento GC que es una diagonal del 64 segundo rectángulo áureo. Nuestra espiral se crea como una aproximación a una espiral logarítmica a través de arcos de circunferencia. Así, para nuestro primer arco seleccione la herramienta “Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos” y marque el punto C como centro y luego a D y B como dos puntos extremos de ese arco. Repita este procedimiento con centro H y extremos I y D. Continúe hasta llegar cercano al punto centro de la espiral mencionado anteriormente. Finalmente, puede personalizar la espiral colocándose sobre los arcos construidos y con botón derecho seleccionar “Propiedades” y luego modificar a gusto en las etiquetas “Color” y “Estilo”. Si tiene problemas en encontrarlos arcos puede desmarcar ocultando a los rectángulos utilizados en la Podría construcción. generar una espiral como: Para finalizar esta actividad comparemos nuestra espiral con una imagen real de la concha de un Nautilos. Oculte todos los elementos auxiliares de la construcción y deje sólo a la espiral. Diríjase a la herramienta “Inserta Imagen” y en la carpeta imágenes seleccione a la concha de Nautilos y ubíquela ala derecha de nuestra espiral (puede usted moverla con la herramienta “Elije y Mueve” (la flechita puntero). 65 Ahora, genere un segmento (o recta) vertical entre la imagen y su espiral. Luego seleccione la herramienta “Refleja Objeto en Recta” y marque a la imagen y luego al segmento. Intente mover el tamaño de la reflexión con la rueda del mouse de modo que quede lo más aproximado a su espiral 66 Actividad 4 Objetivo. Visualizar el triángulo áureo en el decágono y construir el espiral. Empezamos esta actividad utilizando la herramienta “Polígono Regular”, en el quinto ícono, generando un decágono (polígono de diez lados). Tocando dos puntos de nuestra ventana gráfica se abrirá un cuadro de dialogo consultándonos el número de lados del polígono regular a construir, que en nuestro caso es 10. Luego, divida al polígono con un segmento entre dos vértices opuestos (el quinto desde uno al otro) y ubique el centro del polígono (punto medio de este segmento). Construya un triángulo (herramienta “Polígono”, del quinto ícono) cuyos vértices son dos vértices consecutivos del decágono y su tercer vértice el centro de éste. ¿Qué tipo de triángulo se creó? Para corroborarlo visualicemos sus ángulos interiores con la herramienta “Angulo”, del octavo ícono. Oculte todo elemento excepto al triangulo. Este triángulo es llamado áureo ya que la relación entre la longitud de cualquiera de sus lados iguales y la longitud del lado basal genera la divina proporción. Ahora bien, ya que sabemos comprobar eso con distancias, es bueno ahora comprobarlo con otra triada trigonométrica de proporciones que es el Teorema del Seno: sen sen sen a b c Intente comprobar la relación áurea de este triángulo 67 a través de una razón que utilice la función trigonométrica del seno. (GeoGebra reconoce la función “sin(x)”). Otra importante cualidad del triángulo áureo es que desde él, al igual que en el rectángulo de oro, es posible generar y construir una espiral áurea. Empezamos la construcción generando una bisectriz (herramienta “Bisectriz”, del cuarto ícono, y en la imagen abajo desde el punto J) de un ángulo basal que cortará un lado del triángulo en un punto a establecer por intersección entre dos objetos (el punto L). La bisectriz dividió al triángulo inicial en otros dos, uno de mayor área y otro de menor, el cual es áureo (semejante al inicial). Repetiremos el proceso descrito anteriormente, hasta aproximarse al centro de la espiral en un punto (punto O) que es intersección de un segmento que va desde el punto medio del lado del triángulo inicial donde no pasa la bisectriz hacia el vértice opuesto (segmento MI) y un segmento que va desde el punto medio del lado basal del triángulo inicial al vértice opuesto del nuevo triángulo áureo menor (segmento NL). La siguiente bisectriz se genera desde el vértice correspondiente (según imagen el vértice I) al cual se hizo en el triángulo áureo inicial. Marque los puntos de intersección necesarios para generar unas tres bisectrices más. Ahora, generaremos la curva de la espiral con la herramienta “Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos”, del sexto ícono. Estos arcos se generan con dos vértices de triángulo áureo consecutivos (K y L, según la imagen) y desde el punto de intersección de la bisectriz como centro (en nuestro caso, el punto L). Oculte todos los elementos de la construcción y deje sólo a la espiral personalizada (en color y estilo) y vuelva a hacer visibles a los puntos iniciales A y B (los cuales permiten mover nuestra construcción). Finalmente, inserta una imagen llamada “oreja guagua” y con las herramientas del noveno icono intente superponerla a la 68 espiral y vea lo que ocurre. 6. Conclusiones A continuación, se describen las principales consecuencias y resultados obtenidos en el trabajo descrito en los capítulos anteriores. 6.1 Conclusión General El trabajo presentado fue describiendo histórica y matemáticamente al número irracional algebraico φ. Así, fue descubierto el significado de sus denominaciones tales como número de oro, razón áurea y/o divina proporción. También, fueron presentadas, a la par, algunas aplicaciones y apariciones del número en diversos ámbitos que involucran a diferentes áreas de la ciencia. Con todo, fueron descritos diversos acontecimientos y 69 problemáticas matemáticas que permitieron crear y/o modificar actividades lúdicas que involucren al número φ, generando un Taller didáctico experimental, a realizar con ayuda del software GeoGebra. Finalmente, es posible afirmar que el Taller realizado, o bien, modificaciones y/o creaciones similares a éste, son trabajos que surgen con el uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC), que de ésta forma permiten potenciar un encuentro con el quehacer matemático entrelazando fuertemente la historia, el conocimiento y la práctica, a profesores, como estudiantes de educación media, y a estudiantes de pedagogía en matemáticas. 6.2 Conclusiones específicas Se realizó una recopilación e investigación bibliográfica sobre el origen histórico y estudios actuales en libros y páginas web con respecto a la razón áurea y el número de oro, encontrando una enorme información al respecto, la cual fue filtrada en sus aspectos más fundamentales. Se presentaron construcciones de formas geométricas armónicas utilizando la razón áurea, como el segmento y rectángulo áureo, el triángulo áureo y de Kepler, el pentágono regular y espirales. También, se hicieron comparaciones de las apariciones de estas figuras como representaciones artísticas, en la naturaleza, en el cuerpo humano y en la arquitectura. Se presentaron bases explícitamente matemáticas que envuelven al número de oro, surgido como razón geométrica en la división de un segmento, como ecuación algebraica, en forma de límite en una sucesión (de Fibonacci), en forma de descomposición en fracciones continuas, como abscisas de puntos de intersección entre un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por sus puntos de inflexión, y en forma exponencial (potencias). 70 Se desarrollaron algunos problemas que muestran sorprendentes resultados que involucran al número de oro, utilizando desarrollos algebraicos simples, desde razones y proporciones hasta algunos elementos básicos de cálculo como derivadas. Se elaboró un taller didáctico experimental que incluyó desarrollos en el software dinámico GeoGebra, que contempla experiencias, y muestra algunos resultados que evidencian las principales características y formas de visualización del número áureo. 6.3 Propuestas y proyecciones Durante el desarrollo del presente estudio se establecieron sorprendentes e inesperadas apariciones del número de oro, lo que conlleva a preguntarse si es posible aun seguir encontrando evidencias de este número tan especial en otras áreas de las ciencias y en especifico en otros aspectos matemáticos. Esto perfectamente, puede ser aprovechado en investigaciones a fondo que involucren el estudio exhaustivo de publicaciones actualizadas del tema, ya que dentro de la bibliografía utilizada en este trabajo, encontraremos estudios que no superan los 10 años desde su creación, o bien, su descubrimiento. Por otro lado, en el ámbito de innovación del quehacer matemático, a través de talleres didácticos, se intenta con este trabajo difundir abiertamente este tipo de actividades y potenciar estos desarrollos para que generen en sus potenciales participantes, iniciativa propia en rehacer e inventar nuevos talleres para diferentes áreas de la matemática, que involucren una activa participación de estudiantes, logrando así un ambiente matemático más gentil, agradable y de mejores resultados de aprendizaje. 71 7. Bibliografía y referencias 7.1 Referencias bibliográficas [1] Paulo Martins Contador, “A matematica na arte e na vida”, 2da Edición. Editora Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2011. [2] Carlos Sánchez, “¿Cómo hacer apetitoso el discurso matemático? Experiencias con sabor cubano”. Conferencia Paralela, XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Recife, Brasil, 2011. [3] Carlos Sánchez F., Concepción Valdés C. “Problemas históricos atractivos para el aprendizaje de la matemática”. Minicurso, XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Recife, Brasil, 2011. [4] Rosa E. Trumper M. y María I. Del Rio, “Construyendo Polígonos Interesantes”. Taller de geometría dinámica, III Congreso Nacional de Estudiantes de Pedagogía en Matemática, Universidad de La Frontera, Temuco, Chile, 2010. [5] Gilberto G. Garbi, “A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática”. Editora Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2006. [6] Spinadel, V.: “La familia de los números metálicos y el diseño” (PDF 157Kb). Centro de Matemática y Diseño MAY DI. Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo. Universidad de Buenos Aires, 1995 [7] Condesse V. y Minnard C.: “La familia de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro” (PDF 90Kb). Revista Iberoamericana de Educación, ISSN 1681-5653, Vol. 42, Nº. 2, 2007, 72 7.2 Referencia Web [1] Número Áureo. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 20 de Agosto de 2011, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo [2] El Hombre de Vitruvio, La Divina Proporción. Portal Planeta Sedna, extraído el 12 de Agosto de 2011, desde: http://www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.htm [3] El Número de Oro; Phi; la Divina Proporción. Youtube, extraído el 12 de Agosto de 2011, desde: http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc&feature=player_embedded#! [4] El Partenón. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 15 de Abril de 2012, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Parten%C3%B3n [5] Número Áureo. Lawebdemanel, extraído el 16 de Abril de 2012, desde: http://www.lawebdemanel.com/matematicas/phi/NumeroAureo.htm [6] Los Elementos de Euclides (con applets de geometría). Euclides.org, extraído el 11 de Marzo de 2012, desde: http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm [7] Leonardo de Pisa. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 23 de Abril de 2012, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa [8] Leonardo da Vinci. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 2 de Mayo de 2012, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci [9] El Número Áureo o Número de Oro. Jorge Fernández, extraído el 20 de septiembre de 2011, desde: http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temag/index.html 73 [10] Espiral Logarítmica. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 25 de Septiembre de 2011, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica [11] Triángulo de Kepler. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 4 de Marzo de 2012, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Kepler [12] El número de oro en el cuerpo humano. Juan Bragado Rodríguez, extraído el 13 de Marzo de 2012, desde: http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Numero%20de%20oro%204.ht ml [13] La espiral de Durero y el Número de Oro. Juan Bragado Rodríguez, extraído el 13 de Marzo de 2012, desde: http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Numero%20de%20oro%203.ht ml [14] El número de oro en la función de 4º grado. Ignacio Larrosa, extraído el 8 de Abril de 2012, desde: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Fi_en_la_cuartica.html (“Phi-N=Fin”) 74