EJERCICIOS RESUELTOS

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EJERCICIOS RESUELTOS
1
Estudia el crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos de la función f (x ) =
3
4 − cos2 x en ]0, 2π[.
Solución:
El dominio de f (x ) es R , por lo tanto existe en ]0, 2π[. Calculamos la primera derivada:
f '(x ) =
2 sen x cos x
3 (4 −
3
cos2 x )2
=
sen 2x
3 (4 − cos2 x )2
3
Como 4 – cos2x ≠ 0 para todo número real, el dominio de f '(x ) es R , por lo tanto también existe en ]0, 2π[.
Estudiamos ahora el signo de f '(x), que es el de sen 2x
sen 2x = 0 ⇒ x 1 = 0, x 2 =
3π
π
, x 3 = π, x 4 =
y x 5 = 2π en [0, 2π ]
2
2
consecuentemente:
+
Signo de f '(x)
0
+
−
π/2
π
−
3π/2
2π
⎤ π ⎡ ⎤ 3π
⎤ π ⎡ ⎤ 3π ⎡
⎡
y f (x ) es creciente en ⎥ 0, ⎢ ∪ ⎥ π,
⎢ y decreciente en ⎥ 2 , π ⎢ ∪ ⎥ 2 , 2π ⎢ .
2
2
⎦
⎣ ⎦
⎦
⎣ ⎦
⎣
⎣
Del estudio de la monotonía de f (x ) (signo de f '(x )) se deduce que tiene máximo relativo en x =
mo relativo en x = π. Los dos máximos tienen el mismo valor que es
2
Representa gráficamente la función y =
3
π
3π
yx=
y míni2
2
4 y el valor del mínimo es
3
3.
x2 − 1
.
x
Solución:
Antes de representarla haremos el estudio de la función que comprende los siguientes puntos:
1. Dominio.
Para que la función exista se necesita que x 2 – 1 ≥ 0 y x ≠ 0.
Por tanto: D (f ) = ]– ∞, –1] ∪ [1, + ∞[
2. Asíntotas.
a) Horizontales :
por la izquierda: lim
x2 −1
= − 1 ⇒ y = − 1 es asíntota horizontal por la izquierda
x
por la derecha:
x2 −1
= 1 ⇒ y = 1 es asíntota horizontal por la derecha.
x
x →−∞
lim
x →+∞
b) Verticales. No tiene porque la función no tiende a infinito para valores finitos de x.
c) Oblicuas. No tiene por tener asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha.
Tema 8. Aplicaciones de la derivada
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EJERCICIOS RESUELTOS
3. Puntos de corte con los ejes.
a) Con OX
x2 −1
⎧ x = − 1 ⇒ ( − 1, 0)
= 0 ⇒ x 2 −1= 0 ⇒ ⎨
x
⎩ x = 1 ⇒ (1, 0)
b) Con OY no puede tener pues 0 ∉ D(f ).
4. Simetrías.
( − x )2 − 1
x2 −1
=−
= –f (x ), la función es impar y la curva es simétrica respecto del origen de
−x
x
Como f (–x ) =
coordenadas.
5. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.
Estudiamos el signo de la primera derivada.
2x
x − x2 −1
2 −1
x 2 − ( x 2 − 1)
1
2
x
y'=
=
=
⇒ y ≠ 0, luego no hay ni máximo ni mínimos
2
2
2
2
x
x
x −1 x
x2 −1
+
Signo de y'
]
−1
+
[
1
Es creciente en todo su dominio.
6. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Estudiamos el signo de la segunda derivada
⎡
⎤
2x
− ⎢ 2x x 2 − 1 + x 2
⎥
2
3
2
− 3 x 3 + 2x
− 3x 2 + 2
x
−
2
1
⎦ = − 2x ( x − 1) − x =
=
y '' = ⎣
2
x 4 ( x 2 − 1) x 2 − 1 x 4 ( x 2 − 1) x 2 − 1 x 3 ( x 2 − 1) x 2 − 1
x2 x2 − 1
(
)
y '' = 0 ⇒ –3x 2 + 2 = 0 ⇒ x = ±
3
, ninguno de los dos valores pertenece al dominio de la función. Por tanto:
2
+
Signo de y''
]
−1
−
[
1
Es cóncava en ]– ∞, –1[. Es convexa en ]1, +∞[. No tiene puntos de inflexión.
7. Tabla de sistematización.
x
–∞
–1
1
+∞
f (x )
–1
0
0
1
f'
+
+
f ''
+
–
Su gráfica es:
1
−1
f
178
Y
O
1
−1
2
3
X
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Representa gráficamente la función y = x 2 +
1
, llamada «Tridente de Newton».
x
Solución:
Esta función también se puede expresar como y =
x3 +1
, expresiones que utilizaremos indistintamente para su
x
estudio.
1. Dominio.
D (f ) = R – {0}
2. Asíntotas.
a) Horizontales no tiene pues
lim
x →−∞
x3 + 1
x3 + 1
= lim
= +∞
x →−∞
x
x
b) Verticales. Sólo puede ser la recta x = 0. Veamos los límites laterales
lim
x → 0−
x3 + 1
= −∞ y
x
lim
x → 0+
x3 + 1
= +∞ ; luego x = 0 es una asíntota vertical.
x
c) Oblicuas
x3 + 1
= −∞ ⇒ no tiene; por la derecha:
x →−∞ x 2
3. Puntos de corte con los ejes
a) Con OX
por la izquierda:
lim
lim
x →+∞
x3 + 1
= +∞ ⇒ no tiene
x2
x3 + 1
= 0 ⇒ x 3 + 1 = 0 ⇒ x 3 = –1 ⇒ x = –1 ⇒ (–1, 0)
x
b) Con OY no puede tener pues 0 ∉ D (f )
4. Simetrías
Como f (–x ) = (–x )2 +
1
1
= x2 –
≠ f (x ) y ≠ –f (x ), la curva no tiene simetrías.
x
−x
5. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.
Estudiamos el signo de la primera derivada.
y' = 2x −
1
x2
=
Signo de y'
2 x 3 − 1 y ' = 0 ⇒ 2x 3 = 1 ⇒ x 3 = 1 ⇒ x =
;
2
x2
−
2
+
−
0
1
3
1
3
2
Por tanto es:
⎤
⎤ 1
⎡
⎛ 1 3 ⎞
1 ⎡
decreciente en ]–∞, 0[ ∪ ⎥ 0, 3 ⎢ ; creciente en ⎥ 3 , +∞ ⎢ ; tiene un mínimo en ⎜ 3 , 3 ⎟ ⯝ (0,8, 1,9)
⎝ 2 4⎠
2⎣
⎦
⎦ 2
⎣
no tiene máximo.
Tema 8. Aplicaciones de la derivada
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EJERCICIOS RESUELTOS
6. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Estudiamos el signo de la segunda derivada.
2
2( x 3 + 1)
y '' = 2 +
=
3
x
x3
y '' = 0 ⇒ x 3 = –1 ⇒ x = –1
+
Signe de y"
+
−
−1
0
Y
Del signo de y '' se deduce que es
cóncava en ]–∞, –1[ ∪ ]0, +∞[
convexa en ]–1, 0[
tiene un punto de inflexión en (–1, 0).
2
7. Tabla de sistematización
x
f (x )
–∞
–1
+∞
0
f'
f ''
+
0
1
0
3
−∞
+∞
–
–
–
Su gráfica es:
+∞
2
3 32
2
0
1
−1
O
1
X
+∞
+
+
f
4
A las 12 h. de la noche, un barco A está a 75 km al este de otro B. El barco A navega hacia el oeste
a 20 km/h y el B navega hacia el sur a 15 km/h. Si mantienen esos rumbos, ¿cuál será la mínima
distancia entre ellos? y ¿a qué hora se producirá?
Solución:
Sean A0 y B0 las posiciones de los barcos A y B a las 12 h. y A1 y B1 sus posiciones después de navegar t horas.
Se tiene así la siguiente figura:
B0
75 − 20t
A1
A0
N
15t
d
O
E
S
B1
La distancia entre los barcos después de t horas de navegación es:
d (t ) = (75 − 20 t )2 + (15 t )2 = 5625 − 3000 t + 625 t 2
180
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la distancia d será mínima cuando también lo sea D = d 2 por lo que calcularemos el valor de t para cuando D sea
mínima.
D (t ) = 5 625 – 3 000t + 625t 2
D '(t ) = –3 000 + 1 250t
D '(t ) = 0 ⇒ 1250t = 3000 ⇒ t = 2,4 h ó 2 h 24 min
Veamos si D es mínimo para este valor de t
D '' = 1250 > 0 ⇒ sí es mínimo.
Por tanto se encuentran más próximos a las 2 h. 24 min. y la distancia entre ellos es:
d (t ) =
5
5 625 + 3 000 · 2, 4 + 625(2, 4)2 =
2025 = 45 km
Un espejo plano tenía forma de un cuadrado de 80 cm de lado y se ha roto por una esquina según
una recta. Uno de los trozos tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 40 y 32 cm.
Hallar las dimensiones del espejo rectangular de área máxima que se puede recortar del otro trozo,
de modo que los bordes del nuevo espejo sean paralelos a los del primitivo.
Solución:
Con los datos del problema, podemos construir las figuras siguientes.
y
A
80−y
x − 40
x
D
B
80 − y
80 − x
40
80 − x
E
F
C
32
32
Si x e y son las dimensiones pedidas, la función área que hay que hacer máxima es: S = x · y
y AEC
AC es decir: x − 40 = 40
sabemos: AB
Por la semejanza de los triángulos ADB
=
80 − y
32
DB EC
despejando y : y =
560 − 4x
5
Sustituyendo en S tenemos: S = x ·
560 − 4x
560 − 4x 2
=
.
5
5
Esta función nos permite obtener el área buscada en función de una sola variable. Para obtener el máximo de dicha
función derivamos:
S' =
560 − 8x
;
5
S ' = 0 ⇒ 560 = 8x ⇒ x = 70
como S '' = –8/5 < 0; para x = 70 hay un máximo.
Obteniendo para este valor de x el correspondiente valor de y, las dimensiones pedidas son: x = 70; y = 56.
Tema 8. Aplicaciones de la derivada
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EJERCICIOS RESUELTOS
6
Calcular los posibles máximos y mínimos de las funciones siguientes en los intervalos que se indican:
a) f (x ) = (x 2 – 1) (x 2 + 3) en [–2, 2]
b) g (x ) = x 3 – x 2 – 8x + 1 en [–2, 2]
Solución:
a) Obtendremos una expresión más simple de f si operamos:
f (x ) = (x 2 – 1)(x 2 + 3) = x 4 + 2x 2 – 3
Derivando: f '(x ) = 4x 3 + 4x = 4x (x 2 + 1) ⇒ f '(x ) = 0 si x = 0 pues x 2 + 1 ≠ 0 para todo x.
Como f ''(x ) = 12x 2 + 4 entonces f ''(0) = 4 > 0, luego en x = 0 hay un mínimo relativo en (0, –3) y dicho punto
pertenece al intervalo [–2, 2].
Además en dicho intervalo sólo hay un punto que anule a la primera derivada, luego deducimos que los posibles valores máximos y mínimos absolutos los alcanzará la función en los extremos del intervalo.
Así pues: f (–2) = 21 y también es f (2) = 21 pues la función es par, luego f alcanza el máximo absoluto en los
puntos (–2, 21) y (2, 21).
b) Como g (x ) = x 3 – x 2 – 8x + 1, derivando:
g '(x ) = 3x2 – 2x – 8
g '(x ) = 0 ⇒ 3x 2 – 2x – 8 = 0 ⇒ x = 2 y x = −
4
3
La derivada segunda es:
g ''(x ) = 6x – 2 y verifica
⎛ 4⎞
g ''(2) = 10 > 0 y g '' ⎜⎝ − ⎟⎠ = –10 < 0
3
luego hay un mínimo relativo en P (2, –11) y un máximo relativo en Q y ambos extremos tiene la abscisa en el
intervalo [–2, 2].
El máximo absoluto lo puede obtener la función en el extremo inferior del intervalo, pero en él es
g(–2) = 5 <
7
203
y por tanto el máximo relativo obtenido es también máximo absoluto en el intervalo [–2, 2].
27
Obtén el valor de las constantes a, b y c para que la gráfica de la curva f (x ) = ax 2 + bx + c pase por
el punto (1, 2) y sea tangente a la recta g (x ) = x en el punto (0, 0).
Solución:
Por pasar por el punto (1, 2):
f (1) = 2 ⇒ a + b + c = 2
Por pasar por el punto (0, 0):
f (0) = 0 ⇒ c = 0
Por ser tangente a la recta g (x ) = x en el (0, 0):
f '(0) = 1 ⇒ b = 1
Se deduce que a = 1 y por tanto la curva es f (x ) = x 2 + x
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Las gráficas siguientes representan las funciones f ' y g ' , derivadas respectivamente de sendas funciones f y g.
Y
Y
g'
f´
−3
O
−2
X
O
2
X
Esboza, razonadamente, una posible gráfica de las funciones f y g.
Solución:
Como f ' < 0 si x ∈ ]– ∞, –3[ y f ' > 0 en ]–3, + ∞[, entonces f es decreciente en ]– ∞, –3[ y creciente en ]–3, + ∞[.
Al ser f ' (–3) = 0 entonces f tiene un mínimo en x = –3.
Una posible gráfica es:
Y
f
−3
O
X
La función g ' es positiva en los intervalos ]– ∞, –2[ y ]2, + ∞[, por tanto g será creciente en dichos intervalos.
Así mismo g ' es negativa en ]–2, 2[ por tango g será decreciente en dicho intervalo.
Como g '(–2) = 0 y en dicho punto g pasa de ser creciente a decreciente se deduce que en x = –2 hay un máximo relativo.
Al igual, en x = 2 se verifica que g '(2) = 0 y la función g pasa de ser decreciente a creciente, luego en x = 2 la función g tien un mínimo relativo.
Una posible gráfica de g es:
Y
−2
9
O
2
X
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los extremos relativos de la función
f (x ) =
x2
x −1
Solución:
El dominio de la función es D (f ) = R – {1}.
Tema 8. Aplicaciones de la derivada
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EJERCICIOS RESUELTOS
f '(x ) =
2x ( x − 1) − x 2 · 1
( x − 1)2
=
x 2 − 2x
( x − 1)2
f '(x ) = 0 ⇒ x 2 – 2x = 0 ⇒ x = 0, x = 2.
Los puntos críticos de f son los de abscisa x = 0 y x = 2.
El signo de f ' queda determinado por el signo de x 2 – 2x puesto que (x – 1)2 es siempre positivo en el dominio de f.
Signo f '
+
–
+
–
0
1
2
f es creciente en ]– ∞, 0[ ∪ ]2, + ∞[ ; f es decreciente en ]0, 1[ ∪ ]1, 2[
f tiene en x = 0 un máximo relativo y en x = 2 un mínimo relativo. Estos puntos extremos son M (0, 0) y m (2, 4).
Y
4
2
O
1
X
2
10 Halla el valor de «a» para que la recta tangente a la gráfica de la función
3
f (x ) = x + a
x3 − a
en el punto de abscisa 1 forme un ángulo de 45° con el eje OX+.
Solución:
Se resuelve aplicando la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. En realidad se trata
de ver qué valor debe tomar a para que la derivada de la función valga 1 cuando x = 1
f '(x )=
3x 2 ( x 3 − a ) − 3x 2 ( x 3 + a )
(x 3
− a)
2
Exigiendo la condición mencionada:
− 6a
1=
⇒ (1 – a)2 + 6a = 0 ⇒ a2 + 4a + 1 = 0 ⇒ a = –2 +
(1− a )2
184
=
− 6ax 2
( x 3 − a )2
3 ó a = –2 –
3.
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11 Halla a, b y c para que la función f (x ) = ax 2 + bx + c pase por el punto P (1, –2) y tenga un mínimo en
m (2, – 4).
Solución:
Si pasa por P (1, –2) entonces –2 = a + b + c.
Si tiene un mínimo en m (2, – 4) entonces en primer lugar se deduce que f '(2) = 0, es decir:
f '(x ) = 2ax + b ⇒ f '(2) = 4a + b = 0
Pero además el punto mínimo m (2, – 4) también pertenece a la gráfica, luego se cumple que f (2) = –4 es decir:
4a + 2b + c = – 4
a + b + c = −2 ⎫
⎪
Estas condiciones han generado el sistema de ecuaciones: 4a + b
=0 ⎬
4a + 2b + c = − 4 ⎪⎭
Cuyas soluciones son: a = 2, b = –8, c = 4, y por tanto la función buscada es: f (x ) = 2x 2 – 8x + 4.
12 Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen debe ser de 9 m3, su altura 1 m y que el coste de construcción por m2 es de 30 euros para la base, 36 euros para la tapadera y 24 para cada pared lateral.
Solución:
Si x e y son las dimensiones de la base del contenedor, V = x · y · 1 = x · y = 9.
1
y
x
y
x
La función a minimizar será el coste de construcción.
C (x, y ) = 30 · x · y + 36 · x · y + 2 · 24 · x + 2 · 24 · y = 66xy + 48x + 48y
Como x · y = 9 entonces y =
9
x
y sustituyendo en la función obtenemos una expresión del coste en función de una sola variable:
C (x ) = 594 + 48x +
432
x
Derivando: C '(x ) = 48 –
C '(x ) = 0 ⇒ 48 =
Como C ''(x ) =
432
x2
432
x2
⇒ x=
432
=3
48
864
, entonces C ''(3) > 0 luego la función coste es mínima si x = 3.
x3
Las dimensiones óptimas de la base son: x = 3 e y = 3.
Tema 8. Aplicaciones de la derivada
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FORMULARIO
Monotonía
Si f '(x0) > 0 ⇒ f (x ) es creciente en x0
Si f '(x0) < 0 ⇒ f (x ) es decreciente en x0
Extremos relativos
Criterio de la primera derivada
• Si f '(x 0– ) > 0 y f '(x +0 ) < 0 entonces hay un máximo en x0.
• Si f '(x 0– ) < 0 y f '(x +0 ) > 0 entonces hay un mínimo en x0.
• Si f '(x 0– ) y f '(x +0 ) tienen igual signo entonces hay una inflexión en x0.
Criterio de la segunda derivada
Sea f una función tal que admita segunda derivada en ]a, b [ y sea x 0 un punto del intervalo tal que f '(x 0) = 0.
Entonces:
• Si f ''(x 0 ) < 0 ⇒ f (x ) tiene un máximo relativo en x0.
• Si f ''(x 0 ) > 0 ⇒ f (x ) tiene un mínimo relativo en x0.
• Si f ''(x 0 ) = 0 ⇒ f (x ) puede tener un máximo o un mínimo o un punto de inflexión en x0.
Concavidad y convexidad
Si f ''(x0) > 0 ⇒ f (x ) es cóncava en x0
Si f ''(x0) < 0 ⇒ f (x ) es convexa en x0
Si f ''(x0) = 0 y f ''(x) tiene distinto signo a ambos lados de x0 ⇒ f (x ) tiene un punto de inflexión en (x0, f (x0))
Si una función f tiene en x0 un punto de inflexión y además es f '(x0) = 0, entonces es un punto de inflexión
de tangente horizontal
Criterio de la tercera derivada
Si f es una función que admite tercera derivada en un punto x0, entonces:
Si f ''(x0) = 0 y f '''(x0) ≠ 0 la función tiene un punto de inflexión en x0
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EJERCICIOS FINALES
10 Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
y los extremos de la función:
1
1
f ( x ) = x 3 + x 2 − 6x + 8
3
2
11 Demostrar que la función f (x ) =
extremos.
5x 3
+ 19 no tiene
12 Halla los extremos relativos de las funciones:
a) f (x ) = x 2(x – 12)2
b) g (x ) = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 1
13 Halla los extremos relativos de las funciones:
a) h (x ) = x – ln (1 + x )
b) j (x ) = x ln x
14 Calcular los intervalos de concavidad, convexidad y
puntos de inflexión de:
a) f (x ) = x 4 – 6x 2 + 1
b) g(x ) = 3x + (x + 2)3
15 Obtén el área de un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio 2 en función de la base x del
rectángulo. Representa la función área obtenida,
deduciendo de la derivada dónde es creciente o
decreciente, así como cuál es el rectángulo de área
máxima inscrito en dicha circunferencia.
16 Hallar las funciones polinómicas
f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d, cuya segunda derivada
sea x – 1. ¿Cuál o cuáles de ellas tienen un mínimo
relativo en el punto (4, –1/3)?
17 Determina una función polinómica de segundo
grado tal que su gráfica corte al eje OX en x = 2 y
que tenga un mínimo relativo en el punto (–2, –16).
18 La función f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c pasa por (–1, 0)
y tiene un máximo en (0, 4). Halla:
a) La función.
b) El punto de inflexión.
19 Supongamos que el rendimiento r en % de un
alumno en un examen de una hora viene dado por
r = 300t (1 – t ), donde 0 ≤ t ≤ 1 es el tiempo en
horas. Se pide:
a) ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b) ¿En qué momentos el rendimiento es nulo.
c) ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál
es?
20 El beneficio diario obtenido por una empresa, en
función del número x de unidades producidas, viene
1
dado por la función f (x ) = x 3 – 4x 2 + 12x. Dibuja
3
la gráfica de dicha función para 0 ≤ x ≤ 8, deduciendo su forma del estudio del signo de f '(x ), y deduce
de la gráfica para qué valores de x, con 0 ≤ x ≤ 8, se
obtienen los beneficios máximos y mínimos.
1
y jusx
tifica si esa función es creciente o decreciente
en el intervalo [1, 7].
21 a) Calcula la derivada de la función f (x ) =
b) Representa la gráfica de y =
1
.
x
22 Al vender un producto a un precio x entre 40 y 65
euros, el beneficio es y = –x 2 + 100x – 2 100 euros.
Obtener, razonadamente, el precio x que maximiza y.
23 Representa gráficamente la función y = (x + 1)2 (x – 2),
indicando máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad.
24 Durante los treinta días consecutivos de un mes las
acciones de una determinada compañía han tenido
unas cotizaciones dadas por la función
f (x ) = 0,2x 2 – 8x + 100, donde x es el número de
días transcurridos. Halla los días en que las respectivas acciones estuvieron en baja (bajando de precio) y los que estuvieron en alza. ¿Qué día del mes
alcanzaron el valor máximo? ¿Y el valor mínimo?
25 Hallar a, b, c y d en la función y = ax3 + bx2 + cx + d
sabiendo que su tangente en el punto (1, 1) es la recta
y = –x + 2 y que tiene un extremo en el punto (0, 2).
26 El área ocupada por una infección cutánea se desarrolla a partir del instante t = 0 según la función
t
f (t ) = 10 +
t2 + 1
a) Calcular la superficie ocupada por la infección al
principio.
Tema 8. Aplicaciones de la derivada
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EJERCICIOS FINALES
b) Hallar el instante en que es máxima el área infectada y calcular dicha área.
c) Estudiar qué ocurre con el transcurso del tiempo. ¿Se estabiliza o desparece la infección?
27 Dada la función f (x ) = x 3 – 5x 2 + 3x – 1, se pide:
– Máximos y mínimos.
– Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
– Intervalos de concavidad y convexidad.
28 Se ha comprobado empíricamente que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del
tiempo que se esté jugando a través de la expresión:
G(x ) =
Del 33 al 45. Representar gráficamente las funciones:
33 a) f (x ) = x 3 – 3x 2 + 2x
b) f (x ) = 4x 4 – 5x 2 + 1
2
34 a) f (x ) = x + 1
x2 − 1
b) f (x ) =
35 a) f (x ) =
4
x −5
b) f (x ) =
36 a) f (x ) =
1
x2
b) f (x ) =
100x
x2
+ 400
(donde x representa el tiempo de juego expresado
en minutos). Se pide:
a) ¿Cuanto más tiempo se permanezca jugando es
mayor la ganancia que se obtiene? Justificar la
respuesta.
b) Determinar el tiempo de juego que proporciona
la mayor ganancia.
c) ¿Puede ocurrir que si se sobrepasa cierto tiempo, el juego dé pérdidas (ganancias negativas)?
¿Por qué?
k
. Se pide:
x
a) Determina k, de modo que dicha función tenga
un máximo para x = –1.
b) Dibujar una gráfica razonable de la función f (x )
para el valor de k obtenido en el apartado anterior.
es creciente en todo su dominio de definición.
32 Calcular los valores de a, b y c sabiendo que la función
f (x ) = ax 2 + bx + c
pasa por los puntos (1, 0) y (0, –2) y presenta un
3
máximo en x =
.
2
188
1
1+ x 2
x − x2
38 a) f (x ) = x e x
b) f (x ) =
x3
x2 − x − 6
b) f (x ) =
x3
( x + 1)2
b) f (x ) =
x2 − x + 2
x −2
39 a) f (x ) =
1
x2 − x − 6
40 a) f (x ) = |x 2 – 3x | + 2
41 a) f (x ) =
42 a) f (x ) =
43 a) f (x ) =
x −1
x +1
x
1+ x 2
b) f (x ) =
30 Estudiar el crecimiento y decrecimiento y los máximo
y mínimos de la función f (x ) = x 3 – 9x 2 + 24x – 20.
f ( x ) = ln
−x −2
37 a) f (x ) = (x – 1)2 (x + 2)
29 Se define la función f (x ) = x –
31 Demostrar que la función
8
x2
44 a) f (x ) =
45 f (x ) =
x2
x2 + 1
2x + 1
( x − 2)( x + 3)
2− x
x −1
x 2 − 6x + 5
x −3
b) f (x ) = e1/x
b) f (x ) =
2x + 1
x
b) f (x ) =
ex − 1
ex + 1
b) f (x ) =
x2
( x − 1)2
( x − 2)( x − 1)
46 ¿Cuál es el número que sumado con su recíproco
da una suma máxima relativa?
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47 Una bala disparada verticalmente hacia arriba
alcanza, al cabo de t segundos, la altura
h = 500t – 5t 2 metros. ¿Cuál será la altura máxima
que puede alcanzar?
48 Inscribir en una circunferencia de radio 10 m un
triángulo rectángulo de perímetro máximo.
49 Hallar el área del triángulo rectángulo máximo que
tenga 10 m de hipotenusa.
50 De todos los triángulos isósceles inscritos en una
circunferencia de radio 5 m, ¿cuál es el de área
máxima?
60 Un depósito cuadrado de forma de paralelepípedo
rectangular de base cuadrada tiene de volumen
125 m3. Calcular las dimensiones de sus aristas
para que la cantidad de material empleado sea
mínima.
61 Un triángulo isósceles que tiene 10 cm de perímetro
gira alrededor de su altura engendrando un cono.
Hallar las longitudes de los lados del triángulo para
que el volumen engendrado sea máximo.
62 De la siguiente figura, formada por un rectángulo y
un semicírculo, se sabe que su perímetro es 50 m.
Se pide determinar:
51 De todos los rectángulos de 64 cm de perímetro,
determina el de área máxima.
52 De todos los rectángulos de 16 cm2 de superficie,
determina el de perímetro mínimo.
y
53 De todos los rectángulos de 16 cm2 de superficie,
determina el de diagonal mínima.
54 Determinar la diagonal mínima de todos los rectángulos de 8 m de perímetro.
55 La suma de la base y de la altura de un triángulo es
20 cm. ¿Qué longitud debe tener la base para que
el área del triángulo sea máxima?
56 Hallar la base de un triángulo isósceles de perímetro 20 m y área máxima. ¿De qué clase de triángulo se trata?
57 Inscribir un rectángulo en un triángulo isósceles de
modo que tenga un lado sobre la base del triángulo
y los otros dos vértices sobre cada uno de los lados
iguales, y que el área del rectángulo sea máxima.
Las dimensiones del triángulo son: base = 12 cm,
altura = 10 cm.
58 Se desea comprar un terreno rectangular de 400 m2
de superficie. ¿Cuáles serán las dimensiones más
convenientes para que la construcción de la cerca
resulte lo más económica posible?
59 Calcular las dimensiones que debe tener un estanque
de forma de paralelepípedo rectangular de base cuadrada de modo que su volumen sea máximo. Entre
las cinco caras del estanque tienen 192 m2 de área.
x
a) El área en función de x.
b) x para que su área sea máxima.
63 De todos los cilindros que tienen 1 m2 de superficie
total, ¿cuál es el de volumen máximo?
64 El coste de un marco para una ventana se estima en
125 euros por cada metro de altura y 80 euros por
cada metro de anchura. La ventana tendrá un metro
cuadrado de superficie. ¿Qué dimensiones debe
tener el marco para que resulte lo más económico
posible?
65 De una lámina de cartón de 40 cm de ancho por 60
de largo se debe cortar de cada ángulo un cuadrado
igual, de modo que con el cartón resultante, doblándolo convenientemente, se pueda construir una caja
sin tapa. Averiguar la longitud x del lado del cuadrado para que la capacidad de la caja sea máxima.
66 Una hoja de papel debe contener 288 cm2 de texto
impreso. Los márgenes superior e inferior deben
tener 2 cm cada uno, y los laterales, 1 cm. Se piden
las dimensiones de la hoja para las que el gasto de
papel sea mínimo.
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EJERCICIOS FINALES
67 Hallar el número positivo que sumando con 25
veces su recíproco de un valor mínimo.
68 De todos los pares x e y de números reales positivos cuya suma sea 30, determina razonadamente el
par (x, y ) cuyo producto x · y es máximo.
69 La siguiente figura indica la posición de tres ciudades
73 ¿Qué dimensiones debe tener una caja de 36 dm3
de volumen, base rectangular y 4 dm de altura para
que su superficie total (con tapa) sea mínima?
74 De entre todos los cuadrados inscritos en un cuadrado de lado 10 cm hallar las dimensiones del que
tiene área mínima.
A, B y C. La distancia entre A y C es de 4 2 km y
entre B y C es de 8 km. Se desea hacer un tendido
eléctrico entre las ciudades A y B. El tendido que
sigue la carretera (CD ) cuesta 1 unidad monetaria el
kilómetro y el tendido que atraviesa el campo (AD )
cuesta 3 unidades monetarias el kilómetro. Justificar
75 Hallar las dimensiones de un bote cilíndrico de 20
litros, si el gasto de la chapa ha de ser mínimo.
que el costo del tendido es 3 32 + x 2 + (8 – x ), y
hallar a qué punto (D ) de la carretera hay que dirigirse para que el costo del tendido sea mínimo.
77 Un terreno rectangular se va a vallar y dividir en
tres rectángulos iguales mediante dos vallas divisorias paralelas a los lados más pequeños del rectángulo. Si únicamente se dispone de 8 000 m de
valla ¿qué dimensiones del terreno maximizan el
área vallada?
8
x
C
D
B
76 Descomponer 18 como suma de dos números positivos, de manera que el producto de uno de ellos
por el cuadrado del otro sea máximo.
78 El consumo de un coche depende de la velocidad
en km/h según la función
4 2
3e 0,011ν
litros/km
ν
¿Cuál es la velocidad más económica? ¿Cuántos
litros por cada 100 km se gastarán a esta velocidad? Nota: e ≡ 2,718.
f (v ) =
A
70 Con un alambre de 4 metros se quiere construir el
borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué
dimensiones hay que dar al rectángulo?
71 Adosada a un muro se quiere construir una parcela rectangular para lo que se dispone de 300 m de
alambrada. Se pide hallar:
a) El área de la parcela en función del lado perpendicular al muro.
b) Las dimensiones de la parcela de área máxima.
72 Se corta una cuerda de 200 m en dos partes para
construir un cuadrado y un rectángulo de base el
doble que altura.
a) Obtener la suma de las áreas del cuadrado y del
rectángulo en función de la base del rectángulo.
b) Halla razonadamente las dimensiones del cuadrado y del rectángulo para que la suma de sus
áreas sea mínima.
190
79 El índice de inflación de cierto país fue variando,
durante el año 2008, según la expresión
t 2 − 8t
20
donde t es el tiempo en meses desde principios del
año. Se pide:
a) ¿Durante qué meses el índice de inflación fue
creciendo?
b) ¿A partir de qué mes se supera la inflación inicial del mes de enero?
i (t ) = 15 +
80 El propietario de un inmueble tiene alquilados los
40 pisos del mismo a 600 €. al mes cada uno. Por
cada 60 euros de aumento en el precio del alquiler
pierde un inquilino, que se traslada a otro piso más
económico. ¿Cuál es el alquiler que más beneficio
produce al propietario?
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AUTOEVALUACIÓN
1
La función f (x ) = x 3 + 3x 2 + 2 es creciente en:
A ]–∞, –2[ ∪ ]0, +∞[
2
B ]–2, 0[
C [–2, 0]
D nada de lo anterior
C x= 1
D nada de lo anterior
La función f (x ) = 4x 3 – 3x – 2 tiene un máximo en:
A x=–1
B x=0
2
3
La función f (x ) = –x 3 + 6x 2 tiene un mínimo en:
A (4, 32)
4
B ]–∞, –1[
B (1, 0)
Las asíntotas de la función f (x ) =
A no tiene
D nada de lo anterior
D nada de lo anterior
C el origen de coordenadas
D nada de lo anterior
2x
son:
x2 + 1
B x = 1 y x = –1
C y=0
D nada de lo anterior
Dos números positivos cuyo producto es 16 y la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro es
mínima, son:
A 4y4
B 16 y 1
C 8y2
D nada de lo anterior
La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y determina con los ejes coordenados un triángulo de área mínima, no nula, es:
A y = –4x + 6
10
C ]–1, +∞[
C (0, 1)
B el eje OY
7
9
D nada de lo anterior
Si una función es par entonces es simétrica respecto de:
A el eje OX
8
C (0, 0)
Los puntos de inflexión de la función f (x ) = x ln x son:
A no tiene
6
B no tiene
La función f (x ) = x 3 + 3x 2 + 2 es convexa en:
A R – {–1}
5
2
B y = –2x + 4
C y = 2x
D nada de lo anterior
De todas las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = –x 3 + 6x 2 + 4 la máxima es:
A 12
B –12
C 1
D nada de lo anterior
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