Solución taller 4 - Universidad Icesi

Universidad Icesi
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Solución de la cuarta prueba corta del curso Algebra y funciones
Grupo: Veintitrés
Perı́odo: Final del año 2004
Prof: Rubén D. Nieto C.
PUNTO 1. Exprese la función g(x) = cos 2 x +
SOLUCION: Tomando A = 1, B =
la siguiente figura,
√
3, k =
√
3 sen 2 x sólo en términos de seno, y trace una gráfica de la función.
√
A2 + B 2 =
q
√ 2 √
√
12 +
3 = 1 + 3 = 4 = 2 y el ángulo φ de acuerdo a
2
φ
√
1
3
se deduce que el ángulo φ es π/6 (debido al triángulo de apoyo para funciones trigonométricas de treinta y sesenta grados)
y, por la fórmula para el seno de la suma de dos ángulos, se tiene:
!
√
√
k cos 2 x + 3 sen 2 x
1 cos 2 x
3 sen 2 x
k g(x)
=
=k
+
g(x) =
k
k
k
k
!
√
1
3
sen 2 x = 2 sen φ cos 2 x + cos φ sen 2 x = 2 sen φ + 2 x
= 2
cos 2 x +
2
2
g(x) = 2 sen
π
6
∴
+ 2x
Como el intervalo para el ciclo fundamental de la función seno es 0, 2 π , para determinar el correspondiente a la
función g(x) podemos proceder ası́:
0≤
π
+ 2x ≤ 2π
6
∴
−
π
π
≤ 2x ≤ 2π −
6
6
−
∴
−
π
11 π
≤ 2x ≤
6
6
π
11 π
≤x≤
12
12
Entonces, el gráfico del ciclo fundamental de la función g(x) es:
2
π
− 12
11 π
12
-2
1
∴
PUNTO 2. Trazando un triángulo, evalúe las siguientes expresiones:
3
b. sen 2 cos−1
5
a. cos tan−1 2
SOLUCION:
a. Tomando θ = tan−1 2 que equivale a tan θ = 2 = 2/1, podemos dibujar un triángulo rectángulo en el cual aparece un
ángulo θ con lado opuesto de longitud 2 y lado adyacente de longitud 1 (de tal manera que la tangente sea realmente
igual a 2/1 = 2). Este triángulo sirve para determinar gráficamente el ángulo θ, veamos:
h
2
θ
1
Con el propósito de conocer la hipotenusa h, podemos aplicar el teorema de Pitágoras a dicho triángulo, en efecto:
h2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5
∴
h=
√
5
De todo lo establecido y de la figura se concluye:
√
1
5
1
cos tan−1 2 = cos θ = = √ =
h
5
5
−1
cos tan
∴
√
5
5
2 =
b. Tomando θ = cos−1 3/5 que equivale a cos θ = 3/5, podemos dibujar un triángulo rectángulo en el cual aparece un
ángulo θ con el lado adyacente de longitud 3 y la hipotenusa de longitud 5 (de tal manera que el coseno sea realmente
igual a 3/5). Este triángulo sirve para determinar gráficamente el ángulo θ, veamos:
5
c
θ
3
Con el fin de conocer el cateto desconocido c, podemos aplicar el teorema de Pitágoras a dicho triángulo, en efecto:
52 = 32 + c2
∴
c2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16
∴
c=
√
16 = 4
∴
c=4
De todo lo establecido y de la figura, aplicando la fórmula para el seno del ángulo doble, se concluye:
4 3
24
3
= sen 2 θ = 2 sen θ cos θ = 2 × × =
∴
sen 2 cos−1
5
5 5
25
sen 2 cos
2
−1
3
5
=
24
25
PUNTO 3. Determine todas las soluciones de la ecuación tan 3 x + 1 = sec 3 x en el intervalo 0, 2 π .
SOLUCION: Debido a la identidad tan2 3 x + 1 = sec2 3 x, la cual se obtiene de dividir por cos2 3 x ambos lados de la
identidad trigonométrica fundamental, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación dada, se obtiene:
tan2 3 x + 2 tan 3 x + 1 = sec2 3 x
tan2 3 x + 2 tan 3 x + 1 = tan2 3 x + 1
∴
∴
tan 3 x = 0
2 tan 3 x = 0
∴
(1)
Como el intervalo para el ciclo fundamental de la función tangente es −π/2, π/2 , para determinar el correspondiente a la
función tan 3 x, podemos proceder ası́:
−
π
π
≤ 3x ≤
2
2
∴
−
π
π
≤x≤
6
6
(2)
De este resultado se desprende que el perı́odo de la función tan 3 x es:
perı́odo =
2π
π
π π π π
− −
= + =
=
6
6
6
6
6
3
∴
perı́odo =
π
3
(3)
Como en el intervalo (2), que es el intervalo para el ciclo fundamental de la función tan
3 x, el único valor de x para el cual
se anula dicha función es x = 0, por (3), todas las soluciones de (1) sobre el intervalo 0, 2 π vienen dadas por:
x=0+
x=
kπ
3
kπ
3
donde
donde
x=
0≤0+
kπ
< 2π
3
0≤k<6
kπ
3
y
donde
y
k∈Z
k∈Z
o sea:
que equivale a:
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Debido a que en el proceso de solución de la ecuación dada elevamos al cuadrado, tenemos que chequear todas las soluciones
obtenidas para descartar las posibles soluciones extrañas. Para ello podemos dar al sistema algebraico de computo MuPAD
el par de ordenes:
ecuacion := k → bool tan(k ∗ π) + 1 = sec(k ∗ π) :
ecuacion(k) $ k = 0 . . 5
Después de ejecutadas tales ordenes dicho sistema responde:
TRUE, FALSE, TRUE, FALSE, TRUE, FALSE
De lo cual se concluye que la respuesta a este punto es:
x=
kπ
3
para
3
k = 0, 2, 4