ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS MULTIFÁSICAS DE 5 FASES. UN ENFOQUE ORIENTADO AL MODELO DE LA MÁQUINA. BLÁS JUAN ANDRÉS BOGADO MARTÍNEZ Tutor: FEDERICO JOSÉ BARRERO GARCÍA Trabajo presentado a la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla, como requisito para la obtención del título de Máster en Electrónica, Tratamiento de Señales y Comunicación con Especialidad TeóricoExperimental. UNIVERSIDAD DE SEVILLA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS Sevilla, España DEDICADO A: A mis Padres: Juan de la Cruz y María Lourdes Blás Juan Andrés ii Agradecimientos Quiero en primer lugar, dar las gracias a mis tutores, D. Federico J. Barrero García y D. Manuel Ruiz Arahal, por su incondicional ayuda y buenos consejos. Ambos, con capacidad, experiencia y dinamismo, me guian a lo largo de este tiempo y ayudan a llevar este trabajo por el sendero del éxito. A mis compañeros de trabajo, José Riveros y Joel Prieto, por sus consejos, por su apoyo, y por su colaboración sin la cual este documento no sería posible, mis más sinceros agradecimientos. Quiero agradecer a todas aquellas personas que durante este tiempo me han brindado y siguen brindando su amistad, haciendo llevadera mi estadia lejos de mi tierra natal. Quisiera dar las gracias al Gobierno Español, por el soporte económico proveído a través del plan Nacional de Investigación, Desarrollo e Innovación bajo la denominación DPI2009/07955. Agradezco a todas las personas que han contribuido de alguna manera en el desarrollo de este trabajo, a todo el grupo de investigadores del departamento de electrónica de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla. Por último, agradezco a mi familia por el constante cariño y apoyo de siempre , pero especialmente por haberme brindado un hogar cálido y enseñarme que la perseverancia y el esfuerzo son los medios que permiten lograr los objetivos. iii Resumen Las máquinas multifásicas han sido recientemente propuestas en aplicaciones donde se requiere una elevada conabilidad global del sistema, combinado con una reducción de potencia distribuida por fase. Estrategias de control como el control vectorial (FOC) y el control directo de par (DTC) han sido utilizadas tradicionalmente en aplicaciones de elevado rendimiento. Estas estrategias de control de alto rendimiento utilizan como base los parámetros de la máquina que está controlando. En este trabajo se presenta el modelado de la máquina eléctrica rotativa de cinco fases y se estudian métodos para la estimación de parámetros de máquinas eléctricas rotativas de cinco fases. Palabras Claves máquinas multifásicas, estimación de parámetros. iv Índice General Dedicatoria ii Agradecimientos iii Resumen iv Índice General v Índice de Figuras viii Índice de Tablas xi Acrónimos y Símbolos xii Introducción 1 1. La Máquina de Inducción 3 1.1. Tipos de Máquinas 1.2. La Máquina de Inducción 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 1.2.1. Deslizamiento En La Máquina De Inducción . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Característica Par-Velocidad De La Máquina De Inducción . . . . . 9 1.2.3. Tendencias En El Diseño De Máquinas De Inducción Máquinas Polifásicas No Convencionales 1.3.1. . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Desplazamiento Espacial De Las Fases En Máquinas Polifásicas . . 13 1.4. Dispositivos De Control Y Convertidores Para Máquinas De Inducción . . 15 1.5. Estrategias De Control En Máquinas De Inducción . . . . . . . . . . . . . 16 El Control Vectorial Directo O Control Directo Del Par . . . . . . . 17 1.5.1. v Índice General 1.5.2. El Control Vectorial Indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases 18 20 2.1. Introducción a las Máquinas Multifásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Modelado y funcionamiento del inversor de cinco ramas . . . . . . . . . . . 24 2.2.1. Modelo escalar del VSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Modelo vectorial del VSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Modelo de la máquina de cinco fases 2.3.1. 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Máquinas con bobinados distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1.1. Modelo en variables de fase 31 2.3.1.2. Modelo desacoplado de Clark 2.3.1.3. Modelo en el marco de referencia general 2.3.1.4. Modelo en el espacio de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dq 38 . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . . 54 . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.2.1. Modelo basado en variables de fase . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.2.2. Modelo en el marco de referencia general Máquinas con bobinados concentrados d1q1, d3q3 . . 3. Bancada de Ensayos 63 68 3.1. Accionamiento Electromecánico de Cinco Fases . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Convertidor de Potencia (VSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3. Sensor de Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.4. Placa de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.5. Plataforma Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.6. Circuitos de Acondicionamiento de Señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.7. Circuitos Impresos 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Métodos de Estimación de Parámetros 4.1. 80 Metodo Standard para la Obtención del Pa¯ametros del Circuito Equivalente 80 4.1.1. La Norma IEC 60034-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.1.1. Consideraciones Respecto a las Medidas a Efectuar . . . . 80 4.1.1.2. Ensayo para Determinar Resistencia de Estator . . . . . . 81 4.1.1.3. Ensayo sin Carga o en Vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 vi Índice General 4.1.1.4. 4.2. Ensayo de Rotor Bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1.2. Ensayos en Vacío y Rotor Bloqueado con VSI . . . . . . . . . . . . 84 4.1.3. Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 El Método Stand-Still . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.1. Mínimos Cuadrados Recursivos 85 4.2.2. Modelo de la máquina en Stand-Still 4.2.3. Estimación de Rs 4.2.4. Estimación de σ , Ls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.5. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 y τr Conclusiones y Futuros Trabajos 95 Bibliografía 97 vii Índice de Figuras 1.1. Máquina de CC. Sentido de circulación de la corriente suministrada al rotor por medio de las escobillas. 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Máquina de CA. Estructura mecánica que resulta del motor de inducción trifásico del tipo jaula de ardilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. 4 5 Controlador PID con implementación antiwindup debido a las limitaciones del actuador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Anillos terminales y laminaciones de acero en el rotor de jaula de ardilla. . 8 1.5. Curva característica par-velocidad del motor de inducción. . . . . . . . . . 10 1.6. Máquina de inducción de seis fases simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Máquina de inducción de seis fases asimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8. Convertidor de potencia para la máquina de inducción de doble devanado trifásico independiente (Máquina asimétrica). . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Diagrama de bloques del control vectorial directo . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10. Diagrama de bloques del control vectorial indirecto . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. Diagrama Esquemático del Inversor de Cinco Fases. . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Conguraciones de la carga en el VSI de cinco fases para los distintos valores 1.9. del bit de estados Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α β xy . 2.3. Vectores de tensión en los planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4. Esquema de la Máquina de Inducción de Cinco Fases. . . . . . . . . . . . . 32 viii y 27 Índice de Figuras 2.5. Secuencias de fases para la máquina de cinco fases. (a) Secuencia de fase de los armónicos de orden orden (10n + 1). (b) Secuencia de fase de los armónicos de (10n + 9). (c) Secuencia de fase de los armónicos de orden (10n + 3). (d) Secuencia de fase de los armónicos de orden fase de los armónicos de orden 2.6. (5n). (10n + 7). (e) Secuencia de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de referencia de las variables del estátor resultantes de la transformación de Clark. α β y del rotor 34 α 0 β 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7. Circuito equivalente de la máquina de inducción de cinco fases. . . . . . . . 47 2.8. Sistema de referencia móvil 2.9. Circuito equivalente del modelo en el subespacio 2.10. Subespacio λs . d q dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dq . . . . . . . . . . . . . 48 51 empotrado en los vectores de ujo. (a) eje d alineado con (b) eje d alineado con λr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 alineado con el rotor de la máquina. . . . . . . . . 54 2.12. Modelo propuesto del rotor tipo jaula de ardilla. . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.11. Marco de referencia dq 2.13. Distribución del bobinado por fase para una máquina de bobinados concentrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Forma de onda de la corriente de fase a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Corrientes de estátor en la máquina de bobinados concentrados. 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Accionamiento electromecánico de cinco fases 3.2. Representación del accionamiento electromecánico en variables de fase y (α − β) 61 . . . . . . 3.1. ejes 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3. Diagrama del rebobinado del estátor de la máquina de cinco fases . . . . . 70 3.4. Esquema interno simplicado del SKS 21F B6U . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5. Codicador de posisión incremental acoplado al eje del motor a traves de correa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6. Placa MSK28335 3.7. Diagrama de bloques de la plataforma experimental de adaptación de señales 73 3.8. Componentes de la aparamenta de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.9. Esquemático del circuito adaptador se señal de tension del DC-Link . . . . 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Esquemático del circuito adaptador se señal de tension del DC-Link ix . . . . 72 76 Índice de Figuras 3.11. Esquematico del circuito adaptador de señal del codicador de cuadratura . 77 3.12. Circuito de la placa de adaptación de señales lado inferior . . . . . . . . . 78 3.13. Circuito de la placa de adaptación de señales lado superior . . . . . . . . . 79 4.1. Circuito equivalente de la máquina eléctrica asíncrona para prueba en vacío 82 4.2. Representasión gráca de las perdidas en función de la tensión aplicada . . 83 4.3. Circuito equivalente de la máquina eléctrica asíncrona para prueba de rotor bloqueado 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema del conexionado de la máquina multifásica de cinco fases propuesto para conseguir la operación de la misma en Stand-Still. 4.5. 84 Esquema vectorial de tensión en el plano el plano α β αβ . . . . . . . . . . (a) Vectores de tensión en resultantes del conexionado propuesto. (b) Vector resultante de la suma vectorial alineado con el eje α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Circuito equivalente de la máquina de cinco fases operando en Stand-Still. 4.7. Esquema vectorial de tensión en el plano el plano x y 87 xy . 89 89 (a) Vectores de tensión en resultantes del conexionado propuesto. (b) Vector resultante de la suma vectorial alineado con el eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.8. Esquema del ensayo DC para las máquinas multifásicas de cinco fases. . . . 92 4.9. Excitación propuesta para determinar la inductancia de corto circuito. . . . 93 x Índice de Tablas 2.1. Amplitudes y Secuencias de Fases de Armónicos en la máquina de Cinco Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Relación entre armónicos de espacio y armónicos de tiempo (×N 62 3.1. Resumen de las principales características del inversor de tensión seleccio- · Im ) . . . nado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1. Relación entre resistencia de fase y resistencia de medida . . . . . . . . . . 81 4.2. Parámetros obtenidos con las pruebas en vacío y rotor bloqueado . . . . . . 85 4.3. Parámetros obtenidos con el método Stand-Still 94 xi . . . . . . . . . . . . . . . Acrónimos y Símbolos Acrónimos DSP Digital Signal Proccesing, Procesador Digital de Señales. EV Electric Vehicle, Vehículo Eléctrico. FPGA Field Programmable Gate Array. HEV Hybrid Vehicle, Vehículo Híbrido. MMF Magneto Motive Force, Fuerza Magneto Motriz. PWM Pulse Width Modulation, Modulación por Ancho de Impulso. SVPWM VSI Space Vector PWM. Voltage Source Inverter, Inversor de Voltaje. Símbolos [λr ] Matriz de Flujos en el Rotor de la Máquina. [λs ] Matriz de Flujos en el Estátor de la Máquina. [A] Matriz de Estado del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado. [B] Matriz de Entrada Directa del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado. [C] Matriz de Salida del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado. [In ] Matriz Identidad de orden n. xii Acrónimos y Símbolos [ir ] Matriz de Corrientes de Fase en el Rotor de la Máquina. [is ] Matriz de Corrientes de Fase en el Estátor de la Máquina. [Lrr ] Matriz de Inductancia del Bobinado de Fase del Rotor de la Máquina. [Lrs (θ)] Matrices Inductancia Mútua entre los Bobinados de Fase del Rotor y Estátor de la Máquina. [Lsr (θ)] Matriz Inductancia Mútua entre los Bobinados de Fase del Estátor y Rotor de la Máquina. [Lss ] Matriz de Inductancia del Bobinado de Fase del Estátor de la Máquina. [TC ] Matriz de Transformación de Clark. [Tr (θ)] Matriz de Tranformación de Rotación. [u] Vector de Entrada del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado. [vr ] Matriz de Tensiones de Fase en el Rotor de la Máquina. [vs ] Matriz de Tensiones de Fase en el Estátor de la Máquina. [x] Vector de Estado del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado. [y] Vector de Salida del Modelo de la Máquina en el Espacio de Estado. α β Primer Plano Ortogonal de Proyeccion de los Vectores de Espacio. λir Flujo en el Rotor de la fase λis Flujo en el Estátor de la fase ωa Pulsación Angular del Marco de Referencia Móbil Adoptado. ωm Velocidad Angular Mecánica del Rotor de la Máquina. ωr Pulsación Angular Eléctrica del Rotor de la Máquina. ωsl Pulsación Angular de Deslizamiento de la Máquina. i de la Máquina. i de la Máquina. xiii Acrónimos y Símbolos θ Coordenada del Rotor dada por el Angulo del eje ar con el marco de referencia en el eje as. θa Coordenada del eje d dado por el Angulo con el eje as. Bm Coeciente de Friccion de la Máquina. d q Plano de Proyeccion del Marco de Referencia General. iir Corriente de Rotor de Fase iis Corriente de Estátor de Fase j Unidad imaginaria. Jm Coeciente de Inercia Rotacional vista desde el Eje de la Máquina. kw Factor de Bobinado de la Máquina. Llr Inductancia de Dispersión del Bobinado de Fase del Rotor de la Máquina. Lls Inductancia de Dispersión del Bobinado de Fase del Estátor de la Máquina. Lmrs Inductancia Mutua del Estátor acoplada en el Rotor. Lmr Inductancia de Mutua entre los Bobinados de Fase del Rotor de la Máquina. Lmsr Inductancia Mutua del Rotor acoplada en el Estátor. Lms Inductancia de Mutua entre los Bobinados de Fase del Estátor de la Máquina. Lr Inductancia Transformada de los Bobinados de Rotor en el Subespacio Ls Inductancia Transformada de los Bobinados de Estátor en el Subespacio M Inductancia Mutua Transformada de Acomplamiento EstátorRotor en el Subespacio i de la Máquina. i de la Máquina. dq . Nr Número de Espiras del Bobinado del Rotor. Ns Número de Espiras del Bobinado del Estátor. xiv d q . dq . Acrónimos y Símbolos P Número de Pares de Polos Magnéticos de la Máquina. p Operador Rr Resistencia del Bobinado del Rotor de la Máquina. Rs Resistencia del Bobinado del Estátor de la Máquina. Si Estado Binario de la Rama TL Torque de Carga aplicado al eje de la Máquina. Te Torque Electromagnético producido por la Máquina. vij Tensión de Línea del Inversor. vin Tensión de la Fase vis Tensión de Fase de la Rama Vn Tensión Máximo del Armónico de orden vsn Tensión del Neutro del Conexionado respecto al Nodo Wco Energía Coercitiva Magnética. xy Segundo Plano Ortogonal de Proyeccion de los Vectores de Espacio. z Tercer Plano Ortogonal de Proyeccion de los Vectores de Espacio. d , derivada respecto al tiempo. dt i i del Inversor. del Inversor respecto a i n. del Inversor. xv n. n. Introducción Las máquinas rotativas polifásicas han sido analizadas y estudiadas desde nales de 1960, aunque sólo recientemente el interés en este tipo de actuadores ha crecido notablemente como sustituto de los sistemas electromecánicos trifásicos convencionales, hasta el punto de que en algunos congresos internacionales sobre electrónica de potencia se han incorporado sesiones dedicadas en exclusividad a este tipo de máquinas eléctricas [1]. Las causas de este interés creciente se debe, por un lado, al desarrollo de modernos sistemas electrónicos digitales (como DSPs y FPGAs), que permiten implementar técnicas de control válidas para este tipo de sistemas (poco convencionales y complejos) y, por otro, a las importantes ventajas que las máquinas polifásicas ofrecen respecto a otros dispositivos más habituales (máquinas de inducción trifásica) en aplicaciones de elevada potencia, que permite dar respuesta a problemas técnicos asociados a las soluciones convencionales, entre las que se puede citar: La reducción de pulsos del par electromagnético en máquinas alimentadas por convertidores de potencia, La disminución del contenido de armónicos de la corriente del bus de continua en el inversor, El aumento de la abilidad del motor, que podría operar incluso en caso de pérdida de una o más ramas del inversor, generando un menor par, pero impidiendo la parada total del equipo, Evitar la utilización de convertidores de potencia con interruptores en paralelo para soportar las elevadas corrientes de fase, según la aplicación en la que se utiliza, 1 Introducción Posibilidad de incrementar la relación de torque por ampere para el mismo volumen de máquina, Posibilidad variar la velocidad modicando el número de pares de polos de la máquina, manteniendo constante la frecuencia de alimentación, Por estas razones desde nales de la década de los 90, las máquinas multifásicas, aquellas que tienen un número de fases mayor que tres, se han convertido en una seria alternativa frente a su contraparte trifásicas en ciertas aplicaciones, debido a las ventajas intrínsecas que éstas ofrecen, como la tolerancia a fallas o la división de la potencia en un número mayor de fases lo que hace adecuado su uso en aplicaciones en las cuales la máquina es alimentada por baterías. Las ventajas citadas hacen de las máquinas multifásicas una elección interesante, o cuando menos a considerar, en sistemas de propulsión eléctrica. El objetivo de este trabajo consiste en evaluar técnicas de estimación de parámetros de máquinas eléctricas multifásicas para su aplicación al control orientado a modelo de las mismas. El capítulo inicial de este trabajo se presenta un breve estado del arte de las máquinas eléctricas, para luego analizar desde un punto de vista teórico los modelos de las máquinas multifásicas. A continuación se muestran métodos de estimación de parámetros de máquinas eléctricas rotativas. Finalmente, se presentan los modelos de simulación y los resultados obtenidos mediante pruebas en la bancada de ensayos, para elaborar las conclusiones del trabajo y describir futuras líneas que permitan plantear tareas para el desarrollo de una Tesis Doctoral. 2 Capítulo 1 La Máquina de Inducción El motor de inducción ha sido y continuará siendo uno de los motores eléctricos más utilizado en diversas áreas debido a sus prestaciones y bajo costo de mantenimiento, por ello el desarrollo de estos motores y sus respectivos actuadores ha sido motivo de estudio durante las últimas décadas. Los métodos de control han evolucionado enormemente pasando desde la conexión y desconexión directa de energía, pasando por el típico control de tensión-frecuencia, llegando hoy en día a técnicas de control del tipo vectorial como el control de campo orientado directo e indirecto o el control directo de par. Estos avances en los controladores, han reproducido, en buena medida, el comportamiento dinámico de los controles utilizados en las máquinas de corriente continua[3]. En este capítulo se presenta brevemente dos tipos de maquinas eléctricas; la de corriente continua (CC), y la de corriente alterna (CA). Se realizará una breve introducción de las máquinas de inducción, para luego justicar el uso de las maquinas de inducción polifásica, describiendo las ventajas de este tipo de máquinas frente a las convencionales. 1.1. Tipos de Máquinas En general las máquinas eléctricas pueden clasicarse en dos grandes grupos, Las máquinas de corriente alterna (Máquinas de CA), y las máquinas de corriente continua (Máquinas de CC). En la máquina de CC, el par se genera cuando las corrientes que atraviesan el rótor de la máquina interactúan con un campo magnético que se origina en estátor. La magnitud del par es proporcional a la corriente y a la densidad del ujo magnético, el control del par puede ser efectuado variando cualquiera del los dos parámetros 3 Capítulo 1. La Máquina de Inducción Figura 1.1: Máquina de CC. Sentido de circulación de la corriente suministrada al rotor por medio de las escobillas. anteriormente citados. La eciencia del control depende entre otras cosas del rendimiento de los drivers de potencia, y tiene que ver con la capacidad de proporcionar corriente necesaria, y así mismo del ancho de banda que hace referencia a la capacidad del dispositivo de responder a cambios bruscos de esfuerzos de control en regimenes transitorios. La gura 1.1, muestra el sentido de circulación de la corriente continua suministrada al rótor por medio de las .escobillas"generalmente fabricadas de carbón. Cuando una bobina por la que uye corriente continua es colocada bajo la inuencia de un campo magnético que puede ser producido por imanes permanentes jos al estator, se induce sobre la bobina una fuerza que es perpendicular a las líneas de campo magnético y al sentido del ujo de la corriente. Para que el rótor gire es necesario que el ujo de la corriente en las bobinas opuestas del rotor sea también opuesto. Esto se realiza mediante un conmutador mecánico que invierte la dirección del ujo de corriente en las bobinas [3]. Las variaciones en el ujo de las corrientes generalmente requieren una bobina de compensación, para permitir una conmutación suave dentro de un intervalo de tiempo variable, y además para eliminar los efectos indeseados debido a la conmutación mecánica de las escobillas. Una ventaja de este tipo de máquinas frente a las máquinas de CA es el desacoplo dinámico entre el par y el ujo. Sin embargo, la complejidad en su estructura interna ocasiona un aumento en el costo de fabricación y en el mantenimiento 4 Capítulo 1. La Máquina de Inducción Figura 1.2: Máquina de CA. Estructura mecánica que resulta del motor de inducción trifásico del tipo jaula de ardilla. principalmente por poseer contactos mecánicos, por lo que este tipo de maquinas han sido lentamente remplazada por las máquinas de corriente alterna. Las máquinas de CA son de construcción mucho más simples que las máquinas de CC. Para permitir el giro del rótor de la máquina de CA, el conmutador como pieza mecánica de la máquina de la maquina de CC, es sustituido por los interruptores externos, electrónicamente conmutados (Inversores). Estos, a diferencia de las máquinas de CC, necesitan de convertidores de energía, donde la tensión de alimentación de la fuente se convierte de continua a alterna, la tensión es inyectada a en bornas del estátor e inducida desde las bobinas del estátor hacia el rótor generando un campo magnético rotatorio, de esta manera se logra eliminar los contactos físicos lo cual reduce en gran medida los costos de fabricación y mantenimiento [3]. La 1.2 muestra la estructura mecánica que resulta de la máquina de inducción del tipo jaula de ardilla, la fabricación de este tipo de máquinas resulta más rentable y robusta que la máquina de CC debido a la generación del campo magnético rotativo que produce el par. Es importante observar que, contrariamente a las máquinas de CC, la reacción mutua entre el estátor y el campo del rótor no necesita ser compensada. Esto es debido 5 Capítulo 1. La Máquina de Inducción Figura 1.3: Controlador PID con implementación antiwindup debido a las limitaciones del actuador. esencialmente a que las distribuciones espaciales del campo son sinusoidales. La superposición de dos ondas sinusoidales de igual longitud de onda produce una onda compuesta que tiene la misma longitud de onda, aunque no necesariamente de la misma magnitud y fase. Esta composición de ondas genera un campo que a su vez produce tensiones sinusoidales inducidas. Esto permite al bobinado de la máquina manejar corrientes y tensiones polifásicas. El principal inconveniente de las máquinas de inducción es la ausencia de una dinámica desacoplada donde el par motor y el ujo sean variables independientes entre sí, lo que conlleva la búsqueda de estrategias de desacoplo del par y del ujo. Sin embargo, la simplicidad constructiva de la máquina de inducción y la robustez es una clara ventaja comparativa frente a los motores de corriente continua. Esto motivó en las ultimas décadas la investigación de estrategias de control para maquinas de CA[3][4]. El esquema de control en lazo cerrado mas simple que puede ser implementado en el campo de control de maquinas de CC y CA, con algunas variantes es el controlador PID. El principio básico del PID es actuar sobre la variable a ser manipulada a través de una apropiada combinación de las tres acciones de control: proporcional (P), donde la acción de control es proporcional a la señal de error, la cual es la diferencia entre la entrada y la señal de realimentación; integral (I), donde la acción de control es proporcional a 6 Capítulo 1. La Máquina de Inducción la integral de la señal de error y la acción derivativa (D), donde la acción de control es proporcional a la derivada de la señal de error. En la gráca de la gura1.3 puede verse el diagrama de bloque de un control típico PID, donde se implementa además un ltro antiwindup, para contrarrestar los efectos del termino integrador, si se considera la saturación del actuador. 1.2. La Máquina de Inducción Las máquinas de inducción son sistemas dinámicos no lineales de alto-orden y de considerable complejidad. Esto amerita generalmente un análisis matemático riguroso para describir su respuesta dinámica. En general, en régimen transitorio se da lugar a distintas alinealidades. Por lo tanto, se requiere de un estudio mas detallado del principio de operación de la máquina en estas condiciones. El análisis del graco de ujo de una maquina de CA permite, entre otras cosas, visualizar el comportamiento dinámico de la máquina, y de esta manera comprender los procesos dinámicos internos y la interacción de estos procesos con los distintos parámetros externos. Las máquinas asíncronas o de inducción, están basadas en el accionamiento de una masa metálica por la acción de un campo giratorio. Están formados por dos armaduras: una ja, y otra móvil a los que también se les llama estátor y rótor respectivamente. El devanado del rotor, que conduce la corriente alterna que se produce por inducción desde el devanado del estator, consiste en conductores de cobre o aluminio devanados en un rotor de laminaciones de acero. Se instalan anillos terminales de cortocircuito en ambos extremos formando el rótor conocido como jaula de ardilla 1.4, o bien en uno de los extremos en el caso del rótor bobinado. Los motores de inducción de rotor bobinado son menos utilizados, debido a su mayor costo y a que requieren mayor mantenimiento en comparación a los de jaula de ardilla. Al interactuar el campo magnético giratorio del estátor con el campo magnético giratorio originado por las corrientes que circulan en el rótor se produce el par eléctrico. Para generar el campo giratorio, la máquina de inducción se alimenta con corriente alterna en el estator. Este campo posee una amplitud constante en el tiempo, pero varía en el espacio. 7 Capítulo 1. La Máquina de Inducción Figura 1.4: Anillos terminales y laminaciones de acero en el rotor de jaula de ardilla. La velocidad de giro del campo magnético giratorio, está denida por la frecuencia de las corrientes inyectadas en el estator de la máquina. Las máquinas de inducción convencionales se construyen normalmente con tres devanados. Estos devanados se distribuyen en el interior de la máquina desfasados espacialmente 120◦ (para el caso de la maquina trifásica). En cada una de las tres bobinas, se inyectan corrientes alternas sinusoidales desfasadas unas de otras. Cada bobina produce un campo magnético estático en el espacio. La amplitud de este campo se encuentra en la dirección del eje magnético de la bobina y varía de forma sinusoidal en el tiempo. La combinación de los campos producidos por las tres corrientes desfasadas temporalmente circulando por las tres bobinas, se traduce en un campo magnético distribuido de forma sinusoidal en el espacio, que rota a la velocidad de variación de las corrientes en el tiempo. Puesto que el periodo o intervalo de tiempo de la variación sinusoidal de la corriente es el mismo en los conductores, la velocidad del campo magnético giratorio directamente con la frecuencia (P ), (f ), (ω), varía pero inversamente con el número de pares de polos ecuación 1.1. ω= 120.f 120.f = P 2.n Ya que el número de polos sólo depende de 8 n, (1.1) la velocidad es en realidad función de Capítulo 1. La Máquina de Inducción la frecuencia. En régimen permanente, los campos magnéticos del estator y del rotor giran a la velocidad síncrona, mientras que el rótor gira a una velocidad menor. 1.2.1. Deslizamiento En La Máquina De Inducción El deslizamiento de una máquina de inducción, se dene como la velocidad relativa entre el campo magnético producido por las corrientes inyectadas en el estátor y la velocidad mecánica del rotor, y se representa según la ecuación 1.2. S= Donde ωr ωe − ωr ωr =1− ωe ωe es la velocidad de giro del rótor, y ωe (1.2) es la velocidad con la que gira el campo magnético en el estátor. Si la máquina se encuentra detenida, la velocidad de giro del rotor es cero (ωr = 0), entonces el deslizamiento en esta condición es uno (S = 1). Cuando el rótor de la máquina gira a la velocidad del campo, el deslizamiento es cero (S = 0). En general, a la velocidad del campo se le denomina velocidad síncrona de la máquina, y el deslizamiento mide cuan cerca se encuentra la máquina de esta velocidad. Si el rótor de la máquina gira a una velocidad mayor que la sincrónica, el deslizamiento se hace negativo y la máquina funciona como generador. 1.2.2. Característica Par-Velocidad De La Máquina De Inducción En la gura 1.5 se muestra la curva característica par-velocidad la máquina de inducción. La información que proporciona esta curva se resume a continuación: El par inducido del motor es cero a la velocidad síncrona. La curva par-velocidad es aproximadamente lineal entre vacío y plena carga; ya que cuando crece el deslizamiento, crecen linealmente la corriente del rotor, el campo magnético del rotor y el par inducido. 9 Capítulo 1. La Máquina de Inducción Figura 1.5: Curva característica par-velocidad del motor de inducción. 1.2.3. Tendencias En El Diseño De Máquinas De Inducción La máquina de inducción moderna se construyó entre 1888 y 1895, cuando Tesla recibió la patente de sus ideas sobre los motores de inducción. Poco después se introdujo el rotor de jaula de ardilla, y hacia 1896 estuvieron disponibles en el mercado máquinas de inducción plenamente funcionales. Los esfuerzos de mejoras en el diseño en aquella época, y hasta 1970, estaban enfocados a disminuir el coste de fabricación: calidad de los aceros, técnicas de fundición, etc. Este enfoque se debió principalmente a que la energía eléctrica no era excesivamente costosa; por lo tanto, el criterio a seguir para adquirir un motor, era su costo directo. Desde el ascenso del costo de la energía eléctrica en 1973; el costo de operación de las máquinas ha sido cada vez más importante, por lo que el nuevo énfasis ha sido la mejora en la eciencia del motor. Para aumentar la eciencia de los motores se utilizan hoy en día técnicas enfocadas a reducir las pérdidas en el cobre, reducir la densidad de ujo magnético para disminuir las pérdidas en el núcleo, reducir la temperatura de operación utilizando más acero en el estator, reducir las corrientes parásitas, etc. Estas consideraciones de diseño de las máquinas de inducción, en conjunto con la investigación e implementación de técnicas de control, buscan actualmente mejorar la 10 Capítulo 1. La Máquina de Inducción eciencia y la respuesta dinámica de la máquina de CA. 1.3. Máquinas Polifásicas No Convencionales Las máquinas rotativas polifásicas han sido analizadas y estudiadas durante los últimos 30 años, aunque sólo recientemente el interés en este tipo de actuadores ha crecido notablemente como sustituto a los sistemas electromecánicos trifásicos convencionales, hasta el punto de que en algunos congresos internacionales sobre electrónica de potencia se han incorporado sesiones dedicadas en exclusividad a este tipo de máquinas eléctricas[1]. Las causas de este interés creciente se debe por un lado al desarrollo de modernos sistemas electrónicos digitales (como DSPs y FPGAs), que permiten implementar técnicas de control válidas para este tipo de sistemas (poco convencionales y complejos) y por otro a las importantes ventajas que las máquinas polifásicas ofrecen respecto a otros dispositivos más habituales (máquinas de inducción trifásica) en aplicaciones de elevada potencia, que permite dar respuesta a problemas técnicos asociados a las soluciones convencionales, tales como: Las corrientes de fase de la máquina alcanzan valores excesivamente elevados como para ser soportados por un único dispositivo electrónico de potencia, y las técnicas consistentes en colocar varios de estos dispositivos en paralelo resultan poco económicas y muy complicadas, como se indica en [5],[6]. La abilidad de la máquina debe ser elevada y esta debe operar incluso en el caso de pérdida de una o más ramas del inversor [7],[8] El contenido de armónicos de la corriente del DC-link que alimenta los inversores debe ser reducido para tener una capacidad del ltro de entrada más pequeña, especialmente cuando el inversor opera con formas de onda cuadrada [9] Obtener inversores de fuente de corriente (convertidores de potencia de tipo CSI) económicos, reduciendo el tamaño de los componentes reactivos y los picos de las tensiones de conmutación [10]. 11 Capítulo 1. La Máquina de Inducción Reducir los pulsos del par electromagnético en máquinas alimentadas por convertidores de potencia de tipo CSI o convertidores de potencia de fuente de tensión (de tipo VSI) operando en modo de generación de ondas de tensión cuadrada [11]. Cuando se debe mantener constante la frecuencia de alimentación, la solución polifásica permite variar la velocidad modicando el número de pares de polos de la máquina [12], [13]. En la actualidad, y en aplicaciones concretas en las que priman algunas de las características antes comentadas, el empleo de soluciones polifásicas empieza a justicarse frente a las soluciones convencionales basadas en las máquinas de inducción trifásicas. En concreto, una de las aplicaciones en las que más interés se está mostrando por los motores polifásicos es aquella en la que la corriente eléctrica del accionamiento electromecánico es muy elevada, como en propulsión naval, aérea o terrestre (locomotoras y, más recientemente, vehículos eléctricos), en los que la principal ventaja de las soluciones polifásicas frente a las convencionales pasa por la reducción efectiva de la corriente de fase, proporcionalmente al aumento del número de fases del accionamiento. De esta manera, se consigue una disminución efectiva de la corriente que circula por cada rama del inversor de potencia y por cada interruptor o semiconductor de potencia, si se compara con la que circularía por el equivalente en una solución trifásica convencional. El empleo de este nuevo tipo de accionamiento lleva implícito el aumento del número de interruptores de potencia que se necesita emplear, aunque ello no supone necesariamente un aumento proporcional en el coste del sistema respecto de una solución convencional. El coste de cada interruptor de potencia en la solución convencional es mucho más elevado (más del doble) que el de la solución polifásica (no existe una relación lineal entre el precio del interruptor de potencia y la corriente que admite éste en condiciones de trabajo normales, sino que dicha relación supone un incremento en el coste muy superior al incremento de prestaciones que ofrecen los interruptores), si bien es cierto que el coste y la complejidad del sistema completo están penalizados por la necesidad de emplear mayor número de sensores, circuitos de disparo, fuentes de alimentación y, en general, otros dispositivos electrónicos auxiliares. Desde el punto de vista del número de fases, las soluciones más tratadas en la literatura 12 Capítulo 1. La Máquina de Inducción son las siguientes: Cinco fases: maquinas de inducción [14] [15], [16]; maquina síncronas de rotor bobinado, maquinas síncronas de imanes permanentes, [17]; motores de reluctancia síncronos [18]. Seis fases: maquinas síncronas de rotor bobinado [19]; maquinas de inducción [6], [8], [11], [13], [20], [21], [22]. Siete fases: maquinas de reluctancia síncrona[23]. Nueve fases: maquina de inducción [24], [25]. 1.3.1. Desplazamiento Espacial De Las Fases En Máquinas Polifásicas Dado el numero de fase n de la máquina polifásica, si el desplazamiento espacial entre las bobinas del estator viene dado por 2.π/n, entonces la máquina es denominada comúnmente máquina simétrica, gura 1.6. Las máquinas polifásicas también pueden estar diseñadas por a binados de fase, separados por k puntos neutros, de k conguraciones estrellas formadas por a, [n = a*k, (a = 3, 4, 5, . . . ; k = 2, 3, 4, . . . )]. En este caso particular el desplazamiento espacial de las bobinas de dos fases consecutivas, no se mantiene igual como el caso de la máquina polifásica simétrica. Esto provoca una distribución asimétrica de los ejes magnéticos, de cada bobinado individual, en consecuencia este tipo de máquinas es denominada asimétrica, gura 1.7. Bajo este contexto las máquinas polifásicas que ofrecen buenas prestaciones son los accionamientos electromecánicos que se han venido a denominar máquinas hexafasica de doble devanado trifásico independiente y asimétrico, gura 1.8 Este tipo de máquinas eléctricas posee dos devanados trifásicos independientes, desfasados entre sí 30◦ eléctricos, con neutros aislados y accionados desde dos convertidores trifásicos diferentes (a = 3, k = 2). Las ventajas que aportan este tipo de accionamientos incluye las asociadas a las máquinas polifásicas antes mencionadas, pero añaden otra muy importante que es la posibilidad 13 Capítulo 1. La Máquina de Inducción Figura 1.6: Máquina de inducción de Figura 1.7: Máquina de inducción de seis fases simétrica seis fases asimétrica de utilizar todos los desarrollos hardware y software existentes para los accionamientos trifásicos convencionales (sistemas microprocesadores con periféricos especiales para el control de convertidores de potencia trifásicos, convertidores de potencia convencionales, semiconductores y dispositivos electrónicos especiales para el control y disparo de interruptores de potencia incluidos en convertidores comerciales, etc). El principal inconveniente que presenta estos accionamientos se asocia con la generación de ciertos armónicos en corriente que aparecen, debido a la baja impedancia efectiva que ofrecen las fases. En las máquinas de doble devanado trifásico independiente, estos armónicos no afectan al par (no generan un par pulsante), aunque contribuyen al aumento de las pérdidas en la propia máquina y pueden provocar el deterioro prematuro del mismo. Para evitar estos problemas y fomentar el uso de los accionamientos polifásicos, es necesario analizar los armónicos producidos y estudiar técnicas de modulación que limiten la generación de corrientes armónicas en el estator así como estrategias de limitación de dichos armónicos basadas en ltros activos y pasivos. 14 Capítulo 1. La Máquina de Inducción Figura 1.8: Convertidor de potencia para la máquina de inducción de doble devanado trifásico independiente (Máquina asimétrica). 1.4. Dispositivos De Control Y Convertidores Para Máquinas De Inducción Con el desarrollo de las nuevas tecnologías tenemos a nuestra disposición microprocesadores DSPs y FPGAs, cada vez más rápidos y relativamente más baratos. Por otra parte, los componentes electrónicos de potencia, también han tenido un avance vertiginoso en los últimos tiempos en lo referente a capacidad de corriente que pueden soportar y ancho de banda. Hoy en día los accionamientos eléctricos de corriente alterna y convertidores ya resultan en la mayoría de los casos más ventajosos que los accionamientos de corriente continua., sobre todo si tenemos en cuenta consideraciones tales como la relación potencia / peso, 15 Capítulo 1. La Máquina de Inducción aceleración, mantenimiento, ambiente de operación, velocidad de trabajo, etc. Su menor coste y mayor robustez, son frecuentemente las razones para escoger los accionamientos basados en máquinas de inducción. La fuerte tendencia en el desarrollo, que la electrónica de potencia ha tenido con la aparición de semiconductores de altas prestaciones y bloqueo controlado (transistores de potencia, IGBTs, GTOs), que soslayan los problemas de conmutación forzada de los tiristores, ha permitido la posibilidad de aplicar técnicas de control basadas en modulación de ancho del pulso PWM que permite una mayor eciencia en cuanto a la regulación de sus valores de tensión, corriente y frecuencia de salida, con respuestas prácticamente instantáneas. De esta forma, los convertidores, que toman energía de la red y la transforman para aplicarla a la máquina, son cada vez más empleados en el control de este tipo de accionamiento, constituyendo el conjunto convertidor-máquina, ventajas de bajo costo de mantenimiento y tamaño compacto. 1.5. Estrategias De Control En Máquinas De Inducción Las características citadas en los apartados anteriores sobre las máquinas polifásicas referentes a la abilidad y robustez, junto con la indudable importancia de este tipo de accionamientos en la industria y en aplicaciones donde se requieren elevada potencia, han motivado un importante esfuerzo investigador en lo referente a algoritmos de control en estos últimos años. Un campo muy activo recientemente ha sido la aplicación de técnicas de control no lineal, para intentar conseguir controles de altas prestaciones. En la literatura se encuentra incluso estudios comparativos entre varias técnicas de control no lineal aplicado a la máquina de inducción y se aporta soluciones para su implantación práctica en tiempo discreto[26]. Una de las primeras técnicas de control no lineal aplicada a la máquina de inducción es la linealización entrada-salida. Esta técnica se basa en la aplicación de una realimentación no lineal para transformar el sistema original en un sistema lineal que puede ser controlado mediante técnicas de control clásicas. Sin embargo, en las ecuaciones de la realimentación no lineal intervienen tanto los parámetros de la máquina como sus variables de estado y 16 Capítulo 1. La Máquina de Inducción éstas varían incluso en régimen permanente. Recuérdese que estas variables son magnitudes sinusoidales de frecuencia igual a la de la alimentación de la máquina. Como dicha realimentación no lineal permanece constante durante todo el periodo de muestreo, la cancelación de las no linealidades del sistema deja de ser válida y con ello la aplicación del controlador se ve limitado principalmente por la variación de los parámetros de la máquina. Teniendo en cuenta lo anterior, en algunos artículos se plantea un método alternativo consistente en la aplicación del controlador mediante linealización entrada-salida modelando la máquina de inducción en ejes de ujo de rotor. En este sistema de referencia las variables de estado de la máquina son magnitudes continuas en régimen permanente y el resultado de la transformación no lineal no cambia excesivamente durante el periodo de muestreo. Por tanto, es previsible que el error producido sea mucho menor en la implantación en tiempo discreto. Existen además otros métodos tradicionales para el control de velocidad de las máquinas de inducción, entre ellos podemos citar los controladores vectoriales, directo e indirecto. Estos métodos ofrecen unas prestaciones excelentes al permitir el control independiente del par y el ujo. El control vectorial da lugar a la aparición de una analogía entre la máquina de corriente alterna y corriente continua con excitación independiente. Los problemas de estabilidad de la máquina de corriente alterna desaparecen, la generación del par se hace lineal y la respuesta dinámica se hace tan rápida como la máquina de corriente continua[27]. 1.5.1. El Control Vectorial Directo O Control Directo Del Par En el control vectorial directo el ángulo necesario para el desacoplo del par y el ujo se obtiene por estimación o medida del ujo (precisa por tanto, de una mayor necesidad de cálculo que el control vectorial indirecto, y de la medida mediante sensores de ujo, lo que resulta no habitual por ser excesivamente costoso, aunque proporciona unas mejores prestaciones dinámicas que el control vectorial indirecto)[27]. La idea básica del control directo del par es calcular los valores instantáneos del par y del ujo a partir de las variables del estátor de la máquina. El par y el ujo se controlan 17 Capítulo 1. La Máquina de Inducción directamente y de forma independiente mediante la selección óptima de los estados de conmutación del inversor limitando los errores del ujo y del par mediante controladores histéresis. Figura 1.9: Diagrama de bloques del control vectorial directo En la gura 1.9 se muestra el diagrama de bloque básico del control directo del par. El par de la máquina se controla efectivamente con la rotación del vector del ujo del estator utilizando estados de conmutación adecuados. Al mismo tiempo, se controla la magnitud del vector de ujo del estátor, con la utilización de los estados de conmutación del inversor. Este valor se puede cambiar según los requisitos de la consigna de ujo. Como se muestra en la gura 1.9, los valores calculados del par y del ujo se comparan con sus consignas, y los errores entran en los controladores de histéresis. La salida de estos módulos de histéresis se aplica a la tabla de conmutación que elige los estados posibles del vector espacial de tensión del inversor, para reproducir la referencia. 1.5.2. El Control Vectorial Indirecto En el control vectorial indirecto el ángulo necesario para el desacoplo del par y el ujo se obtiene mediante una estimación del deslizamiento, el objetivo es hacer que la componente de par y del ujo del rótor sea cero, para ello se calcula la velocidad de 18 Capítulo 1. La Máquina de Inducción deslizamiento que anula al termino del ujo. Una vez estimado el ángulo el deslizamiento se suma con el ángulo del rótor para determinar el ángulo eléctrico[27]. En la gura 1.10 puede observarse un diagrama de bloque del control vectorial indirecto. Figura 1.10: Diagrama de bloques del control vectorial indirecto En la actualidad, se están desarrollando nuevas técnicas de control de velocidad para máquinas convencionales que buscan simplicar la estrategia de control sin causar un perjuicio excesivo al comportamiento dinámico del sistema (como el denominado control directo de par, en el que se estima el ujo y el par para implementar un control directo de ambas variables) o minimizar el número de sensores en el sistema (técnicas denominadas sensorless y que básicamente buscan eliminar el encoder acoplado en el eje del sistema que es el componente de medida más costoso asociado a los accionamientos electromecánicos. Sin embargo, en la mayoría de los casos, su utilización no se realiza en la zona de máximas prestaciones ya que se manejan generalmente cargas y velocidades reducidas y variables, provocando que su rendimiento se reduzca considerablemente y consuman mayor energía que la requerida. 19 Capítulo 2 Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases 2.1. Introducción a las Máquinas Multifásicas El uso de convertidores electrónicos de potencia para el control de máquinas eléctricas en las distintas aplicaciones en las que sean requeridas se ha convertido en una constante tecnológica. Los convertidores cumplen también una función de desacople entre la máquina y el tradicional sistema trifásico de distribución o fuentes alternativas a éste que pudieran ser incluso de corriente continua, como es el caso de las baterías. Su versatilidad hace posible que el número de fases del sistema que alimenta la máquina eléctrica no esté estrictamente limitado a tres y pueda ser extendido con una simple adición de ramas a la topología utilizada. La aparición, desarrollo e industrialización de estas ha favorecido la aparición de una nueva línea de investigación relacionada con los accionamientos y convertidores multifásicos. Los primeros estudios publicados sobre las máquinas multifásicas (número de fases mayor a 3) datan de 1969. En aquel entonces, el principal problema de los motores de inducción de tres fases alimentados por los dispositivos electrónicos de conmutación existentes era la uctuación del par en el eje de la máquina, a una frecuencia seis veces superior a la frecuencia fundamental del inversor. Para aplicaciones en las cuales esta uctuación superaba los límites tolerados, el inversor era diseñado para operar con una estrategia de modulación de tipo Pulse Width Modulation (PWM) a una alta frecuencia 20 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases de conmutación, para mitigar la uctuación que se producía en el par de la máquina y conseguir así el correcto desempeño del sistema. Alternativamente, surgió como opción experimental la reducción del efecto de pulsación del par por medio del aumento del número de fases del motor. Los resultados experimentales demostraron que la frecuencia de pulsación del par, con un motor de inducción de cinco fases es aproximadamente un tercio de la producida por un motor equivalente de tres fases alimentado con el mismo inversor y a la misma frecuencia fundamental [15]. El interés y estudio de los motores multifásicos tuvo desde entonces una limitada atención debido al aumento en el número de variables a controlar y a su mayor complejidad y experimentó una acelerarción desde la década de los 90. No fue hasta inicios de este último siglo cuando las máquinas multifásicas se convirtien en uno de los principales focos de la comunidad cientíca dedicada a las máquinas eléctricas. Este fénomeno fue el resultado del desarrollo de tres aplicaciones especícas: propulsión eléctrica de navios (allelectric ships), tracción (abarca a los vehículos tanto hibridos como eléctricos y locomotoras), y el concepto de more-electric aircraft, que busca la sustitución de los tradicionales sistemas auxiliares mecánicos, neumáticos e hidraúlicos en aviones por sistemas eléctricos, electromecánicos o electrohidraúlicos [29]. El motivo principal de la elección de máquinas multifásicas en estas aplicaciones se basa en las ventajas que ofrecen comparadas a las más habituales de tres fases [1]: 1. La exitación del estátor en una máquina multifásica produce un campo con bajo contenido de armónicos y con mayor eciencia que la conseguida en una máquina de tres fases. 2. Las máquinas multifásicas poseen una mayor tolerancia a fallos que las de tres fases. Si se pierde una de las fases en una máquina de tres fases, la máquina se convierte en una máquina monofásica. Podría continuar operando pero necesitaría de algún medio externo para su arranque, así como una modicación de la topología del convertidor. En estas condiciones operaría a una potencia muy por debajo de la nominal. Sin embargo, cuando se pierde una fase en una máquina multifásica, ésta 21 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases podría arrancar por sí misma y seguir operando, pero también a una potencia menor que la nominal (aunque no tan devaluada como en el caso de las máquinas de tres fases). 3. Las máquinas multifásicas son menos susceptibles, que las de tres fases, a las componentes armónicas en la forma de onda de la excitación. Independientemente del número de fases de la máquina, estas componentes producen un par pulsante a un múltiplo par de la frecuencia fundamental de excitación. La menor frecuencia de pulsación del par en una máquina de n -fases es causada por el armónico de orden 2n ± 1 inyectado por la fuente de alimentación. Las máquinas multifásicas con debanados concentrados pueden producir par con inyección de armónicos, lo que permite un mayor aprovechamiento del campo en el entrehierro; obteniendose un mayor rendimiento energético. 4. Mejor distribución de potencia através de un mayor número de fases, lo que hace posible un menor deterioro de los convertidores que la alimentan. Las máquinas de tres fases son hoy día la elección más común en las aplicaciones descritas con anterioridad debido a su producción masiva, así como la de los convertidores que utilizan, lo que favorece su bajo coste y la existencia de una gran cantidad de unidades normalizadas ofertadas por los distintos fabricantes. Esta situación es predecible que persista en el futuro cercano [29]. A pesar de esto existe un aumento en el interés de las máquinas multifásicas por las razones antes comentadas. La mejora en el contenido de armónicos del campo de fuerza magnetomotriz (MMF) produce una reducción en el ruido emitido por las máquinas multifásicas, generando una mayor eciencia y la posibilidad de mejora del aprovechamiento del campo en el entrehierro con la inyección de armónicos cuando se dispone de accionamientos con debanados concentrados. Además, como sólo se necesitan dos grados de libertad para generar el campo, sin importar el número de fases de la máquina, los grados de libertad remanentes pueden ser destinados para otros propósitos, como el control multifásico multimotor [29]. 22 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases En el item 3 se denota que la frecuencia de pulsación del par es 2n veces mayor que la frecuencia fundamental del inversor. Esta propiedad se utilizó en [15] para plantear una solución alternativa al aumento de la frecuencia fundamental del inversor, con el propósito de mitigar la uctuación del par. Esta característica de las máquinas multifásicas fue la principal promotora del esfuerzo puesto en el desarrollo de las máquinas de cinco y seis fases [10][32], para aplicaciones donde se requiere el uso de convertidores electrónicos de potencia y una baja uctuación del par en el eje de la máquina. Esta mejora conseguida con el uso de las máquinas multifásicas respecto a las de tres fases tiene, sin embargo, una menor relevancia hoy en día gracias al desarrollo de la modulación PWM en inversores de voltaje (VSI), que permite el control del contenido de armónicos entregado a la carga. Cabe también resaltar que, por medio del incremento del número de fases, se consigue una mejor distribución de potencia entre las mismas. Es posible reducir la corriente por fase sin necesidad de aumentar la tensión de la fuente para una determinada potencia. Esta característica le brinda amplias ventajas a las máquinas multifásicas, en aplicaciones de baja tensión, como las son aquellas en las que las máquinas son alimentadas por baterías [33]. Un ejemplo más destacado de estas aplicaciones son los sistemas de propulsión, tanto en vehículos eléctricos (EVs) como en vehículos híbridos (HEVs). Por otro lado, el desarrollo de modernos sistemas electrónicos digitales, como DSPs y FPGAs, que permiten la implementación de las complejas estrategias de control requeridas por las máquinas hacen posible también este creciente interés, traducido en la creación de sesiones dedicadas al tema en importantes congresos mundiales de electrónica de potencia. En la literatura se pueden encontrar estudios con el objetivo de controlar y generar una salida sinusoidal utilizando modulación Space Vector PWM (SVPWM) para cinco, siete, nueve y seis fases. Especícamente las máquinas de cinco y seis fases asimétricas de doble debanadado trifásico con neutros independientes, son las más estudiadas. Las características especiales de las máquinas multifásicas hacen que su uso esté restringido a aplicaciones en las que, por alguna razón, las máquinas de tres fases no satisfacen 23 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases las especicaciones o cuyo diseño no se encuentre disponible. 2.2. Modelado y funcionamiento del inversor de cinco ramas Esta sección describe el modelo y modo de funcionamiento de los inversores (VSI) de cinco ramas (cinco fases) y dos niveles. El modelo será de utilidad para el control de la máquina y permite demostrar algunas de las ventajas de los accionamientos de cinco fases. Inicialmente se obtendrá un modelo escalar del VSI para luego deducir el modelo vectorial, basado en los vectores de espacio, que es de mayor interés en el desarrollo de este trabajo. 2.2.1. Modelo escalar del VSI En la Fig. 2.1 se muestra el esquema básico del inversor de cinco fases y dos niveles, compuesto de diez interruptores de potencia, un par por cada rama del inversor, alimentado por una fuente de corriente continua de tensión Vdc como DCLink, y cuya salida alimentaría a su vez a una carga balanceada pentafásica, es eminentemente del tipo inductivo. Para este estudio se asume, además, que la carga alimentada por el inversor es siempre balanceada. Para evitar cortocircuitos en el DCLink sólo un interruptor electrónico por rama puede estar activado. Por tanto, los interruptores de cada rama poseen estados complementarios en todo instante. Para simplicar el análisis, se considerará como ideales a los interruptores electrónicos. Con estas suposiciones, el inversor es capaz de entregar a la carga sólo dos niveles de tensión respecto al nodo DC-Link Vdc o 0, n del según el estado de la rama. El número de estados posible del inversor será de 25 = 32, siendo posible denir los di- ferentes estados del inversor por medio de una codicación binaria de cada rama del inversor. Así, si cada estado del inversor está representado por el vector donde Si ∈ {0, 1}, cuando el estado de una determinada rama 24 Si [Sa , Sb , Sc , Sd , Se ]T , es igual a 1 implica que Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.1: Diagrama Esquemático del Inversor de Cinco Fases. el interruptor superior de la rama se encuentra activado (interruptor inferior desactivado) y la tensión vin de la rama sea de esa rama con respecto a 0, n es Vdc . Contrariamente, cuando el estado el interruptor de la rama inferior se encuentra activado (interruptor superior desactivado) y la tensión vin de la rama respecto a n es 0. Entonces podemos expresar las tensiones de cada rama según las siguientes ecuaciones: donde van , vbn , vcn , vdn , ven Sa , Sb , Sc , Sd , Se van = Sa · Vdc (2.1) vbn = Sb · Vdc (2.2) vcn = Sc · Vdc (2.3) vdn = Sd · Vdc (2.4) ven = Se · Vdc (2.5) son las tensiones de cada rama respecto al nodo n y son los estados de cada rama del inversor. Necesitamos, para determinar el modelo del inversor de cinco fases, deducir la expresión matemática de las tensiones de fase vis de cada rama. Teniendo en cuenta que estas tensiones de fase son: vas = van − vsn 25 (2.6) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases donde vas , vbs , vcs , vds , ves vbs = vbn − vsn (2.7) vcs = vcn − vsn (2.8) vds = vdn − vsn (2.9) ves = ven − vsn (2.10) vsn son las tensiones de fase y conexionado con respecto al nodo es la tensión del neutro del n. P Y suponiendo el sistemas equilibrado y balanceado ( vis = 0), sumando miembro a miembro (2.6)(2.10) se llega hasta la expresión: vsn = van + vbn + vcn + vdn + ven 5 (2.11) Reemplazando (2.11) en (2.6)(2.10) se obtiene: vas = 1 4 · van − · (vbn + vcn + vdn + ven ) 5 5 4 1 · vbn − · (van + vcn + vdn + ven ) 5 5 4 1 vcs = · vcn − · (van + vbn + vdn + ven ) 5 5 4 1 vds = · vdn − · (van + vbn + vcn + ven ) 5 5 4 1 ves = · ven − · (van + vbn + vcn + vdn ) 5 5 vbs = (2.12) (2.13) (2.14) (2.15) (2.16) Finalmente, reemplazando (2.1)(2.5) en (2.12)(2.16) las expresiones de tensión de fase son: vas = vbs = vcs = vds = ves = 4 · Vdc 5 4 · Vdc 5 4 · Vdc 5 4 · Vdc 5 4 · Vdc 5 Vdc · (Sb + Sc + Sd + Se ) 5 Vdc · Sb − · (Sa + Sc + Sd + Se ) 5 Vdc · Sc − · (Sa + Sb + Sd + Se ) 5 Vdc · Sd − · (Sa + Sb + Sc + Se ) 5 Vdc · Se − · (Sa + Sb + Sc + Sd ) 5 · Sa − 26 (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.2: Conguraciones de la carga en el VSI de cinco fases para los distintos valores del bit de estados Si . Matricialmente (2.17)(2.21) puede expresarse como sigue: v as vbs V dc vcs = 5 vds vcs 4 −1 · −1 −1 −1 S −1 −1 −1 −1 a 4 −1 −1 −1 Sb −1 4 −1 −1 · Sc −1 −1 4 −1 Sd Se −1 −1 −1 4 (2.22) Esta última ecuación consiste en el modelo del inversor de cinco ramas, denido a partir del estado binario de sus ramas. Las conguraciones del conexionado de la carga para los distintos estados binarios del inversor se encuentran representadas en la Fig. 2.2, donde se identica a cada conguración según el número de ramas con estados 1 ó 0: {05}, {14}, {23}, {32} y {50}. Cuando todas las ramas tienen el mismo valor como bit de estado, conexionados {05} y {50}, las tensiones de fases son cero. En los demás casos, las distintas tensiones de fases posibles son: ± 4·V5dc , ± 3·V5dc , ± 2·V5dc y ± V5dc . 27 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases También se pueden denir las tensiones de línea del inversor vij (vis − vjs ; ∀i 6= j ), de manera matricial, por medio de la siguiente ecuación matricial: v 1 −1 0 0 0 v ab as vbc 0 1 −1 0 0 vbs vcd = 0 0 1 −1 0 · vcs vde 0 0 0 1 −1 vds vea −1 0 0 0 1 vcs (2.23) De esta manera, queda descrito el modelo escalar del inversor de cinco ramas y dos niveles. 2.2.2. Modelo vectorial del VSI El aumento del número de fases del VSI demanda también un aumento en la complejidad matemática del control del mismo. Como suponemos una carga equilibrada y balanceada, la primera simplicación a considerar es que el inversor posee 4 grados de libertad, es decir, se necesita del control de cuatro variables eléctricas para controlar completamente al sistema. Con el n de simplicar el modelo escalar y haciendo uso de lo expuesto en el párrafo anterior, si se considera la tensión de cada estado del inversor de cinco ramas como un vector en un espacio ortogonal de cinco dimensiones, el modelo escalar puede simplicarse y convertirse en un modelo vectorial al proyectar estos vectores sobre un plano apropiado. Los vectores de espacio del inversor se obtienen por sus proyecciones entres planos ortogonales (de aquí en adelante, planos αβ , xy y z ), por medio de la siguiente trans- formación invariante en potencia [34]: r ~vαβ = vsα + j · vsβ = 2 · (vas + vbs · ~a + vcs · ~a2 + vds · ~a3 + ves · ~a4 ) 5 (2.24) r 2 · (vas + vbs · ~a2 + vcs · ~a4 + vds · ~a + ves · ~a3 ) 5 1 vz = √ · (vas + vbs + vcs + vds + ves ) 5 ~vxy = vsx + j · vsy = 28 (2.25) (2.26) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.3: Vectores de tensión en los planos siendo ~a = ej·ϑ El plano z y ϑ= 2π 5 α β y x y . (rad). representa la componente homopolar del sistema, que por el conexionado de la máquina será nula para cualquier estado del inversor, por lo que conseguimos un modelo dependiente de cuatro variables o lo que es lo mismo, los cuatro grados de libertad que esperábamos, al simplicar el modelo. En la Fig.2.3 se muestran los vectores de tensión obtenidos en los planos α β y x y . Cada vector se encuentra indicado por medio del número decimal equivalente al código binario del estado de los interruptores del inversor. Matricialmente, la transformación (2.24)(2.26) equivale a la siguiente ecuación: v sα vsβ r 2 vsx = 5 vsy vsz 1 0 · 1 0 √1 2 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) v as sin(ϑ) sin(2ϑ) sin(3ϑ) sin(4ϑ) vbs cos(2ϑ) cos(4ϑ) cos(ϑ) cos(3ϑ) · vcs sin(2ϑ) sin(4ϑ) sin(ϑ) sin(3ϑ) vds √1 √1 √1 √1 vcs 2 2 2 2 (2.27) Entre las propiedades de la transformación descrita podemos citar: Las componentes 10n ± 1 (n = 0, 1, 2, 3, ...) 29 quedan mapeadas en el plano α β . Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Las componentes armónicas de orden en el plano 10n ± 3 (n = 0, 1, 2, 3, ...) quedan mapeadas x y . Las armónicas de orden 5n (n = 1, 2, 3, ...) quedan mapeadas en el plano z. Con la transformación analizada, y para el caso en que sólo la componente fundamental y los armónicos de su mismo subespacio produzcan potencia útil como sucede en las máquinas de cinco fases con bobinados distribuidos, la transformación de energìa se realiza exclusivamente en el plano αbeta; mientras que en el plano x y quedarán proyectadas las pérdidas que puedan existir en el sistema. Está propiedad es útil en el caso de las máquinas de bobinados distribuidos, las cuales verican el tipo de transformación de energía de la manera citada. 2.3. Modelo de la máquina de cinco fases En esta sección se deduce el modelo de las máquinas de inducción de cinco fases. El modelo de la máquina será utilizado en los distintos esquemas de control de velocidad que son evaluados en este trabajo. La complejidad del modelo será mayor que para las máquinas de tres fases por el incremento del número de fases. Primero, se describe el modelo físico de la máquina. A partir de la dicho modelo, aplicando la tranformación de Clark, se consigue simplicar la complejidad del sistema, quedando la máquina queda descrita en tres planos ortogonales. Toda la conversión electromagnética de la energía queda mapeada exclusivamente en uno de ellos si se trata de máquinas de bobinados distribuidos, anulándose además un plano con un apropiado conexionado del sistema por lo que en el plano restante quedarán mapeadas las pérdidas producidas al operar la máquina. Posteriormente, se deduce el modelo para un marco de referencia general, con lo que se puede conseguir una mayor simplicación del modelo de la máquina, alcanzando cierta analogía con el control de una máquina de corriente continua. 30 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Finalmente, se analiza el modelo de la máquina de bobinados concentrados, diseño que permite un mayor aprovechamiento del ujo magnético en el entrehierro de la máquina al generar conversión electromagnética de energía en dos planos, obteníendose así una mejora en el rendimiento del sistema. 2.3.1. 2.3.1.1. Máquinas con bobinados distribuidos Modelo en variables de fase El modelo en variables de fases de la máquina de inducción también es conocido como modelo físico. La máquina de inducción de cinco fases está construida por diez bobinas distribuidas sinusoidalmente por cada par de polos cilíndrica del estátor y desplazadas eléctricamente 72◦ (ϑ = P alrededor de la supercie 2π ) entre fases consecutivas 5 de un mismo polo. Un esquema representativo de la máquina descrita se muestra en la Fig. 2.4. El rotor de la máquina es del tipo jaula de ardilla cuyo comportamiento, para el modelo, se puede considerar equivalente al de cinco conductores bobinados desplazados eléctricamente 72◦ y conectados en paralelo entre si. Los bobinados del estátor, excitados por una fuente de tensión sinusoidal balanceada de cinco fases, producen un campo rotante de amplitud constante. El campo rotante provoca a su vez una reacción en el rotor, generando un par electromagnético neto. Las máquinas generalmente son alimentadas con inversores, con los cuales no es sencillo general una señal sinusoidal pura, generando, por tanto, componentes armónicas de tensión a la entrada de la máquina que crean, a su vez, armónicos de corriente en el sistema. El conexionado seleccionado elimina el quinto armónico, así como los de orden Sin embargo, los armónicos de orden n = 0, 1, 2, 3, ...) (10n + 1), (10n + 3), (10n + 7) y (10n + 9) 5n. (siendo aparecen con diferentes amplitudes y secuencias de fases. A partir de la transformada de Fourier de una señal cuadrada, con la que se alimenta la máquina desde el inversor, se demuestra que la amplitud de cada armónica respecto a la amplitud de la fundamental será inversamente proporcional al orden del armónico. Las distintas 31 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.4: Esquema de la Máquina de Inducción de Cinco Fases. secuencias dependen del orden del armónico, como se muestra en la Tabla 2.1 en la que el signo de la columna par (+ o −) o el valor nulo que aparece indica el signo del par generado por la armónica respecto a la fundamental. En la Fig. 2.5 se puede observar las distintas secuencias de fases que puede presentarse en la máquina alimentada por un inversor de cinco fases. Cuando los bobinados de estátor son conectados con secuencia de fase abcde (se- cuencia de la fundamental) los armónicos tienen el siguiente comportamiento: 1. Los armónicos de orden (10n + 1) producen reacción en el rotor y par positivo. 2. Los armónicos de orden (10n + 9) producen reacción en el rotor y par negativo. 3. Los armónicos de orden (10n + 3) y (10n + 7) no producen reacción en el rotor ni en el par. Para la deducción del modelo en función a las variables de fase se realizan las siguientes suposiciones: 32 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Tabla 2.1: Amplitudes y Secuencias de Fases de Armónicos en la máquina de Cinco Fases Orden de Armónico (n) Secuencia de Fase n Amplitud( V ) V Par 1 abcde 1 (+) 3 adbec 1 3 (0) 7 acebd 1 7 (0) 9 aedcb 1 9 (−) 11 abcde 1 11 (+) 13 adbec 1 13 (0) 17 acebd 1 17 (0) 19 aedcb 1 19 (−) 21 abcde 1 21 (+) 1 1. Los bobinados de la máquina son idénticos, se encuentran distribuidos sinusoidalmente, y el rotor, del tipo jaula, es equivalente a cinco bobinas. 2. La saturación magnética del campo, las inductancias mutuas debidas a inductancias de pérdidas, y las pérdidas en el núcleo por corrientes parásitas serán despreciadas. 3. El entrehierro de la máquina es considerado de dimensión constante. 4. No existen cambios de reluctancia dependientes a la posición del rotor. Bajo estas suposiciones, la máquina de inducción de cinco fases puede ser descrita por las siguientes ecuaciones matriciales de tensión referidas al estátor de la máquina [30]: [vs ] = [Rs ] · [is ] + p · [λs ] = [Rs ] · [is ] + p · ([λss ] + [λsr ]) (2.28) = [Rs ] · [is ] + p · ([Lss ] · [is ] + [Lsr (θ)] · [ir ]) [0] = [Rr ] · [ir ] + p · [λr ] = [Rr ] · [ir ] + p · ([λrr ] + [λrs ]) = [Rr ] · [ir ] + p · ([Lrr ] · [ir ] + [Lrs (θ)] · [is ]) 33 (2.29) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases (a) (b) (c) (d) (e) Figura 2.5: Secuencias de fases para la máquina de cinco fases. (a) Secuencia de fase de los armónicos de orden (10n + 1). (b) Secuencia de fase de los armónicos de orden (c) Secuencia de fase de los armónicos de orden armónicos de orden Siendo ωm θ (10n + 7). (10n + 3). (10n + 9). (d) Secuencia de fase de los (e) Secuencia de fase de los armónicos de orden (5n). la coordenada polar del rotor (eje ar ), que gira con una velocidad mecánica respecto al marco de referencia, el estátor (eje as ). A su vez, p= d es el operador dt derivada respecto al tiempo. Las siguientes deniciones son aplicadas a las matrices de tensión, corriente y ujo de fase (2.28)(2.29) referidos al estátor: [vs ] = [vas vbs vcs vds ves ]T [is ] = [ias ibs ics ids ies ]T [λs ] = [λas λbs λcs λds λes ]T 34 (2.30) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases [vr ] = [var vbr vcr vdr ver ]T [ir ] = [iar ibr icr idr ier ]T (2.31) [λr ] = [λar λbr λcr λdr λer ]T En el modelo todas las componentes de [vr ] son iguales a cero pues no existe ninguna fuente de excitación en el rotor. Los bobinados de estátor y rotor poseen Ns y Nr espiras, respectivamente, y la relación de transformación en el acoplamiento estátorrotor kw se dene según la relación: Ns Nr kw = (2.32) Las componentes de las variables de tensión, corriente y ujo del rotor referidas al estátor se obtienen a partir de las componentes reales [vr0 ], [i0r ] y [λ0r ], respectivamente, por un simple factor a partir de [35]: [ir ] = 1 · [i0r ]; [vr ] = kw · [vr0 ]; [λr ] = kw · [λ0r ] kw (2.33) Las matrices de resistencia del estátor y rotor se encuentran denidas por: R s Rs [Rs ] = Rs Rs Rs ; R r Rr [Rr ] = Rr Rr Rr = kw2 · Rr0 donde Rs y Rr0 Rr (2.34) (2.35) corresponden a las resistencias de los bobinados de estátor y rotor, respectivamente. Las matrices de inductancias en el estátor y rotor se denen según: 35 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases 1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) [Lss ] = Lls · [I5 ] + Lms · cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) [Lrr ] = Llr · [I5 ] + kw2 · Lmr · cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 cos(ϑ) cos(ϑ) cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) 1 (2.36) Llr = kw2 · L0lr (2.37) (2.38) cos(θ) cos(θ+4ϑ) [Lsr (θ)] = Lmsr · cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) cos(θ+ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ) cos(θ+ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ) cos(θ+ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) (2.39) cos(θ) cos(θ) cos(θ+ϑ) [Lrs (θ)] = Lmrs · cos(θ+2ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) cos(θ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) cos(θ) cos(θ+4ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) cos(θ) cos(θ+3ϑ) cos(θ+2ϑ) cos(θ+ϑ) Donde: 36 cos(θ+3ϑ) cos(θ+4ϑ) cos(θ) (2.40) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Lls L0lr : y Inductancias de fuga de los bobinados de fase del estátor y el rotor, respectivamente. Lms y Lmr : Inductancias mutuas entre bobinados de fases del estátor y entre bobinados de fase del rotor, respectivamente. Lmsr y Lmrs : Inductancias mutuas del rotor acoplada en el estátor y del estátor acoplada al rotor, respectivamente. [I5 ]: Matriz identidad de orden cinco. Las relaciones entre las inductancias mutuas debido a la simetría de la máquina y las deniciones de cada unas son [35]: Lmsr = Lmrs = Lms ; Lms = kw2 · Lmr (2.41) con lo que podemos concluir: [Lsr (θ)] = [Lrs (θ)]T El par electromagnético Te (2.42) expresado en función a las variables de fase se calcula a partir de la expresión de coenergía magnética de la máquina Wco [35]: ∂Wco ([is ], [ir ] Constantes) ∂θ d[L] P · [i] = · [i]T · 2 dθ [is ] [Lss ] [Lsr (θ)] [i] = ; [L] = [ir ] [Lrs (θ)] [Lrr ] Te = donde: (2.43) (2.44) Para el modelo se consideró, además, que no existen variaciones en la reluctancia de la máquina en función a la posición θ (elementos de [Lss ] y [Lrr ] constantes), con lo que la expresión del par electromagnético está dada por: h i dLsr (θ) h i [0] [i ] P dθ s Te = [is ]T [ir ]T h dL (θ) i rs 2 [ir ] [0] dθ P dLsr (θ) dLrs (θ) = [is ]T [ir ] + [ir ]T [is ] 2 dθ dθ 37 (2.45) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases de (2.42): T T dLrs (θ) T dLsr (θ) T dLsr (θ) [ir ] [is ] = [ir ] [is ] = [is ] [ir ] dθ dθ dθ T dLrs (θ) T dLsr (θ) [ir ] [is ] = [is ] [ir ] dθ dθ T (2.46) y sustituyendo en (2.45), la expresión del par electromagnético queda denida por: T d Te = P · [is ] [Lsr (θ)][ir ] dθ (2.47) Desarrollando la ecuación matricial, el par electromagnético se obtiene mediante la siguiente expresión: Te = − P · Lmsr · {(ias · iar + ibs · ibr + ics · icr + ids · idr + ies · ier ) · sin(θ) + (ias · ibr + ibs · icr + ics · idr + ids · ier + ies · iar ) · sin(θ − ϑ) + (ias · icr + ibs · idr + ics · ier + ids · iar + ies · ibr ) · sin(θ − 2ϑ) (2.48) + (ias · idr + ibs · ier + ics · iar + ids · ibr + ies · icr ) · sin(θ − 3ϑ) + (ias · ier + ibs · iar + ics · ibr + ids · icr + ies · idr ) · sin(θ − 4ϑ)} La ecuación diferencial que relaciona el par electromagnético y la velocidad está dada por: Jm · dωm = Te − TL − Bm · ωm dt (2.49) Siendo: ωm : La velocidad mecánica de rotación del eje del rotor. TL : El par mecánico de carga aplicado al eje de la máquina. Jm : La inercia rotacional del conjunto rotor y carga acoplado al mismo. Bm : El coeciente de fricción en los apoyos de conjunto rotor y carga. 2.3.1.2. Modelo desacoplado de Clark El modelo descrito en variables de fase puede simplicarse, para eliminar la dependencia de la inductancia mutua con el tiempo, por medio de la transformación de Clark [1]. 38 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases El modelo quedaría redenido por medio de cinco nuevas variables obtenidas mediante la transformación invariante en potencia de las variables originales utilizando la matriz de desacoplo de Clark (ϑ 1 0 r 2 · 1 [TC ] = 5 0 √1 2 = 2π ): 5 cos(2ϑ) cos(3ϑ) cos(4ϑ) sin(ϑ) sin(2ϑ) sin(3ϑ) sin(4ϑ) −1 T cos(3ϑ) cos(ϑ) cos(4ϑ) cos(2ϑ) ; [TC ] = [TC ] sin(3ϑ) sin(ϑ) sin(4ϑ) sin(2ϑ) cos(ϑ) √1 2 Se puede observar que la matriz √1 2 [TC ] √1 2 (2.50) √1 2 posee la misma denición expuesta en la deducción del modelo vectorial del VSI (2.24)(2.27), por lo que al aplicar esta transformación a las variables eléctricas usaremos la misma nomenclatura. Aplicando la transformación al modelo de máquina, premultiplicando [TC ] por (2.28) (2.29): [TC ] · [vs ] =[TC ] · [Rs ] · [TC ]−1 · [TC ] · [is ] + p · [TC ] · [Lss ] · [TC ]−1 · [TC ] · [is ] (2.51) + p · [TC ] · [Lsr (θ)] · [TC ] −1 · [TC ][ir ] [0] =[TC ] · [Rr ] · [TC ]−1 · [TC ] · [ir ] + p · [TC ] · [Lrr ] · [TC ]−1 · [TC ] · [ir ] (2.52) + p · [TC ] · [Lrs (θ)] · [TC ] −1 · [TC ][is ] Las variables de fase son ahora transformadas a un nuevo sistema de referencia al que denominaremos αβ xy z , los nuevos vectores de tensión, corriente y ujo se denen de la siguiente forma: v sα vsβ vsx = [TC ] · [vs ]; vsy vsz i sα isβ isx = [TC ] · [is ]; isy isz 39 λ sα λsβ λsx = [TC ] · [λs ] λsy λsz (2.53) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases v0 rα 0 vrβ vrx = [TC ] · [vr ]; vry vrz i0 rα 0 irβ irx = [TC ] · [ir ]; iry irz λ0 rα 0 λrβ λrx = [TC ] · [λr ] λry λrz (2.54) Las matrices de resistividad e inductancia obtenidas mediante la transformación son: [TC ] · [Rs ] · [TC ]−1 = [Rs ] 5 2 [TC ] · [Lss ] · [TC ]−1 Deniendo Ls = Lls + M , (2.55) 0 0 0 0 5 0 2 0 0 = Lls · [I5 ] + Lms · 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 siendo M= [TC ] · [Lss ] · [TC ]−1 5 2 · Lms , 0 0 0 0 (2.56) nalmente se obtiene: L s Ls = Lls Lls Lls [TC ] · [Lsr(θ)] · [TC ]−1 Siendo M= 5 2 · Lmsr = 5 2 · Lmrs = 5 2 cos(θ) − sin(θ) 0 0 0 sin(θ) cos(θ) 0 0 0 =M · 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2.57) · Lms = 5 2 · Lmr de acuerdo con la ecuación (2.41) [TC ] · [Rr ] · [TC ]−1 = [Rr ] 40 (2.58) (2.59) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases [TC ] · [Lrr ] · [TC ]−1 Siendo L r Lr = Llr Llr Llr (2.60) Lr = Llr + M . [TC ] · [Lrs(θ)] · [TC ]−1 cos(θ) sin(θ) 0 0 0 − sin(θ) cos(θ) 0 0 0 =M · 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2.61) El Modelo transformado puede dividirse en tres conjuntos de ecuaciones desacopladas α β , x y z, y a los que denominaremos subespacios. Para mejor análisis se estudiarán los subespacios desacoplados obtenidos. • Modelo en el subespacio αβ Las ecuaciones de tensión en este subespacio son: vsα Rs isα Rs Ls isβ i0rα Rr Rr i0rβ isα cos(θ) − sin(θ) isβ sin(θ) cos(θ) i0rα cos(θ) sin(θ) i0rβ − sin(θ) cos(θ) · +M · Ls · + p = 0 · + p = vsβ 0 Lr · +M · Lr En el modelo resultante en el subespacio αβ i0 · rα (2.62) i0rβ isα · (2.63) isβ (2.62)(2.63) se puede notar que las variables del estátor y las del rotor no se encuentran referidas al mismo sistema. Las variables del rotor están referidas con respecto a un marco móvil girando a la frecuencia angular del rotor α0 β 0 , tal como se muestra en la Fig. 2.6. Para referir todas las variables a un mismo marco de referencia, emplearemos el marco de referencia estático, para lo que 41 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.6: Sistemas de referencia de las variables del estátor α β y del rotor α 0 β 0 resul- tantes de la transformación de Clark. usaremos la matriz de rotación dada por la siguiente ecuación: cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) [Tr (θ)] = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 −1 T 0 ; [Tr (θ)] = [Tr (−θ)] = [Tr (θ)] 0 1 (2.64) La transformación sólo afecta el marco de referencia de las variables del rotor en el subespacio α β , de manera que las nuevas variables del rotor quedan transformadas como sigue: v v0 rα rα 0 vrβ vrβ vrx = [Tr (θ)] · vrx ; vry vry vrz vrz En el subespacio α β , i i0 rα rα 0 irβ irβ irx = [Tr (θ)] · irx ; iry iry irz irz λ λ0 rα rα 0 λrβ λrβ λrx = [Tr (θ)] · λrx λry λry λrz λrz (2.65) por el desacoplo con los demás subespacios, la transformación estará dada por: [Tr (θ)] = cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) ; [Tr (θ)]−1 = [Tr (−θ)] = [Tr (θ)]T 42 (2.66) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Luego la ecuación de tensión en el estátor será: v R i L i i sα = s · sα + p s · sα + M · rα vsβ Rs isβ Ls isβ irβ (2.67) Para obtener el modelo del rotor es necesario multiplicar la ecuación (2.63) por 0 i0rα Rr =[Tr (θ)] · Lr · [Tr (−θ)] · i0rβ Rr irα · [Tr (−θ)] · [Tr (θ)] + [Tr (θ)]p 0 [Tr (θ)]: Lr irβ isα + [Tr (θ)] · p M · [Tr (−θ)] · isβ (2.68) [Tr (θ)] · [Rr ] · [Tr (−θ)] = [Rr ] Lr Lr · [Tr (−θ)] · = ωr · Lr dθ dt irα [Tr (θ)]·p Siendo = ωr = P · ωm . irα Lr irβ irα · + −Lr irβ (2.69) ·p Lr (2.70) irβ Al realizar las pulsaciones eléctricas de la máquina P ciclos eléctricos por cada ciclo mecánico, tendremos: isα M [Tr (θ)] · p M · [Tr (−θ)] · = ωr · −M isβ isα M isα · + isβ · p M (2.71) isβ 0 R i L · p Lr · ωr i M · p M · ωr i = r · rα + r · rα + · sα 0 Rr irβ −Lr · ωr Lr · p irβ −M · ωr M · p isβ (2.72) Con lo que el modelo en el subespacio αβ podrá resumirse con la siguiente expresión matricial: Rs + Ls · p 0 M ·p 0 i sα vsβ 0 Rs + Ls · p 0 M · p isβ = · 0 M ·p M · ωr Rr + Lr · p Lr · ωr irα 0 −M · ωr M ·p −Lr · ωr Rr + Lr · p irβ vsα 43 (2.73) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases El modelo puede ser también expresado de manera vectorial, por medio de variables complejas: ~vsαβ = Rs · ~isαβ + p · ~λsαβ 0 = Rr · ~irαβ + p · ~λrαβ − j · ωr · ~λrαβ (2.74) ~λsαβ = Ls · ~isαβ + M · ~irαβ ~λrαβ = M · ~isαβ + Lr · ~irαβ Donde j (2.75) es la unidad imaginaria y los vectores complejos de tensión, corriente y ujo son iguales a: ~vsαβ = vsα + j · vsβ ~vrαβ = vrα + j · vrβ ~isαβ = isα + j · isβ ~irαβ = irα + j · irβ (2.76) ~λsαβ = λsα + j · λsβ ~λrαβ = λrα + j · λrβ • Modelo en el subespacio El modelo en el subespacio xy x y puede ser obtenido directamente de (2.51)(2.52), y re- presentado por: v R + Lls · p 0 i sx = s · sx vsy 0 Rs + Lls · p isy 0 R + Llr · p 0 i = r · rx 0 0 Rr + Llr · p iry (2.77) El modelo de la máquina en este subespacio también puede representarse vectorialmente como sigue: ~vsxy = Rs · ~isxy + p · ~λsxy 0 = Rr · ~irxy + p · ~λrxy (2.78) ~λsxy = Lls · ~isxy ~λrxy = Llr · ~irxy 44 (2.79) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Donde los vectores complejos de tensión, corriente y ujo son iguales a: ~vsxy = vsx + j · vsy ~vrxy = vrx + j · vry ~isxy = isx + j · isy (2.80) ~irxy = irx + j · iry ~λsxy = λsx + j · λsy ~λrxy = λrx + j · λry • Modelo en el subespacio z El modelo desacoplado de la máquina en el subespacio z se obtiene también directamente de (2.51)(2.52) según las siguientes ecuaciones: vsz = (Rs + Lls · p) · isz (2.81) vrz = (Rr + Llr · p) · irz Se puede notar que los modelos en los subespacios x y y z representan una ecuación de primer orden equivalente a la de un circuito RL. En el subespacio α β , sin embargo, se puede ver el acoplamiento de las corrientes de estátor y rotor y la dependencia de este acoplamiento de la velocidad de respuesta del sistema. • Par electromagnético. La expresión del par electromagnético se puede obtener a partir de la expresión (2.47), en función de las variables de fase que son transformada al marco de referencia αβ xy z , como sigue: T d Te = P · [is ] [Lsr (θ)][ir ] dθ d T −1 = P · [is ]αβxyz [TC ] [Lsr (θ)][TC ] [Tr (−θ)][ir ]αβxyz dθ 45 (2.82) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Desarrollando esta expresión: [TC ] d d [Lsr (θ)][TC ]−1 = [TC ][Lsr (θ)][TC ]−1 dθ dθ cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) d =M· 0 0 dθ 0 0 0 0 − sin(θ) − cos(θ) cos(θ) − sin(θ) =M · 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2.83) Se puede notar en la matriz resultante, que todas las entradas en los subespacios y z x y son nulas, y que todos los subespacios siguen desacoplados. Este último resultado evidencia que la transformación útil de energía se produce en el subespacio αβ , según la siguiente expresión: h Te = P · M · isα h = P · M · isα − sin(θ) − cos(θ) cos(θ) sin(θ) i · · rα isβ · cos(θ) − sin(θ) − sin(θ) cos(θ) irβ i 0 −1 i · rα isβ · 1 0 irβ i (2.84) Con lo que nalmente se obtiene: Te = P · M · (irα · isβ − irβ · isα ) (2.85) Vectorialmente el par electromagnético estará dado por: Te = P · M · ~irαβ × ~isαβ 46 (2.86) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.7: Circuito equivalente de la máquina de inducción de cinco fases. Otra expresiones muy utilizadas en la bibliografía para determinar el par electromagnético de la máquina son: Te = P · ~λsαβ × ~isαβ Te = P · ~λrαβ × ~irαβ Te = P · • (2.87) M ~ · λrαβ × ~isαβ Lr Circuito equivalente del modelo. El circuito equivalente del modelo consiste, en realidad, en tres circuitos desacoplados, uno por cada subespacio. Los circuitos equivalentes por subespacios pueden apreciarse en la Fig. 2.7. Del modelo obtenido cabe destacar las siguientes características: 1. Toda la conversión de energía electromecánica se produce en el subespacio αβ , en tanto que toda energía que se produzca en los demás subespacios no realiza una contribución en el par. 2. Las corrientes en los subespacios x y y z, no contribuyen en la producción del ujo en el entrehierro de la máquina. Están limitadas por una pequeña impedancia formada por la resistencia y la inductancia de fuga del bobinado del estátor. Al no 47 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.8: Sistema de referencia móvil dq . ser necesario su control podrían producirse valores muy elevados de corriente que solamente signicarían pérdidas. 3. El modelo de la máquina en el subespacio α β es similar a la de una máquina de tres fases, por lo que las estrategias de control serán muy similares con los cambios pertinentes para el control de las variables en los demás subespacios. 2.3.1.3. Modelo en el marco de referencia general dq En el modelo desacoplado de Clark, se resaltó que las variables están referidas a un marco de referencia estático, jado en el estátor de la máquina. Las variables del primer subespacio también pueden ser referenciarse a un sistema de referencia móvil, lo que simplica el modelo de la máquina. Las transformaciones que se detallan a continuación sólo provocarán cambios en el subespacio α β de la máquina, los demás subespacios se mantienen tal cual fueron detallados en la sección anterior. Considérese un marco de referencia móvil dq rotando a una velocidad ωa como se muestra en la Fig. 2.8. En la misma gura se pueden observar también el marco de referencia estático αβ , tal como se lo denió en la sección anterior y el eje de referencia del rotor de la máquina, que gira con una velocidad lo hacen a una velocidad polares θ y θa ωr . ωm mientras que las variables eléctricas Loa ejes giratorios vienen especicados por sus coordenadas respecto a los ejes de referencia estático. Las coordenadas de las variables 48 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases del estátor proyectadas al nuevo marco de referencia móvil vendrán dadas, mediante una transformación invariante en potencia, por medio de la matriz de transformación: cos(θa ) sin(θa ) r 2 [Tas ] = · 1 5 0 √1 2 cos(θa −ϑ) cos(θa −2ϑ) cos(θa −3ϑ) sin(θa −ϑ) sin(θa −2ϑ) sin(θa −3ϑ) cos(3ϑ) cos(ϑ) cos(4ϑ) sin(3ϑ) sin(ϑ) sin(4ϑ) √1 2 √1 2 √1 2 cos(θa −4ϑ) sin(θa −4ϑ) −1 = [Tas ]T cos(2ϑ) ; [Tas ] sin(2ϑ) (2.88) √1 2 con lo que las coordenadas de las variables del estátor en el nuevo marco de referencia serán: va sd a vsq vsx = [Tas ] · [vs ]; vsy vsz ia sd a isq isx = [Tas ] · [is ]; isy isz λa sd a λsq λsx = [Tas ] · [λs ] λsy λsz (2.89) La matriz de transformación para las variables del rotor es: cos(δ) sin(δ) r 2 · 1 [Tar ] = 5 0 √1 2 Siendo cos(δ−ϑ) cos(δ−2ϑ) cos(δ−3ϑ) sin(δ−ϑ) sin(δ−2ϑ) sin(δ−3ϑ) cos(3ϑ) cos(ϑ) cos(4ϑ) sin(3ϑ) sin(ϑ) sin(4ϑ) √1 2 √1 2 √1 2 cos(δ−4ϑ) sin(δ−4ϑ) −1 = [Tar ]T cos(2ϑ) ; [Tar ] sin(2ϑ) (2.90) √1 2 δ = θa − θ. Las coordenadas de las variables del rotor en el subespacio dq estarán dadas por las siguientes transformaciones: vrda a vrq vrx = [Tar ] · [vr ]; vry vrz irda a irq irx = [Tar ] · [ir ]; iry irz 49 λrda a λrq λrx = [Tar ] · [λr ] λry λrz (2.91) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Siendo ωr = P · ωm , donde los ángulos están relacionados con las velocidades según: t Z ωa · dt θa = 0 (2.92) t Z (ωa − ωr ) · dt δ = θa − θ = 0 Aplicando las trasformaciones a las ecuaciones del rotor y el estátor (2.28)(2.29) y siguiendo los procedimientos análogos a los realizados en la sección anterior sin necesidad de realizar la transformación de rotación, el modelo de la máquina en el subespacio es: v R +L ·p sd s s vsq Ls ·ωa = 0 M ·p 0 M ·(ωa −ωr ) −Ls ·ωa M ·p Rs +Ls ·p M ·ωa −M ·(ωa −ωr ) Rr +Lr ·p M ·p Lr ·(ωa −ωr ) El modelo vectorial en el subespacio d q , dq i sd isq M ·p · −Lr ·(ωa −ωr ) ird Rr +Lr ·p irq −M ·ωa (2.93) está dado por: a a a a ~vsdq = Rs · ~isdq + p · ~λsdq + j · ωa · ~λsdq a a a 0 = Rr · ~irdq + p · ~λrdq + j · (ωa − ωr ) · ~λrdq ~λ a = Ls · ~i a + M · ~i a sdq sdq rdq ~λ a = M · ~i a + Lr · ~i a rdq sdq rdq (2.94) (2.95) El par electromecánico puede obtenerse por: a a Te = P · ~λsdq × ~isdq (2.96) y además puede computarse análogamente con cualquiera de las expresiones (2.86)(2.87) expuestas en la sección anterior. El circuito equivalente del modelo en el subespacio circuitos equivalentes en los subespacios xy y 50 z dq se muestra en la Fig. 2.9. Los permanecen tal cual se los representó en Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.9: Circuito equivalente del modelo en el subespacio (a) Figura 2.10: Subespacio (b) eje d alineado con dq . (b) dq empotrado en los vectores de ujo. (a) eje d alineado con λs . λr . la sección anterior. Se puede notar, tal como ya se ha expuesto, que el modelo en el subespacio un caso especial dado por ωa = 0 en el modelado del subespacio dq . αβ es Existen otros casos particulares de interés por la simplicación en el cálculo y el desarrollo de estrategias de control basadas en los modelos obtenidos. Uno de estos casos aparece cuando en el marco de referencia se hace coincidir el eje d con el vector de ujo del rotor o el estátor, Fig. 2.10. En ambos casos el eje q es perpendicular al anterior eje d, con lo que se consigue que el vector del ujo posea componentes solamente sobre un eje. • Marco de referencia alineado con el ujo del rotor. 51 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Como el vector de espacio del ujo del rotor λr , que gira con una velocidad angular ωer , se encuentra alineado con el eje d, las coordenadas del mismo en el eje q serán nulas. El modelo vectorial de la máquina estará dado entonces por: e e e e ~vsdq = Rs · ~isdq + p · ~λsdq + j · ωer · ~λsdq (2.97) e 0 = Rr · ~irdq + p · λr + j · ωsl · λr donde ωsl = ωer − ωr , es la velocidad de deslizamiento con respecto al ujo del rotor. ~λ e = Ls · ~i e + M · ~i e sdq sdq rdq (2.98) e e λr = M · ~isdq + Lr · ~irdq Te = P · λr · irqe Deniendo τr = Lr y Rr kr = (2.99) M , de la ecuación de ujo de rotor se obtienen las relaciones Lr entre las corrientes de rotor y estátor. Aplicando estas relaciones a las ecuaciones de tensión del rotor se obtiene: ierd = − p · τr · kr · iesd 1 + p · τr ierq = −kr · iesq (2.100) M · issd λr = 1 + p · τr ωsl ·τr · λr = M · ieqs De donde se puede concluir que en régimen permanente (t τr ) se verica que: ierd = 0 λr = M · iesd (2.101) Te = −P · M · kr · isde · isqe Cuando se adopta este sistema de referencia, todas las variables del rotor serán constantes en régimen permanente pues el marco de referencia permanece estático respecto a los vectores de espacio de las variables del rotor. Este es el motivo por el cual en régimen permanente se dieron las igualdades en (2.101). 52 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases • Marco de referencia alineado con el ujo del estátor. Otra alternativa de localización del marco de referencia consiste en alinear el eje d con el vector de espacio de ujo de estátor subespacio d q λs , que rota con una velocidad ωes . El modelo en el será: e e ~vsdq = Rs · ~isdq + p · λs + j · ωes · λs (2.102) e e e 0 = Rr · ~irdq + p · ~λrdq + j · (ωes − ωr ) · ~λrdq e e λs = Ls · ~isdq + M · ~irdq (2.103) ~λ e = M · ~i e + Lr · ~i e rdq sdq rdq Te = P · λs · isqe (2.104) Con lo que se obtienen las siguientes relaciones en el estátor: vsde = Rs · isde + p · λs (2.105) vsqe = Rs · isqe + ωes · λs Expresiones con las cuales se pueden obtener estimadores muy simples de λs y ωes para determinar la posición del vector de ujo y el par electromagnético; incluso es habitual en algunos casos en los que no se considere como modo de operación las bajas velocidades aplicar ciertas simplicaciones como despreciar la caída de tensión en • Rs . Marco de referencia alineado con el rotor. Es menos tradicional que los anteriores pero se ha propuesto recientemente con el n de unicar el control vectorial de las máquinas. En este caso el eje d se alinea al eje ar del rotor de la máquina como se muestra en la Fig. 2.11. Esto equivale a que el sistema de referencia dq se alinea con el sistema de referencia desacoplado de Clark. Con todo lo expuesto, ωa = ωr α0 β 0 , denido en el modelado y el modelo en el subespacio d q queda dado por: r r r r ~vsdq = Rs · ~isdq + p · ~λsdq + j · ωr · ~λsdq r r + p · ~λrdq 0 = Rr · ~irdq ~λ r = Ls · ~i r + M · ~i r sdq sdq rdq ~λ r = M · ~i r + Lr · ~i r rdq sdq rdq 53 (2.106) (2.107) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.11: Marco de referencia dq alineado con el rotor de la máquina. Y agrupando ecuaciones se llega a la siguiente relación: r r r τr · p · ~λrdq + ~λrdq = M · ~isdq (2.108) Se consigue determinar de forma sencilla el ujo de rotor, determinando el ujo de estátor en función de la corriente de estátor y del ujo calculado en el rotor por medio de la ecuación que se detalla en la siguiente sección de este capítulo. 2.3.1.4. Modelo en el espacio de estado El modelo en el espacio de estado de la máquina a partir de sus ecuaciones en los subespacios dq , xy y z, tomando como variables de estado las corrientes de estátor, el ujo de rotor y como salida el ujo de estátor es: p a · ~isdq p · ~isxy p · isz a p · ~λrdq ~λ a sdq 1 (1 − σ) ~ a (1 − σ) ~ a a =− − · isdq + · λrdq − j · ωa · ~isdq σ · τs σ · τr σ · M · τr (1 − σ) 1 a a − · ωr · ~λrdq + · ~vsdq σ·M σ · Ls 1 ~ 1 =− · isxy + · ~vsxy τls Lls 1 1 =− · isz + · vsz τls Lls 1 M a a a = · ~isdq − · ~λrdq − j · (ωa − ωr ) · ~λrdq τr τr =σ · Ls · ~i a + kr · ~λ a sdq rdq 54 (2.109) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Siendo: σ =1− M2 Ls Lr Lls M ; τs = ; τr = ; τls = ; kr = Ls · Lr Rs Rr Rs Lr (2.110) El modelo en el espacio de estado en forma matricial está dado por: p · [x] = [A] · [x] + [B] · [u] (2.111) [y] = [C] · [x] Donde: iT h [x] = isda isqa isx isy isz λrda λrqa iT h [u] = vsda vsqa vsx vsy vsz h iT [y] = λsda λsqa (2.112) y las matrices vienen denidas según las siguientes expresiones: siendo (1−σ) σ·M ·τr − (1−σ) · σ·M (1−σ) · ωr σ·M (1−σ) σ·M ·τr A ωa 0 0 0 11 −ωa A22 0 0 0 ωr 0 0 − τ1ls 0 0 0 0 1 [A] = 0 0 0 − τls 0 0 0 1 0 0 0 0 − τls 0 0 M 1 τ 0 0 0 0 − τr (ωa − ωr ) r M 1 0 0 0 0 − (ω − ω ) − a r τr τr . A11 = A22 = − σ·τ1 s − (1−σ) σ·τr 1 0 0 0 0 σ·Ls 1 0 0 0 0 σ·Ls 1 0 0 0 0 L ls 1 [B] = 0 0 0 Lls 0 1 0 0 0 0 Lls 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ · Ls 0 0 0 0 kr 0 [C] = 0 σ · Ls 0 0 0 0 kr 55 (2.113) (2.114) (2.115) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Nuevamente, al referir el sistema al marco de referencia adecuado podrían alcanzarse simplicaciones del mismo. Otra alternativa para el modelo en el espacio de estado consiste en tomar como variables de estado a las corrientes de rotor en lugar del ujo de rotor. En otros casos también puede ser utilizada una variable de estado adicional, la velocidad de la máquina, para lo cual simplemente se añade la ecuación (2.49) al modelo de espacio de estado. 2.3.2. Máquinas con bobinados concentrados En la conmutación de dispositivos que generan tensiones con formas de ondas rectangulares y pulsos de corrientes en periodos de tiempo discretos, antes que sinusoidales. Las máquinas multifásicas facilitan el desarrollo de diseños con distribución de bobinados que favorecen la naturaleza de funcionamiento de los convertidores de potencia que se basan. Estos diseños se basa en bobinados concentrados antes que bobinados distribuidos, con lo que se podría generar un ujo rectangular en el entrehierro de la máquina. De esta forma, una mayor región del entrehierro de la máquina podría alojar un ujo cercano a la saturación en relación con el que se presenta en las máquinas con bobinados distribuidos sinusoidalmente, obteniéndose un mayor aprovechamiento por la mayor densidad de ujo. Varios estudios respecto a este tipo de diseño de máquinas [36][37] presentan como resultado una disminución de las pérdidas y un incremento en el par de la máquina. Resulta, por tanto, interesante analizar el modelo de estos accionamientos para relacionarlas con otros mas habituales (bobinados distribuidos). 2.3.2.1. Modelo basado en variables de fase Consideremos inicialmente un caso general basado en una máquina de mn bobinados, asumiendo las siguientes consideraciones: 1. Fenómeno de saturación magnética, corrientes parásitas, fricción y pérdidas aerodinámicas despreciables. 56 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases 2. El entrehierro de la máquina es de espesor uniforme. 3. los m bobinados del estátor son idénticos con respecto al eje de simetría. 4. El rotor tipo jaula de ardilla con las n barras uniformemente distribuidas e idénticas respecto al eje de simetría. El rotor de la máquina puede ser tratado como n mallas idénticas y uniformemente espaciadas, las cuales serán analizadas al momento de obtener las ecuaciones de tensión del rotor. A continuación, se desarrolla el modelo de la máquina en función de las variables de fase [38][39]. Las ecuaciones de tensión en el estátor, con las variables de rotor referidas al estátor, son: [vs ] =[Rs ] · [is ] + p · [λs ] (2.116) [λs ] =[Lss ] · [is ] + [Lsr ] · [ir ] Donde: h iT [is ] = is1 is2 · · · ism h iT [ir ] = ir1 ir2 · · · irn h iT [vs ] = vs1 vs2 · · · vsm La matriz de resistencia de estátor, siendo (2.117) [Im ] la matriz identidad de orden m, queda denida como: [Rs ] = Rs · [Im ] (2.118) Debido a la conservación de la energía y la distribución de la densidad de ujo en el entrehierro, la matriz [Lss ] es simétrica de dimension m × m y tiene la siguiente expresión: Ls11 Ls12 · · · Ls1m s s s L21 L22 · · · L2m [Lss ] = . (2.119) . . .. . . . . . . . s s s Lm1 Lm2 · · · Lmm 57 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.12: Modelo propuesto del rotor tipo jaula de ardilla. La matriz de inductancia mutua Lsr es una matriz de dimension m×n cuyos elementos son función de la posición del rotor, estando denida por: Lsr 11 Lsr 12 · · · Lsr 1n sr sr sr L21 L22 · · · L2n [Lsr ] = . . . .. . . . . . . . sr sr sr Lm1 Lm2 · · · Lmn (2.120) Las tensiones de rotor de la máquina son modeladas a partir del modelo adoptado del rotor, el cual es mostrado en la Fig. 2.12, con lo que se obtiene las siguientes ecuaciones referidas al estátor: [vr ] =[Rs ] · [is ] + p · [λs ] (2.121) [λr ] =[Lrr ] · [ir ] + [Lrs ] · [is ] Siendo: h iT [vr ] = vr1 vr2 · · · vrn 58 (2.122) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Para este caso, de forma análoga a la anterior, cada componente del vector de tensión [vr ] es igual a cero. La matriz de resistencia de rotor se dene según: Rar 0 Rar . . . −Rbr . . . ··· 0 .. . . . 0 ··· ··· 0 ··· · · · −Rbr −Rbr . [Rr ] = .. 0 −Rbr Siendo Rer Rbr −Rbr −Rbr ··· . 0 Rar 0 . . . r −Rb r Ra la resistencia de la barra que constituye el rotor, y (2.123) Rar = 2 · (Rbr + Rer ) donde es la resistencia del anillo del rotor de la máquina. La matrices de inductancias se denen según: Lrm +2·(Lb +Le ) [Lrr ] = Lmr 12 −Lb Lmr 13 ··· Lmr 1n −Lb Lmr 21 −Lb Lrm +2·(Lb +Le ) Lmr 23 −Lb ··· Lmr 2n Lmr 31 Lmr 32 −Lb Lrm +2·(Lb +Le ) ··· Lmr 3n . . . . . . . . . .. . . . Lmr n1 −Lb Lmr n2 Lmr n3 ··· . (2.124) Lrm +2·(Lb +Le ) Donde: Lb y Le : Inductancias de la barra y de la longitud de anillo entre barras del rotor, respectivamente. Lrm : Inductancia de magnetización de cada malla de rotor. Lmr ij : Inductancia mutua entre las corrientes de la barra i y [Lrs ] = [Lsr ]T j del rotor. (2.125) El par electromagnético de la máquina puede ser obtenido de la misma forma que en la máquina de bobinados distribuidos, por medio de la siguiente ecuación: T d Te = P · [is ] [Lsr (θ)][ir ] dθ 59 (2.126) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.13: Distribución del bobinado por fase para una máquina de bobinados concentrados. • Análisis de armónicos. El comportamiento de una máquina de inducción de cinco fases con bobinados concentrados puede ser modelado por las características de la forma de onda de la MMF resultante en el entrehierro de la máquina. La función de distribución de bobinado a lo largo del entrehierro de la máquina y el análisis de Fourier son de gran utilidad para evaluar el efecto de la distribución espacial y en el tiempo de las señales no sinusoidales. En la Fig. 2.13 se muestra la distribución de espiras a lo largo del entrehierro de la máquina, tomando como referencia el eje as del bobinado de estátory siendo N el número de espiras del bobinado. La función espacial de distribución del número de espiras del bobinado de estátor desarrollada en series de Fourier es: ∞ X N 4 N (θ) = sin k(θ − γ) 2 k · π k=1 siendo γ (2.127) el ángulo espacial que posee de separación la fase en estudio respecto al eje de referencia (eje as ), que será para nuestro caso un múltiplo de ϑ= 2π . 5 Si la máquina es alimentada por un inversor multifásico de cinco fases (m = 5) dos niveles con modulación PWM, la forma de onda de la corriente de la fase 60 a con sería Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.14: Forma de onda de la corriente de fase a. o similar a la mostrada en la Fig. 2.14, con pulsos de corriente de longitud144 . Las demás fases consideramos que son alimentadas con la misma forma de onda, aunque con el desfase correspondiente. La forma de onda de corriente puede describirse, en series de Fourier, según la siguiente expresión: siendo ξ ∞ X 4 l·π i(t) = Im · cos( ) · sin l(ωt + ξ) l·π 10 l=1 (2.128) el desfase respecto al marco de referencia establecido. El módulo de la MMF espacial es la resultante de todas las corrientes que uyen en los devanados del estátor. Por denición, el campo giratorio resultante será igual a [38][16]: M M F =Na · ia + Nb · ib + Nc · ic + Nd · id + Ne · ie 2 ∞ X ∞ X 1 N · Im 4 l·π 2π(l − k) cos( ){cos k(lωt − kθ)(cos( ) = l·k π 2 10 5 l=1 k=1 + cos( 1 2π(l + k) 4π(l + k) 4π(l − k) ) + ) + cos(lωt + kθ)(cos( ) + cos( ) 5 2 5 5 1 + )} 2 (2.129) En esta expresión resultante se pueden distinguir dos términos principales que representan dos campos que coexisten pero que giran en sentido contrario. En la Tabla 2.2 se muestra la relación entre los armónicos de espacio y los armónicos de tiempo: la letra P simboliza 61 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Tabla 2.2: Relación entre armónicos de espacio y armónicos de tiempo (×N · Im ) Armónicos de Espacio (k) Armónicos 1 3 5 7 9 11 13 15 de Tiempo (l) 1 P R -P 1.056 .117 .096 3 P -R P .072 .031 .017 -R P -R .031 .013 5 7 9 11 13 .007 -R -P R .117 .013 .011 -P -R P .096 .011 .009 P -R P .017 .007 .004 15 la MMF resultante rotando en sentido positivo, la letra R indica rotación de la misma o en sentido inverso y el signo negativo indica un desfase de 180 . Como puede observarse en la tabla, la componente fundamental de MMF en una máquina de cinco fases con bobinados concentrados es levemente mayor que la producida en una máquina de tres fases (1,056 × N · Im a 1,053 × N · Im ). Un resultado importante que se puede notar es que la MMF generada por la componente de tercer armónico (0,072 × N · Im ) gira de manera síncrona con la producida por la fundamental. La mejora en el par por el incremento de la componente fundamental en la MMF es muy pequeña. Sin embargo, la inyección de la componente adscrita la tercer armónico modica la forma de onda de la MMF en el entrehierro, permitiendo un sustancial incremento en el par electromagnético de salida de la máquina de cinco fases. El estudio realizado en este trabajo considera sólo a las máquinas de cinco fases, por lo que las ecuaciones de tensión, corriente y ujo de estátor poseen cinco componentes, 62 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases o lo que es lo mismo m = 5. Las componentes de las ecuaciones del rotor dependerán del número de barras que lo constituyen. El modelo en variables de fase resulta bastante complicado, por lo que se efectuarán transformaciones con el n de simplicar el modelo propuesto. 2.3.2.2. Modelo en el marco de referencia general d1q1, d3q3 Con el objeto de simplicar el modelo se utilizarán las mismas transformaciones denidas en [40][41], con lo que la matriz de transformación de las variables en el estátor es: 1 1 1 [As ] = √ 1 5 1 1 siendo a = ej 2π 5 1 1 1 −1 −2 −3 a a a 1 a−2 a−4 a−6 a−3 a−6 a−9 a −1 T a−8 ; [As ] = [As ] a−12 −16 a −4 a−4 a−8 a−12 (2.130) . La matriz de transformación a ser aplicada en el rotor es: 1 1 1 1 1 b−1 b−2 b−3 1 b−2 b−4 b−6 1 [Br ] = √ n 1 b−3 b−6 b−9 .. . . . . . . . . . . 1 b−n+1 b−2(n−1) b−3(n−1) siendo ··· ··· ··· ··· .. . ··· 1 b −2(n−1) b ; [Br ]−1 = [Br ]T −3(n−1) b . . . 2 −(n−1) b −(n−1) (2.131) 2π b = ej n . Aplicando las respectivas transformaciones a las ecuaciones (2.116) y (2.121), se obtiene el modelo vectorial referenciado en el sistema de coordenadas del estátor que en el 63 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases subespacio que contiene a la componente fundamental, es [39]: ~v1s = R s · ~i1s + p · L1s · ~i1s + p · M1 · ~i1rs 0= R1r · ~i1rs + p · L1r · ~i1rs + p · M1 · ~i1s + j · ωr · ~λ1rs (2.132) Y el subespacio que contiene al tercer armónico está dado por: ~v3s = R s · ~i3s + p · L3s · ~i3s + p · M3 · ~i3rs 0 = R3r · ~i3rs + p · L3r · ~i3rs + p · M3 · ~i3s + j · 3 · ωr · ~λ3rs (2.133) Las ecuaciones vectoriales de ujo quedarían: ~λ rs = L r · ~i rs + M1 · ~i s 1 1 1 1 ~λ rs = L r · ~i rs + M3 · ~i s 3 3 3 3 (2.134) Donde: ~v1 y ~v3 : Vectores de tensión de la componente fundamental y del tercer armónico en el sistema de referencia del estátor, respectivamente. ~i1s y~ i3s : Vectores de corriente de la componente fundamental y del tercer armónico del estátor, respectivamente. ~i1rs y~ i3rs : Vectores de corriente referidas al estátor de la componente fundamental y del tercer armónico de rotor, respectivamente. ~λ rs 1 y ~λ rs : 3 Vectores de ujo de la componente fundamental y del tercer armónico del rotor referidas al estátor, respectivamente. L1s y L3s : Inductancias de estátor equivalentes en los subespacios de la fundamental y del tercer armónico, respectivamente. M1 y M3 : Inductancias Mutuas de acoplamiento estátorrotor equivalentes en los subespacios de la fundamental y del tercer armónico, respectivamente. R1r y R3r : Resistencias de rotor equivalentes en los subespacios de la fundamental y del tercer armónico, respectivamente. R s: Resistencia de estátor equivalente en los subespacios de la fundamental y del tercera armónico. 64 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Figura 2.15: Corrientes de estátor en la máquina de bobinados concentrados. El par electromagnético puede obtenerse mediante la siguiente expresión: Te = 2 · P · M1 · ~i1rs × ~i1s + 3 · M3 · ~i3rs × ~i3s (2.135) El modelo descrito se basa en transformaciones complejas aplicadas a las variables del estátor, que generan una elevada carga computacional en los controladores digitales. Otra alternativa para modelar la máquina de cinco fases con bobinados concentrados es considerar la excitación de la máquina con inyección de la fundamental y del tercer armónico, con lo que las corrientes de estátor que circulan en la máquina serán: ias = I1 · sin(ω · t) + I3 · sin 3(ω · t) ibs = I1 · sin(ω · t − ϑ) + I3 · sin 3(ω · t − ϑ) ics = I1 · sin(ω · t − 2ϑ) + I3 · sin 3(ω · t − 2ϑ) (2.136) ids = I1 · sin(ω · t − 3ϑ) + I3 · sin 3(ω · t − 3ϑ) ies = I1 · sin(ω · t − 4ϑ) + I3 · sin 3(ω · t − 4ϑ) En aplicaciones prácticas se suele adoptar el valor máximo de corriente del tercer armónico I3 como 15 % del valor de corriente máxima de la fundamental I1 . Con esto se consigue una forma de corriente muy proxima a una trapezoidal, tal como se muestra en la Fig. 2.15. 65 Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases La matriz de transformación invariante en potencia para las variables de estátor referidas al marco de referencia general será: cos(θ ) a sin(θa ) r 2 [Tas ] = · cos 3(θa ) 5 sin 3(θa ) cos(θa −ϑ) cos(θa −2ϑ) cos(θa −3ϑ) sin(θa −ϑ) sin(θa −2ϑ) sin(θa −3ϑ) cos 3(θa −ϑ) cos 3(θa −2ϑ) cos 3(θa −3ϑ) sin 3(θa −ϑ) sin 3(θa −2ϑ) sin 3(θa −3ϑ) 1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 √1 2 cos(θa −4ϑ) −1 = [Tas ]T cos 3(θa −4ϑ) ; [Tas ] sin 3(θa −4ϑ) sin(θa −4ϑ) 1 √ 2 (2.137) Mientras que la matriz de transformación para las variables del rotor es: cos(δ) cos(δ−ϑ) sin(δ) r 2 [Tar ] = · cos 3(δ) 5 sin 3(δ) δ = θa − θ, y cos(δ−3ϑ) sin(δ−ϑ) sin(δ−2ϑ) sin(δ−3ϑ) cos 3(δ−ϑ) cos 3(δ−2ϑ) cos 3(δ−3ϑ) sin 3(δ−ϑ) sin 3(δ−2ϑ) sin 3(δ−3ϑ) √1 2 1 √ 2 √1 2 √1 2 Siendo cos(δ−2ϑ) θ cos(δ−4ϑ) sin(δ−4ϑ) −1 = [Tar ]T cos 3(δ−4ϑ) ; [Tar ] sin 3(δ−4ϑ) (2.138) √1 2 la coordenada polar del eje ar respecto al eje as, de la misma forma referida en el modelo de la máquina de bobinados distribuidos en el marco de referencia general. El modelo vectorial resultante en el subespacio d1q1 a a a a ~vsd1q1 = Rs · ~isd1q1 + p · ~λsd1q1 + j · ωa · ~λsd1q1 a a a 0 = Rr1 · ~ird1q1 + p · ~λrd1q1 + j · (ωa − ωr ) · ~λrd1q1 ~λ a = Ls1 · ~i a + M1 · ~i a sd1q1 sd1q1 rd1q1 ~λ a = M1 · ~i a + Lr1 · ~i a rd1q1 sd1q1 rd1q1 Y el modelo en el subespacio es: (2.139) (2.140) d3q3: a a a a = Rs · ~isd3q3 + p · ~λsd3q3 + j · 3 · ωa · ~λsd3q3 ~vsd3q3 a a a 0 = Rr3 · ~ird3q3 + p · ~λrd3q3 + j · 3 · (ωa − ωr ) · ~λrd3q3 ~λ a = Ls3 · ~i a + M3 · ~i a sd3q3 sd3q3 rd3q3 ~λ a = M3 · ~i a + Lr3 · ~i a rd3q3 sd3q3 rd3q3 66 (2.141) (2.142) Capítulo 2. Modelado de la Máquina de Inducción de Cinco Fases Mientras que el par electromagnético de la máquina se obtiene por medio de la siguiente ecuación: e e e e Te = P · ~λsd1q1 × ~isd1q1 + 3 · ~λsd3q3 × ~isd3q3 (2.143) El modelo de la máquina de bobinados concentrados consta de un segundo subespacio más complejo que el obtenido en las máquinas de bobinados distribuidos, lo que esto provoca una carga mayor de cálculos al implementar el modelo en un controlador digital. Toda técnica de control implementada en una máquina de bobinados distribuidos podrá ser implementada en la máquina de bobinados concentrados, siendo necesario un mayor esfuerzo computacional pero generando un mayor rendimiento energético. 67 Capítulo 3 Bancada de Ensayos En las siguientes páginas se detalla el diseño de la bancada de ensayos experimentales. En él se incluyen la metodología del rebobinado de la máquina de inducción de cinco fases, así como también las características más relevantes de los convertidores de potencia utilizados para el control. Se presenta además la placa de control basada en un dsp de TM Texas Instrument de la familia Delno y el diseño de la aparamenta de potencia. Finalmente, se muestra el diseño analógico utilizado para el acondicionamiento de las señales provenientes de los distintos sensores, y la placa de acondicionamiento de señal utilizada durante la realizacion de las pruebas experimetales. 3.1. Accionamiento Electromecánico de Cinco Fases Figura 3.1: Accionamiento electromecánico de cinco fases El accionamiento electromecánico de cinco fases, se diseñó a partir de una máquina originalmente trifásica de 4 kW de potencia nominal con 30 ranuras y dos pares de polos. 68 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.2: Representación del accionamiento electromecánico en variables de fase y ejes (α − β) Los bobinados del estátor de la máquina original fueron rebobinados para construir una máquina con una potencia nominal equivalente, con 30 ranuras y tres pares de polos. La máquina de seis fases posee cinco bobinados identicos separados espacialmente entre sí en 72◦ grados eléctricos, desde la bornera del motor se tiene acceso a ambos conectores de las bobinas, por lo tanto se puede usar la conguración estrella o poligono u otra conguración conveniente para realizar las pruebas correspondientes. En la Figura 3.2 se muestra la representación de los ejes (α − β). Por otro lado, en la gráca de la Figura 3.3, puede observarse la forma en la que fue rebobinado el estátor de la máquina de cinco fases. En las grácas de la gura cada traza nombradas con letras desde A hasta E representan cada una de las fases de la máquina. 3.2. Convertidor de Potencia (VSI) Dos módulos Semistack-igbt fabricados por la empresa Semikron Inc. (serie sks 21f b6u), fueron utilizados para controlar la máquina. Estos módulos incluyen circuito de precarga y son capaces de manejar corrientes de hasta 21 amperios. Cada módulo posee incorporado dos sensores de corriente de efecto Hall de la serie lem 55-p para la medida de las corrientes de fase de la máquina. En la Tabla 3.1, se muestran algunas de las 69 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.3: Diagrama del rebobinado del estátor de la máquina de cinco fases características más relevantes de este dispositivo. Cada módulo VSI posee una etapa recticadora no controlada con un banco de condensadores que conforman el DC-Link, conectado a una conguración inversora trifásica formada por semiconductores del tipo igbt. En la tabla se detallan los niveles de tensión admisibles, la corriente máxima y el ancho de banda que dene la frecuencia de conmutación de los IGBTs. Seistack -IGBT de la empresa Semikrom INC. SKS 21F B6U Frec. de Conm.[kHz] Vac-Vdc[V] Ic[A] 21 FSW max 15 380 FSW max 10 750 Tabla 3.1: Resumen de las principales características del inversor de tensión seleccionado Por otro lado, en la Figura 3.4, puede observarse un esquema interno simplicado del 70 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.4: Esquema interno simplicado del SKS 21F B6U módulo SKS 21F B6U suministrado por el fabricante. En este esquema pueden apreciarse la etapa recticadora, el circuito de pre-carga y las líneas de salida del módulo, una descripción más detallada puede encontrarse en el manual técnico proporcionado por el fabricante [42]. 3.3. Sensor de Velocidad La velocidad de giro de la máquina es medida utilizando un sensor óptico incremental fabricado por la empresa Herrekor (serie GHM5 S6). El sensor óptico posee dos canales y es capaz de proporcionar hasta 10000 pulsos por revolución, si se realiza una combinación adecuada de las señales de ambos canales. Una información detallada de las características del sensor de velocidad puede consultarse en la hoja técnica proporcionada por el fabricante [43]. En la Figura 3.5 se muestra una fotografía del sensor de velocidad empleado. Este dispositivo, que se encuentra acoplado directamente al eje de la máquina utiliza un fotodetector que genera un tren de pulsos cuya frecuencia es directamente proporcional a la velocidad de giro de la máquina. Utilizando los periféricos especícos del DSP de la familia TMS320LF28335 proveído por la empresa Texas Instruments, es posible medir la velocidad de giro del accionamiento electromecánico multifásico. 71 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.5: Codicador de posisión incremental acoplado al eje del motor a traves de correa Figura 3.6: Placa MSK28335 3.4. Placa de Control Los algoritmos de control se han implementado utilizando una placa de desarrollo de la serie MSK28335 fabricada por la empresa Technosoft. Esta placade control incluye un dsp de la serie TMS320LF28335 de la empresa Texas Instruments. Una fotografía de la placa puede apreciarse en la Figura 3.6. La selección de esta placa de control se justica desde el punto de vista de los periféricos disponibles para el control del accionamiento multifásico. En particular, el dsp de la familia 28335 proporciona los periféricos necesarios para el control en tiempo real del sistema. Entre los periféricos más relevantes para esta aplicación se pueden destacar por un lado, las 12 salidas pwm que son utilizadas para el control de dos convertidores de potencia independientes, incluyendo además un control de tiempo muerto programable, y por otro, un periférico encargado de procesar la señal proveniente del sensor de velocidad 72 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.7: Diagrama de bloques de la plataforma experimental de adaptación de señales (encoder de cuadratura), lo cual facilita en gran medida la medición de la velocidad mecánica de la máquina. Finalmente, posee un conversor A/D de alta prestación con 16 canales de 12 bits y una tasa de conversión superior a los 12.5 Msps. Una descripción más detallada del sistema de control (hardware + software) puede consultarse en la hoja técnica proporcionada por el fabricante [44], [45]. 3.5. Plataforma Experimental A n de mantener la integridad del sistema, la señal del sensor de velocidad y las señales de control de los dispositivos de potencia son opto-acopladas en la placa de acondicionamiento de señal. Como se ha puesto de maniesto en el apartado anterior, la placa de control está basada en el dsp TMS320LF28335 Texas Instruments y en el sistema de desarrollo MSK28335 de la empresa Technosoft. Los algoritmos de control se han escrito en lenguaje c utilizando un pc compatible, con un procesador Pentium de 2 ghz, ejecutando un sistema operativo Windows xp. Los algoritmos de control que se han diseñado son descargados desde el computador al dsp, empleando el puerto serie rs232. Todos los códigos de control implementados fueron optimizados para alcanzar una frecuencia de muestreo cercana a los 5 kHz, dependiendo de la función de costo implementada. Un diagrama de bloques de la bancada de ensayos 73 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.8: Componentes de la aparamenta de potencia experimentales puede observarse en la Figura 3.7. En las fotografías de la Figura 3.8 pueden apreciarse los componentes de la aparamenta de potencia utilizada en el marco de este trabajo. Se muestran la placa de acondicionamiento de señal, la placa de control, los convertidores de potencia, los dispositivos de protección y la máquina de inducción de doble devanado trifásico independiente y asimétrico. 3.6. Circuitos de Acondicionamiento de Señal En la Figura 3.9, se muestra el esquemático del circuito correspondiente a la etapa de conversión de corriente a tensión (I-V), utilizado para acondicionar las señales de los sensores de corriente de efecto Hall de los convertidores de potencia, la salida de este 74 Capítulo 3. Bancada de Ensayos amplicador es conectada directamente a la entrada de los conversores A/D de la placa de control. Tal como puede apreciarse, el esquema diseñado posee un convertidor de corriente a tensión resistivo, conectado a una conguración sumador inversor, calibrado de tal forma a que si la corriente circulante por el sensor de efecto Hall es cero, la salida del amplicador de tensión sea de 1.5 voltios. De esta manera, la tensión a la salida del primer amplicador operacional uctúa entre 1.5 V, conforme la corriente sea positiva o negativa, el rango de medida de corriente para este diseño es de ±25 A, considerando que la sensibilidad del sensor según datos del fabricante es de 1 mA por cada 1 A que circula por el sensor. Puede apreciarse además en la Figura B.10 que el primer amplicador posee un ltro paso bajo conformado por la red RC conectada en el lazo de realimentación Figura 3.9: Esquemático del circuito adaptador se señal de tension del DC-Link El primer amplicador operacional, es un amplicador de tensión de la serie OPA27 fabricado por la empresa Texas Instruments. La tensión de alimentación de este dispositivo es simétrica de ±15 V. La segunda etapa se basa en un amplicador operacional de tensión de la serie OPA350 en conguración inversora y con ganancia unitaria. La tensión de alimentación de este dispositivo es positiva de 3.3V, lo que proporciona un rango de excursión de señal compatible con las entradas del conversor A/D de la placa de control. La placa de acondicionamiento de señal posee cuatro esquemas identicos, uno para cada sensor de corriente de efecto Hall. 75 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.10: Esquemático del circuito adaptador se señal de tension del DC-Link Para el caso del sensor de velocidad se dispone de dos comparadores con histéresis, cuyo esquematico se muestra en la gura 3.11. Los pulsos digitales que provienen del sensor de velocidad son previamente acondicionesdos mediante un opto-acoplador de la serie 6N137. Los pulsos de salida del opto-acoplador son introducidos al comparador con histéresis, basado en un amplicador operacional de la serie OPA350 cuya nalidad es proporcionar robustez frente a posibles fuentes de ruido en la linea de medida. La salida del circuito comparador es introducida directamente al periférico capturador (QEP) de la placa de control. Tal como puede observarse en el esquematico de la gura 3.10, se reduce la tensión del DC-Link mediante un divisor de tensión resistivo y se introduce la señal atenuada a un amplicador operacional de tensión de la serie OPA27, en conguración inversora y con ganancia unitaria. La salida de este amplicador es conectada en cascada a un amplicador operacional de tensión de la serie OPA350, en conguración inversora, con ganancia unitaria y un ltro pasa bajo. La salida del circuito es compatible con los niveles de tensión admisibles del convertidor A/D interno de la placa de control. La resistencia variable que se observa a la entrada del esquema, permite congurar diferentes rangos de protección. 76 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.11: Esquematico del circuito adaptador de señal del codicador de cuadratura 3.7. Circuitos Impresos En las guras 3.13 y 3.12 se puede ver el ruteado de las placa de acondicionamiento de señales utilizada durante la elaboración de este trabajo. En estas guras se puede ver que se colocaron planos de tierra para aislar las interferencias electromagneticas provenientes de los circuitos inductivos. 77 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.12: Circuito de la placa de adaptación de señales lado inferior 78 Capítulo 3. Bancada de Ensayos Figura 3.13: Circuito de la placa de adaptación de señales lado superior 79 Capítulo 4 Métodos de Estimación de Parámetros 4.1. Metodo Standard para la Obtención del Pa¯ametros del Circuito Equivalente Actualmente existe una innidad de métodos para la estimación de parametros de máquinas eléctricas rotativas [46]. Como punto de referencia para este trabajo se toma parte de la norma IEC60034-2. 4.1.1. La Norma IEC 60034-2 En esta parte de la norma se establecen métodos para determinar eciencias y perdidas especicas de máquinas electricas rotativas. El procedimiento para la determinación del circuito equivalente arroja resultado similares a la norma americana IEEE Std 112 (año 2004): IEEE Standard test procedure for polyphase induction motors and generators[47] 4.1.1.1. Consideraciones Respecto a las Medidas a Efectuar Con respecto a las mediciones: Tensión aplicada: se toma la media aritmética de las tensiones de línea medidas. Corriente absorbida: se toma la media aritmética de las corrientes de línea medidas. Resistencia: se toma la media aritmética de las resistencias medidas. Frecuencia aplicada: se admite una tolerancia del 0,3 % respecto la frecuencia nominal. 80 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros Respecto a los aparatos de medida: Precisión de los aparatos de medida: 0,2 %. Precisión de los transformadores de medida: 0,3 %. Precisión en las medidas de par: 0,2 %. Precisión en las medidas de frecuencia: 0,1 % Precisión en las medidas de resistencia: 0,2 % Precisión en las medidas de velocidad: 0,1 % o 1 rpm. Precisión en las medidas de temperatura: 4.1.1.2. 1◦ C. Ensayo para Determinar Resistencia de Estator Se mide la resistencia entre los bornes de linea de conexión del motor. Segun la conguración de conexión la resistencia de fase sera segun se especica en la tabla 4.1 Conexión estrella Rf ase = 0,5Rmedida Conexión triangulo Rf ase = 1,5Rmedida Bobina individual Rf ase = Rmedida Tabla 4.1: Relación entre resistencia de fase y resistencia de medida La resistencia medida debe referirse a la temperatura de referencia de 25◦ C. Para determinar la temperatura de funcionamiento a la que debe referirse la resistencia, debe usarse alguno de los métodos siguientes: Temperatura determinada en el ensayo de resistencia a plena carga. Temperatura medida directamente mediante sonda o termopar. Asumiendo la temperatura según la clase de aislamiento: • Clase B 95◦ C • Clase F 115◦ C • Clase H 135◦ C 81 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros 4.1.1.3. Ensayo sin Carga o en Vacío Mediante el ensayo de vacío de un motor de inducción es posible determinar las pérdidas rotacionales del mismo, ofreciéndonos además información sobre su corriente de magnetización. En estas condiciones las únicas cargas del motor son las fricciones y las pérdidas por efecto del aire, por tanto, toda la potencia convertida es absorbida por las pérdidas mecánicas siendo su deslizamiento muy pequeño con lo que su resistencia correspondiente a su potencia convertida R2 (1−s)/s, es mucho más grande que la resistencia correspondiente a las pérdidas del cobre del rotor R2 y a su reactancia X2 . El circuito equivalente se reduce en este caso aproximadamente al mostrado en la gura 4.1, donde la resistencia de salida está en paralelo con la reactancia de magnetización XLM y las pérdidas en el núcleo RF e . Figura 4.1: Circuito equivalente de la máquina eléctrica asíncrona para prueba en vacío Se obtienen a partir del ensayo en vacío como mínimo a 7 tensiones diferentes, incluida la tensión nominal: Como mínimo 4 de estas tensiones deben estar entre el 125 % y el 60 % de la tensión nominal. Como mínimo 3 de estas tensiones deben estar entre el 50 % y el 20 % de la tensión nominal. Debe realizarse el ensayo en orden descendiente de tensiones, desestimando las medidas en el caso de que la corriente aumente. 82 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros Medir la resistencia al nalizar el ensayo. Se calculan las pérdidas por rozamientos-ventilación representando en una gráca las pérdidas constantes en función de la tensión aplicada en el ensayo de vacío al cuadrado. Las pérdidas buscadas corresponden al punto de corte con el eje de ordenadas de la recta de regresión que se obtiene 4.2. Figura 4.2: Representasión gráca de las perdidas en función de la tensión aplicada 4.1.1.4. Ensayo de Rotor Bloqueado Aplicando diversas tensiones al motor se midieron en cada caso los valores de intensidad, potencia y voltaje. Aunque se tomaron diversos valores, los más importantes son los que hacen uir una intensidad lo más cercana posible a su valor nominal. Como el rotor no gira, el deslizamiento es igual a la unidad (s=1) con lo que la resistencia R2 y X2 R2 /s del rotor es precisamente igual a R2 un valor bastante pequeño. Como son tan pequeños, casi toda la corriente de entrada circulará a través de ellos, en lugar de hacerlo a través de la reactancia de magnetización mucho más grande lo que el circuito resultante resulta ser una combinación serie de X 1 , X2 , y R2 , XM , por como se aprecia en la gura 4.3 Manteniendo el rotor bloqueado, aplicar la corriente nominal a 3 frecuencias diferentes: Una frecuencia alrededor del 25 % de la frecuencia nominal. 83 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros Dos frecuencias entre el 25 % y el 50 % de la frecuencia nominal. Durante el ensayo, la temperatura no debe incrementar más de 5K. Si no es posible disponer de variador de frecuencia, realizar el ensayo a la frecuencia nominal. Figura 4.3: Circuito equivalente de la máquina eléctrica asíncrona para prueba de rotor bloqueado 4.1.2. Ensayos en Vacío y Rotor Bloqueado con VSI En un principio, las pruebas en vacío y con rotor bloqueado utilizando un inversor de voltaje se realizan con el mismo procedimiento indicado en la norma IEC60034-2, con la salvedad de que al utilizar un inversor de voltaje, ademas de la frecuencia fundamental se estan introduciendo armónicos que dependen de la modulación PWM utilizada. Para el caso de una máquina electrica multifasica de 5 fases, se hace imprescindible el uso de inversor de voltaje, debido al hecho que de otra forma no se puede disponer de otra fuente de alimentación con voltajes desfasados entre si 72◦ . En este caso se tendrá que tener en cuenta las perdidas producidas por los armonicos inherentes del PWM[50] 4.1.3. Resultados Obtenidos Aplicando el método descripto anteriormente se obtubieron los resultados que se listan en la tabla 4.2 84 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros RS 12, 85[Ω] RR 11, 14[Ω] LLs 111, 56[mH] LLr 111,56[mH] LM 687, 83[mH] Tabla 4.2: Parámetros obtenidos con las pruebas en vacío y rotor bloqueado 4.2. El Método Stand-Still 4.2.1. Mínimos Cuadrados Recursivos El algoritmo de estimación de parámetro basado en los Mínimos Cuadrados Recursivos (RLS) es uno de los más populares. Este algoritmo provee de una tasa de convergencia mayor en comparación con el basado en Mínimos Cuadrados Medios, y en especial con señales con alto grado de correlación [51]. Aunque asumiendo un mayor costo computacional para el caso de estimaciones online. Para un algoritmo de estimación, la respuesta deseada del sistema esta dada por: d(n) = y(n) + v(n) = hT x(n) + v(n) Donde (4.1) y(n) = hT x(n) es la salida del sistema con los parámetros desconocidos y denidos por el vector h de entrada y v(n) de longitud L, x(n) = [x(n), x(n − 1), · · · , x(n − L + 1)]T es el vector es la señal de ruido presente en la medición, el cual asumimos es independiente a la señal del vector de entrada. El índice T denota el operador de transposición del vector. El objetivo del algoritmo es la estimación de los parámetros del vector del sistema por medio de un algoritmo recursivo que actualiza en cada rutina el vector estimado h ĥ(n) de la misma longitud que la requerida por el sistema. La señal de error en la estimación 85 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros esta dada por: e(n) = d(n) − ŷ(n) = d(n) − ĥT (n − 1)x(n) Donde ŷ(n) = ĥT (n − 1)x(n) en el tiempo (4.2) es la salida del sistema basado en los parámetros estimados n, el cual es obtenido utilizando los parámetros estimados en el tiempo n − 1 por medio del vector ĥ(n − 1). La presencia de ruido v(n) en el sistema hace necesario tomar consideraciones al respecto, pues ignorarlo provocaría también un ruido en la estimación de mezcla ĥ(n). y(n) + v(n) El correcto objetivo consiste en extraer la señal de ruido v(n) de la obtenida por medio de las observaciones. Las siguientes relaciones denen al algoritmo RLS: e(n) = d(n) − ĥT (n − 1)x(n) k(n) = P (n − 1)x(n) λ + xT (n)P (n − 1)x(n) (4.3) ĥ(n) = ĥ(n − 1) + k(n)e(n) 1 P (n) = P (n − 1) − k(n)xT (n)P (n − 1) λ Donde: P (n) λ es el factor constante (0 < λ ≤ 1), k(n) es el vector de ganancia de Kalman y es la inversa de la matriz de correlación. Para la aplicación del algoritmo se inicializa los parámetros estimados unitario o nulo y la matriz de correlación P (0) ĥ(0) a un valor a una matriz diagonal con sus entradas que indiquen un gran error para los valores iniciales propuestos. 4.2.2. Modelo de la máquina en Stand-Still La técnica a ser utiliza se basa la propiedad de la máquina operando en Stand-Still con lo que se consigue que la velocidad del rotor las variables del rotor ωr ωm sea cero y, por tanto, la velocidad de también serán nulas consiguiendo una importante simplicación 86 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros Figura 4.4: Esquema del conexionado de la máquina multifásica de cinco fases propuesto para conseguir la operación de la misma en Stand-Still. en el modelo de la máquina. Para generar una velocidad nula se debe generar un par electromagnético nulo, esto se puede conseguir anulando la excitación de una de las componentes en el plano de transformación de energía. Basados en el modelo de la máquina en el planos αβ xy z , la condición de Stand-Still en este trabajo se consigue neutralizando la componente de excitación β. Con esto se consigue que el par electromagnético sea nulo vericándose las condiciones de operación en Stand-Still de la máquina. Para conseguir todo esto se propone el conexionado monofásico mostrado en la Fig. 4.4. En esta gura se puede ver a cada bobinado con sus respectivos extremos donde el signo + representa la entrada del devanado en el conexionado en estrella, mientras que el signo − indica el punto coincidente con el punto común en el conexionado estrella del devanado. Se indica además las corrientes y tensiones manteniendo la convención denida para el conexionado en estrella de cada devanado de fase. Las relaciones de tensiones y corrientes resultantes del conexionado propuesto, su- 87 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros poniendo una simetría e igualdad de inductancias y resistencias por devanados de fase, son: va = Vdc vc = vd = −va = −Vdc vb = ve = ia = (4.4) 1 1 · va = · Vdc 2 2 2 · is 7 2 ic = id = −ia = − · is 7 1 1 ib = ie = · ia = · is 2 7 (4.5) Aplicando a la transformación de coordenadas las relaciones obtenidas en la ecuaciones (4.4)(4.5) las componentes en el plano αβ quedan denidas por la siguiente expresión: 2 · va + vb · ~a + vc · ~a2 + vd · ~a3 + ve · ~a4 5 4 2 ϑ ~vs = vsα = · Vdc · cos ( ) − cos(2ϑ) 5 2 (4.6) ~is = 2 · ia + ib · ~a + ic · ~a2 + id · ~a3 + ie · ~a4 5 8 ϑ 2 ~is = isα = · is · cos ( ) − cos(2ϑ) 35 2 (4.7) ~vs = Siendo ϑ= 2π 5 y ~a = ej·ϑ . De esta forma se consigue anular la componente β de la tensión y corriente en la máquina. En la Fig. 4.5, se muestra el esquema vectorial obtenido para las tensiones aplicado al conexionado propuesto, se nota que la componente resultante solo posee componente en el eje α por la simetría que existe respecto a ese eje. El mismo esquema representaría a las corrientes, obteniéndose una componente no nula solamente en el eje α. En la Fig. 4.6 se muestra el circuito equivalente de la máquina operando en Stand-Still en el plano α β . Se puede observar la ausencia de la componente de ujo debido a que la 88 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros (a) (b) Figura 4.5: Esquema vectorial de tensión en el plano el plano αβ α β . (a) Vectores de tensión en resultantes del conexionado propuesto. (b) Vector resultante de la suma vectorial alineado con el eje α. Figura 4.6: Circuito equivalente de la máquina de cinco fases operando en Stand-Still. velocidad de la máquina es nula. De esta manera se consigue una gran simplicación en el modelo orientado a la estimación de los parámetros de la máquina. Las ecuaciones en este plano quedarán denidas por el siguiente sistema expresado en forma matricial: v R + Ls · p 0 M ·p 0 i sα s sα 0 0 Rs + Ls · p 0 M · p isβ = · 0 M ·p irα 0 Rr + Lr · p 0 0 0 M ·p 0 Rr + Lr · p irβ 89 (4.8) Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros Con lo que el par de ecuaciones útiles para el análisis serán: vsα = (Rs + Ls · p) · isα + M · p · irα (4.9) 0 = M · p · isα + (Rr + Lr · p) · irα De la ecuación resultante en el rotor del sistema obtenido en la ecuación (4.9) se obtiene la siguiente ecuación: irα = − M · p · isα M p · isα =− · Rr + Lr · p Lr p + τ1r (4.10) Combinando la ecuación del estátor del sistema (4.9), con la obtenida en (4.10) se obtiene la siguiente expresión: vsα = (Rs + Ls · p) · isα − Tc · p2 p+ 1 τr · isα Tc · p · isα (p · τr + 1) Tc · p = Rs · (1 + p · τσ ) · isα + · isα (p · τr + 1) vsα = (Rs + σ · Ls · p) · isα + vsα Siendo Tc = M2 Lr y τσ = σ · Ls . Rs (4.11) En esta última expresión de denota que la respuesta del sistema puede ser dividida en dos términos, correspondientes al estátor y rotor. La respuesta del estátor esta dada por la constante de tiempo τσ que es mucho más rápida que la respuesta del rotor. Esta propiedad es utilizada con el n de simplicar aún más la determinación de los parámetros del sistema en base a la respuesta a perturbaciones de elevada frecuencia. El mismo análisis es aplicado en el plano xy , utilizando las relaciones obtenidas en las ecuaciones (4.4)(4.5), quedando denidas sus componentes por las siguientes expresiones: 2 · va + vb · ~a2 + vc · ~a4 + vd · ~a + ve · ~a3 5 4 ~vs = vsx = · Vdc · cos(ϑ) · [cos(ϑ) − 1] 5 (4.12) ~is = 2 · ia + ib · ~a2 + ic · ~a4 + id · ~a + ie · ~a3 5 ~is = isx = 8 · is · cos(ϑ) · [cos(ϑ) − 1] 35 (4.13) ~vs = 90 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros (a) (b) Figura 4.7: Esquema vectorial de tensión en el plano el plano x y x y . (a) Vectores de tensión en resultantes del conexionado propuesto. (b) Vector resultante de la suma vectorial alineado con el eje x. Análogamente, solo se obtiene una pequeña componente en el eje x. Un esquema vectorial de tensión en este plano es presentado en la Fig. 4.7, en el mismo se nota la simetría de los vectores respecto al eje x con lo que se consigue que la componente resultante quede denida en ese mismo eje, al mismo tiempo la disposición de los vectores hace que la componente en este eje sea reducida. El plano xy queda reducido al mismo sistema de primer orden obtenido en le modelado de la máquina. El mismo resultado se obtendrá del análisis de corrientes en este plano. En el plano z tanto la proyección de tensión como la de corriente serán nulas pues la sumatoria de las componentes en variables de fase es cero. 4.2.3. Estimación de Rs Para la estimación de la resistencia de estátor DC siguiendo el esquema mostrado en la Fig. 4.8. 91 Rs , se utiliza el tradicional ensayo de Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros Figura 4.8: Esquema del ensayo DC para las máquinas multifásicas de cinco fases. Del esquema utilizado para el ensayo se deduce que la resistencia del estátor estará dada por: Rs = Para la determinación de Rs Vdc 2 · idc (4.14) se realizó el ensayo utilizando todas las combinaciones entre fases para la máquina de cinco fases, y en este casos utilizando los mínimos cuadrados medios para resolver el sistema resultante de las mediciones de ocho ecuaciones con cinco incógnitas se obtiene: Rs = 12,85 (Ω) (4.15) Mediante la medición directa con un polímetro el resultado obtenido fue de 4.2.4. Estimación de σ , Ls y 12,8 (Ω). τr Para intervalos de tiempo mucho menores a los de la constante de tiempo del rotor la respuesta de corriente obtenida se puede considerar igual a la respuesta del estátor. Para una excitación dada por un tren de pulsos, la pendiente de la corriente se considera esta dada por inductancia de cortocircuito σ · Ls y la ecuación que representa este comportamiento esta dada por la siguiente expresión: vsα = (Req + σ · Ls · p) · isα 92 (4.16) Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros Figura 4.9: Excitación propuesta para determinar la inductancia de corto circuito. Donde Req es una resistencia equivalente para el que depende de otros parámetros aparte de la resistencia del estátor. Por medio del algoritmo RLS, puede estimarse el valor de σ · Ls . La Fig. 4.9 muestra el patrón de pulsos propuestos para la estimación de la inductancia total de fuga del estátor. Este patrón es aplicado a una frecuencia fundamental constante de manera a poder procesar las mediciones obtenidas en un rango de frecuencia adecuado. 4.2.5. Resultados obtenidos Aplicando el método descripto anteriormente se obtubieron los resultados que se listan en la tabla 4.3 93 Capítulo 4. Métodos de Estimación de Parámetros RS 12, 85[Ω] RR 11, 35[Ω] LLs 80,9[mH] LLr 75,8[mH] LM 176[mH] Tabla 4.3: Parámetros obtenidos con el método Stand-Still 94 Conclusiones y Futuros Trabajos Conclusiones En este trabajo ha analizado una máquina de inducción de cinco fases, como accionamiento multifásico de gran interes para aplicaciones de alto rendimiento y abilidad. Se ha estudiado el comportamiento del sistema modelándolo en diferentes sistemas de referencia (jo y móviles). Se ha analizado, además, diferentes topologías, con bobinados distribuidos o concentrados, comparando las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos. Las técnicas de estimación de parámetros aplicadas a los accionamientos de tipo trifásicos, se han extendido al uso en multifásicos de cinco fases, analizandose el comportamiento del sistema. Finalmente se presentan los resultaso experimentales optenidos durante los ensayos a rotor bloqueado y en vacío, y los optenidos con un método Stand-Still 95 Conclusiones y Futuros Traba jos Futuros Trabajos Los futuros trabajos a realizar a partir de este estudio fueron clasicados como principales y secundarios. Principales Los futuros trabajos principales a ser desarrollados son: 1. Obtención de resultados experimentales con otros métodos de estimación para validar los resultados optenidos durante este trabajo. 2. Aplicación de los parámetros optenidos en estrategias de control de alto rendimiento. Secundarios Como futuros trabajos secundarios, se pueden citar: 1. Estudio e implementación de estrategias de estimación de parámetros online 2. Análisis de los efectos de la saturación al modelado de la máquina. 96 Bibliografía [1] E. Levi, R. Bojoi, F. Profumo, H. Toliyat, y S. 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