Transparencias

Oscilaciones: Introducción
Movimientos Periódicos
• Periódico: movimiento que se repite
• Periodo: el tiempo necesario para que se produzca la
repetición
• Ejemplos de movimientos periódicos
– Rotación de la Tierra alrededor del Sol, período = 1 año
– Oscilación de un péndulo
– Movimiento de las manecillas de un reloj
– Masa colgada de un muelle
• Movimiento armónico simple (MAS):
– Forma más sencilla de oscilación
– En una dimensión, x
Movimiento armónico simple
MAS
Movimiento armónico simple: cuando el desplazamiento
alrededor de la posición de equilibrio, x es
x = A cos(ωt + δ )
A= amplitud= máximo desplazamiento
δ= fase inicial, ω= frecuencia angular
T= periodo= tiempo que se necesita para que se repita el movimiento
T = Tiempo que tarda en hacerse una oscilación
cos(ωt + δ + 2π ) = cos(ω (t + T ) + δ ) ⇒
T =
2π
ω
υ= frecuencia = 1/T= número de oscilaciones por unidad de tiempo
1
MAS: movimiento circular uniforme
En el mov. circular
uniforme, el ángulo
barrido es θ= ωt
x=r cos θ=r cos ωt
y=r sen θ=r sen ωt
Velocidad y aceleración en un MAS
x = A cos(ωt + δ )
dx
v=
= xɺ = −ω Asen(ωt + δ )
dt
dv d 2 x ɺɺ
a=
= 2 = x = −ω 2 A cos(ωt + δ )
dt
dt
a = xɺɺ = −ω 2 x
a = xɺɺ = −kx
Un MAS es un movimiento en
el que la aceleración es
proporcional y de sentido
contrario al desplazamiento
2
x = A cos(ω t + δ )
xm a x = ± A
v = −ω Asen(ωt + δ )
v max = ±ω A
v = ω A2 − x 2
a = −ω 2 A cos(ω t + δ )
a = −ω 2 x
2ª Ley de Newton
F = ma = mxɺɺ
En un MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento
y opuesto a él.
mxɺɺ = m( −ω 2 x ) ⇒ xɺɺ + ω 2 x = 0
Ecuación
diferencial
de un MAS
ω, y por tanto T dependen del problema en cuestión
(masa, longitud, fuerza,....). No depende de las
condiciones iniciales
3
A y δ sólo dependen de las condiciones iniciales. Si en
t=0, x=x0, v=v0
x = xo = A cos(ω 0 + δ ) = A cos δ
v = v o = −ω Asen(ω 0 + δ ) = −ω Asenδ
Como
cos(α + β ) = cos α cos β − senα sen β
x = A cos(ωt + δ ) = A cos ωt cos δ − A senωt senδ
v
= xo cos ωt + o senωt
ω
v = v o = −ω xo senωt + v o cos ωt
Ejemplos de MAS: masa conectada a un
muelle horizontal
K= constante elástica
del muelle
Fuerza elástica es
proporcional al
desplazamiento
F = −kx
F = mxɺɺ = −kx ⇒ mxɺɺ + kx = 0
xɺɺ + ω 2 x = 0
ω=
k
m
T = 2π
m
k
4
Energía Potencial
La fuerza elástica es conservativa
F =−
dU
⇔ dU = −Fdx
dx
1
∫ −Fdx = ∫ kxdx = 2 kx
2
+ cte
Si xo=0 y U(0)=0
U=
1 2
kx
2
Energía cinética y potencial
1 2 1
kx = k ( A cos(ωt + δ ))2 =
2
2
1
1
mω 2 x 2 = mω 2 A2 cos2 (ωt + δ )
2
2
U=
En x=±A
Umax =
1 2 1
kA = mω 2 A2
2
2
T =
=
En x=0
Tmax =
En x=0 Umax=0
1
1
mv 2 = m( − Aωsen(ωt + δ ))2 =
2
2
1
mω 2 A2sen 2 (ωt + δ )
2
1 2 1
kA = mω 2 A2
2
2
En x=±A T=0
5
Energía Total
1
1
Etotal = T + U = mω 2 A2 cos2 (ωt + δ ) + mω 2 A2sen 2 (ωt + δ ) =
2
2
1
1
mω 2 A2 = kA2
2
2
1
U = kx2
2
U(x)
T
1
1
Etotal = kA2 = mω2A2
2
2
1
T = k(A2 − x2)
2
U
Masa colgada de un muelle
m
d2y
= −ky + mg
dt 2
No es la ecuación de un MAS
Si tomamos como variable
y’=y-y0
ky = k ( y '+ y 0 ) = ky '+ mg
m
d 2 y'
d 2 y'
=
−
ky
'
−
mg
−
mg
⇒
m
+ ky ' = 0
dt 2
dt 2
y ' = A cos(ωt + δ )
U = Uel + Ugr =
1
ky '2
2
6
Péndulo simple
La aceleración tangencial es d2s/dt2.
La componente tangencial de las
fuerzas es
d 2s
m 2 = −mgsenθ
dt
s
sɺɺ + gsenθ = 0 ⇔ sɺɺ + gsen = 0
L
No es MAS
g
Si θ= s/L es pequeño sɺɺ + s = 0
L
⇒ sen s/L≈s/L
g
ω=
L
MAS con solución
s = smax cos(ωt + δ )
Péndulo simple
Ya que s=Lθ
g
L
θɺɺ + θ = 0
Ecuación de un MAS
θ = θmax cos(ωt + δ )
Si tomamos y=0 en θ=0 y U(0)=0
U ( y ) = mgy = mgL(1 − cos θ )
1 2 ɺ2
mL θ + mgL(1 − cos θ )
E=E(θ) no es cte
2
El movimiento es MAS sólo para desplazamientos pequeños
respecto de la posición de equilibrio (sólo para ángulos pequeños)
1
U ( y ) = mgL(1 − cosθ ) ≈ mgLθ 2
Si θ es pequeño cos θ≈1- θ2/2
2
1
1
1
g
E = T + U = mL2θɺ2 + mgLθ 2 = mL2 θ 2maxsen 2 (ωt + δ ) +
2
2
2
L
1
1
mgLθ 2max cos2 (ωt + δ ) ⇒ E = mgLθ 2max = cte
2
2
E =T +U =
7
Movimiento en las proximidades del
equilibrio
Si x1 es un punto de equilibrio estable, la fuerza es de signo contrario
al desplazamiento (tiende a devolver a la partícula a x1)
F(x)
x1
x2
x
Parábola aproximándose a U cerca
del punto de equilibrio estable
F = −K ( x − x1 ) = −k ε
Oscilaciones amortiguadas
• En todos los movimientos reales, incluidos los oscilantes,
se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fuerza de
rozamiento.
• Cuando la energía mecánica del
movimiento oscilante disminuye en el
tiempo, se dice que este es amortiguado
• si las fuerzas de rozamiento o
amortiguamiento son pequeñas, el
movimiento es casi periódico excepto que
la amplitud disminuye lentamente con el
tiempo.
8
Oscilaciones amortiguadas
• En muchas situaciones las fuerzas de amortiguamiento pueden
aproximarse por
F = −bv
• El grado de amortiguamiento dependerá del valor de b.
• Por oponerse estas fuerzas al sentido del movimiento estas
fuerzas producen siempre un trabajo negativo.
• Sobre un sistema actúa una fuerza elástica y una fuerza de
amortiguamiento. Según la ley de Newton
∑ F = ma = mɺxɺ
∑ F = −kx − bxɺ = mɺxɺ
Dividiendo por m y con
→ ɺxɺ + 2γxɺ + ω 02 x = 0
mɺxɺ + bxɺ + kx = 0
b
= 2γ
m
ω 02 =
k
m
Ecuación del mov. Armónico
amortiguado
Oscilaciones amortiguadas
→ ɺxɺ + 2γxɺ + ω 02 x = 0
La solución cuando el amortiguamiento es pequeño , γ < ω0 es
x = Ae −γt cos(ωt + α )
ω = ω −γ =
2
0
2
k
b2
−
m 4m 2
A y α son constantes que dependen de las condiciones iniciales
el amortiguamiento produce una disminución de la frecuencia
(frecuencia disminuye y T aumenta).
la amplitud de las
oscilaciones no es constante,
A’ = A* e-γt
9
Sobreamortiguamiento
• Si el amortiguamiento es muy grande γ > ω0, y ω no es real: no
hay oscilaciones y la partícula si se la desplaza y se deja libre, se
aproxima a la posición de equilibrio sin pasarla o pasándola como
mucho a la vez.
• Cuanto mayor sea el amortiguamiento b más tiempo tarda el
sistema en volver a la posición de equilibrio.
• Si bc = 2mω0, entonces ω=0. A bc se la llama condición del
amortiguamiento crítico.
• Cuando b=bc, la masa vuelve a la posición de eq en el menor
tiempo posible sin realizar ninguna oscilación
Críticamente amortiguado
• b < bc mov. amortiguado
• b = bc mov. amortiguado críticamente
• b > bc mov. Sobreamortiguado
Sobreamortiguado
• El trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento es negativo,
así pues hace disminuir la energía mecánica del sistema.
• Esto lo podemos ver calculando la potencia que produce esta
fuerza.
dW F cos φds
P=
=
= F cos φv = Fv = −bv 2
dt
dt
Se dice que se disipa energía y potencia
¿cuánto vale la variación de energía?
E=
dv
dv
1 2 1 2
m
= −bv − kx ⇒ −bv = m + kx
mv + kx
dt
dt
2
2
dE 1
dv 1
dx
dv
= m(2v + 2kx ) = v( m + kx ) = −bv 2
dt 2
dt 2
dt
dt
La variación de la energía mecánica es igual a la potencia disipada.
Esta energía es cedida al medio, normalmente como calor.
Cuando el amortiguamiento es pequeño
E (t ) = E e − ( b / m ) t
0
10
Oscilaciones Forzadas
• Consideremos una fuerza externa adicional, además de la fuerza
amortiguadora y de la restauradora.
• La fuerza externa aumenta la energía mecánica del oscilador si
actúa en el sentido del movimiento, y absorbe energía si lo hace
en sentido contrario al movimiento.
• Esto es lo que ocurre en el caso de la masa suspendida de un
muelle. El trabajo realizado por el peso es positivo cuando el
muelle se estira, y negativo cuando el muelle se comprime.
• El trabajo neto realizado en un ciclo, en una oscilación es 0, y la
fuerza constante no modifica la energía del sistema. Una fuerza
constante sólo varía la posición de equilibrio del sistema.
• Un tipo particularmente importante de fuerza externa es aquella
que varía sinusoidalmente con el tiempo
Fext = F0 senωt
Fext = F0 senωt
• donde ω es la frecuencia angular de la fuerza externa que no tiene
porqué estar relacionada con ω0.
• Una masa sujeta a un muelle de constante recuperadora K = m,
sometido a una fuerza amortiguadora –bv y a una fuerza externa
tiene como ecuación del movimiento
Σ = −mω 02 x − bv + F0 senωt = ma = m
m
d 2x
dx
+ b + mω 02 x = F0 senωt
2
dt
dt
dv
d 2x
=m 2
dt
dt
La solución de esta ecuación es
x(t ) = A' e − (b / 2 m ) t cos(ω ' t + δ ' ) + Asen(ωt − δ )
donde A’ y δ’ son constantes que pueden obtenerse de los valores
iniciales de x0 y v0.
11
x(t ) = A' e − ( b / 2 m ) t cos(ω ' t + δ ' ) + Asen(ωt − δ )
A=
F0
m 2 (ω 02 − ω 2 ) 2 + b 2ω 2
tan δ =
senδ =
bω
m (ω − ω ) + b ω
2
2
0
2 2
2
2
=
bωA
F0
bω
m(ω 02 − ω 2 )
El primer término se llama solución transitoria.
Después de un tiempo bt/2m >> 1 la exponencial se hace muy pequeña, y
esta parte de la solución completa resulta despreciable debido a la
disminución de la amplitud.
El segundo miembro de x(t) se llama solución estacionaria, en ella A no
varía en función de t. Después de un tiempo t >> 2m/b podemos
despreciar la solución transitoria, y la posición de la partícula vendrá dada
por
x (t ) = Asen (ωt − δ )
sin que importen las condiciones iniciales.
dx
• La velocidad en el estado estacionario es v = dt = Aω cos(ωt − δ )
La potencia que produce la fuerza impulsora
P = Fv = ( F0 senωt ) Aω cos(ωt − δ ) = AωF0 senωt cos(ωt − δ )
Teniendo en cuenta
cos(ωt − δ ) = cos ωt cos δ + senωtsenδ
P = Aω F0 ( sen 2ωtsenδ + cos δ cos ωtsenω t )
1
sen2(θ )
La potencia producida varía con el
tiempo a lo largo de un ciclo.
Durante un ciclo, el coseno es
tantas veces positivo como
negativo y su valor medio es nulo.
El valor medio del sen2 durante un
ciclo es ½.
0,5
0
0
2
4
6
8
10
θ (radianes)
12
• la potencia media durante un ciclo es
Pm =
(A =
1
1
1 F02
ω AF0 senδ = bω 2 A 2 =
2
2
2 b sen 2δ
F0
m (ω − ω 2 ) 2 + bω 2
2
2
0
Pm =
bω 2 F02
1
1
= bω A 2
2
2
2 2
2
2 m (ω 0 − ω ) + bω
2
)
La potencia máxima se tiene para ω=ω0, entonces . Pm =
1 F02
2 b
Se puede ver también que Pm es máxima cuando sen δ = 1
Cuando Pm es máxima se dice que hay resonancia δ=90º=π/2.
En la resonancia el desplazamiento está desfasado π/2 respecto de la
F impulsora, pero la velocidad está en fase con la fuerza F, la
partícula se mueve en el sentido de la F impulsora.
Cuando el amortiguamiento es pequeño (b <<), la potencia de
entrada o en la resonancia es grande y la curva de resonancia
es aguda, la potencia es grande sólo en la resonancia. Si b es
grande la potencia en la resonancia es pequeña y la curva de
resonancia es aplastada.
Amortiguamiento pequeño
Amortiguamiento grande
13