1. . ACTIVIDADES TEMA 11 1. Un ejercicio de ecuaciones diferenciales. Obténgase la solución general de la ecuación diferencial homogénea: y − 2y + 2y = 0. Solución. La ecuación diferencial tiene como ecuación característica: λ2 − 2λ + 2 = 0, y sus raíces son: λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i. En consecuencia1 , la solución general de la ecuación diferencial es: y (x) = c1 z1 (x) + c2 z2 (x) = c1 ex sen x + c2 ex cos x. 2. Un ejercicio de ecuaciones diferenciales. Obténgase la solución general de la ecuación diferencial: y (iv + y − y − y = 9x 2 − 6x + 1. (1) Solución. La solución general de la ecuación diferencial es: y (x) = yh (x) + yp (x), donde yh(x) es la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada, e yp (x) es una solución particular de la ecuación diferencial completa (1). La ecuación diferencial homogénea asociada es: y (iv + y − y − y = 0, y tiene como ecuación característica: λ4 + λ3 − λ2 − λ = 0. Las raíces de la ecuación característica son: λ1 = 0 (raíz simple), λ2 = 1 (raíz simple), λ3 = −1 (raíz doble). 1 Si α ± iβ es un par de raíces complejas (conjugadas) simples, consideramos como par de soluciones z1 (x) y z2 (x) de la ecuación diferencial homogénea: eαx sen(βx) y eαx cos(βx). 1 En consecuencia, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: yh (x) = c1 + c2 ex + c3 e−x + c4 xe−x . Para encontrar una solución particular de la ecuación completa (1), como cero es raíz simple de la ecuación característica de la ecuación homogénea asociada, y el término independientes 9x 2 −6x +1 un polinomio de grado dos, ensayamos la función2 : yp (x) = x(Ax 2 + Bx + C) = Ax 3 + Bx 2 + Cx. Sus derivadas sucesivas son: ⎧ ⎪ yp = 3Ax 2 + 2Bx + C, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨y = 6Ax + 2B, p ⎪ y ⎪ p = 6A, ⎪ ⎪ ⎩ (iv yp = 0, que al sustituir en la ecuación completa (1), resulta: −3Ax 2 − (6A + 2B)x + 6A − 2B − C = 9x 2 − 6x + 1, luego: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨−3A = 9 −6A − 2B = −6 ⎪ ⎪ ⎩6A − 2B − C = 1 → A = −3, → B = 12, → C = −43, y, por tanto: yp (x) = −3x 3 + 12x 2 − 43x. En conclusión, la solución general de la ecuación diferencial (1) es: y (x) = yh (x) + yp (x) = c1 + c2 ex + c3 e−x + c4 xe−x − 3x 3 + 12x 2 − 43x. 2 Si el término independiente es un polinomio de grado m y λ = 0 raíz de mul- tiplicidad k de la ecuación característica, ensayamos la función: x k pm (x), donde pm (x) es un polinomio de coeficientes indeterminados de grado m. Si λ = 0 NO es raíz de la ecuación característica, ensayamos la función: pm (x), donde pm (x) es un polinomio de coeficientes indeterminados de grado m. 2 3. Un ejercicio de ecuaciones diferenciales. Obténgase la solución general de la ecuación diferencial: y + y = sen x. (2) Solución. La solución general de la ecuación diferencial (2) es: y (x) = yh (x) + yp (x), donde yh(x) es la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada, e yp (x) es una solución particular de la ecuación diferencial completa (2). La ecuación diferencial homogénea asociada es: y + y = 0, y tiene como ecuación característica: λ2 + 1 = 0. Las raíces de la ecuación característica son: λ1 = i, λ2 = −i. En consecuencia3 , la solución general de la ecuación diferencial homogénea es: yh (x) = c1 z1 (x) + c2 z2 (x) = c1 sen x + c2 cos x. 3 Si α ± iβ es un par de raíces complejas (conjugadas) simples, consideramos como par de soluciones z1 (x) y z2 (x) de la ecuación diferencial homogénea: eαx sen(βx) y eαx cos(βx). 3 Para encontrar una solución particular de la ecuación completa (2), como i es raíz simple de la ecuación característica de la ecuación homogénea asociada, y el término independiente es sen x, ensayamos la función4 : yp (x) = x(A cos x + B sen x). Sus derivadas sucesivas son: yp = (A + Bx) cos x + (B − Ax) sen x, yp = (2B − Ax) cos x − (2A + Bx) sen x, que al sustituir en la ecuación completa (2), resulta: 2B cos x − 2A sen x = sen x luego: 2B = 0 −2A = 1 → B = 0, → A = −1/2, y, por tanto: yp (x) = −1/2x cos x. En conclusión, la solución general de la ecuación diferencial (2) es: y (x) = yh(x) + yp (x) = c1 sen x + c2 cos x − 1/2x cos x. 4 Si el término independiente es de la forma Pm (x) cos(βx) + Qr (x) sen(βx), y λ = iβ NO es raíz de la ecuación característica, ensayamos ps (x) cos(βx) + qs (x) sen(βx), donde ps (x) y qs (x) son polinomios de coeficientes indeterminados de grado s = máx(m, r ). Si λ = iβ es raíz de multiplicidad k de la ecuación característica, ensayamos x k (ps (x) cos(βx) + qs (x) sen(βx)). 4