( )ij ( )ij - x.edu.uy Matematica

MATRICES
INTRODUCCIÓN
Observemos el siguiente ejemplo:
Tabla de notas de tres alumnos en el primer bimestre:
-----------------Matemática
Física
Ana
6
4
Antonio
5
7
Beatriz
5
6
Química
5
5
7
Biología
8
5
4
La tabla anterior nos permite ordenar datos de un grupo de tal manera que al leerlos sepamos de quien es ese dato, por
ejemplo notas.
•
¿Se te ocurre alguna otra situación donde puedas utilizar la idea anterior, por ejemplo pensando en informática?.
DEFINICIÓN
F = {1,..., m} (filas) y C = {1,..., n} (columnas), llamamos matriz de
dimensión mxn a toda función F × C → R .
Notación: Am×n , A = (aij )m×n , M m×n
Dados dos conjuntos de naturales no nulos:
Ejemplo: En la matriz
A3×2
 1

= 4

− 5
2

0 

6 
a 21 = .......... a32 = .......... a 22 = ..........
Definiciones: Llamamos
matriz cuadrada a la matriz con el mismo número de filas que de columnas ( An ) (matriz de orden n)
matriz diagonal a la matriz cuadrada cuyos elementos son 0 excepto los de su diagonal principal:
0, i ≠ j
A = a ij n×n / a ij = 
∀i, j ∈ {1,..., n}
 x ≠ 0, i = j
( )
( )
matriz identidad a la matriz diagonal cuyos elementos no nulos son 1 I = aij
n×n
0, i ≠ j
/ aij = 
∀i, j ∈ {1,..., n}
1, i = j
matriz nula a la matriz con todos sus elementos iguales a 0. Notación: 0m×n es la matriz nula de m filas y n columnas.
OPERACIONES CON MATRICES
Adición:
 1 2 3  0 2 4
 =
 + 
 4 5 6  1 7 3
Ej. : 
+ : M m×n × M m×n → M m×n / Am×n + Bm×n = C m×n ,
c ij = a ij + bij , ∀i ∈ {1,...m}∀j ∈ {1,..n}
donde
A = (aij )
,
B = (bij )
y
Producto de un número por una matriz
 − 1 2 3
 =
 4 0 6
ej. : 5 × 
( )
Sea la matriz Am×n , donde A = a ij y
α ∈ R , entonces α .A
es una matriz m × n /
α . A = (α .ai× j )
Producto de matrices
 1 0 −1 5


 4 8 9 
 •  2 1 0 6  =
ej. : 
 − 3 0 − 5  2×3  3 4 − 2 7 
 3×4

• : M m× p × M p×n → M m×n / Am× p • B p×n = C m×n
donde
A = (a ij )
,
B = (bij )
cij = ai1.b1 j + ai 2 .b2 j + ... + aip .b pj , ∀i ∈ {1,...m} ∀j ∈ {1,..n}
•
¿Cumple la propiedad conmutativa?, Justifica tu respuesta.
Definiciones:
Dada la matriz
A = (aij )m×n , llamamos
( )
Dada la matriz A = (a )
matriz transpuesta de A a: A = a´ij
t
n× m
/ a´ij = a ji
ij n×n ,
decimos que
A es Simétrica ⇔ A = A
t
A es Antisimétrica ⇔ A + A = O
t
A es Ortogonal ⇔ A • A = I
t
−1
⇔ A −1 • A = I
1 5 8

Ej. : Hallemos la traspuesta de A = 
 3 0 4
La inversa de A es A
Busquemos un ejemplo de una matriz simétrica
 0 2
 es antisimétrica y que
 − 2 0
Veamos que A = 



B=



3
3
2
3
2 

3 
3
−

3 
3 
 2 4
 1
 y de B = 
 .
 6 8
 − 2 − 6
Hallemos las inversas de A = 
 senx
y C =
 cos x

− cos x 
 son ortogonales.
senx 
y
DETERMINANTES
DEFINICIÓN
Llamamos matriz menor complementaria o matriz complementaria del elemento a hk de una matriz A cuadrada de
orden mayor a 1,a la matriz que se obtiene al eliminar en A la fila h y la columna k (M hk )
 1 0 2
ej. : A =  3 4 5  entonces


 6 8 9


M 21 =
M 33 =
Llamamos determinante de una matriz cuadrada A de orden n
( A ) al
n
NÚMERO REAL que se calcula:
a11 , n = 1
An = 
1+1
2 +1
n +1
a11 (− 1) M 11 + a 21 (− 1) M 21 + ... + a n1 (− 1) M n1 , n > 1
Observaciones:
Determinante de orden 2:
a
A =  11
 a 21
a12 
 entonces A =
a 22 
Determinante de orden 3:
 a11

A =  a 21
a
 31
a12
a 22
a32
a13 

a 23  entonces A =
a33 
Regla de Sarrus (determinantes de orden 3)
Determinante de orden mayor a 3
0

2
A=
1

0

0 1 3

7 0 0
2 0 6

0 4 5 
PROPIEDADES
Observación: todo lo enunciado para filas se cumple para columnas
1.
Si todos los elementos de una fila de una matriz cuadrada son multiplicados por un real k, entonces su
determinante queda multiplicado por ese real k.
2.
PRODUCTO DE DETERMINANTES
El determinante de un producto es el producto de los determinantes de los factores.
3.
DETERMINANTES NULOS
El determinante de una matriz cuadrada es 0 cuando:
_ tiene una fila de ceros,
_ tiene dos filas iguales,
_ tiene dos filas proporcionales,
_ tiene una fila que es combinación lineal de otras dos.
4.
DETERMINANTE OPUESTO
El determinante de una matriz cuadrada cambia de signo, al intercambiar dos filas.
5.
DETERMINANTE INVARIANTE
El determinante de una matriz cuadrada no cambia cuando:
_ se le suman, a los elementos de una fila, los elementos de otra multiplicada por un real,
_ se calcula el determinante de la matriz transpuesta,
_ se desarrolla por adjuntos utilizando cualquier fila.
Ejercicios:
1. Calcula aplicando propiedades:
−1
1
1
0
4 −2
0
0
−4 3
2.
3 −3
2
0
6
1
4
5
8
0
0
−3 −2 4 6
2 1 −2 0
−1
−2
3
1
−1 1 2
3 −3 2
2
5
2
5
3
−6
0
2
2 −1 0
−3 2 −1
−1
−4
3
5
Demuestra que los siguientes determinantes son nulos sin desarrollarlos:
6 2 1
a+b b+c a+c
3 2 −1
7 8 16 ; 1 1 − 1 ; a
b + 2c c − a
12 4 2
a − b b + 3c c − 3a
4 1 2
MATRIZ INVERSA
Veremos a continuación otra forma de calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada.
Definiciones: Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamamos
menor complementario de a hk al determinante de la matriz complementaria de a hk
Adjunto de a hk al número (−1)
h+ k
M hk
Matriz adjunta de A a la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de A (en el mismo orden)
Existencia de la matriz inversa
Teorema: Si
A ≠ 0 ⇒ ∃A −1 / A −1 =
( )
1 d
A
A
t
Unicidad de la matriz inversa
Teorema: La matriz inversa de A, en caso de existir, es única
3 
1 2


Ej. : Calcula la inversa de A =  0 − 1 4 
 5 3 − 6


MATRICES y SISTEMAS
Definiciones:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1

Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas expresado: S = a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 ,

..............................................
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bn
llamamos
 a11

 a 21
matriz del sistema S a la matriz Am×n = 
...

a
 m1
 x1 
 
 x2 
matriz de las incógnitas a X n×1 =  
...
 
x 
 n
matriz de los términos independientes a
Bm×1
a12
a 22
...
am2
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
 b1 
 
b 
= 2
...
 
b 
 m
Observación:
Forma matricial de expresar un sistema: An X n×1 = Bn×1
MÉTODO DE CRAMER
Vamos a conocer un método para resolver sistemas de ecuaciones que se caracteriza por la rapidez con la que podemos
saber si un sistema tiene o no solución sin necesidad de resolverlo.
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1

Sea el sistema S = a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2

..............................................
a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn
representado en forma matricial como An X n×1 = Bn×1 y que cumple que
A ≠ 0 entonces existe A −1 entonces:
AX = B ⇔ A−1 ( AX ) = A−1 B ⇔ I . X = A−1 B ⇔ X = A−1 B
Desarrollando y efectuando operaciones podemos probar lo siguiente:
En general :
Dado el sistema AX = B:
El sistema es compatible determinado (conjunto solución unitario)
Observación: En caso que
⇔ A = ∆ ≠ 0 y xi =
∆ xi
∆
A = ∆ = 0 , el sistema será incompatible (conjunto solución vacío) o compatible
indeterminado (conjunto solución con infinitos elementos).
 x − 2 y − 3 z = −8

Ejemplo: Resolvamos por este método el siguiente sistema: 4 x + y − z = −1

− x + 3 y − 2 z = −1
Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema, discutiendo según m ∈ R
 mx + 3 y = m

3 x + my = −m