SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se llama sistema de m

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S IS TEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a todo sistema de relaciones de
la forma siguiente:
a11x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + ...+ a2n xn = b2
…………………………………………..
am1x1 + am2 x2 + ...+ amn xn = bm
en donde xl, x2, ...,xn son las incógnitas, los números reales aij reciben el nombre de coeficientes de
las incógnitas y los números bj son los términos independientes. El primer subíndice i de ajj indica
que corresponde a la ecuación i. El segundo subíndice j de aij indica que ese coeficiente corresponde
a la incógnita xj .
Diremos que n números reales ordenados (α 1, α 2, ..., α n) son una solución del sistema
anterior si satisfacen a todas las ecuaciones del sistema.
Un sistema se llama compatible si admite, al menos, una solución; por el contrario, se llama
incompatible si no admite ninguna solución. Un sistema compatible se llama determinado si tiene
una única solución y se llama indeterminado si tiene infinitas soluciones.
Un sistema se llama homogéneo cuando todos los términos independientes bi son iguales a
cero (bi= 0). Evidentemente los sistemas homogéneos tienen siempre, al menos, la solución
(0,0,...,0) que recibe el nombre de solución trivial. Por tanto los sistemas homogéneos son siempre
compatibles, pudiendo ser compatibles determinados (solución única (0,0,...,0)) o compatibles
indeterminados (infinitas soluciones).
Consideramos las siguientes tablas de números reales, ordenadas en filas y columnas: M (m
filas y n columnas), A (m filas y n +1 columnas), B (m filas y una columna) y X (n filas y una
columna). A dichas tablas las denominaremos del siguiente modo: M matriz de los coeficientes, A
matriz ampliada, B matriz de los términos independientes y X matriz de las incógnitas.
M=
a 11
a 21
..
a 12
a 22
..
a m −1,1
a m1
a m −1,2
a m2
.. a 1 n
.. a 2 n
..
..
.. a m −1,n
.. a mn
A=
a 11
a 21
..
a m −11
a m1
a 12
a 22
..
..
am2
..
..
..
..
..
.. a 1 n
..
..
..
..
.. a m −1 n
.. a mn
b1
b2
..
b m −1
bm
B=
b1
b2
..
b m −1
bm
x1
x2
X = ..
x n −1
xn
ECUACIONES y S IS TEMAS EOUIVALENTES
Dos ecuaciones con el mismo número de incógnitas se dice que son equivalentes si tienen
las mismas soluciones.
Dos sistemas con el mismo número de incógnitas (aunque no tengan el mismo número de
ecuaciones) se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Se demuestra que las siguientes transformaciones realizadas en un sistema lo convierten en
otro equivalente:
a) Cambiar de orden las ecuaciones del sistema.
b) M ultiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
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c) Sustituir una ecuación por la suma de ella más otra ecuación multiplicada por un número
cualquiera.
El método de Gauss de resolución de sistemas se basa en las anteriores transformaciones.
M ediante ellas se sustituye el sistema dado por otro equivalente en el que (llamando cij a los nuevos
coeficientes de las incógnitas) se cumple que son cero todos los coeficientes que están por debajo
de c11, c22, c33 ,......
Es decir c21= c31= c32= 0 ...etc (cij = 0 cuando i>j) .
Los sistemas de ecuaciones que cumplen la condición anterior se llaman sistemas
escalonados.
MATRICES
Hemos visto anteriormente unos casos particulares de un concepto llamado matriz que
aparece en múltiples situaciones. Dicho concepto lo definimos de modo general a continuación.
M atriz.- Una matriz es un cuadro o tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y
columnas. Si tiene m filas y n columnas diremos que es una matriz mxn o de orden mxn (o también
de dimensión mx n ).
Se llama elemento de lugar ij de una matriz al número situado en la intersección de su fila i
y su columna j. La matriz A, de orden mxn cuyo elemento genérico de lugar ij es aij se denota así :
a11
a12
a21
a22
..
..
am−1,1 am −1,2
am1
am 2
.. a1n
.. a2 n
..
..
.. a m−1, n
.. a mn
Observa que su fila i será: (ai1 ai2 ...ain). La llamaremos A i .
Observa que su columna j será
a1 j
a2 j
.
.
amj
La llamaremos A j .
La anterior matriz se representa de modo abreviado escribiendo:
(a i j ) i =1, 2, ...,m; j =1, 2, ...,n o, simplemente, (a i j ) cuando ya sabemos que es de orden m x n.
Igualdad de matrices: Dos matrices A y B son iguales si:
i) ambas tienen el mismo orden
ii) ∀ i,j aij = bij
TIPOS DE MATRICES
M atriz fila.- Es una matriz de orden 1 x n, o sea con una sola fila.
M atriz columna.- Es una matriz de orden mx1 (una sola columna)
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M atriz traspuesta.- M atriz traspuesta de A es la que se obtiene cambiando en la matriz A sus
filas por sus columnas. Observa que si A es de orden mx n entonces su traspuesta es de orden n x m.
Se suele denotar como At.
M atriz nula.- M atriz con todos sus elementos iguales a cero.
aij
M atriz opuesta.- Se llama matriz opuesta de la matriz (aij ) a la matriz (bjj ) tal que ∀i,j bij = -
M atriz cuadrada.- Es una matriz con el mismo número de filas que de columnas. Si dicho
número es n diremos que la matriz es de orden n x n o simplemente de orden n.
M atriz simétrica.- Es una matriz que es igual a su traspuesta. Evidentemente deber ser
cuadrada.
M atriz hemisimétrica.- Es una matriz que es igual a la opuesta de su matriz traspuesta.
Diagonal (o diagonal principal) de una matriz cuadrada.- Elementos de la matriz que tiene
iguales sus dos subíndices.
Diagonal secundaria de una matriz cuadrada.- Elementos aij de la matriz tales que
∀ i,j i + j = n + 1, siendo n el orden de la matriz.
M atriz diagonal.- M atriz cuadrada tal que todos los elementos de la matriz que no están en la
diagonal principal son 0.
M atriz unidad o identidad.- M atriz diagonal tal que todos los términos de la diagonal
principal valen 1. (In = matriz unidad o identidad de orden n)
M atriz triangular superior .-Una matriz cuadrada A tal que ahk = 0 ∀h, k tal que h>k se
denomina triangular superior.
M atriz triangular inferior .-Una matriz cuadrada A tal que ahk = 0 ∀ h, k tal que h< k se
denomina triangular inferior.
OPERACIONES CON MATRICES
Sean A = (a ij ) y B = (bij ) dos matrices con el mismo orden y k ∈ R un número real.
Suma de matrices.- Se define la matriz A + B como una matriz C=(cij ) del mismo orden y
tal que ∀ i, j cij = aij + bij
Producto de un número real por una matriz.- Se define la matriz k.A como una matriz
C=( cij ) del mismo orden que A y tal que ∀ i, j cij = k.aij
Producto de matrices.- Sean dos matrices (aik) de orden mxp y B=(bkj ) de orden pxn (observa
que el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda). Se llama
producto de A por B (A .B) a la matriz C= A .B, de orden mx n, que tiene por elemento de lugar i ,j
al número cij siguiente:
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=
+
+
+
+
i = 1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n
=
=
Dadas dos matrices cualesquiera A y B no siempre existe A.B. Observa que es preciso que
coincida el número de columnas de A con el de filas de B.
Observa que el sistema de m ecuaciones con n incógnitas del que hemos partido en este
tema, con la notación ya estudiada, podría expresarse matricialmente del siguiente modo:
M . X = B (expresión matricial del sistema)
Si A es una matriz de orden m x r, B de orden rx s , C de orden s x n y D de orden r x s se
demuestra que se verifica lo siguiente:
(A.B).C=A.(B.C)
A.(B+D)=A.B+A.D
A.Ir = A
Im . A =A
En el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, dadas dos matrices cualesquiera A, B
siempre existe A.B. Esta operación posee las siguientes propiedades: (A, B, C son matrices de
orden n)
Asociativa.- (A. B).C = A.(B.C)
Distributiva respecto de la suma.- A.(B+C)=A.B+A.C
Elemento neutro.- La matriz unidad o identidad de orden n, In, cumple que In.A =A.In=A,
siendo A una matriz cualquiera de orden n.
En general A.B ≠ B. A, es decir no se cumple la conmutativa.
En general, dada una matriz A de orden n , no existe otra A' tal que cumpla
A .A' = A'.A = I n , es decir no existe elemento simétrico.
M atriz inversible .-Una matriz cuadrada A de orden n es inversible si existe otra matriz,
también de orden n, que se denota A-1 y se llama matriz inversa de A, tal que
A.A-1=A-1.A=In (matriz unidad de orden n).
RANGO DE UNA MATRIZ
Triangular una matriz A es un proceso mediante el cual, realizando transformaciones de los
tipos que citaremos a continuación y partiendo de la matriz A, llegamos a una matriz cij en la que
son cero todos los números que están por debajo de c11 , c22, c33 , .......
i>j).
Es decir c21= c31 = c32 =0 ...etc (es decir todos los números que ocupan posiciones i, j con
Transformaciones posibles:
a) Cambiar de orden las filas de la matriz.
b) M ultiplicar los elementos de una fila por un número distinto de cero.
c) Sustituir una fila por la suma de ella más otra fila multiplicada por un número cualquiera.
Observa que las transformaciones posibles son análogas a las que permiten pasar de un
sistema a otro equivalente.
Rango de una matriz .-Sea A una matriz de orden m x n . Se llama rango de A al número de
filas no nulas que tiene la matriz en la que se ha transformado A después de realizar su
triangulación.
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
Determinante de una matriz cuadrada de orden 2, A=(aü) .-Lo simbolizaremos así: |A l. Es el
resultado de efectuar el siguiente cálculo: a11.a22 -a12.a21 .Es decir
|A|= a11.a22 -a12.a21
Determinante de una matriz cuadrada de orden 3, A=(aij ).- Lo simbolizaremos asi: |Al. Es el
resultado de efectuar el siguiente cálculo (Regla de Sarrus):
a11.a22a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 -(a13.a22.a31 + a12.a21.a33 + a23.a32.a11).
Es decir | A| es el número real obtenido mediante el anterior cálculo.
Determinante de una matriz cuadrada de orden n, (n ∈N n>2) A=(aij ).- Lo simbolizaremos
así: |Al. Lo definiremos de los modos siguientes, que se demuestra que son equivalentes, en función
de determinantes de orden n – 1
lA| = ai1.Ai1 + ai2.Ai2+ ai3.Ai3 + ...+ ain.Ain (desarrollo por la fila i)
|A| = a1j.A1j +a2j .A2j + a3j .A3j + ...+ anj .Anj (desarrollo por la columna j
i= 1, 2, 3,...,n
j=1, 2, 3,...,n
En los anteriores desarrollos, Aij simboliza el resultado de multiplicar (-1)i+j por el
determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo en la matriz A su fila i y su columna j. A este
determinante lo llamaremos menor complementario del elemento aij de la matriz A. Lo
simbolizaremos así: α ij .
Por tanto Aij = (-1) i+j .α ij
A Aij lo denominaremos adjunto del elemento aij de la matriz A.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Propiedades de los determinantes:
1) El determinante de una matriz A es igual al determinante de la matriz traspuesta de A.
2) Si se permutan dos filas o dos columnas en una matriz A entonces el determinante de la
nueva matriz es igual a menos el determinante de A.
3) Si en una matriz A sumamos a una fila (o a una columna) otra fila (o columna)
multiplicada por un número el valor del determinante de la matriz así obtenida coincide con el del
determinante de la matriz A. (M uy importante para el cálculo de determinantes de matrices de orden
superior a 3)
4) El determinante de una matriz A de orden n es cero si y sólo si el rango de la matriz A es
inferior a n.
5) El determinante de una matriz de orden n es cero si y sólo si al menos una de sus filas Ai
(o de sus columnas Ai ) puede escribirse en función de las restantes del siguiente modo, con t 1 , t
2,..., t n ∈ R :
Ai = t 1.A1 + t 2.A2 +...+ t i-1.A i-1 + t i+1.A i+1 +...+ t n.An
Dicho de otro modo: Ai combinación lineal de las restantes filas.
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(Ai = t 1.A1 + t 2.A2 +...+ t i-1 A i-1 + t i+l.Ai+1 + ...+ t n.An ).
(Dicho de otro modo: Aj combinación lineal de las restantes columnas.)
Observa que, según lo anterior, el determinante valdrá cero cuando una fila (columna) esté
compuesta sólo por ceros, cuando una fila (columna) sea proporcional a otra, cuando dos filas
(columnas) sean iguales, etc.
6) Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n se verifica que el determinante de la
matriz A.B es igual al determinante de A por el determinante de B, es decir |A.B| = lA||B|
a)
7) Linealidad.
a11
a 21
a12
a22
..
an1
an 2
an 3
b)
..
a1 i + a´1i
a 2 i + a´ 2i
a ni + a´ ni
.. a1n
a 2n
.. =
..
a nn
a11 a12
a 21 a 22
a n1
a n2
..
.. a1 i
a 2i
a n3
a ni
.. a1n
a 2n
.. +
..
a nn
a11
a 21
a12
a22
.. .. a´1 i
a´ 2i
a n1
a n2
a´ ni
.. a1n
a 2n
..
..
a nn
(se cumple lo análogo por filas )
a11
a21
a12
..
.. ta1i
ta2 i
an1 an 2
an 3
tani
.. a1n
a2 n
.. = t
..
ann
EXPRES ION POR ADJUNTOS DE LA INVERS A DE UNA MATRIZ
Se verifica lo siguiente:
Teorema.- Una matriz cuadrada A=(aij ) es inversible (posee inversa) si y sólo si el
determinante de A ( lA|) es distinto de cero ( lA|≠0). Lo cual equivale a que, si se trata de una
matriz de orden n, el rango de A sea n.
En caso de existir la matriz inversa de A se calcula del siguiente modo:
-1
A =
1
.
| A|
A22
Una matriz cuadrada de orden n de rango n (⇔ determinante no nulo ⇔es inversible), se
denomina matriz regular.
CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ MEDIANTE DETERMINANTES
En este cálculo utilizaremos, junto a otras propiedades, lo siguiente:
Submatriz cuadrada de orden h de una matriz A de orden m x n es una matriz constituida
por los elementos pertenecientes a la intersección de h filas y h columnas de A.
de A.
M enor de orden h de una matriz A es el determinante de una submatriz cuadrada de orden h
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Teorema: El rango de una matriz A es igual al máximo orden de los menores de A no nulos.
Es decir: si existe un menor de orden h de A no nulo y todos los menores de orden h+1 valen
0 entonces el rango de la matriz A es h.
Según lo visto, al calcular el rango de una matriz pueden suprimirse todas aquellas filas (o
columnas) que sean combinación lineal del resto.
REGLA DE CRAMER
Sistema de Cramer.- Un sistema de ecuaciones es un sistema de Cramer cuando el número
de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes (la
que hemos llamado M ) es distinto de cero ( |M |≠0).
Resolución de un sistema de Cramer .Consideremos un sistema de Cramer de n ecuaciones con n incógnitas:
a11x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + ...+ a2n xn = b2
………………………………………….
an1x1 + an2 x2 + ...+ ann xn = bn
En este caso M , B y X serán las siguientes matrices:
M =
a11
a 21
..
a12
a 22
..
a m −1,1
a m1
a m−1,2
a m2
.. a1n
.. a 2 n
..
..
.. a m−1,n
.. a mn
B=
b1
b2
..
b m−1
bm
x1
x2
X = .
.
xn
M atricialmente el sistema podrá escribirse así: M .X = B. Como el sistema es de Cramer |M |
≠ 0, por lo que existe la matriz inversa de la matriz M . M ultiplicando los dos miembros de M .X = B
por M -1, por la izquierda (cuidado: no se verifica la propiedad conmutativa), se tiene: M -1. (M .X) =
M -1.B =>(por la asociativa) (M -1. M ) .X = M -1. B => In. X = M -1. B => X = M -1. B
Teniendo en cuenta el valor de M
siguiente:
-1
, la última expresión puede escribirse del modo
=
−
Operando en el segundo miembro e igualando, se tiene:
xi =
A1i .b1 + A2i .b 2 + A3 i.b3 + ........Ani .b n
|M |
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−
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Pero observa que el numerador de la anterior expresión es el desarrollo, por la columna i, del
siguiente determinante, que tiene por columnas las de la matriz M , salvo la columna i que se ha
sustituído por los elementos de la matriz columna B
Por consiguiente nos queda:
−
+
a ji −1 coeficiente
en la ecuacion j
a ji+1 coeficient e
+ en la ecuacion j
j = 1, 2,3,.......,n
+
+
−
+
+
xi =
1
=
.
+
Resumiendo: El determinante del denominador está formado por los coeficientes de las
incógnitas y el determinante del numerador se obtiene cambiando la columna iésima del
determinante de los coeficientes de las incógnitas por la columna de los términos independientes.
TEOREMA DE ROUCHÉ – FROBENIUS
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de
la matriz ampliada.
Observa que si r es el rango de la matriz de los coeficientes y de la ampliada entonces el
menor número de ecuaciones que podrá tener un sistema equivalente al dado será r.
Obtención efectiva de las soluciones
Consideramos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
a11x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn = b1
M = matriz de los coeficientes
a21x1 + a22 x2 + ...+ a2n xn = b2
A = matriz ampliada
B= matriz de los términos independientes
..............................................
X= matriz de las incógnitas
am1x1 + am2 x2 + ...+ amn xn = bm
M .X= expresión matricial del sistema.
Partimos de que rg(M ) = rg(A) = r.
Supongamos que el siguiente sistema es equivalente al dado:
a11x1 + a12 x2 +…..+ a1r.xr+...+ a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 +…..+ a2r.xr+...+ a2n xn = b2
.............................................................
ar1x1 + ar2 x2 +....+ arr.xr+....+ amn xn = br
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y que:
a11
a 12
a 1r
a 21
a 22
a 2r
≠0
ar 1
ar 2
arr
Entonces, pasando en el último sistema, las incógnitas xr+1 , xr+2 , ..., xn al segundo miembro,
obtendremos un sistema equivalente al sistema del que hemos partido (m ecuaciones, n incógnitas)
que podremos resolver mediante la regla de Cramer obteniendo las incógnitas x1, x2, ..., xr en
función de xr+1 xr+2 ..., xn.
Observa lo siguiente:
-Supongamos rg(M ) = rg(A) = r <=> Sistema compatible. En este supuesto se verificará lo
siguiente:
Si r = n habrá solución única (sistema compatible determinado).
Si r < n habrá infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).
-Supongamos rg(M ) < rg(A) <=> Sistema incompatible.
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