MATRICES Llamamos matriz A = (aij) de dimensión mxn al conjunto

MATRICES
Llamamos matriz A = (aij) de dimensión mxn al conjunto de números ordenados en m
filas y n columnas,al elemento aij de la matriz A, al elemento de la fila i y de la columna j.
Si mn se dice que A es una matriz cuadrada de orden n.
Matrices especiales:
1

0
I= 
:

0
0 .... 0

1 .... 0
matriz unitaria.
: : :

0 .... 1
 d 1 0 .... 0 


0 d 2 .... 0 

D=
matriz diagonal.
:
:
:
:


 0 0 .... dn
 a11 a12 .... a1n 


0 a 22 .... a 2 n

Ts =
triangular superior. Ti =
 :
:
:
: 


0 .... ann 
 0
 a11 0 .... 0 


 a 21 a 22 .... 0  triang. inferior.
 :
:
:
: 


 an1 an 2 .... ann
Operaciones con matrices:
Suma y diferencia: Sólo se pueden sumar o restar matrices de la misma dimensión.
A  B = (aij  bij ).
Producto de una matriz por un escalar: k· A = ( k· aij)
Producto de dos matrices: Sólo se pueden multiplicar si el nº de columnas de la primera
es igual al nº de filas de la segunda.
Ejemplo:
1 • (2)  2 • 3  (3) • (4) 
 1 2 3  3 2  1 • 3  2 • 4  (3) • 1

 
 

4 • (2)  (1) • 3  0 • (4)  =
 4 1 0  ·  4 3  =  4 • 3  (1) • 4  0 • 1


 
 
 2 2 1   1 4  (2) • 3  (2) • 4  1 • 1 (2) • (2)  (2) • 3  1 • (4)
16 
 8


=  8 11


 13 6 
Determinantes: Sólo matrices cuadradas.
a b
A =
n=2
= a·d - c·b
c d
a b
n=3
A = d
e
c
f = ( Sarrus) (a·e·i + b·f·g + c·d·h) - ( g·e·c + h·f·a + b·d·i )
g h i
Por desarrollo de filas o columnas, algoritmo que sirve para cualquier orden
Se elige una fila o columna y se desarrolla por sus elementos, por ejemplo desarrollando
por la 2ª columna.
a b
c
A = d
e
f = -b·
g
h
i
d
f
g
i
+ e·
a c
g
i
- h·
a
c
d
f
En general para un orden cualquiera la fórmula general sería:
A = (-1)i+j · aij · Aij con Aij adjunto del elemento aij que es la matriz que queda
después de suprimir la fila i y la columna j en la matriz A.
Propiedades de los determinantes:
1) Si una fila o columna es nula entonces el determinante es cero.
2) Si dos filas o columnas son iguales entonces el determinante es cero.
3) Si una fila o columna es combinación de las demás filas o columnas entonces el
determinante es cero.
4) Si a una fila o columna se le añade una combinación lineal de las otras filas o columnas
su determinante no varía.
5) Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas el determinante es el mismo pero
de signo contrario. A número par de cambios el determinante es el mismo y a número
impar es el mismo cambiado signo.
6) Si una fila o columna es múltiplo de un número, el determinante es igual al producto
de dicho número por el determinante que queda después de dividir dicha fila o columna
por dicho número.
Matriz inversa:
Sólo matrices cuadradas con determinante no nulo.
( Aadj )t
( A t ) adj
Sea la matriz A = (aij ). Su matriz inversa es A-1 =
=
A
A
Matriz traspuesta: formada al intercambiar filas por columnas. At = (aji ).
Matriz adjunta: formada por los adjuntos de los elementos de A. Aadj = ((-1)i+j · Aij ).
Propiedades de la inversa y la traspuesta:
1
1) A1 =
5) ( A·B )t = Bt· At
A
2) At = A
6) ( AB )t = At  Bt
3) A· A-1 = A-1·A = I
4) ( A·B )-1 = B-1· A-1
7) (A-1 )-1 = A.
8) (At )t = A.
Rango de una matriz:
Es el orden del mayor subdeterminante no nulo, que se puede formar con los elementos
de la matriz.
 1 1 3 0


A =  4 4 3 2 Rango A = 2.


 1 1 6 2
 2 5 0 1


B =  1 1 0 3 Rango B = 3.


 2 4 5 6 