Guía de Control de Procesos II
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I. RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II I. RESPUESTA FRECUENCIAL La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del sistema, en estado estacionario, ante una entrada sinusoidal. Sistemas lineales sometidos a este tipo de entrada presentan una salida sinusoidal también pero con diferente amplitud y ángulo de fase. Entre las ventajas que proporciona el análisis de un sistema a través de su respuesta en frecuencia se encuentran la facilidad de reproducir señales de prueba que permiten una identificación frecuencial, la existencia de criterios de estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencial del sistema a lazo abierto y finalmente la disposición de técnicas de diseño para el control de sistemas cuando las especificaciones de la respuesta son de carácter frecuencial. Además, cabe mencionar, que es posible establecer una relación entre la respuesta frecuencial y la temporal. Tal como se mencionó anteriormente, la respuesta frecuencial se obtiene al dar como entrada a un sistema una función sinusoidal (x(t)), tal como se observa en la figura 1.1 y obtener como salida (y(t)) también una función sinusoidal, tal como se observa en la figura 1.2 x(t) x(t) = X sen(ωt) y(t) y(t) = Y sen(ωt+φ) G(s) FIGURA 1.1 SISTEMA PERTURBADO CON UNA ENTRADA SINUSOIDAL x(t) = X sen(ωt) y(t) = Y sen(ωt + φ) FIGURA 1.2 REPRESENTACIÓN DE LA ENTRADA Y LA SALIDA PARA EL SISTEMA ANTERIOR Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analítica, la respuesta frecuencial haciendo uso de la función de transferencia del sistema G(s), sustituyendo PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 1 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO I. RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II s = jω en la función de transferencia G(s) tal como se muestra a continuación: G(jω) = M.e(jφ) = M ∠φ donde, M.....Relación de amplitudes de las sinusoidales de salida y entrada φ .....Desfase entre las señales de la misma forma G(jω) se expresa como un vector con modulo y ángulo ⎛ Im(G ( jω)) ⎞ ⎟⎟ G(jω)= |G(jω) | e(jφ) ; φ = tag −1 ⎜⎜ ⎝ Re(G ( jω)) ⎠ A partir de lo anterior y basándose en que G(jω) es una relación entre la entrada y la salida se tiene, y ( jω ) x ( jω) G ( jω ) = por lo que, El modulo de G(jω) es: Y( jω) X( jω) G ( jω) = → relación entre amplitudes de las señales de salida y entrada y la fase de G(jω) es: y( jω) x ( jω) G ( jω) = De allí que, si se conoce G(s) es posible obtener la respuesta frecuencial del sistema. 1.1.- OBTENCIÓN TRANSFERENCIA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE Una función de transferencia puede ser expresada como una relación de ceros y polos que en forma general, puede ser escrita como: m G(s) = K∏ (s + z i ) i =1 n ∏ (s + p ) j j=1 PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 2 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO I. RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II donde, K ...... ganancia del sistema z ....... ceros del sistema p ...... polos del sistema m ...... el número de ceros n ....... el número de polos A manera de ejemplo, para una función de transferencia específica, su respuesta frecuencial se puede obtener como sigue: Para G (s) = G ( jω) = G ( jω) = K (s + z) s(s + p) la respuesta frecuencial se obtiene sustituyendo s = jω K ( jω + z ) jω( jω + p) a partir de la cual se obtiene que el modulo de G(jω) K jω + z y la fase φ jω jω + p ( ) ( G ( jω) = ∑ z − p = jω + z − jω + jω + p ) El módulo y la fase se evalúan para diferentes ω obteniéndose así la respuesta frecuencial del sistema. La representación de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes formas, entre las cuales se pueden nombrar las siguientes: Los Diagramas de Bode y los Diagramas Polares. A continuación se describirán PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO cada 3 una de estas representaciones PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II II. Diagramas de Bode El diagrama de bode se utiliza para representar la respuesta frecuencial de un sistema utilizando dos gráficos. El primero, es la representación del logaritmo de la magnitud versus la frecuencia (ω) y el segundo representa el ángulo de fase (φ) versus la frecuencia (ω). La magnitud logarítmica de G(jω) se representa como una amplitud logarítmica y se calcula como el 20 log |G(jω)|, siendo la unidad de dicha amplitud los decibeles (db). La principal ventaja de realizar un diagrama logarítmico es que el carácter multiplicatorio de los módulos de la función de transferencia se convierte en aditivo. Además, la construcción del diagrama puede realizarse a través de aproximaciones asintóticas, las cuales se explicaran a continuación. Si se considera el siguiente ejemplo, se puede observar el carácter aditivo de la magnitud logarítmica. Para G(s) = G ( jω) = (s + z1 ).(s + z 2 ) la respuesta frecuencial se obtiene sustituyendo s = jω s.(s + p1 ).(s + p 2 ) ( jω + z 1 ) ( j ω + z 2 ) jω ( jω + p 1 ) ( jω + p 2 ) donde el módulo G ( jω) = | jω + z 1 | | jω + z 2 | | jω | | jω + p 1 | | jω + p 2 | se representará como una amplitud logarítmica igual a: 20 log |G(jω)| = 20 log |(jω+z1)| + 20 log |(jω+z2)| - 20 log |jω| -20 log |(jω+p1)| -20 log |(jω+p2)| y la fase: φ = φ1 + φ2 - φ3 - φ4 - φ5 A partir de allí, se puede observar que si se conoce el Diagrama de Bode de los diferentes factores que representan una función de transferencia será posible obtener el diagrama de Bode de una función compuesta de una forma muy sencilla. Para ello se estudiarán a continuación los diagramas de bode para los diferentes factores que conforman una función de transferencia, los cuales son: PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 4 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II • Ganancia K • Factores integral o derivativo (jω)+ 1 • Factores de primer orden (1+τjω)+ 1 • Factores cuadráticos [ 1+ 2ξ(jω/ωn)+ (jω/ωn)2]+ 1 2.1. GANANCIA K G(s) = K G(jω) = K de allí que la amplitud logarítmica de G(jω) sea 20 log K = constante. Si K > 1 → 20.log K es positivo Si K < 1 → 20.log K es negativo ⎛ Im ⎞ La fase se calcula como: tag −1 ⎜ ⎟ = 0 para todo ω. ⎝ Re ⎠ En la figura 2.1 se muestra la representación del diagrama de bode para este factor, la cual se realiza en escala semilogarítmica. 20 log⏐G(jω)⏐ 20 log K ω φ ω FIGURA 2.1. DIAGRAMA DE BODE PARA UNA GANANCIA K Como se puede observar, la ganancia tiene el efecto de subir o bajar la gráfica de ganancia logarítmica, sin afectar el ángulo de fase. PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 5 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 2.2. FACTORES INTEGRAL O DERIVATIVO G(s) = (s)+ 1 Se desarrollará el Diagrama de Bode para el caso de un polo y luego se extenderá la aplicación a un cero: G (s ) = 1 s → G ( jω ) = 1 1 = −j jω ω A partir de allí, la amplitud logarítmica será: 20 log G ( jω) = 20 log 1 = 20 log(1) − 20 log ω = −20 log ω ω Al escoger una escala logarítmica para ω se tiene que la gráfica del módulo se convierte en una recta cuya pendiente puede ser calculada de la siguiente forma: Para las frecuencias ω1 y ω2, entre las cuales existe una década, se evalúa la amplitud logarítmica obteniéndose lo siguiente: ω1 = ω2 10 20 log |G(jω1)| = -20 log ω1 20 log |G(jω2)| = -20 log ω2 Realizando la diferencia, 20 log |G(ω1)| - 20 log |G(ω2)| = 20 log ω1 - 20 log ω2 = 20 log (ω1 /ω2) = 20 log (ω1 /10 ω1) = 20 log (1/10) = 20 log 1 – 20 log 10 = - 20 db Esto implica que la gráfica cae 20 db por década, tal como se observa en la figura 2.2. Además, para ω = 1 el valor de la ganancia logarítmica es cero. PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 6 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 20 db ω2 ω1 (10⋅ω1) FIGURA 2.2 CAÍDA DE LA AMPLITUD LOGARÍTMICA Finalmente, el ángulo de fase se calcula a partir de la parte real (Re) e imaginaria (Im) del vector, de allí que: φ = tag –1( Im /Re ) La parte imaginaria Im = -1/ω para todo ω y la parte real Re = 0, por lo que la fase será –90º para todo ω. En la figura 2.3 se puede observar el diagrama de Bode para el caso de un polo y un cero en el origen. = 1; 20 log(1) = ω 20 40 0 20 -20 0 -40 -20 100 90 80 30 -90 10-1 10-1 100 101 100 101 102 102 POLO CERO FIGURA 2.3 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO Y UN CERO EN EL ORIGEN PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 7 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II + n Cabe destacar que, si se tienen polos múltiples G(s)= s , por lo que la ganancia logarítmica y la fase serán: 20 log ( jω)± n = ±20 n log ω φ = + n (90°) De allí que se tendrá una gráfica de ganancia logarítmica cuya pendiente será ± n (20 db/ década) y una gráfica de fase cuyo valor será ( ± n 90º ) 2.3. FACTORES DE PRIMER ORDEN G(s) = (τs+1) + 1 Al igual que en el caso anterior, primero se desarrollará el Diagrama de Bode para el polo y luego para el cero. G (s) = 1 τs + 1 G ( jω) = (1 − τjω) = (1 − τjω) 1 (1 + τjω) (1 − τjω) (1 + τ 2 ω2 ) Separando en parte Real y parte Imaginaria se tiene: G ( jω ) = 1 τω − j 2 2 1 + τ ω 1 + τ 2 ω2 A partir de allí el módulo de G(jω) será: G ( jω ) = 1 + τ 2 ω2 (1 + τ ω ) 2 2 2 = 1 1 + τ 2 ω2 y la amplitud logarítmica será: 20 log | G ( jω) | = - 20 log 1 + τ 2 ω 2 Para graficar se utilizarán las siguientes aproximaciones: Para ω << 1/ τ → 20 log |G(jω)| = - 20 log(1) = 0 db Para ω >> 1/ τ → 20 log |G(jω)| = - 20 log(τω) Para ω = 1/τ → 20 log |G(jω)| = -20 log τω = - 3 db. PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 8 → pendiente – 20 db/ década PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Para los dos extremos, se tiene lo que se conoce como aproximación asintótica del diagrama de amplitud logarítmica, la cual se observa en la figura 2.4. La frecuencia en la cual se encuentran las dos asíntotas se conoce como frecuencia de corte (ω = 1/ τ) o frecuencia de transición de ganancias. El ángulo de fase se calcula como φ = arctg (-τω), el cual también se gráfica utilizando las siguientes aproximaciones: Para ω << 1/ τ → Re→ +1 ; Im→ -0 → φ = 0° Para ω = 1/ τ → φ = - 45° Para ω >>1/ τ → Re = (0+) ; Im = 0- → φ = -90º (La parte Im tiende a cero más lento que la parte Re ). A partir de lo anterior el Diagrama de Bode para este factor se muestra a continuación: FIGURA 2.4 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO EN EL EJE REAL En caso de que sea un cero las gráficas son simétricas respecto al eje de frecuencias. PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 9 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II ⎞ ⎛ s2 2ξ G (s) = ⎜⎜ 2 + s + 1⎟⎟ ⎠ ⎝ ωn ωn 2.4. FACTORES CUADRÁTICOS ±1 Para el caso de un polo conjugado se tiene: −1 ⎛ s2 ⎞ 2ξ G (s) = ⎜⎜ 2 + s + 1⎟⎟ , el cual al multiplicarse por el conjugado queda, ⎝ ωn ωn ⎠ ⎞⎛⎜ ⎡ ω 2 ⎤ ⎛ ω ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎥ − 2ξ 2 ωn ⎟⎜ ⎣⎢ ω n ⎦⎥ ⎜ 1 ⎜ G ( jω) = ⎜ ⎟ 2 2 ω ⎜ 1 + 2ξ jω − ω ⎟⎜ ⎡ ω ⎤ ⎢1 − 2 ⎥ − 2ξ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ωn ωn ω n ⎠⎝ ⎣⎢ ω n ⎦⎥ ⎝ ⎞ j⎟ ⎟ ⎟ ⎟ j⎟ ⎟ ⎠ separando las partes Real e Imaginaria se tiene: G ( jω) = ⎡ ω2 ⎤ ω j ⎢1 − 2 ⎥ − 2ξ ωn ⎣ ωn ⎦ 2 ⎡ ω2 ⎤ ⎡ ω⎤ ⎢1 − 2 ⎥ + ⎢2ξ ⎥ ⎣ ωn ⎦ ⎣ ωn ⎦ a partir de allí el módulo se calcula como: 2 2 G ( jω ) = ⎡ ω2 ⎤ ⎛ ω ⎢1 − 2 ⎥ + ⎜⎜ 2ξ ⎣ ωn ⎦ ⎝ ωn ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ⎡⎡ ω2 ⎤ 2 ⎡ ω ⎤ 2 ⎤ ⎢ ⎢1 − 2 ⎥ + ⎢2ξ ⎥ ⎥ ⎢⎣ ⎣ ω n ⎦ ⎣ ω n ⎦ ⎥⎦ 2 1 = 2 ⎡ ω2 ⎤ ⎛ ω ⎢1 − 2 ⎥ + ⎜⎜ 2ξ ⎣ ωn ⎦ ⎝ ωn ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 quedando la amplitud logarítmica como: ⎛⎡ ⎛ ω ⎜ 20 log | G |= − 20 log⎜ ⎢1 − ⎜⎜ ⎜ ⎢⎣ ⎝ ω n ⎝ PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 2 ⎤ ⎛ ω ⎥ + ⎜⎜ 2ξ ⎥⎦ ⎝ ω n ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 10 2 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II ⎛⎡ ⎛ ω ⎜ 20 log | G |= − 10 log⎜ ⎢1 − ⎜⎜ ⎜ ⎢⎣ ⎝ ω n ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 2 ⎤ ⎛ ω ⎥ + ⎜⎜ 2 ξ ωn ⎥⎦ ⎝ 2⎞ ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠ de la misma forma que en el caso anterior, se aproxima en los extremos obteniéndose lo siguiente: Para ω << ωn → 20 log |G(jω)| → -20 log 1 = 0 db Para ω >> ωn → 20 log |G(jω)| → -40 log ω/ωn (recta de pendiente - 40 db/dc ) Para ω = ωn → 20 log |G(jω)| = -20 log 2ζ Las asíntotas se cruzan en ω = ωn, tienen un error respecto a la curva real que depende del valor de ξ, el cual aumenta a medida que ξ disminuye. El ángulo de fase se calcula como: ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ω ⎜ ⎜ 2ξ ωn −1 φ = tg ⎜ − ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ω ⎞2 ⎟ ⎜ ⎜ 1 − ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ω n ⎟⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Para ω << ωn La parte Re → 1 2 aproximando igualmente en los extremos se tiene que para: La parte Im → 0 Para ω >> ωn ⎛ ω ⎜⎜ ω Re → − ⎝ n ⎛ ω ⎜⎜ ⎝ ωn 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ → -0; 4 ⎞ ⎟⎟ ⎠ φ → 0° ⎛ ω⎞ ⎜⎜ ⎟ ω n ⎟⎠ ⎝ Im → − → -0 4 ⎛ ω ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ωn ⎠ por ello φ → -180 º (más rápido) Para ω = ωn Re → 0 ; Im → número negativo finito PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 11 φ = - 90° PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II A partir de lo anterior se puede graficar el diagrama de bode para la variación de ξ, tal como se muestra a continuación: z FIGURA 2.5 DIAGRAMA DE BODE PARA UN POLO CONJUGADO El pico que se observa en el Diagrama de Bode anterior se conoce como Pico de Resonancia (Mr) y ocurre a una frecuencia conocida como Frecuencia de Resonancia (ωr), ambos valores pueden ser calculados utilizando las siguientes expresiones: Mr = |G(jωr)| = 1 2ξ 1 − ξ 2 ω r = ω n 1 − 2ξ 2 Cabe mencionar que, para ξ > 0,707, la gráfica de amplitud logarítmica no presenta pico. En ese caso, la única corrección posible al diagrama asintótico, se realiza calculando el valor que cae el diagrama real en ωn . Para que un sistema sea considerado como aceptable en su respuesta el pico de resonancia debe ser menor que 1,5. Finalmente, el cálculo exacto de la fase puede hacerse a partir de la siguiente expresión: PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 12 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO II. DIAGRAMAS DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II ⎛ ξ φ(ωr) = -90° + sen-1 ⎜ ⎜ 1−ξ 2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2.5. RETARDO DE TRANSPORTE El Retardo de transporte se puede representar a través de la siguiente función de transferencia, G(s) = e –Ts T…. tiempo de retardo Sustituyendo s = jω se tiene que, G(jω) = e -jωT |G(jω)| = | cos(ωT) – j sen(ωT) | = 1 → 20.log |G| = 0 db G ( jω) = - ωT (radianes) G ( jω) = - 57,3 ωT (grados) A partir de allí el diagrama de bode para dicho factor se muestra en la siguiente figura: 20 log |G(jw) | w φ w -57,3 wT FIGURA 2.6 DIAGRAMA DE BODE PARA UN SISTEMA CON RETARDO Una vez conocidos los diagramas de Bode para cada uno de los factores, se puede obtener el diagrama de bode para un sistema conformado por varios factores PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 13 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PERTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PARTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Para realizar el diagrama de bode se deben seguir los siguientes pasos: • Rescriba la función de transferencia como un producto de los factores básicos analizados anteriormente. • Identifique las frecuencias de corte de cada uno de los factores • Dibuje las curvas asintóticas Ejemplo 3.1 G (s) = 8(s + 1) s(s + 2) s 2 + 2s + 16 ( ) Reordenando G (s) = G (s) = 8(s + 1) 2 ⎛ s + 2 ⎞ ⎛ s + 2s + 16 ⎞ ⎜ ⎟⎟16 s⎜ 2 ⎟ ⎜ 16 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ 1 4 .(s + 1) 2 s ⎞ ⎛s ⎞ ⎛⎜ s s.⎜ + 1⎟.⎜ + + 1⎟⎟ 8 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 16 A partir de allí se identifican los siguientes factores: - Ganancia = 1/4 - Polo origen - Cero eje real (s +1) → ω1 = 1 - Polo eje real ( 1/2s + 1) → ω2 = 2 - Polo de 2do Orden ( s2/16 +s/8 +1) → PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO ωn2 = 16 14 → ωn = 4 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO III. OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA DE BODE A PERTIR DE SU FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 2ξ / ωn = 1/8 → 2ξ /4 = 1/8 ξ = 1/4 Cada uno de dichos factores se puede observar en el siguiente diagrama de bode, el cual muestra el diagrama asintótico y el real. FIGURA 3.1 DIAGRAMA DE BODE PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 15 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SU DIAGRAMA DE BODE La identificación se realiza reconociendo en el diagrama de bode del sistema cada uno de los factores que lo conforman. A continuación se mostrarán dos ejemplos que muestran el procedimiento a seguir. EJEMPLO 4.1 Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra a continuación, se solicita que identifique la función de transferencia que lo representa. FIGURA 4.1 DIAGRAMA DE BODE A partir de dicho diagrama se pueden realizar las siguientes observaciones: 1. A baja frecuencia la pendiente es de –20 db/dc lo que implica un Polo en el Origen, pudiendo confirmarse dicha suposición pues la fase φ para baja frecuencia comienza en PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 16 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II − 90º . Adicionalmente se observa que existe una ganancia menor que uno pues para ω = 0,1 la amplitud logarítmica es aproximadamente 8 db, cuando debería ser de 20 db si la ganancia fuese uno. De allí se calcula 20 log K = - 12 db → K = 0,2512 2. La pendiente cae a 0 db/dc lo que indica la aparición de un cero en el eje real, se dibuja la recta de – 20 db/dc a baja frecuencia y en donde la difrencia entre la asíntota sea aproximadamente 3 db (aproximadamente en ω = 1) se dibuja la recta de o db/dc. De allí que el cero será (s+1) 3. Para frecuencias altas, la pendiente tiende a - 60 db/dc y la fase tiende a – 270º lo que implica la aparición de tres polos. Un polo en el eje real y un par de polos conjugados que se reconocen debido al pico de resonancia el cual ocurre a una frecuencia ωr ≈ 3,5. 4. Para identificar las frecuencias de corte se sigue el siguiente procedimiento: - Se traza la pendiente de – 60 db/dc que a alta frecuencia se pega a la recta real. - Se traslada una pendiente de – 20 db/dc hasta que corte la recta de (- 60db/dc) a una frecuencia ligeramente mayor ωr, de esta forma se propone estima ωn = 4 Como ω n = ωr 1 − 2 ξ2 ( ) ⎛ 3,5 ⎞ → 1 − 2 ξ2 = ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ 2 → ξ = 0,3423 Para dicho ξ la amplitud logarítmica del pico de resonancia será: ⎡ 1 20 log Mr = 20 log ⎢ ⎢⎣ 2 ξ 1 − ξ 2 ⎤ ⎥ = 3,8 db ⎥⎦ el cual coincide aproximadamente con el observado. 5. Para identificar el otro polo se observa en que punto la recta de – 20 db/dc, mencionada en el punto anterior, corta a la recta de pendiente 0 db/dc, el cual resulta ser ω2 = 2. Por lo anterior se concluye que la función de transferencia del sistema sería: PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 17 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II G (s) = K (s + 1) ⎛ s 2 1 ⎞ + s + 1⎟⎟ s(s + 2)⎜⎜ 8 ⎝ 16 ⎠ EJEMPLO 4.2: Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra a continuación, se solicita que identifique la función de transferencia que lo representa. 50 0 -50 -100 -150 -50 -100 -150 -200 -250 -300 10-2 10-1 100 101 102 FIGURA 2.4 DIAGRAMA DE BODE Identificación 1. Pendiente –20 db/dc a baja frecuencia implica un polo en el origen y se verifica con la fase que comienza en -90° 2. En ω = 0,1 20 log |G| = 20 db lo cual implica que la ganancia es igual a uno. 3. A alta frecuencia la pendiente tiende a – 60db/dc y la fasa a – 270, lo cual confirma la aparición de dos polos más. Debido a que no hay presencia de ningún pico se podría pensar en un polo doble cuya frecuencia de transición fuese el cruce de la recta de – 20db/dc con la PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 18 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO IV. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA A PARTIR DE SUS DIAGRAMA DE BODE PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II recta de – 60db/dc, aproximadamente ω = 3 pero al observar la diferencia entre el diagrama asintótico supuesto y real, la caída en amplitud logarítmica en ω = 3 sería de aproximadamente 10 db, lo cual discrepa de lo supuesto, pues si se tienen polos dobles la diferencia en la frecuencia de cruce debería ser de 6 db. Por ello se suponen que existen dos polos reales y diferentes. Se añade una recta de – 40 db/dc y donde cruce con a las otras frecuencias se obtendrán los polos. 4. Se supone que existen dos polos reales y diferentes. Se añade una recta de – 40 db/dc que pase por el punto donde la diferencia entre la curva real y la recta de – 20 db/dc a baja frecuencia sea de – 3db. Donde dicha recta cruce con las otras aproximaciones asintótias, se obtendrán los polos. polo 1 → ωc1 ~ 1 ..... (s+1) polo 2 → ωc2 ~ 9 ..... (1/9s+1) A partir de lo anterior se identifica la función de transferencia como: G (s) = 1 s(s + 1)(1 9 s + 1) PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO 19 PROF YAMILET SANCHEZ MONTERO V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA, TIPO Y ERROR PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA , EL TIPO DE SISTEMA Y EL ERROR A LAZO CERRADO Considerando un sistema de control de retroalimentación simple, es posible utilizar la respuesta frecuencial a lazo abierto para conocer el error a lazo cerrado. En forma muy general la función de transferencia de lazo directo G(s)H(s) puede ser escrita como sigue: G(s)H(s) = K (T1s + 1)(T2 s + 1)K (Tm s + 1) s n (Ta s + 1)K (Tn s + 1) Es importante recordar que el error de un sistema depende del tipo del sistema y de la entrada a la cual se vea sometido. A partir de allí, se puede calcular el error del sistema en función de los coeficientes de error estático (Kp, Kv y Ka). Donde los valores de Kp, Kv y Ka son calculadas a partir de las siguientes expresiones: Kp = lims→0 G(s)H(s) Kv = lims→0 s G(s)H(s) Ka = lims→0 s2 G(s)H(s) En base a lo anterior, se analizará el uso de la respuesta frecuencial del lazo directo para conocer el error del sistema a lazo cerrado. 5.1 SISTEMAS TIPO CERO Para un sistema tipo 0 cuando la frecuencia tiende a cero, G(jω)H(jω) tiende a Kp. Por lo tanto, a partir de la gráfica de ganancia logarítmica se puede obtener Kp, pues a baja frecuencia la amplitud logarítmica de 20 log |G(jω)H(jω)| = 20 log Kp. En la figura 5.1 se puede apreciar lo enunciado anteriormente. 20 lg Kp 20 lg |G(jw)H(jw)| Fig. 5.1 Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo cero Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 20 Prof. Yamilet Sánchez Montero V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA, TIPO Y ERROR PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 5.2 SISTEMAS TIPO UNO Para un sistema de tipo 1 para ω << 1 , |G(jω)H(jω)| G ( jω)H( jω) = se puede aproximar a Kv , lo cual se representa como una recta de pendiente -20 db/dec a baja jω frecuencia, tal como se observa en la figura 5.2. Si además, se evalúa esta aproximación para ω = 1 se tiene: 20 log Kv = 20 log Kv jω ω=1 en forma gráfica esto se logra extendiendo la recta de – 20db/dec y leyendo en la gráfica el valor de la ganancia logarítmica para ω = 1, se obtiene Kv , además Kv =1 jω ω=ω1 Æ ω1 = Kv Fig. 5.2 Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo uno 5.3 SISTEMAS TIPO DOS Para sistemas de tipo 2 se tiene que, para ω <<1 el módulo de |G(jω)H(jω)| tiende a G ( jω)H( jω) → Ka ( jω )2 Utilizando un procedimiento similar al anterior, se evalúa Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 21 Prof. Yamilet Sánchez Montero V. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE AMPLITUD LOGARÍTMICA, TIPO Y ERROR PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 20 log Ka ( jω)2 = 20 log Ka ω =1 y además, la frecuencia para la cual dicha corta 0 db (ω 0db = ωa ) puede ser utilizada para calcular Ka como sigue: 20 log Ka = 0db ( jω a )2 Ka = ωa2 db -20 lg Ka ωa ω a = Ka 1 Fig. 5.3 Diagrama de amplitud logarítmica para un sistema tipo dos Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 22 Prof. Yamilet Sánchez Montero VII. DIAGRAMAS POLARES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II VI. RESPUESTA FRECUENCIAL PARA SISTEMAS A LAZO CERRADO Para un sistema a lazo cerrado de retroalimentación simple se tiene que M(s) se define como la Función de Transferencia a lazo cerrado, la cual sería: M (s) = C(s) G (s) = R (s) 1 + G (s)H(s) M ( jω) = y la respuesta frecuencial a lazo cerrado sería G ( jω) = M( jω) < M( jω) , es decir se tendrá también un módulo y un 1 + G ( jω)H( jω) ángulo que podrán ser representados a través de un diagrama de bode. En la siguiente figura se muestra un diagrama de bode para un sistema típico de control. 20 log |M(jw)| K=1 WB 0 db -3db Fig. 6.1 Diagrama de Bode de un sistema a lazo cerrado WB se conoce como ancho de banda (BW). El valor de – 3db proviene del estudio de amplificadores. A esa frecuencia WB la salida ha decaído a la mitad de su valor a baja frecuencia. El ancho de banda de un sistema de control es una indicación de las propiedades del sistema en el dominio del tiempo. Un ancho de banda grande corresponde a una mayor rapidez de la respuesta, pero dado que el ruido ocurre a altas frecuencias el Ancho de Banda no Prof. Jenny Montbrun Di Filippo debe ser 23 muy grande. Prof. Yamilet Sánchez Montero VII. DIAGRAMAS POLARES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II VII. DIAGRAMAS POLARES El diagrama polar de G(jω) es una representación de la respuesta frecuencial de un sistema, el cual esta formado por una gráfica de la magnitud de G(jω) contra el ángulo de fase para variaciones de ω de 0 a infinito. Para la obtención de un diagrama polar se mostrará a continuación el procedimiento a seguir para diferentes casos. 7.1 FACTORE INTEGRALES Y DERIVATIVOS G(S) = (S) +1 G(jω) = (jω)+1 Se realizará el desarrollo para el caso de un polo. G(jω) = 1 ⎛1⎞ = − j⎜ ⎟ jω ⎝ ω⎠ w= ∞ G= S 1 G ( jω) = ω w= 0 w= ∞ Re = 0 Im = − 1 ω G = 1/S w= 0 De allí se puede observar que 7.1 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES INTEGRALES Y DERIVATIVOS ω = 0 Æ |G(jω)| → ∞ ω→ ∞ Æ |G(jω)| → 0 Además, el diagrama será un recorrido por el eje imaginario negativo por lo que la fase será siempre - 90° ⎡−1 ⎤ G ( jω) = φ = arctg ⎢ ω ⎥ = − 90° ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ En la figura 7.1 se puede apreciar el Diagrama Polar para un polo y para un cero. Cabe resaltar que al conocer el Diagrama de Bode para éste término, puede servir de apoyo para la obtención del Diagrama Polar Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 24 Prof. Yamilet Sánchez Montero VII. DIAGRAMAS POLARES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 7.2 FACTORES DE PRIMER ORDEN G(S) = (S+1) +1 Para el caso de un polo se tiene: G (s) = 1 1 + τs G ( jω) = 1 1 + τjω multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado se obtiene: G ( jω) = G ( jω) = 1 − τjω 1 − τjω = (1 + τjω)(1 − τjω) 1 + τ 2 ω2 1 1 + τ 2 ω2 − τω 1 + τ 2 ω2 G= τs+1 j 1 w= ∞ w=0 Para graficar se evalúan para distintas ω: G= 1/ (τs+1 ) w=1/ τ 7.2.1 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES DE PRIMER ORDEN ω = 0 → Re =1 , Im = 0 → |G(jω)| = 1 , 2 2 , φ = 45° → |G(jω)| = 0 , φ = 90° ω= 1/ τ → Re = 1/2 , Im = -1/2 → |G(jω)| = ω→ ∞ → Re → 0 , Im = 0 φ=0 En la figura 7.2.1 se puede apreciar el Diagrama Polar para un polo y para un cero. Igualmente se puede observar la similitud entre dicho diagrama y el correspondiente Diagrama de bode Por convención el ángulo es positivo si se mide contrario a las agujas del reloj. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 25 Prof. Yamilet Sánchez Montero VII. DIAGRAMAS POLARES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Si se le agrega un polo en el origen a G(s) se tiene: G (s) = 1 s(τs + 1) G ( jω) = G ( jω) = w = oo 1 jω(τjω + 1) (-τω (-τω − jω) = (-τω − jω) + jω) (-τω 2 − jω) (( τω 2 ) 2 + ω 2 ) 2 1 2 φ w=1/τ 2 Separando la parte real (Re) de la parte imaginaria w= 0 (Im) G ( jω) = -τ 2 2 ( τ ω + 1) − 1 2 2 ω( τ ω + 1) j 7.2.2 DIAGRAMA POLAR AÑADIÉNDOLE UN POLO EN EL ORIGEN Graficando para valores extremos de ω y para 1/ τ se tiene: ω= 0 Î Re = - τ , Im → -∞ Î |G(jω)| → ∞ , φ = 90° ω = 1/ τ Î Re = - τ/2 , Im = - τ/2 Î |G(jω)| = - finito, φ = 135° ω → ∞ Î Re → 0 , Im = 0 Î |G(jω)| = 0 , φ = 180° En la figura 7.2.2 se observa como la adición de términos en el Diagrama polar no se puede realizar tan fácilmente como se hace para los Diagramas de Bode. 7.3 POLOS Y CEROS CONJUGADOS ⎡ 2ξ s2 ⎤ s+ 2⎥ G(s) = ⎢1 + wn ⎦ ⎣ wn ±1 Siguiendo igual procedimiento al anterior, se tiene que: ω=0 Î |G(jω)| →1 , φ = 0° ω → ∞ Î |G(jω)| = 0 , φ = - 180° Apoyándose en el conocimiento del Diagrama de Bode para dichos términos, se puede representar el Diagrama Polar tal como se muestra en la figura 7.3 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 26 Prof. Yamilet Sánchez Montero VII. DIAGRAMAS POLARES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II w = oo 1 ζ w=0 wn wn wn 7.3 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES CONJUGADOS 7.4 FORMAS GENERALES PARA LAS TRAZAS POLARES Una función de transferencia puede ser escrita en forma general como: G ( jω) = K ( jω + z1 )( jω + z 2 ) jωλ ( jω + p1 )( jω + p 2 ) donde m es el grado del numerador y n del denominador, n > m. Para sistemas tipo cero, λ = 0 ω = 0 Î El módulo es finito y se encuentra sobre el eje real positivo Î φ = 0° ω → ∞ Î El módulo tiende a cero (origen) tangente a uno de los ejes Ejemplo: G(jω) = 3.(s + 1) (s + 4).(s + 5) ω → 0 Î |G(jω)| =3/20 , φ = 0° ω →∞ Î G(jω) →K/ (jω) , |G(jω)|→0 , φ = - 90° Para sistemas tipo uno (1), λ = 1 El término 1/ s contribuye con -90° en la fase y la magnitud es infinita para ω = 0 . Luego para ω → ∞ Î El módulo tiende a cero (origen) y es tangente a uno de los ejes. Para sistemas tipo dos (2), λ = 2 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 27 Prof. Yamilet Sánchez Montero VII. DIAGRAMAS POLARES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II El término 1/ s2 contribuye con -180° en la fase. Por lo tanto ω=0 Î |G(jω)|→∞ , φ = -180° ω → ∞ Î |G(jω)|→0 , φ es tangente a uno de los ejes. En la figura 7.4 se pueden apreciar las formas generales que tendrán los Diagramas Polares para sistemas tipo 0, 1, 2 w=oo w=0 w=0 Tipo 2 Tipo 0 Tipo 1 7.4 DIAGRAMA POLAR PARA FACTORES CONJUGADOS Dependiendo de la diferencia entre m y n se obtiene el ángulo de llegada para ω = ∞ (n-m).(90°) = ángulo de llega Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 28 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II VIII. Criterio de Estabilidad de Nyquist Un sistema de control de retroalimentación simple como el mostrado en la figura 8.1, es estable si su Ecuación Característuica a Lazo Cerrado, F(s) = 1 + G(s)H(s), no tiene ninguna raíz con parte real positiva. R(s) + C(s) G(s) - H (s ) C(S) G (S) = R (S) 1 + G H(S) Fig. 8.1 Esquema de Control de Retroalimentación Simple El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado; basado en un teorema de la variable compleja que se fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano complejo. Parte de los fundamentos que dan base al criterio de estabilidad se nombrarán a continuación. • Para una trayectoria cerrada y continua en el plano S, que no pasa por ninguna singularidad, le corresponde una trayectoria cerrada en el plano F(s). • Si el contorno en el plano S (Γs ), encierra igual número de ceros que polos de F(s), el contorno en F(s), (ΓF (s) ), no encerrará el origen. • Si el Γs encierra n polos de F(s), ΓF (s) rodea al origen n-veces en sentido antihorario. • Si el Γs encierra m ceros de F(s), ΓF (s) rodea al origen m-veces en sentido horario. EJEMPLO: Una función de s, tal como F(s), transforma una trayectoria cerrada del plano s (Γs ), sobre el plano F(s), en una trayectoria cerrada en el plano F(s) (ΓF (s)). Como se mencionó anteriormente, F(s) corresponderá con la ecuación característica a lazo cerrado, por lo que se tiene que: Si G(s)H(s) = 1 s +1 ⇒ F(s) = 1 + 1 s +1 F(s) sólo tiene un cero en s = - 2 y un polo en s = - 1. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 29 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Para este ejemplo, se tomarán dos contornos en el plano s (Γs) y se realizaran las transformaciones de dichos contornos utilizando F(s). Tanto los contornos, como sus correspondientes transformaciones se muestran en las figuras 8.2 y 8.3. Pto A B C D s -3 j 1 -j F(s) 0,5 1,5 – 0,5 j 1,5 1,5 + 0,5 j Encierra un polo y un cero FIG. 8.2 PRIMER ΓS Pto A B C D s -3 j 1 -j No encierra el origen Y SU TRANSFORMACIÓN AL PLANO F(S) F(s) 0,5 1,5 – 0,5 j 1,5 1,5 + 0,5 j Encierra un cero FIG. 8.3 SEGUNDO ΓS Encierra el origen una vez Y SU TRANSFORMACIÓN AL PLANO F(S) El área encerrada está a la derecha del recorrido cuando se mueve en sentido horario, por lo que en el primer caso el Γs encierra un polo y un cero de F(s) y en el segundo caso, el Γs encierra un cero de F(s). Como puede observarse, en el primer caso el ΓF (s) , no encierra el origen pues el número de ceros y polos de F(s) encerrados en el Γs son iguales. En el segundo caso, el ΓF (s) encierra al origen una vez, pues existe un cero de F(s) encerrado en el Γs . Generalizando el Teorema del Mapeo, se tiene que, Si F(s) = D(s) N(s) Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 30 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II para un Γs que encierre Z ceros y P polos de F(s) sin pasar por encima de ningún cero o polo de F(s), el ΓF (s) encerrará el origen en sentido horario un número de veces igual a N = Z - P. Dicho teorema se utilizará para tener información respecto a los ceros y los polos de F(s) encerrados en un Γs específico. 8.1 Aplicación al análisis de la estabilidad a lazo cerrado Para realizar un análisis de la estabilidad a lazo cerrado a partir de la respuesta frecuencial a lazo abierto, utilizando el Teorema del Mapeo, se deben tener las siguientes consideraciones: • F(s) será la Ecuación Característica a Lazo Cerrado, es decir, F(s) = 1 + G(s)H(s) • El Γs a utilizar será el semiplano derecho del plano S, tal como se muestra en la figura 8.4 • Z = # ceros de lazo cerrado de F(s) en el semiplano derecho del plano S • P = # polos de G(s)⋅H(s) en el semiplano derecho del plano S • N = Z - P el número de vueltas en sentido horario que ΓF ( s ) le da al origen. Plano S Im Re FIG. 8.4 ΓS EQUIVALENTE AL SEMIPLANO DERECHO De manera que, para que el sistema sea estable, Z debe ser cero, lo que se lográ en los siguientes casos: • Si P = 0 entonces N debe ser cero • Si P ≠ 0 entoncer N deber ser igual a -P. De allí se desprende que, si se conocen los polos de lazo abierto (P) y los encierros que da al origen el ΓF ( s ) (N), se puede saber si existen ceros con parte real positiva (Z). Para particularizar la aplicación del criterio a un sistema de control de retroalimentación simple, se propone lo siguiente: • Definir F’(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s) • P’ y Z’ de F’(s) corresponden con los polos y ceros de lazo abierto Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 31 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II • La transformación sobre el Plano F’(s), se realiza tomando en cuenta que el Γs no debe pasar por ningún polo o cero de F’(s) • El encierro del origen por el ΓF(S) es equivalente a encerrar el punto (-1,0) por el contorno ΓF’(S). • El ΓF’(s) se conoce como el Diagrama de Nyquist. • N’ corresponde al número de encierros que le da el ΓF’(s) al punto (-1,0) • El valor de Z, ceros de la Ecuación característica a lazo cerrado, se puede conocer a partir de N’ y de P, pues N’ = Z – P • Si P = 0 entonces Z = N’ por lo tanto el ΓF’(s) no debe encerrar al punto (-1,0) para que el sistema sea estable. En este caso, es suficiente realizar la traza del Nyquist para s = jω y verificar si encierra al (-1,0), lo cual equivale a realizar el diagrama polar de G(jω)H(jω). • Si P ≠ 0 se tiene que el sistema a lazo abierto es inestable, pero a lazo cerrado puede ser estable. En este caso, se hace necesario realizar el Diagrama de Nyquist completo para conocer el valor de N’ y verificar la estabilidad. • Si ΓF’ (S) pasa por (-1,0) entonces los ceros de la Ecuación Característica a Lazo Cerrado se encuentran sobre el eje jω y el sistema a lazo cerrado será críticamente estable. A continuación se mostrará varios ejemplos para ilustrar el criterio de estabilidad de Nyquist. EJEMPLO 8.1 Para unsistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), se desea saber si el sistema es estable o no utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist. G H(s) = K (T1 s + 1)(T2 s + 1) El diagrama de Nyquist se hace por tramos, los cuales se muestran en la figura 8.5. Tramo 2 Tramo 1 Tramo 3 Fig. 8.5 Tramos a transformar Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 32 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Tramo 1 Se representa sustituyendo s = jω en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar. G(s)H(s) = K (T1 jω + 1)(T2 jω + 2) evaluándo para los extremos se tiene: ω→ 0 | GH | = K φ = 0º ω→ ∞ | GH | = 0 φ = -180º Es bueno resaltar que, el sistema es de tipo “0” y la que diferencia entre el número de polos y el numero de ceros de la función de transferencia es n-m = 2. En la figura 8.6 se puede apreciar el Diagrama de Nyquist, donde se aprecia la transformación de este tramo. Tramo 2 Se representa sustituyendo s = σ e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de σ y θ σ → ∞ 90º ≥ θ ≥ - 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando σ → ∞ será: Lim s → σe jw G(s)H(s) = σ → ∞ | GH | → 0 θ = 90º φ = - 180º K −2 θ j e σ2 θ = - 90º Nyquist Diagrams 6 Tramo 3 4 2 φ = 180º 0 -2 -4 2 Tramo -6 -2 Tramo 1 0 2 4 6 8 10 Real Axis Fig. 8.6 Diagrama de Nyquist Lo que se reduce a la transformación del origen, tal como se observa el la figura 8.6 Tramo 3 Se representa sustituyendo s = - jω en G(s)H(s), equivalente a una trayectoria simétrica, respecto al eje real, a la trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.6). Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 33 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II CONCLUSIÓN Como P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N = 0 (el Diagrama de Nyquist no encierra el punto (-1,0)), entonces Z = 0 siendo el sistema estable. Además, también se puede concluir que será estable para cualquier ganancia pues, a pesar que la ganancia aumenta nunca se encerrará al punto (-1,0) EJEMPLO 8.2 Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), se desea saber si el sistema es estable o no utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist. G(s)H(s) = K s (T1s + 1) (T2 s + 2) La única diferencia entre este ejemplo y el anterior es que ahora el sistema es de tipo “1”, por lo que el Γs debe rodear al origen quedando tal como se muestra en la figura 8.7 Tramo 2 Tramo 1 Tramo 4 Tramo 3 FIG. 8.7 TRAMOS A TRANSFORMAR Tramo 1 Se representa sustituyendo s = jω en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar. G ( jω) = K jω(T1 jω + 1)(T2 jω + 1) ω→ 0 | GH | = ∞ φ = -90º ω→ ∞ | GH | = 0 φ = -270º Recuerde verificar que el sistema es de tipo “1” y que la diferencia entre el número de polos y de ceros de G(s)H(s) es de m – n = 3 (figura 8.8) Tramo 2 Se representa sustituyendo s = σ e j⋅θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de σ y θ. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 34 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II σ → ∞ 90º ≤ θ ≤ - 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando σ → ∞ será: Lim s → σe jw G(s)H(s) = σ → ∞ | GH | → 0 θ = 90º φ = - 270º θ = - 90º φ = 270º K −3 θ j e σ3 Lo que se reduce a la transformación del origen, tal como se observa el la figura 8.8 Tramo 3 Se representa sustituyendo s = -jω en G(s)H(s), equivalente a una trayectoria simétrica, respecto al eje real, a la trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.8). Tramo 4 Se representa sustituyendo s = ε e j⋅θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de ε y θ. ε → 0 -90º ≤ θ ≤ 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando ε → 0 será: Lim s → εe ε → 0 jw G(s)H(s) = K −θ j e ε | GH | → ∞ θ = -90º θ = 90º φ = 90º φ = -90º ω = 0- -1 ω = 0+ Fig 8.8 Diagrama de Nyquist Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 35 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II LA TRANSFORMACIÓN RESULTA EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA DE DIÁMETRO INFINITO. CONCLUSIÓN P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N depende del valor de la ganancia del sistema, entonces la estabilidad del sistema tambien dependerá de dicha ganancia. • Para K pequeñas N = 0, por lo que el sistema será estable • Para K = K crítica entonces el Diagrama pasará sobre el (-1,0), sistema críticamente estable • Para K grandes N = 2, por lo el sistema será inestable. EJEMPLO 8.3 Para el sistema cuya función de transferencia a lazo abierto sea G(s)H(s), realice un análisis de la estabilidad y diga si depende de los valores T1 y T2. G(s)H(s) = K ( T2 s + 2) s2 ( T1 s + 1) Para este caso, se utiliza el mismo Γs que se muestra en la figura 8.7. Primero, se realizaran las transformaciones de los tramos 2 y 4 pues no dependen de los valores de T1 y T2. TRAMO 2 Se representa sustituyendo s = σ e j⋅θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de σ y θ. σ → ∞ 90º ≤ θ ≤ - 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando σ → ∞ será: Lim s → σe σ → ∞ jw G(s)H(s) = K σ 2 e −2 θ j | GH | → 0 θ = 90º θ = - 90º φ = - 180º φ = 180º Lo que se reduce a la transformación del origen. Tramo 4 Se representa sustituyendo s = ε e j θ en G(s)H(s), lo cual representa una trayectoria circular definida por los valores de ε y θ. ε → 0 -90º ≤ θ ≤ 90º Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 36 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando ε → 0 será: Lim s → εe jw G(s)H(s) = ε → 0 | GH | → ∞ θ = -90º φ = 180º θ = 90º φ = -180º K −θ j e ε La transformación resulta en una circunferencia de diámetro infinito TRAMO 1 Se representa sustituyendo s = jω en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar. G(s)H(s) = K( T2 jw + 2) s2 ( T1 jw + 1) evaluándo para los extremos se tiene: ω→ 0 | GH | = ∞ φ = -180º ω→ ∞ | GH | = 0 φ = -180º Es bueno resaltar que, el sistema es de tipo “0” y la que diferencia entre el número de polos y el numero de ceros de la función de transferencia es n-m = 2. Lo anterior define los extremos del diagrama que corresponden a esta transformación, pero la forma de la misma depende de los valores de T1 y T2. • Si T1 < T2 ocurre primero el cero y luego el polo, por lo que la variación en el ángulo de fase será como la que se muestra en la figura 8.9. De allí que, a medida que aumenta ω la fase tenderá a –1800 pasando por valores intermedios mayores que –1800 . El Diagrama de Nyquist correspondiente será el que se observa en la figura 8.10 ω2 ω1 ω=0 -1 ω=∞ ω=0 -180º FIG. 8.10 DIAGRAMA DE NYQUIST FIG. 8.9 ANGULO DE FASE PARA T1 < T2 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 37 PARA T1 < T2 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II • Si T1 = T2 el cero y el polo ocurren simultáneamente, por lo que sus contribuciones se anulan, tal como se observa en la figura 8.11. De allí, que el Diagrama de Nyquist correspondiente será el que se observa en la figura 8.12 ω1 -1 ω2 -180º FIG. 8.11 ANGULO DE FASE PARA T1 = T2 • FIG. 8.12 DIAGRAMA DE NYQUIST PARA T1 = T2 Si T1 > T2 el polo ocurre primero que el cero, teniendo la fase un comportamiento como el que se muestra en la figura 8.13. De allí que, el recorrido de la fase desde –180° (ω = 0) hasta -180° (ω → ∞) tendrá valores intermedios menores que -180°. El Diagrama de Nyquist correspondiente será el que se observa en la figura 8.14. ω1 ω2 ω = 0+ -180º -1 ω = 0- FIG. 8.13 ANGULO DE FASE PARA T1 >T2 ω=∞ FIG. 8.14 DIAGRAMA DE NYQUIST PARA T1 >T2 La transformación del tramo 3 será simétrica respecto al eje real para todos los casos. Debido a que P = 0, el sistema será estable si N = 0, lo cual se resume a continuación para cada uno de los casos. • Si T1 < T2 N = 0, por lo que el sistema es estable para todo K • Si T1 = T2 N = 0, pero el diagrama de Nyquist pasa sobre (-1,0), por lo que el sistema es críticamente estable • Si T1 > T2 N = 2, por lo que el sistema es inestable para todo K Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 38 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 8.2 ESTABILIDAD RELATIVA Para sistemas que, a lazo abierto son de fase mínima, es decir, G(s)H(s) no tienen ni ceros ni polos en el semiplano derecho es suficiente el trazo de Nyquist (para s = jω) para concluir respecto a la estabilidad. Como P = 0 (fase mínima) entonces N debe ser cero para que el sistema sea estable. A continuación se mostraran algunos diagramas de Nyquist generales que apoyan lo anterior. • Para sistemas tipo “0”, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se muestra en la figura 8.15, donde se puede apreciar que, la traza que representa la transformación de s = jω, es suficiente para verificar el valor de N. Suficiente con esta traza n-m=1 n-m=2 FIG. 8.15 DIAGRAMAS DE NYQUIST GENERALES PARA SISTEMA TIPO “0” • Para sistemas Tipo “1”, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se muestra en la figura 8.16, donde tambien se puede apreciar que, la traza que representa la transformación de s = jω, es suficiente para verificar el valor de N Transformación del origen FIG. 8.16 DIAGRAMAS DE NYQUIST GENERALES PARA SISTEMA TIPO “1” Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 39 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II • Para sistemas tipo “2”, siempre se tendrá un Diagrama de Nyquist General como el que se muestra en la figura 8.17, donde tambien se puede apreciar que, la traza que representa la transformación de s = jω, es suficiente para verificar el valor de N Transformación del origen FIG. 8.17 DIAGRAMAS DE NYQUIST GENERALES PARA SISTEMA TIPO “2” Además, la traza de Nyquist tambien indica el grado de estabilidad de un sistema estable. Se podrá reconocer si un sistema es estable para cualquier valor de ganacia, o si por el contrario, la estabilidad dependerá del valor de la ganancia. A continuación, se definiran los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, los cuales indican el grado de estabilidad del sistema. En la figura 8.18, se muestra la traza de Nyquist para un sistema cualquiera, la cual no encierra el punto (-1,0), lo que implica estabilidad aprecia que tanto la ganancia como la fase tienen unos valores límites definidos por su cercanía con el punto (-1,0). Dichos valores son Kg y γ, los margenes de ganancia y de fase respectivamente. Así mismo, en la figura 8.19 se observan Kg y γ para un caso en que el sistema fuese inestable. 1 Kg Margen de ganancia positivo -1 γ Margen de fase γ negativo φ -1 1 Kg γ Margen de fase Margen de ganancia negativa positivo Fig. 8.18 Kg y γ positivos Fig. 8.19 Kg y γ negativos A continuación se definiran los margenes de ganancia y de fase. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 40 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II • MARGEN DE GANANCIA Es el inverso de la magnitud de |G(jω)| en la frecuencia en la cual la fase vale φ = -180º Kg = 1 G ( jω) ω ω1 → φ(ω1) = -180º 1 Kg (db) = 20 lg Kg = -20 log |G(jω1)| • MARGEN DE FASE Es la cantidad de atraso (φ negativa) en la frecuencia de cruce ( |G(jω1)| = 1) requerida para llevar al sistema al límite de la estabilidad. γ = 180º + φ Para que un sistema sea estable su Margen de Fase (MF) y su margen de Ganancia (MG) deben ser ambos positivos. Otra forma de representar la traza de Nyquist (s = jω) es a través de un Diagrama de Bode, por lo que el MF y el MG se pueden obtener a partir del mismo, tal como se muestra en la figura 8. 20. Fig. 8.20 MF y MG en el Diagrama de Bode Ejemplo 8.4 Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto es G(s)H(s), indique si el sistema a lazo cerrado es estable y cuales son MF y MG. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 41 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II • CASO 1 G(s)H(s) = 600(s + 2) s(s2 + 17s + 70) El Diagrama de Bode para G(s)H(s) se observa en la figura 8.21, a partir del cual se lee: Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=35.477 deg. (at 22.985 d/ ) 75 Phase (deg); Magnitude (dB) 50 25 0 -25 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 10-2 10-1 100 101 102 Frequency (rad/sec) Fig. 8.21 Diagrama de Bode Caso 1 20 lg | GH | = 0 db φ ≈ -143º → φ → -180º 20 lg |G| → - ∞ db → γ = 180º - 143º = 37º MG = ∞ (+) El sistema es estable, pues ambos márgenes son positivos. • CASO 2 G(s)H(s) = (3s + 1) 3 s(5s + 3s 2 + 4s + 2) Prof. Jenny Montbrun Di Filippo Su diagrama de Bode se muestra a continuación. 42 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Bode Diagrams 100 Phase (deg); Magnitude (dB) 50 0 -50 -100 -60 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 10-3 101 100 10-1 10-2 Frequency (rad/sec) Fig. 8.22 Diagrama de Bode Caso 2 20 lg | GH | = 0 db φ ≈ -250º → φ → -180º 20 lg |G| → 20 db → γ = 180º - 250º = -70º MG (-) El sistema es inestable, pues ambos márgenes son negativos. • CASO 3 Si se eliminase el polo en el origen del sistema del caso anterior concluya respecto a la estabilidad. El diagrama de bode en este caso quedaría como se muestra a continuación. Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=17.054 deg. (at 1.1501 rad/sec) 20 Phase (deg); Magnitude (dB) 0 -20 -40 -60 50 0 -50 -100 -150 -200 10-2 10-1 100 101 Frequency (rad/sec) FIG. 8.23 DIAGRAMA DE BODE CASO 3 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 43 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 20 lg | GH | = 0 db φ ≈ -160º → φ → -180º 20 lg |G| → - ∞ db → γ = 180º - 160º = 20º MG = ∞ (+) El sistema es estable, pues ambos márgenes son positivos. 8.3 SISTEMAS DE FASE NO MÍNIMA Y SISTEMAS CON RETARDO Para completar la representación de la respuesta frecuencial de sistemas incluyamos sistemas de fase no-mínima y con retardo. 8.3 Sistemas de fase no mínima Los sistemas de fase no-mínima son aquellos que tienen ceros o polos con parte real positiva. La diferencia entre sistemas de fase mínima y los de fase no-mínima se presenta en la fase, tal como se puede apreciar en los ejemplos que se mostraran a continuación. EJEMPLO 8.3.1 Comparación entre el diagrama de bode para un cero en el eje real negativo y en el eje real positivo sustituyendo s = jω G1(s) =1 + Ts G2(s) = 1 –Ts G1(jω) =1 + T jω G2(jω) = 1 –T jω De allí, se puede observar que el módulo de ambas funciones es el mismo en tanto que la fase de ambas difiere, tal como sigue: G1 ( jw) = 1 + w 2 G 2 ( jw) = 1 + w 2 para el estudio de la fase se analizará como cambia ésta a medida que cambia ω cuando ω → 0 cuando ω → ∞ para G1 Re → 1 Im → 0 (+) por lo que φ1 → 0° para G2 Re → 1 Im → 0 (-) por lo que φ1 → 0° para G1 Re → 1 Im → j∞ por lo que φ1 → 90° para G2 Re → 1 Im → -j∞ por lo que φ1 → -90° De allí, que el diagrama de bode para G1 es igual al estudiado hasta ahora, en tanto que para G2 se tendrá un Diagrama de bode como se muestra en la siguiente figura. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 44 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II FIG. 8.24 DIAGRAMA DE BODE PARA G2(S) = 1 - Ts Se debe hacer resaltar que para el caso en que se tenga un cero con parte real positiva, donde G3(s) = Ts-1, la fase tendrá un comportamiento diferente, tal como se muestra. G3(jω) = T jω − 1 cuando ω → 0 Re → -1 Im → 0 (+) por lo que φ1 → 180° cuando ω → ∞ Re → -1 Im → j∞ por lo que φ1 → 90° Por lo tanto el diagrama de bode para G3(s) sera como se muestra en la figura 8.25. FIG. 8.25DIAGRAMA DE BODE PARA G3(S) = Ts - 1 EJEMPLO 8.3.2 Para el caso de un polo con parte real positiva se presenta el siguiente ejemplo. G 3 (s) = 1 1 − Ts y haciendo s = jω, se tiene G 3 ( jω) = 1 1 − Tjω multiplicando por el conjugado arriba y abajo se tiene finalmente la función a representar, G 3 ( jω) = (1 + Tjω) (1 + Tjω) = (1 − Tjω)(1 + Tjω) 1 + T 2 ω 2 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo de donde, 45 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II G 3 ( jω) = 1+ T 2ω2 (1 + T 2 ω ) 2 2 = 1 1+ T 2ω2 De allí que, el módulo de dicha función coincide completamente con el módulo del polo con parte real positiva, tal como se describió en secciones anteriores, en tanto que la fase tendrá el siguiente comportamiento: cuando ω → 0 Re → 1 Im → 0 (+) por lo que φ1 → 0° cuando ω → ∞ Re → 1 Im → j∞(+) por lo que φ1 → 90° A partir de lo anterior se esboza el diagrama de bode para G3(s) FIG. 8.26 DIAGRAMA DE BODE PARA G3(S) =1/ Ts - 1 Por lo tanto, se observa que los sistemas de fase no-mínina presentan una diferencia en la fase con respecto hasta los estudiados hasta ahora . En identificación para sistemas de fase mínima es suficiente con la curva de magnitud pero en los de fases no-mínima debemos inspeccionar la φ Por simple inspección en el diagrama de Bode se puede observar que, para sistema de fase mínima, cuando la frecuencia tiende a infinito la pendiente en el diagrama de amplitud logarítmica tiende a -20 db dc ( m – n ) y la fase tiende a -90º ( m – n ). En tanto que, para sistemas de fase no mínima, el comportamiento del diagrama de amplitud logarítmica es mismo, pero la fase no se comporta de igual forma y debe ser analizada en forma particular. 8.4 SISTEMAS CON RETARDO Son sistemas de fase no-mínima, cuya función se transferencia es: G ( jω ) = e –jωT donde T… es retardo Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 46 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II La magnitud es siempre igual a 1 y la fase será igual a φ = -ωT (radianes) = -57,3 ωT ( grados ). Su diagrama de Bode y su diagrama polar tendrán la siguiente forma FIG. 8.27 DIAGRAMA DE BODE DEL RETARDO FIG. 8.28 DIAGRAMA POLAR DEL RETARDO 8.5 SISTEMAS CONDICIONALMENTE ESTABLES Para un sistema cuyo Diagrama de Bode a lazo abierto es el que se muestra, concluya respecto a la estabilidad a lazo cerrado. Bode Diagrams 60 40 Phase (deg); Magnitude (dB) 20 0 -20 -40 -60 -80 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 -260 -280 10-2 10-1 100 101 102 Frequency (rad/sec) FIG. 8.29 DIAGRAMA DE BODE Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 47 Prof. Yamilet Sánchez Montero VIII. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II A partir del diagrama se lee: Para ω1 φ = -180º 20 log |G| ≈ 4 db MG (-) ⇒ |G| > 1 Para ω2 20 log |G| = 0 db φ ≈ -200º γ = -20º MF (-) Para ω3 φ = -180º 20 log |G| ≈ -10 db MG (+) ⇒ |G| < 1 Para ω4 φ = -180º 20 log |G| ≈ - 20 db MG (+) ⇒ |G| < 1 En un caso como éste se debe recurrir al Diagrama de Nyquist para verificar si se encierra o no al (-1,0). En la siguiente figura se aprecia dicho diagrama, donde se puede observar que el sistema es estable, pero que dicha estabilidad dependerá del valor de K. Encierra 2 veces el punto (-1,0) ⇒ INESTABLE!!! Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 48 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA A continuación se describirán los métodos utilizados para diseñar los diferentes tipos de compensadores basados en la respuesta frecuencial del sistema (Diagrama de Bode). Los compensadores a diseñar serán: Compensadores en Adelanto. Compensadores en Atraso. Compensadores Adelanto – Atraso. 9.1 COMPENSACIÓN EN ADELANTO Estos compensadores son semejantes a un PD (Proporcional Derivativo), el cual fundamentalmente tiene su acción sobre la respuesta transitoria del sistema. Se puede expresar a través de la siguiente función de transferencia: ⎛ s +1 T ⎞ ⎟⎟ = Kc Gc(s) = Kc⎜⎜ ⎝ s + 1 αT ⎠ ⎛ Ts + 1 ⎞ α⎜ ⎟ ⎝ α Ts + 1 ⎠ 0,05 > α > 1 donde α y T son los parámetros del controlador a diseñar. A partir de la función de transferencia del compensador se realizará tanto su diagrama polar como su Diagrama de Bode, con la intención de visualizar el efecto que tendría añadir un compensador de este tipo sobre la respuesta frecuencial de un sistema. φmax ⎛ T ωj + 1 ⎞ ⎟⎟ Gc( jω) = α⎜⎜ ⎝ α T ωj + 1 ⎠ ω=0 ω=0 |G|=α ω=∞ α 1 φ = 0º ω→∞ D α |G|=1 φ = 0º X FIGURA 9.1 DIAGRAMA POLAR DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 49 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II En la figura 9.1 se puede observar el Diagrama Polar correspondiente, donde se aprecia que la fase comienza y termina en 0º, pasando por un máximo (φm) cuyo valor depende de α tal como se describe a continuación. R= 1− α 2 x= 1− α 1− α Sen (φm) = 2 = 1+ α 1+ α 2 1− α 1+ α +α = 2 2 φm es el máximo adelanto de fase que puede añadir el compensador, que para el caso de α = 0.05 es igual a 65o. A partir de la función de transferencia del compensador, también se puede hacer el Diagrama de Bode para α = 0,1 donde se aprecia la ocurrencia de φm a una frecuencia ωm. El cero ocurre en ω = 1 10 y el polo ocurre en ω = T T 20log|G| ω→0 |G|=α 1T 10 T 10 log α 10 log α -20 20 log | G | = 20 log α ω 20 log (0,1) = -20 db ω→∞ db → 0 |G|=1 φ φm ωm ω FIGURA 9.2 DIAGRAMA DE BODE PARA UN COMPENSADOR ADELANTO (α = 0,1) El máximo adelanto, φm, ocurre a ωm, frecuencia que corresponde con la media logarítmica entre 1/T y 1/αT 1⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎜ lg + lg ⎟ , de allí que ω m = αT⎠ 2⎝ T T α Evaluando el módulo del compensador a esa frecuencia se tiene: lg ω m = Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 50 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 20 lg G c ωm = 20 lg α = 10 lg α lo cual se observa en la figura 9.2. A continuación se describirá paso a paso, el procedimiento a utilizar para el diseño de un compensador en adelanto dadas unas especificaciones. 9.1.1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1) Cálculo de la ganancia K necesaria para satisfacer la condición de error. 2) Obtención del Diagrama de Bode para esa ganancia. 3) Revisar el MF del sistema sin compensar y calcular el ángulo necesario al añadir la siguiente forma: φ m = MF deseado - MF original + ∆φ El ∆φ que se añade tiene la intención de corregir el desplazamiento a la derecha de la frecuencia de corte o cruce de ganancia (ωcorte). Generalmente tiene valores entre 6º y 12º 4) A partir del φm deseado se determina α. Sen (φ m ) = 1− α 1+ α 5) Conocido α se calcula la amplitud logarítmica que tendrá el compensador a la frecuencia ωm 20lg G c ωm = 20lg α = 10lgα Dicho valor se utiliza para ubicar ωm en forma gráfica, utilizando el diagrama de Bode, el cual debe ser verificado numéricamente. 6) Conocido ωm y α se calcula T utilizando la expresión de ωm ωm = 1 T α 7) Finalmente, se introduce una ganancia igual a 1/α para garantizar que el compensador tenga una ganancia igual a uno. 8) Se debe verificar que se cumpla lo requerido. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 51 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II EJEMPLO 9.1.2 Para el sistema que se muestra a continuación diseñe un compensador tal que, a lazo cerrado se cumpla con las siguientes restricciones: Kv = 4 s-1 MG ≥ 8 db MF = 45º - 1 s(0,1 s + 1)(s + 1) Gc + FIGURA 9.3 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA SOLUCIÓN: 1) Se calcula la ganancia para satisfacer Kv Kv = Lim s G H(s) = 1 ⇒ Kc = 4 s →0 (Ganancia del compensador, para satisfacer el error) 2) Con ese valor de ganancia se realiza el Diagrama de Bode del sistema a lazo abierto (Fig. 9.3) 3) Del Diagrama de Bode se lee aproximadamente el margen de fase y de ganancia del sistema original MF (original) ≈ 17º y MG (original) ≈ 8 db A partir de allí, se estima la fase necesaria a añadir como: φm = 45º - 17º + 12º = 40º 4) Con el φm se calcula el valor de α Sen φ m = 1− α ⇒ α = 0,21 1+ α 5) Para identificar la frecuencia donde ocurra el φm se calcula el valor el 10 lg α que será introducido por el compensador para ω = ωm 20 lg⏐Gc⏐ωm = 10 lg α = 10 lg(0,21) = − 6,778 db A partir del Diagrama de Bode se lee aproximadamente un ωm ≈ 3. Se verifica numéricamente que ⏐G(jω)⏐ para ω = 3 sea cercano a los – 6,77 db, dado que el compensador introducirá los mismos decibeles pero negativos. 20 lg G ωm = 3 = 20 lg 4 3 j 0,3 j + 1 3 j + 1 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 52 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 4 3 × 1,044 × 3,162 20 lg G ωm = 3 = 20 lg 20 lg G ωm = 3 = −7,87 db Como el valor es más grande que los – 6.77db esperados, se supone un ωm menor, ωm = 2,8 20 lg G ωm = 2,8 = 20 lg 4 2,8 × 1,0385 × 2,97 20 lg G ωm = 2,8 = −6,69 De aquí se concluye que ωm = 2,8 Bode Diagrams 60 Phase (deg); Magnitude (dB) 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 10-2 10-1 100 101 102 Frequency (rad/sec) FIGURA 9.4 DIAGRAMA DE BODE PARA G (s ) = 6) 4 s ( 0,1s + 1)(s + 1) Conocido ωm y α se calcula T ωm = 1 T α ⇒ T= 1 2,8 0,21 = 0,7793 Con el valor de α y T se tiene el compensador definido completamente. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 53 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II G C (s) = Kc s +1 T s + 1,2831 = Kc s + 6,1101 s + 1 αT 7) Se multiplica Kc por 1/α para evitar la atenuación. Kc final = K 4 = α 0,21 Finalmente la función de transferencia a lazo abierto quedará como: G C (s) G(s) = 4 ⎛ s + 1,2831 ⎞ 1 ⎜ ⎟⋅ 0,21 ⎝ s + 6,1101 ⎠ s(0,1s + 1)(s + 1) 8) Verificación Se verifica numéricamente que ω = 2,8 sea verdaderamente la frecuencia de corte. 4 ⎛ 2,8 j + 1,2831 ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ G C G ω=2,8 = 0,21 ⎝ 2,8 j + 6,1101 ⎠ 2,8 j(0,28 j + 1)(2,8 j + 1) = 4 3,08 1 ⋅ ⋅ = 1,004 0,21 6,72 (2,8)(1,0385)(2,97 ) 20 lg G C G = 0,0035 db Ahora se calcula la fase del sistema compensado para dicha frecuencia. φω = 2,8 = 65,41º - 24,62º - 90º - 70,34º - 15,64º = -135,2º MF final ≈ 44,8º En cuanto al MG se puede concluir lo siguiente: Inicialmente el requerimiento se cumplía, la frecuencia de corte aumentó pero la fase también aumentó, por lo que se puede suponer que el MG se sigue cumpliendo. EJEMPLO 9.1.3 Para el siguiente sistema cuya F.T.L.A GH ( s) = siguientes características. MF = 40º MG ≥ 8 db 1 es se requiere que cumpla las s ( s + 1) Kv = 50 SOLUCIÓN 1) Se calcula la ganancia necesaria para satisfacer el error. Kv = Lim s G Gc = 1 S→ 0 ⇒ K c = 50 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 54 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 2) Se realiza el Diagrama de Bode (figura 9.5) 3) Se lee el MF y MG MF ≈ 8º MG = ∞ db φm = 50º - 8º + 6º = 48º 4) Se determina α: Sen φ m = 1− α 1+ α → α = 0,15 Phase (deg); Magnitude (dB) Bode Diagrams 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -90 -100 -110 -120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 10-2 10-1 100 101 Frequency (rad/sec) FIGURA 9.5 DIAGRAMA DE BODE PARA G(S) = 50 / S (S+1) 5) Se calcula el valor en amplitud logarítmica que se compensará en ωm 20 lg⏐G⏐ωm = 10 lg α = -8,24 6) Se identifica del Diagrama de Bode ωm, donde se toma ωm =10 como primera aproximación y se verifica G ωn =10 = 50 50 = = 0,4975 10 j 10 j + 1 10 ⋅ 10,049 20 lg|G|ω=10 = - 6,06 db. Este valor es bastante menor que 10 lg α, por lo que se prueba Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 55 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II con un ωm mayor. (ωm = 12) G ωn =12 = 50 50 = = 0,346 12 j 12 j + 1 12 ⋅ 12,04 20 lg|G|ω=12 = - 9,21 Se redujo la diferencia apreciablemente, por lo que se toma ωm = 12 como definitivo. 7) Se calcula T a partir ωm y α ωm = 1 T α →T= 1 12 0,15 = 0,2152 1 = 4,6476 T 8) De allí que, la función de transferencia será: G C (s) = 1 s + 4,6476 ⋅ 0,15 s + 30,984 9) Verificación: Primero se revisa si el ωm coincide con la frecuencia de corte. Para ello, se evalúa el módulo |G⋅Gc|ω = 12, esperando que sea aproximadamente 1 1 50 ⋅ 12,8686 GG c ω =10 = ⋅ = 0,893 0,15 12 ⋅ 12,0416 ⋅ 33,2266 20 lg| G Gc |ω=12 = - 0,978 db Se considera aceptable y se calcula la fase para esa frecuencia GG c ω =10 = 68,8286º −(90º +85,2364º +21,17 º ) = −127,57º De allí, que el MF será: MF = 52,42º y el MG sigue siendo infinito. 9.2 COMPENSACIÓN EN ATRASO La función de transferencia del compensador es de la forma T s +1 1 ⎛ s +1 T ⎞ ⎟ Gc(s) = 1 < β < 15 = ⎜ β T s + 1 β ⎜⎝ s + 1 β T ⎟⎠ En este caso, primero ocurre el polo y luego el cero. De igual forma que en el caso del compensador en adelanto, se graficará el Diagrama Polar y el Diagrama de Bode del Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 56 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II compensador en atraso para visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial del sistema. La intención al introducir este compensador es provocar una atenuación de la amplitud logarítmica a alta frecuencia, de forma tal que, la frecuencia de corte o de transición de ganancia se desplace a lugares más favorables para el cálculo del margen de fase. El diagrama Polar que se muestra en la figura 9.6 es semejante al del adelanto, pero la fase sería siempre negativa, de allí que se le conoce como atraso de fase. 1/β 1 ω=0 FIGURA 9.6 DIAGRAMA POLAR DE UN COMPENSADOR EN ATRASO El diagrama de Bode para un β = 10 se puede observar en la figura 9.7, donde se aprecia el atraso de fase y la atenuación provocada en el diagrama de amplitud logarítmica. FIGURA 9.7 DIAGRAMA DE BODE DE UN COMPENSADOR EN ATRASO Numéricamente, dicha atenuación a alta frecuencia será: ⎛1⎞ 20 log ⎜⎜ ⎟⎟ = - 20 log β β ⎝ ⎠ Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 57 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II La intención al añadir este tipo de compensador es utilizar el efecto producido por la atenuación a alta frecuencia para modificar la frecuencia de cruce de ganancia, tratando de evitar el efecto negativo del atraso de fase. 9.2.1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1. Calcular la K requerida para satisfacer el error. 2. Realizar el Diagrama de Bode para dicha ganancia. 3. A partir de allí, verificar el MF y MG del sistema original. 4. Por inspección del diagrama se ubica la frecuencia a la cual ocurre la fase necesaria para satisfacer el MF requerido . El ∆φ añadido tiene la intención de contrarestar la pequeña fase negativa introducida por el compensador a altas frecuencias. MF requerido + (5º - 12º) implica la ωc nueva (0 db). 5. Se escoge esa frecuencia como la nueva frecuencia ωc nueva . 6. Se fija 1/T una década por debajo de dicha frecuencia (ωc nueva). 7. Se determina β tal que el diagrama de amplitud tenga 0 db a esa frecuencia (ωc nueva). 8. Verificar que el sistema compensado satisfaga con los requerimientos establecidos. EJEMPLO 9.2.2 Para un sistema, cuya función de transferencia a lazo abierto es la siguiente, se requiere que satisfaga las siguientes condiciones: GH(s) = K ⎛ s ⎞⎛ s ⎞⎛ s ⎞ s⎜ + 1⎟⎜ + 1⎟⎜ + 1⎟ ⎝ 10 ⎠⎝ 25 ⎠⎝ 40 ⎠ MG ≥ 10 db MF ≥ 45º Kv ≥ 20 SOLUCIÓN 1) Se calcula K para satisfacer el error. K = Kv = 20 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 58 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 2) Se realiza el Diagrama de Bode para dicha ganancia. (ver figura 9.8) Phase (deg); Magnitude (dB) Bode Diagrams 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 -260 -280 -300 -320 -340 -360 10-1 10 1 100 102 103 Frequency (rad/sec) FIG. 9.8 DIAGRAMA DE BODE PARA G(S) = 20 / S (0.1 S + 1) (0.04 S + 1) (0.025 S + 1) 3) Del gráfico se lee MF y MG . MF ≅ 0º MG ≅ 0 db 4) Por inspección del diagrama, se observa la frecuencia a la cual el MF es igual al requerido más ∆φ MF = 45º + 10 º = 55º ocurre a ω ≈ 3,5 5) Se escoge ω = 3,5 como la nueva frecuencia de corte, pues allí ocurre el MF deseado. 6) Se escoge 1/T = 0,35 7) 20 lg β será igual a la ganancia logarítmica a atenuar, tal que se logre el cambio en la frecuencia de corte. Para afinar el cálculo de β, se verifica el valor a atenuar numéricamentE 20 = 5,3208 G ω=3,5 = 3,5 ⋅1,0595 ⋅1,0098 ⋅1,0038 20 lg G ω=3,5 = 14,52 db Dado que este es el valor a atenuar β será: Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 59 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 20 lg β = 14,52 db → β = 5,32 8) De allí, que la Función de Transferencia del compensador será: Gc(s) = 1 ⎛ s + 0,35 ⎞ 1 ⎛ s +1 T ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎜ β ⎝ s + 1 βT ⎠ 5,32 ⎝ s + 0.0657 ⎠ 9) Se verifica que a ω = 3,5 G Gc = ω=3, 5 20 lg G Gc 20 lg |G Gc| ≈ 0 db 1 ⎛ 20 ⋅ 3,517 ⎞ ⎜ ⎟ = 1,031 5,32 ⎝ 3,5 × 1,0595 × 1,009 × 3,5 × 1,003 ⎠ ω=3, 5 ⇒ 0,26 db (Aceptable) Ahora se verifica el valor de la fase a esa frecuencia. φω = 3,5 = 84,289 – (90º + 19,29 + 7,9696 + 5 + 88,9231) φω = 3,5 = - 126,88º De allí que el MF sea MF = 53,11º 9.3 COMPENSACIÓN ATRASO- ADELANTO Un compensador atraso – adelanto se utiliza cuando no es posible cumplir los requerimientos con un compensador simple. Su función de transferencia es la siguiente: 1 ⎛ ⎜ s+ T 1 Gc(s) = Kc⎜⎜ 1 ⎜⎜ s + αT 1 ⎝ 1 ⎞⎛ ⎟⎜ s + T ⎟⎜ 2 ⎟⎜ 1 ⎟⎟⎜⎜ s + β T 2 ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ β > 1, α ≤ 1 El primer término produce el efecto de una red de adelanto, y el segundo término produce el efecto de una red de atraso. 1 1 s+ ⎛ T1s + 1 ⎞ ⇒ Adelanto T1 ⎛ T s +1 ⎞ T2 ⎟⎟ ⎟ = α⎜⎜ = β⎜⎜ 2 1 1 αT1s + 1 ⎠ β T2 s + 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝ s+ s+ αT1 β T2 s+ Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 60 ⇒ Atraso Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 1.5 Es muy común seleccionar 1/α = β cuando se 1 diseña un compensador atraso–adelanto, pero Imaginary Axis 0.5 ω= ∞ no es obligatorio. La traza polar para Kc = 1 y ω=0 1/α = β es la que se muestra en la figura 9.9. 0 ω0 -0.5 Para 0 < ω < ωo el compensador funciona como -1 un atraso y para ωo < ω < ∞ funciona como un -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 adelanto. ωo = FIGURA 9.9 DIAGRAMA POLAR PARA COMPENSADOR ATRASO 1 se obtiene cuando φ = 0º T1 T2 El diagrama de Bode para un compensador atraso – adelanto donde Kc = 1 y 1/α = β = 10 se muestra en la figura 9.10 Bode Diagrams 0 20lg|GC | 1/T2 1/T1 1/βT2 β/T1 -2 -4 -6 -8 -10 φ 40 20 0 ωo -20 -40 10 -3 10-2 10 -1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) Fig. 9.10 Diagrama de Bode para un Compensador Atraso-Adelanto La intención es utilizar el atraso para mover la frecuencia de corte hacia lugares de frecuencia más favorables para el cálculo del MF y luego añadir el adelanto para agregar la fase necesaria. A continuación se mostrará el procedimiento de diseño para este compensador en el caso que α = 1/β. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 61 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 9.3.1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1) Se ajusta la ganancia para satisfacer los requerimientos de error. 2) Se dibuja, para dicha ganancia, el Diagrama de Bode no compensado. Se verifican los valores de MF y MG 3) Se selecciona la frecuencia de cruce de ganancia (ωc escogiendo una ωc nueva nueva ). Dicha selección se realiza a la cual la fase es más favorable. 4) Se selecciona el cero de la red de atraso una década por debajo del valor anterior, es decir, ωc 1 = nueva T2 10 5) Se estima el valor de la fase a adelantar para esa frecuencia de corte, de igual forma que se realiza para el adelanto puro φm = MF requerido – MF Intermedio (ωc I) + ∆φ 6) Dado φm , se calcula α y con ello β β= 1 α y sen φ m = 1- α 1+ α 7) A partir de allí, se tiene la red de atraso completa y en adelante el procedimiento es completamente gráfico. 8) Se dibuja la red de atraso y se ubica la red de adelanto, tal que, en el punto de nueva frecuencia de corte atenúe la curva de amplitud lo necesario para que llegue a 0 db. Por lo tanto se traza una recta de –20 db/dc que a ωC nueva que tenga la misma magnitud (pero negativa) que 20 log |G| a esa frecuencia. 9) Donde dicha recta corte la recta de pendiente 0 db/dc, que proviene de la red de atraso, se encuentra el cero (1/T1) y donde corte a 0 db se encuentra el polo (1/αT1). EJEMPLO 9.3.2: (ATRASO – ADELANTO) Para un sistema cuyo GH(s) = K diseñe un compensador tal que Kv = 10 , MF s(s + 1)(s + 4) = 50 y MG ≥ 10 db. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 62 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II SOLUCIÓN 1) Se calcula la ganancia que satisface el requerimiento de error K = 10 4 S→0 Por lo tanto K debe ser 40. K V = lim s G(s) H(s) = 2) Se realiza el diagrama de Bode para esa ganancia (figura 9.11) Bode Diagrams 60 40 Phase (deg); Magnitude (dB) 20 0 -20 -40 -60 -80 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 10-2 10-1 100 101 102 Frequency (rad/sec) FIG. 9.11 DIAGRAMA DE BODE PARA GH (s ) = ( 40 )( s s +1 s + 4 ) A partir de dicho diagrama se aprecia que el sistema tiene un margen de fase negativo, lo que implica que es INESTABLE. No puede ser compensado por adelanto ni por atraso puros, por lo que se diseña un compensador atraso – adelanto. 3) Se atrasará para obtener una frecuencia de transición intermedia ωC Intermedia = 2. Este valor de frecuencia de transición intermedia implicaría un MF Intermedio igual a 0º (Esta escogencia No es Obligatoria) Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 63 Prof. Yamilet Sánchez Montero IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 4) Se selecciona el cero de la red de atraso una década por debajo del valor anterior de ωC , es decir, 1/T2 = 0,2. 5) Se estima el valor φm a adelantar como: φm = 50º - 0º + 5º 6) Dado φm , se calcula β como : Senφ m = 1−1 β 1+1 β se obtiene β = 10, para el cual φm = 54,9º 7) Al estar completamente definida la red de atraso se obtiene la red de adelanto en forma 1 T2 s + 0,2 ⎛ 5s + 1 ⎞ = = 10⎜ ⎟ (red de atraso) 1 s + 0,02 50s + 1 ⎠ ⎝ s+ β T2 s+ gráfica: 8) Se dibuja la red de atraso y si la escala de frecuencias no lo permite, lo único necesario es dibujar la recta de pendiente 0 db/dec a una amplitud logarítmica igual a – 20 log β 9) Para determinar el adelanto, se dibuja en ω = 2 una recta de 20 db/dc que anule el 20 log |G| y lo lleve a 0 db. A partir de alli se obtiene 1/T1 = 0,5 y β/T1 = 5 Red de adelanto s + 0,5 1 ⎛ 2s + 1 ⎞ = ⎜ ⎟ s + 5 10 ⎝ 0,2s + 1 ⎠ 10) Se verifica G H Gc ω= 2 ⎞⎛ (2,01)(2,0616) ⎞ ⎛ 40 ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0,769 = ⎜⎜ ⎝ 2(2,2361)(4,4721) ⎠⎝ (2,0001)(5,3852) ⎠ ¡Está un poco lejos de 1, pero lo dejaremos así! 20 log ⏐G H Gc⏐ω =2 = - 2,27 db GH G H Gc G H Gc ω= 2 ω= 2 ω= 2 = − 90º-63,4º-26,56º + Gc ω = 2 = - 90º-63,4º - 26,56º +84,2894º +75,9638º −89,4271º −21,8014º = −130,9353º Prof. Jenny Montbrun Di Filippo M F = 49º 64 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL A continuación se evaluará el efecto que tiene introducir un controlador sobre la respuesta frecuencial de un sistema, los controladores a analizar son: Proporcional (P), Proporcional derivativo (PD), Proporcional integral (PI) y, Proporcional integral derivativo (PID) 10.1 CONTROLADOR PROPORCIONAL (P) Un controlador proporcional tiene una Función de Transferencia de la siguiente forma: G c (s) = K p donde KP se conoce como la ganancia proporcional y tiene su efecto solamente en la curva de amplitud logarítmica sin alteración alguna de la fase. Debido a su sencillez, su efectividad se limita a desplazar la curva de ganancia logarítmica un valor igual a 20 log Kp. Más específicamente, en la Figura 10.1 se muestra el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es G (s) = 1 y en la Figura 10.2 se le añade un s(s + 1)(10s + 1) controlador proporcional con una ganancia Kp = 10 Bode Diagrams Bode Diagrams 100 50 50 Phas e (deg); M agnitude ( dB) Phase (deg); Magnitude (dB) Gm=0.82785 dB (at 0.31623 rad/sec), Pm=1.5763 deg. (at 0.30145 rad/sec) 100 0 -50 -100 -50 -100 -150 0 -50 -100 -50 -100 -150 -200 -200 -250 -250 -300 10-3 10-2 10-1 100 -300 10-3 101 10-1 100 101 Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Fig. 10.1 Diagrama de Bode sin Controlador Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 10-2 Fig. 10.2 Diagrama de Bode con Controlador 65 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Se puede concluir que al introducir dicho controlador se tienen las siguientes consecuencias: • mejoró el error a la rampa en estado estable, e ss = 1 e ss = • 1 50 sin controlador con controlador Mejoró también la rapidez de la respuesta, lo cual se aprecia en el aumento del ancho de banda • Pero, todas estas mejorías son a expensas de la estabilidad relativa, pues el MF y MG disminuyeron. Concluyendo, la introducción de un controlador proporcional tiene influencia sobre las respuestas transitoria y permanente, pero limitada. 10.2 CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD) En este caso la Función de Transferencia del controlador es ⎛ K G c (s) = K p + K D s = K p ⎜1 + D ⎜ Kp ⎝ ⎞ s⎟ ; ⎟ ⎠ ωο = Kp/KD (frecuencia de ocurrencia del cero) En la Figura 10.3 se observa el Diagrama de Bode del controlador PD (KP = 1, KD = 0,5), donde se puede visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial. La característica de la curva de magnitud trasladará la frecuencia de corte a un valor más alto, por lo tanto, el principio de diseño radica en localizar la frecuencia de corte del controlador, ωο = Kp/KD, tal que se logre un mejoramiento efectivo del margen de fase en la nueva frecuencia de transición de ganancia del sistema. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 66 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Bo de Diag ra ms 30 Phas e (deg); M agnit ude ( dB) 20 10 0 100 80 60 40 20 0 10 -1 10 0 10 1 Freq ue nc y (rad /s ec) Fig. 10.3 Diagrama de Bode para un PD Cabe destacar que si ωο es mayor a la frecuencia de corte del sistema sin controlador, el valor de la frecuencia de corte del sistema no se modificará Procedimiento de Diseño Usualmente la ganancia Kp se introduce como uno para facilitar la escogencia de KD, por lo que se utiliza una ganancia adicional para satisfacer requerimientos de error. A partir de allí, la ubicación del controlador sólo dependerá del valor de KD, siendo la frecuencia de corte del controlador ω0 = 1/KD. Si se escoge el valor de ω0 como la frecuencia de corte del sistema original se le añadirán aproximadamente 45º al margen de fase del sistema original, provocando un pequeño traslado de la frecuencia de corte hacia la derecha. Si se escoge el valor de ω0 menor a la frecuencia de corte del sistema original, habrá un mayor desplazamiento de la frecuencia de corte hacia la derecha y la fase añadida por el compensador será mayor. Se debe tomar en cuenta el comportamiento de la fase del sistema original., Resumiendo, se puede concluir que la introducción de un controlador PD tendrá los siguientes efectos sobre el sistema: Incrementa el ancho de banda Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 67 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Mejora la rapidez de la respuesta transitoria Mejora el margen de ganancia y el margen de fase Puede acentuar el ruido a alta frecuencia No es efectivo para sistemas inestables 10.3 CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI) En este caso la Función de Transferencia del controlador es G c (s) = K p + ⎛ Kp / KI +s ⎞ KI ⎟ = K I ⎜⎜ ⎟ s s ⎝ ⎠ En la Figura 3 se observa el Diagrama de Bode del controlador PI (Kp = 0,1, KI = 5), donde se puede visualizar el posible efecto que tendría sobre la respuesta frecuencial. Observe que la magnitud de Gc(s), cuando la frecuencia tiende a infinito es 20 log Kp (db), lo cual representa una atenuación si Kp es menor que uno. Esta atenuación es utilizada para mejorar la estabilidad del sistema. En cuánto a la fase ésta es siempre negativa, lo cual perjudica la estabilidad, por lo que se debe colocar la frecuencia de corte del controlador, (ω = KI / Kp), tan lejos como el requisito de ancho de banda lo permita. Bode Diagrams Phase (deg); Magnitude (dB) 20 10 0 -10 -20 0 -20 -40 -60 -80 -100 10 0 102 10 1 10 3 Frequency (rad/sec) Fig. 10.4 Diagrama de Bode para un PI Procedimiento de Diseño Se ajusta el valor de la ganancia para satisfacer el error Se Ubica la frecuencia de corte nueva (ωc)donde la fase satisfaga el margen de fase requerido más el ∆φ. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 68 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Se ubica el cero una década por debajo de la nueva frecuencia de corte K I ωc = K P 10 Se calcula KP considerando la atenuación necesaria para que se logre la nueva frecuencia de corte 20logK P = 20lg G w c Con base a lo anterior se puede concluir que un controlador Proporcional Integral tiene las siguientes ventajas y desventajas: • Mejora el MF y el MG • Filtra el ruido a alta frecuencia • Disminuye el ancho de banda 10.4 CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID) En este caso la Función de Transferencia del controlador es como se muestra a continuación: 2 K I ⎛⎜ K D s + K p s + K I G c (s) = K p + K D s + = ⎜ s s ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ En la Figura 4 se observa el Diagrama de Bode de un controlador PID, donde se puede visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial. Bode Diagrams 70 Phase (deg); Magnitude (dB) 60 50 40 30 20 100 50 0 -50 -100 10 -2 10-1 10 0 101 10 2 Frequency (rad/sec) Fig. 10.5 Diagrama de Bode para un PID Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 69 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Los valores de los parámetros deben ser seleccionados de forma tal que la zona donde se le añade fase negativa quede a baja frecuencia para que no altere la estabilidad del sistema y la zona donde se añade fase positiva debe ser colocada alrededor de la frecuencia de cruce del sistema. Además, se debe considerar que la parte integral añade un polo en el origen por lo que el error del sistema se ve apreciablemente beneficiado a expensas de la estabilidad relativa del sistema, la cual se mejora gracias a la parte derivativa del controlador. A partir de lo anterior se pueden tener las siguientes conclusiones generales respecto al efecto de añadir un PID: Aumenta el tipo del sistema Mejora el error Mejora la estabilidad Reduce ligeramente el ancho de banda El procedimiento de diseño se puede realizar igual que en el caso de atraso – adelanto. Primero se diseña el PI y luego se le añade la parte derivativa para lograr el margen de fase deseado. EJEMPLO Para un sistema cuya Función de Transferencia a Lazo Abierto y diagrama de Bode se muestran a continuación, se dispone de controladores P, PD, PI y PID, para lograr un MF sea mayor a 50º y un error al escalón sea menor o igual a 0,1. G(s) = 4 s·( s + 1)·( s + 2) Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 70 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Bode Phase (deg); Magnitude (dB) 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -90 -110 -130 -150 -170 -190 -210 -230 -250 -270 10-2 10-1 10 0 101 Frequency Fig. 10.6 Diagrama de Bode a lazo Abierto SOLUCIÓN De la Figura 10.6 se puede observar que el sistema es de tipo uno, por lo que no presenta error al escalón, es decir, la solicitud de cuánto a respuesta permanente se cumple. En cuánto al margen de fase, se puede leer un valor de aproximadamente 12º, por lo que dicha restricción no se cumple. A continuación se analizan los diferentes controladores para escoger el que será utilizado. • Proporcional. La única manera de lograr un margen de fase como el requerido, sería añadiendo una ganancia menor a uno tal que la frecuencia de cruce se traslade a la izquierda, donde la fase presenta mejores valores. El problema sería que el sistema a lazo cerrado tendría un menor Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 71 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II ancho de banda y por tanto, reduciría la rapidez de la respuesta. 20 lg Kp = -10 dB ⇒ Kp = 0.3206 • Proporcional Integral. Este tipo de controlador logra su objetivo provocando atenuación a alta frecuencia, lo que trasladaría la frecuencia de corte a la izquierda, igual que el control proporcional, desmejorando la respuesta transitoria. Pero al no formar parte de las restricciones se hace posible diseñar este tipo de controlador. Adicionalmente introduciría un polo más en el origen, con lo que el error a la rampa también sería cero, pero esto no forma parte de las restricciones. Esto descarta la introducción de este tipo de controlador, con el cual se lograría lo mismo que con el proporcional, pero la respuesta transitoria se vería más afectada. • Proporcional Derivativo. Este controlador logra su objetivo aumentando la fase y trasladando la frecuencia de corte a la derecha, lo que implica mejora en respuesta transitoria. El procedimiento de diseño se presenta a continuación: • Se escoge una ganancia proporcional unitaria, pues no hay problemas con el error. • La fase necesaria a añadir es: Φañadir = MFrequerido – MForiginal = 50º -17º = 33º • Si se coloca el controlador con ω0 = 1/KD, igual a: ωCoriginal, se le añadirán 45º al margen de fase, ωCoriginal ≅ 1,1 => 1/TD = 1,1 G C (s) = 1 + 1 s 1,1 • Se verifica el valor de la nueva frecuencia de corte, se toma una ω > 1,1 pues ωC se trasladará un poco a la derecha. G·GC ω =1, 2 = 4·(1,48) =1,35 (1,2)·(1,56)·(2,33) Esto implica que ωC, está aún más a la derecha. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 72 Prof. Yamilet Sánchez Montero X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II G·GC ω =1, 5 = 4·(1,69) =1,00 (1,5)·(1,8027)·(2,5) Φ = 53,74º - (90º +56,30º +36,86º) = -129,42º Ö MF = 50,58º Considere el mismo problema anterior pero al cual se le añade como solicitud un el error a la rampa sea cero. En este caso, se debe aumentar el tipo del sistema lo que implica que la opción a escoger como controlador sería un proporcional integral, el cual se diseña a continuación. • El error queda satisfecho al introducir un nuevo polo en el origen, así quue solo nos preocupamos de satisfacer el margen de fase. • Se escoge una ωCnueva ≅ 0,4 donde la fase es aproximadamente -125 Φ = -125º => MF ≥ 55º = MFrequerido + ∆Φ • Se evalúa la amplitud de G(s) a esa frecuencia, para conocer el valor en decibeles a atenuar por el controlador. 20·log|G|ωCnueva ≅ 13dB => |G| = 4,5 => KP = 0,2 • Se fija el cero del controlador una década por debajo de la nueva frecuencia de corte, de donde se calcula el valor de KI Como ωCnueva = 0,4; => KI/KP = 0,04 => KI = 0,0088 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 73 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES El lugar geométrico de las raíces representa la ubicación de las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro (generalmente, la ganancia de lazo abierto). A partir del mismo se puede tener una muy buena idea del comportamiento temporal del sistema. Es por ello, que se utiliza para diseñar compensadores y/o controladores cuando los requerimientos de los mismos sean requerimientos temporales (Ejemplo: ess, Mp, ts). Para visualizar la variación que puede tener el comportamiento de un sistema al añadir polos o ceros, se mostrará inicialmente ambos casos y luego se concretará al estudio de los compensadores sobre la respuesta del sistema. 11.1 11.1.1 VARIACIÓN DEL LGR AL AÑADIR POLOS O CEROS Adición de Polos: Al Lugar Geométrico de las Raíces que se muestra en la figura 1.1 (i) se le añadirán polos para observar su efecto: FIGURA 11.1. ADICIÓN DE POLOS EN UN LGR ( i ) El sistema es estable para todo K, la respuesta siempre será exponencial pues, las raíces son siempre reales. A medida que aumenta K, el tiempo de establecimiento y el error disminuyen debido a que la raíz del sistema a lazo cerrado se traslada hacia la derecha. ( ii ) Al añadir un polo en el origen, mejora el error drásticamente pues aumenta el tipo del sistema, pero el tiempo de establecimiento desmejora. La respuesta puede ser oscilatoria, pues aparecen raíces imaginarias, pero sigue siendo estable para todo K. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 74 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II ( iii ) Al añadir otro polo, mejora aun más la respuesta permanente pero, desmejora la respuesta transitoria y se ve afectada la estabilidad, pues ahora existe un valor límite de la ganancia. 11.1.2. Adición de Ceros: Para analizar el efecto de añadir ceros se partirá del LGR mostrado en la figura 1.1 (iii) (i) (ii) FIGURA 11.2. ADICIÓN DE CEROS EN UN LGR ( i ) Al añadir un cero al sistema de la figura (iii), este pasa a ser estable para todo K y mejora la respuesta transitoria. ( ii ) Al añadir otro cero, la variación del LGR muestra que los polos dominantes del sistema se trasladan hacia la izquierda, lo que implica una mejora en respuesta transitoria. Dependiendo de la ubicación de los ceros, el tiempo de establecimiento variará. Se puede observar que, al añadir polos o ceros en el lazo directo se logra modificar el Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), lo que se traduce a una modificación en la respuesta temporal a lazo cerrado. Además, se puede concluir que la adición de polos en el origen mejora la respuesta permanente, desmejorando la respuesta transitoria, en cambio, la adición de ceros mejora la transitoria. A continuación se procederá a mostrar los procedimientos de diseño para añadir distintos tipos de compensadores adelanto, atraso y adelanto - atraso 11.2 COMPENSACIÓN EN ADELANTO: La función de transferencia del compensador es igual a la estudiada anteriormente para el caso frecuencial, donde 0,07 < α < 1, por lo que el máximo ángulo que proporcionará el adelanto será de 60º. ⎡ Ts + 1 ⎤ Gc(s) = α ⎢ Kc ⎣ αTs + 1⎥⎦ Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 75 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II El cero ocurre en s = -1/τ, y el polo en s = -1/ατ, tal como se muestra en la figura 11.3, a partir de alli se observa que el valor del ángulo del cero es γ y el ángulo del polo es β, por lo que, al añadir el compensador en adelanto, la condición de ángulo se verá modificada en un valor igual a φ = γ - α, tal como se observa en la figura 11.3. Debido a ésto, este tipo de compensador se utiliza cuando es necesario modificar el L.G.R. para mejorar la respuesta transitoria del sistema a lazo cerrado. αz > αp αp −1/ατ Polo deseado αz - αp = φ αz −1/τ φ : ángulo proporcionado por adelanto FIGURA 11.3 CERO Y POLO DEL ADELANTO 11.2.1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1) A partir de las especificaciones que debe cumplir el sistema a lazo cerrado, se determina la localización de los polos dominantes deseados (P.D.D) 2) Se traza el lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado y se verifica si los polos dominantes deseados pertenecen al LGR. Si no se dispone del LGR se verifica utilizando la condición de ángulo. 3) Para introducir la red de adelanto se pueden utilizar dos procedimientos: a) Se calcula el ángulo necesario para que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. (φ). Se ubica el cero del compensador abajo del polo dominante deseado. (Ver figura 11.4) FIGURA 1.4. PRIMER Prof. Jenny Montbrun Di Filippo MÉTODO GRÁFICO PARA EL ADELANTO 76 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Se ubica el polo de forma tal que se satisfaga la condición de ángulo αz - αp = φ b) Se traza una horizontal que pase por el polo dominante deseado y una recta que una el origen con el polo dominante deseado ( figura 1.5). Se traza la bisectriz y de allí se trazan dos rectas a φ / 2 de cada lado, lo que ubica el polo y el cero del adelanto. Bisectriz Z... Cero del Adelanto P... Polo del Adelanto φ/2 φ/2 P Z FIGURA 11.5 SEGUNDO MÉTODO GRÁFICO PARA EL ADELANTO 4) Sea cual sea, el método de diseño, se debe calcular por condición de Módulo la ganancia tal que, los polos dominantes deseados sean la solución de la ecuación característica. EJEMPLO 11.2.2 Para un sistema como el siguiente: FIGURA 11.6 ESQUEMA DE CONTROL Diseñe un compensador tal que, los polos dominantes deseados sean s = −3 ± 2 3 j SOLUCIÓN: 1) Se verifica si los PDD pertenecen al lugar geométrico de las raíces Como la función de transferencia a lazo abierto es muy sencilla, es fácil dibujar el LGR tal como se muestra en la figura 11.7. Gráficamente se observa que el polo dominante deseado no pertenece al LGR. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 77 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Polo dominante 2 3 α β -3 FIGURA 11.7 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PARA EL EJEMPLO 11.2.2 2) Se debe calcular numéricamente el valor de φ a añadir utilizando la condición de ángulo. Para ello se calcula el ángulo de G (s) = G G G PDD PDD PDD 5 s(0,5s + 1) para s = PDD = ∑ ceros − ∑ polos = 0 – (α + β) ( ) ( ) = − − 3 + 2 3 j − 0,5 ⋅ (−3 + 2 3 j) + 1 = -130,89° - 106,11° = - 237° ≠ - 180° Por ello se debe añadir φ = 57°, para satisfacer la condición de ángulo. 3) Utilizando el primer procedimiento se añade el cero en s = - 3, y se obtiene numéricamente el valor del ángulo del polo tal como se muestra continuación (figura 11.8). 3,464 φ = αz - αp = 57º 90º αp αp = αz - φ = 33º X -3 FIGURA 11.8 EJEMPLO 11.2.2 tg 60º = 3,464/ x → x = 5,3333 Por lo tanto el cero estará en s = - 3 y el polo en s = - 8,33333 4) Finalmente, la ganancia para que ese punto sea el polo dominante deseado se calcula Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 78 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II utilizando la condición de módulo: K (s + 3) 5 =1 (s + 8,33) s(0,5s + 1) PDD K = 3,0333 De allí, que el compensador a añadir tendrá la siguiente función de transferencia. Gc = 3,0333 (s + 3) (s + 8,333) 11.3 COMPENSACIÓN EN ATRASO Para un sistema que tiene buenas características de respuesta transitoria pero no satisface los requerimientos en respuesta permanente se utiliza la compensación en atraso. Esencialmente, un compensador en atraso aumenta la ganancia de lazo cerrado sin modificar apreciablemente el lugar geométrico de las raíces. Para ello, se colocan el cero y el polo de la red de atraso cerca del origen la cual tiene la siguiente función de transferencia: G C (s ) = K C β s +1 T Ts + 1 = KC βTs + 1 s + 1 βT El cero y el polo del atraso se colocan muy cerca del origen, por lo que la red de atraso no tendrá prácticamente ningún efecto sobre la condición de módulo y la condición de ángulo, es decir, G C (s ) G C (s ) PDD PDD = KC s +1 T s + 1 βT ≈1 (Kc = 1) PDD < 5° Por lo tanto, si la función de transferencia de lazo directo, evaluada para PDD, satisface la condición de ángulo y la condición de módulo, al añadirle Gc(s), éste no se verá afectado. De allí que sólo queda verificar que la nueva función de transferencia a lazo directo GH(s) Gc(s), tendrá una variación en el error igual a β Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 79 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II G c (s) GH(s ) = β Ts + 1 GH(s ) β Ts + 1 Así se comprueba que la ganancia de lazo directo se verá modificada en un valor igual a β, lo que aumenta el coeficiente de error en el mismo factor β. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1) Verificar que los polos dominantes deseados pertenezcan al lugar geométrico de las raíces. 2) Calcular el valor de β necesario para satisfacer coeficientes de error K requerido K no compensado = 1T =β 1 βT 3) Se ubica el cero cerca del origen y con el valor de β se calcula la posición del polo. 4) La contribución del ángulo no debe ser mayor de 5º 5) Se verifica la condición de módulo y de ángulo para garantizar que el polo dominante deseado pertenezca al lugar geométrico de las raíces después de incluir el compensador. 6) Se verifica que se satisfaga el error. EJEMPLO 11.3.1 Para el siguiente sistema, se desea que los polos dominantes deseados sean s = −2 ± 2 3 j y se satisfaga un Kv = 20 FIG. 11.9 ESQUEMA DEL SISTEMA 1) Se verifica que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. Ya que el LGR es tan simple, por simple inspección, se observa que los PDD, sí pertenecen al lugar geométrico de las raíces, se verifica también usando la condición de ángulo. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 80 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II PDD = s1 s1 = −2 ± 2 3 j s1 = −2 ± 3,4641 j FIG. 11.9 LGR DEL SISTEMA G (s) PDD G (s) PDD =− s = PDD − (s + 4) PDD = −120° − 60° = −180° K =1 4× 4 Se calcula el Kv del sistema no compensado K v = lim s ⋅ G (s) = 16 / 4 = 4 s →0 Como no satisface, se debe añadir un atraso. K requerido K no = compensado 1T = β → β = (20 /4) = 5 1 βT Se escoge el cero en s = 0,05. Por lo que el polo estará en: s= 0,05 = 0,01 β G C (s) = s + 0,05 s + 0,01 Se comprueba G c (s) G c (s) G c (s) PDD PDD = PDD y G(s) PDD 4,0252 = 1,005 4,005 = 120,6164 º - 120,1239 º = 0,4925 º A partir de la función de transferencia de lazo directo final se verifica Kv: Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 81 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 16 ⎛ s + 0,05 ⎞ K v = lim s ⋅ G c (s)G (s) = ⎜ = 5 × 4 = 20 ⎟× s→0 ⎝ s + 0,01 ⎠ s(s + 4) 11.4 COMPENSACIÓN ADELANTO –ATRASO Este compensador se añadirá cuando se necesite modificar las condiciones de la respuesta transitoria y permanente. Su diseño puede ser realizado a partir del diseño separado de la red de atraso y la red de adelanto, es decir, se diseña inicialmente la red de adelanto tal que los polos dominantes deseados (PDD), pertenezcan al Lugar Geométrico de las Raíces y luego a través del atraso se logra la ganancia deseada en lazo directo que satisfaga el error. Para ilustrar el método se realiza el siguiente ejemplo. Se desea que el sistema que se muestra en la figura 11.10, cumpla con los siguientes requerimientos: EJEMPLO 11.4.1 Se desea que el Kv = 20, ζ =0,5 y ts 2% = 2 Figura 11.10 Esquema de control del Ejemplo 11.9.1 1) Se ubican los PDD. 1 − ξ2 tg θ = ξ Si ξ = 0,5 → θ = 60° ts 2% = 4 =2 ξw n PDD = s1 = - 2 + tg 60° x 2 = - 2 + 3,46j 2) Debido a que no se dispone del LGR exacto del sistema original, se verificará numéricamente si los PDD pertenecen o no al LGR original. G (s) PDD =− s PDD − (s + 1) Prof. Jenny Montbrun Di Filippo PDD − (s + 5) 82 PDD Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II G (s) PDD = −120° − 106,12° − 49,07° = −275,19° El ángulo necesario para que el PDD pertenezca al lugar geométrico de las raíces será la diferencia entre –275° y -180° φ = 95° Esto implica que es necesario introducir una red de adelanto que satisfaga dicha condición de ángulo. Como el φmax = 60°, se deben añadir dos compensadores por adelanto. 3) Se utiliza el segundo método para ubicar el cero y el polo del adelanto, (Figura 11.11) Bisectriz αp 60º γ x y Figura 11.11 Diseño del compensador por adelanto ADELANTO DOBLE φ = 47,5° → φ/ 2 = 23,75° Se observa que γ = 30º - 23,75° = 6,25° → αz = 90º - γ = 83,75° tg = 3,46/ x → x = 0,3789 La ubicación del cero del adelanto está en s = - 2,3789 Para ubicar el polo volvemos al gráfico de la figura 11.11 αz + 90° +(30° + /2) = 180° αz = 36,25° → tg αz = 3,46/y → y= 4,7188 La ubicación del polo será: en s = - 6,7188 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 83 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II ⎛ s + 2,38 ⎞ G Ad = K Ad ⎜ ⎟ ⎝ s + 6,72 ⎠ G Ad (s) PDD 2 = 2 (83,73) – 2(36,24) = 94,97° de allí que se añade el ángulo necesario. Se calcula KAd para que se satisfaga la condición de módulo: G (s) G (s) Ad PDD =1 K Ad (s + 2,38) 1 =1 s(s + 1)(s + 5) (s + 6,72)2 2 1 K Ad (3,48) =1 (3,99)(3,60)(4,58) (5,85)2 2 → KAd = 186,37 186,37 (s + 2,38) G (s) G Ad (s) = 2 s (s + 1)(s + 5)(s + 6,72) 2 Teniendo completa la función de transferencia de lazo directo se calcula Kv → K V = lim = s G(s) Gc(s) = 4,68 s→0 NO SATISFACE LA CONDICIÓN DE ERROR !!! SE UTILIZA UN ATRASO!! β= K requerida → K original Cero en s = 0,05 PDD Gc(s) At Gc(s) At = s + 0,05 s + 0,0117 PDD PDD → β = 4,27 sirve con un atraso simple. Polo en s = 0,0117 Se verifica ⏐Gc(s)At⏐ y G At 20 4,68 β= Gc(s) At = PDD = (s + 0,05) 3,9717 = 0,9953 3,9906 PDD − (s + 0,0117) = 119,4049° − 119,884° = −0,47° Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 84 → OK!!! PDD → ∆φ = - 0,47° (< 5°) OK!! Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II 186 (s + 2,38) (s + 0,05) 2 G (s)Gc(s) Ad Gc(s) At = Kv final = s (s + 1)(s + 5)(s + 6,72) (s + 0,0117 ) 186 (2,38)2 (0,05) (5)(6,72)2 (0,0117 ) 2 = 19,94 → Satisface Kv !!! 11.5. Diseño de Controladores usando el Lugar Geométrico de las Raíces Los controladores también pueden ser diseñados utilizando el Lugar Geométrico de las Raíces, a partir del cual es posible determinar los parámetros de cada controlador tal que satisfagan los requerimientos establecidos. Los controladores a estudiar serán los siguientes: • Proporcional ( P ) • Proporcional Derivativo ( PD ) • Proporcional Integral ( PI ) • Proporcional Integral Derivativo ( PID ) 11.5.1 PROPORCIONAL ( P ) Gc(s) = Kp Ajustar el valor de la ganancia K en un controlador proporcional será como moverse en el LGR hasta lograr la respuesta deseada, tanto transitoria como permanente. Con ello se logra modificar tanto la respuesta transitoria como la respuesta permanente, pero en forma limitada. 11.5.2 PROPORCIONAL DERIVATIVO ( PD ) La función transferencia del controlador puede ser escrita como: Gc(s ) = K p (1 + sTd ) = K p ⋅ Td ⎡ s + 1 ⎤ Td ⎥⎦ ⎢⎣ Consiste en ubicar un cero en 1/Td y el valor de Kp tal que se satisfagan los requerimientos. 11.5.3 PROPORCIONAL INTEGRAL ( PI ) ⎛ 1 Gc(s ) = K p ⎜⎜1 + ⎝ sTi ⎞ ⎡1 + sTi ⎤ ⎡1 Ti + s ⎤ ⎟⎟ = K p ⎢ ⎥ = Kp ⎢ ⎥ ⎣ s ⎦ ⎠ ⎣ sTi ⎦ Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 85 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II Consiste en ubicar un polo en el origen y un cero en s = - 1/ Ti tal que se logre el objetivo deseado, además de fijar Kp. 11.5.4 PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO ( PID ) ⎛ 1 Gc = K p ⎜⎜1 + sTd + sTi ⎝ ⎡ sTi + s 2 Ti Td + 1⎤ ⎞ ⎟⎟ = K ⎢ ⎥ sTi ⎠ ⎣ ⎦ Consiste en ubicar dos ceros y un polo en el origen tal que se satisfagan los requerimientos. A continuación se mostrarán diferentes ejemplos para ilustrar los procedimientos de cada caso. EJEMPLO 11.5.1 Para un sistema cuya FTLA es G = 1 se necesita que el sistema a lazo cerrado s(s + 1)(s + 3) satisfaga los siguientes requerimientos: - Error al escalón unitario menor que 0,1 - Polos dominantes s = -1 + 2j LGR sistema original FIGURA 11.12. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PARA EL EJEMPLO 11.5.1 Claramente el polo dominante deseado no pertenece al LGR pero el error siempre se satisface por ser un sistema de tipo 1. DISEÑO: 1) Se utilizará un controlador PD para mejorar la respuesta transitoria. Gc = K p (1 + sTd ) = K p ⋅ Td ⎛⎜ 1 + s ⎞⎟ ⎝ Td ⎠ Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 86 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II El ángulo necesario a añadir será: ∠G⏐PDD = - ∠s⏐PDD - ∠(s+1)⏐PDD - ∠(s+3)⏐PDD ∠G⏐PDD = - 116,56° - 90° - 45° = - 251,56° El ángulo necesario a añadir con el cero será φ = 71,56°. (Ver figura 11.13) tg φ = 2 /x → x = 0,667 Por lo tanto el cero estará en s = - 1,667. FIGURA 11.13. ANGULO A AÑADIR UN CERO Finalmente, se calcula la ganancia para que se satisfaga la condición de módulo. GGc = 1 1(K ⋅ Td )(s + 1,667 ) =1 s(s + 1)(s + 3) (K ⋅ Td )(2,1083) =1 (2,236)(2)(2,8284) → K⋅Td = 5,9995 Como 1/ Td = 1,667 → K = 9,999 ≈ 10 EJEMPLO 11.10.2 Para un sistema, cuya función de transferencia es G (s) = 1 , diseñe Gc ( P, PI, (s + 1)(s + 5) PD, PID) tal que satisfaga los siguientes requerimientos: wd = 2 Kv = 20 ts 2% < 1 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 87 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II FIGURA 11.14. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES A partir de los requerimientos de ts y de ωd se obtienen los PDD = - 4 + 2j 1) Se escoge un PID pues se necesita mejorar el error drásticamente y también la transitoria 2) Gc = K (s + a )(s + b ) s Hay infinitas soluciones. ∠G⏐PDD = - ∠(s+1)⏐PDD - ∠(s+5)⏐PDD ∠G⏐PDD = - 146,3° -63,43° = -209,76° ⏐G⏐PDD = 3,605 Tal como se había dicho, el PDD no pertenece al LGR, se necesita un adelanto de φ = 30° que se logrará con los ceros, considerando también el ángulo añadido por el polo en el origen. Para calcular el ángulo que deben añadir los ceros se realiza a partir del ángulo φ. φ = 30° = − (s + 4) PDD − (s + 6) PDD − s PDD + ceros PDD ceros = 30º +153,43º Si se fija uno de los ceros en s = - 4 , entonces el otro se fija para satisfacer la condición de ángulo descrita anteriormente. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 88 Prof. Yamilet Sánchez Montero XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PS-2320 CONTROL DE PROCESOS II ceros = 90º + γ γ = 93,43º γ = 93,43° tg(180-γ) = 2/ X → X =0,1199 FIGURA 11.15. DETERMINACIÓN DEL CERO El otro cero estará en s = -3, 88 Gc = K (s + 4)(s + 3,88) s Para establecer el valor de K se hace por condición de modulo: 1 K (2)(2 ) GGc PDD = =1 (2,2361)(3,605) (4,4721) K= 9,01 9 ⋅ 4 ⋅ 3,88 = 27,93 → Satisface la condición Kv >20 5 s→0 Si no se logra satisfacer Kv, se debe reubicar los ceros. K v = Lim s ⋅ GG c = Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 89 Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 XII. Otros Esquemas de Control Para mejorar el control de un proceso puede ser necesario incluir diferentes tipos de esquemas de control, los cuales logran efectos diferentes, sobre las variables a controlar, de los que se obtienen cuando se introduce un esquema en retroalimentación simple. Entre otros, los esquemas de control a estudiar serán los que se mencionan a continuación: - Esquema de control en cascada. - Esquema de control de alimentación adelantada. - Esquema de control de relación. 12.1 Esquema de control en Cascada Para un sistema de control de retroalimentación simple sólo se involucra una variable medida y una variable manipulada en el lazo de control, tal como se muestra en la fig. 12.1, donde se plantea un lazo de retroalimentación simple para el control de la temperatura del crudo a la salida del horno. Fig. 12.2 Diagrama de Bloques del control en Retroalimentación Simple Fig. 12.1 Esquema del Horno Este tipo de esquema mantiene la temperatura del horno, Y(s), en su valor de referencia, R(s), pero es indiferente a las distintas perturbaciones que se presenten en el proceso. Por ejemplo, si se presenta una perturbación en el flujo del gas, se presentará a posteriori una variación en la temperatura de salida, lo cual perturba a la variable a controlar. Añadiendo un esquema de control en cascada, como se muestra en la figura 12.3, se logra minimizar el efecto de dicha perturbación. Allí se observa que al variar el flujo de gas, dicha variación será medida y la información irá al controlador de flujo cuya referencia viene establecida por el controlador de Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 90 Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 temperatura. Fig. 12.3 Esquema del horno con un controlador en cascada Otro ejemplo en el cual se puede añadir un esquema de control en cascada es un reactor con reacción exotérmica, en el cual se busca mantener constante la temperatura T de la mezcla (figura 12.4). En la camisa circula un refrigerante cuya temperatura TR se considera una perturbación. La temperatura Ti también se considera una perturbación. La única variable manipulada es el flujo de refrigerante FR. Fig. 12.4 Reactor con reacción exotérmica El diagrama de bloques de este esquema de control de retroalimentación simple es semejante al que se muestra en la figura 12.2, donde r(s) será la temperatura del reactor T y R(s) será la referencia de dicha temperatura. En dicho lazo de retroalimentación se mide la temperatura T, se lleva al controlador, donde se compara con la referencia y de allí se emite la acción de control que va a la válvula manipulando FR. Este esquema de control no será muy efectivo si cambia TC, pues el esquema de control sólo tomará una acción ante dicho cambio, cuando T se vea modificada. Una forma de mejorar dicho esquema, es medir TC y tomar una acción de control antes de que el Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 91 Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 cambio en TC tenga efecto sobre la temperatura T, si TR aumenta se debe aumentar FR y viceversa (figura 12.5). Este esquema de control en cascada, en el que se miden dos variables T y TC y se tienen dos lazos con una sola variable manipulada (FR), se muestra en la figura 12.6. Fig. 12.5 Esquema del reactor con control en cascada. (a) El lazo de control que mide T (variable principal), usa como referencia el valor de T fijado por el operador. (b) El lazo de control que mide TC (variable secundaria), utiliza la salida del controlador primario como referencia y es llamado el lazo esclavo. Este tipo de esquema es muy común en procesos químicos. El diagrama de bloques del mismo puede ser resumido como sigue: Lazo Principal Lazo Secundario Ti TR Gp1 Gp2 Ref C-1 Tc + + C-2 V Proceso I Proceso II + Medidor Medidor Fig. 12. Diagrama de Bloques de un controlador en cascada Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 92 Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 El proceso I (primario) tiene como salida a la variable principal a manipular y como entrada a la perturbación en TR. El proceso II tiene como salida TR y como entrada FC. Resumiendo, un esquema de control en cascada tiene como objetivo minimizar las perturbaciones internas al lazo de retroalimentación simple. Además presenta una mayor rapidez de respuesta ante dichas perturbaciones que un sistema de control con sólo retroalimentación simple. 12.1 ESQUEMA DE CONTROL EN ALIMENTACIÓN ADELANTADA (FEED- FORWARD). Un esquema de control en alimentación adelantada mide la perturbación y toma acción para reducir el efecto de dicha variable sobre la variable a controlar. La diferencia entre este tipo de esquema y el anterior es que la alimentación adelantada se utiliza para minimizar las perturbaciones externas al lazo de retroalimentación simple. En el siguiente ejemplo se puede apreciar claramente el efecto que se busca al añadir este tipo de lazo. Lazo I: Esquema de retroalimentación simple en el cual se controla la temperatura T, manipulando el flujo de vapor. En este lazo de control si se tienen variaciones de Ti , el controlador no toma ninguna acción, sino hasta que la temperatura T se vea modificada. Lazo II: FIG 12.7 ESQUEMA DE LA PLANTA Este sería un lazo en alimentación adelantada, el cual toma una acción una vez que mide una variación en la temperatura (Ti ) a la entrada. En general, se puede mostrar en los siguientes diagramas, la diferencia entre un lazo de retroalimentación simple y un alimentación adelantada. Perturbación Perturbación Controlador Variable Manipulada Proceso Variable Controlada Variable Manipulada Proceso Controlador FIG 12.8 ESQUEMAS DE CONTROL EN FEED FORWARD FIG 12.9 ESQUEMAS DE CONTROL EN RETROALIMENTACIÓN SIMPLE Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 93 Prof. Yamilet Sánchez Montero Variable Controlada XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 En estos diagramas se puede observar claramente que un esquema en retroalimentación simple toma acción una vez que se haya modificado la variable a controlar, en tanto que, la alimentación adelantada toma acción en el momento en que la perturbación presente una variación. Entre otras cosas se puede mencionar que en un esquema de control en alimentación adelantada la variable a controlar no es la variable a medir, además, el controlar debe incluir la información relativa al sistema, (fundamentada en un modelo del sistema), pues este debe conocer el efecto que tiene la perturbación sobre la variable a controlar. Esto implica que este controlador no es convencional, sino, particular según el sistema. A medida que sea mejor el modelo del sistema, mejor será el controlador en alimentación adelantada. En forma general, se puede plantear el siguiente procedimiento para el diseño del controlador en alimentación adelantada. d (s) Perturbación Proceso Gd m(s) Variable manipulada + Gp + Y(s) Salida del proceso FIG 12.10 ESQUEMAS DEL PROCESO SIN CONTROL En esta figura se muestra un proceso que no tiene ningún esquema de control, por lo que la salida y(s) será: y(s) = m(s)Gp + d(s)Gd Si el valor de referencia deseado para y(s) fuese yref (s) se puede escribir: Yref (s) = m(s)Gp + d(s)Gd A partir de esta ecuación se puede encontrar el valor de m(s) (variable manipulada) tal que, y(s) = y ref , como: Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 94 Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 ⎛y ⎞ G m(s) = ⎜⎜ ref − d (s) ⎟⎟ ⋅ d ⎝ Gd ⎠ Gp de aquí que se definirán las siguientes funciones de transferencia G C (s) = G d (s) G p (s) → Función de transferencia del controlador en Alimentación adelantada. G ref (s) = 1 G d (s) → Función de transferencia del elemento de referencia. A partir de aquí se puede plantear el Diagrama de Bloques para el esquema planteado: yref(s) 1/Gd d (s) - + Gd Gd/Gp Proceso + Retroalimentación adelantada Gp m(s) y(s) + FIG 12.11 DIAGRAMA DE BLOQUES CON CONTROL EN ALIMENTACIÓN ADELANTADA Si se le añaden las funciones de transferencia del medidor y del elemento final de control entonces el esquema completo será: yref(s) Gm/Gd - + d (s) Gm Gd G pG m Retroalimentación adelantada Gd Proceso + m(s) Gf Gp + y(s) Elemento final de control FIG 12.12 DIAGRAMA DE BLOQUES CON CONTROL EN ALIMENTACIÓN ADELANTADA COMPLETO Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 95 Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 RESUMIENDO: • La señal medida no es la señal controlada • El controlador no es un controlador convencional (P, PI, PID) sino que depende del modelo del proceso (Gp, Gd) • Debido a que no es un modelo perfecto el controlador tendrá allí su mayor debilidad. Este esquema pareciera perfecto, pues, se adelanta a tomar acciones de control en el momento en que aparecen perturbaciones, pero, sería necesario identificar todas las perturbaciones posibles, para así poder implementar tantos lazos como sea necesario, lo que no es posible. Además, si hubiese algún cambio en un parámetro físico no podrá ser compensado, pues no sería detectable. Por todo lo anterior, lo mejor sería introducir un esquema de control que contenga alimentación adelantada y retroalimentación a la vez cuyo Diagrama de Bloques se muestra seguidamente: Alimentación adelantada Gm/Gd yref (s) - + d (s) Gm2 Gd Gc2 + yref (s) + Gc1 + Gf Gp + - y(s) Gm1 Retroalimentación Simple FIG 12.13 DIAGRAMA DE BLOQUES CON CONTROL EN ALIMENTACIÓN ADELANTADA A partir de dicho diagrama se puede obtener: y = Gp m(m) + GC⋅d(s) G C2 G m ⎛ G p G f ⎜⎜ G C1 − Gd ⎝ y(s) = 1 + G p G f G C1 G m1 Prof. Jenny Montbrun Di Filippo ⎞ ⎟ ⎟ ⎠⋅y ref y sustituyendo se tiene: + G d − G p G f G C2 G m 2 1 + G p G f G C1 G m1 96 ⋅ d(s) Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 De allí se observa que la estabilidad del sistema a lazo cerrado depende de la ecuación: 1 + Gp⋅Gf⋅Gc1⋅Gm1 = 0 Siendo esta ecuación dependiente sólo del lazo de retroalimentación, es más, Gp⋅Gf⋅Gc1⋅Gm1 es la función de transferencia de lazo abierto para el lazo de retroalimentación. Por lo que se puede concluir que la estabilidad del sistema sólo depende del lazo de retroalimentación, y no se ve alterada al añadir un lazo de alimentación adelantada. 12.3 ESQUEMA DE CONTROL DE RELACIÓN: Se utiliza para controlar la relación entre dos flujos, los dos flujos son medidos, pero sólo uno es controlado. Se pueden mostrar dos configuraciones para el control de relación: ESQUEMA (a): Se miden ambos flujos y se obtiene su relación, se compara con la relación deseada (referencia) y se manipula uno de los flujos. ESQUEMA (b): Se miden ambos flujos, se multiplica el flujo no controlado por la relación deseada y se utiliza como referencia para un controlador de flujo que manipulará el otro flujo para obtener el resultado deseado. Este tipo de esquema es muy utilizado en diferentes procesos químicos como, Relación entre dos reactantes, relación aire (combustible, etc.) 12.4 ESQUEMA DE CONTROL “OVERRIDE” Este es un tipo de esquema de control selectivo con el cual es posible controlar más de una variable teniendo una sola variable manipulada, transfiriendo la acción de control de un controlador a otro según sea la necesidad. Es utilizado para evitar que algunas variables puedan alcanzar límites peligrosos, inferiores o superiores, que puedan perjudicar el buen funcionamiento Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 97 Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 de una planta. Para ello se utilizan ciertos tipos de “switches”, el HSS (High Selector Switch) y el LSS (Low Selector Swich), los cuales se utilizan para evitar que una variable pueda exceder de un valor máximo o mínimo respectivamente. Un ejemplo típico para este tipo de esquema de control se puede implementar en una caldera, donde la presión del vapor de salida es una variable controlada, pero el nivel del líquido dentro de la caldera debe mantenerse en observación, pues no puede bajar más allá de un valor mínimo. En la siguiente figura se muestra un esquema de control en “Override”, en el cual el Lazo I se utiliza para mantener el control sobre la presión de salida y si el nivel presenta un valor menor al mínimo establecido, el LSS cambia de esquema de control y pone en funcionamiento el Lazo II, con la intención de controlar el nivel. Otro ejemplo de aplicación para este tipo de esquema de control se presenta en el sistema de protección de un compresor, en el cual su descarga es controlada con un sistema de control de flujo en cascada con un control secundario de la velocidad del motor, tal como se muestra en la siguiente figura. Para prevenir que la descarga sobrepase ciertos valores de presión se introduce el esquema de control en “Override” utilizando un HSS (High Switch Selector), que transfiere la acción de control entre el lazo I y el Lazo II al ocurrir una sobrepresión en la descarga. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 98 Prof. Yamilet Sánchez Montero XII. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL Control de Procesos II PS-2320 12.5 ESQUEMA DE CONTROL “SPLIT-RANGE” Un esquema de control de este tipo es aquel que teniendo solamente una variable medida y controlada, puede manipular más de una variable para lograr lo establecido. Es decir, se controla una sola variable coordinando acciones sobre varias variables, que tienen el mismo efecto sobre la variable controlada. A continuación se muestra un ejemplo en el cual se implanta un esquema de control de este tipo, en el cual se desea mantener controlada la presión de una línea de gas producto de la salida de varias calderas. En este caso, se manipulan los flujos de salida de cada una de las calderas simultáneamente para lograr la presión de salida deseada. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 99 Prof. Yamilet Sánchez Montero XIII. CONTROL DIGITAL Control de Procesos II PS-2320 XIII. CONTROL DIGITAL En un lazo típico de control, un esquema en retroalimentación simple presenta como elementos los mostrados en la siguiente figura, el proceso, el medidor, el controlador y el elemento final de control. Mientras el controlador sea un instrumento analógico, podrá procesar, en forma continua, las señales generadas por los sensores y enviar señales , de la misma forma, a los elementos accionadores. En el caso en que se desee introducir un computador como controlador, el esquema descrito anteriormente necesita de otros elementos que complementen sus acciones. Más específicamente, debido a que las señales que maneja el computador son digitales y no analógicas, es decir, señales discretas en el tiempo, se hacen necesarios componentes que permitan las comunicaciones entre el controlador y los demás elementos del esquema de control. Dichos componentes, que serán descritos a continuación son, muestreador (sampler), retenedor (hold element), convertidores analógico digital (A/D converter) y digital analógico (D/A converter). El muestreador o “sampler”, es el elemento que convierte las señales continuas, provenientes de los diferentes medidores, en señales discretas en el tiempo. En otras palabras, el muestreador es una especie de “switch” recibe señales continuas y produce una secuencia de valores muestreados en un intervalo de tiempo específico. Por otro lado, la mayoría de los elementos finales de control deben ser accionados por señales continuas, pero en el caso que el controlador sea un computador, su salida será una señal discreta que debe ser convertida a continua utilizando un retenedor o “hold element”. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 100 Prof. Yamilet Sánchez Montero XIII. CONTROL DIGITAL Control de Procesos II PS-2320 Finalmente, la información que entra y sale del computador debe estar en forma digital, para lo cual se utilizan los convertidores de analógico a digital y de digital a analógico. A continuación se muestra un esquema de control digital directo, en el cual se han incorporado cada una de los elementos mencionados anteriormente. En el esquema anterior se podrían manejar más de un lazo de control con el mismo controlador, para lo cual se añadiría un elemento adicional conocido como “multiplexer” que actúa como un “switch” con varias puertas, tal como se muestra en la siguiente figura. Prof. Jenny Montbrun Di Filippo 101 Prof. Yamilet Sánchez Montero
