Potencial_magnetico_de_un_dipolo_magn. - U

Potencial magnético y campo magnético de un dipolo magnético.
P
El dipolo es un circuito cerrado,
pequeño en comparación con
las distancias donde se observa
el campo magnético producido
por el dipolo. Se encuentra alrededor del punto T, por él circula
una corriente I y se pregunta:
¿Cuál es el valor del vector po- O
tencial magnético en el punto P?
r r µ I
En general, se tiene que : A ( r ) = 0
4π
∫
r
r
r r
r − r0
r r
r − r′
r
r0
r
r′
r
q
T
r
dr '
r r
r − r'
r r r
Hacemos un cambio de variable en la integral : r ' = r0 + q
[
r r r r r
r r 2
r r r r2
Con lo cual resulta : r − r ' = r − r0 − q = r − r0 − 2( r − r0 ) ⋅ q + q
Entonces :
r r −1 r r
r − r ' = r − r0
−1
v2
 2( rr − rr ) ⋅ qr
q
0
1 − r r 2 + r r
r − r0
r − r0



2

]
1/ 2
−1 / 2
Estudiaremos el campo magnético (y el potencial magnético) a distancias grandes del dipolo, o sea,
r
r r
q << r − r0 , con lo cual se puede expandir el paréntesis y despreciar términos en q 2 y superiores :
r r −1 r r
r − r ' = r − r0
r r µ I
A( r ) = 0
4π
∫
−1
 ( rr − rr ) ⋅ qr 
1 + r r0 2 
r − r0 

r
µ0I
dq
r r +
r − r0 4π
r r µ I 1
A( r ) = 0 r r
4π r − r0
∫
∫
r r r r
( r − r0 ) ⋅ q dq
r r 3
r − r0
r µ I 1
dq + 0 r r
4π r − r0
3
∫
r r r r
( r − r0 ) ⋅ q dq
La primera integral es nula (circuito cerrado). En cuanto a la segunda :
r r
r r
r r r r r r
r r
Emplearemos la identidad : (q × dq ) × ( r − r0 ) = ( r − r0 ) ⋅ q dq − ( r − r0 ) ⋅ dq q
r r r r
r r
r r r r r r
Además : d{( r − r0 ) ⋅ q q} = ( r − r0 ) ⋅ dq q + ( r − r0 ) ⋅ q dq
Sumando las dos anteriores :
(qr × dqr ) × (rr − rr0 ) + d{(rr − rr0 ) ⋅ qr qr} = 2(rr − rr0 ) ⋅ qr
r r µ I
1
A( r ) = 0 r r 3
4π 2 r − r0
∫
(qr × dqr ) × (rr − rr0 )
+
r
dq, que se reemplaza en la integral :
µ0 I
1
r
4π 2 r − rr0 3
∫
r r r r
d[( r − r0 ) ⋅ q q ]
La segunda integral es nula (circuito cerrado) y el primer término se puede escribir:
r µ
1
A= 0 r r 3
4π r − r0
I

2
∫
(qr × dqr )
 r r
 × (r − r0 )

Lo que está entre paréntesis de llave es el producto de la corriente por el área del circuito, o sea, el momento magnético:
r r r
v µ0 m
× ( r − r0 )
A=
r
4π r − rr0 3
r
Supong. r0 = 0 :
r
Para encontrar B dip , recordar que
r r
v µ0 m
×r
A=
r
4π r 3
r
r
B dip = ∇ × A
r r
m
r r µ
×r
Bdip (r ) = 0 ∇ ×  r 3 
 r 
4π


r
r r
empleando la identidad : ∇ × (φC) = φ∇ × C - C × ∇φ
1
Y reemplazando : φ = r 3
r
r r r
C = m× r
 1 
r r µ 1
r r µ r r
Bdip ( r ) = 0 ⋅ r 3 ∇ × (m × r ) − 0 (m × r ) × ∇ r 3 
r 
4π r
4π
 
r r
r
r
r
r
r r
r r
Emplear la identidad : ∇ × (A × B) = (B ⋅ ∇)A − (A ⋅ ∇)B + A∇ ⋅ B − B∇ ⋅ A
r r
r r
en la cual se reemplaza : A = m y B = r
r r
r
r
r
r r
r r
r
∇ × (m × r ) = ( r ⋅ ∇ ) m − ( m ⋅ ∇ ) r + m ∇ ⋅ r − r ∇ ⋅ m
r
r
en esta relación, el primero y el último término son nulos, porque m no depende de r .
∂
∂
∂ 
r
r 
r
 (x xˆ + yyˆ + z zˆ ) = m .
( m ⋅ ∇ ) r =  m x
+ my
+ mz
∂x
∂y
∂z 

r
Además : ∇ ⋅ r = 3 (identidad )
r r
r
r
r
Por lo tanto : ∇ × (m × r ) = − m + 3 m = 2 m
r r µ
3µ
1
r
B dip ( r ) = 0 ⋅ r 3 (2m ) + 0
4π r
4π
r rr
r 
 (m
 ⋅ r )r − m 
r3 
 rr 5
r 

r r r r2 r
r r µ 0  3(m ⋅ r )r − r m 
Bdip ( r ) =
r5

4π 
r


r
r
r r µ  3(m
⋅ rˆ )rˆ − m 
Bdip ( r ) = 0 
r3

4π 
r


En la última expresión se ve explícitamente que el campo magnético varía inversamente
con la distancia elevada al cubo.